01-第一节-微分方程的基本概念
微分方程的基本概念
3．具有初始条件的微分方程： 此类微分方程的特点是给定了某些函数值 ，如 都是给定的数（称为初值） 等，其中 y0 ， y0 y x x y0 ， y x x y0 。此时所求出
0 0
的微分方程的解称为微分方程的特解，不包含任意常数 C 。
注 1：微分方程的特解不包含任意常数 C ，因为此时可利用初始条件将常数 C 变 为确定的数。
例 1：解微分方程
现将初始条件 y x 0 1 代入通解 y x 2 C ，得： 1 02 C ，从而有 C 1 于是，该微分方程的特解为 y x 2 1
注：解具有初始条件的微分方程大致分为两步：求出微分方程的通解（此时无需
理会初始条件） ；代入初始条件求得特解。
第一节 微分方程的基本概念
1．微分方程：微分方程主要处理未知函数、未知函数的导数与自变量间的关系。
例 1：
dy 2 x 为一阶微分方程。 dx
例 2： x
d2y dy x2 4 x 3x 3 为二阶微分方程。 2 dx dx
注：微分方程的阶数等于方程中的导数的最高阶数。 2．微分方程的通解：微分方程中的通解包含任意常数，且任意常数的个数等于 微分方程的阶数。
再将初始条件 y x 1 2 代入 y
于是，该微分方程的特解为 y
先将初始条件 y x 1 3 代入 y x 2 C1 ，得： 3 12 C1 ，从而有 C1 2 于是有 y
x3 x3 C1 x C2 2 x C2 3 3
x3 13 1 2 x C2 ， 得：2 2 1 C2 ， 从而有 C2 3 3 3 x3 1 2x 3 3
d2y 例 2：解微分方程 2 2 x 。 dx
第十章第一节微分方程的概念
y dx 2 xdx 得
y x 2 C1
2 y dx ( x C1 )dx
ห้องสมุดไป่ตู้
第一节 微分方程的基本概念
2、通解 若微分方程的解中含有独立的任意常数,且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同， 则称这样的解 为微分方程的通解 （一般解）。
2 前例中， y 3 x ,
其中x0 , y0为已知常数. 二阶微分方程y f ( x, y, y)的初始条件为 , 其中x0 , y0 , y0 为已知常数. y x x y0 , y x x y0
0 0 0
y x x y0 ,
第一节 微分方程的基本概念
称为 4、初始条件 确定通解中的任意常数的条件， 初始条件， 也称为定值条件。
线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程. 解： 设所求曲线方程为 y y( x ), dy 2 ① 微分方程 3 x 由导数的几何意义得
因曲线通过点 (1,2), 故 y | x 1 2
dx
② 初始条件 对(1)式求积分, 得 y 3 x 2dx x 3 C ③ 方程通解
n阶线性微分方程的一般形式为 ( n) ( n1) y a1 ( x) y ... an1 ( x) y an ( x) y g( x) （3） 其中a1 ( x),.a2 ( x)...,an ( x)和g( x)均为自变量x的
已知函数。 例： y P ( x ) y Q( x ), y 2 yy 3 y x 2 一阶线性常微分方程 二阶线性常微分方程
微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。 是现代数学的一个重要分支。 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种 常用的微分方程的求解方法，微分方程在经济中的应用。
第一节微分方程的基本概念
第十二章 微分方程一、 学时分配：讲课学时：14 习题学时：2 共 16 学时二、 基本内容：1．微分方程的基本概念 2．可分离变量的微分方程 3．齐次方程 4．一阶线性微分方程 5．全微分方程 6．可降阶的高阶微分方程 7．高阶线性微分方程 8．一阶常系数齐次线性微分方程 9． 一阶常系数非齐次线性微分方程三、 教学要求：1．理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始条件等．2．熟练掌握可分离变量的微分方程的解法．3．熟练掌握齐次微分方程的解法4．掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法；掌握利用变量代换解微分方程的方法；了解贝努利方程的形式及解法5．掌握全微分方程成立的充要条件，掌握全微分方程的解法，会用观察法找积分因子6．掌握)()(x f y n =、),(///y x f y =、),(///y y f y =三种高阶微分方程的解法，即降阶法，理解降阶法的思想7．掌握二阶线性方程解的结构，齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式8．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式９．掌握自由项为x m e x P x f λ)()(=和x m m e x x Q x x P x f λωω]sin )(cos )([)(+=的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的方法四、重点难点：1．重点：2．难点：第一节 微分方程的基本概念教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始条件等．教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件教学难点：微分方程的通解概念的理解教学内容：一、 两个实例1．一条曲线通过点（1,2），且在该曲线上任一点),(y x M 处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。
解：设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足x dxdy 2= （1） 同时还满足以下条件：1=x 时，2=y （2）把（1）式两端积分，得⎰=xdx y 2 即 C x y +=2 （3）其中C 是任意常数。
01第一节微分方程的基本概念
第六章微分方程对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.------ - 傅里叶微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程 .通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系.因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.如果说“数学是一门理性思维的科学, 是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现 . 现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题 . 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题 . 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型 .微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系.本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论.第一节微分方程的基本概念一般地，含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.在物理学、力学、经济管理科学等领域我们可以看到许多表述自然定律和运行机理的微分方程的例子 .分布图示★ 引言★ 微分方程的概念★例 1★ 微分方程解的概念★例 3★ 内容小结★习题 6-1★例 2★例 4内容要点一、微分方程的概念我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程 . 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程，本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是：F (x, y, y , y, y(n ) ) 0,(1.5)其中 x 为自变量，y y( x) 是未知函数.如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程y (n) f ( x, y, y ,, y( n 1) ).(1.6)以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设 (1.6)式右端的函数 f 在所讨论的范围内连续.如果方程 (1.6)可表为如下形式：y(n )a1 ( x) y (n 1)a n 1 (x) y a n (x) y g( x)(1.7)则称方程(1.7) 为n阶线性微分方程.其中a1 ( x), a2(x),, a n (x) 和g (x)均为自变量x 的已知函数 .不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性微分方程.在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解 . 更确切地说，设函数y(x) 在区间 I上有 n 阶连续导数，如果在区间 I 上，有F ( x, ( x),( x),(x) ,( n ) ( x))0,则称函数 y(x) 为微分方程(1.5)在区间 I上的解 .二、微分方程的解微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数.一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解 . 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）.注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少 .许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件 . 例如，条件 (1.2)和 (1.4)分别是微分方程(1.1) 和 (1.3)的初始条件 .带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题 .微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线 .例题选讲微分方程的概念例 1（ E01）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却 . 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度 T 与时间t 的函数关系为T T (t ) ，则可建立起函数T (t ) 满足的微分方程dT(1)k(T 20)dt其中 k (k0) 为比例常数.这就是物体冷却的数学模型.根据题意， T T(t) 还需满足条件T |t 0 100.(2)例 2（ E02）设一质量为m的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力 F 等于物体的质量m与物体运动的加速度成正比，即 F m ，若取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是 t 0 ，物体下落的距离x 与时间 t 的函数关系为x x(t) ，则可建立起函数x(t) 满足的微分方程d 2 xgdt 2其中 g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型 .根据题意， x x(t ) 还需满足条件x(0) 0, dx0. dt t 0微分方程的解例 3（ E03）验证函数x C1 coskt C2sin kt 是微分方程d 2x k 2 x0(k0)dt 2的通解 ,并求该微分方程满足初值条件x |t0A, dx|t 0 0 的特解.dt解求出题设函数的一阶及二阶导数:dxC 2 k coskt ,(1)C1k sin ktdtd 2x k 2 (C1 k cos kt C1 k sin kt ).dt 2把它们代入题设微分方程, 得k 2 (C1 coskt C2 sin kt)k 2 (C1 coskt C2 sin kt) 0因此题设函数是微分方程的解. 又题设函数含有两个相互独立的任意常数, 而题设微分方程是二阶微分方程, 所以题设函数是微分方程的通解.将初值条件 x |t 0 A 代入通解 x C 1 coskt C 2 sin kt 中得 , 得C 1A;将初值条件dx|t 0 0 代入（ 1）, 得dtC 20,于是 , 所求的特解为x A c o skt .例 4 验证函数 y ( x 2C) sin x (C 为任意常数 ) 是方程dy2x sin xycot xdx的通解 , 并求满足初始条件y |0的特解 .x2解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同 .将 y (x 2C ) sin x 求一阶导数 ,得dy 2xsin x(x 2 C ) cos x,dx把 y 和dy代入方程左边得 dxdy ycot x 2xsin x 2 x sin x ( x 2 C ) cos x (x 2C ) sin xcot x 2 x sin x 0.dx因方程两边恒等 ,且 y 中含有一个任意常数 ,故 y( x 2 C) sin x 是题设方程的通解 .将初始条件 y x0 代入通解 y (x2C) sin x 中，222得 0C C. 442从而所求特解为y x2s i n .4x。
微分方程的基本概念
第一章 常微分方程微分方程是数学理论（特别是微积分）联系实际的重要渠道之一。
它是研究许多自然科学、工程技术以及生物技术、农业、经济学等诸多问题的有力工具。
因而微分方程具有重要的应用价值。
本章主要介绍常微分方程的一些基本概念，以及求解几种常用的微分方程的一些最基本的解法。
§1－1 微分方程的基本概念下面我们通过两个具体例题来说明微分方程的基本概念。
例1 一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点M(x ，y ）处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程。
解 设所求的曲线方程为y=y(x),则根据导数的几何意义可知，未知函数y=y(x)应满足下面的关系：x dxdy2= ， (1) 且当x=1时,y=2. 即y(1)=2 (2) 对（1）式的x dxdy2=两端积分，得 y=C x xdx +=⎰22 (3) 其中C 是任意常数。
将y(1)=2代人，得C=1. 代人(3)式，即得所求曲线方程 12+=x y （4）例2一质量为m 的质点，从高h 处，只受重力作用从静止状态自由下落，试求其运动方程．解 在中学阶段就已经知道，从高度为h 处下落的自由落体，离地面高度s 的变化规律为s =h －21g t 2，其中g 为重力加速度．这个规律是怎么得到的呢？下面我们给出推导过程． 取质点下落的铅垂线为s 轴，它与地面的交点为原点，并规定正向朝上．设质点在时刻t 的位置在s (t )（如 图1-1）力的作用(空气阻力忽略不计)，由牛顿第二定律F =ma ，得 m 22)(dtt s d =－m g ． 即 22)(dtt s d =－g (5) 图1-1根据质点由静止状态自由下降的假设，初始速度为0，所以s =s (t )还应满足下列条件 s | t =0=h ，dtds| t =0=0， (6) 对(6)式两边积分，得dtt ds )(=－g ⎰dt =－g t +C 1 ， (7) 两边再积分，得s (t )=⎰+-dt C gt )(1=－21g t 2+C 1t +C 2 ，(8)其中C 1，C 2均为任意常数．将条件(7)代入(8)，(9)式，得C 1=0， C 2=h ．于是所求的运动方程为s (t )= －21g t 2+h ． (9) 上述两个例子中的关系式（1）和（5）中，都含有未知函数的导数，自变量也都只有一个，且方程都附加有一定的条件。
微分方程全部知识点
微分方程全部知识点微分方程是数学中一个重要的分支，用于描述变量之间的关系以及其之间的变化规律。
其在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
下面将介绍微分方程的全部知识点。
一、基本概念和分类：1. 微分方程的定义和形式。
2. 微分方程的阶数和线性性。
3. 独立变量和因变量的概念。
4. 常微分方程和偏微分方程的区别。
二、常微分方程：1. 一阶常微分方程的解法：可分离变量、齐次方程、一阶线性方程、一阶伯努利方程、可化为可分离变量的方程。
2. 高阶常微分方程的解法：常系数线性齐次方程、常系数线性非齐次方程、二阶常系数齐次方程的特征方程、二阶线性非齐次方程的特解法。
3. 微分方程的解的存在唯一性定理。
4. 常微分方程的初值问题和边值问题。
三、偏微分方程：1. 常见的偏微分方程类型：椭圆型、抛物型、双曲型方程。
2. 二阶线性偏微分方程的分类和通解求法。
3. 常用偏微分方程的具体应用：热传导方程、波动方程、扩散方程等。
四、数值解法：1. 欧拉法和改进的欧拉法。
2. 龙格-库塔法。
3. 有限差分法和有限元法。
五、应用领域：微分方程在物理学、工程学、生物学、经济学等领域有广泛的应用。
例如：1. 牛顿运动定律中的微分方程。
2. 电路中的微分方程。
3. 生物种群数量变化的微分方程。
4. 经济增长模型中的微分方程。
总结：微分方程是数学中一个重要的分支，主要包括基本概念和分类、常微分方程、偏微分方程、数值解法以及应用领域等知识点。
掌握微分方程的解法和应用，对于理解自然和社会现象的规律具有重要作用。
微分方程定解问题的基本概念
微分方程定解问题的基本概念微分方程是数学中的一个重要分支，它用来描述物理、经济、生物等学科中的现象和问题。
微分方程定解问题则是微分方程研究的重点，它对于解决实际问题具有非常重要的作用。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述变量之间的变化关系的方程，其形式通常为：y′ = f(x, y)其中y′ 表示 y 对 x 的导数，f(x, y) 表示 x 和 y 的函数关系。
微分方程的解是一组函数，它满足微分方程和附加条件（称为初值条件或边界条件）。
二、定解问题的基本概念定解问题是指在微分方程中确定初始条件或边界条件，求得微分方程的解。
定解问题可以分为初值问题和边值问题。
初值问题是在一个点（通常为 x0）给出一个函数值（通常为y(x0)）和其导数值（通常为y′(x0)），求解函数在另一点的取值。
初值问题通常用初值问题解法求解。
边值问题是在一段区间内给出一个函数值和其导数值，求解函数在该区间的取值。
边值问题通常用曲线拟合法或数值法求解。
三、常见的定解问题常见的定解问题包括：1.一阶常微分方程的初值问题。
例如：y′ = f(x, y), y(x0) = y02.一阶常微分方程的边值问题。
例如：y′ = f(x, y), y(a) = ya, y(b) = yb3.二阶常微分方程的初值问题。
例如：y′′ = f(x, y, y′), y(x0) = y0, y′(x0) = y0′4.二阶常微分方程的边值问题。
例如：y′′ = f(x, y, y′), y(a) = ya, y(b) = yb四、定解问题的应用定解问题在物理、工程、金融等领域中有广泛的应用。
例如：1.物理学中的定解问题：在自然界中的各种物理现象中，微分方程定解问题经常被用于对各种现象和性质的研究和分析。
2.工程学中的定解问题：设计和分析各种工程系统时，微分方程定解问题经常被用于模型的建立和计算。
3.金融领域中的定解问题：在金融领域中，微分方程定解问题被用来分析各种金融产品的产生和变化，预测市场走势等。
高等数学(上)01-微分方程的基本概念 答案详解
4.1 微分方程的基本概念一、指出下列微分方程的阶数，并验证括号中的函数是否为微分方程的解，若是解，说明该解是通解还是特解：解析：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫微分方程的阶满足微分方程的函数（即把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式）叫做该微分方程的解n 阶微分方程含有n 个独立任意常数的解称为其通解，所谓独立，是指不能合并而减少个数根据其他条件确定了通解中的任意常数以后，得到微分方程不含任意常数的解称为特解，此处的定解条件称为初值条件1．xy3y 0(y Cx 3 )解：一阶（未知函数的最高阶导数的阶数为一阶）y Cx43xy y x Cx 4 Cx 3 （把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式）3 ( 3 ) 3 0所以y Cx 3 为微分方程的解又y Cx 3 是一阶微分方程含有一个独立任意常数的解，故其为通解2．0( 1 2 )kxdx dy y kx2dy解：微分方程可写成kx ，故为一阶dx将y 1 kx2 代入方程，等式两边相等，所以 1 2y kx 为微分方程的解2 2又 1 2y kx 中不含有任意常数，故其为特解．2（注意：此处k 在微分方程中是一个确定常数，并非任意常数）3．y y 0(y C sin x)解：二阶y C x ，y C sin xcosy y C x C x ，所以y C sin x 为微分方程的解sin sin 0又y C sin x 是二阶方程只含有一个任意常数的解，故其既不是通解，也不是特解4．y 2y y 0(y x2e x )解：二阶y 2xe x x e x ，y (2x e x x2e x ) 2e x 2x e x 2x e x x 2e x 2e x 4x e x x2e x2y 2y y 2e x 4x e x x2e x 2(2x e x x2e x ) x2e x 2e x 0所以y x2e x 不是微分方程的解二、某飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.设飞机的质量为m ，着陆时的水平速度为v ，减速伞打开后，飞机所受的阻力与飞机的速度成正比，比例系数k ，试表示出飞机着陆时的速度函数v(t)所满足的微分方程.分析：在实际问题中，涉及变化率的问题，如速度、加速度、增长率、衰减率等物理量的大小都可表示成某一函数导数（递增情况，导数为正）或导数的相反数（递减情况，导数为负），故可通过建立此类物理量所满足的关系式，得到以该函数为未知函数的微分方程解：由牛顿第二定律得，F ma由题意F kv ，而ad vdt故得速度函数v(t)所满足的微分方程d v m kv d t且由于着陆时的水平速度为v0 ，有初值条件v(0) v0（注：本题只要求列出微分方程即可，若需求解，可考虑分离变量法，请同学们学习完第二节之后考虑该微分方程的求解问题）。
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01-第一节-微分方程的基本概念
第八章常微分方程与差分方程
对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.
-------傅里叶
微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.
如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴
弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.
微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论.
第一节微分方程的基本概念
分布图示
★引言
★微分方程的概念★例1
★例2★例3★例4
★微分方程解的概念
★例5★例6
★内容小结★课堂练习
则称方程(1.7)为n 阶线性微分方程. 其中),(1x a ),(2x a , )(x a n 和)(x g 均为自变量x 的已知函数.
不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程.
在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说，设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，有
,0))(,)(),(),(,()
(='''x x x x x F n ϕϕϕϕ 则称函数)(x y ϕ=为微分方程(1.5)在区间I 上的解.
二、 微分方程的解
微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）.
注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们
不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.
许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件. 例如，条件(1.2)和(1.4)分别是微分方程(1.1)和(1.3)的初始条件.
带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.
微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线.
例题选讲：
微分方程的概念
例1 (E01) 设一物体的温度为100℃, 将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律:物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比, 设物体的温度T与时间t的函数关系为),(t T
T=则可建立起函数)(t T满足的微分方程
dT
-
k
=T
(-
)
20
dt
其中)0
k为比例常数. 这就是物体冷却的
k
(>
数学模型.
根据题意,
)(t T T =还需满足条件 .1000==t T
例2（E02）设一质量为m 的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度α成正比，即αm F =，若取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是0=t ，物体下落的距离x 与时间t 的函数关系为)(t x x =，则可建立起函数)(t x 满足的微分方程
g dt x d =22 (1.1)
其中g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.
根据题意，)(t x x =还需满足条件
.0,0)0(0===t dt dx x
(1.2)
例3（E03）如果设某商品在时刻t 的售价为P , 社会对该商品的需求量和供给量分别是P
的函数),(),(P S P D 则在时刻t 的价格)(t P 对于时间t 的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量)()(P S P D -成正比, 即有微分方程
)0()]()([>-=k P S P D k dt
dP (1.3) 在)(P D 和)(P S 确定情况下, 可解出价格与t 的函数关系.
例4（E04）试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数.
.1ln )cos()4(;052)3(;42)2(;)1(3222
2+=+''=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y y xy dx dy dx y d x
x dx dy dx dy x y x dx
dy
解 (1) 是一阶线性微分方程，因方程中含有的dx
dy 和y 都是一次. (2) 是一阶非线性微分方程，因方程中含有的dx
dy 的平方项. (3) 是二阶非线性微分方程，因方程中含有的dx
dy 的三次方. (4) 是二阶非线性微分方程，因方程中
含有非线性函数)cos(y ''和.ln y
微分方程的解
例5求曲线族122=+Cy x
满足的微分方程，其中C 为任意常数.
解 求曲线族所满足的方程，就是求一微分方程,使所给的曲线族正好是该微分方程的积分曲线族.因此所求的微分方程的阶数应与已知曲线族中的任意常数的个数相等.这里, 我们通过消去任意常数的方法来得到所求的微分方程.在等
式122=+Cy x 两端对x 求导,得
.022='+y Cy x
再从122=+Cy x 解出,122y x C -=代入上式得
,012222='⋅-⋅+y y y x x
化简即得到所求的微分方程
.0)1(2='-+y x xy
例6（E05）验证函数x C x
y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程
0sin 2cot =--x x x y dx dy
的通解, 并求满足初始条件0|2==π
x y 的特解.
解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将x C x y sin )(2+=求一阶导数,得
dx dy ,cos )(sin 22x C x x x ++=
把y 和dx
dy 代入方程左边得 x x x y dx
dy sin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02==π
x y 代入通解x C x
y sin )(2+=中， 得C +=402
π
.42π-=C 从而所求特解为
.
sin 422x x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π
课堂练习 1．验证函数kt C kt C x sin cos 21+=是微分方程
0222=+x k dt x d 的解. 并求满足初始条件0,|
00====t t dt dx A x 的特解.。