2016高中数学人教A版必修四第一章41单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义42单位圆与周期性训练
《单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义》精品课件
解析
先考虑角的终边不在坐标轴上的情形如图设角的终边与单
位圆交于点P,则点P的坐标为 ,且 = .
点 在角的终边上,则 = + 分别过点P,Q作x轴的垂线
PM,QN,垂足为M,N.易知△ ∼△ .
所以
=
.即
学而优 ·教有方
典例剖析
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
师生互动
教师出示例2,组织学生分组讨论,确定利用定义解题的思路,然后安排一名学生上黑板演
示例2的解答过程,其他学生在练习本上完成.教师巡视,收集信息,及时评价,纠错,讲解,规
范解题过程.
教师引导学生完成“思考交流”,根据角的范围安排学生分四组讨论交流,完成填空并回
（1）画出角;
（2）求角的正弦函数值和余弦函数值.
解析
（1）如图,以原点为角的顶点,以x轴的非负半轴为始边,顺时针旋转,
与 单 位 圆 交 于 点 P, 过 点 P 作 x 轴 的 垂 线 交 x 轴 于 点 M. 于 是 =
∠ = − 即为所作的角.
（2）设点 ,则 =
答问题,集体评价,教师归纳总结.
设计意图
通过例2和思考交流,加深学生对定义的理解,培养学生的直观想象和数学运算核心素养.
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课堂小结
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
1.锐角的正弦函数和余弦函数的定义.
2.任意角的正弦函数和余弦函数的两个定义：是用单位圆上点的坐标定义;
二是用终边上除原点外任意一点的坐标的比值定义.
学而优 ·教有方
+ .
单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课件
(2)在单位圆中,若角α= ,求 sin α与 cos α的值;
例 2 已知任意角α终边上除原点外的一点 Q(x,y)，求角α的正弦函数
值、余弦函数值.
例 2 已知任意角α终边上除原点外的一点 Q(x,y)，求角α的正弦函数
值、余弦函数值.
例 2 已知任意角α终边上除原点外的一点 Q(x,y)，求角α的正弦函数
把点P的横坐标u叫作角α的余弦值,记作u=cos α.
2.任意角的正余弦函数值的计算方法
= , =
其中 =
2 + 2
课后思考
已知角α的终边过点 P(－3a，4a)(a≠0)，求 2sin α＋cos α的值．
课后思考
已知角α的终边过点 P(－3a，4a)(a≠0)，求 2sin α＋cos α的值．
值、余弦函数值.
y
N
M
x
抽象概括
设任意角终边上除原点外的另外一点 , ，则角的正弦函数值和余
弦函数值分别为：
= , =
其中 =
2 + 2
学以致用
例3.若角α的终边经过点P(5,-12),则sin α=
解析因为 x=5,y=-12,
所以 r= 52 + (-12)2=13,
单位圆与任意角的正弦函数，余弦函数
2023.02.20情Fra bibliotek导入在初中我们是如何定义锐角的正弦值和余弦值？
P
O
M
MP
sin α
OP
OM
cos α
OP
新知探究
下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角α的
人教A版高中数学必修四课件第一章1.4.2正弦函数余弦函数的性质
练一练
练习 2、函数 y＝3sin(π3－2x)在什么区间是减函数？ [解析]令 u＝π3－2x，则 u 是 x 的减函数． ∵y＝sinu 在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上为增函数， ∴原函数 y＝3sin(π3－2x)在区间[－2π＋2kπ，2π＋2kπ](k∈Z)上递减， ∴－π2＋2kπ≤3π－2x≤π2＋2kπ， 即－1π2＋kπ≤x≤152π＋kπ(k∈Z)．
[分析] (1)先将异名三角函数化为同名三角函数，并且利用诱导 公式化到同一单调区间上．(2)先比较 sin38π与 cos38π的大小，然后利用 正弦函数单调性求解．
练一练
[解析] (1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°， cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°. ∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°， 从而－sin14°>－sin70°，即 sin194°>cos160°. (2)∵cos38π＝sinπ8，∴0<cos38π<sin38π<1. 而 y＝sinx 在(0,1)内递增， ∴sincos38π<sinsin38π.
作业布置
[分析] (1)将2x看成一个整体，利用余弦函数的值域求得；(2) 把sinx看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．
典例精析
[解析] (1)∵－1≤cos2x≤1，∴－2≤－2cos2x≤2. ∴1≤3－2cos2x≤5，即1≤y≤5. ∴函数y＝3－2cos2x，x∈R的值域为[1,5]． (2)y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2. ∵－1≤sinx≤1，∴函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域为[－4,0]．
人教A版高中数学必修四课件第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二).pptx
偶函数
单调递减区间： [2kπ, π 2kπ](k Z) 单调递增区间： [2kπ π, 2kπ 2π](k Z)
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：
(1)
sin(
)
18
–
sin(
10)
解：
2 10 18 2
又
y=sinx
在[
2
,
2
]上是增函数.
sin( ) < sin( )
10
18
即：sin(
18
)
–
sin(
10
)>0
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：
2
,
2
上是减函
答案：B
小结：
我们把正弦函数、余弦函数的 性质总结一下，列成表格为：
定义域 值域 周期 奇偶性
单调性
正弦函数
R
[-1,1]
2π
奇函数
单调递增区间：
[ π 2kπ, π 2kπ](k Z)
2
2
单调递减区间：
[ π 2kπ, 3π 2kπ](k Z)
2
2
余弦函数 R
[-1,1]
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
4
5 6 x
3.正弦函数的单调性
组卷网
y
1
x
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
2
3
2
2
5 2
3
7 2
4
-1
…x
0
2
…
… …
2
3 2
sinx -1
0
高中数学第1章三角函数4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性课件北师大版必修4
(2)根据正弦、余弦在各个象限的符号确定2α的象限，进而确定α所在的象 限．
1．正弦、余弦函数值在各象限内取正数的规律可概括为“正弦上为正、余 弦右为正”，即当角α的终边在x轴的上方时sin α>0；当角α的终边在y轴的右侧 时，cos α>0.
2．一般地，对于函数f(x)，如果存在 非零实数T ，对定义域内的 任意一个 x值，都有 f(x＋T)＝f(x) ，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．
3．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函 数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中 最小 的一个， 称为 最小正周期 ．
2．对于确定角α所在象限的问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号， 然后根据各三角函数的符号来确定角α所在象限，则它们的公共象限即为所求．
3．由kπ<θ<kπ＋π2(k∈Z)确定θ所在象限时应对k进行分类讨论．
[探究共研型] 利用正弦、余弦函数的周期性求值
探究1 30°与390°的终边相同，两角的同一三角函数值相等吗？ 【提示】 相等． 探究2 终边相同的角的同一函数值都相等吗？为什么？ 【提示】 都相等．因两角终边相同，其始边与单位圆交于同一点，由三角 函数定义知函数值相等．
(2)错误．因为f(－2＋6)≠f(－2)．
(3)错误．fπ＋π2≠f(π)不满足任意性． 【答案】 (1)× (2)× (3)×
[小组合作型] 正弦、余弦函数的定义
已知θ的终边经过点P(a，a)，a≠0，求sin θ，cos θ. 【精彩点拨】 利用正弦函数、余弦函数的定义可求sin θ，cos θ.
人教版A版高中数学必修4：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(6)
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章 三角函数
∴周期T＝π.
第一章 三角函数
【名师点评】 求三角函数的周期，通常有三 种方法． (1)定义法； (2)公式法，对 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx ＋φ)(A，ω，φ 是常数，且 A≠0，ω≠0)，T＝|2ωπ|；
第一章 三角函数
1.4.2 正弦函数、余弦函数的 性质
第一章 三角函数
预习目标
学习导航
重点难点 重点：正、余弦函数的性质． 难点：利用正、余弦函数的性质，求正、 余弦函数的周期、奇偶性、单调性、最值 等问题．
第一章 三角函数
新知初探思维启动
正、余弦函数的图象和性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
图象
第一章 三角函数
解：(1)函数应满足 1＋sinx≠0，
∴函数 f(x)＝1＋s1i＋nx－sincxos2x的定义域为{x∈
R|x≠2kπ＋3π， k∈ Z}． 2
显然定义域不关于原点对称，
故函数
f(x)＝1＋
sinx－ cos 2 x为非奇非偶函数． 1＋sinx
第一章 三角函数
1－cosx≥0 (2)由cosx－1≥0，得 cosx＝1，故 f(x)＝0，
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
第一章 三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间． 解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
高中数学必修四文档：第一章§4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4． 2 单位圆与周期性
1． 问题导航 (1)角 α的正弦值和余弦值都是唯一的吗？ (2)正弦值、余弦值的符号变化有什么规律？ (3)一个周期函数一定有最小正周期，对吗？ 2． 例题导读 2．例题导读 P15 例 1.通过本例学习，学会根据角 α的终边上一点的坐标，求角 α的三角函数值． 试一试：教材 P23 习题 1－ 4 A 组 T1 你会吗？ P15 例 2.通过本例学习，学会在直角坐标系中作出已知角，并能求出其终边与单位圆的 交点坐标． 试一试：教材 P17 练习 T4 你会吗？
1． 对正弦函数、余弦函数定义的理解
(1)定义中， α是一个任意角，同时它也可以是一个实数 (弧度数 )． (2)角 α的终边与单位圆 O 交于点 P(u， v)，实际上给出了两个对应关系，即 实数 α(弧度 )对应于点 P 的纵坐标 v―对―应→正弦
பைடு நூலகம்对应
实数 α(弧度 )对应于点 P 的横坐标 u――→余弦
1． 任意角的正弦、余弦函数的定义
如图所示，在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角
α，使角 α的
顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点
P(u， v)，我们把
点 P 的纵坐标 v 定义为角 α的正弦函数，记作 v＝sin_α；点 P 的横坐标 u 定义为角 α的余
2． 正弦函数、余弦函数在各象限的符号
象限 第一象
三角函数
限
第二 象限
第三 第四 象限 象限
sin α
＋
＋
－
－
cos α
＋
－
－
人教版高一数学 A版 必修4 教学课件：第一章 《1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》
终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变 化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性.
探究点一 周期函数的定义
思考1 观察正弦函数图象知，正弦曲线每相隔2π个单位重复出 现其理论依据是什么？
答 诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的
公式得，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x均对一切x∈R恒成
立.
例1 求下列三角函数的周期.
(1)y＝3cos x，x∈R； 解 ∵3cos(x＋2π)＝3cos x， ∴自变量x只要并且至少要增加到x＋2π， 函数y＝3cos x，x∈R的值才能重复出现， 所以，函数y＝3cos x，x∈R的周期是2π.
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数.
1＋sin x－cos2x
(3)f(x)＝
.
1＋sin x
解 ∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R 且 x≠2kπ－π2，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，
(2)y＝sin 2x，x∈R；
解 ∵sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)＝sin 2x， ∴自变量x只要并且至少要增加到x＋π， 函数y＝sin 2x，x∈R的值才能重复出现， 所以，函数y＝sin 2x，x∈R的周期是π.
(3)y＝2sin12x－π6，x∈R. 解 ∵2sin12x＋4π－π6＝2sin12x－π6＋2π＝2sin12x－π6，
第一章 三角函数
§1.4 三角函数的图象与性质
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活学巧练跟踪验证
[A、基础达标]
1、cos错谋!的值为( )
A、-错误！ B.错误！
C、扌
D、i错误！
解析:选D、-yn的终边与错误！rr的终边重合，故cos错误!=cos错误！= 一错误!、
2、若a的终边过点(2sin 30°，一2cos30° ),则sin。
的值为( )
A、错误！ B. 一错误！
C、一错误！
D、-错误！
解析:选C.因为sin 30° =错误！，cos 30° =错误！，
所以a的终边过点(1, 一错谋！)，所以厂=错误！=2, 所以sin a=错误!= 一错误!，故选C、
3、尸错误! +错误!的值域为()
A、｛2,0｝ B. ｛一2, 0｝
C、｛2-2｝
D、｛2, 一2.0｝
解析：选D、x为第一象限角吋,y=2\x为第二象限角时』=0： x为第三象限角时，y =—2丸为第四象限角时,)=0:
所以值域为｛2, -2, 0｝、
4、若点P的坐标为(cos 2 015° , sin 2 015° )，则点P在( )
A、第一象限 B.第二象限
C、第三象限
D、第四象限
解析：选C、因为2015° =5X360° +215° ,所以角2 015°的终边在第三象限，所以cos 2 015° <0, sin 2 015° <0,所以点P在第三象限、
5、有下列命题：
①存在函数f (x)^义域中的某个自变M AC使f (xo+T) =f (xo),则f(x)为周期函数：
②存在实数7：使得对f (x)泄义域内的任意一个上都满足Ax+T) =f C则心) 为周期函数；
③周期函数的周期就是唯一的、
其中，正确命题的个数就是()
A、0 B. 1
C、 2
D、 3
解析：选A、①由周期函数的定义，可知f (A +D =/ (x)对定艾域内的任意一个A都成立，且TH0,故不正确；
②由周期函数的定狡可知TH0,故不正确；
③若T为周期，则.心+2门=/[(x+70 +门=心+卩)=/ (x),所以2T也就是周期，故不正确、
6、已知角a为第二象限角，贝I]错误!化简的结果为________ > ______________
解析：因为角a为第二象限角，故sin a>0, cos a <0,因此y] (sin a—cos a2)= I sin a—cos
al=sin a—cos a.
答案：sin o—cos a
7、若a就是第三象限角，则sin(cos 〃)・cos (sin a) _______ 0、
解析：因为a就是第三象限角，
所以一lvcos a<0, — 1 <sin a〈0、
所以sin(cos a) <0, cos(sin a) >0,
所以sin(cos a)-cos (sin a )〈0、
答案:<
8、已知角&的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4, y)就是角&终边上一
点，且sin 〃 = 一错误!，则y=______ 、
解析/=错误!=错误!，且sin & =—错误!，所以sin 8=错误!=错误!= 一错误!，)<0,所以&为第四象限角，解得〉，=一8、
答案：-8
9、已知角a的终边过点P(—4加，3加)伽工0),求2sin ”+cosa的值、解：①当加>0时，
点P在第二象限，10PI = 5g
有2sin a+cos a =错误！ +错误!=错误！：
②当加V0吋，点P在第四象限，10戸丨=一5加，
有2sin a+cos a =错误！ +错误！= 一错误！、
10、已知函数Ax)的左义域就是R对任意实数；v,满足八兀+2)=—心人当圧［0, 4) 时
/(A)=X2+ 2¥x
t
(1)求证:函数沧)就是周期函数；
(2)求/(一7)、
解：(1)证明:对任意实数x,有•心+4) =/［(x+2)+2］ =—心+2) = —［一/U)］=/(切、所以函数夬切就是周期函数、
(2)由(1)知，函数f (%)的周期为4,
所以/ (一7)=/(—7+2X4)=/(l)、
因为当xG［0,4)吋，/ (A) =/+2丫，
所以f (-7)=/ (1) =3、
IB、能力提升］
1、已知点Hsin geos在第二象限，则角a的终边在( )
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
解析:选D、因为P(sin a, cos a)在第二象限,
所以错误！
由sin a〈0,得a在第三或第四象限或y轴非正半轴上，
由cos a>0,得a在第一或第四象限或x轴非负半轴上，
所以a就是第四象限角.
2、已知角a终边经过点P( —8加，—6cos 60° )且cos。
= ~错误!，则加的值为( )
A、错误！ B.-错误！
C、一错误！
D、错谋！
解析:选A、点P的坐标可化为(一8心一3),
由广=错误！=错误！，
由三角函数的定狡知cos Q=错误！=错误！= 一错误！、
即100川=64加?+9,解得加=±错误！，
当加=—［吋，点、P的坐标为(4, —3)，则cos a为正，不符合题意，故加=错误匚
3、已知泄义在R上的函数.心)就是以2为周期的奇函数，则方程心)=0在［一2,2］上至少有________ 个实数根、
解析：因为函数7U)就是定义在R上的奇函数，
所以f (0) =0,又因为函数f (x)以2为周期，
所以f (2)=A-2) =/(0)=0,且错误！
解得•代一1) =/(1)=0,故方程f (x)=0在［一2, 2］上至少有5个实数根、答案：5
4、设。
就是第二象限角，且Icos错误!l=-cos错误!，则角错误!就是第 __________ 象限角、
解析:因为角a就是第二象限角，
所以2«TT+错误!va〈2kn + Ti g®,
所以E+错误!v错误！〈5+错误！UGZ),
当k为偶数时,错误!就是第一象限角；
当k为奇数时，错误!就是第三象限角，
又因为错误! = -cos错误!，
即cos错误！<0,
所以错误!就是第三象限角、
答案：三
5、已知角a的终边过点(3加一9,加+2)，且cos a<0, sin &>0,求加的取值范围. 解：因为
cos a<0,
所以a的终边在第二或第三象限，或x轴的非正半轴上、
又因为sin a>09
所以a的终边在第一或第二象限，或y轴的非负半轴上、
所以a就是第二象限角，
即点(3/n—9,加+ 2)在第二象限、
所以错误！
解得一2</“〈3,
即加的取值范围就是(一2, 3).
6、(选做题)已知角a的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合•错误!= 一错误!，且lg (cos有意义、
(1)试判断角a所在象限；
(2)若角。
的终边与单位圆相交于点M错误!，求加的值及sin "的值.
解:⑴由一=一- 可知sin a<0,所以。
就是第三或第四象限角或终边在y轴
I sin a\ sin a
非正半轴上的角、
由lg(cos a)有意艾可知cos a>09所以a就是第一或第四象限角或终边在x轴的非负半轴上的角、
综上可知角a就是第四象限角.
(2)因为点M错误!在单位圆上，
所以错误!错谋！+川=1,解得加=±错误！、
又a就是第四象限角，故加〈0,从而加=一错误！、
由正弦函数的定狡可知sin a =—错谋！、。