装错信封问题(1)

装错信封问题
容斥原理
I ∑∑≤<≤=⋂+-
=⋂⋂⋂n
i i i i n
i i
n A A
A A A A A 2121
11
21||||||||
∑≤<<<≤⋂⋂⋂-++⋂⋂⋂-++n
i i i n n i i i k
k k A A A A A A
2121
121.||)1(||)1(
II 1212121
1||||||n
n i i i i i i n
A A A A A A =≤<≤⋃⋃
⋃=-
⋂∑∑
∑≤<<<≤--⋂⋂⋂-++⋂⋂⋂-++n
i i i n n i i i k k k A A A A A A
2121
12111
.||)1(||)1(
装错信封问题
“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667—1748）的儿子丹尼尔·伯努利（Danid Bernoulli ，1700—1782）提出来的，大意如下：一个人写了n 封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？
其他叙述方式
(1) “拿错帽子问题” (2) “分发贺卡问题” (3) “更列问题”
设n 封为n a a ,,1 ，n 个信封为n A A ,,1 ，装对的情形为i a 装入i A ),,2,1(n i =. 我们把都装错的情形数记为n .
(1) 若不考虑是否装对信封，则有!n A n
n =种.
(2) 若至少有1封信装对信封，即i a 装入i A ，而其他1-n 封信的装法有-1-1(-1)!n n A n =.由于i a 装入i A 有1n C 种，所以，至少有1封信装对信封的装法有1-1-1n n n C A 种.
(3) 若至少有2封信装对信封，即i a 装入i A ，j a 装入j A ，而其他2-n 封信的装法
有-2-2(-2)!n n A n =，所以，至少有2封信装对信封的装法有2-2
-2n n n C A 种. (4) 至少有3封信装对信封的装法有3-3-3n n n C A 种.
(5) 一般地，其中至少有k 封装对的装法有k n k
n n k C A --种.
于是，由容斥原理，封信都装错的情形种数为.
12!(1)!(2)!(1)()!(1)1k k
n n n n n n C n C n C n k =-⋅-+⋅-++-⋅-++-⋅
另证.
设n 封为n a a ,,1 ，n 个信封为n A A ,,1 ，装对的情形为i a 装入i A ),,2,1(n i =.我
们把都装错的情形数记为n .
首先研究1a 装入2A 时，信封装错的种数.分两种情况.
(1)1a 装入2A ,2a 装入1A . 此时，其余2-n 封信都装错的种数为2-n .
(2)1a 装入2A ,2a 没有装入1A . 此时，其余1-n 封信都装错的种数为1-n .
这样，当1a 装入2A 时，信封装错的种数为1+2n n --.
同样，当1a 装入3A ，当1a 装入4A ，……，当1a 装入n A 时，信封装错的种数也为
1+2n n --.
从而，信封装错的所有种数为
)21)(1(-+--=n n n n .
2)1(11-⋅-+---⋅=n n n n n n .
于是，有递推公式
]2)1(1)[1(1-⋅----=-⋅-n n n n n n . 取,,,4,3,2n n =可得
332(1)(221)-⋅=--⋅
]2)1(1)[1(1-⋅----=-⋅-n n n n n n
相乘得
)122()1(12⋅--=-⋅--n n n n . 容易求出 .01,12==
于是 .)1(1n n n n -=-⋅-
从而 .!
)1()!1(1!n n n n n n
-=---
取,,,4,3,2n n =可得
!
2)1(!11!222
-=-
.!
)1()!1(1!n n n n n n
-=---
相加得
.!
)1(!51!41!31!21!11!n n n n
-+
+-+-=- 化为
1111(1)![].2!3!4!5!!
n
n n n -=⋅-+-++
定理1 n 封信都装错了信封的种数为
].!
)1(!51!41!31!21[!n n n n
-+
+-+-⋅= 或 ∑=--=n
i i
n n i A n 0)1(
或 ∑=-⋅-=n
i i n i i n C n 0
)!()1(.
有且只有k )(n k <封信装对信封等价于k n -封信装错信封. 于是有
定理2 有且只有k 封信装对的种数为.k n C k
n -⋅
有且只有k 封信装错的种数为.k C k n ⋅
定理3 至少有k 封信装对的种数为)!.(k n C A C k
n k n k n k n -⋅=⋅--
例1 由93,2,1，，
组成的形如⨯⨯⨯⨯⨯1234的九位数，其中，万位不是5，千位不是6，百位不是7，十位不是8，各位不是9，这样的九位数有多少个？
例2 证明!.00n n C C n
n n =⋅++⋅
例3 某一天的课表要排6门课程，每门课上且上一节，一天排6节课，体育课不在第一节，数学不在最后一节，问有多少种排法？
例4 有一个n 位数的集合，且这n 位数是由k ,,2,1 组成的，若每个数字至少出现一次，那么这个集合元素共有多少个？
例5 P 为集合},,2,1{n S n =的一个排列，一个元素n j S ∈，如果j j P =)(就称为P 的一个不动点. 令n f 为n S 的无不动点的排列的个数，n g 为n S 恰有一个不动点的排列的个数，证明：.1||=-n n g f
例6 把写有数码6,5,4,3,2,1的6张卡片插入编号为6,5,4,3,2,1的6只袋子，每只袋子只插入1张卡片.
(1) 求每一张卡片的号码与所在袋子的号码都不同的插法种数. (2) 求恰有3张卡片的号码与所在袋子的号码相同的插法种数.
1. 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投放入五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为
第一步，先选出三个被错排的元素，有3
5C 种. 第二步，对已选出的三个元素进行错排，有2种.
所以，根据乘法原理可得投放方法总数为3
5C ·2=20种.
2. 某省决定对所辖8个城市的常政一把手进行任职交流，要求把每个干部都调到另一个城市去担任相应的职务，问共有多少种不同的干部调配方案？
解实质上本题即为8个不同元素的错排问题，一种干部调配方法对应于8个不同元素的一个错排.
11111111
-+-+-+-+=（种）
8!(1)14833
1!2!3!4!5!6!7!8!
3.同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡的不同分配方式有
4. 有5个客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子.问5个客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？
5. 由5,4,3,2,1这五个数字组成没有重复数字的五位数，按从小到大的顺序排列，问32154是这个数列的第几项？
6. 以长方体的8个顶点中的3点位顶点的三角形,锐角三角形的个数共有几个?
7. 一副扑克牌去掉两张王后还有52张，将牌发给4个人，每人13张，则某人获得的13张牌中花色齐全的全部情况数为多少？
第一、先从13张牌中选出一张，再给他选一个花色，则有13×4种选法
第二，从剩余的12张牌中再选一张，给他选一个与第一张牌颜色不同的花色，则有12×3种选法
第三、再从剩余的11张牌中选出一张，给他与前两张不同的花色，则有11×2种选法
第四、再从剩余的10张牌中选出一张，给他最后的一种花色，则有10×1种选法那么一共有：13×4×12×3×11×2×10×1=411840种组合情况．
8. 在年龄彼此不同的30人中选出两组人,第一组12人,第二组15人,若第一组中年龄最大的人比第二组中年龄最小的还要小,问有几种选择方式？4060
9. 从1-300中,任取3个不同的数,使它们的和为3的倍数,有多少种取法?
10.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m接力赛,如果甲不跑第一棒，乙不跑最后一棒,那么不同的参赛方案有几种？
11. 如果1个凸十边形没有三条对角线交于同一点,问在十边形内部由它们的交点可将对角线分割成多少条线段?
凸n边形的任意3条对角线不相交于形内的一点,问:(1)这些对角线将凸边形分成了多少个区域?(2)这些对角线被交点分成了多少条线段?
12. 从数字7,5,3,1,0中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程？其中有实数根的有几个？一共有多少个实数根？。