运筹学作业习题
运筹学考试试题
运筹学考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性规划的标准形式中，目标函数的系数应为：A. 正数B. 负数C. 任意非零数D. 零2. 在单纯形法中，如果某个非基变量的检验数大于零，则：A. 该变量不能进入基B. 该变量必须进入基C. 该变量的值可以增加D. 该变量的值可以减少3. 下列哪项不是运输问题的特殊矩阵？A. 平衡矩阵B. V型矩阵C. U型矩阵D. 散布矩阵4. 对于一个确定的线性规划问题，下列哪项是正确的？A. 只有一个最优解B. 有多个最优解C. 可能没有可行解D. 所有选项都是正确的5. 在动态规划中，状态转移方程的作用是：A. 确定初始状态B. 确定最终状态C. 确定中间状态D. 确定最优解二、简答题（每题5分，共20分）1. 简述单纯形法的基本步骤。
2. 解释什么是灵敏度分析，并说明其在运筹学中的应用。
3. 什么是网络流问题？请举例说明其在实际中的应用。
4. 描述动态规划的基本原理及其与分阶段决策过程的关系。
三、计算题（每题10分，共30分）1. 给定如下线性规划问题，请找出其最优解，并计算目标函数的最小值。
Maximize Z = 3x1 + 2x2Subject tox1 + 2x2 ≤ 103x1 + x2 ≤ 15x1, x2 ≥ 02. 考虑一个有三个仓库（A、B、C）和三个市场（D、E、F）的运输问题。
运输成本矩阵如下：| D E F ||--|--|--|A | 2 3 4 || B | 1 2 3 || C | 5 6 7 |每个仓库的供应量和每个市场的需求量如下：Supply/Demand: A: 10, B: 8, C: 5, D: 8, E: 10, F: 7使用北街角规则找出初始可行解。
3. 一个公司想要在三个城市（城市1、城市2、城市3）之间运输货物。
运输成本和需求量如下表所示：| 城市1 城市2 城市3 ||--|--|--|| 2 3 5 || 1 2 4 || 3 4 6 |需求量：城市1: 4, 城市2: 3, 城市3: 2请使用匈牙利算法解决此问题。
运筹学练习题
运筹学练习题一、填空题1、线性规划模型有三种参数，其名称分别为_ 、 _ 和 。
2、一个模型是m 个约束，n 个变量，则它的对偶模型为 个约束， 个变量。
3、动态规划是解决 最优化问题的一种理论和方法。
4、在运输问题中，一个空格只存在______闭回路，计算闭回路的目的是要计算解中_______。
5、若线性规划问题最优解不唯一，则在最优单纯形表上的非基变量的检验数___________。
6、为求解销量大于产量的运输问题，可虚设一个产地A m+1，它的销量等于_ 。
二、单项选择题1．使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数0≤j σ，在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题（ ）。
A ．有唯一的最优解；B ．有无穷多个最优解；C ．为无界解；D ．无可行解。
2．一个极大化的线性规划问题用单纯形法求解，若对所有的检验数0≤j σ，但对某个非基变量j x ，有0=j σ，则该线性规划问题（ ）。
A ．有唯一的最优解；B ．有无穷多个最优解；C ．为无界解；D ．无可行解。
3．在用对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中（ ）。
A ．b 列元素不小于零； B ．检验数都大于零； C ．检验数都不小于零； D ．检验数都不大于零。
4．在运输问题中，每次迭代时，如果有某基变量的解值等于零，则该运输问题（ ）。
A ．无最优解；B ．有无穷多个最优解；C ．有唯一最优解；D ．出现退化解。
5．若一个产销平衡运输问题的数据表的各元素都乘以常数k （k.>0）得到一个新的数据表，这一新数据表对应着一个新的产销平衡运输问题，则（ ）。
A ．新问题与原问题有相同的最优解；B ．新问题最优目标值大于原问题最优目标函数值；C ．新问题最优解等于原问题最优解加上k ；D ．新问题最优解小于原问题最优解。
6．如果要使目标规划实际实现值达到或超过目标值，则相应的偏差变量应满足（ ）。
运筹学练习题
最优解：X*＝（3.75，0.75,0,0）T，MaxZ＝8.25
第二章
1. 如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题 也一定存在可行解；
2. 如果线性规划问题的对偶问题无可行解，则原问题 也一定无可行解； 3. 在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，原问题可 行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标 函数值；
用对偶单纯形法求解下列线性规划问题 minz＝4x1＋12x2＋18x3 x1 ＋3x3 ≥3 st 2 x2＋2x3 ≥5 xj≥0 (j=1,2,3) MAXZ＝－4X1－12X2－18X3 －X1 －3X3＋X4 ＝－3 ST －2 X2 －2X3 ＋X5＝－5 XJ≥0
CB 0
c j XB x4
，，，，，
（7）、单纯形法计算中，如不按θi最小原则选取换出变量，则 在下一个解中至少有一个基变量的值为负
（8）、一旦人工变量在迭代中离基，该变量及相应列在单纯 形表中的数字可以不再计算，而不会影响计算结果 （9）、对一个有n个变量、m个约束的SLP问题，其可行域的 顶点恰好为Cnm个
10 b 3/2 1 x1 0 1
5 x2 1 0
0 x3 5/14
0 x4 -3/14 2/7
4 12 0 12
x2 3/2 x1 1 j x3 21/5 x1 8/5
0 1 0 0 1 0
1 0 0 14/5 2/5 -4/5
5/14
-1/7 2/7
-3/14 2/7 -18/7 -3/5 1/5 -12/5
CB 0 0
a 0
cj XB x4 x5
a
1
b 6 1
f 4
j
x1 x5
j
x1 b -1 a 1 0 0
运筹学20道习题
1．已知线性规划（15分）123123123max 3452102351,2,3jZ x x x x x x x x x x j =++⎧+-≤⎪-+≤⎨⎪≥=⎩0，（1）求原问题和对偶问题的最优解；（2）求最优解不变时c j 的变化范围36.解：（1）化标准型 2分 （2）单纯形法 5分（3）最优解X=(0，7，4)；Z ＝48 （2分） （4）对偶问题的最优解Y ＝（3.4，2.8） (2分)（5）Δc 1≤6，Δc 2≥-17/2，Δc 3≥-6，则 1235(,9),,13c c c ∈-∞≥-≥-(4分)2．某公司要将一批货从三个产地运到四个销地，有关数据如下表所示。
现要求制定调运计划，且依次满足：（1）B 3的供应量不低于需要量； （2）其余销地的供应量不低于85%； （3）A 3给B 3的供应量不低于200； （4）A 2尽可能少给B 1；（5）销地B 2、B 3的供应量尽可能保持平衡。
（6）使总运费最小。
试建立该问题的目标规划数学模型。
3、请用表上作业法解下题，得到最优解,并计算此时总运费：现在有运价表如下:产地销地B1B2B3产量A1 5 1 6 12A2 2 4 0 14A3 3 6 7 4销量9 10 11 30 答案：根据上面运价表以及销量和产量的要求，使用表上作业法：5 1 62 4 03 6 79 10 11得到下面运输方案：检验空格：空格A检验：6 –(0+3) = 3 > 0空格B检验：7 – (3-2) = 6 > 0空格C检验：6 - (1-2) = 7 > 0空格D检验：4 – (1-3)= 6 > 0 故全部符合要求。
总运输费用：2×5 + 3× 2 + 4 × 3 + 10 × 1 + 11 × 0 = 38 答：上面的运输方案为最佳方案，总运费为38。
运筹学习题
习题一1.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。
(1) min z ＝6x1＋4x2(2) max z ＝4x1＋8x2st. 2x1＋x2≥1 st. 2x1＋2x2≤103x1＋4x2≥1.5 －x1＋x2≥8x1, x2≥0 x1, x2≥0(3) max z ＝x1＋x2(4) max z ＝3x1－2x2st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋x2≤14x1＋6x2≥－12 2x1＋2x2≥42x2≥4 x1, x2≥0x1, x2≥0(5) max z ＝3x1＋9x2(6) max z ＝3x1＋4x2st. x1＋3x2≤22 st. －x1＋2x2≤8－x1＋x2≤4 x1＋2x2≤12x2≤6 2x1＋x2≤162x1－5x2≤0 x1, x2≥0x1, x2≥01.2. 在下列线性规划问题中，找出所有基本解，指出哪些是基本可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。
(1) max z ＝3x1＋5x2(2) min z ＝4x1＋12x2＋18x3st. x1＋x3＝4 st. x1＋3x3－x4＝32x2＋x4＝12 2x2＋2x3－x5＝53x1＋2x2＋x5＝18 x j≥0 （j＝1, (5)x j≥0 （j＝1, (5)1.3. 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。
(1) max z ＝10x1＋5x2st. 3x1＋4x2≤95x1＋2x2≤8x1, x2≥0(2) max z ＝100x1＋200x2st. x1＋x2≤500x1≤2002x1＋6x2≤1200x1, x2≥01.4. 分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出问题的解属于哪一类：(1) max z ＝4x1＋5x2＋x3(2) max z ＝2x1＋x2＋x3st. 3x1＋2x2＋x3≥18 st. 4x1＋2x2＋2x3≥42x1＋x2≤4 2x1＋4x2≤20x1＋x2－x3＝5 4x1＋8x2＋2x3≤16x j≥0 （j＝1,2,3）x j≥0 （j＝1,2,3）(3) max z ＝ x 1＋ x 2 (4) max z ＝x 1＋2x 2＋3x 3－x 4 st. 8x 1＋6x 2≥24 st. x 1＋2x 2＋3x 3＝154x 1＋6x 2≥－12 2x 1＋ x 2＋5x 3＝202x 2≥4 x 1＋2x 2＋ x 3＋ x 4＝10x 1, x 2≥0 x j ≥0 （j ＝1, (4)(5) max z ＝4x 1＋6x 2 (6) max z ＝5x 1＋3x 2＋6x 3 st. 2x 1＋4x 2 ≤180 st. x 1＋2x 2＋ x 3≤183x 1＋2x 2 ≤150 2x 1＋ x 2＋3x 3≤16 x 1＋ x 2＝57 x 1＋ x 2＋ x 3＝10x 2≥22 x 1, x 2≥0，x 3无约束 x 1, x 2≥01.5 线性规划问题max z ＝CX ，AX ＝b ，X ≥0，如X*是该问题的最优解，又λ＞0为某一常数，分别讨论下列情况时最优解的变化：（1） 目标函数变为max z ＝λCX ；（2） 目标函数变为max z ＝（C ＋λ）X ；（3） 目标函数变为max z ＝C X ，约束条件变为AX ＝λb 。
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第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
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销地
产地
1
2
3
产量
1
5
1
8
12
2
2
4
1
14
3
3
6
7
4
销量
9
10
11
表3-4
销地
产地
1
2
3
4
5
产量
1
10
2
3
15
9
25
2
5
20
15
2
4
30
3
15
5
14
7
15
20
4
20
15
13
M
8
30
销量
20
20
30
10
25
解：
（1）在表3-3中分别计算出各行和各列的次最小运费和最小运费的差额，填入该表的最右列和最下列。得到：
+ = + +
+ =
建立数学模型：
Max z=(1.25-0.25)*( + )+(2-0.35)*( + )+(2.8-0.5) -(5 +10 )300/6000-(7 +9 +12 )321/10000-(6 +8 )250/4000-(4 +11 )783/7000-7 *200/4000
s.t
2.确定 的范围,使最优解不变;取 ,求最优解;
3.确定 的范围,使最优基不变,取 求最优解;
4.引入 求最优解;
解1.由单纯形方法得
即,原问题的最优解为
例求下面运输问题的最小值解：
1
运筹学习题集
二、填空选择题：（每空格2分，共16分）1、线性规划的解有划的唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种。
2、在求运费最少的调度划的运划的输问题中，如划的果某划的一非基变量的检验数为4，则说明如果在该空格中增加一个运量运费将增加划的4 。
3、“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对划的偶问题一定存在可行解”，这句话对还是划的错？错4、如果某一整数规划：MaxZ=X划的1+X2划的X1+9/1划的2≤1/3X1,X2≥0且均为整数所对应的线性规划（松弛问题）的最优划的解为X1=3/2，X2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在划的要对X1进行分枝，划的应该分为X1≤1和X1≥2。
5、在用逆向解法求动态规划时，f k(s k)的含义是：从第k个阶段到第n个阶段的最优解。
6.假设某线性规划的可行解的集合为D，而其所对应的整数规划的可行解集合为B，那么D 和B的关系为 D 包含 B7.已知下表是制订生产计划问题的一张LP最优单纯形表（极大化问题，约束条问：（1）写出B-1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---13/20.3/1312(2)对偶问题的最优解： Y＝（5，0，23，0，0）T8. 线性规划问题如果有无穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有___某一个非基变量的检验数为0______；9. 极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问题_无解_________；10. 若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设Xi =bi不符合整数要求，INT（bi ）是不超过bi的最大整数，则构造两个约束条件：Xi≥INT（bi）＋1 和 Xi≤INT（bi），分别将其并入上述松驰问题中，形成两个分支，即两个后继问题。
11. 知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条问：(1)对偶问题的最优解： Y ＝(4,0,9,0,0,0)T （2）写出B -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛611401102二、计算题（60分）1、已知线性规划（20分）MaxZ=3X 1+4X 2 1+X 2≤5 2X 1+4X 2≤12 3X 1+2X 2≤81,X 2≥02）若C 2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？3）若b 2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？4）如果增加一种产品X 6，其P 6=(2,3,1)T ，C 6=4该产品是否应该投产？为什么？ 解：1)对偶问题为Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y 3≥3y1+4y2+2y 3≥4 y1,y2≥02)当C 2从4变成5时， σ4=-9/8 σ5=-1/4由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。
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线性规划建模及单纯形法思考题主要概念及内容：线性规划模型结构（决策变量，约束不等式、等式，目标函数）；线性规划标准形式；可行解、可行集（可行域、约束集），最优解；基、基变量、非基变量、基向量、非基向量；基本解、基本可行解、可行基、最优基。
复习思考题：1、线性规划问题的一般形式有何特征？2、建立一个实际问题的数学模型一般要几步？3、两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？4、求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果反映建模时有错误？5、什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
6、试述线性规划问题的可行解、基本解、基本可行解、最优解、最优基本解的概念及它们之间的相互关系。
7、试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
8、在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？9、大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？10、什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？作业习题1、将下列线性规划问题化为标准型（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=--+-≥-+-≤+-++-+=0,,953413223183622453max 4214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥=+-+-≥-+--≤--++++=0,0,152342722351232243min 4214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f2、（1）求出下列不等式组所定义的多面体的所有基本解和基本可行解（极点）：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++-≤++0,,124326332321321321x x x x x x x x x （2）对下述线性规划问题找出所有基本解,指出哪些是基本可行解,并确定最优解.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-=+-+=+++++=)6,,1(0031024893631223max 6153214321321 j x x x x x x x x x x x x x x z j 3、用图解法求解下列线性规划问题（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤-+=0,31223622max 211212121x x x x x x x x x z （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥++-=0,155356743min 21212121x x x x x x x x z4、在以下问题中，列出所有的基，指出其中的可行基，基础可行解以及最优解。
⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤++-+=0,,44622max 321321321321x x x x x x x x x x x x z5、用单纯形法求解以下线性规划问题（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-+=0,533223max 21212121x x x x x x x x z （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-=++-=0,,12212432max 3213232132x x x x x x x x x x z6、用大M 法及两阶段法求解以下线性规划问题（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤+≤+++=0,,132173132343max 3213213221321x x x x x x x x x x x x x z （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++-≥+-≥++-+=0,,452233min 32132121321321x x x x x x x x x x x x x x f 7、某工厂生产过程中需要长度为 3.1 米、2.5 米和 1.7 米的同种棒料毛坯分别为 200 根、100 根和 300 根。
现有的原料为 9 米长棒材，问如何下料可使废料最少？ 8、有1，2，3，4四种零件均可在设备A 或设备B 上加工，已知在这两种设备上分别加工一个零件的费用如下表所示。
又知设备A 或B 只要有零件加工均需要设备的启动费用，分别为100元和150元。
现要求加工1，2，3，4零件各三件。
问应如何安排使总的费用最小。
试建立线性规划模型。
9、某造船厂根据合同从当年起连续三年末各提供四条规格相同的大型客货轮。
已知该厂这三年内生产大型客货轮的能力及每艘客货轮成本如下表所示：已知加班生产时,每艘客货轮成本比较正常时高出60万元；又知造出来的客货轮若当年不交货,每艘每年积压一年造成损失为30万元。
在签定合同时，该厂已积压了两艘未交货的客货轮，而该厂希望在第三年未完成合同还能储存一艘备用。
问该厂如何安排每年客货轮的生产量，在满足上述各项要求的情况下总的生产费用最少？试建立线性规划模型，不求解。
线性规划问题的对偶及灵敏度分析思考题主要概念及内容：对偶问题，对称形式、非对称形式；对偶定理；对偶单纯形法；灵敏度分析。
复习思考题：1、对偶问题和它的经济意义是什么？2、简述对偶单纯形法的计算步骤。
它与单纯形法的异同之处是什么？3、什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？4、如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系？5、利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？6、在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量），其经济意义是什么？7、在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量的检验数，其经济意义是什么？8、关于价值系数和资源常量单个变化对线性规划问题的最优方案及有关因素将会产生什么影响？有多少种不同情况？如何去处理？9、线性规划问题增加一个变量，对它原问题的最优方案及有关因素将会产生什么影响？如何去处理？10、线性规划问题增加一个约束，对它原问题的最优方案及有关因素将会产生什么影响？如何去处理？作业习题1、写出下列问题的对偶规划2、试用对偶理论讨论下列原问题与它们的对偶问题是否有最优解3、考虑如下线性规划（1）写出对偶规划。
（2）用单纯形法解对偶规划，并在最优表中给出原规划的最优解。
（3）说明这样做比直接求解原规划的好处。
4、用对偶单纯形方法，求解下面问题（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++++=0,,10536423425min 321321321321x x x x x x x x x x x x f （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-≤++≥+----=0,,2824232max 32132321321321x x x x x x x x x x x x x x z5、考虑下面线性规划⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=+=+=++=+++=0,,,,,12416482122232max 654321625142132121x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 其最优单纯形表为：基变量1x 2x 3x 4x 5x 6x3x1x0 0 1 -1 -1/4 06x 2x1 0 0 0 1/4 0 0 0 0 -2 1/2 1 0 0 0 -3/2 -1/8 04 4 2 j0 0 0 -3/2 -1/8 0-14试分析如下问题（1）分别对j c 进行灵敏度分析。
（2）对i b 进行灵敏度分析。
（3）当j c =时，求新最优解。
（4）当i b = 时，求新最优解。
（5）增加一个约束 ，问对最优解有何影响？ （6）确定保持当前最优解不变的P1的范围。
6、已知某工厂计划生产1A 、2A 、3A 三种产品，各产品需要在甲、乙、丙设备上加工。
有关数据如下试问：（1）如何充分发挥设备能力，使工厂获利最大；（2）若为了增加产量，可借用别的工厂的设备甲，每月可借用60台时，租金1.8万元，问是否合算？（3）若另有两种新产品4A 、5A ，其中每件4A 需用设备甲12台时、乙5台时、丙10台时，每件获利2.1千元；每件5A 需用设备甲4台时、乙4台时、丙12台时，每件获利1.87千元。
如 甲、乙 、丙 设备台时不增加，分别回答这两种新产品投产是否合算？ （4）增加设备乙的台时是否可使企业总利润进一步增加？7、已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。
运输问题思考题主要概念及内容：运输问题、运输表、产销平衡；基本可行解；闭回路；位势；检验数；虚设产地（销地）；运输问题建模。
复习思考题：1、运输问题的数学模型具有什么特征？为什么其约束方程的系数矩阵的秩最多等于？2、用西北角法确定运输问题的初始基本可行解的基本步骤是什么？3、最小元素法的基本思想是什么？为什么在一般情况下不可能用它直接得到运输问题的最优方案？4、试述用闭回路法检验给定的调运方案是否最优的原理，其检验数的经济意义是什么？5、用闭回路法检验给定的调运方案时，如何从任意空格出发去寻找一条闭回路？这闭回路是否是唯一的？6、试述用位势法求检验数的原理、步骤和方法。
7、试给出运输问题的对偶问题（对产销平衡问题）。
8、如何把一个产销不平衡的运输问题（产大于销或销大于产）转化为产销平衡的运输问题。
9、一般线性规划问题应具备什么特征才可以转化为运输问题的数学模型？作业习题1、某公司生产某种产品有三个产地A1、A2、A3 ，要把产品运送到四个销售点B1、B2、B3、B4 去销售。
各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每吨产品的运费（百元）如下表所示。
产品运输数据表问应如何调运，可使得总运输费最小?(1)、分别用西北角法和最小元素法求初始基本可行解；(2)、在上面最小元素法求得的初始基本可行解基础上，用两种方法求出非基变量的检验数；(3)、进一步求解这个问题。
2、用表上作业法求解下列运输问题:（1）运输问题数据表（2）运输问题数据表销量25 25 20 10 203、某厂考虑安排某件产品在今后 4 个月的生产计划，已知各月工厂的情况如下表所示试建立运输问题模型，求使总成本最少的生产计划。
选择题1．当利用单纯形法计算某个线性规划问题时，若最终表人工变量不为零，则可以断言该性线规划问题（ A ）。
A ．无可行解B ．有无界解C ．有多重解D ．唯一解2．当利用对偶单纯形法计算某个目标函数极大化线性规划问题时，若右侧常数0<i b ，对应的0>ij a ，则可以断言该性线规划问题（ A ）。
A ．无可行解B ．有无界解C ．有多重解D ．唯一解3．当利用单纯形法计算某个极大化线性规划问题时，若最终表非基变量检验数j σ0≤，且至少有一个为零，则可以断言该性线规划问题（ C ）。
A ．无可行解B ．有无界解C ．有多重解D ．唯一解4．当利用单纯形法计算某个目标函数极大化线性规划问题时，若有非基变量的检验数j σ>0，且对应的系数列向量≤ij a ，则可以断言该性线规划问题（ B ）。