画法几何换面法、综合问题大理
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画法几何制图换面法
画法几何制图换面法画法几何制图是建筑、机械和电子等设计领域必备的技能。
它的一个重要部分就是“换面法”，它是通过将一个多面体拆分成多个简单的平面形状，然后再用这些形状来绘制其三维图形的方法。
本文将为你介绍如何运用换面法来画一个简单的多面体。
准备工作在开始绘制之前，需要准备以下工具：•笔和铅•直尺•三角尺•绘画纸步骤一：绘制立方体首先，我们要绘制一个基本的多面体，例如一个立方体。
为了做到这一点，我们可以绘制一个正方形（底面），并且在各个角上画上垂直于底面的线段（高），使这些线段接到正方形相应角点处，最后将所有线段相互连接即可形成一个立方体。
注意，在纵向和横向线段的描绘上，需要保持符合比例。
步骤二：拆分面以上述步骤绘制出来的立方体为例，我们需要将其所有的面分成矩形或正方形。
为此，我们需要通过连接每个相邻的面的棱角，将多面体拆解，并且用铅笔标上每个矩形或正方形的上下左右面，使得它们更加容易被识别。
步骤三：绘制每个面在拆分面后，我们可以将每个面单独绘制出来。
为此，我们需要将每个面放在纸上，并用三角尺和直尺来绘制它们。
对于不同的矩形，我们可以采用不同的绘制方法。
例如，对于一条平行于底面的直线，我们可以在每个与之相交的四边形上绘制这条直线，并保持符合比例。
在绘制完每个面后，我们应该标记好它们的相对位置。
步骤四：组成三维图形通过绘制每个面，我们可以将它们组合起来形成多面体的三维图形。
为此，我们应该将每个面按照它的相对位置粘贴到一张透明的塑料纸上，并对其进行调整，使得它们适当地重叠在一起。
这将帮助我们清晰地了解多面体的整体形状。
在这篇文章中，我们介绍了一个基本的画法几何制图技巧——换面法，以及如何使用这个技巧来画一个简单的多面体。
换面法可以帮助我们将多面体拆分成更简单的形状，并在绘制每个形状后重新组装它们来形成三维图形。
这个技巧在建筑、机械和电子等领域的设计工作中都得到了广泛应用。
画法几何换面法
换面法的投影规律： V、H面上的投影； 在对几何要素进行投影变换 时，仍旧遵循着正投影的基本 规律以及投影面的展开方法。
换面法的投影面转换过程如图所示。
点击演示动画
三、点的投影变换 1、点的一次变换 V、H两投影面体系中有一A点，现在适当位置设一V1面，
V1和H面构成新的两投影面体系。
A点在V1面上的正投影记做 a1'。a1'与a的连线和O1X1轴的 交点记做ax1。
§5 - 4 换面法
一、换面法的基本概念 变换投影面即“换面法”。根据正投影的“真实性” ，
当空间的直线或平面与投影面平行时，其投影能够反映 直线的实长和平面的真实的形状。根据正投影的“积聚 性” ，当空间的直线或平面与投影面垂直时，其投影积 聚成点或直线。
变换投影面的基本原理是：设置新的投影面来代替原 来的某一投影面，并使新投影面与空间几何元素处于平 行或垂直的特殊位置。且使新投影面与原未被替换的投 影面垂直。
点的新投影与不变投影的连线垂直于新轴； 点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到
旧轴的距离。
需要注意的是：谁是点的不变投影、被替换的投影。
1、点的一次变换
例：如下图，已 知A点的两面投 影a'、a，试作出 给定位置的A点 新投影。
作图分析：
从 图 中 标 注 可 知 变 换 的 是 V1 投 影 面，a′为被替换的投影，a为不变投 影。按照点的变换规律即可作出A点 的新投影。
3、将一般位置直线变换为投影面垂直线
要将一般位置直线变换为投影面垂直线则需要作两次 换面。从下图可看出，第一次换面将直线变换为投影面 平行线。再将投影面平行线变换成投影面垂直线，使变 换后直线的新投影积聚为一点。
例：试将AB直线变换为一投影面垂直线。 作图分析：
换面法的投影面转换过程如图所示。
点击演示动画
三、点的投影变换 1、点的一次变换 V、H两投影面体系中有一A点，现在适当位置设一V1面，
V1和H面构成新的两投影面体系。
A点在V1面上的正投影记做 a1'。a1'与a的连线和O1X1轴的 交点记做ax1。
§5 - 4 换面法
一、换面法的基本概念 变换投影面即“换面法”。根据正投影的“真实性” ，
当空间的直线或平面与投影面平行时，其投影能够反映 直线的实长和平面的真实的形状。根据正投影的“积聚 性” ，当空间的直线或平面与投影面垂直时，其投影积 聚成点或直线。
变换投影面的基本原理是：设置新的投影面来代替原 来的某一投影面，并使新投影面与空间几何元素处于平 行或垂直的特殊位置。且使新投影面与原未被替换的投 影面垂直。
点的新投影与不变投影的连线垂直于新轴； 点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到
旧轴的距离。
需要注意的是：谁是点的不变投影、被替换的投影。
1、点的一次变换
例：如下图，已 知A点的两面投 影a'、a，试作出 给定位置的A点 新投影。
作图分析：
从 图 中 标 注 可 知 变 换 的 是 V1 投 影 面，a′为被替换的投影，a为不变投 影。按照点的变换规律即可作出A点 的新投影。
3、将一般位置直线变换为投影面垂直线
要将一般位置直线变换为投影面垂直线则需要作两次 换面。从下图可看出，第一次换面将直线变换为投影面 平行线。再将投影面平行线变换成投影面垂直线，使变 换后直线的新投影积聚为一点。
例：试将AB直线变换为一投影面垂直线。 作图分析：
画法几何及工程制图习题答案
c1’
e1’
5
b1’
11-2 直线DE与三角形ABC平行，距离为15。求作DE的投影。
b’ e’
a’
c’
b
m’
e‘ d‘
a
e
15
e
m
d
c
11-3 过点S作平面既垂直于平面CDE，又垂直于直线AB。并求ab.
s1
b1
b’ c’
a1
11 1’
a’
s’
b 1s
a
c
a‘1
b’1
s’1
c1’d1’
H e1’ V1 X1
e’
a1b1
m’
g’ b’
11
n’
c1
a’
d’ f’ f
1’
c’
1 a
b
n
m g
c
a1’ 11’
d2e2 11’
11-10 作直线MN与DE、FG相交，与三角形ABC垂直。
e’
1’ g’ b’
k’
a’
2’ f’
d’
c’
f
a
b
1
d
k
2
g
c
11-11 正方形ABCD与H面的夹角α=30，AD边在AE上，B点到MN等距。
c’
a’ d’
d a
c
a2
d2 60
b’
c2
b2
a1’ b1’
d1
b
c1’
11-6求两平面的夹角。
a’
d’ c’
b’ c
a c1
c2
a1b1
a1
θ
d2
d
b b1 d1
11-7过A作直线与AB、CD均相交
e1’
5
b1’
11-2 直线DE与三角形ABC平行，距离为15。求作DE的投影。
b’ e’
a’
c’
b
m’
e‘ d‘
a
e
15
e
m
d
c
11-3 过点S作平面既垂直于平面CDE，又垂直于直线AB。并求ab.
s1
b1
b’ c’
a1
11 1’
a’
s’
b 1s
a
c
a‘1
b’1
s’1
c1’d1’
H e1’ V1 X1
e’
a1b1
m’
g’ b’
11
n’
c1
a’
d’ f’ f
1’
c’
1 a
b
n
m g
c
a1’ 11’
d2e2 11’
11-10 作直线MN与DE、FG相交，与三角形ABC垂直。
e’
1’ g’ b’
k’
a’
2’ f’
d’
c’
f
a
b
1
d
k
2
g
c
11-11 正方形ABCD与H面的夹角α=30，AD边在AE上，B点到MN等距。
c’
a’ d’
d a
c
a2
d2 60
b’
c2
b2
a1’ b1’
d1
b
c1’
11-6求两平面的夹角。
a’
d’ c’
b’ c
a c1
c2
a1b1
a1
θ
d2
d
b b1 d1
11-7过A作直线与AB、CD均相交
大学画法几何5投影变换
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线
b1
a1
b1
a1
求对哪个投影面的倾角 就平行那个投影作图
练习：4－2 用换面法求线段CD的实长和对V面的倾角β
CD实长
d1
求对哪个投影面的倾角 就平行那个投影作图
c1
d'
c'
X
V H
d
c
（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线
a1 b1
b
a1 b1
b
（三） 把一般位置直线变为投影面垂直线
d
b
a
a’1 ●
d● ’1
X
V H
c ac●’1●b’1 Nhomakorabeaθ
.
dc
.
b
a2≡ b2 ● θ ●d2
c2●
（三）综合问题
主要是实形（含角度）和距离问题的逆向应用：
✓[例8] 求平面ABC与直线DE的交点 将其中一个面转换成投 [例9] 求平面ABC与平面DEF的交线 影面的垂直面换面1次
[例10] E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e [例16]
投影变换
a2 b2
b1
V1
a1
X1
第4章 投影变换
§4-1 概 述
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行 或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实 形及其与投影面的倾角。
当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们 的投影面就不具备上述特性。
投影变换就是讲直线或平面从一般位置变换为和投 影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的度量和 定位问题。
15 b2
a2 e2
e1
d2
c2
画法几何 投影变换法换面
四、解题时一般要注意下面几个问题：
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体 与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几 何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新 投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行）， 据此选择正确的解题思路与方法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变 换前后的关系， 既要在新投影体系中正确无误地 求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。
垂直面。
思考：
X
若变换H面，需在面
内取什么位置直线？
正平线！
d b
A
a
c
D B
d b H
P1 C c1
a1 d1
c
b1
X1
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
b
a
d
作 图 过 程：
★ 在平面内取一条水平
c
XV H
线AD。
a
b
★ 将AD变换成新投影
d.
面的垂直线。
c
H
●α
●
●
反映平面对哪
X1 P1 c1 a1 d1 b1 个投影面的夹角？
15 b2
a2 e2
e1
d2
c2
e d
ed
小结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法。
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。
二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面 来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利 解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
浅谈“画法几何”中的换面法
, . :
,
由于
新投 影 面 与不 变投 影 面 仍 保 持垂 直 关 系 而 且 点 到
不变投 影面的距 离也保持 不 变 所 以 得到 点的换 面 法的基本规律
:
,
须 经两 次 换 面
1 | 1 一ō 奋
影 面 的 二次 换 乏
( l ) 点 的 新 投 影 与不 变 投 影 的 连 线 垂 直 于 新 的
、
袱分问 题
: :
:
通 过 应 用 换面 法 将 会变 得
工 如 何确 定 及 两 次 换面 时 的 顺序 在 直 线 与平 面 的 换 面 法 中 新 投 影 轴 的 位 置 是 有 要 求 的 而 不 是 任愈 放置 的
、 , . ,
械 冲 曹
份 从
厂下简单易行
掌 握好换 面 法 对 学 好
疚
一
、 ,
_
V
l 了
「 1 ,
_
_
入,Βιβλιοθήκη 的 投 影 上 述 内容 概 括 如下 不 能直 接 换 成
,
,
:
若用V
_
:
投 影 面代 替 V 投 影 面 则
_
须经 两 次 换 面 面的
…玫 份 体 杀 构成执的
,
_
_
.
_
_
U
I
甘x l
「 l ,
V
,
_ _ ,
其 投
V 投影面为旧
,
投影面
V
:
t
于 不变 的投 影
。 。 , , ,
的 实 长 ( 形 )及 其对投 影 面 的 倾 角
。
、
拼 p 和与 其有 关 的 一 系列空 间 几 : 何问 题 掌握好 换面法的 关键 在
,
由于
新投 影 面 与不 变投 影 面 仍 保 持垂 直 关 系 而 且 点 到
不变投 影面的距 离也保持 不 变 所 以 得到 点的换 面 法的基本规律
:
,
须 经两 次 换 面
1 | 1 一ō 奋
影 面 的 二次 换 乏
( l ) 点 的 新 投 影 与不 变 投 影 的 连 线 垂 直 于 新 的
、
袱分问 题
: :
:
通 过 应 用 换面 法 将 会变 得
工 如 何确 定 及 两 次 换面 时 的 顺序 在 直 线 与平 面 的 换 面 法 中 新 投 影 轴 的 位 置 是 有 要 求 的 而 不 是 任愈 放置 的
、 , . ,
械 冲 曹
份 从
厂下简单易行
掌 握好换 面 法 对 学 好
疚
一
、 ,
_
V
l 了
「 1 ,
_
_
入,Βιβλιοθήκη 的 投 影 上 述 内容 概 括 如下 不 能直 接 换 成
,
,
:
若用V
_
:
投 影 面代 替 V 投 影 面 则
_
须经 两 次 换 面 面的
…玫 份 体 杀 构成执的
,
_
_
.
_
_
U
I
甘x l
「 l ,
V
,
_ _ ,
其 投
V 投影面为旧
,
投影面
V
:
t
于 不变 的投 影
。 。 , , ,
的 实 长 ( 形 )及 其对投 影 面 的 倾 角
。
、
拼 p 和与 其有 关 的 一 系列空 间 几 : 何问 题 掌握好 换面法的 关键 在
5章-换面法
对平面：若求角，则将平面上的水平线换成垂直线 （即换V面，新轴垂直于水平线的H投影）； 若求β角，则将平面上的正平线换成垂直线 （即换H面，新轴垂直于正平线的V投影）。
[例1] 求点A到直线BC的距离和垂足的投影。 §6-3 十换二面五法规的划应教用材 例 1 ： 求 点 到 一 般 线 距 离
a'
O
X
a
绕铅垂轴旋转
b 轴线通过A点 d1
d' 绕正垂轴旋转
轴线通过C点
c' O
c
d
例
旋转法 (绕投影面垂直线旋转）
[例] 求铅垂面ABC的实形。
b1'
b'
十二五规划教材
垂 直 面 转 为 平 行 面
c1'
实形
c'
X
c1
b1
a' a
b
O
绕铅垂轴旋转 轴线通过A点
c
旋转法 (绕投影面垂直线旋转）
[例] 求一般面ABC的实形。
c f (h) n
点）、棱面CDHG的
V投影不可见；
e
m
b h1 (d) (d1)
§6-3 十换二面五法规的划应教用材例 7 ： 作 四 棱 柱 及 表 面 上 的 点 的 V 投 影
g1 (c1)
a
e1
f1 (b1)
(a1)
小结
十二五规划教材
小 结 — 求 线 面 与 投 影 面 的 倾 角
具体解题时,应将某个一般位置的直线或平面变换为特殊状态:
[例] 求线段的实长及倾角 。 （设立平面V1平行于线段AB，则新轴O1X1∥ab）
b1'
V
V1
11换面法的原理和应用换面法解决实际问题
2.6 换面法
【例2-16】 求交叉两直线AB、CD之间的距离及公垂线的投影。 分析 交叉两直线间的距离即是它们之间公垂线的实长。 如图2-63（a）所示，若使两交叉直线之一CD变换成新投影面H1的垂直线 时，AB、CD的公垂线MN 必为该投影面的平行线，MN在H1面上的投影m1n1反映 公垂线的实长;另一条直线AB虽为一般位置直线，但因MN⊥AB，由直角投影定 理得a1b1⊥m1n1，由此可定出公垂线的位置。 由于AB、CD 均为一般位置直线，故本题需两次更换投影面。
图 2 - 5 8
一 般 位 置 平 面 变 V
1
面 的 垂 直
2.6 换面法
作图 在△ABC内取水平线L（l、l′）。作X1⊥l，按点的新投影的作法，作 出△ABC各顶点在V1面上的新投影a1′、b1′、c1′。由于L⊥V1△ABC⊥V1，所以 a1′b1′c1′成一直线。a1′b1′c1′与X1轴的夹角α 为△ABC对H面的倾角。同理， 也可以更换H面把△ABC变换为V/H1体系内的垂直面，如图2-59所示。此时，a1b1c1 与X1轴的夹角β 为△ABC 对V 面的倾角。
2.6 换面法
2.6.1 换面规则 更换投影面时，新投影面的位置并不是任意的。首先，空间几何元素在 新投影面上的投影要有利于解题;此外，新投影面还要垂直于原来的某一个投 影面，构成新的两投影面体系（如图2-49所示）以便运用正投影原理由原来 的投影作出新投影。 由于新投影面的位置选择受到上述限制，解答某些问题时，更换一个投 影面有时不能使空间几何元素与新投影面达到预期的相对位置，从而得不到 有利于解题的新投影。这时需连续进行两次或多次换面，但每次只能更换一 个投影面。如图2-50所示，先换V 面,再换H 面，也可以先换H 面再换V 面。
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回
称之为满足该条件的轨迹），多个条件则形成多个轨迹，这些轨迹的 退
交集即为所求，再弄清该集合是什么形状，在投影图上如何实现。
出
解题中的常见轨迹 综合性问题解法举例（一） 距离和角度的度量
综合性问题解法举例（二）
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(4)把一般位置平面变为投影面平行面
退
出
§6-5 综合性问题解法举例
工程实际抽象出来的几何问题，如距离、角度的度量；点、线、
面的定位等，并不是单纯的平行、相交、垂直问题，而多是较复杂的
综合问题，其突出特点是要受若干条件的限制，求解时往往要同时满 上
足Hale Waihona Puke 个条件。一节解决此类问题的方法通常是：分析、确定解题方案及投影图上实
画法几何换面法、综合问题大理
§6-2 换面法
一、换面法的基本概念 二、点的投影变换规律
1、点的一次变换
点在V1/H 体系中的投影 点在V/H1体系中的投影
上一
2、点的两次变换
节
3、四个基本问题
下一
(1)把一般位置直线变为投影面平行线
节
(2)把一般位置直线变为投影面垂直线
返
(3)把一般位置平面变为投影面垂直面
现。分析时，首先根据给出已知条件和求解要求，想出已知空间几何 模型，然后进行空间思维，想象出最终结果的空间几何模型，最后确
下 一页
定从已知几何模型到最终结果几何模型的空间解题步骤。 返
如果最终结果的几何模型难以直接确定，则常采用“轨迹法”， 即逐个满足限制条件，找出满足每一个条件的无数解答的集合（通常