初中数学全国初中数学竞赛山东赛区预赛.docx

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2003年全国初中数学联赛预赛暨2002年山东省初中数学竞赛试题（有答案）

2003年全国初中数学联赛预赛暨2002年⼭东省初中数学竞赛试题（有答案）2003年全国初中数学联赛预赛暨 2002年⼭东省初中数学竞赛试题⼀、选择题(本题共8⼩题,每⼩题6分,满分48分)1.磁悬浮列车是⼀种科技含量很⾼的新型交通⼯具.它有速度快、爬坡能⼒强、能耗低的优点.它每个座位的平均能耗仅为飞机每个座位的平均能耗的三分之⼀、汽车每个座位的平均能耗的70%.那么汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的( )(Ａ)37 (Ｂ)73 (Ｃ)1021 (Ｄ)21102.已知ａ,ｂ,ｃ,ｄ都是正实数,且ａｂ <ｃｄ .给出下列四个不等式: ①ａａ+ｂ >ｃｃ+ｄ②ａａ+ｂ <ｃｃ+ｄ③ｂａ+ｂ >ｄｃ+ｄ④ｂａ+ｂ <ｄｃ+ｄ其中正确的是( )(Ａ)①③ (Ｂ)①④ (Ｃ)②④ (Ｄ)②③3.如图,在等腰直⾓三⾓形ＡＢＣ中,∠Ｃ=90°,∠ＣＢＤ=30°,则ＡＤＤＣ的值是( ) (Ａ)3 3 (Ｂ) 2 2(Ｃ) 2 －1 (Ｄ) 3 －1 4.世界杯⾜球赛⼩组赛,每个⼩组4个队进⾏单循环⽐赛,每场⽐赛胜队得3分,败队得0分,平局时两队各得1分.⼩组赛完以后,总积分最⾼的两个队出线进⼊下轮⽐赛.如果总积分相同,还要按净胜球数排序.⼀个队要保证出线,这个队⾄少要积( )(Ａ)5分 (Ｂ)6分 (Ｃ)7分 (Ｄ)8分5.如图,四边形ＡＢＣＤ中,∠Ａ=60°,∠Ｂ=∠Ｄ=90°,ＡＤ=8,ＡＢ=7,则ＢＣ+ＣＤ等于( )(Ａ)6 3 (Ｂ)5 3 (Ｃ)4 3 (Ｄ)3 36.如图,在梯形ＡＢＣＤ中,ＡＤ∥ＢＣ,ＡＤ=3,ＢＣ=9,ＡＢ=6,ＣＤ=4.若ＥＦ∥ＢＣ,且梯形ＡＥＦＤ与梯形ＥＢＣＦ的周长相等,则ＥＦ的长为( )(Ａ)45 7 (Ｂ) 33 5 (Ｃ) 39 5 (Ｄ) 1527.如图,在ＲｔＡＢＣ中,∠ＡＣＢ=90°,ＡＣ=ｂ,ＡＢ=ｃ,若Ｄ、Ｅ分别是ＡＢ和ＡＢ延长线上的两点,ＢＤ=ＢＣ,ＣＥ⊥ＣＤ,则以ＡＤ和ＡＥ的长为根的⼀元⼆次⽅程是()(Ａ)ｘ2－2ｃｘ+ｂ2=0(Ｂ)ｘ2－ｃｘ+ｂ2=0(Ｃ)ｘ2－2ｃｘ+ｂ=0(Ｄ)ｘ2－ｃｘ+ｂ=08.已知实数ａ、ｂ、ｃ满⾜ａ<ｂ<ｃ,ａｂ+ｂｃ+ｃａ=0,ａｂｃ=1,则()(Ａ)｜ａ+ｂ｜>｜ｃ｜(Ｂ)｜ａ+ｂ｜<｜ｃ｜(Ｃ)｜ａ+ｂ｜=｜ｃ｜(Ｄ)｜ａ+ｂ｜与｜ｃ｜的⼤⼩关系不能确定⼆、填空题(本题共4⼩题,每⼩题8分,满分32分)9.Ｍ是个位数字不为零的两位数,将Ｍ的个位数字与⼗位数字互换后得另⼀个两位数Ｎ,若Ｍ－Ｎ恰是某正整数的⽴⽅,则这样的Ｍ共有＿＿＿＿个.10.设ｘ1、ｘ2是⽅程ｘ2-2 (ｋ+1)ｘ+ｋ2+2=0的两个实数根,且(ｘ1+1) (ｘ2+1)=8, 则ｋ的值是＿＿＿＿.11.已知实数ｘ、ｙ、ｚ满⾜ｘ+ｙ=5及ｚ2=ｘｙ+ｙ－9,则ｘ+2ｙ+3ｚ=＿＿＿＿.12.如图,Ｐ是矩形ＡＢＣＤ内⼀点,若ＰＡ=3,ＰＢ=4,ＰＣ=5,则ＰＤ=＿＿＿＿.三、解答题(本题共3⼩题,每⼩题20分,满分60分)13.如图,甲楼楼⾼16⽶,⼄楼坐落在甲楼的正北⾯,已知当地冬⾄中午12时太阳光线与⽔平⾯的夹⾓为30°,此时,求:(1)如果两楼相距20⽶,那么甲楼的影⼦落在⼄楼上有多⾼?(2)如果甲楼的影⼦刚好不落在⼄楼上,那么两楼的距离应当是多少⽶?14.如图, △ＡＢＣ是等腰直⾓三⾓形,∠Ｃ=90°,Ｏ是△ＡＢＣ内⼀点,点Ｏ到△ＡＢＣ各边的距离都等于1,将△ＡＢＣ绕点Ｏ顺时针旋转45°得△Ａ1Ｂ1Ｃ1,两三⾓形公共部分为多边形ＫＬＭＮＰＱ.(1)证明: △ＡＫＬ、△ＢＭＮ、△ＣＰＱ都是等腰直⾓三⾓形;(2)求△ＡＢＣ与△Ａ1Ｂ1Ｃ1公共部分的⾯积.15.某乡镇⼩学到县城参观,规定汽车从县城出发于上午7时到达学校,接参观的师⽣⽴即出发去县城.由于汽车在赴校的途中发⽣了故障,不得不停车修理. 学校师⽣等到7时10分,仍未见汽车来接,就步⾏⾛向县城. 在⾏进途中遇到了已经修理好的汽车,⽴即上车赶赴县城, 结果⽐原定到达县城的时间晚了半⼩时. 如果汽车的速度是步⾏速度的6倍,问汽车在途中排除故障花了多少时间.参考解答⼀、选择题1 Ｃ2 Ｄ3 Ｄ4 Ｂ5 Ｂ6 Ｃ7 Ａ8 Ａ⼆、填空题9 6 10 1 11 8 12 3 2 三、解答题13 (1)设冬天太阳最低时,甲楼最⾼处Ａ点的影⼦落在⼄楼的Ｃ处, 那么图(1)中ＣＤ的长度就是甲楼的影⼦在⼄楼上的⾼度.设ＣＥ⊥ＡＢ于点Ｅ,那么在△ＡＥＣ中,∠ＡＥＣ=90°,∠ＡＣＥ=30°,ＥＣ=20⽶.∴ＡＥ=ＥＣ·ｔａｎ∠ＡＣＥ=20·ｔａｎ30°=20×33≈11.6(⽶). ＣＤ=ＥＢ=ＡＢ－ＡＥ=16－11.6=4.4(⽶).(2)设点Ａ的影⼦落到地⾯上⼀点Ｃ(如图(2)),则在△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ=30°,ＡＢ=16⽶,∴ＢＣ=ＡＢ·ｃｏｔ∠ＡＣＢ=16×ｃｏｔ30°=16×3≈27.7(⽶).所以，要使甲楼的影⼦不影响⼄楼，那么⼄楼距离甲楼⾄少要27.7⽶.14 (1)连结ＯＣ,ＯＣ1,分别交ＰＱ、ＮＰ于点Ｄ,Ｅ,根据题意得∠ＣＯＣ1=45°. ∵点Ｏ到ＡＣ和ＢＣ的距离都等于1, ∴ＯＣ是∠ＡＣＢ的平分线. ∵∠ＡＣＢ=90°,∴∠ＯＣＥ=∠ＯＣＱ=45°. 同理∠ＯＣ1Ｄ=∠ＯＣ1Ｎ=45°, ∴∠ＯＥＣ=∠ＯＤＣ1=90°.∴∠ＣＱＰ=∠ＣＰＱ=∠Ｃ1ＰＮ=∠Ｃ1ＮＰ=45°. ∴△ＣＰＱ和△Ｃ1ＮＰ都是等腰直⾓三⾓形.∴∠ＢＮＭ=∠Ｃ1ＮＰ=45°, ∠Ａ1ＱＫ=∠ＣＱＰ=45°. ∵∠Ｂ=45°,∠Ａ1=45°,∴△ＢＭＮ和△Ａ1ＫＱ都是等腰直⾓三⾓形.∴∠Ｂ1ＭＬ=∠ＢＭＮ=90°, ∠ＡＫＬ=∠Ａ1ＫＱ=90°. ∴∠Ｂ1=45°,∠Ａ=45°,∴△Ｂ1ＭＬ和△ＡＫＬ也都是等腰直⾓三⾓形.(2)在Ｒｔ△ＯＤＣ1和Ｒｔ△ＯＥＣ中, ∵ＯＤ=ＯＥ=1,∠ＣＯＣ1=45°,∴ＯＣ=ＯＣ1= 2 . ∴ＣＤ=Ｃ1Ｅ= 2 －1.∴ＰＱ=ＮＰ=2( 2 －1)=2 2 －2,ＣＱ=ＣＰ=Ｃ1Ｐ=Ｃ1Ｎ=2－ 2 . ∴Ｓ△ＣＰＱ=12 ×(2－ 2 )2=3－2 2 .延长ＣＯ交ＡＢ于Ｈ.∵ＣＯ平分∠ＡＣＢ,且ＡＣ=ＢＣ, ∴ＣＨ⊥ＡＢ.∴ＣＨ=ＣＯ+ＯＨ= 2 +1.∴ＡＣ=ＢＣ=Ａ1Ｃ1=Ｂ1Ｃ1= 2 ( 2 +1)=2+ 2 . ∴Ｓ△ＡＢＣ= 12×(2+ 2 )2=3+2 2 .∵Ａ1Ｑ=ＢＮ=(2+ 2 )－(2 2 －2)－(2－ 2 )=2,∴ＫＱ=ＭＮ= 22 = 2 ,∴Ｓ△ＢＭＮ=12×( 2 )2=1.∵ＡＫ=(2+ 2 )－(2－ 2 )－ 2 = 2 , ∴Ｓ△ＡＫＬ=12×( 2 )2=1.∴Ｓ多四边形ＫＬＭＮＰＱ=Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＣＰＱ－Ｓ△ＢＭＮ－Ｓ△ＡＫＬ= (3+2 2 )－(3－2 2 )－1－1 = 4 2 －2.15 假定排除故障花时ｘ分钟.如图,设点Ａ为县城所在地,点Ｃ为学校所在地,点Ｂ为师⽣途中与汽车相遇之处.在师⽣们晚到县城的30分钟中,有10分钟是因晚出发造成的,还有20分钟是由于从Ｃ到Ｂ由步⾏代替乘车⽽耽误的.汽车所晚的30分钟,⼀⽅⾯是由于排除故耽误了ｘ分钟,但另⼀⽅⾯由于少跑了Ｂ到Ｃ之间的⼀个来回⽽省下了⼀些时间.已知汽车速度是步⾏速度的6倍,⽽步⾏⽐汽车从Ｃ到Ｂ这段距离要多花20分钟.由此知汽车由Ｃ到Ｂ应花206－1=4(分钟).⼀个来回省下8分钟,所以有ｘ－8=30,ｘ=38,即汽车在途中排除故障花了38分钟.。

全国初中数学竞赛预赛试题含答案

2013年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案、选择题(共6小题，每小题6分，共36分) 以下每小题均给出了代号为 A , B ,C ,D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的 •请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0分)1若有理数a 、b 满足(a • 1) •7(a • b) =0，则ab 等于【】(A ) -1 ( B ) 1( C ) 0(D )无法确定【答】A •解：因为a 、b 都是有理数，且(a • 1) • J7(a b^ 0，所以a 1=0, 且 a^0,得 a = -1,b =1，所以 ab = -1 •2.如图，由7个小正方形组成的平面图形折叠(相邻的两个面垂直)成正方体后，重叠的两个面所标数字是【】(A ) 1 和 7( B ) 1 和 6(D ) 2 和 6 【答】B •解：若将图中标有1的面去掉，则标有 2、3、4、5、6、7的六个面恰好是正方体的一种展开图，其中标有 3和6的面是对面；只看题图最下面一行，标有3和1的面应是对面,所以重叠的两个面是标有 1和6的面，应选B •3.如图，在四边形ABCD 中，AD // BC , BD 平分/ ABC 交AC 于点O , AE 平分/ CAD 交BD674 51 23(A ) 4 个 (C ) 2 个 (B ) 3 个(D ) 1 个(C ) 2 和 7 第2题图A于点E,Z ABC^ ： ,Z ACB= 1，给出下列结论：=」(二■ ■■-');①/ DAE」-② JAD 二如；③/ A EB2 CB CO 2④/ ACD = 180 -(J ■ ■■-').其中一定正确的有【】【答】B .1 11解：(1) •/ AD // BC ,.・./ DAE= DAC ACB，•①正确;2 22AD AO(2) •/ AD // BC ,•△ AODCOB ,「. = •••②正确；CB CO 1(3) Z AEB=Z DAE + Z ADB=Z DAE + / CBD = ^(a+0)，•③正确；立.•••④不正确.综上，应选B.5.关于x 的不等式ax 3a 3 x 的解集为x ：：： -3，则a 应满足【(4)vZ BAC=180 -(二■ ■.-■)，只有当AB // DC 时，/ ACD=180 _(_：」“)才能成4.如图，直线l i 、I 2相交于点A(3,2),则当丫2 - yi时，自变量x 的取值范围是【(A )X • -2 (B )X 1 (C) 1 ：： X :: 3(D )-2 x 3【答】C .解：由图象可知当 y 2 y i 时，x ： 3, 当y 1 0时，x 1，所以当y y 1 0时,1 ：： x ： 3.故应选C(A) a 1(B) a <1(D ) a wl【答】B .解：由 ax 3a 3 x ，得(a -) x3 0,由不等式的解集为 x ：：： -3 ,知x •所以a -1 ：：： 0，得a 1 •故应选|1>6.如图的象棋盘中, 卒”从A点走到B点，最短路径共有【(A)14条(B) 15 条(C) 20条(D) 35 条【答】解：如右图，从点A出发，每次向上或向右走步，到达每一点的最短路径条数如图中所标数字，如: 到达点P、Q的最短路径条数分别为2和3.以此类推, 到达点B的最短路径条数为35条.选D.141020136101 P2 Q34B35155 A 1111二、填空题(共 6小题，每小题6分，共36 分)解：原式二川18.如图是三个反比例函数 k 1 y -xk2y -,xy=d 在x 轴上方的图象，则xk i 、 k 2、 k 3的大小关系为【答】k 3 ■ k 2 k 1 .解：由图象可知k 1为负数，k 2、k 3为正数，不妨取 x=1，代入解析式，显然点 A(1,k 2) 在点B(1,k 3)的正下方，所以k 3 k 2 0，又k i 为负数,所以 k 3k 2 k 1 .9.有6个小球，其中黑色、红色、绿色各2个，它们除颜色外其它都一样，将它们放入一个不透明的袋子中，充分摇匀后，从中随机摸出2个球，摸出的球颜色一样的概率2 1解：摸出的2个球都是黑球的概率是 -6 5 —，所以摸出的球颜色一样的概率是15—3二丄 15 510 .如图，点C/ A= / B=30° / ADC= / BEC=90° 若 AB=8cm ，则CD+CE=cm.【答】4.7 •计算: 【答】111 .关于 x 的方程x 2 (1 -m)x • m • 2 = 0的两实数根之积等于 m 2「7m • 2，则【答］4.解：在 Rt △ ADC 中，1/ A=30° ,得 DC =丄 AC2同理EC 二丄BC ,所以2DC EC =1 AC= -AB =4( cm). 2、， 2解：由题意得 m • 2 = m -7m 2，解得mb = 0, m 2 = 8，当g = 0时，原方程无实数根，当m 2 =8时，原方程有两个不相等的实数根，所以 ,m • 8 16 = 4 .1+- + (4)6 67016a - 2 = 6a — 2 =12.计算:111 ... 4 5 6671 3 4 5670345丄….丄67145【答】20131 1 66?^=a ，则原式=a671 丿（3671丿x a=!a a 232013 671匚丄a 」a,213a = —6712013三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分,共48分）13 •某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行列队，已知6人一列少2人，5人一列多2人，4人一列不多不少，请问这个单位参加健身操比赛的职工至少有几人?【答案】设这个单位参加健身操比赛的职工有y 人，6人、5人、4人一列分别可以整排a 、b 、c 列，则 y 二6a - 2 =5b • 2 =4c . （ a 、b 、c 是正整数）6a - 2由②，得 c =43i - 1 a a- 1）因为c为正整数，可令 a -1 =2m, 所以a = 2m • 1, （m是正整数）将③代入①，得6（2m・1） -2 =5b - 2.b」2m+ 2_ 10+ 1）因为b为正整数，可令m *1=5n, 所以m =5n -1, （n是正整数）将④代入③，得 a =2（5n -1）• 1 =10n -1.11分y =6a -2 =6 （1r0 - 1） 2 n6 —（n 是正整数）当n=1时，y有最小值52.即参加比赛列队的至少有52人. 14分14.如图，在边长为1的正方形ABCD的边AB 上任取一点 E （A、B两点除外），过E、B、C三点的圆与BD 相交于点H，与正方形ABCD的外角平分线相交于点F，与CD相交于点G .GHEB(1) 求证：四边形 EFCH 是正方形； (2)设BE=x , △ CGH 的面积是y ,求y 与x 的函数解析式，并求 y 的最大值.【答案】(1)v E 、B 、C 、H 、F 在同一圆上，且/ EBC=90°••• / EHC=90° / EFC=90° . ......................................................................................... 2 分又 / FBC = Z HBC=45° • CF= CH . ......................................................................... 4 分/ HBF +/HCF=180°, HCF=90° . ........................................................................ 6 分 •四边形EFCH 是正方形. ................................................... 8分(2)v / GHB + / GCB=180° ,• / GHB=90°，由(1)知/ CHE=90° ,/ CHG + / CHB= / EHB+ / CHB .CG=BE=x,- - DG = DC - CG = 1 - X .1 1△ CGH 中，CG 边上是高为一DG (1-X ).2 21 1 当x =2时，y 有最大值亦.15.数学活动课上，李老师出示了问题：已知，如图 ①，在△ ABC 中，/ BAC=45 °AB=AC , AD 丄BC ,垂足为D ，设BD = a ，用含有a 的式子表示 AD 的长.经过思考和探讨，小明展示了一种解题思路：如图②，作/ DAE=45° AE 和BC 的延长线相交于点 E ,过点C 作CF 丄AE 于点F .通过证明△ ABD ◎△ ACF ，得到CF=a ,进而推出 CE= 2a ，所以 AD=DE=CD+CE=a 2a =(1 2)a.在此基础上，李老师又提出了如下问题:12分丄(1—x)」x 」2 4 ,:22 1615分16分已知△ ABC 中，/ BAC=45° AB >AC , AD 是 BC 边上的高，设 BD=a , CD=b ，求 AD 的长•请你画图并解答这个问题.【答案】（1）当/ ACB 为直角时，△ ABC 为直角三角形，b=0, AD=AC=BD =a . 2分（2）当/ ACB 为锐角时，如图③，作/ DAE =45° , AE 和BC 的延长线相交于点 E , 点C 作CF 丄AE 于点F .则△ CEF 和厶ADE 都是等腰直角三角形•设 AD 二 DE =x , CF =EF =m .贝U AE = .2x •/ / FAC+ / CAD =45 ° / DAB+ / CAD =45 ° ••• / FAC = / DAB.又•••/ AFC = / ADB=90° , • △ FAC DAB.FA _ FC DA 一 DB整理得 x 2-(a • b)x -ab = 0 .解得x^a bT b 2时也『6ab （舍去）.2 一12分（3）当/ ACB 为钝角时，如图④，作/ DAE =45° , AE 和BC 的延长线相交于点 E ,点C 作CF 丄AE 于点F •与（1）中的求法类似，可设 AD = DE 二x , CF 二EF 二m ,2axAF='、2x — 口.同(1)中的理由，得 △ FACDAB , CE =-x +a.• AF = ., 2x - m . .... 4 分解得m 2axx +a• CE =；2EFx +a2ax•/ CE CD 二 DE 二 AD ,10分综上，AD的长为a或…『丄覚或口丄壁2 21厂禹2+『-6曲................................................................................................................... 18分2。

山东省数学竞赛试题七年级

山东省数学竞赛试题七年级一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果a和b是两个不同的质数，那么a+b的奇偶性是？A. 总是奇数B. 总是偶数C. 可能是奇数也可能是偶数D. 无法确定3. 一个数的平方根是它自己，这个数是？A. 0B. 1C. -1D. 1或-14. 一个圆的直径是14cm，那么它的半径是？A. 7cmB. 14cmC. 28cmD. 无法确定5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，它的体积是？A. abcB. ab+bc+caC. a+b+cD. 无法确定6. 一个数的绝对值是它自己，这个数是？A. 0B. 正数C. 负数D. 0或正数7. 一个等腰三角形的两边长分别是5cm和10cm，那么第三边的长度是？A. 5cmB. 10cmC. 不能构成三角形D. 无法确定8. 一个数的立方根是它自己，这个数是？A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -19. 如果一个数的相反数是-3，那么这个数是？A. 3B. -3C. 0D. 无法确定10. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是？A. 2B. 1/2C. -2D. 无法确定二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的平方是16，这个数是______。

12. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______。

13. 一个三角形的内角和是______度。

14. 一个数的立方是-8，那么这个数是______。

15. 如果一个分数的分子是5，分母是10，那么它的倒数是______。

三、解答题（每题5分，共55分）16. 一个长方体的长、宽、高分别是5cm、3cm和2cm，求它的表面积和体积。

17. 一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，求斜边的长度。

18. 一个数列的前三项是1, 1, 2，从第四项开始，每一项都是前三项的和。

求这个数列的前10项。

2019年全国初中数学竞赛各地初赛试题(解析版)

1、2019年全国初中数学竞赛（四川赛区）初赛试卷2、2019年全国初中数学竞赛（广东赛区）初赛试卷3、2019年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷4、2019年全国初中数学竞赛（广东赛区）初赛试卷5、2019年全国初中数学竞赛（天津赛区）初赛试卷6、2019年全国初中数学竞赛（湖北赛区）初赛试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（）A．42条B．54条C．66条D．78条1．解：∵一个凸多边形的每一个内角都等于150°，∴此多边形的每一个外角是180°﹣150°＝30°，∵任意多边形的外角和是：360°，∴此多边形边数是：360°÷30°＝12，∴这个多边形所有对角线的条数是：n（n﹣3）÷2＝12×（12﹣3）÷2＝54．故选：B．2．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，∴OA＝OB，∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，∠BAC＝60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB＝OB，∠ABO＝60°，∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，∵AB＝OB＝BE，∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）＝75°．故选：D．3．设方程（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝0的两根是c、d，则方程（x﹣c）（x﹣d）+x＝0的根是（）A．a，b B．﹣a，﹣b C．c，d D．﹣c，﹣d3．【解答】解：∵（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝0，∴x2﹣（a+b+1）x+ab＝0，而方程的两个根为c、d，∴c+d＝a+b+1，①cd＝ab，②又方程（x﹣c）（x﹣d）+x＝0可以变为x2﹣（c+d﹣1）x+cd＝0，③∴把①②代入③中得x2﹣（a+b）x+ab＝0，（x﹣a）（x﹣b）＝0，∴x＝a，x＝b．故选：A．4．若不等式2|x﹣1|+3|x﹣3|≤a有解，则实数a最小值是（）A．1B．2C．4D．64．【解答】解：当x＜1，原不等式变为：2﹣2x+9﹣3x≤a，解得x≥，∴＜1，解得a＞6；当1≤x≤3，原不等式变为：2x﹣2+9﹣3x≤a，解得x≥7﹣a，∴1≤7﹣a≤3，解得4≤a≤6；当x＞3，原不等式变为：2x﹣2+3x﹣9≤a，解得x＜，∴＞3，解得a＞4；综上所述，实数a最小值是4．故选：C．5．若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形，用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（）A．18B．24C．30D．365．【解答】解：如图所示，∵连接BD、BE、BF、EG，则△BEF、△BEG、△BDE均为不规则三角形，∴从正方体的一个顶点出发与所有顶点的连线中有三个不规则的三角形，∴用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是3×8＝24个．故选：B．6．不定方程x2﹣2y2＝5的正整数解（x，y）的组数是（）A．0组B．2组C．4组D．无穷多组6．【解答】解：若有解，x必为奇数，令x＝2n+1，（2n+1）2＝2y2+5，整理得2n（n+1）＝2+y2，y为偶数，令y＝2m，2n（n+1）＝2+4m2，n（n+1）＝1+2m2，左边为偶数，右边为奇数．所以无整数解，故选：A．二、填空题（共3小题，每小题7分，满分21分）7．二次函数y＝x2﹣ax+2的图象关于x＝1对称，则y的最小值是．7．【解答】解：∵对称轴x＝﹣＝1，解得a＝2，∴二次函数为y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∵二次项系数为1，图象开口向上，∴y的最小值是1．故答案为1．8．已知△ABC中，AB＝，BC＝6，CA＝．点M是BC中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是．8．【解答】解：∵（）2＝62+（）2，∴AB2＝BC2+CA2，∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角．在直角△AMC中，CA＝，CM＝BC＝3，∴∠CMA＝30°，∴∠DMB＝30°，在直角△BDM中，BD＝BM•sin∠DMB＝3×＝．故答案是：．9．一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手，每位参赛者与其10n﹣1个选手各对局一次，计分方式为：胜者的2分，负者得0分，平局各自得1分．比赛结束后统计发现所有参赛男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，则n的所有可能值是．9．【解答】解：每场对局都有2分，10n个棋手对局共下：局，总分为100n×n﹣10n，假设男选手与女选手的所有比赛中都不得分，则9n个男选手最低总得分为81n×n﹣9n，女选手最高得分总和为19n×n﹣n，依题意，男选手最低得分总和比女选手最高得分总和应不大于4，列不等式（81n×n ﹣9n）：（19n×n﹣n）≤4，因女选手得分为正数，变形得：（81n×n﹣9n）≤4（19n×n﹣n），移项：5n（n﹣1）≤0，解得：0≤n≤1，因n为正整数，所以n的所有可能值是1．故答案为：1．三、解答题（共3小题，满分70分）10．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）＝﹣80成立，求其实数a的可能值．10．【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的两个实数根，a＝1，b＝（3a﹣1），c＝2a2﹣1，∴x1+x2＝﹣（3a﹣1），x1•x2＝2a2﹣1，而（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）＝﹣80，∴3x12﹣10x1x2+3x22＝﹣80，3（x1+x2）2﹣16x1x2＝﹣80，∴3[﹣（3a﹣1）]2﹣16（2a2﹣1）＝﹣80，∴5a2+18a﹣99＝0，∴a＝3或﹣，当a＝3时，方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的△＜0，∴不合题意，舍去∴a＝﹣．11．抛物线y＝ax2+bx+c的图象于x轴交于点M（x1，0），N（x2，0），且经过点A（0，1），其中0＜x1＜x2，过点A的直线l交x轴于C点，与抛物线交于点B（异于A点），满足△CAN是等腰直角三角形，且，求解析式．11．【解答】解：由条件知该抛物线开口向上，与x轴的两个交点在y轴的右侧，由于△CAN是等腰直角三角形，故点C在x轴的左侧，且∠CAN＝90°，故∠ACN＝45°，从而C（﹣1，0），N（1，0）．于是直线l的方程为：y＝x+1．设B（x3，y3），由S△BMN＝S△AMN，知y3＝，（10分）从而，即．综上可知，该抛物线通过点A（0，1），，N（1，0）．于是，解得．所以所求抛物线的解析式为y＝4x2﹣5x+1．（25分）12．如图．AD、AH分别是△ABC（其中AB＞AC）的角平分线、高线，M点是AD的中点，△MDH的外接圆交CM于E，求证∠AEB＝90°．12．【解答】证明：如图，连接MH，EH，∵M是Rt△AHD斜边AD的中点，∴MA＝MH＝MD，∴∠MHD＝∠MDH，∵M，D，H，E四点共圆，∴∠HEC＝∠MDH，∴∠MHD＝∠MDH＝∠HEC，∴∠MHC＝180°﹣∠MHD＝180°﹣∠HEC＝∠MEH，∵∠CMH＝∠HME，∴△CMH∽△HME，∴，即MH2＝ME•MC，∴MA2＝ME•MC，又∵∠CMA＝∠AME，∴△CMA∽△AME，∴∠MCA＝∠MAE，∴∠BHE+∠BAE＝∠DHE+∠BAD+∠MAE＝∠DHE+∠MAC+∠MCA＝∠DHE+∠DME＝180°，∴A，B，H，E四点共圆，∴∠AEB＝∠AHB，又∵AH⊥BH，∴∠AHB＝90°，∴∠AEB＝∠AHB＝90°．2019年全国初中数学竞赛（广东赛区）初赛试卷一、选择题（每小题6分，满分30分）1．已知＝0，a2+b2+c2＝1，则a+b+c的值等于（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．O1．【解答】解：∵＝＝0，∴bc+ac+ab＝0，又∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（bc+ac+ab）＝1+0＝1；∴a+b+c＝±1．故选：C．2．若使函数的自变量x的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（）A．b＞c＞0B．b＞0＞c C．c＞0＞b D．c＞b＞02．【解答】解：∵函数的自变量x取值范围是一切实数，∴分母一定不等于0，∴x2﹣2bx+c2＝0无解，即△＝4b2﹣4c2＝4（b+c）（b﹣c）＜0，解得：c＜b＜﹣c或﹣c＜b＜c．当c＞b＞0时，一定满足要求上面要求．故选：D．3．如图，E、F、G、H、I、J、K、N分别是正方形各边的三等分点，要使中间阴影部分的面积是5，那么大正方形的边长应该是（）A．B．C．D．3．【解答】解：∵△BMI∽△ABI，∴MI＝BM，∴AI＝3MB+MB＝MB，又∵在直角△ABI中，AB：AI＝3：，∴AB＝×MB，∵MB与小正方形的边长相等，∴AB＝×＝＝5．故选：C．4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）A．L l＝L2B．L1＞L2C．L2＞L1D．无法确定4．【解答】解：∵等边三角形各内角为60°，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠BPD＝∠CPE＝30°，∴在Rt△BDP和Rt△CEP中，∴BP＝2BD，CP＝2CE，∴BD+CE＝BC，∴AD+AE＝AB+AC﹣BC＝BC，∴BD+CE+BC＝BC，L1＝BC+DE，L2＝BC+DE，即得L1＝L2，故选：A．5．一个盒子里有200只球，从101到300连续编号，甲、乙两人分别从盒子里拿球，直到他们各有100只球为止，其中甲拿到102号，乙拿到280号，则甲拿到的球的编号总和与乙拿到的球的编号总和之差最大是（）A．10000B．9822C．377D．96445．解：甲拿201至300，然后用280换102 则标号之和是：（201+300）×﹣（280﹣102）＝24872；乙的编号之和是：（101+200）×+（280﹣102）＝15228 24872﹣15228＝9644．故选：D．6．已知a2+4a+1＝0，且，则m＝．6．【解答】解：∵a2+4a+1＝0，∴a2＝﹣4a﹣1，＝＝＝＝＝5，∴（16+m）（﹣4a﹣1）+8a+2＝5（m﹣12）（﹣4a﹣1），原式可化为（16+m）（﹣4a﹣1）﹣5（m﹣12）（﹣4a﹣1）＝﹣8a﹣2，即[（16+m）﹣5（m﹣12）]（﹣4a﹣1）＝﹣8a﹣2，∵a≠0，∴（16+m）﹣5（m﹣12）＝2，解得m＝．故答案为．7．如图，由12根铅丝焊接成一个正方体框架．现要将每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色．如果已将AD涂成红色，BF涂成黄色，GH涂成蓝色，那么该涂成白色的铅丝有．7．解：∵每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色．AD涂成红色，BF涂成黄色，GH涂成蓝色．∴涂成红色的铅丝只能有EF、FG、CG，而FG不合题意，则涂成红色的铅丝有EF、CG；同理涂成黄色的铅丝有EH、CD；涂成蓝色的铅丝有AE、BC．则涂成白色的铅丝有：AB、DH、FG．故答案为：AB、DH、FG．8．某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是．8．【解答】解：设该旅行团住三人间x间，双人间y间，单人间z间，总住宿费为a元．则由题意得由②﹣①得2x+y＝30，即y＝30﹣2x④由②﹣①×2得x﹣z＝10，即z＝x﹣10 ⑤∵0≤y≤20，即0≤30﹣2x≤20，解得5≤x≤15 ⑥同理0≤z≤20，即0≤x﹣10≤20，解得10≤x≤30 ⑦由⑥⑦知10≤x≤15将④⑤代入③得a＝60x+60（30﹣2x）+50（x﹣10）＝1300﹣10x⇒x＝130﹣∴10≤≤15⇒1200≤a≤1150∴这笔最省的住宿费用是1150元，此时x＝15再将x的值代入④⑤得y＝0、z＝5故答案为1150，15、0、5．9．△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c．若AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O，则c可用a、b 的代数式表示为．9．【解答】解：∵AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O，于是，中线BE、AD，E和D是AC，BC上的中点由题可知，∴∠BOA＝90°，BD＝CD＝，AE＝EC＝，∵E，D为中点，故DE为中线＝AB＝，∴①BO2+DO2＝（）2，②AO2+EO2＝（）2，③DO2+EO2＝（）2，④BO2+AO2＝c2，∴①+②＝③+④，∴5c2＝a2+b2．故c＝．故答案为：c＝．10．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，∠AOC＝60°，点P在AB的延长线上，且PB＝BO ＝3cm．连接PC交半圆于点D，过P作PE⊥P A交AD的延长线于点E，求PE长．10．【解答】解：如图，连接BD，BE，∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠PDE＝∠AOC＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDE＝90°，∵PE⊥P A，∴∠BPE＝90°，∴∠BDE＝∠BPE＝90°，∴∠BDE+∠BPE＝180°，∴点B，P，E，D四点共圆，∴∠PBE＝∠PDE＝30°，在Rt△BPE中，tan∠PBE＝，∴tan30°＝＝，∴PE＝．三、解答题（每小题15分，共60分）11．设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2﹣6x+a＝0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围．11．【解答】解：∵方程x2﹣6x+a＝0有实数根，∴△＝36﹣4a≥0，（1）当△＝0时，即△＝36﹣4a＝0，解得a＝9，此时三角形为等边三角形；（2）当△＞0，即△＝36﹣4a＞0时，解得a＜9，设两根为x1，x2（x1＜x2）此时存在一个等腰三角形底边为x1，腰为x2，此时不存在一个等腰三角形底边为x2，腰为x1即最短两边（即两腰）之和不大于最大边（即底边）即2x1≤x2，由根与系数的关系可得，3x1≤x1+x2＝6，∴x1≤2，∵x1+x2＝6，x1•x2＝a，∴a＝x1•（6﹣x1），＝6x1﹣（x1）2＝﹣（3﹣x1）2+9＝﹣（3﹣x1）2+9≤8，∴当0＜a≤8，a＝9时，三角形只有一个．12．若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕．现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的．问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？（2）参加装卸的有多少名工人？12．【解答】解：（1）设装卸工作需x小时完成，则第一人干了x小时，最后一个人干了小时，两人共干活小时，平均每人干活小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，平均每人干活的时间也是小时．根据题得，解得x＝16（小时）；（2）共有y人参加装卸工作，由于每隔t小时增加一人，因此最后一人比第一人少干（y﹣1）t小时，按题意，得，即（y﹣1）t＝12．解此不定方程得，，，，，即参加的人数y＝2或3或4或5或7或13．13．（15分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED ＝∠A．求证：BD＝2CD．13．【解答】证明：作DO∥AB交AC于O．则由AB＝AC易知OD＝OC，且∠DOC＝∠BAC＝2∠CED，所以O为△EDC的外心，取F为△EDC的外接圆与AC的交点，连接DF，则OF＝OC＝OD，∠ACE＝∠ADF．所以△ACE∽△ADF，即有＝．再由DO∥AB，∠ADO＝∠BAE，∠AOD＝180﹣∠DOC＝180°﹣∠A＝180°﹣∠BED＝∠AEB，所以△ADO∽△BAE，即得＝＝＝．故AF＝OD＝OC＝CF，从而AO＝2OC．由DO∥AB，得：BD＝2CD．14．如图，已知抛物线y＝a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．14．【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），∴0＝9a+3，∴a＝﹣∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+x+；（3分）（2）①∵D为抛物线的顶点，∴D（1，3），过D作DN⊥OB于N，则DN＝3，AN＝3，∴AD＝＝6，∴∠DAO＝60°．∵OM∥AD，①当AD＝OP时，四边形DAOP是平行四边形，∴OP＝6，∴t＝6（s）．②当DP⊥OM时，四边形DAOP是直角梯形，过O作OH⊥AD于H，AO＝2，则AH＝1（如果没求出∠DAO＝60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA（求AH＝1）∴OP＝DH＝5，t＝5（s）（6分）③当PD＝OA时，四边形DAOP是等腰梯形，易证：△AOH≌△DPP′，∴AH＝CP，∴OP＝AD﹣2AH＝6﹣2＝4，∴t＝4（s）综上所述：当t＝6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；（3）由（2）及已知，∠COB＝60°，OC＝OB，△OCB是等边三角形则OB＝OC＝AD＝6，OP＝t，BQ＝2t，∴OQ＝6﹣2t（0＜t＜3）过P作PE⊥OQ于E，则PE＝t（8分）∴S BCPQ＝×6×3×（6﹣2t）×t＝（t﹣）2+（9分）当t＝时，四边形BCPQ的面积最小值为．（10分）∴此时OQ＝3，OP＝，OE＝；∴QE＝3﹣＝，PE＝，∴PQ＝．（11分）2019年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．设xy＜0，x＞|y|，则x+y的值是（）A．负数B．0C．正数D．非负数1．【解答】解：∵xy＜0，x＞|y|，∴x＞0，y＜0，且|x|＞|y|，∴x+y的值正数．故选：C．2．若（x+3）（x+n）＝x2+mx﹣15，则m等于（）A．﹣2B．2C．﹣5D．52．解：∵（x+3）（x+n）＝x2+（3+n）x+3n，∴3n＝﹣15，∴n＝﹣5，m＝3+（﹣5）＝﹣2．故选：A．3．若a+|a|＝0，则等于（）A．1﹣2a B．2a﹣1C．﹣1D．13．【解答】解：由a+|a|＝0，得|a|＝﹣a，可知a为非正数，∴＝1﹣a，＝﹣a∴原式＝1﹣a﹣a＝1﹣2a故选：A．4．无论m为何实数，直线y＝x+2m与y＝﹣x+4的交点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．【解答】解：由于直线y＝﹣x+4的图象不经过第三象限．因此无论m取何值，直线y＝x+2m与y＝﹣x+4的交点不可能在第三象限．故选：C．5．（5分）从1到9这9个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是（）A．B．C．D．15．【解答】解：所有机会均等的可能共有9种．而2的倍数有2，4，6，8四个，因此是2的倍数的概率是．故选：B．6．A地在河的上游，B地在河的下游，若船从A地开往B地的速度为V1，从B地返回A地的速度为V2，则A，B两地间往返一次的平均速度为（）A．B．C．D．无法计算6．【解答】解：本题没有AB两地的单程，可设为1，那么总路程为2，总时间为+．平均速度＝2÷（+）＝2÷＝．故选B．7．如图，韩老师早晨出门散步时离家的距离（y）与时间（x）之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（）A．B．C．D．7．【解答】解：由于一段时间离家的距离保持不变，家是一个点，所以在那段时间内行走的路线就可能是在以家为圆心，那段距离为半径的一段弧上．故选：D．8．如图，AB是铅直地竖立在坡角为30°的山坡上的电线杆，当阳光与水平线成60°角时，电线杆的影子BC的长度为4米，则电线杆AB的高度为（）A．4米B．6米C．8米D．10米8．【解答】解：如图，由题意可知，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，则AB＝2BC＝8米，故选：C．9．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）A．B．C．1D．29．【解答】解：∵∠BAC＝∠BCA＝∠OBC＝∠OCB，∴△BOC∽△ABC，所以，即，所以，a2﹣a﹣1＝0．由a＞0，解得．故选：A．10．如图，根据天气预报，某台风中心位于A市正东方向300km的点O处，正以20km/h的速度向北偏西60°方向移动，距离台风中心250km范围内都会受到影响，若台风移动的速度和方向不变，则A市受台风影响持续的时间是（）A．10h B．20h C．30h D．40h10．【解答】解：如图，以点A为圆心，250km为半径画圆，交OM于点B、C，作AN⊥BC于点N，∵∠AON＝90°﹣60°＝30°，AO＝300，∴在Rt△OAN中，AN＝AO＝150km，又AC＝250km，在Rt△CAN中，由勾股定理，得CN＝＝200km，则BC＝2CN＝400km，台风中心在线段BC上时，A市都会受到台风的影响，∴A市受台风影响持续的时间为400÷20＝20小时．故选：B．二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）11．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，则m+n的值为．11．【解答】解：把n代入方程得到n2+mn+2n＝0，将其变形为n（m+n+2）＝0，因为n≠0所以解得m+n＝﹣2．12若a+3b＝0，则＝．12．【解答】解：∵a+3b＝0，∴a＝﹣3b．∴原式＝＝＝＝＝．故答案为：．13．如图，是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小值而不含最大值），则仰卧起坐次数在25～45次的频率是．13．【解答】解：由频率分布直方图可知，“25～45”的学生人数有21人，∴仰卧起坐次数在25～45次的频率＝21÷30＝0.7．故应填：0.7．14．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则cos∠ABC的为．14．【解答】解：连接AC，延长AD交CD的延长线于D，由题意可知∠D＝90°，则AC＝＝，BC＝＝，AB＝＝，∵AC2+BC2＝AB2∴△ABC直角三角形，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝＝45°．cos45°＝故答案为．15．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣，﹣），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式．15．【解答】解：根据题意得，与x轴的另一个交点为（1，0）或（﹣1，0），因此要分两种情况：（1）过点（﹣1，0），设y＝ax（x+1），则，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为：y＝x2+x；（2）过点（1，0），设y＝ax（x﹣1），则，解得：a＝，∴抛物线的解析式为：y＝x2+x．16．如图，两个滑块A、B由一个连杆连接，分别可以在两条互相垂直的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20cm，滑块B距O点15cm．则当滑块A向下滑到O点时，滑块B滑动了．16．【解答】解：如图，由AB2＝AO2+OB2＝202+152＝252，可知连杆AB的长度等于25cm，当滑块A向下滑到O点时，滑块B距O点的距离是25cm，故滑块B滑动了25﹣15＝10cm．故答案为10cm．17．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠D的度数是°．17．【解答】解：由旋转的性质可知，∠AOC＝40°，而∠AOD＝90°，∴∠COD＝90°﹣∠AOC＝50°又∵点C恰好在AB上，OA＝OC，∠AOC＝40°，∴∠A＝＝70°，由旋转的性质可知，∠OCD＝∠A＝70°在△OCD中，∠D＝180°﹣∠OCD﹣∠COD＝60°．18．如图，将长为4cm宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长度为cm．18．【解答】解：如图，连接BM，EM，BE，由折叠的性质可知，四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．∴MN垂直平分BE，∴BM＝EM，∵点E是CD的中点，DE＝1，∴在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM2+AB2＝BM2，DM2+DE2＝EM2，∴AM2+AB2＝DM2+DE2．设AM＝x，则DM＝4﹣x，∴x2+22＝（4﹣x）2+12．解得，即cm．故答案为：．三、解答题（共2小题，满分30分）19．如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点P是AB边上的一个动点（点P不与点A、B重合），CP与BD相交于点Q．（1）若CP平分∠ACB，求证：AP＝2QO．（2）先按下列要求画出相应图形，然后求解问题．①把线段PC绕点P旋转90°，使点C落在点E处，并连接AE．设线段BP的长度为x，△APE的面积为S．试求S与x的函数关系式；②求出S的最大值，判断此时点P所在的位置．19．【解答】（1）证明：过点O作OM∥AB交PC于点M，则∠COM＝∠CAB．∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，∠CAB＝∠CBD＝∠COM＝45°，∴AP＝2OM．又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠COM＝∠2+∠CBD，即∠OMQ＝∠OQM．∴OM＝OQ∴AP＝2OQ．（2）解：根据题意作出图形，如图所示①ⅰ、当PC绕点P逆时针旋转90°时，作EF⊥AB交BA延长线于点F，则∠EFP＝∠PBC＝90°，∠3+∠CPB＝90°．又∠2+∠CPB＝90°，∴∠3＝∠2．又PE由PC绕点P旋转形成∴PE＝PC∴△EPF≌△CPB．∴EF＝BP＝x，∴AP＝1﹣x，∴．∴△APE的面积S与x的函数关系式为（0＜x＜1）．ⅱ、当PC绕点P顺时针旋转90°时，作E′G⊥AB交AB延长线于点G，则同理可得△E′PG≌△CPB，E′G＝BP＝x．∴△APE的面积S与x的函数关系式为由ⅰ、ⅱ可得△APE的面积S与x的函数关系式为，（0＜x＜1）②由①知S与x的函数关系式为，（0，x，1）即，（0＜x＜1）∴当时S的值最大，最大值为．此时点P所在的位置是边AB的中点处．20．文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践，为了便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元；已知学生家长与教师的人数之比为2：1，文昌到三亚的火车票价格（部分）如下表所示：运行区间公布票价学生票价上车站下车站一等座二等座三等座文昌三亚81（元）68（元）51（元）（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x 张（x小于参加社会实践的人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？20．【解答】解：（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，依题意得：，解得，则2m＝20，答：参加社会实践的老师、家长与学生分别有10人、20人、180人．（2）解：由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，①当180≤x＜210时，最经济的购票方案为：学生都买学生票共180张，（x﹣180）名成年人买二等座火车票，（210﹣x）名成年人买一等座火车票．∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y＝51×180+68（x﹣180）+81（210﹣x），即y＝﹣13x+13950（180≤x＜210），②当0＜x＜180时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（210﹣x）张，∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y＝51x+81（210﹣x），即y＝﹣30x+17010（0＜x＜180），答：购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式是y＝﹣13x+13950（180≤x＜210）或y＝﹣30x+17010（0＜x＜180）．（3）由（2）小题知，当180≤x＜210时，y＝﹣13x+13950，∵﹣13＜0，y随x的增大而减小，∴当x＝209时，y的值最小，最小值为11233元，当x＝180时，y的值最大，最大值为11610元．当0＜x＜180时，y＝﹣30x+17010，∵﹣30＜0，y随x的增大而减小，∴当x＝179时，y的值最小，最小值为11640元，当x＝1时，y的值最大，最大值为16980元．所以可以判断按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元，答：按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元．2019年全国初中数学竞赛（天津赛区）初赛试卷一、选择题(每小题4分，共20分，每小题只有一个答案是正确的，答对的得3分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分.)1．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足（a2012﹣c2012）（a2012﹣d2012）＝2012，（b2012﹣c2012）（b2012﹣d2012）＝2012，则（ab）2012﹣（cd）2012的值为（）A．﹣2012B．﹣2011C．2012D．20111．【解答】解：设a2012与b2012看做方程（x﹣c2012）（x﹣d2012）＝2012的两个解，方程整理得：x2﹣（c2012+d2012）x+（cd）2012﹣2012＝0，则（ab）2012﹣（cd）2012＝，又x1x2＝（cd）2012﹣2012，则（ab）2012﹣（cd）2012＝＝（cd）2012﹣2012﹣（cd）2012＝﹣2012．故选：A．2．一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1，2，3，4．摇匀后随机取出一球，记下号码后放回；再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为（）A．B．C．D．2．【解答】解：可以分四种情况讨论：若第一次抽出1号球，则第二次抽出任一球都可满足条件，概率为＝；若第一次抽出2号球，则第二次抽出2，3，4号球可满足要求，概率为＝；若第一次抽出3号球，则第二次抽出3，4号球可满足要求，概率为＝；若第一次抽出4号球，则第二次抽出4号球可满足要求，概率为＝；则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为＝；故选：D．3．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝9，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF，则EF的长为（）A．B．C．D．3．【解答】解：如右图所示，∵四边形EDCF折叠后得到四边形EBCF，∴∠1＝∠2，BE＝DE，∵四边形ABCDE是矩形，∴AD∥BC，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴BF＝BE，设AE＝x，那么BE＝9﹣x，在Rt△BAE中，AB2+AE2＝BE2，即32+x2＝（9﹣x）2，解得x＝4，∴BE＝5，过点E作EG⊥BC于G，∵EG⊥BC，∴∠BGE＝∠A＝∠ABG＝90°，∴四边形ABGE是矩形，∴GF＝BF﹣BG＝5﹣4＝1，EG＝AB＝3，在Rt△EGF中，EF2＝EG2+GF2，＝10，∴EF＝．故选：C．4．在正九边形ABCDEFGHI中，若对角线AE＝2，则AB+AC的值等于（）A．B．2C．D．4．【解答】解：如图，设O为正九边形ABCDEFGHI的中心，连接OE、OA，则∠AOE＝×4＝160°，∴∠OEA＝10°，又易得∠OED＝70°，∴∠DEA＝60°，在AE上截取EP＝ED，连接DP、PC，∵∠PDC＝140°﹣60°＝80°，∴，∴∠CP A＝70°，又∵∠CAP＝∠BAP﹣∠BAC＝40°，∴∠CAP＝70°，∴AC＝AP，又∵AB＝DE＝EP，∴AE＝AB+AC＝2．故选：B．5．有n个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛活动，规定每人至少参加1 项比赛，至多参加2项比赛，但乙、丙两项比赛不能同时兼报，若在所有的报名方式中，必存在一种方式至少有20个人报名，则n的最小值等于（）A．171B．172C．180D．1815．【解答】解：对于一个人来说，他的报名方式有两种：报一项或两项，报一项比赛的方式有4种，报两项比赛的方式有种，故可得：每个人报名方式有9种，又题目要求要求有20人相同，故可以让每一种方式都有19个人，然后只要任意一种再加一个人即可，所以n min＝19×9+1＝172．故选：B．二、填空题（每小题4分，共20分）.6．若，则的值为．6．【解答】解：平方得：，展开后，∴，∴，即，∴+＝2或﹣2（舍去）∴x2﹣＝（x+）（+）（﹣）＝﹣24，故答案为：﹣24．7．若四条直线x＝1，y＝﹣1，y＝3，y＝kx﹣3所围成的凸四边形的面积等于12，则k的值为．7．【解答】解：在y＝kx﹣3中，令y＝﹣1，解得x＝；令y＝3，x＝；当k＜0时，四边形的面积是：[（1﹣）+（1﹣）]×4＝12，解得k＝﹣2；当k＞0时，可得[（﹣1）+（﹣1）]×4＝12，解得k＝1．即k的值为﹣2或1；故答案为：﹣2或1．8．如图，半径为r的⊙O沿折线ABCDE作无滑动的滚动，如果AB＝BC＝CD＝DE＝2πr，∠ABC＝∠CDE＝150°，∠BCD＝120°，那么，⊙O自点A至点E转动了周．8．【解答】解：圆的周长是2πr，AB+BC+CD+DE＝8πr，则8πr÷2πr＝4．经过点B从AB到BC时，从与AB相切到与BC相切转动了一个∠ABC补角的度数即180﹣150＝30°，同理C、D两点都要转一个补角度数，总共转了30°，60°，则在三个点处转动了30°+30°+60°＝120°，即周．在⊙O自点A 至点E转动了4+＝4周．故答案是：4．9．如图，已知△ABC中，D为BC中点，E，F为AB边三等分点，AD分别交CE，CF于点M，N，则AM：MN：ND等于．9．【解答】解：如图，作PD∥BF，QE∥BC，∵D为BC的中点，∴PD：BF＝1：2，∵E，F为AB边三等分点，∴PD：AF＝1：4，∴DN：NA＝PD：AF＝1：4，∴ND＝AD，AQ：AD＝QE：BD＝AE：AB＝1：3，∴AQ＝AD，QM＝QD＝AD＝AD，∴AM＝AQ+QM＝AD，MN＝AD﹣AM﹣ND＝AD∴AM：MN：ND＝5：3：2．故答案为5：3：2．10．若平面内有一正方形ABCD，M是该平面内任意点，则的最小值为．10．【解答】解：过点M作MF⊥AD交AD的延长线与点F，作ME垂直BC交BC的延长线与点E，如图，∵MA2+MC2＝MF2+AF2+ME2+CE2，MB2+MD2＝BE2+ME2+DF2+FM2，DF＝CE，AF＝BE，∴MA2+MC2＝MB2+MD2，又∵AC2＝MA2+MC2﹣2MA•MC•cos∠AMC，BD2＝MB2+MD2﹣2MB•MD•cos∠BMD，AC＝BD，∴MA•MC•cos∠AMC＝MB•MD•cos∠BMD，，∵，又∵MA2+MC2＝MB2+MD2，∴当最小时，这个值最小，所以当∠BMD＝90°，∠AMC＝0°时最小，即点M与点A、C重合时，此时＝．故答案为：．三、解答题（每小题15分，共60分）.11．已知抛物线y＝x2+mx+n经过点（2，﹣1），且与x轴交于两点A（a，0）B（b，0），若点P为该抛物线的顶点，求使△P AB面积最小时抛物线的解析式．11．【解答】解：由题意知4+2m+n＝﹣1，即n＝﹣2m﹣5，∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y＝x2+mx+n上，∴a+b＝﹣m，ab＝n，又∵|AB|＝|a﹣b|＝x2+mx+n经过（2，﹣1），代入得，n＝﹣2m﹣5，∴，P点纵坐标为，＝，可见，当m＝﹣4时S△P AB最小，解析式为y＝x2﹣4x+3．12．如图，分别以边长1为的等边三角形ABC的顶点为圆心，以其边长为半径作三个等圆，得交点D、E、F，连接CF交⊙C于点G，以点E为圆心，EG长为半径画弧，交边AB于点M，求AM的长．12．【解答】解：如图，过点E作EP⊥AB，连接EA、EC、EM．∵在⊙C中，EC＝AC；在⊙A中，AE＝AC，∴EC＝AC＝AE，∴△EAC为正三角形；同理证得△ABC为正三角形，则∠ECA＝∠CAB＝60°，∴EC∥AB，又∵由相交两圆的性质得：CG⊥AB，∴EC⊥CG，∴EM＝EG＝＝，∵∠EAP＝60°，∴EP＝，AP＝，PM＝＝，∴AM＝PM﹣AP＝﹣1．13．已知p与5p2﹣2同为质数，求p的值．13．【解答】解：∵5p2﹣2＝5p2﹣5+3＝5（p+1）（p﹣1）+3，①当p+1＝3n（n≥1），即p＝3n﹣1时，3|5（p+1）（p﹣1）+3，即5p2﹣2为合数，不符合题意；②当p﹣1＝3n（n≥1），即p＝3n+1时，3|5（p+1）（p﹣1）+3，即5p2﹣2为合数，不符合题意；③当p＝3n（n≥2）时，p为合数，不符合题意；∴p只能取3，当p＝3时，5p2﹣2＝43为质数符合题意，∴p＝3．14．已知关于x的不等式组的解集中的整数恰好有2个，求实数a的取值范围．14．【解答】解：不等式组可以化为：，即＜x＜a+1．满足原不等式组的解集中的整数恰好有2个，只需（k为整数），即（k为整数）（1）只需关于整数k的不等式组有解．解得：1＜k≤4，得k＝2，3，4．当k＝2时，代入（1），有，解得：3＜a＜4；当k＝3时，代入（1）得：，解得：4＜a≤5；当k＝4时，代入（1）得：，解得：a＝6．所以，3＜a＜4或4＜a≤5或a＝6即为所求．2019年全国初中数学竞赛（湖北赛区）初赛试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．如果分式的值等于0，则x的值是（）A．2B．﹣2C．﹣2或2D．2或32．已知a、b、c为一个三角形的三边长，则4b2c2﹣（b2+c2﹣a2）2的值为（）A．恒为正B．恒为负C．可正可负D．非负3．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处C．3处D．4处4．某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图，该校七．八．九三个年级共有学生800人．甲，乙，丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高．”乙说：“八年级共有学生264人．”丙说：“九年级的体育达标率最高．”甲，乙，丙三个同学中，说法正确的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．甲和乙及丙5．若方程组的解为x，y，且2＜k＜4，则x﹣y的取值范围是（）A．0＜x﹣y＜B．0＜x﹣y＜C．﹣3＜x﹣y＜﹣1D．﹣1＜x﹣y＜6．如图，已知AD是△ABC的外接圆的直径，AD＝13cm，cos B＝，则AC的长等于（）A．5cm B．6cm C．10cm D．12cm二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）7．已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14＝0，则x+y+z＝．8．已知m，n是有理数，且（+2）m+（3﹣2）n+7＝0，则m＝，n＝．9．如图，在△ABC中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO、CO的交点，则∠O与∠A的关系是．。

山东省初中数学竞赛试题2-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷

山东省初中数学竞赛试题2-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载山东省初中数学竞赛一. 选择题(每小题6分,共48分)1、已知命题“有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形”，则（）A、这个命题和它的否命题都是真命题B、这个命题和它的否命题都是假命题C、这个命题是真命题，而它的否命题是假命题D、这个命题是假命题，而它的否命题是真命题2、一项工程，甲建筑队单独承包需要a天完成，乙建筑队单独承包需要b天完成。

现两队联合承包，那么，完成这项工程需要（）A、天B、天C、天D、天3、如图1，∠CGE=α，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）A、360°-αB、270°-αC、180°+αD、2α4、如果x + x-1 = 1，那么（）A、(x+1)(x-1)>0B、(x+1)(x-1)<0C、(x+1)(x-1)≥0D、(x+1)(x-1)≤05、与最接近的整数是（）A、5B、6C、7D、86、已知a、b、c、d都是正实数，且。

则A=与0的大小关系是（）A、A>0B、A≥0C、A<0D、A≤07、若方程有两个不相等的实数根，则实数p的取值范围是（）A、p≤0B、p<C、0≤p<D、p≥8、如图2，S∠AFG=5a，S∠ACG=4a , S∠BFG=7a。

则S∠AEG=（）A、B、C、D、二、填空题（每小题8分，共32分）1、已知。

则yx=__________2、已知a、b、c为不等于零的实数，且a+b+c=0。

则的值为_________3、如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠C= 90°，AB=AD。

若这个四边形的面积为12，则BC+CD=________。

4、如图4，在矩形ABCD的边AB上有一点E，且，DA边上有一点F，且EF=18，将矩形沿EF对折后，点A落在边BC上的点G，则AB=______。

山东初三初中数学竞赛测试带答案解析

山东初三初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列说法中，正确的是( ).A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等2.下列函数：①；②；③；④，其中的值随值的增大而增大的函数有( ) .A．4个B．3个C．2个D．1个3.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是 ( ).A．(2, )B．(－2，-)C．(2, )或(－2，)D．(2, )或(－2，-)4.一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm 和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有( ).A．一种B．两种C．三种D．四种5.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A 的坐标是（）.A．（3，5）B．（4，5）C．（5，3）D．（5，4）6.如图，AB是半圆的直径，AB＝2r，C、D为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积是（）.A、πr2B、πr2C、πr2D、πr27.某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（）.A．B．C．D．8.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（）.A．B．C．D．9.若关于x 的一元二次方程有解，那么m的取值范围是（）.A．B．C．且D．且10.下列说法中，①方程x(x－2)＝x－2的解是x＝1；②小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了m；③若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 5；④将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是，正确的命题有( ).A．0个B．1个C．2个D．3个11.准备两张大小一样，分别画有不同图案的正方形纸片，把每张纸都对折、剪开，将四张纸片放在盒子里，然后混合，随意抽出两张正好能拼成原图的概率是( ).A．B．C．D．12.由若干个同样大小的正方体堆积成一个实物，从不同侧面观察到如图所示的投影图，则构成该实物的小正方体个数为( ).A．6个B．7个C．8个D．9个13.如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为（）.A．cm B．4cm C．cm D．cm14.将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( ). A．y＝(x－4)2－6B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－1)2－315.已知反比例函数y ＝ (a≠0)的图象，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小，则一次函数y ＝－ax ＋a 的图象不经过( ). A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16.将一副三角板如图叠放，交点为O.则△AOB 与△COD 面积之比是（）.A ．B ．C ．D ．17.如图，直线l 和双曲线y ＝(k>0)交于A ，B 两点，P 是线段AB 上的点(不与A ，B 重合)，过点A ，B ，P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C ，D ，E ，连接OA ，OB ，OP ，设△AOC 面积是S 1，△BOD 面积是S 2，△POE 面积是S 3，则( ).A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 1>S 2>S 3C ．S 1＝S 2>S 3D ．S 1＝S 2<S 318.△ABC 中，D 、E 、F 分别是在AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，那么下列各式正确的是( ). A.=B.=C.=D.=19.一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（）.A ．B ．C ．D ．20.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，且关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③m ＞2．其中，正确结论的个数是（）.A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题1.y=自变量x 的取值范围是 .2.如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，点D 、E 、F 是⊙O 上三个点，EF//AB ，若EF=2，则∠EDC的度数为__________.3.把正方形ABCD 沿对角线AC 的方向移动到A 1B 1C 1D 1的位置，它们重叠部分的面积是正方形ABCD 的面积的一半，若AC=，则平移的距离是 .4.为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出____个这样的停车位．(≈1.4)三、解答题1.(8分）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件.（1）当售价定为30元时，一个月可获利多少元？（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？2.（10分）如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB 的中点，（1）求证：AC 2=AB•AD ；（2）求证：CE ∥AD ；（3）若AD=4，AB=6，求的值．3.（8分）如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1．（1）求一次函数与反比例的解析式；（2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＞0的解集．4.（10分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值.5.（12分）如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线与x轴交于点E .（1）求点E的坐标；（2）求过 A、O、E三点的抛物线解析式；（3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值.山东初三初中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.下列说法中，正确的是( ).A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等【答案】B.【解析】A.一条弦可以对优弧，也可以对劣弧，故此项错误；B. 等弧所对的弦相等，这个命题是正确的；要强调在同圆或等园，相等的圆心角所对的弦才相等，相等的弦所对的圆心角也相等，故C、D错误.故选：B.【考点】圆心角、弧、弦的关系.2.下列函数：①；②；③；④，其中的值随值的增大而增大的函数有( ) .A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C.【解析】①，y随x的增大而减小；②，y随x的增大而增大；③，在第二象限内，y随x的增大而增大；④，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小；所以满足条件的有两个.故选：C.【考点】1、一次函数的增减性；2、反比例函数的增减性；3、二次函数的增减性.3.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是 ( ).A．(2, )B．(－2，-)C．(2, )或(－2，)D．(2, )或(－2，-)【答案】D.【解析】根据位似图形的性质可知，当矩形OA′B′C′在第一象限时，，，此时点B′的坐标为(2, )；当矩形OA′B′C′在第四象限时，点B′的坐标为(－2，-).故选：D.【考点】位似图形的性质.4.一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有( ).A．一种B．两种C．三种D．四种【答案】B.【解析】取30cm为一边，另两边设为xcm、ycm；（1）30cm与20cm对应，即，解得x=75，y=90；75+90＞50，不可以．（2）30cm与50cm对应，即，解得x=12，y=36；12+36=48＜50，可以．（3）30cm与60cm对应，即，解得x=10，y=25；10+25＜50，可以．所以有两种不同的截法．故选：B.【考点】相似三角形的性质.5.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A 的坐标是（）.A．（3，5）B．（4，5）C．（5，3）D．（5，4）【答案】D.【解析】连接AD，AB，AC，再过点A作AE⊥OC于E，则ODAE是矩形，∵点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，∴OB=2，OC=8，BC=6，∵⊙A与y轴相切于点D，∴AD⊥OD，∵由垂径定理可知：BE=EC=3，∴OE=AD=5，∴AB=AD=5，利用勾股定理知AE=4，∴A（5，4）．故选：D．【考点】1、垂径定理；2、勾股定理.6.如图，AB是半圆的直径，AB＝2r，C、D为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积是（）.A 、πr 2 B 、πr 2 C 、πr 2 D 、πr 2【答案】B.【解析】连接OC 、OD ．∵△COD 和△CDA 等底等高， ∴S △COD =S △ACD ．∵点C ，D 为半圆的三等分点，AB=2r ， ∴∠COD=180°÷3=60°，OA=r ， ∴阴影部分的面积=S 扇形COD =.故选：B ．【考点】扇形面积的求法.7.某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（）.A ．B ．C ．D ．【答案】B.【解析】设这两年平均每年绿地面积的增长率是x ，根据题意列方程得：，解得x=0.2=20%，x=-2.2舍去.故选：B.【考点】一元二次方程的应用—增长率问题.8.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（）.A ．B ．C ．D ．【答案】C.【解析】根据题意，BE=AE ．设BE=x ，则CE=8-x ．在Rt △BCE 中，x 2=（8-x ）2+62，解得x=，故CE=8-=，∴tan ∠CBE=.故选：C.【考点】锐角三角函数.9.若关于x 的一元二次方程有解，那么m 的取值范围是（）. A ．B ．C ．且D ．且【答案】D.【解析】∵关于x 的一元二次方程有解，∴判别式，m-20，解得：且.故选：D.【考点】一元二次方程的判别式的应用.10.下列说法中，①方程x(x－2)＝x－2的解是x＝1；②小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了m；③若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 5；④将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是，正确的命题有( ).A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B.【解析】①方程x（x-2）=x-2的解是x=1或x=2，故错误；②小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了1000m，则他升高了200 m，故正确；③若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为5或，故错误；④将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是y=-（x+2）2，故错误；其中正确的命题有一个.故选：B.【考点】命题与定理.11.准备两张大小一样，分别画有不同图案的正方形纸片，把每张纸都对折、剪开，将四张纸片放在盒子里，然后混合，随意抽出两张正好能拼成原图的概率是( ).A．B．C．D．【答案】A.【解析】设分成的四张纸片中，1和2为一张；3和4为一张；如图：那么共有12种情况，正好能拼成的占4种，概率是 .故选：A．【考点】概率的求法.12.由若干个同样大小的正方体堆积成一个实物，从不同侧面观察到如图所示的投影图，则构成该实物的小正方体个数为( ).A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】B.【解析】综合主视图，俯视图，左视图底面有4个正方体，第二层有2个正方体，第三层有个1正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是7．故选：B．【考点】三视图.13.如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为（）.A．cm B．4cm C．cm D．cm【答案】C.【解析】∵半径为1cm的圆形，∴底面圆的半径为：1，周长为2π，扇形弧长为：2π=，∴R=4，即母线为4cm，∴圆锥的高为：（cm）．故选：C．【考点】圆锥的计算.14.将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( ). A．y＝(x－4)2－6B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－1)2－3【答案】B.【解析】抛物线y＝x2－6x＋5=，向上平移2个单位长度，即纵坐标加2，再向右平移1个单位长度，即横坐标减1，得到的抛物线解析式是，即y＝(x－4)2－2.故选：B.【考点】求抛物线的解析式.15.已知反比例函数y＝(a≠0)的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，则一次函数y＝－ax＋a的图象不经过( ).A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C.【解析】根据反比例函数的性质可知，a＞0，再根据一次函数的性质，y=-ax+a与y轴交于正半轴，-a＜0，则直线y=-ax+a随x的增大而减小，所以图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限.故选：C.【考点】1、反比例函数的性质；2、一次函数的图象和性质.16.将一副三角板如图叠放，交点为O.则△AOB与△COD面积之比是（）.A．B．C．D．【答案】B.【解析】∵直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放，∴∠D=30°，∠A=45°，AB∥CD，∴∠A=∠OCD，∠D=∠OBA，∴△AOB∽△COD，设BC=a，∴CD= ，∴S △AOB ：S △COD =1：3.故选：B.【考点】1、解直角三角形；2、相似三角形的性质.17.如图，直线l 和双曲线y ＝ (k>0)交于A ，B 两点，P 是线段AB 上的点(不与A ，B 重合)，过点A ，B ，P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C ，D ，E ，连接OA ，OB ，OP ，设△AOC 面积是S 1，△BOD 面积是S 2，△POE 面积是S 3，则( ).A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 1>S 2>S 3C ．S 1＝S 2>S 3D ．S 1＝S 2<S 3【答案】D.【解析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S= .结合题意可得：A 、B 都在双曲线y=上，则有S 1=S 2；而线段AB 之间，直线在双曲线上方；故S 1=S 2＜S 3．故选：D.【考点】反比例函数综合题.18.△ABC 中，D 、E 、F 分别是在AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，那么下列各式正确的是( ).A.=B.=C.=D.=【答案】C.【解析】根据题意画出图形，如图：∵DE ∥BC ，∴，故A 、D 错误；∵EF ∥AB ，∴△ABC ≌△EFC ，∴，故B 错误；∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴， ∴ ，故C 正确；故选：C.【考点】1、相似三角形的判定和性质；2、平行线分线段成比例定理.19.一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（）.A ．B ．C ．D ．【答案】A.【解析】由已知得，AB=×28=14海里，∠A=30°，∠ABM=105°．过点B作BN⊥AM于点N．∵在直角△ABN中，∠BAN=30°，∴BN= AB=7海里．在直角△BNM中，∠MBN=45°，则直角△BNM是等腰直角三角形．即BN=MN=7海里，∴BM= (海里).故选：A．【考点】方位角.20.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）.A．0B．1C．2D．3【答案】D.【解析】①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x=-＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．故选：D．【考点】图象与二次函数的系数的关系.二、填空题1.y=自变量x的取值范围是 .【答案】.【解析】要使函数有意义，则x-3≥0，x-4≠0，解得：x≥3且x≠4.故答案为：x≥3且x≠4.【考点】函数自变量的取值范围.2.如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，点D 、E 、F 是⊙O 上三个点，EF//AB ，若EF=2，则∠EDC 的度数为__________.【答案】30°.【解析】连接OE 、OC ，设OC 与EF 的交点为M ；∵AB 切⊙O 于C ， ∴OC ⊥AB ； ∵EF ∥AB ，∴OC ⊥EF ，则EM=MF=；Rt △OEM 中，EM=，OE=2；则sin ∠EOM=，∴∠EOM=60°；∴∠EDC=∠EOM=30°．故答案为：30°.【考点】1、切线的性质；2、解直角三角形.3.把正方形ABCD 沿对角线AC 的方向移动到A 1B 1C 1D 1的位置，它们重叠部分的面积是正方形ABCD 的面积的一半，若AC=，则平移的距离是 . 【答案】. 【解析】∵重叠部分的面积是正方形ABCD 面积的一半，即重叠部分与正方形的面积的比是1：2．则相似比是1：. ∴C ：AC=1：， ∵AC=， ∴A =AC-C=-1. 故答案为：-1.【考点】1、正方形的性质；2、相似三角形的性质.4.为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出____个这样的停车位．(≈1.4)【答案】17.【解析】如图，BC=2.2×sin45°=2.2×≈1.54米，CE=5×sin45°=5×≈3.5米，BE=BC+CE≈5.04米，EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.1米，（56-5.04）÷3.1+1=50.96÷3.1+1≈16.4+1=17.4（个）．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．故答案为：17．【考点】特殊角的三角函数值.三、解答题1.(8分）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件.（1）当售价定为30元时，一个月可获利多少元？（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？【答案】（1）800元；（2）当售价定为每件33元时，一个月的利润最大，最大利润是845元.【解析】（1）首先表示每件的利润，再计算售价定为30元时一个月卖出的件数，每件的利润与一个月卖出的件数的积即为一个月的利润；（2）设售价为每件元时，一个月的获利为元，则每件的利润为（x-20）元，一个月卖出的件数为[105-5（x-25）]件，则y=（x-20）[105-5（x-25）]，再求x为多少时，y有最大值，此时y的最大值是多少即可.试题解析：解：（1）获利：（30-20）[105-5（30-25）]="800" ，（2）设售价为每件元时，一个月的获利为元，由题意，得，当时，的最大值为845，故当售价定为每件33元时，一个月的利润最大，最大利润是845元.【考点】二次函数的应用—利润问题.2.（10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．【解析】（1）由相似三角形的判定证得△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质得AD：AC=AC：AB；（2）证得∠DAC=∠ECA，根据平行线的判定得CE∥AD；（3）由CE∥AD得到△AFD∽△CFE，应用相似三角形的性质得AD：CE=AF：CF，代入数值进行计算即可. 试题解析：（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．【考点】相似三角形的判定和性质.3.（8分）如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1．（1）求一次函数与反比例的解析式；（2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＞0的解集．【答案】（1）y=﹣x﹣1；y=﹣；（2）x＜﹣4．【解析】（1）根据△ABC的面积求出点A的坐标，把点A、B的坐标代入一次函数解析式求出k和b的值，即可得到一次函数的解析式；根据一次函数解析式求出点C的坐标，利用点C的坐标求出反比例函数解析式；（2）一次函数与反比例函数在第二象限的交点为C，根据点C的坐标得到kx+b﹣＞0的解集.试题解析：解：（1）∵OB=2，△AOB的面积为1，∴B（﹣2，0），OA=1，∴A（0，﹣1），∴，解得：，∴y=﹣x﹣1，又∵OD=4，OD⊥x轴，∴C（﹣4，y），将x=﹣4代入y=﹣x﹣1得y=1，∴C（﹣4，1），∴1=，∴m=﹣4，∴y=﹣，答：一次函数解析式为y=﹣x﹣1，反比例函数解析式为y=﹣；（2）当x＜0时，kx+b﹣＞0的解集是x＜﹣4．【考点】1、待定系数法求解析式；2、一次函数与反比例函数的交点.4.（10分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值.【答案】（1）详见解析；（2） .【解析】（1）证得OD⊥DE，根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；（2）由OD//AE，得到，通过转换得到，解得FC的长，进而求得AF的长，应用锐角三角函数求出cosA的值.试题解析：解：（1）证明：连结AD、OD，∵AC是直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴D是BC的中点，又∵O是AC的中点∴OD//AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）知OD//AE，∴，∴，∴，解得FC=2，∴AF=6，∴cosA=.【考点】1、切线的判定；2、平行线分线段成比例定理；3、锐角三角函数.5.（12分）如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线与x轴交于点E .（1）求点E的坐标；（2）求过 A、O、E三点的抛物线解析式；（3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值.【答案】（1）（4，0）；（2）；（3）当时， .【解析】（1）应用锐角三角函数求出点A的坐标，而后求出一次函数解析式，求出直线与x轴的交点E的坐标；（2）应用待定系数法列出方程组，求出a、b、c的值，得到二次函数解析式；（3）设点，根据用点P的坐标表示面积，整理得到S=，即当时， .试题解析：解：（1）作AF⊥x轴与F，∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°=，∴点A（1，），代入直线解析式，得，∴m=，∴，当y=0时，，得x=4，∴点E（4，0）；（2）设过A、O、E三点抛物线的解析式为，∵抛物线过原点，∴c=0，∴，∴，∴抛物线的解析式为；（3）作PG⊥x轴于G，设，，，，，当时， .【考点】1、一次函数的应用；2、二次函数综合题.。