高中数学选修2-1抛物线知识点与典例精析

合集下载

高中数学选修2-1-抛物线的方程及性质

抛物线的方程及性质知识集结知识元抛物线的定义知识讲解1．抛物线的定义【概念】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．【标准方程】①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．【性质】我们以y2＝2px（p＞0）为例：①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．【实例解析】例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，∴设P（x，），∵点Q的坐标为（3，0），∴|PQ|＝＝＝，∴当x＝，即P（）时，|PQ|取最小值．故答案为：．这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．例2：已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值是．解：如图所示，设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．过点P作PM⊥l，垂足为M．则|PM|＝|PF|．设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|＝＝．即|PM|+|PQ|的最小值为．故答案为：．这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了，并拓展到椭圆和双曲线上面去．【考点分析】抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．例题精讲抛物线的定义例1.'已知动圆过定点F（2，0），且与直线x=-2相切，求动圆圆心C的轨迹．'例2.'平面内哪些点到直线l：x=-2和到点P（2，0）距离之比小于1．'例3.'点M到点F（3，0）的距离等于它到直线x=-3的距离，点M运动的轨迹是什么图形？你能写出它的方程吗？能画出草图吗？'抛物线的标准方程知识讲解1．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：（1）y 2＝2px ，焦点在x 轴上，焦点坐标为F（，0），（p 可为正负）（2）x 2＝2py ，焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，），（p 可为正负）四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y 2＝2px （p ＞0），焦点在x 轴上x 2＝2py （p ＞0），焦点在y 轴上图形顶点（0，0）（0，0）对称轴x 轴焦点在x 轴长上y 轴焦点在y 轴长上焦点（，0）（0，）焦距无无离心率e ＝1e ＝1准线x ＝﹣y ＝﹣例题精讲抛物线的标准方程例1.'已知Q（1，1）是抛物线x2=2py（p>0）上一点，过抛物线焦点F作一条直线l与抛物线交于不同两点A，B．在点A处作抛物线的切线l1，在点B处作抛物线的切线l2，直线l1、l2交于P 点．（Ⅰ）求p的值及焦点F的坐标；（Ⅱ）求证PA⊥PB．'例2.'根据下列条件求抛物线的标准方程：（1）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）；（2）焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5。

2019年高中数学湘教版选修2-1讲义+精练：第2章2.3.1 抛物线的定义与标准方程含解析

2．3抛__物__线2．3.1抛物线的定义与标准方程[读教材·填要点]1．抛物线的定义平面上到一定点F和定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线．定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．2．抛物线的标准方程[小问题·大思维]1．在抛物线定义中，若去掉条件“F∉l”，点的轨迹还是抛物线吗？提示：不一定是抛物线．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．2．到定点A(3,0)和定直线l：x＝－3距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：y2＝12x.3．若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则它的标准方程是什么？提示：由焦点在x轴正半轴上，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，则p2＝2，故p ＝4. 所以抛物线的标准方程是y 2＝8x .求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上．[自主解答] (1)当抛物线的焦点在x 轴上时，可设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，把点(－3,2)代入得22＝－2p ×(－3)，∴p ＝23.∴所求抛物线方程为y 2＝－43x .当抛物线的焦点在y 轴上时，可设抛物线方程为x 2＝2py (p ＞0)，把(－3,2)代入得(－3)2＝2p ×2， ∴p ＝94.∴所求抛物线方程为x 2＝92y .综上，所求抛物线的方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)直线x －2y －4＝0与x 轴的交点为(4,0)，与y 轴的交点为(0，－2)，故抛物线焦点为(4,0)或(0，－2)，当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)， ∵p2＝4，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝16x ，当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)， ∵－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为x 2＝－8y ，综上，所求抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .若把本例(2)中的“焦点”改为“准线与坐标轴的交点”，如何求解？解：直线x －2y －4＝0与x 轴的交点是(4,0)，与y 轴的交点是(0，－2)，则抛物线的准线方程为x ＝4或y ＝－2.当准线方程为x ＝4时，可设方程为y 2＝－2px ，则p2＝4，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝－16x . 当准线方程为y ＝－2时，可设方程为x 2＝2py ，则－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为x 2＝8y . 综上，抛物线的标准方程为y 2＝－16x 或x 2＝8y .求抛物线标准方程的方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p 的方程，求出p 的值，进而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，利用已知条件求出m ，n 的值．1．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝______，准线方程为________．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.答案：2 x ＝－12．抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5，求抛物线的标准方程．解：设所求焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点A (m ，－3)．由抛物线的定义得|AF |＝⎪⎪⎪⎪m ＋a2 ＝5，又(－3)2＝2am ，∴a ＝±1或a ＝±9.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .根据下列抛物线方程，分别求出其焦点坐标和准线方程．(1)y 2＝－4x ；(2)2y 2－x ＝0.[自主解答] (1)∵y 2＝－4x ，∴抛物线的焦点在x 轴的负半轴上，又2p ＝4，∴p ＝2.∴焦点坐标为(－1,0)，准线方程为x ＝1. (2)由2y 2－x ＝0，得y 2＝12x .∴抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，又2p ＝12，∴p ＝14∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫18，0，准线方程为x ＝－18.此类问题是抛物线标准方程的应用，一是要理解抛物线标准方程的结构形式，二是要理解p 的几何意义，三是要注意焦点与坐标准线方程之间的关系．步骤：①化为标准方程；②明确开口方向；③求p 值；④写焦点坐标和准线方程．3．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y ＝－18x 2；(2)x 2＝ay (a ≠0)．解：(1)将抛物线方程y ＝－18x 2变形为x 2＝－8y ，所以抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，又2p ＝8，所以p ＝4.所以焦点坐标为(0，－2)，准线方程为y ＝2.(2)当a >0时，抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，又2p ＝a ，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，a 4 ，准线方程为y ＝－a 4；当a <0时，抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，又2p ＝－a ，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，a 4 ，准线方程为y ＝－a 4. 综上，抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，a 4 ，准线方程为y ＝－a4.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．[自主解答] 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，点P ，点(0,2)，和抛物线的焦点⎝⎛⎭⎫12，0三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋(2－0)2＝172.本例中若将点(0,2)改为点A (3,2)，F 为抛物线的焦点，求|PA |＋|PF |的最小值．解：将x ＝3代入y 2＝2x ， ∴y ＝±6.∴A 在抛物线内部．设P 为其上一点，P 到准线(设为l )x ＝－12的距离为d .则|PA |＋|PF |＝|PA |＋d .由图可知，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值是72.即|PA |＋|PF |的最小值是72.解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边之间的不等关系，点与直线的连线中垂线段最短等．4．已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|PA |的值最小．解：∵(－2)2＜4×8，∴点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 内部．如图，抛物线的准线为l ，过P 作P Q ⊥l 于Q ，过A作AB ⊥l 于B ，由抛物线的定义可知|PF |＋|PA |＝|P Q |＋|PA |≥|A Q |≥|AB |，当且仅当A ，P ，Q 三点共线时， |PF |＋|PA |的值最小，最小值为|AB |， ∵A (－2,4)，∴|PF |＋|PA |最小时点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故当点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12时，|PF |＋|PA |的值最小．解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．[解] 法一：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2. ∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2.法二：如图所示，设抛物线方程为 x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2，又|MF |＝5，由定义知3＋p2＝5，∴p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2. 由m 2＝(－8)×(－3)，得m ＝±2 6.[点评] 抛物线的标准方程只有一个待定系数，故求抛物线的标准方程时，应设法建立参数p 的关系式．还要注意抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的相互转化．1．焦点是F (0,5)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝20x B ．x 2＝20y C ．y 2＝120xD ．x 2＝120y 解析：由5＝p2得p ＝10，且焦点在y 轴正半轴上，故方程形式为x 2＝2py ，所以x 2＝20y .答案：B2．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( ) A ．5 B ．6 C ．8D ．10解析：由抛物线的定义知|P 1P 2|＝y 1＋y 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：C3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x解析：显然由准线方程x ＝－2，可知抛物线为焦点在x 轴正半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为y 2＝2px ＝8x .答案：C4．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝________. 解析：由x 2＋y 2－6x －7＝0，得(x －3)2＋y 2＝16，∴x ＝－p2＝－1，即p ＝2.答案：25．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．解析：由双曲线方程x 216－y 29＝1，可知其焦点在x 轴上，由a 2＝16，得a ＝4， ∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0)．∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则由p2＝4，得p ＝8，故所求抛物线的标准方程为y 2＝16x . 答案：y 2＝16x6．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．解：由抛物线定义，设焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0. 则准线为x ＝p2，M 到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10.则p2－(－9)＝10，∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝－4x .将M (－9，y )代入抛物线方程得y ＝±6. ∴M (－9,6)或M (－9，－6)．一、选择题1．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.148D.124解析：将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为148. 答案：C2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：椭圆右焦点为(2,0)，∴p2＝2.∴p ＝4.答案：D3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54.答案：C4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，由于c a＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，所以b a＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .答案：D 二、填空题5．若抛物线y 2＝8x 上的一点P 到其焦点的距离为10，则P 点的坐标为________．解析：设P (x P ，y P )，∵点P 到焦点的距离等于它到准线x ＝－2的距离，∴x P ＝8，y P ＝±8.故P 点坐标为(8，±8)．答案：(8，±8)6．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点________．解析：动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过焦点，焦点坐标为(2,0)．答案：(2,0)7．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．解析：如图，过点Q 作Q A 垂直准线l ，垂足为A ，则Q A 与抛物线的交点即为P 点．易求P ⎝⎛⎭⎫14，－1. 答案：⎝⎛⎭⎫14，－1 8．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.解析：如图，由直线AF 的斜率为－3，得∠AFH ＝60°，∠FAH ＝30°，∴∠PAF ＝60°.又由抛物线的定义知|PA |＝|PF |， ∴△PAF 为等边三角形．由|HF |＝4得|AF |＝8，∴|PF |＝8. 答案：8 三、解答题9．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标．解：由已知设抛物线的标准方程是x 2＝－2py ，(p >0)或y 2＝－2px (p >0)，把P (－2，－4)代入x 2＝－2py 或y 2＝－2px 得 p ＝12或p ＝4，故所求的抛物线的标准方程是x 2＝－y 或y 2＝－8x . 当抛物线方程是x 2＝－y 时，焦点坐标是F ⎝⎛⎭⎫0，－14，准线方程是y ＝14. 当抛物线方程是y 2＝－8x 时，焦点坐标是F (－2,0)，准线方程是x ＝2.10．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点． (1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1,1)，求|PA |＋d 的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解：(1)依题意，抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 由抛物线的定义，知|PF |＝d ，于是问题转化为求|PA |＋|PF |的最小值．如图，连接AF ，交抛物线于点P ，则最小值为22＋12＝ 5. (2)把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12，因为12>2，所以点B 在抛物线内部．自点B 作B Q 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1(如图)．由抛物线的定义，知|P 1Q |＝|P 1F |，则|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|B Q |＝3＋1＝4. 即|PB |＋|PF |的最小值为4.。

高二数学选修2-1 抛物线的简单几何性质

高二数学选修2-1抛物线的简单几何性质【基础知识精讲】抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下：图形标准方程 y 2=2px(p ＞0)y 2=-2px(p ＞0)x 2=2py(p ＞0)x 2=-2py(p ＞0)焦点坐标 (2p,0) (-2p,0) (0,2p ) (0，-2p ) 准线方程 x=-2px=2p y=-2py=2p X 围x ≥0x ≤0 y ≥0 y ≤0 对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴顶点(0，0)(0，0) (0，0) (0，0) 离心率 e=1 e=1e=1e=1焦半径｜PF ｜=x 0+2p ｜PF ｜=2p -x 0 ｜PF ｜=2p +y 0 ｜PF ｜=2p -y 0 参数p 的几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.本节学习要求：1.抛物线方程的确定，先由几何性质确定抛物线的标准方程，再用待定系数法求其方程.2.解决有抛物线的弦中点问题及弦长问题与椭圆、双曲线一样，利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决.3.抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样.常用方法有轨迹法、代入法、定义法.参数法等.证明的方法是解析法.通过学习本节内容，更进一步培养我们学习数学的兴趣，培养良好的思维品质.运用数形结合的思想方法解决问题，提高分析问题和解决的能力.【重点难点解析】1.抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心.通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.应熟练掌握抛物线的四种标准方程.本节重点是抛物线的简单几何性质，难点是几何性质的灵活应用.例1 已知抛物线顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点(x 0，-8)到焦点的距离等于17，求抛物线方程.分析设方程为y 2=2px(p ＞0)或y 2=-2px(p ＞0)则 x 0+2p =17或2p-x 0=17 即 x 0=17-2p 或x 0=2p-17将(17-2p ，-8)代入y 2=2px解得 p=2或p=32 将(2p -17，-8)代入y 2=-2px 解得 p=2或p=32∴所求抛物线方程为y 2=±4x 或y 2=±64x.例2 求抛物线y 2=4x 中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.分析本例可设平行弦的纵截距为参数、运用判别式及韦达定理、中点坐标公式来求，也可设点参数运用点差法求解.设AB 是抛物线中斜率为2的平行弦中任一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)AB 中点M(x,y)由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--=+=+==2224421212121222121x x y y yy y x x x x y xy 得：y=1 代入y 2=4x 得x=41 ∴轨迹方程为y=1(x ＞41)例3 设点A 和B 为抛物线y 2=4px(p ＞0)上原点以外的两个动点.已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB 于M ，求点M 的轨迹方程，并说明表示什么曲线.分析设A(4pt 21,4pt 1)，B(4pt 22,4pt 2)，OA 、OB 的斜率分别为k OA 、k OB 则 k OA =11t ,k OB =21t由OA ⊥OB ，得 k OA ·k OB =211t t =-1⇒t 1t 2=-1① ∵点A 在AB 上，得直线AB 的方程为 y-4pt 1=211t t + (x-4pt 21)② 由OM ⊥AB ，得直线OM 方程为 y=-(t 1+t 2)x ③设点M(x,y),则x,y 满足②③两式将②化为：y(t 1+t 2)=x+4pt 1t 2=x-4p ④ 由③×④得：x 2+y 2-4px=0 ∵A 、B 是原点以外的两点 ∴x ≠0∴点M 的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆(去掉原点).【难题巧解点拨】例1 已知抛物线y 2=2px 上两点A 、B ，BC ⊥x 轴交抛物线于C ，AC 交x 轴于E ，BA 延长交x 轴于D ，求证：O 为DE 中点.分析只需证出D 、E 两点的横坐标互为相反数即可，设A(2pt 21,2pt 1)，B(2pt 22,2pt 2)则 C(2pt 22,-2pt 2) AC ：y-2pt 1=211t t -(x-2pt 21) 令y=0,得x D =2pt 1t 2 BA ：y-2pt 1=211t t + (x-2pt 21) 令y=0,得x E =-2pt 1t 2 ∴x D +x E =0即O 为DE 中点.例2 设抛物线过定点A(0，2)且以x 轴为准线. (Ⅰ)试求抛物线顶点M 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)如果点P(a,1)不在线段y=1(-2≤x ≤2)上，那么当a 取何值时，过P 点存在一对互相垂直的直线同时与曲线C 各有两个交点?分析 (Ⅰ)设抛物线顶点M(x,y)，y ＞0，则其焦点为F(x,2y). 据抛物线定义有22)22(-+y x =2即 42x +(y-1)2=1(y ≠0)∴抛物线顶点M 的轨迹C 的方程是42x +(y-1)2=1(y ≠0) (Ⅱ)过P 点的直线可设为l :y-1=k(x-a).由已知P(a,1)不在曲线C 上，则⎩⎨⎧=-++-=4)1(41)(22y x a x k y 消去y ，得x 2+4k 2(x-a)2=4 即(1+4k 2)x 2-8k 2ax+4(k 2a 2-1)=0 ∴△=16［k 2(4-a 2)+1］过点P 存在一对互相垂直的直线同时与曲线C 各有两个不同的交点的充要条件是关于斜率k 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-01)4(101)4(2222a ka k 有解 ∵点P 不在直线y=1(-2≤x ≤2)上，∴｜a ｜＞2，4-a 2＜0.∴上不等式组可化为⎪⎩⎪⎨⎧->-<4,412222a k a k∴a 2-4<412-a 解a 2＜5又｜a ｜＞2,∴2＜｜a ｜＜5 即a ∈(-5,-2)∪(2,5)【命题趋势分析】本节与椭圆、双曲线的相同内容相似，都是高考的重要内容.圆锥曲线的基础知识；直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦及弦的中点的轨迹问题；圆锥曲线中的有关最值问题等等.本章内容为高考压轴题的高频题.【典型热点考题】例1 抛物线y=x 2的弦AB 保持与圆x 2+y 2=1相切移动，求过A 、B 的抛物线的切线交点的轨迹方程.分析一如图，设抛物线弦AB 与圆x 2+y 2=1相切于P(x 0,y 0),则过P 点的圆的切线方程为x 0x+y 0y=1.由⎩⎨⎧==+2001xy y y x x 得y 0x 2+x 0x-1=0设A 的坐标为(x 1,x 21),B(x 2,x 22)，由韦达定理，得 x 1+x 2=-00y x ,x 1·x 2=-01y又过A 、B 两点的抛物线的切线方程分别为 y+x 12=2x 1x,y+x 22=2x 2x ，则两切线交点Q(x,y)是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+xx x y x x x y 22212122②①①-②得x 21-x 22=2(x 1-x 2)x. ∴ 2x=x 1+x 2=-y x ③①×x 2-②×x 1得(x 2-x 1)y+x 1x 2(x 1-x 2)=0 ∴y=x 1x 2=-1y ④ 由③、④得x 0=y x 2,y 0=-y1∵P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上， ∴(y x 2)2+(-y1)2=1 即 y 2-4x 2=1,这是双曲线.由条件知，所求轨迹是焦点在y 轴上，a=1、b=21的双曲线的下支的一部分. 分析二设抛物线的弦AB 与圆切于点P(x 0,y 0)，则过P 点的圆的切线AB 的方程为 x 0x+y 0y=1①设过A 、B 两点的抛物线切线交点为Q(α，β)则AB 为抛物线的切点弦，其方程为 y+β=2αx ② 由①、②表示同一直线，于是有α20x =10-y =β1 ∴x 0=βα2 y 0=-β1 ∵P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上，∴(βα2)2+(-β1)2=1, 即β2-4α2=1,故 y 2-4x 2=1(x ∈R,y ＜0)例2 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用如图甲所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用如图乙所示的抛物线段表示.(1)写出如图甲所示市场售价与时间的函数关系式P ＝f(t)；写出如图乙所示种植成本与时间的函数关系式Q ＝g(t).(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? (注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)解：(1)f(t)＝⎩⎨⎧≤<-≤≤-.300200,3002,2000,300t t t tg(t)＝2001 (t-150)2+100,0≤t ≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)＝f(t)-g(t),即h(t)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,2175********t t t t t t当0≤t ≤200时，配方整理得 h(t)＝-2001(t-50)2+100, 所以，当t ＝50时，h(t)取得区间［0，200］上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得 h(t)＝-2001(t-350)2+100 所以，当t ＝300时，h(t)取得区间(200，300］上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.【同步达纲练习】A 级一、选择题1.若A 是定直线l 外的一定点，则过A 且与l 相切圆的圆心轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线一支 D.抛物线2.抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离是( ) B.5D.103.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( )A.y 2=11xB.y 2=-11xC.y 2=22xD.y 2=-22x4.过抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点且垂直于x 轴的弦AB ，O 为抛物线顶点，则∠AOB( ) A.小于90°B.等于90° C.大于90°D.不能确定5.以抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为( ) A.相交B.相离C.相切D.不确定二、填空题6.圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是.7.若以曲线252x +162y =1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A 、B 两点，则｜AB ｜=.8.若顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15，则此抛物线的方程是.三、解答题9.抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，-1)作直线l 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FABR ，试求动点R 的轨迹方程.10.是否存在正方形ABCD ，它的对角线AC 在直线x+y-2=0上，顶点B 、D 在抛物线y 2=4x 上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.AA 级一、选择题1.经过抛物线y 2=2px(p ＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( ) A.p B.2pC.4pD.不确定2.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则｜AB ｜为( ) A.15B.415C.215D.423.曲线2x 2-5xy+2y 2=1( ) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称，但不关于y=x 对称D.关于直线y=x 对称也关于直线y=-x 对称4.若抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 的中点为(x 0,y 0)(y ≠0)，则弦PQ 的斜率为( ) A.-0x p B.0y p C.px -D.-px 0 5.已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则2121x x y y 的值一定等于( )A.4B.-4C.p 2D.-p 2二、填空题6.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为.7.以椭圆52x +y 2=1的右焦点F 为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是A ，则｜AF ｜=.8.若△OAB 为正三角形，O 为坐标原点，A 、B 两点在抛物线y 2=2px 上，则△OAB 的周长为. 三、解答题9.抛物线y=-22x 与过点M(0，-1)的直线l 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA和OB 斜率之和为1，求直线l 的方程.10.已知半圆的直径为2r ，AB 为直径，半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直，垂足为T ，且｜TA ｜=2a(2a ＜2r),半圆上有M 、N 两点，它们与直线l 的距离｜MP ｜、｜NQ ｜满足条件｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜，求证：｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜.【素质优化训练】一、选择题1.过点A(0，1)且与抛物线y 2=4x 有唯一公共点的直线的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.42.设抛物线y=ax 2(a ＞0)与直线y=kx+b 相交于两点，它们的横坐标为x 1,x 2,而x 3是直线与x 轴交点的横坐标，那么x 1、x 2、x 3的关系是( )A.x 3=x 1+x 2B.x 3=11x +21x C.x 1x 2=x 2x 3+x 3x 1D.x 1x 3=x 2x 3+x 1x 2 3.当0＜k ＜31时，关于x 的方程x 2=kx 的实根的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.已知点A(1，2)，过点(5，-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B 、C ，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定5.将直线x-2y+b=0左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，则实数b 的值等于( )A.-1B.1C.7D.9 二、填空题6.抛物线y 2=-8x 被点P(-1，1)所平分的弦所在直线方程为.7.已知抛物线y 2=2x 的弦过定点(-2，0)，则弦AB 中点的轨迹方程是. 8.已知过抛物线y 2=2px 的焦点F 的弦AB 被F 分成长度为m 、n 的两部分，则m 1+n1=. 三、解答题9.已知圆C 过定点A(0，p)(p ＞0)，圆心C 在抛物线x 2=2py 上运动，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦，设｜AM ｜=m,｜AN ｜=n ，∠MAN=θ.(1)当点C 运动时，｜MN ｜是否变化?写出并证明你的结论?(2)求m n +nm的最大值，并求取得最大值时θ的值和此时圆C 的方程.10.已知抛物线y 2=4ax(0＜a ＜1)的焦点为F ，以A(a+4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点，(Ⅰ)求｜MF ｜+｜NF ｜的值；(Ⅱ)是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.【生活实际运用】1.已知点P(x 0,y 0)在抛物线含焦点的区域内，求证以点P 为中点的抛物线y 2=2px(p ＞0)的中点弦方程为yy 0-p(x+x 0)=y 20-2px 0注：运用求中点弦的方法不难求出结论，这一结论和过抛物线y 2=2px 上点的切线方程有什么联系?若P(x 0,y 0)为非对称中心，将抛物线y 2=2px 换成椭圆22a x +22b y =1或双曲线22a x -22by =1，它们的中点弦存在的话，中点弦方程又将如何?证明你的结论.中点弦方程在高考中多以选择题、填空题的形式出现.2.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，O 恰在圆形水面中心，OA=1.25米.安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过OA 的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA 距离1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?分析根据图形的对称性，设出并求出一边的抛物线的方程，便可求出水池的半径. 以OA 所在直线为y 轴，过O 点作oy 轴的垂直线ox 轴，建立直角坐标系如图依题意A(0，1.25)，设右侧抛物线顶点为则B(1，2.25)，抛物线与x 轴正向交点为C ，OC 即圆型水池的半径.设抛物线ABC 的方程为 (x-1)2=-2p(y-2.25) 将A(0，1.25)代入求得p=21 ∴抛物线方程为(x-1)2=-(y-2.25) 令y=0，(x-1)2=1.52,x=2.5(米)即水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不致落到池外.【知识验证实验】1.求函数y=136324+--x x x -124+-x x 的最大值.解：将函数变形为y=222)2()3(---x x -222)1(-+x x ，由几何意义知，y 可以看成在抛物线f(x)=x 2上的点P(x,x 2)到两定点A(3，2)和B(0，1)的距离之差，∵｜PA ｜-｜PB ｜≤｜AB ｜，∴当P 、A 、B 三点共线，且P 在B 的左方时取等号，此时P 点为AB 与抛物线的交点，即P 为(6371-，183719-)时，y max =｜AB ｜=10. 2.参与设计小花园的喷水池活动. 要求水流形状美观，水流不落池外.【知识探究学习】1.如图，设F 是抛物线的焦点，M 是抛物线上任意一点，MT 是抛物线在M 的切线，MN 是法线，ME 是平行于抛物线的轴的直线.求证：法线MN 必平分∠FME ，即φ1=φ2.解：取坐标系如图，这时抛物线方程为y 2=2px.(p ＞0)，因为ME 平行x 轴(抛物线的轴)，∴φ1=φ2,只要证明φ1=φ3，也就是△FMN 的两边FM 和FN 相等.设点M 的坐标为(x 0,y 0)，则法线MN 的方程是y-y 0=-py 0(x-x 0),令y=0，便得到法线与x 轴的交点N 的坐标(x 0+p,0)，所以｜FN ｜=｜x 0+p-2p ｜=x 0+2p ,又由抛物线的定义可知，｜MF ｜=x 0+2p,∴｜FN ｜=｜FM ｜,由此得到φ1=φ2=φ3，若M 与顶点O 重合，则法线为x 轴，结论仍然成立.2.课本第124页阅读材料：圆锥曲线的光学性质及其应用参考答案: 【同步达纲练习】A 级1.D2.B3.D4.C5.C6.(x-21)2+(y ±1)2=17.3100 8.y 2=12x 或y 2=-4x 9.解：设R(x,y),∵F(0,1),∴平行四边形FARB 的中心为C(2x ,21+y ),l :y=kx-1,代入抛物线方程，得x 2-4kx+4=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2-16＞0，即|k|＞1 ①，∴y 1+y 2=42221x x +=42)(21221x x x x -+=4k 2-2,∵C为AB 的中点.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=+=1222122222121k y y y k x x x ⇒⎩⎨⎧-==3442k y k x 消去k 得x 2=4(y+3),由①得，｜x ｜＞4，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)(｜x ｜＞4).10.解：设存在满足题意的正方形.则BD ：y=x+b,代入抛物线方程得x 2+(2b-4)x+b 2=0,∴△=(2b-4)2-4b 2=16-16b ＞0,∴b ＜1, ①，设B(x 1,y 1),D(x 2,y 2),BD 中点M(x 0,y 0),则x 1+x 2=4-2b,∴x 0=2-b,y 0=x 0+b=2,∵M 在AC 直线上，∴(2-b)+2-2=0，∴b=2与①相矛盾，故不存在满足要求的正方形.AA 级1.B2.C3.D4.B5.B6.27.95-188.123p9.解：设l :y=kx-1,代入y=-22x ,得x 2+2kx-2=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=-2k,x 1x 2=-2,又11x y +22x y =111x kx -+221x kx -=2k-2121x x x x +=2k-22--k =k=1，∴直线l 的方程为y=x-1. 10.证明：由｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜知M 、N 在以l 准，A 为焦点的抛物线上，建立直角坐标系，设抛物线方程为y 2=2px ，又｜TA ｜=2a=p,∴抛物线方程为y 2=4ax ，又圆的方程为(x-a-r)2+y 2=r 2，将两方程相减可得：x 2+2(a-r)x+a 2+2ar=0，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2r-2a,∴｜AM ｜+｜AN ｜=｜PM ｜+｜QN ｜=x 1+x 2+2a=2r,即｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜【素质优化训练】1.C2.C3.D4.C5.C6.4x+y+3=07.y 2=x+2(在已知抛物线内部的部分) 8.2p9.解：(1)设圆心C(x 0,y 0),则x 20=2py 0，圆C 的半径｜CA ｜=2020)(p y x -+，其方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=x 20+(y 0-p)2,令y=0，并将x 20=2py 0，代入，得x 2-2x 0x+x 20-p 2=0，解得x m =x 0-p,x N =x 0+p,∴｜MN ｜=｜x N -x M ｜=2p(定值)(2)∵m=｜AM ｜=220)(p p x +-,n=｜AN ｜=220)(p p x ++,∴m 2+n 2=4p 2+2x 20,m ·n=4044x p +，∴m n +n m =mn n m 22+=40422424x p x p ++=20202)(4y p p y p p ++=220)(2y p y p ++=222021y p py ++≤22，当且仅当y 0=p 时等号成立，x 0=±2p ，此时△M 为等腰直角三角形，且∠M=90°，∴∠MAN=21∠M=45°，故当θ=45°时，圆的方程为(x-2 p)2+(y-p)2=2p 2或(x+2p)2+(y-p)2=2p 210.解：(1)由已知得F(a,0),半圆为［x-(a+4)］2+y 2=16(y ≥0)，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则｜MF ｜+｜NF ｜=x 1+x 2+2a=2(4-a)+2a=8(2)若｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等成数列，则有2｜PF ｜=｜MF ｜+｜NF ｜,另一方面，设M 、P 、N 在抛物线的准线上的射影为M ′、P ′、N ′，则在直角梯形M ′MNN ′中，P ′P 是中位线，又有2｜P ′P ｜=｜M ′M ｜+｜N ′N ｜=｜MF ｜+｜FN ｜,因而｜PF ｜=｜P ′P ｜,∴P 点应在抛物线上，但P点是线段MN的中点，即P并不在抛物线上，故不存在使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列的a值.。

人教版高中数学选修(2-1)-2.4知识归纳：抛物线

2.3抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程
1、定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.
2、抛物线标准方程的求解：
取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 交于K ，以线段K F 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，如右图所示，则有F （
2p ,0）,l 的方程为x =-2
p
. 设动点M （x ,y ），由抛物线定义得：
2
)2(22p
x y p x +=+-
化简得 y 2=2px (p ＞0)
3、列出抛物线四种形式表：
2.3.2抛物线的简单几何性质
1.范围
因为p＞0，由方程可知x≥0，所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
2.对称性
可根据求椭圆与双曲线对称性的方法得到，在y2=2px(p＞0)，以-y代y，方程不变，所以抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
3.顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当y=0时x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点.这与椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点不同.
4.离心率
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知e=1.
5.抛物线的几何性质表：
6.总结：
（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；
（3）抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
（4）抛物线的离心率是确定的，为1.。

高中数学选修2-1抛物线的几何性质

方程图形
l
结
范围对称轴顶点离心率
x轴 y
O F x
y 2 px
2
( p 0)
y 2 px
2
x0 x0
y0 y0
y
F
l O
x
( p 0)
x轴
x 2 py
2
y
O
(0, 0)
y轴 y轴e 1源自Fl x l( p 0)
x 2 py
2
y
O
( p 0)
F
x
例1、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm，求抛物线的标准方程及焦点的位置。
抛物线的几何性质
上述是我们上节课所学得抛物线的几种标准方程形式,这节课我们来研究抛物线的简单几何性质:
范围
对称性顶点
离心率
(二)、抛物线的几何性质
1、
范围
y
P(x,y)
由抛物线y2 =2px（p>0）
而
2 px y 0
2
o
x0
p0
F(
p ,0 ) 2
x
所以抛物线的范围为 x 0
1 2
o
x
即A,B关于x轴对称。
3 x y 由可得 3 y 2 2 px x 6 p , y 2 3 p、即 | AB | 4 3 P .
B
[思考题]
1.抛物线y=4x2上到直线y=4x-5的距离
最短的点的坐标是------------------. 2.过抛物线y=ax2 (a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与 1 1 FQ的长分别为p,q.则 .

人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_抛物线的方程与性质_提高

人教版高中数学选修2-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习抛物线的方程与性质【学习目标】1．掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程.2．理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 3．能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题. 4. 进一步体会数形结合的思想方法. 【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．要点诠释:(1) 上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值(2) 定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上，若F 在l 上，抛物线变为过F 且垂直与l 的一条直线.(3) 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.要点二、抛物线的标准方程标准方程的推导如图，以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴,垂足为K.以F,K 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p ＞0)，那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-. 设点M （x,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==..|2|)2(|,2|,)2(||2222p x y p x px d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>. ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2p x =-. 抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高中数学选修2-1抛物线知识点与典例精析知识点一抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．知识点二抛物线的标准方程与几何性质O(0,0)规律与方法：解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．例1已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为()A.172B．3C.5D.92例2(2015年10月学考)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，若F到直线y＝3 x的距离为3，则p等于()A．2B．4C．23D．43例3(2016年10月学考)已知抛物线y2＝2px过点A(1,2)，则p＝________，准线方程是________________．例4已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(4，－22)，则它的标准方程为________．例5已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．例6已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且|AB|＝52p，求AB所在直线的方程．例7 过抛物线y 2＝2x 的顶点作互相垂直的两条弦OA ，OB . (1)求AB 的中点的轨迹方程； (2)求证：直线AB 过定点．一、选择题1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A ．(12，0) B ．(14，0) C ．(0，18)D ．(0，14)2．已知抛物线y ＝4x 2上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716B ．1516C ．78D ．03．已知抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A ．－18B ．18C ．8D ．－84．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为( ) A ．5B ．10C ．20D.155．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18B ．24C ．36D ．486．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( ) A ．(0,0)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2,2)7．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为x ＝－1，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( ) A ．y ＝2x －3 B ．y ＝－2x ＋5 C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝x －18．设抛物线C ：y 2＝16x ，斜率为m 的直线l 与C 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，O 为坐标原点，则直线l 恒过定点( ) A ．(8,0) B ．(4,0) C ．(16,0) D ．(6,0)二、填空题9．若点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程是__________．10．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________. 11．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________． 12．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________. 三、解答题13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．答案精析知识条目排查知识点一相等焦点准线题型分类示例例1A如图，由抛物线定义知|P A|＋|PQ|＝|P A|＋|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|P A|＋|PF|的最小值，则当A、P、F三点共线时，|P A|＋|PF|取得最小值．又A(0,2)，F(12，0)，∴(|P A|＋|PF|)min＝|AF|＝(0－12)2＋(2－0)2＝172.]例2B由抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(p2，0)．F到直线y＝3x的距离为3，可得|3p2|(3)2＋(－1)2＝3，解得p＝4，故选B.]例32x＝－1例4y2＝2x解析由题意可知抛物线的焦点在x轴上，设方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)．若方程为y 2＝2px (p >0)，则8＝2p ×4，得p ＝1，故方程为y 2＝2x ；若方程为y 2＝－2px (p >0)，则8＝－2p ×4，得p ＝－1，不符合条件，故不成立．所以抛物线的标准方程为y 2＝2x . 例5 x 2＝－12y解析设动圆圆心M (x ，y )，半径为r ，根据题意可得⎩⎨⎧y <2，r ＝|y －2|，x 2＋(y ＋3)2＝1＋r ，解得x 2＝－12y .例6 解方法一焦点F (p2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p ，∴直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2. ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋1k 2)·(y 1－y 2)2 ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝2p (1＋1k 2)＝52p ，解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)．方法二如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设A ，B 到准线的距离分别为d A ，d B ，由抛物线的定义知， |AF |＝d A ＝x 1＋p 2，|BF |＝d B ＝x 2＋p2，于是|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2时，|AB |＝2p <52p ， ∴直线AB 与Ox 不垂直．设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2，∴直线AB 的方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)．例7 (1)解设直线OA 的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1k x . 联立直线OA 与抛物线的方程知，点A 的坐标为(2k 2，2k )，联立直线OB 与抛物线的方程知，点B 的坐标为(2k 2，－2k )，则AB 的中点M 的坐标为(1k 2＋k 2，1k －k )，故点M 的轨迹方程为x ＝y 2＋2.(2)证明由(1)可知k AB ＝－k －1kk 2－1k 2＝－1k －1k＝－k k 2－1，则直线AB 的方程为y －(1k －k ) ＝－k k 2－1x －(1k 2＋k 2)]，整理，得y ＝－kk 2－1(x －2)．所以直线经过定点(2,0)．考点专项训练1．C 抛物线y ＝2x 2的标准形式为x 2＝12y ， ∴p ＝14，则p 2＝18， ∴焦点坐标是(0，18)．]2．B 抛物线y ＝4x 2的标准形式为x 2＝14y ， ∴其准线方程为y ＝－116，设点M 的纵坐标是y 0，由抛物线的定义，得y 0＋116＝1， ∴y 0＝1516.] 3．A4．B 设P (x 0，y 0)，依题意可知抛物线准线方程为x ＝－1， ∴x 0＝5－1＝4，∴|y 0|＝4×4＝4， ∴△MPF 的面积为12×5×4＝10.]5．C 不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，依题意，l ⊥x 轴，且焦点F (p2，0)， ∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴|AB |＝2p ＝12，∴p ＝6，又点P 到直线AB 的距离为p 2＋p2＝p ＝6，故S △ABP ＝12|AB |·p ＝12×12×6＝36.]6．D 由题意得F (12，0)，准线方程为x ＝－12. 设点M 在准线x ＝－12上的射影为P ，则M 到准线的距离为d ＝|PM |，则由抛物线的定义得|MA |＋|MF |＝|MA |＋|PM |，故当P 、A 、M 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值为|AP |＝3－(－12)＝72. 把y ＝2代入抛物线y 2＝2x ，得x ＝2，故点M 的坐标是(2,2)．] 7．A ∵抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为x ＝－1， ∴－p2＝－1，∴p ＝2， ∴抛物线的方程为y 2＝4x . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得 (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，∴直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，从而直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即y ＝2x －3.]8．C 设直线l ：x ＝my ＋b (b ≠0)，代入抛物线y 2＝16x ，可得y 2－16my －16b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝16m ，y 1y 2＝－16b ， ∴x 1x 2＝(my 1＋b )(my 2＋b )＝b 2， ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，可得b 2－16b ＝0，∵b ≠0，∴b ＝16，∴直线l ：x ＝my ＋16， ∴直线l 过定点(16,0)．] 9．y 2＝16x解析点P 到点F 的距离与到x ＝－4的距离相等，由抛物线定义，知点P 轨迹为抛物线，设y 2＝2px ，由p2＝4，知p ＝8.10．1或0解析由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.因此若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1. 11．(18，±24)解析设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋(x )2，由题意有x ＋14＝x 2＋(x )2，∴x ＝18， ∴此点坐标为(18，±24)． 12．8 解析如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)．设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6， ∴|PF |＝x 0＋2＝8.13．证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)．由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p (my ＋p2)，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)因为y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p (定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．。