电磁学 静电场(导体)
电磁学02静电场中的导体与介质
A q -q
-q+q
UA
q'
4 0 R0
q ' 4 0R1
q q '
4 0 R2
0
可得 q ( q) 1(9略)
例4 接地导体球附近有一点电荷,如图所示。
求:导体上感应电荷的电量
R
解: 接地 即 U0
o
感应电荷分布在表面，
l
q
电量设为:Q’（分布不均匀！）
由导体等势，则内部任一点的电势为0
选择特殊点：球心o计算电势，有：
1) Dds
S
1 (
r
1) q0内
l i mq内
V0V
1 (
r
1) limq0内 V0V
1 (
r
1)0
00 0。 40
[例2] 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为 d
表明：腔内的场与腔外(包括壳的外表面)
物理 内涵
的电荷及分布无关。
在腔内 E 腔 外表 E 腔 面外 0带
电 量 的电 体 的
二.腔内有带电体时
q
① 带电量： Q腔内 q （用高斯定理易证）
表面
23
② 腔内的电场： 不为零。
由空腔内状况决定，取决于：
*腔内电量q；
*腔内带电体及腔内壁的 几何因素、介质。
平行放置一无限大的不带电导体平板。
0 1 2 求：导体板两表面的面电荷密度。
E２ • E１ 解: 设导体电荷密度为 1、 2 ，
E0 电荷守恒： 1 + 2 = 0
(1)
导体内场强为零：E0 +E1‐E2 = 0
0 1 2 0 20 20 20
（1）、（2）解得：
静电场中的导体
说明：
一般情况表面有一定厚度，很复杂如：E=109V，则 感应电荷聚集在表面的厚度为10-10m，本课程不讨论 表面层电荷如何分布。 实际物质内部既有自由电子，又是电介质。如：气体 在一般情况下绝缘（电介质），但加高压气体会被击 穿（导体）——导体是一种理想模型。 对导体只讨论达到静电平衡以后的情况，不讨论加电 以后电荷的平衡过程。
S内
E
E d S 0
内表面不是等势面 ——导 体也不是等势体 ，矛盾
S面内 q 0
内 表面 电 荷代 数和 为 零? 内 表面 无 电荷
q 0
e内 0
空腔内部有带电体 q
导体内表面上所带电荷与腔内电荷的代数 和为零 证明：作Gauss面如图
E内＝0 E
力学：只涉及物质的机械性质，对其本身研究甚 少。 电磁学：较多地讨论场，而对物质本身的电磁性 质也涉及得很少。 物质与场是物质存在的两种形式 物质性质非常复杂（要特别注意我们课程中讨论 这种问题所加的限制）
导体静电平衡条件
导体：有足够多的自由电子 ——受电场力会移动.
静电平衡状态：体是一个等势体，导体表 面是等势面 证明：
导体内部E=0
U ab E d l 0
a
b
导体内部任意两点间电势差为零 ——各点等电势——等势体 ——表面为等势面
场强分布
E内 0
表面附近：表 表面 E 表面 ： σe 大小： E ε0
导体表面是等势 面，处处与电力 线正交 ？
S内
E d S 0
q 0 q x x q
张三慧《大学物理学：力学、电磁学》(第3版)(B版)(课后习题 静电场中的导体)【圣才出品】
第9章 静电场中的导体9.1 求导体外表面紧邻处场强的另一方法。
设导体面上某处面电荷密度为σ，在此处取一小面积ΔS，将ΔS 面两侧的电场看成是ΔS 面上的电荷的电场（用无限大平面算）和导体上其他地方以及导体外的电荷的电场（这电场在ΔS 附近可以认为是均匀的）的叠加，并利用导体内合电场应为零求出导体表面紧邻处的场强为σ/ε0（即教材式（8.2））。
解：如图8-1所示，导体表面小面积ΔS 上所带电荷在它的两侧分别产生场强为σ/2ε的电场E'1和E'2，ΔS以外的电荷在ΔS 附近产生的电场为E"，可视为均匀的。
由电场叠加原理，在ΔS 的导体内一侧应有于是在ΔS的导体外一侧，则合电场应为这说明E ex 的大小为2σ/（2ε0）＝σ/ε0，而其方向垂直于导体表面。
图8-19.2 一导体球半径为R1，其外同心地罩以内、外半径分别为R2和R3的厚导体壳，此系统带电后内球电势为φ1，外球所带总电量为Q 。
求此系统各处的电势和电场分布。
解：设内球带电为q 1，则球壳内表面带电将为－q1，而球壳外表面带电为q 1＋Q ，这样就有由此式可解得于是，可进一步求得9.3 在一半径为R1＝6.0 cm 的金属球A 外面套有一个同心的金属球壳B 。
已知球壳B 的内、外半径分别为R2＝8.0 cm ，R3＝10.0 cm 。
设A 球带有总电量QA ＝3×10－8 C ，球壳B 带有总电量QB ＝2×10－8C 。
（1）求球壳B 内、外表面上各带有的电量以及球A 和球壳B 的电势；（2）将球壳B 接地然后断开，再把金属球A 接地。
求金属球A 和球壳B内、外表面上各带有的电量以及球A 和球壳B 的电势。
解：（1）由高斯定律和电荷守恒可得球壳内表面带的电量为球壳外表面所带电量为于是（2）B 接地后断开，则它带的总电量变为然后球A 接地，则φ'a＝0。
设此时球A 带电量为q'A ，则由此解得9.4 一个接地的导体球，半径为R ，原来不带电。
华南师范大学电磁学习题课-静电场中的导体
15
由电荷守恒定律可得 对A、C板： 1 2 5 6 0 (4) 对B 板： 3 4 (5)
A
1 2
B C
3 4
5.0cm
5 6
8.0cm
由于A、C板用导线相连，故它们电势相等，所以有
AB CB 即 E23 d 23 E54 d 54
Qq ; 4 0 r
Qq E 4 0 r 2
3
4.4 一个接地的导体球，半径为R，原来不带电. 今将一 点电荷q放在球外距球心的距离为r的地方，求球上的 感生电荷总量. r
解：因为导体球接地，故其电 势为零，即 0 设导体球上的感应电量为Q 由导体是个等势体知： o点的电势也为0 由电势叠加 原理有关系式：
荷在P1和P2点处产生的场强分别为 E 21和 E 22 由于P1和P2点非常靠近，因此可认为
P2E 22S E12 • P1 • E11 导体内 又设导体上其它地方以及导体外的电 导体外 E 21
E11 2 0
， E12
2 0
ห้องสมุดไป่ตู้E21 E22
Q外
Q内
QA B k k ＋k 4.5 103 (V ) R3 R3 R3
6
(2) 当球壳B接地时，A球所带电荷的电量 不变，分布也不变.
8 QA＝QA 3 10 （C）
Q外 B Q 内 Q A R A 1 R2 R3
由高斯定理可得球壳B内表面上带有的电量为
8 ＝ Q Q内 － 3 10 （C） A
• E 21
2 ˆn f E e 2 0 显然，此力方向与电荷的符号无关，总指向导体外 14 部.
赵凯华-电磁学-第三版-第二章-静电场中的导体和电介质
R2 R1 R0
解： 1)导体电荷只分布在表面上 球A的电荷只可能在球的表面
B
Q
Aq
o
壳电B荷有可两能个分表布面在内、外两个表面R（2具体R1分布？）R0
由于A、B同心放置
带电体系具有球对称性
电量在表面上均匀分布（满足E内＝0要求）
电量在表面上均匀分布 Q q
电量q在球A表面上均匀分
R 1
4 0
9109 m 103 RE 1F
106 F
法拉单位过大, 常用单位: 1nF 109 F
1pF 1012 F
二.导体组的电容
由静电屏蔽:导体壳内部的电场只由腔内的电 量和几何条件及介质决定电位差仅与电荷 Q，几何尺寸有关，不受外部电场的影响，可
以定义电容。
UB
E dr
R2
4 0r R2 4 0 R2
例3 如图所示，接地导体球附近有一点电荷 。
求:导体上感应电荷的电量
解: 接地，即 U 0
设:感应电量为 Q
R
由于导体是个等势体
O
l
q
O点的电势也为零 ，则
Q q 0 40 R 40l
Q Rq l
腔内无电场，E腔内＝0 腔内电势处处相等
S
证明: 在导体壳内紧贴内表面作高斯面S
E ds 0 高斯定理 S
Qi 内表面 0
1.处处没有电荷
与等位矛盾 证明了上述 两个结论
2.内表面有一部分是正 则 会 从 正 电 荷 向 负 电荷，一部分是负电荷 电荷发出电力线
这就是物质对静电场的响应---第二章的研究内容：电场中的导体感应、 电解质极化， 并且分析感应、极化电荷对静电场的影响---静电场与物质的 相互作用(影响)
电磁学讲义3
4 0 R3
0
r R3 :
U Er
4 0 r
40r 2
err
例 5. 已 知 R1=6.0cm, R2=8.0cm, R3=10.0cm, QA=310-8C, QB=210-8C. (1) 求球壳B内外表面 的电量及A、B的电势; (2) B接地后断开, 然后A接
地, 求A、B的带电量和电势.
4 2 0
5 2 0
6 2 0
0L
(2)
EC
1 2 0
2 2 0
3 2 0
4 2 0
5 2 0
6 2 0
0L
(3)
A、C平板相连为等势体
由 U AB UCB 有 E d AB AB E d CB CB
( 1 2 0
2 2 0
3
2 0
4 2 0
5
2 0
6
2 0
)d AB
(
例3. 将点电荷q置于距外半径为R的接地金属球壳 外P点, 且P点距球心为d, 求金属球壳的带电量Q.
解:由静电平衡条件知, 球壳的电荷Q全部分布在 外表面, 且腔内为一等势区.
球心处的电势为:
Uo U qo UQo
q
Q
p q
4πε0d 40R
R
Q
d
O
由于球壳接地
Uo
q
4 0 d
Q
4 0 R
0
静电平衡后, 导体上的电荷如何分布？
2. 导体表面电荷分布与其附近场强的关系 在静电场中, 导体表面电荷的分布由静电平
衡条件决定, 即导体上的电荷分布使导体满足静 电平衡条件, 否则电荷分布不稳定.
第十章静电场中的导体和电介质
第⼗章静电场中的导体和电介质第⼗章静电场中的导体和电介质在上⼀章中，我们讨论了真空中的静电场。
实际上，在静电场中总有导体或电介质存在，⽽且在静电的应⽤中也都要涉及导体和电介质的影响，因此，本章主要讨论静电场中的导体和电介质。
本章所讨论的问题，不仅在理论上有重⼤意义，使我们对静电场的认识更加深⼊，⽽且在应⽤上也有重⼤作⽤。
§10-1 静电场中的导体⼀、静电平衡条件1、导体与电介质的区别：（1）宏观上，它们的电导率数量级相差很⼤（相差10多个数量级，⽽不同导体间电导率数量级最多就相差⼏个数量级）。
（2）微观上导体内部存在⼤量的⾃由电⼦，在外电场下会发⽣定向移动，产⽣宏观上的电流⽽电介质内部的电⼦处于束缚状态，在外场下不会发⽣定向移动（电介质被击穿除外）。
2、导体的静电平衡条件（1）导体内部任何⼀点处的电场强度为零；（2）导体表⾯处的电场强度的⽅向,都与导体表⾯垂直.导体处于静电平衡状态的必要条件:0=i E（当导体处于静电平衡状态时，导体内部不再有⾃由电⼦定向移动，导体内电荷宏观分布不再随时间变化，⾃然其内部电场（指外场与感应电荷产⽣的电场相叠加的总电场）必为0。
⼆、静电平衡时导体上的电荷分布1、导体内部没有净电荷，电荷（包括感应电荷和导体本⾝带的电荷）只分布在导体表⾯。
这个可以由⾼斯定理推得：ii sq E ds ε?=，S 是导体内“紧贴”表⾯的⾼斯⾯，所以0i q =。
2、导体是等势体，导体表⾯是等势⾯。
显然()()0b a b i a V V E dl -=?=?，a,b 为导体内或导体表⾯的任意两点，只需将积分路径取在导体内部即可。
3、导体表⾯以处附近空间的场强为：0E n δε=，δ为邻近场点的导体表⾯⾯元处的电荷密度，?n 为该⾯元的处法向。
简单的证明下：以导体表⾯⾯元为中截⾯作⼀穿过导体的⾼斯柱⾯，柱⾯的处底⾯过场点，下底⾯处于导体内部。
由⾼斯定理可得：12i s s dsE ds E ds δε?+?=，1s ,2s 分别为⾼斯柱⾯的上、下底⾯。
大学物理笔记(6)电磁学(一)静电场
电荷体密度与电势关系
对于电荷体分布，可以取一小体积元，其电荷体密度为ρ， 则该体积元在距离r处产生的电势为dV=kρdV/r。电势ຫໍສະໝຸດ 与等势面概念及应用电势差定义
电势差是指电场中两点间电势的差值 ，用符号U表示，单位为伏特(V)。
种电荷相互吸引。
电场
电荷周围存在的一种特殊物质，对 放入其中的其他电荷有力的作用。
电场线
用来形象描述电场的曲线，电场线 上每点的切线方向表示该点的电场 强度方向，电场线的疏密程度反映 电场的强弱。
电场强度与电势
电场强度
描述电场强弱的物理量，用E表示 ，单位是牛/库仑（N/C）。电场 强度是矢量，方向与正电荷在该 点所受电场力方向相同。
电场强度
表示电场中某点的电场强弱 和方向的物理量，用E表示 。其方向与正电荷在该点所 受电场力的方向相同。
电势
描述电场中某点的电势能的 高低，用φ表示。电势差则 是两点间电势的差值，即电 压。
高斯定理
通过任意闭合曲面的电通量 等于该曲面内所包围的所有 电荷的代数和除以真空中的 介电常数。
常见误区及易错点提示
这种现象称为静电感应。
静电平衡
当导体内部电荷分布达到稳 定状态，即导体内部电场强 度为零时，称导体处于静电 平衡状态。此时，导体表面
电荷分布满足高斯定理。
屏蔽效应
处于静电平衡状态的导体， 其内部电场强度为零，因此 外部静电场对导体内部无影 响，这种特性称为屏蔽效应 。
介质在静电场中特性分析
01
电极化
05 静电场能量与能 量守恒定律探讨
静电场能量密度表达式推导
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E dS E表 dS E dS
S
dS
E表dS
dS 0
S dS
导体表面
E表 0
写作
E表
0
n^
n^ ：外法线方向
3.孤立带电导体表面电荷分布
一般情况较复杂；孤立的带电导体，电荷分布 的实验的定性的分布：
在表面凸出的尖锐部分(曲率是正值且较大)电 荷面密度较大，
在比较平坦部分(曲率较小)电荷面密度较小， 在表面凹进部分带电面密度最小。 孤立带电
q
4 0R1
4 0R2
UB
4 0R2
例3 接地导体球附近有一点电荷,如图所示。
求:导体上感应电荷的电量
解: 接地 即 U 0
设:感应电量为 Q
R
o
由导体是个等势体
l
q
o点的电势为0 则
Q q 0
4 0R 4 0l
QRq l
3.导体的电势
导体静电平衡时，导体各点电势相等，
即导体是等势体，表面是等势面。 dl b
U c
a
证：在导体上任取两点 a 和 b
b Ua Ub E dl 0
a
Ua Ub
导体等势是导体体内电场强 静电平衡条件
度处处为零的必然结果
的另一种表述
二.导体上电荷的分布
由导体的静电平衡条件和静电场的基本性质，
由对称性和电量守恒
2 2 0
1 2 0
1 2
导体体内任一点P场强为零
x
1
1 2
1 2 0 20 20 20
2
1
2
例2 金属球A与金属球壳B同心放置
q 已知：球A半径为 R0 带电为
金属壳B内外半径分别为 R1，R2
带电为 Q
B
Q
Aq
o
求:1)电量分布
2)球A和壳B的电
势 UA UB
R2 R1 R0
可以得出导体上的电荷分布。
dV
1.导体体内处处不带电
E内 0
证明：在导体内任取体积元 dV
E dS 0
由高斯定理
qi dV 0
S
i
V
体积元任取
0 证毕
导体带电只能在表面！
2.导体表面电荷
设导体表面电荷面密度为 (x, y, z)
相应的电场强度为
E表 (x,
y,
z)
Pds
设P是导体外紧靠导体表面的一点
QB内 q 相当于均匀带电的球面
QB外 Q q
证明壳B上电量的分布：
B
在B内紧贴内表面作高斯面 S
面S的电通量 E ds 0 S
A
Q
q
S
q
o
q
高斯定理
qi 0
i
QB内 q
电荷守 恒定律
QB外 Q q
等效:在真空中三个均匀带电的球面
利用叠加原理
R2
R1 R0
UA
q
4 0R0
解： 1)导体带电在表面
球A的电量只可能在球的表面 壳B有两个表面
B
Q
Aq
o
电量可能分布在内、外两个表面 R2 R1 R0
由于A B同心放置
仍维持球对称
电量在表面均匀分布
球A均匀分布着电量 q Q q B q
相当于一个均匀带电的球面
Aq
o
由高斯定理和电量守恒
可以证明壳B的电量分布是
R2 R1 R0
3.半导体 介于上述两者之间 semiconductor
本章讨论金属导体和电介质对场的影响
§1 静电场中的导体 一.导体的静电平衡条件 1.静电平衡 electrostatic equilibrium 导体内部和表面无自由电荷的定向移动， 说导体处于静电平衡状态。 2.导体静电平衡的条件
E内 0
导体球
尖端放电
孤立导体
C
金属尖端的强电场的应用一例
金属
场离子显微镜(FIM)
尖端
原理：
样品制成针尖形状，
针尖与荧光膜之间加高压，
样品附近极强的电场使吸附在表面的 H e
原 子 电离，氦离子沿电力线运动，
撞击荧光膜引起发光， 从而获得样品表面的图象。
接真空泵或 充氦气设备
荧光质 导电膜
接地
+ 高压
§2 有导体存在时静电场场量的计算
原则:
1.静电平衡的条件
E内 0
2.基本性质方程
E
ds
i
qi
S
0
3.电荷守恒定律
or U c
LE dl 0
Qi const.
i
例1 无限大的带电平面的场中 平行放置一无限大金属平板
1 2
求：金属板两面电荷面密度来自P 2 0解: 设金属板面电荷密度 1， 2
静电场中的导体和电介质
一.本章研究的问题 静电场 场量 E U
基本性质方程
qi
E dS
S
i
0
E dl 0
L
本章讨论：
电场与物质的相互 作用(影响)
二. 导体 绝缘体
1.导体 存在大量的可自由移动的电荷 conductor
2.绝缘体 理论上认为一个自由移动的电荷 也没有
也称 电介质 dielectric