装错信封问题
国家公务员：排列组合之错位排序
国家公务员：排列组合之错位排序排列组合的数量题目当中，有一些技巧我们常常会用到，今天我们就一起来看一下排列组合问题中常用的方法——错位排序。
我们来讨论一个问题：这是一个很经典的数学问题：有一个人写了n封信件，对应n个信封，然而粗心的秘书却把所有信件都装错了信封，那么一共有多少种装错的装法？这个问题可抽象为以下一个数学问题：已知一个长度为n的有序序列｛a1,a2,a3,…,an｝，打乱其顺序，使得每一个元素都不在原位置上，则一共可以产生多少种新的排列？首先考虑几种简单的情况：原序列长度为1序列中只有一个元素，位置也只有一个，这个元素不可能放在别的位置上，因此原序列长度为1时该为题的解是0。
原序列长度为2设原序列为{a,b}，则全错位排列只需将两个元素对调位置{b,a}，同时也只有这一种可能，因此原序列长度为2时该问题的解是1。
原序列长度为3设原序列为{a,b,c}，则其全错位排列有：{b,c,a},{c,a,b}，解是2。
原序列长度为4设原序列为{a,b,c,d}，则其全错位排列有：{d,c,a,b},{b,d,a,c},{b,c,d,a},{d,a,b,c},{c,d,b,a},{c,a,d,b},{d,c,b,a},{c,d,a,b},{b,a,d,c}，解是9。
在往下数，次数会更多，那我们就可以用不完全归纳得出规律：f(n)=(n-1)f(n-2)+(n-1)*f(n-1)=(n-1)[f(n-2)+f(n-1)] 。
很明显，规律不太好记。
但是我们不用记，因为在公务员考试当中，题目一般情况下比较简单，我们只需要记住D1=0；D2=1；D3=2；D4=9；D5=44。
即可下面我们一起来看一道例题：【例】（2015-山东-59）某单位从下属的5个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科室，如每个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？（）A.120种B.78种C.44种D.24种【解析】分析题干可知，本题考查5人的错位排序，根据错位排列个数关系D5=44。
装错信封问题即欧拉错排问题
装错信封问题即欧拉错排问题
中“信封装错问题”的数学模型及解法；
有人写了N封信，同时写了N个信封，然后任意把信放进信封里。
问:每个字母被错误地装入时有多少种情况？排列、组合和简单计数问题。
计算问题。
让我们假设n个字母是A，B，c。
第一个字母A 有(n-1)种子放置方法。
假设A被放置在对应于B的包络中，B具有(n-1)种子放置方法；通过类比，分析下列字母的位置，然后通过计算排列公式得到答案。
解决方法:如果N个字母是A，B，c…，那么第一个字母A有(N-1)放置方法，并且假设A被放置在对应于B的信封中，那么B有(N-1)放置方法；假设b被放置在对应于c的包络中，c具有(n-2)种子放置方法；假设C被放置在对应于D的包络中，D具有(n-3)种子放置方法；...等等，有一种方法可以释放字母n；还有(n-1) (n-1) (n-2) (n-3)...1 = (n-1) (n-1)！因此，每个字母都被错误地加载(n-1) (n-1)！备注:本主题检查逐步计数原则的应用，并注意使用假设方法解决问题。
著名数学家莱昂哈德·欧拉(1707-1783)将“错放包络问题”的两个特例称为“组合数论中的一个奇n*1/n！)证明:
设置总排列t1，t2，...，TN = 1，2，...，n为I，并将ti=i设置为Ai(1。
人工智能实验报告(装错信封问题)
permutation([A|X],Y):-delete(A,Y,Y1),permutation(X,Y1).
some_element_right([A|X],[A|Y]).
some_element_right([A|X],[B|Y]):-some_element_right(X,Y).
letter(X,Y):-permutation(X,Y),not(some_element_right(X,Y)),
write(X),nl,fail.
Goal
letter(X,[1,2,3,4,5]).
实验记录
装错信封问题:
设定目标为: letter(X,[1,2,3,4,5]).
结果为：
成功运行程序后, 得出44种可能的结果:
[5,4,2,1,3]
[5,4,2,3,1]
No Solution
实验结论（结果）
装错信封问题:
该程序运行后得出了44种装错信封的可能, 得出的结论是出现装错信封的可能概率是44/120。
该程序运行后得出了44种装错信封的可能，得出的结论是出现装错信封的可能概率是44/120。
实验心得与小结
通过这次实验我更加熟悉了 Prolog语言和该软件开发平台。对Prolog语言的基本语法规则和使用技巧有了更好的掌握。在使用Visual Prolog软件开发平台的过程中, 我从对软件的不熟悉, 经常出错, 到会编写一些小型完整的Visual Prolog应用程序, 在这过程中, 我增长了很多知识。最后经过本次试验, 我的动手能力和分析问题的能力得到提高。
分析该问题的实质以及其中存在的递归作用；利用列表数据结构及上面介绍的谓词编写出装错信封问题的程序；联系全排列问题理解列表数据结构的作用。启动prolog编辑环境，编辑装错信封问题源程序；运行程序，分析结果；并算出其概率；理解列表数据结构的作用。根据最后的结果，算出其概率。
高中数学《装错信封问题》
利用错排公式求解装错信封问题【问题背景】18世纪数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli ，1667—1748)的儿子丹尼尔·伯努利(Danid Bernoulli ，1700—1782)提出来这样一个问题：一个人写了n 封信，并且写了n 个对应的信封，这个人随机将这n 封信分别装入这n 个信封，问：都装错的情况有多少种?后来著名数学家欧拉对此产生浓厚兴趣，并称之为“组合理论的一个妙题”，并且给出了“装错信封问题”的一劳永逸的答案：设n 个信封都装错的情况数为n D ，那么11111(1)(1)!0!1!2!3!(1)!!n n n D n n n −⎡⎤−−=⋅−+−+⋅⋅⋅++⎢⎥−⎣⎦. 特别说明，以上公式是通过数列递推得来，为了简化约分运算，我们可以将上式化简为2311(1)(1)n n n n n n n n D A A A −−−=−+⋅⋅⋅+−+−.在这里，我们可以记忆一些常见的结果：123450,1,2,9,44D D D D D =====.【经典例题】重新排列1，2，3，4，5，6，7，8.（1）使得偶数在原来的位置上，而奇数不在原来的位置上，有多少种不同的排法？（2）使得偶数在奇数的位置上，而奇数在偶数的位置上，有多少种不同的排法？（3）使得偶数在偶数位置上，但都不在原来的位置上，奇数在奇数的位置上，但也都不在原来的位置上，有多少种不同的排法？（4）如果要有数在原来的位置上，有多少种不同的排法？（5）如果只有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？（6）如果至少有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？（7）使得偶数在偶数的位置上，但恰有两个数不在原来的位置上，奇数在奇数的位置上，但恰有两个数不在原来位置上，有多少种不同的排法？（8）使得偶数在偶数的位置上，且至少有两个数不在原来的位置上；奇数在奇数的位置上，也至少有两个数不在原来的位置上，有多少种不同的排法？解析：（1）本题实质上是“装错信封问题”，49D =.（2）偶数在奇数位置上44A ，奇数在偶数位置上44A ，4444576A A ⋅=.（3）4481D D ⋅=.（4）正难则反，对8个数进行全排列88A ，减去没有数在原来的位置上8D ，88825487A D −=.（5）先从8个数中选择4个数在原来的位置上，剩余4个数不在原来的位置上，用分步乘法计数原理：484630C D ⋅=.（6）分类求解：45688483828771C D C D C D C ⋅+⋅+⋅+=.（7）224242()()36C D C D ⋅⋅⋅=.（8）22424424()()225C D D C D D ⋅+⋅⋅+=.上式中至少有2个数不在原来的位置上，包括恰有2个数不在原来的位置上和4个数都不在原来的位置上两种情况.【小结】“问题是数学的心脏.”思考问题，解决问题，才能促进数学素养的形成.。
装错信封问题即欧拉错排问题
“装错信封问题”的数学模型与求解某人写了n封信，同时写了n个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？排列、组合及简单计数问题．计算题．设这n封信依次为a、b、c…，第1封信a有（n﹣1）种放法，假设a放到了b对应的信封里，则b有（n﹣1）种放法；依此类推，分析随后的几封信的放法，进而由排列数公式计算可得答案．解：设这n封信依次为a、b、c…，则第1封信a有（n﹣1）种放法，假设a放到了b对应的信封里，则b有（n﹣1）种放法；假设b放到了c对应的信封里，则c有（n﹣2）种放法；假设c放到了d对应的信封里，则d有（n﹣3）种放法；…依此类推，第n封信有1种放法；则共有（n﹣1）（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…1=（n﹣1）（n﹣1）!，故每封信都装错的情况有（n﹣1）（n﹣1）!种．点评：本题考查分步计数原理的运用，解题中注意用假设的方法．被著名数学家欧拉(Leonhard Euler，1707－1783)称为“组合数论的一个妙题”的“装错信封问题”的两个特例．“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748)的儿子丹尼尔·伯努利(DanidBernoulli，1700－1782)提出来的，大意如下：一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？公式证明n个相异的元素排成一排a1,a2,...,an,且ai(i=1,2,...,n)不在第i位的排列数为n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)证明：设1,2,...,n的全排列t1,t2,...,tn的集合为I,而使ti=i的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n),则Dn=|I|-|A1∪A2∪...∪An|.所以Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|.注意到|Ai|=(n-1)!,|Ai∩Aj|=(n-2)!,...,|A1∩A2∩...∩An|=0!=1.由容斥原理：Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|=n!-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!-C(n,3)(n-3)!+...+(-1)^nC(n,n)*0!=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)1 问题的提出1)同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡．则四张贺年卡的不同分配方式有A．6种B．9种C．11种D．23种(1993年全国高考题理科17题)2)有5个客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家．回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子．问5个客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？上述两个问题，实质上是完全一样的．是被著名数学家欧拉(Leonhard Euler，1707－1783)称为“组合数论的一个妙题”的“装错信封问题”的两个特例．“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748)的儿子丹尼尔·伯努利(DanidBernoulli，1700－1782)提出来的，大意如下：一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？2建立数学模型“装错信封问题”及两个特例，其实就是n个不同元素的一类特殊排列问题，本文试就给出这类问题的数学模型及求解公式．为方便，我们先把n个不同的元素及相应的位置都编上序号1，2，…，n，并且约定：在n个不同元素的排列中1°若编号为i(i=1，2，…，n)的元素排在第i个位置，则称元素i在原位；否则称元素i不在原位．2°若所有的元素都不在原位，则称这种排列为n个不同元素的一个错排(若每个元素都在原位则称为序排)．按照上面约定，“装错信封问题”即为n个不同元素的错排问题，则可构建“装错信封问题”的数学模型为在n个不同元素的全排列中，有多少种不同的错排？3 模型求解应用集合中的容斥原理，我们就可得到“装错信封问题”的数学模型的求解公式．设I表示n个不同元素的全排列的集合A i(i=1，2，…，n)为元素i在原位的排列的集合．A i∩A j(1≤i＜j≤n)为元素i与j在原位的排列的集合．…………A1∩A2∩…∩A n为n个元素的序排的集合．则它们的排列数(即各个集合中元素的个数)分别为|I|=n！|A i|=(n－1)！|A i∩A j|=(n－2)！…………|A1∩A2∩…∩A n|=(n－n)！=0！所以，根据容斥原理即得“装错信封问题”的数学模型的求解公式(即n个不同元素的错排数)为4 应用举例一个元素的错排数显然为0，二个不同元素的错排数为1，三个不同元素的错排数为2，均可由公式验证，由公式还可求得四个不同元素的错排数为五个不同元素的错排数为则本文开头的问题1)共有9种不同的分配方式，故选(B)．问题2)共有44种不同的戴法，下面再举几例说明公式的应用．例1 (1991年上海高考题)设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投放入五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为[ ] A．20种B．30种C．60种D．120种解本题实质上是三个元素的错排问题，但由于题中未指明是哪三个元素进行的错排，故本题可分两步求解．第二步，对已选出的三个元素进行错排，有2种．例2某省决定对所辖8个城市的党政一把手进行任职交流，要求把每个干部都调到另一个城市去担任相应的职务．问共有多少种不同的干部调配方案？解实质上本题即为8个不同元素的错排问题，一种干部调配方法对应于8个不同元素的一个错排．故由公式可求得不同的干部调配方案数为-- 参考答案：瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：用Ａ、Ｂ、Ｃ……表示写着ｎ位友人名字的信封，ａ、ｂ、ｃ……表示ｎ份相应的写好的信纸。
7-错排问题
第六讲 错排问题
6.1 错排问题
考虑如下问题:某人写了5份信与5个信封, 将信随便乱装入信封(每个信封装一封信),问 无一匹配的装法是多少? 这个问题实质上就是一个错排问题．
6.1 错排问题
当 n 1 时, 1 的全排列只有一个1 ,它不是错位. 所以 D1 0. 当 n 2 时,
e
1
6.1 错排问题
例 设有n册书分给n个学生，之后又将书收回重新分 给学生．问有多少种方式分配这些书使得没有一个学 生两次得到同一本书． 解： 第一次分有 n! 种方法． 第二次分配，由题义知就是一个错排， 所以有 Dn 种方法． 所求方式为
n! Dn n! e
2
1
6.1 错排问题
故这样的错排列个数为 Dn 2 .
6.1 错排问题
(2) 对于 k 2,3,, n, 令 a1 k , a k 1. 由于 a1 1, 故选取 a 1 的方法共有 n 1 种. 由乘法法则知,此类型包含的错排列数为 n 1Dn 2 .
但这时只有 a1 k 的值已定,且 a k 1, 故将剩下的
1,2 的全排列有2个1,2 和 2,1,
前者不是错位,后者是错位.所以 D2 1. 当 n 3时, 1,2,3的全排列有6个,
全装错信问题即全错位排列问题及拓展
全装错信问题即全错位排列问题及拓展——龙城老欧全装错信问题又称全错位排列问题，最早由瑞士数学家伯努利提出，最后由伯努利与他的学生欧拉讨论解决，这个问题就是——我们将编号是1、2、…、n的n封信，装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信都和信封的编号不同，即1不能装进1，2不能装进2，3不能装进3……问有多少种装法？看到这个问题时，我们的第一反应就是退到简单处入手研究，如果只有一封信，2封信，3封信，4封信，……，然后从中再思考，之间是否有共性，是否有关联，共性用归纳，关联构成递推，或者其他。
〖解法〗容易知道：a[1]=0,a[2]=1，a[3]=2，a[4]=6;依我们设a[i]为i封信的全错位排列数据递归推理那么有a[i]=(a[i-1]+a[i-2])×(i-1)， (i>=3)。
为什么？为什么？为什么？大多数人看不明白。
不急，尽量先自己思考，不行的话，听我来解释：思考1：对于插入第i个元素，只可能有两种情况：第一种情况:插入第i个元素时，前i-1个已经错位排好，则选择其中任意一个与第i个互换一定满足要求,选择方法共i-1种，前i-1位错排f[i-1]种，记f[i-1]*(i-1),如下图：第二种情况:插入第i个元素时，前i-1个中恰有一个元素恰好在自己的位置上，即恰好只有一个元素不满足错位排列，其他i-2个错位排好，则将i与j交换，j在i-2位中的插入共i-1种，前i-2位错排a[i-2]种，记f[i-2]*(i-1)，如下图：以上两种情况求和可得: a[i]=(a[i-1]+a[i-2])×(i-1) (i>=3)我们还可以这样思考：思考2：有(i-1)个人已经都坐在在自己的板凳上了，现在第i个人张三带着自己的板凳来了，下面我们来对这i个人进行全错位排排坐，方法1：前面(i-1)个人中的某一个带着板凳出来与第i个人张三互换板凳坐（有（i-1）种方法），其它(i-2)个人进行全错位排列（有a[i-2]种方法），这样就整体上都是全错位；方法2：第i 个人张三走进去与将(i-1)个人中的某一个人换出来（i-1种方法），换出来的人（不妨称是李四）坐张三的板凳，换出来的李四的板凳看作张三的新板凳，这样又面临了(i-1)个元素进行全错位排列问题（a[i-2]种方法），这样就整体上也都是全错位了。
排列组合特殊题型之错位重排-于岩
排列组合特殊题型之错位重排中公教育研究与辅导专家于岩错位重排问题是排列组合中的一种特殊题型，如果不知道错位重排的关系，在遇到这类型的题目时就会很头疼，无从下手。
今天中公教育研究与辅导专家为大家带来了解决错位重排问题方法，我们一起来看一下。
错位重排问题也叫装错信封问题，比如编号为1、2、……、n的n封信，装入编号为1、2、……、n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，有多少种装法？对于这种问题，有一个固定的递推公式，记n封信的错位重排数为Dn：Dn =(n-1)×(Dn-2 +Dn-1)，其中D1=0，D2=1。
简单阐述下公式的推导过程，先让编号为1的信封去装信，不能选编号1的信，只能从剩下的n-1封信中去选，假设信封1选了编号为2的信，下面让编号为2的信封再去选择的话，如果编号为2的信封不选编号1的信，那么加上其他的信封，可以理解为是n-1个信封的错位重排，记作Dn-1，如果编号为2的信封选择了编号为1的信，那么剩下的就是n-2个信封的错位重排，记作Dn-2，故为上面所列式子。
具体把错位重排的关系应用到解题时，我们需要记清楚一些小元素对应的错位重排数，比如D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，D6=265等，如果记不清楚，也可以根据刚才所给的公式推导出来。
例1.某校心理健康日，为拉近同学们彼此心灵之间的距离，设置了“抱抱团”游戏。
该游戏要求10人面对面而站，相对而站的两人彼此是朋友。
然后要求其中一排的人去拥抱对面的人，但不能拥抱自己的朋友，也不能出现拥抱同一个人，则共有多少种不同的拥抱方法？A.60B.54C.38D.44【中公解析】选D，题目可以理解为把两排的人在同一方向按顺序编号 1、2、3、4、5，其中一排的人去拥抱另一排的一个人，但不能拥抱与自己序号相同的人，且不能拥抱同一人，则共有多少种不同的拥抱方法？就是找5个元素对应的错位重排数的，由错位重排前面给的公式可得，D5=44，故选D。
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装错信封问题
华图教育邹维丽
1．问题的提出
1)小明给住在五个国家的五位小朋友分别写一封信，这些信都装错了信封的情况共有多少种？
A．32种 B．44种 C．64种 D．120种
2)有5个客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家．回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子．问5个客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？
上述两个问题，实质上是完全一样的．是被著名数学家欧拉(LeonhardEuler，1707－1783)称为“组合数论的一个妙题”的“装错信封问题”的两个特例．“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(JohannBernoulli，1667－1748)的儿子丹尼尔·伯努利(DanidBernoulli，1700－1782)提出来的，大意如下：
一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？
2．问题求解
“装错信封问题”其实就是n个不同元素的一类特殊排列问题，下面我们给出这类问题的求解公式．为方便，我们先把n个不同的元素及相应的位置都编上序号1，2，…，n，并且约定：在n个不同元素的排列中
1若编号为i(i=1，2，…，n)的元素排在第i个位置，则称元素i在原位；否则称元素i不在原位．
2若所有的元素都不在原位，则称这种排列为n个不同元素的一个错排(若每个元素都在原位则称为序排)．
按照上面约定，“装错信封问题”即为n个不同元素的错排问题，也就是求在n个不同元素的全排列中，有多少种不同的错排？
设I表示n个不同元素的全排列的集合
A i (i=1，2，…，n)为元素i在原位的排列的集合．
A i∩A j (1≤i＜j≤n)为元素i与j在原位的排列的集合．i j
……
……
()12121k i i i k A A A i i i ≤<<≤为n 个元素的序排的集合．
则它们的排列数(即各个集合中元素的个数)分别为
|I|=n ！
| A i |=(n －1)！i
| A i ∩A j |=(n －2)！
……
(1)
2k i i i A A A =(n －k)！
……
…… ()12
!0!n A A A n n =-=、 因为集合A 1有1n C 种，A i ∩A j 有2n C 种，…，12k i i i A A A 有k n C 种，12n A A A 有n n C 种。
所以，根据容斥原理即得“装错信封问题”的求解公式(即n 个不同元素的错排数)为
()1212121k k k n n n i n i j n i i i D A A A I C A C A A C A A A ==-+-+-+ ()121n n n n C A A A +-
()()()()()()12!1!2!1!1!k n k n n n n n n C n C n C n k C n n =--+--
+--++-- ()1111!111!2!3!
!n n n ⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭
3． 应用举例 根据上述公式，很容易求得1234560,1,2,9,44,265D D D D D D ======。
在公务员考试中，一般都不会要求求六个以上元素的错位排列问题，所以大家只需要牢牢记住上面列出的六位数就可以了。
下面再举几例说明公式的应用．
例1． 甲、乙、丙、丁四个人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙部站在第三位，丁不站在第四位，则所有可能的站法数为多少种？
A. 6
B.12
C.9
D.24
【解析】本题可以这样理解，假设甲、乙、丙、丁最初分别站在第一位，第二位，第三位，第四位，那么，现在要求甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙部站在第三位，丁不站
在第四位，这就转化成错位排列问题，根据错位排列问题公式，
49
D=，所以答案选C。
例2五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？
A. 6
B.10
C.12
D.20
【解析】先从五个瓶子中选出三个瓶子，供有3
510
C=种方法；然后对这三个瓶子进行
错位排列共有
32
D=种方法。
因此，所以的可能的方法数为10×2=20种。
答案选D。