高考数学大一轮复习第十章算法初步统计统计案例第四节变量间的相关关系统计案例课件文
2．两个变量的线性相关 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过
散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有
_线__性__相__关__关__系___，这条直线叫做_回__归__直__线__．
n xiyi－n－x －y
i＝1
(2)回归方程为_^y_＝___^b_x_＋__^a_，其中^b＝
[谨记通法] 判断相关关系的 2 种方法 (1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线 附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某 一直线附近，变量之间就有线性相关关系．若点散布在从左 下角到右上角的区域，则正相关． (2)相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于 1 相 关性越强．
算 K2 值的错误．
[即时应用] 下表是 110 名性别不同的学生对某项运动所持态度的调查表．
________．
x0 1
3
y 2．2 4．3 4．8
4 6．7
解析：∵回归直线必过样本点的中心( x ， y )，又 x ＝2， y ＝ 4．5，代入回归方程，得^a＝2．6． 答案：2．6
2．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系， 现随机抽取 50 名学生，得到如下 2×2 列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知 P(K2≥3．841)≈0．05，P(K2≥5．024)≈0．025． 根据表中数据，得到 K2 的观测值 k＝50×23×132×7×202－0×103×072
≈4 ． 844 ． 则 认 为 选 修 文 科 与 性 别 有 关 系 出 错 的 可 能 性 为
________．
()
A．x 与 y 正相关，x 与 z 负相关
B．x 与 y 正相关，x 与 z 正相关
C．x 与 y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相关，x 与 z 负相关
D．x 与 y 负相关，x 与 z 正相关
解析：因为 y＝－0．1x＋1 的斜率小于 0， 故 x 与 y 负相关．因为 y 与 z 正相关，可设 z＝b^y＋a^，b^＞0， 则 z＝b^y＋a^＝－0．1b^x＋b^＋a^， 故 x 与 z 负相关． 答案：C
∵ y ＝15×(77＋79＋79＋82＋83)＝80，
∴sy2＝15× [(77－80)2＋(79－80)2＋(79－80)2＋(82－80)2＋
(83－80)2]＝4．8．
5
5
(2)∵ (xi－ x )(yi－ y )＝30， (xi－ x )2＝40，
i＝1
i＝1
∴^b＝0．75，^a＝ y －^b x ＝17．75． 故所求的线性回归方程为^y ＝0．75x＋17．75．
r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性
_越__强__．r 的绝对值越接近于 0 时，表明两个变量之间几
乎不存在线性相关关系．通常|r|大于 0．75 时，认为两个 变量有很强的线性相关性．
3．独立性检验
假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的取值分别为{x1，x2}
和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为：
解：(1)列联表如下：
使用方案A组 使用方案B组
总计
有效 96 72 168
无效 24 8 32
使用方案 A 组有效的频率为19260＝0．8；
使用方案 B 组有效的频率为7820＝0．9．
总计 120 80 200
(2)能否在犯错误的概率不超过 0．05 的前提下认为治疗是否
有效与方案选择有关？ 附：K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d，其中 n＝a＋b＋c＋d．
关关系，根据上表提供的数据，求两个变量 x，y 的线性回
归方程^y ＝^bx＋^a ．
n
xi－ x yi－ y
n xiyi－n－x －y
i＝1
i＝1
附：^b ＝
＝
，^a＝ y －^b x
n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
解：(1) x ＝15×(79＋81＋83＋85＋87)＝83，
i＝1
i＝1
i＝1
∴r≈0.55×22.8×9 2.646≈0．99． 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0．99，说明 y 与 t 的线性相关 程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系．
7
ti－ t yi－ y
(2)由
y
＝9.732≈1．331
i＝1
及(1)得^b＝
解析：K2 的观测值 k≈4．844，这表明小概率事件发生．根 据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之
间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为 5%．
答案：5%
1．易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种 确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是 一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴 随关系．
[即时应用]
(2016·河北省三市第二次联考)下表是高三某位文科生连续
5 次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：
月份
9 10 11 12
1
历史(x 分) 79 81 83 85 87
政治(y 分) 77 79 79 82 83
(1)求该生 5 次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；
(2)一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相
考点三 独立性检验
[典例引领]
(2017·皖北名校联考)某医院对治疗支气管肺炎的两种方案 A，
B 进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案 A 和方案
B 进行治疗，统计结果如下：
有效 无效 总计
使用方案A组
96
120
使用方案B组
72
总计
32
(1) 完成上述列联表，并比较两种治疗方案有效的频率； (2)能否在犯错误的概率不超过 0．05 的前提下认为治疗是 否有效与方案选择有关？
第四节
变量间的相关关系 统计案例
1．变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一
类是_相__关__关__系___；与函数关系不同，_相__关__关__系__是一种非 确定性关系． (2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两 个变量的这种相关关系称为_正__相__关___，点散布在左上角到 右下角的区域内，两个变量的相关关系为_负__相__关__．
， ^a＝
n x2i －n－x 2
i＝1
_－_y_－__^b_－_x_.
n
(3)通过求Q＝ yi－bxi－a2的最小值而得到回归直线的 i＝1
方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和 最小，这一方法叫做最小二乘法． (4)相关系数：
当 r＞0 时，表明两个变量_正__相__关__； 当 r＜0 时，表明两个变量_负__相__关__．
[由题悟法] 1．回归直线方程中系数的 2 种求法 (1)利用公式，求出回归系数 b，a． (2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数． 2．回归分析的 2 种策略 (1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求 函数值． (2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是 回归系数 b．
2．回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归 直线必过(－x ，－y )点，可能所有的样本数据点都不在直线上．
3．利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为是准确值， 而实质上是预测值(期望值)．
[小题纠偏] 1．设某大学的女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具有线性
相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小 二乘法建立的回归方程为^y ＝0．85x－85．71，则下列结论中
不正确的是
()
A．y 与 x 具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心( x ， y )
C．若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0．85 kg
D．若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为
58．79 kg
解析：由于线性回归方程中 x 的系数为 0．85，因此 y 与 x 具有正的线性相关关系，故 A 正确．又线性回归方程必过 样本中心点( x ， y )，因此 B 正确．由线性回归方程中系数 的意义知，x 每增加 1 cm，其体重约增加 0．85 kg，故 C 正确．当某女生的身高为 170 cm 时，其体重估计值是 58．79 kg，而不是具体值，因此 D 不正确． 答案：D
7
7
参考数据：yi＝9．32，tiyi＝40．17,
i＝1
i＝1
0．55， 7≈2．646．
7
yi－ y 2＝
i＝1
参考公式：相关系数 r＝
n
ti－ t yi－ y
i＝1
，回归
n
n
ti－ t 2 yi－ y 2
i＝1
i＝1
方程^y＝^a＋^bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为^b
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
K2＝a＋ban＋adc－bb＋cd2c＋d(其中 n＝a＋b＋c＋d 为样本 容量)．
[小题体验]
1．(教材习题改编)已知 x，y 的取值如下表，从散点图可以看
出 y 与 x 线性相关，且回归方程为^y＝0．95x＋^a，则^a＝
P(K2≥k0) 0．05 0．010 0．001
k0
3．841 6．635 10．828
解：K2＝2001× 20× 968×0×8－16284××37222≈3．571＜3．841， 所以不能在犯错误的概率不超过 0．05 的前提下认为治 疗是否有效与方案选择有关．
北师版高考理科数学一轮总复习课时练习题 第10章 算法初步、 统计与统计案例 算法初步
课时规范练53 算法初步基础巩固组1.如图,若依次输入的x 分别为5π6,π6,相应输出的y 分别为y 1,y 2,则y 1,y 2的大小关系是( )A.y 1=y 2B.y 1>y 2C.y 1<y 2D.无法确定 答案:C解析:由算法框图可知,当输入的x 为5π6时,sin 5π6>cos 5π6成立,所以输出的y 1=sin5π6=12;当输入的x 为π6时,sin π6>cos π6不成立,所以输出的y 2=cos π6=√32,所以y 1<y 2.2.(河南六市一模)已知[x]表示不超过x的最大整数.执行如图所示的算法框图,若输入x的值为2.4,则输出z的值为( )A.1.2B.0.6C.0.4D.-0.4答案:D解析:执行该算法框图,输入x=2.4,y=2.4,x=[2.4]-1=1,满足x≥0,x=1.2,y=1.2,x=[1.2]-1=0,满足x≥0,x=0.6,y=0.6,x=[0.6]-1=-1,不满足x≥0,终止循环,z=-1+0.6=-0.4,输出z的值为-0.4.3.(河北石家庄四模)如图是计算1+13+15+…+131的值的算法框图,则图中①②处可以填写的语句分别是( )A.n=n+2,i>16B.n=n+2,i≥16C.n=n+1,i>16D.n=n+1,i≥16答案:A解析:式子1+13+15+…+131中所有项的分母构成公差为2的等差数列1,3,5,…,31,则①处填n=n+2.令31=1+(k-1)×2,k=16,共16项,而1到129共15项,需执行最后一次循环,此时i=16,所以②中应填“i>16”.故选A.4.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,即使在现代,它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法,其算法的算法框图如图所示,若输入的a0,a1,a2,…,a n分别为0,1,2,…,n.若n=5,根据该算法计算当x=2时多项式的值,则输出的结果为( )A.248B.258C.268D.278答案:B解析:该算法框图是计算多项式f(x)=5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=2时的值,f(2)=258,故选B.5.某算法框图如图所示,运行该程序后输出S=( )A.53B.74C.95D.116答案:D解析:根据算法框图可知其功能为计算:S=1+11×2+12×3+…+1n(n+1)=1+1-12+12−13+…+1n−1n+1=1+1-1n+1=2n+1n+1,初始值为n=1,当n=6时,输出S,可知最终赋值S时n=5,所以S=2×5+15+1=116,故选D.6.(湖北武汉模拟)元朝时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个算法框图,若输入的a,b 分别为5,2,则输出的n=( )A.2B.3C.4D.5 答案:C解析:执行算法框图得n=1,a=152,b=4,a≤b 不成立;n=2,a=454,b=8,a≤b 不成立;n=3,a=1358,b=16,a≤b 不成立;n=4,a=40516,b=32,a≤b 成立.故输出的n=4,故选C.综合提升组7.执行如图的算法框图,如果输入的x ∈-π4,π,则输出y 的取值范围是( )A.[-1,0]B.[-1,√2]C.[1,2]D.[-1,1]答案:B解析:流程图计算的输出值为分段函数: y={2cos 2x +sin2x -1,x <π2,cos 2x +2sinx -1,x ≥π2,原问题即求解函数在区间[-π4,π]上的值域.当-π4≤x<π2时,y=2cos 2x+sin2x-1=cos2x+1+sin2x-1=√2sin (2x +π4),-π4≤x<π2,则-14π≤2x+π4<54π,此时函数的值域为[-1,√2]. 当π2≤x≤π时,y=cos 2x+2sinx-1=-sin 2x+2sinx,π2≤x≤π,则0≤sinx≤1,此时函数的值域为[0,1].综上可得,函数的值域为[-1,√2]∪[0,1],即[-1,√2]. 即输出y 的取值范围是[-1,√2].故选B.8.(河南开封一模)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完.现将该木棍依此规律截取,如图所示的算法框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的语句是( )A.i<7,s=s-1i ,i=2iB.i≤7,s=s -1i,i=2iC.i<7,s=s2,i=i+1D.i≤7,s=s2,i=i+1答案:D解析:由题意可知第一天后剩下12,第二天后剩下122……由此得出第7天后剩下127,结合选项分析得,①应为i≤7,②应为s=s2,③应为i=i+1,故选D.9.如图所示的程序,若最终输出的结果为6364,则在程序中“ ”处应填入的语句为( )A.i>=8B.i>=7C.i<7D.i<8答案:B解析:S=0,n=2,i=1,执行S=12,n=4,i=2;S=12+14=34,n=8,i=3;S=34+18=78,n=16,i=4;S=78+116=1516,n=32,i=5;S=1516+132=3132,n=64,i=6;S=3132+164=6364,n=128,i=7.此时满足题目条件输出的S=6364,∴“ ”处应填上i>=7.故选B.10.根据某校10位高一同学的身高(单位:cm)画出的茎叶图(图1),其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字,右边的数字表示学生身高的个位数字,设计一个算法框图(图2),用A i(i=1,2, (10)表示第i个同学的身高,计算这些同学身高的方差,则算法框图①中要补充的语句是( )图1图2A.B=B+A iB.B=B+A i2C.B=(B+A i-A)2D.B=B2+A i2答案:B解析:由s2=(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2n=x 12+x 22+…+x n 2-2(x 1+x 2+…+x n )x+nx 2n =x 12+x 22+…+x n 2-2nx 2+nx 2n =x 12+x 22+…+x n 2n −x 2,循环退出时i=11,知x 2=(Ai -1)2. 所以B=A 12+A 22+…+A 102,故算法框图①中要补充的语句是B=B+A i 2.故选B.11.执行如图所示的算法框图,若输入的m,n 分别为385,105(图中“m MOD n”表示m 除以n 的余数),则输出的m= .答案:35解析:执行算法框图,可得m=385,n=105,r=70,m=105,n=70,不满足条件r=0;r=35,m=70,n=35,不满足条件r=0;r=0,m=35,n=0,满足条件r=0,退出循环,输出的m 值为35.创新应用组12.(河南郑州二模)执行如图的算法框图,如果输入的ε为0.01,则输出s 的值为( )A.2-124B.2-125C.2-126D.2-127答案:C解析:执行算法框图,s=1,x=12,不满足条件x<0.01; s=1+12,x=122,不满足条件x<0.01; s=1+12+122,x=123,不满足条件x<0.01; ……由于126>0.01,而127<0.01,可得当s=1+12+122+…+126,x=127时,满足条件x<0.01,输出s=1+12+122+…+126=2-126.故选C. 13.(河南郑州模拟)我们可以用随机数法估计π的值,如图所示的算法框图表示其基本步骤(函数RAND 是产生随机数的函数,它能随机产生(0,1)内的任何一个实数),若输出的结果为521,则由此可估计π的近似值为( )A.3.119B.3.126C.3.132D.3.151答案:B解析:在空间直角坐标系O-xyz 中,不等式组{0<x <1,0<y <1,0<z <1表示的区域是棱长为1的正方体区域,相应区域的体积为13=1;不等式组{0<x <1,0<y <1,0<z <1,x 2+y 2+z 2<1表示的区域是棱长为1的正方体区域内的18球形区域,相应区域的体积为18×43π×13=π6,因此π6≈5211000,即π≈3.126,故选B.。
高考数学一轮总复习 第九章 算法初步、统计与统计案例 第四节 变量间的相关关系与统计案例课件(理)
【真题探源】 真题源于《人教 A 版必修 3》P95B 组第 1 题， 将教材中习题背景“10 年中某城市居民收入与某商品的销售额数据” 变为“某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入的数据”， 其结论均是求线性回归方程并进行科学预测．体现高考“源于教材”， 因此在高三复习备考中要发挥教材联系习题的功能，事实上 2015 年 课标全国Ⅰ卷文科第 19 题与教材也有着千丝万缕的联系．
(2)(2015·湖北卷)已知变量 x 和 y 满足关系 y＝－0.1x＋1，变量 y 与 z 正相关．下列结论中正确的是( )
A．x 与 y 正相关，x 与 z 负相关 B．x 与 y 正相关，x 与 z 正相关 C．x 与 y 负相关，x 与 z 负相关 D．x 与 y 负相关，x 与 z 正相关
解：(1)由所给数据计算得 －t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， －y ＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
^a＝－y －^b－t ＝4.3－0.5×4＝2.3， 所求回归方程为^y＝0.5t＋2.3. (2)由(1)知，^b＝0.5>0，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家 庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元． 将 2015 年的年份代号 t＝9 代入(1)中的回归方程，得^y＝0.5×9 ＋2.3＝6.8， 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元．
《人教 A 版必修 3》P95B 组第 1 题： 有人收集了 10 年中某城市的居民年收入(即此城市所有居民在 一年内的收入的总和)与某种商品的销售额的有关数据：
(1)画出散点图； (2)求出回归方程； (3)如果这座城市居民的年收入达到 40 亿元，估计这种商品的销 售额是多少．
高考数学一轮复习10.3统计案例
2013版高考数学一轮复习精品学案：第十章 统计、统计案例10.3统计案例【高考新动向】一、考纲点击1.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用;2.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 二、热点提示1.本部分主要内容是变量的相关性及其几种常见的统计方法.在高考中主要是以考查独立性检验、回归分析为主,并借助解决一些简单的实际问题来了解一些基本的统计思想;2.本部分在高考中多为选择、填空题,也有可能出现解答题,都为中低档题.【考纲全景透析】1.回归分析(1)定义:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法;(2)随机误差:线性回归模型用y bx a e =++表示，其中a b 和为模型的未知数，e 称为随机误差.(3)样本点的中心在具有线性相关关系的数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 中,回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为:121()()ˆˆˆˆ,.()niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑ 其中1111,,(,)n ni i i i x x y y x y n n ====∑∑称为样本点的中心.(4)相关系数①12211()();()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑②当0r >时,表明两个变量正相关; 当0r <时,表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近于0时,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常||r 大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性.2.残差分析 (1)总偏差平方和把每个效应(观测值减去总的平均值)的平方加起来即:21()nii y y =-∑(2)残差数据点和它回归直线上相应位置的差异()i i y y -是随机误差的效应,称i i i e y y =-为残差.(3)残差平方和21()niii y y =-∑.(4)相关指数22121()()niii nii y y R y y ==-=-∑∑2R 的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好.在线性回归模型中, 2R 表示解释变量对预报变量变化的贡献率, 2R 越接近于1,表示回归的效果越好.3.独立性检验(1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这类变量称为分类变量. (2)列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个分类变量X 和Y,它们的可能取值分别为1122{,}{,}x y x y 和,其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表1y 2y总计1x a b a b + 2xcdc d +总计a c +b d + a bcd +++构造一个随机变量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中a b c d +++为样本容量.(3)独立性检验利用随机变量2K 来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.注: 在独立性检验中经常由2K 得到观测值k ,则k =2K 是否成立？（2K 与k 的关系并不是k =2K ，k 是2K 的观测值，或者说2K 是一个随机变量，它在a ，b ，c ，d ）取不同值时，2K 可能不同，而k 是取定一组数a ，b ，c ，d 后的一个确定的值.【热点难点精析】(一)线性回归分析 ※相关链接※1.首先利用散点图判断两个变量是否线性相关.2.求回归方程y bx a =+.(1)线性回归方程中的截距a 和斜率b 都是通过样本估计而来的,存在着误差,这种误差可能导致预报结果的偏差.(2)回归方程y bx a =+中的b 表示x 增加1个单位时y 的变化量为b . (3)可以利用回归方程y bx a =+预报在x 取某一个值时y 的估计值. 3.相关系数r利用相关系数r 来衡量两个变量之间的线性相关的强弱. 4.建立回归模型的步骤(1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量.(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等).(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系,则选用线性回归方程y bx a =+).(4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法).(5)得出结果后分析残差是否异常(个别数据对应残差过大,或残差呈现不随机的规律性等).若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否适合等.注:回归方程只适用于我们所研究的样本的总体,而且一般都有时间性.样本的取值范围一般不能超过回归方程的适用范围,否则没有实用价值.※例题解析※〖例〗测得某国10对父子身高(单位:英寸)如下:(1)对变量y x 与进行相关性检验;(2)如果y x 与之间具有线性相关关系,求回归方程. (3)如果父亲的身高为73英寸,估计儿子的身高.思路解析:(1)先根据已知计算相关系数r ,判断是否具有相关关系. (2)再利用分工求出回归方程进行回归分析. 解答:(1)1010102222111101101022221166.8,67.01,4462.24,4490.4,44974,44941.93,44842.4,1044842.4104476.26879.72(4479444622.4)(44941.93449.3.4)661(10)(10)iii i i i i i ii i i i i x y x y x y x y x y x yr x x y y =========≈===--⨯==----∑∑∑∑∑∑0.804.1.5764≈所以y x 与之间具有很强的线性相关关系.(2)设回归方程为y bx a=+.由101102211044842.444762.6879.72ˆ0.46464479444662.4171.610i ii i i x y x ybx x==--===≈--∑∑.ˆˆ67.010.464666.835.97.ay bx =-=-⨯≈ 故所求的回归方程为:ˆ0.464635.97yx =+. (3)当x=73时, ˆ0.46467335.9769.9y=⨯+≈.所以当父亲身高为73英寸时,估计儿子身高约为69.9英寸.(二)非线性回归分析 ※相关链接※1.非线性回归模型:当回归方程不是形如y bx a =+时称之为非线性回归模型.2.非线性回归模型的拟合效果:对于给定的样本点1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ,两个含有未知数的模型(1)(2)(,)(,)y f x a y g x b ==和,其中a b 和都是未知参数.可按如下的步骤比较它们的拟合效果:(1)分别建立对应于两个模型的回归方程(1)(2)ˆˆˆˆ(,)(,)yf x a yg x b ==和,其中ˆˆa b 和分别是参数a b 和的估计值;(2)分别计算两个回归方程的残差平方和(1)(1)2(2)(2)211ˆˆˆˆ()()nni i i i i i Qy yQ y y===-=-∑∑和; (3)若(1)ˆQ＜(2)ˆQ ,则(1)(2)ˆˆˆˆ(,)(,)y f x a y g x b ==的效果比; 反之, (1)(2)ˆˆˆˆ(,)(,)yf x a yg x b ==的效果不如的好. ※例题解析※〖例〗为了研究某种细菌随时间x 变化时,繁殖个数y 的变化,收集数据如下:(1)用天数x 作解释变量,繁殖个数y 作预报变量,作出这些数据的散点图; (2)描述解释变量x 与预报变量y 之间的关系; (3)计算残差平方和、相关指数.思路解析:作出散点图→分析与哪种曲线拟合→转化线性关系→进行回归分析. 解答:(1)所作散点图如图所示.(2)由散点图看出样本点分析在一条指数函数21c xy c e =的周围,于是令ln z y =,则由计算器得:ˆ0.69 1.112,zx =+则有 1.69 1.112ˆx y e +=. (3)则662211ˆˆ() 3.1643ii i i i ey y ===-=∑∑,621ˆ()i i i y y =-∑=24642.8,2 3.164310.999924642.8R =-=,即解释变量天数对预报变量细菌的繁殖个数解释了99.99%.(三)独立性检验〖例〗在调查的480名男人中有38名患有色盲,520名女人中有6名患有色盲,分别利用图形和独立性检验的方法来判断色盲与性别是否有关?你所得到的结论在什么范围内有效?思路解析:(1)先由已知作出调查数据的列联表; (2)再根据列联表画出二维条形图,并进行分析; (3)利用独立性检验作出判断.解答:根据题目所给的数据作出如下的联表:根据列联表作出相应的二维条形图,如图所示.从二维条形图来看,在男人中患色盲的比例38480,要比在女人中患色盲的比例6520要大,其差值为386||0.068,480520-≈差值较大,因而我们可以认为“性别与患色盲是有关的”，根据列联表中所给的数据可以有38,442,6,514,a b c d a b c d a c ====+=+=+=代入公式22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++得221000(385146442)27.148052044956K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯。
变量间的相关关系-统计案例
高考数学知识点:变量间的相关关系-统计案例2016-04-22 15:15一、变量间的相关关系1．常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．2．从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．典型例题1：某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．2．由回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．3．使用K2统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据都要大于5，在选取样本容量时一定要注意．二、两个变量的线性相关1．从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．2．回归方程为3．求最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．4．相关系数，当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．典型例题2：1．相关关系的判断方法一是利用散点图直观判断，二是利用相关系数作出判断．2．对于由散点图作出相关性判断时，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性．3．由相关系数r判断时|r|越趋近于1相关性越强．三、独立性检验典型例题3：。
高考数学一轮复习第10章算法初步与统计第4课时线性回
(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温 x(℃)之间的关系，得 回归方程 y ＝－2.352x＋147.767，则气温为2 ℃时，一定可卖出 143杯热饮． (5)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观 测值越大． (6)由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下 认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他 有99%的可能物理优秀．
∧
直线方程： y ＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入 每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
2 n （ ad － bc ） 构造一个随机变量 K 2 ＝ ， （ a＋ b）（ c＋d ）（a ＋ c）（ b ＋d ）
其中 n＝a＋b＋ c＋d 为样本容量．
(3)独立性检验． 利用随机变量 K2 来确定是否能有一定把握认为“两个分类 变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验．
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)． (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种 因果关系． (2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水 平成正相关关系． (3)只有两个变量有相关关系，所得的回归模型才有预测价 值．
答案
C
解析 由已知，变量 x，y 成负相关，排除 A，B. ∵回归直线 - 必过点(x，y)，经验算可知，选项 C 满足．
4．(2018· 河南开封一模)下列说法错误的是(
)
A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两 个变量之间的关系叫做相关关系 B．在线性回归分析中，相关系数 r 的值越大，变量间的相 关性越强 C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其 模型拟合的精度越高 D．在回归分析中，R2 为 0.98 的模型比 R2 为 0.80 的模型拟 合的效果好
高考数学一轮总复习：线性回归分析与统计案例
①y 与 x 负相关且y^＝2.347x－6.423；
②y 与 x 负相关且y^＝－3.476x＋5.648；
③y 与 x 正相关且y^＝5.437x＋8.493；
④y 与 x 正相关且y^＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【解析】 正相关指的是 y 随 x 的增大而增大．负相关指的 是 y 随 x 的增大而减小，故不正确的为①④，故选 D.
5．(2019·沧州七校联考)通过随机询问 200 名性别不同的大
学 生 是 否 爱 好 踢 毽 子 运 动 ， 计 算 得 到 统 计 量 K2 的 观 测 值
k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是( )
P(K2≥k) 0.10
0.05 0.025
k
2.706 3.841 5.024
A.有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
请注意 1．以考查线性回归系数为主，同时可考查利用散点图判断 两个变量间的相关关系． 2．以实际生活为背景，重在考查回归方程的求法．
两个变量的线性相关 (1)正相关． 在散点图中，点散布在从__左__下_角__到__右_上__角__的区域．对于两 个变量的这种相关关系，我们将它们称为正相关． (2)负相关． 在散点图中，点散布在从__左__上_角__到__右_下__角__的区域，两个变 量的这种相关关系称为负相关．
A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于 20%
B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于 20%
C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于 20%
D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于 20%
高考数学一轮复习 第10章 统计、统计案例 第3讲 变量相关关系与统计案例课件
2．回归方程与回归分析 (1)线性相关关系与回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在 04 ___一__条__直__线____附近，就称 这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程 ①最小二乘法：求回归直线使得样本数据的点到回归直线的 05 __距__离___ __的__平__方__和___最小的方法叫做最小二乘法． ②回归方程：方程y^＝b^ x＋a^ 是两个具有线性相关关系的变量的一组数 据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a^ ，b^ 是待定数．
12/11/2021
1．相关关系与函数关系的异同 共同点：二者都是指两个变量间的关系； 不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系，而相关关 系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2．从散点图看相关性 正相关：样本点分布在从左下角到右上角的区域内； 负相关：样本点分布在从左上角到右下角的区域内． 3．回归直线y^＝b^ x＋a^ 必过样本点的中心．
解析 答案
2．(2019·湖南衡阳联考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A，B 两个变
量的线性相关性做了试验，并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差
平方和 m，如下表：
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现的 A，B 两变量有更强的线性相关性( )
列联表．参照附表，能得到的正确结论是( )
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
2020年高考数学一轮总复习第十章算法初步、统计、统计案例10_4变量间的相关关系与统计案例课件文新人教A版
n
＝ i＝1 n
y
，
^ a
＝
y
－
^ b
x
.其中，
^ b
是回归方程
∑ xi－ x 2
i＝1
∑xi2－n x 2
i＝1
的 斜率 ，a^是在y轴上的 截距 ．
(4)样本相关系数
n
∑ xi－ x yi－ y
r＝
i＝1 n
n
，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．
∑ xi－ x 2∑ yi－ y 2
10
xi－－x 2
＝58626..5805≈6.87，
i＝1
a^＝－y －b^－x ＝112.45－6.87×5.5≈74.67， 所以y关于x的线性回归方程为^y＝6.87x＋74.67.
(2)若回归方程为^y＝6.87x＋74.67，则当x＝11时，^y＝150.24. 若回归方程为^y＝－0.30x2＋10.17x＋68.07，则当x＝11时，^y＝143.64. |143.64－145.3|＝1.66<|150.24－145.3|＝4.94， 所以回归方程^y＝－0.30x2＋10.17x＋68.07的拟合效果更好．
－
－ x
－ y
－ w
8
(xi－－x )2
i＝1
8
(wi－－w )2
i＝1
(xi－ x )· (wi－ w )·
i＝1
i＝1
(yi－－y )
(yi－－y )
46.6 563 6.8 289.8
1.6
1 469
108.8
表中wi＝
xi，－w ＝18
8
wi.
i＝1
高考数学一轮总复习 第10章 算法初步、统计、统计案例 第四节 变量间的相关关系 统计案例课件 文
3．(教材习题改编)为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤 研究所随机地调查了 9 965 人，得出如下结果(单位：人)：
不吸烟 吸烟 总计
不患肺癌 患肺癌 总计
7 775
42 7 817
2 099
49 2 148
9 874
91 9 965
则患肺癌与吸烟________．(填“有关”或“无关”)
答案：有关
D．l1 与 l2 相交，但交点不一定是(s，t)
解析：注意到回归直线必经过样本中心点．
答案：C
考点一 相关关系的判断 基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．(易错题)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，
关于其相关系数的比较，正确的是
()
A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3
3．独立性检验
假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的取值分别为{x1，x2} 和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为：
x1 x2 总计
y1
y2
a
b
c
d
a＋c b＋d
总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
K2＝a＋ban＋adc－bb＋cd2c＋d(其中 n＝a＋b＋c＋d 为 样本容量)．
[小题体验] 1．(教材习题改编)已知 x，y 的取值如下表，从散点图可
以看出 y 与 x 线性相关，且回归方程为^y＝0.95x＋^a，
则^a＝ x01 3 4
()
y 2.2 4.3 4.8 6.7
A．3.25
B．2.6 C．2.2
D．0
解析：∵回归直线必过样本点的中心(－x ，－y )，又－x ＝2， －y ＝4.5，代入回归方程，得^a＝2.6. 答案：B
高中数学复习第十章 统计、统计案例及算法初步
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
演 练 知 能 检 测
数学(6省专版)
第一节
随机抽样 系统抽样
回 扣 主 干 知 识
[例2]
(2012· 山东高考)采用系统抽样方法从960人中
抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，
提 升 学 科 素 养
960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码
答案：D
数学(6省专版)
第一节
随机抽样
回 扣 主 干 知 识
2．(2013· 温州模拟)某工厂生产A、B、C三种不同型号的 产品，产品数量之比为3∶4∶7，现在用分层抽样的 方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，
提 升 学 科 素 养
那么样本容量n为
突 破 热 点 题 型
(
B．60 D．80
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
200 解析： 总人数为 0.2 ＝1 000， 该单位青年职员的人数为 1 10 000×25＝400.
答案：400
演 练 知 能 检 测
数学(6省专版)
第一节
随机抽样
回 扣 主 干 知 识
5．(2012· 湖北高考)一支田径运动队有男运动员 56 人，女运 动员 42 人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的 男运动员有 8 人，则抽取的女运动员有________人．
突 破 热 点 题 型
(2)在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，
可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个 或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码 或出现重复号码的数字舍去．
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