第9讲谓词逻辑公式
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谓词逻辑I 谓词、量词与谓词公式共32页
谓词逻辑I 谓词、量词与谓词 公式
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
谓词公式与翻译(精)
（4）谓词
P（x）为P（a）= 0，P（b）= 1；
Q（x，y）为Q（a，a）= 0，Q（a，b）= Q（b，a）= Q（b，b）
= 1；
L（x，y）为L（a，b）=L（b，a）= 0，L（a，a）= L（b，b）=
1。
求下列公式在解释I下的真值
2）x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））；
在解释I下
5
2.3 谓词公式与翻译
由例可知，对于命题翻译成谓词公式时，机动性很大，由于对个 体描述性质的刻划深度不同，就可翻译成不同形式的谓词公式。
例如：这只大红书柜摆满了那些古书
解法1：
解法2：
设：F(x,y): x摆满了y
设：F(x,y): x摆满了y
R(x): x是大红书柜
x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））
=（ P（f（a））∧Q（a，f（a）））∨（ P（f（b））∧Q（b，f
（b）））
=（ P（b）∧Q（a，b））∨（ P（a）∧Q（b，a））
=（ 1∧1）∨（ 0∧1）
= 1∨0
= 1 2019/6/3
10
【例2.2.1】给定解释I如下
（1）U =｛a，b｝；
人总是要犯错误的。
解：设F(x)：x犯错误，M(x)：x是人。则上句符
号化为：
(a) ┒(x)(M(x)⋀┒F(x)) (b) x(M(x)→F(x)) 【例2】尽管有人聪明但未必一切人都聪明。
解：设P(x)：x聪明，M(x)：x是人。则上句符号 化为：
2019/6/3 x(M(x)⋀P(x))⋀┒(x(M(x)→P(x)))
2019/6/3
7
2.3 谓词公式与翻译
谓词逻辑 基本推理公式
谓词逻辑基本推理公式
谓词逻辑的基本推理公式包括：
1. 全称量词规则：如果个体域中每一个个体具有性质A，则存在一个个体具有性质A。
即，能找出一个就表示存在。
公式为A ( c ) ⇒∃ x A
( x )A(c)\Rightarrow\exists xA(x)A(c)⇒∃xA(x)。
规则成立的条件是c是个体域中某个确定的个体，代替c的x不在A©中出现过。
2. 存在量词规则：如果个体域中存在个体具有性质A，则至少存在一个个体具有性质A。
公式为∃ x A ( x ) ∀ y A ( y )\exists xA(x)\forall yA(y)∃x A(x)∀yA(y)。
3. 归结推理：将公式中的量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变。
4. 代入规则：把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号。
5. 解释（赋值）：谓词公式A的个体域D是非空集合，则每一个常项指定D中一个元素；每一个n元函数指定Dn到D的一个函数；每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词。
按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。
以上是谓词逻辑的基本推理公式，通过这些公式可以推导出更复杂的逻辑推理结果。
谓词逻辑I 谓词、量词与谓词公式
如 F(x)G(x), xF(x)yG(y)是pq的代换实例 定理 重言式的代换实例都是重言式，矛盾式的代 换实例都是矛盾式.
26
实例
例 判断下列公式的类型 (1) ∀xF(x)→∃xF(x)；
设I为任意的解释，若∀xF(x)为假，则 ∀xF(x)→∃xF(x)为真. 若∀xF(x)为真，则∃xF(x)也为 真，所以∀xF(x)→∃xF(x)恒为真. 是逻辑有效式. (2) ∀xF(x)→(∀x∃yG(x,y)→∀xF(x))； 重言式p→(q→p) 的代换实例，是逻辑有效式.
7
基本概念 —谓词：0元谓词
例 将命题“2是素数且是偶数”用0元谓词 符号化 设F(x)：x是素数； G(x)：x是偶数；a: 2 则F(a)G(a)表示“2是素数且是偶数” F(a)和G(a)都是0元谓词，不仅如此 F(a)G(a)也是0元谓词， F(x)G(x)是一个1 元谓词，表示x既是素数又是偶数这一性质. 以个体常元a代入x，从而消去个体变元，便 得到0元谓词F(a)G(a)
10
例 (续 )
(2) 2 是无理数仅当 3是有理数 在命题逻辑中, 设 p： 2 是无理数，q： 3 是有理数. 符号化为 p q 在谓词逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F ( 2 ) G( 3 ) (3) 如果2>3，则3<4 在命题逻辑中, 设 p：2>3，q：3<4. 符号化为 pq 在谓词逻辑中, 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4)
基本概念 ——谓词：元数
谓词的元数: 谓词中包含的个体的个数， 例如 F(x,y,z)含有三个个体，其元数为3 一元谓词: 表示事物的性质或状态，如F(苏) 多元谓词 (n元谓词, n2): 表示事物之间的 关系. 例如 L(x,y)表示x与y有L关系， 若L表示…大于…，则L(x,y)表示x>y， 若 L 表示 …是 … 的妻子，则 L( 圆 , 又 ) 表示 高圆圆是赵又廷的妻子. n 元谓词规定了 n个个体的顺序，不可随意颠 倒 . 例如 L(圆,又)不能写L(又,圆)
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实例
例 判断下列公式的类型 (1) ∀xF(x)→∃xF(x)；
设I为任意的解释，若∀xF(x)为假，则 ∀xF(x)→∃xF(x)为真. 若∀xF(x)为真，则∃xF(x)也为 真，所以∀xF(x)→∃xF(x)恒为真. 是逻辑有效式. (2) ∀xF(x)→(∀x∃yG(x,y)→∀xF(x))； 重言式p→(q→p) 的代换实例，是逻辑有效式.
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基本概念 —谓词：0元谓词
例 将命题“2是素数且是偶数”用0元谓词 符号化 设F(x)：x是素数； G(x)：x是偶数；a: 2 则F(a)G(a)表示“2是素数且是偶数” F(a)和G(a)都是0元谓词，不仅如此 F(a)G(a)也是0元谓词， F(x)G(x)是一个1 元谓词，表示x既是素数又是偶数这一性质. 以个体常元a代入x，从而消去个体变元，便 得到0元谓词F(a)G(a)
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例 (续 )
(2) 2 是无理数仅当 3是有理数 在命题逻辑中, 设 p： 2 是无理数，q： 3 是有理数. 符号化为 p q 在谓词逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F ( 2 ) G( 3 ) (3) 如果2>3，则3<4 在命题逻辑中, 设 p：2>3，q：3<4. 符号化为 pq 在谓词逻辑中, 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4)
基本概念 ——谓词：元数
谓词的元数: 谓词中包含的个体的个数， 例如 F(x,y,z)含有三个个体，其元数为3 一元谓词: 表示事物的性质或状态，如F(苏) 多元谓词 (n元谓词, n2): 表示事物之间的 关系. 例如 L(x,y)表示x与y有L关系， 若L表示…大于…，则L(x,y)表示x>y， 若 L 表示 …是 … 的妻子，则 L( 圆 , 又 ) 表示 高圆圆是赵又廷的妻子. n 元谓词规定了 n个个体的顺序，不可随意颠 倒 . 例如 L(圆,又)不能写L(又,圆)
第9讲谓词逻辑公式
最外层 优先级递减： ∃, ∀; ¬; ∧,∨, →,↔
2012-2-22
一阶逻辑
17
合式公式中的变项
量词辖域: 在∃xA, ∀xA中, A是量词的辖 域. 例如: ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) 指导变项: 紧跟在量词后面的个体变项. 例如: ∃ ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) ∧∀ → 约束出现: 在辖域中与指导变项同名的变 项. 例如: ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) 自由出现: 既非指导变项又非约束出现. 例如: ∀y(G(y)→H(x,y))
2012-2-22
一阶逻辑
8
字母表
个体常元: 函数符号: 谓词符号: 个体变元: 量词符号: 联结词符号: 括号与逗号:
2012-2-22
a, b, c, …, a1, b1, c1,… f, g, h, …, f1, g1, h1,… F, G, H, …, F1, G1, H1, … x, y, z, …, x1, y1, z1,… ∃, ∀ ¬, ∧, ∨, →, ↔ (, ), ，
2012-2-22 一阶逻辑 22
赋值
是否存在一种公式在任何赋值下都 取相同的真值呢？
2012-2-22
一阶逻辑
23
一阶逻辑永真式(tautology)
永真式:在各种赋值下取值均为真(逻辑有 效式) 命题逻辑永真式: 在各种赋值下取值均为真
(重言式)
永假式:在各种赋值下取值均为假(矛盾式)
命题逻辑永假式: 在各种赋值下取值均为假 (矛盾式)
2012-2-22 一阶逻辑 18
合式公式中的变项(举例)
H(x,y)∨∃xF(x)∨∀y(G(y)→H(x,y)) x 与 y 是指导变项 x与y是约束出现 x与 y是自由出现 注：同一变元在同一公式中可能既有约 束出现又有自由出现
2012-2-22
一阶逻辑
17
合式公式中的变项
量词辖域: 在∃xA, ∀xA中, A是量词的辖 域. 例如: ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) 指导变项: 紧跟在量词后面的个体变项. 例如: ∃ ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) ∧∀ → 约束出现: 在辖域中与指导变项同名的变 项. 例如: ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) 自由出现: 既非指导变项又非约束出现. 例如: ∀y(G(y)→H(x,y))
2012-2-22
一阶逻辑
8
字母表
个体常元: 函数符号: 谓词符号: 个体变元: 量词符号: 联结词符号: 括号与逗号:
2012-2-22
a, b, c, …, a1, b1, c1,… f, g, h, …, f1, g1, h1,… F, G, H, …, F1, G1, H1, … x, y, z, …, x1, y1, z1,… ∃, ∀ ¬, ∧, ∨, →, ↔ (, ), ，
2012-2-22 一阶逻辑 22
赋值
是否存在一种公式在任何赋值下都 取相同的真值呢？
2012-2-22
一阶逻辑
23
一阶逻辑永真式(tautology)
永真式:在各种赋值下取值均为真(逻辑有 效式) 命题逻辑永真式: 在各种赋值下取值均为真
(重言式)
永假式:在各种赋值下取值均为假(矛盾式)
命题逻辑永假式: 在各种赋值下取值均为假 (矛盾式)
2012-2-22 一阶逻辑 18
合式公式中的变项(举例)
H(x,y)∨∃xF(x)∨∀y(G(y)→H(x,y)) x 与 y 是指导变项 x与y是约束出现 x与 y是自由出现 注：同一变元在同一公式中可能既有约 束出现又有自由出现
离散数学 谓词逻辑
例1 给定解释I1如下：
(1)个体域为自然数集合N； (2)N中的特定元素a=0； （3）F(x,y):x大于或等于y. 在解释I1下,求下列各式的真值： (1)(∀x)F(x,a)；(2)(∀x∃y)F(x,y) 解 在解释I1下,公式分别解释为： (1)任何自然数都大于或等于零, 为真命题.
(2)对任一自然数x,都存在一自然数y使得x≥y, 为真命题.
4
例子
［例2-1.1］ 张明是位大学生。 解：设S(x)：x是大学生,c：张明, 一元谓词：表 则原句的谓词形式为S(c)。 示客体性质 ［例2-1.2］我坐在张三和李四中间。 解：设S(x,y,z)：x坐在y和z之间,i：我,z：张 三,l：李四, 多元谓词：表 示客体间关系 则原句的谓词形式为S(i,z,l)。
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下 符号化的形式可能不同。
11
这里,M(x)称为特性谓词。应该注意 的是,全称量词和存在量词符号化时,引入 特性谓词时的形式是不同的。 用全称量词 符号化时,特性谓词作为条 件式的前件； 用存在量词符号化时则作为合取式的一 项。
12
对于任一给定的实数x,都存在着一个实数y,使得 x+y=0。 如果取个体域为实数集合 ∀ x ∃ y H(x, y ) 然而 ∃ y ∀ x H(x, y )： 存在着一个少数y,对于任一实数x,使得x+y=0
3
谓词的表示
客体词有两种：客体常元和客体变元。客体常 元表示具体的或特定的客体,一般用小写字母 a、b、c等表示；表示抽象的或泛指的客体的 词称为客体变元,常用小写字母x、y、z等表 示。 谓词,通常用大写的字母A、B、C等表示。
谓词填式：单独一个谓词不是完整的命题, 把谓词字母后填以客体所得的式子。
谓词逻辑的等值和推理演算-PPT精选文档
Lu Chaojun, SJTU11Fra bibliotek何转化成PNF
1.消去和↔ 2.否定词内移
– 应用De Morgan律
3.约束变元易名(如果必要的话) 4.量词左移
– 应用分配等值式
Lu Chaojun, SJTU
12
例:求PNF
((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = ((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (z)Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(z)(y)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y)Q(z,b)R(x)(pp))
Lu Chaojun, SJTU
5
量词分配等值式
• 量词对及的分配律
(x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) – 其中 不含自由x ! – 这个条件很容易满足:对约束变元改名即可.
Lu Chaojun, SJTU
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量词分配等值式(续)
• 量词对的分配律
(x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) – 其中 不含自由x !
1.消去和↔ 2.否定词内移
– 应用De Morgan律
3.约束变元易名(如果必要的话) 4.量词左移
– 应用分配等值式
Lu Chaojun, SJTU
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例:求PNF
((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = ((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (z)Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(z)(y)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y)Q(z,b)R(x)(pp))
Lu Chaojun, SJTU
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量词分配等值式
• 量词对及的分配律
(x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) – 其中 不含自由x ! – 这个条件很容易满足:对约束变元改名即可.
Lu Chaojun, SJTU
6
量词分配等值式(续)
• 量词对的分配律
(x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) – 其中 不含自由x !
谓词公式与翻译(精)
xP(x)→x Q(x)) ┒(x)P(x) ⋁x Q(x)
定义2:
设A为谓词公式，若在任何解释下，A的真值都为真，则 称A为永真式；
若至少存在一种解释，使A的真值为真，则称A为可满足 式；
若在任何解释下，A的真值都为假，则称A为矛盾式，矛 盾式也称不可满足式。
2019/6显/3 然，永真式是可满足式。
2019/6/3
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2.3 谓词公式与翻译
2．谓词公式的解释 定义 谓词公式的一个解释I，由下面4部分组成 1）非空的论域U； 2）U中的特定的个体常项； 3）U上特定的函数； 4）U上特定的谓词。
若将谓词公式中的个体常项，函数和谓词分别指定 为U中的特定个体常项，U上特定的函数和U上特定的谓 词，即为该公式在解释I下的真值。
彐x(P(z)∧R(x,z)) 但是彐x(P(x)∧R(x,x))与彐x(P(z)∧R(x,y))这两种代入都是与
规则不符的。
2019/6/3
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2.5谓词公式的等价与蕴涵
1、谓词逻辑中常见的等价与蕴含关系 谓词公式的赋值:
在谓词公式中常包含命题变元和客体变元，当客体 变元由确定的客体所取代，命题变元用确定的命题 所取代时，就称作对谓词公式的赋值。一个谓词公 式经过赋值以后，就成为具有确定真值T或F的命 题。
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(1)命题逻辑中等价和蕴含的推广
在命题演算中，任一永真公式，其中同一命题变元， 用同一公式取代时，其结果也是永真公式。我们可以 把这个情况推广到谓词公式之中，当谓词演算中的公 式代替命题演算中永真公式的变元时，所得的谓词公 式即为有效公式，故命题演算中的等价公式表和蕴含 式表都可推广到谓词演算中使用。
例题 2 对x(P(x)→R(x,y))∧Q(x,y)换名。 解 可换名为： z(P(z)→R(z,y))∧Q(x,y)， 但不能改名为： y(P(y)→R(y,y))∧Q(x,y) 以及 z(P(z)→R(x,y))∧Q(x,y)。
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2012-2-22 一阶逻辑 2
注意：
在论域不同时，命题符号化的形式也不同 若未给出论域，则以全总个体域为论域 论域确定后，使用全称量词与存在量词符 号化形式不同 多个量词同时出现时，不能随意颠倒次序 ∀x∃y(x≤y) ∃x∀y(x≤y)
2012-2-22
一阶逻辑
3
谓词演算的形式系统
字母表 公式 公理 推理规则 形式语言 形式推理
最外层 优先级递减： ∃, ∀; ¬; ∧,∨, →,↔
2012-2-22
一阶逻辑
17
合式公式中的变项
量词辖域: 在∃xA, ∀xA中, A是量词的辖 域. 例如: ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) 指导变项: 紧跟在量词后面的个体变项. 例如: ∃ ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) ∧∀ → 约束出现: 在辖域中与指导变项同名的变 项. 例如: ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) 自由出现: 既非指导变项又非约束出现. 例如: ∀y(G(y)→H(x,y))
一阶逻辑 9
L生成的一阶语言
个体常元: 函数符号: 谓词符号: a, b, c, …, a1, b1, c1,… f, g, h, …, f1, g1, h1,… F, G, H, …, F1, G1, H1, …
非逻辑符号并不一定都出现 一阶语言随着非逻辑符号的不同而不同，称为 由非逻辑符号集合L生成的一阶语言。
2012-2-22
一阶逻辑
8
字母表
个体常元: 函数符号: 谓词符号: 个体变元: 量词符号: 联结词符号: 括号与逗号:
2012-2-22
a, b, c, …, a1, b1, c1,… f, g, h, …, f1, g1, h1,… F, G, H, …, F1, G1, H1, … x, y, z, …, x1, y1, z1,… ∃, ∀ ¬, ∧, ∨, →, ↔ (, ), ，
原子公式是合式公式 若A是合式公式，则(¬A)是合式公式 若A,B是合式公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)也是合式公式 若A是合式公式，则∃xA, ∀xA也是合式 公式 只有有限次地应用上述规则形成的符号 串才是合式公式
2012-2-22 一阶逻辑 16
合式公式（举例）
∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) F(f(a,a),b) F(x,y) 约定：省略多余括号
赋值(举例)
F(f(a,a),b) 赋值1： 个体域是全体自然数; a: 2; b: 4; f(x,y)=x+y; F(x,y): x=y 原公式赋值成: “2+2=4”。 赋值2： 个体域是全体实数; a: 3; b: 5; f(x,y)=x-y; F(x,y): x>y 原公式赋值成: “3-3>5”。
2012言是用于一阶逻辑的形式语 言 一阶逻辑是建立在一阶语言上的逻 辑体系
2012-2-22
一阶逻辑
5
一阶语言
谓词演算形式系统语言
•非逻辑符号 •逻辑符号 •项 •（合式）公式
2012-2-22
一阶逻辑
6
非逻辑符号
个体常元: 函数符号: 谓词符号: a, b, c, …, a1, b1, c1,… f, g, h, …, f1, g1, h1,… F, G, H, …, F1, G1, H1, …
可满足式：非永假式
2012-2-22 一阶逻辑 24
代换实例
在含命题变项p1,p2,……,pn的命题公式中, 每个命题变项代换成一阶逻辑公式所得 到的式子, 称为原来公式的代换实例. 例： F(x)→G(y) ¬ ∀xF(x)∨G(y)
2012-2-22
一阶逻辑
25
一阶逻辑公式分类
例： ¬∀xF(x) ↔ ∃x¬F(x) ∀xF(x) →(G(y) → ∀xF(x) ) ∃xF(x) → ∀yG(y) ¬(∀xF(x) →∃yG(y) ) ∧ ∃yG(y)
把函数和谓词中的变元直接写到符号后 的括号中,如F(x,y,x), g(x,y)等 非逻辑符号集合常记为L
2012-2-22 一阶逻辑 7
逻辑符号
个体变元: 量词符号: 联结词符号: 括号与逗号: x, y, z, …, x1, y1, z1,… ∃, ∀ ¬, ∧, ∨, →, ↔ (, ), ，
2012-2-22 一阶逻辑 22
赋值
是否存在一种公式在任何赋值下都 取相同的真值呢？
2012-2-22
一阶逻辑
23
一阶逻辑永真式(tautology)
永真式:在各种赋值下取值均为真(逻辑有 效式) 命题逻辑永真式: 在各种赋值下取值均为真
(重言式)
永假式:在各种赋值下取值均为假(矛盾式)
命题逻辑永假式: 在各种赋值下取值均为假 (矛盾式)
2012-2-22
一阶逻辑
14
原子公式(atomic formula)
若R(x1,x2,…,xn)是n元谓词, t1,t2,…,tn是项, 则R(t1,t2,…,tn)是原子公式 例如: F(a), G(a,y), F(f(a)), G(x,g(a,y))
2012-2-22
一阶逻辑
15
合式公式(well-formed formula)
2012-2-22
一阶逻辑
10
L生成的一阶语言举例
如：非逻辑符号
个体常元: 函数符号: : 0 +
L1={0, +} 如：非逻辑符号
个体常元: 函数符号: 0，1 +,*
L2={0,1, +,*}
2012-2-22 一阶逻辑 11
L生成的一阶语言说明
非逻辑符号与所描述的特定对象有关。 逻辑符号是逻辑系统中的符号。 一阶逻辑研究一阶语言的一般性质，而 不是针对某个特定的一阶语言。对一个 具体的应用而言，L通常是不言自明的， 由使用的全部非逻辑符号组成。
闭式: 无自由出现的变项 一般来说, 闭式表示的是命题, 例如
F(a) ∃xF(x) F(x) ∀y(G(y)→H(x,y))
后两个不是闭式
2012-2-22 一阶逻辑 20
赋值(解释interpret)
对一个合式公式的赋值包括给出
个体域 谓词 函数 个体常项
的具体含义
2012-2-22
一阶逻辑
21
一阶(谓词)逻辑
量词 谓词、函数 个体词 个体域
全总个体域: 世界上的万事万物 特性谓词: 表示所关注的对象的性质
2012-2-22 一阶逻辑 1
苏格拉底三段论
凡人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以，苏格拉底是要死的。 重新符号化：∀, ∃, F( ), x, a 设：F(x)：x是人。G(x)：x是要死的。 a：苏格拉底。 前提：∀x(F(x)→G(x))，F(a) 结论：G(a)
2012-2-22 一阶逻辑 12
一阶(first order)逻辑的合式公式
项 原子公式 合式公式
2012-2-22
一阶逻辑
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项(term)
个体常项和个体变项是项 若ϕ(x1,x2,…,xn)是n元函数, t1,t2,…,tn是项, 则ϕ(t1,t2,…,tn)是项 所有的项都是有限次地应用上述规则形 成的 例如: a, x, f(a), g(a,x), g(x,f(a))
2012-2-22 一阶逻辑 18
合式公式中的变项(举例)
H(x,y)∨∃xF(x)∨∀y(G(y)→H(x,y)) x 与 y 是指导变项 x与y是约束出现 x与 y是自由出现 注：同一变元在同一公式中可能既有约 束出现又有自由出现
2012-2-22 一阶逻辑 19
闭式(closed form)
2012-2-22
一阶逻辑
26
习题
P66 10,11,12,15
2012-2-22
一阶逻辑
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注意：
在论域不同时，命题符号化的形式也不同 若未给出论域，则以全总个体域为论域 论域确定后，使用全称量词与存在量词符 号化形式不同 多个量词同时出现时，不能随意颠倒次序 ∀x∃y(x≤y) ∃x∀y(x≤y)
2012-2-22
一阶逻辑
3
谓词演算的形式系统
字母表 公式 公理 推理规则 形式语言 形式推理
最外层 优先级递减： ∃, ∀; ¬; ∧,∨, →,↔
2012-2-22
一阶逻辑
17
合式公式中的变项
量词辖域: 在∃xA, ∀xA中, A是量词的辖 域. 例如: ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) 指导变项: 紧跟在量词后面的个体变项. 例如: ∃ ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) ∧∀ → 约束出现: 在辖域中与指导变项同名的变 项. 例如: ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) 自由出现: 既非指导变项又非约束出现. 例如: ∀y(G(y)→H(x,y))
一阶逻辑 9
L生成的一阶语言
个体常元: 函数符号: 谓词符号: a, b, c, …, a1, b1, c1,… f, g, h, …, f1, g1, h1,… F, G, H, …, F1, G1, H1, …
非逻辑符号并不一定都出现 一阶语言随着非逻辑符号的不同而不同，称为 由非逻辑符号集合L生成的一阶语言。
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一阶逻辑
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字母表
个体常元: 函数符号: 谓词符号: 个体变元: 量词符号: 联结词符号: 括号与逗号:
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a, b, c, …, a1, b1, c1,… f, g, h, …, f1, g1, h1,… F, G, H, …, F1, G1, H1, … x, y, z, …, x1, y1, z1,… ∃, ∀ ¬, ∧, ∨, →, ↔ (, ), ，
原子公式是合式公式 若A是合式公式，则(¬A)是合式公式 若A,B是合式公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)也是合式公式 若A是合式公式，则∃xA, ∀xA也是合式 公式 只有有限次地应用上述规则形成的符号 串才是合式公式
2012-2-22 一阶逻辑 16
合式公式（举例）
∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) F(f(a,a),b) F(x,y) 约定：省略多余括号
赋值(举例)
F(f(a,a),b) 赋值1： 个体域是全体自然数; a: 2; b: 4; f(x,y)=x+y; F(x,y): x=y 原公式赋值成: “2+2=4”。 赋值2： 个体域是全体实数; a: 3; b: 5; f(x,y)=x-y; F(x,y): x>y 原公式赋值成: “3-3>5”。
2012言是用于一阶逻辑的形式语 言 一阶逻辑是建立在一阶语言上的逻 辑体系
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一阶逻辑
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一阶语言
谓词演算形式系统语言
•非逻辑符号 •逻辑符号 •项 •（合式）公式
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一阶逻辑
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非逻辑符号
个体常元: 函数符号: 谓词符号: a, b, c, …, a1, b1, c1,… f, g, h, …, f1, g1, h1,… F, G, H, …, F1, G1, H1, …
可满足式：非永假式
2012-2-22 一阶逻辑 24
代换实例
在含命题变项p1,p2,……,pn的命题公式中, 每个命题变项代换成一阶逻辑公式所得 到的式子, 称为原来公式的代换实例. 例： F(x)→G(y) ¬ ∀xF(x)∨G(y)
2012-2-22
一阶逻辑
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一阶逻辑公式分类
例： ¬∀xF(x) ↔ ∃x¬F(x) ∀xF(x) →(G(y) → ∀xF(x) ) ∃xF(x) → ∀yG(y) ¬(∀xF(x) →∃yG(y) ) ∧ ∃yG(y)
把函数和谓词中的变元直接写到符号后 的括号中,如F(x,y,x), g(x,y)等 非逻辑符号集合常记为L
2012-2-22 一阶逻辑 7
逻辑符号
个体变元: 量词符号: 联结词符号: 括号与逗号: x, y, z, …, x1, y1, z1,… ∃, ∀ ¬, ∧, ∨, →, ↔ (, ), ，
2012-2-22 一阶逻辑 22
赋值
是否存在一种公式在任何赋值下都 取相同的真值呢？
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一阶逻辑
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一阶逻辑永真式(tautology)
永真式:在各种赋值下取值均为真(逻辑有 效式) 命题逻辑永真式: 在各种赋值下取值均为真
(重言式)
永假式:在各种赋值下取值均为假(矛盾式)
命题逻辑永假式: 在各种赋值下取值均为假 (矛盾式)
2012-2-22
一阶逻辑
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原子公式(atomic formula)
若R(x1,x2,…,xn)是n元谓词, t1,t2,…,tn是项, 则R(t1,t2,…,tn)是原子公式 例如: F(a), G(a,y), F(f(a)), G(x,g(a,y))
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一阶逻辑
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合式公式(well-formed formula)
2012-2-22
一阶逻辑
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L生成的一阶语言举例
如：非逻辑符号
个体常元: 函数符号: : 0 +
L1={0, +} 如：非逻辑符号
个体常元: 函数符号: 0，1 +,*
L2={0,1, +,*}
2012-2-22 一阶逻辑 11
L生成的一阶语言说明
非逻辑符号与所描述的特定对象有关。 逻辑符号是逻辑系统中的符号。 一阶逻辑研究一阶语言的一般性质，而 不是针对某个特定的一阶语言。对一个 具体的应用而言，L通常是不言自明的， 由使用的全部非逻辑符号组成。
闭式: 无自由出现的变项 一般来说, 闭式表示的是命题, 例如
F(a) ∃xF(x) F(x) ∀y(G(y)→H(x,y))
后两个不是闭式
2012-2-22 一阶逻辑 20
赋值(解释interpret)
对一个合式公式的赋值包括给出
个体域 谓词 函数 个体常项
的具体含义
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一阶逻辑
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一阶(谓词)逻辑
量词 谓词、函数 个体词 个体域
全总个体域: 世界上的万事万物 特性谓词: 表示所关注的对象的性质
2012-2-22 一阶逻辑 1
苏格拉底三段论
凡人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以，苏格拉底是要死的。 重新符号化：∀, ∃, F( ), x, a 设：F(x)：x是人。G(x)：x是要死的。 a：苏格拉底。 前提：∀x(F(x)→G(x))，F(a) 结论：G(a)
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一阶(first order)逻辑的合式公式
项 原子公式 合式公式
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项(term)
个体常项和个体变项是项 若ϕ(x1,x2,…,xn)是n元函数, t1,t2,…,tn是项, 则ϕ(t1,t2,…,tn)是项 所有的项都是有限次地应用上述规则形 成的 例如: a, x, f(a), g(a,x), g(x,f(a))
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合式公式中的变项(举例)
H(x,y)∨∃xF(x)∨∀y(G(y)→H(x,y)) x 与 y 是指导变项 x与y是约束出现 x与 y是自由出现 注：同一变元在同一公式中可能既有约 束出现又有自由出现
2012-2-22 一阶逻辑 19
闭式(closed form)
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习题
P66 10,11,12,15
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一阶逻辑
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