高中数学-对数函数图像和性质及经典例题
高一数学下学期一单元考题：对数函数的图象及性质
高一数学下学期一单元考题：对数函数的图象及性质【】鉴于大家对查字典数学网十分关注，小编在此为大家整理了此文高一数学下学期一单元考题：对数函数的图象及性质，供大家参考!本文题目：高一数学下学期一单元考题：对数函数的图象及性质1.函数f(x)=lg(x-2)+5-x的定义域为()A.(2,5]B.(2,5)C.[2,5]D.[2,5)【解析】要使函数有意义，只须使x-20，x52【答案】 A2.函数y=log13x在(0,3]上的值域是()A.RB.[-1，+)C.(-，-1]D.[0,1]【解析】由y=log13x在(0,3]上单调递减，ymin=log133=-1.函数值域为[-1，+).故选B.【答案】 B3.已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则f(132)=________. 【解析】设f(x)=logax，则loga8=3，a3=8，a=2即f(x)=log2x，f(132)=log2132=-5.【答案】-54.已知f(x)=lg1+x1-x，x(-1,1)，若f(a)=12，求f(-a).【解析】∵f(-x)=lg1-x1+x=-lg1+x1-x=-f(x)，f(x)是奇函数，f(-a)=-f(a)=-12.一、选择题(每小题5分，共20分)1.若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为()A.y=log2xB.y=2log4xC.y=log2x或y=2log4xD.不确定【解析】由对数函数的概念可设该函数的解析式为y=logax(a0，且a1，x0)，则2=loga4=loga22=2loga2，即loga2=1，a=2.故所求解析式为y=log2x.故选A.【答案】 A￥资%源~网2.函数f(x)=lg|x|为()A.奇函数，在区间(0，+)上是减函数B.奇函数，在区间(0，+)上是增函数C.偶函数，在区间(-，0)上是增函数D.偶函数，在区间(-，0)上是减函数【解析】已知函数的定义域为(-，0)(0，+)，关于原点对称，且f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x)，所以它是偶函数.当x0时，|x|=x，即函数y=lg|x|在区间(0，+)上是增函数，又f(x)为偶函数，所以f(x)=lg|x|在区间(-，0)上是减函数.故选D.【答案】 D.3.若函数g(x)=logx(1-x)的定义域为M，函数f(x)=ln(1-|x|)的定义域为N，则MN为()A.[0,1)B.(0,1)C.[0,1]D.(-1,0]【解析】由题意得x11-x00M=(0,1)由1-|x|0得-1N=(-1,1)，MN=(0,1).故选B.【答案】 B4.函数f(x)=log2(x+1)+1(37)的值域是()A.[3,4]B.[2,3]C.(0，+)D.(1，+)【解析】当37时，48,2log2(x+1)3.【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分)5.若函数f(x)=ax(a0，且a1)的反函数的图象过点(3,1)，则a=________.【解析】函数f(x)的反函数为y=logax，由题意，loga3=1，a=3.【答案】 36.设g(x)=ex (x0)lnx (x0)，则g(g(12))=________.【解析】g(12)=ln120，g(ln12)=eln12=12，g(g(12))=12.【答案】12三、解答题(每小题10分，共20分)7.求下列函数的定义域：(1)y=log3(2x-1)+1log4x;(2)y=log(x+1)(16-4x);【解析】(1)要使函数有意义，则2x-10，log4x0，x0，即x12，x1，x0，x12，且x1.故所求函数的定义域是12，1(1，+).(2)要使函数有意义，则16-4x0，x+10，x+11，即x2，x-1，x0，-1故所求函数的定义域是{x|-18.求函数y=log13(x2+2x+4)的值域.【解析】∵x2+2x+4=(x+1)2+33，定义域为R，f(x)log133=-1，课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
高中数学-对数函数的图像和性质
[解析] 由 3＋2x－x2>0 解得函数 y＝log1 (3＋2x－x2)的定
2
义域是{x|－1<x<3}．
设 u＝3＋2x－x2(－1<x<3)，又设－1<x1<x2≤1，则 u1<u2，
从而 log1 u1>log1 u2，即 y1>y2，故函数 y＝log1 (3＋2x－x2)在区
2
2
2
间(－1,1 ]上单调递减．
点Q(n,m)总在函数
-4
-2
2
4
6
-1 y=logax (a>1)
-2
y 2x 的图像上,所
以这两个函数的图像关
于直线 y x 对称。
一般的，函数y=f(x)与它的 反函数图像关于直线y=x对称
3.求下列函数的反函数
(1) y ln x y ex
(3) y 4x
y log4x
(2) y log1 x
y (1)x 2 2
(4) y ( )x 2
y log x
2
[例 4] 作出下列函数的图像： (1)y＝log2(x＋1)；(2)y＝lgx＋1； (3)y＝|log2x|；(4)y＝log2|x|； (5)y＝log2|x－1|. [分析] 根据对数函数的 图像作出变换后的图像．
变式 1.已知 a>0，且 a≠1，则函数 y＝ax 与 y＝loga(－x) 的图像只能是( )
当x>1时， y<0 当x=1时， y=0
当0<x<1时， y<0
当0<x<1时， y>0
名称
指数函数
指 一般形式
数
函
高中数学必修一课件：第四章对数函数的图象和性质(第3课时)
2
2．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)＝( D )
A．－log2x
B．log2(－x)
C．logx2
D．－log2(－x)
解析 当x<0时，－x>0，f(－x)＝log2(－x)，又因为f(x)为奇函数，所以f(－x) ＝－f(x)，所以f(x)＝－log2(－x)．
∴g(x)min＝g(3)＝－98，
则m的取值范围是m|
m<－98.
探究3 对数型函数的奇偶性问题的求解方法：
对数函数本身不具有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，就具有奇偶
性了，如y＝log2|x|就是偶函数．一般利用函数奇偶性的定义，并结合对数的运 算性质来判断这类函数的奇偶性．
为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或利用定义的等
3．函数f(x)＝log211＋－xx( B )
A．是偶函数
B．是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
解析
要使函数f(x)＝log2
1＋x 1－x
有意义，需满足பைடு நூலகம்
1＋x 1－x
>0⇒－1<x<1，所以函数
的定义域为(－1，1)，关于原点对称．f(－x)＝log2
1－x 1＋x
，则f(x)＋f(－x)＝
(2)若函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上是减函数，则a的取值范围为__(1_，__2)___． 【解析】 首先a作为底数满足a>0且a≠1， 令t＝2－ax，则t＝2－ax为减函数， ∵y＝loga(2－ax)在[0，1]上是减函数， ∴y＝logat为增函数，∴a>1，又t＝2－ax在x∈[0，1]时需大于0， ∴2－a·1>0，∴a<2. 综上，1<a<2.
对数函数图象及其性质知识点及例题解析
对数函数的图象及性质例题解析题型一 判断对数函数【例1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1． 又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1． 【例1－1】下列函数中是对数函数的为__________．（1）y ＝log a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ．解析：题型二【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a ，43，35，110中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )A 43，35，110B ，43，110，35C ．43，35，110D ．43110，35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 443，35，110．答案：A 点技巧 作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．题型三 对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1． 若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．(3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．【例3】求下列函数的定义域．(1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log (2x －1)(5x －4)；(3)y =．分析：利用对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义求解．解：(1)要使函数有意义，则1－x ＞0，解得x ＜1，故函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．(2) 要使函数有意义，则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x ＞45且x ≠1，故函数y ＝log (2x －1)(5x －4)的定义域是4,15⎛⎫⎪⎝⎭(1，＋∞)． (3)要使函数有意义，则0.5430,log (43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩解得34＜x ≤1，故函数y =的定义域是3<14x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．题型四 对数型函数的值域的求解方法一、充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．方法二、对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数； ②求f (x )的定义域； ③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解． 方法三、对于函数y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)，可利用换元法，设log a x ＝t ，则函数f (t )(t ∈R)的值域就是函数f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)的值域．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例4】求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝212log (32)x x ＋－．解：(1)∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2． ∴函数y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4．∵u ＞0，∴0＜u ≤4． 又y ＝12log u 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log u ≥－2．∴函数y ＝212log (32)x x ＋－的值域为[－2，＋∞)．【例4－1】已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及相应的x 的值．分析：先确定y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域，然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6且定义域为[1,3]． 令t ＝log 3x (x ∈[1,3])．∵t ＝log 3x 在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t ≤1．从而要求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y ＝t 2＋6t ＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y ＝t 2＋6t ＋6在[－3，＋∞)上是增函数，∴当t ＝1，即x ＝3时，y max ＝1＋6＋6＝13．综上可知，当x ＝3时，y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为13．题型五 对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1) ②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――---------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1) ③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)―----------------―→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称函数y ＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)④函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------------------------------→保留x 轴上方的图象同时将x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换函数y ＝|log a x |(a ＞0，且a ≠1)【例5】若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b ，c 的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)，得2＝log a (3＋b )＋c ． 又∵当a ＞0，且a ≠1时，log a 1＝0恒成立， ∴c ＝2．∴log a (3＋b )＝0． ∴b ＝－2．答案：－2,2【例5－1】作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象． 解：(第一步)作函数y ＝log 2x 的图象，如图①；(第二步)将函数y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②；(第三步)将函数y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③；(第四步)将函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，沿y 轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．题型六利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同．(2)底数不同，真数相同．(3)底数不同，真数也不同．(4)对于多个对数式的大小比较注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．【例6】比较下列各组中两个值的大小．(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)log aπ，log a3.141．分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围．解：(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以f(1.9)＜f(2)．所以log31.9＜log32．(2)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32．(3)当a＞1时，函数y＝log a x在定义域上是增函数，则有log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，函数y＝log a x在定义域上是减函数，则有log aπ＜log a3.141．综上所得，当a＞1时，log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，log aπ＜log a3.141．【例6－1】若a2＞b＞a＞1，试比较loga ab，logbba，log b a，log a b的大小．分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵b＞a＞1，∴0＜ab ＜1．∴logaab＜0，log a b＞log a a＝1，log b1＜log b a＜log b b，即0＜log b a＜1．由于1＜ba ＜b，∴0＜logbba＜1．由log b a－logbba＝2logbab，∵a2＞b＞1，∴2ab ＞1．∴2logbab＞0，即log b a＞logbba．∴log a b＞log b a＞logb ba＞logaab．题型七 利用对数函数的单调性解不等式常见的对数不等式有三种类型：①形如log a f (x )＞log a g (x )的不等式，借助函数y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．②形如log a f (x )＞b 的不等式，应将b 化为以a 为对数的对数式的形式，再借助函数y ＝log a x 的单调性求解．③形如log a f (x )＞log b g (x )的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如f (log a x )＞0的不等式，可用换元法(令t ＝log a x )，先解f (t )＞0，得到t 的取值范围．然后再解x 的范围．【例7】解下列不等式：(1)1177log log (4)x x >-； (2)log x (2x ＋1)＞log x (3－x )．解：(1)由已知，得>0,4>0,<4,x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得0＜x ＜2．故原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ＞1时，有21>3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得1＜x ＜3；当0＜x ＜1时，有21<3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0＜x ＜23．所以原不等式的解集是20<<1<<33x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或． 【例7－1】若22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，求a 的取值范围．解：∵22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，∴－1＜2log 3a ＜1，即12log log log 3a a a a a <<．(1)∵当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，∴123a a <<．∴a ＞32，结合a ＞1，可知a ＞32． (2)∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，∴12>>3a a ．∴a ＜23，结合0＜a ＜1，知0＜a ＜23．∴a 的取值范围是230<<>32a a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，或．题型八 对数型函数单调性的讨论（1）解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论； 二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域． (2)关于形如y ＝log a f (x )一类函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与u ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性，当a ＞1时相同，当0＜a ＜1时相反．【例8】求函数y ＝log 2(3－2x )的单调区间．分析：首先确定函数的定义域，函数y ＝log 2(3－2x )是由对数函数y ＝log 2u 和一次函数u ＝3－2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u ＝3－2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝log 2u 的单调性考虑．解：由3－2x ＞0，解得函数y ＝log 2(3－2x )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32．设u ＝3－2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32，∵u ＝3－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32上是减函数，且y ＝log 2u 在(0，＋∞)上单调递增， ∴函数y ＝log 2(3－2x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32上是减函数．∴函数y ＝log 2(3－2x )的单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32．【例8-1】求函数y ＝log a (a －a x )的单调区间．解：(1)若a ＞1，则函数y ＝log a t 递增，且函数t ＝a －a x 递减． 又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＜1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(－∞，1)上递减．(2)若0＜a ＜1，则函数y ＝log a t 递减，且函数t ＝a －a x 递增． 又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＞1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(1，＋∞)上递减．综上所述，函数y ＝log a (a －a x )在其定义域上递减． 析规律 判断函数y ＝log a f (x )的单调性的方法函数y ＝log a f (x )可看成是y ＝log a u 与u ＝f (x )两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．【例8－2】已知f (x )＝12log (x 2－ax －a )在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数，求a 的取值范围．解：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数f (x )的递增区间，说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u ＝x 2－ax －a 的递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0．令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数， ∴u (x )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是减函数，且u (x )＞0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立． ∴1,2210,2au ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42a a a ≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩∴－1≤a ≤12．∴满足条件的a 的取值范围是112a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．题型九 对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (－x )与f (x )或－f (x )是否相等；(2)当f (－x )＝f (x )时，此函数是偶函数；当f (－x )＝－f (x )时，此函数是奇函数；(3)当f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )时，此函数既是奇函数又是偶函数； (4)当f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．【例9】判断函数f (x )＝log )a x (x ∈R ，a ＞0，且a ≠1)的奇偶性．解：∵f (－x )＋f (x )＝＝log )a x ＋log )a x )＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．【例9-1】已知函数f (x )＝1log 1a xx+-(a ＞0，且a ≠1)．（1）求函数f (x )的定义域； （2）判断函数f (x )的奇偶性；（3）求使f (x )＞0的x 的取值范围．分析：对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解：(1)由11xx+-＞0，得－1＜x ＜1， 故函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)∵f (－x )＝1log 1ax x -+＝1log 1a xx+--＝－f (x )， 又由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称，∴函数f (x )是奇函数． (3)当a ＞1时，由1log 1a x x +-＞0＝log a 1，得11xx+-＞1，解得0＜x ＜1； 当0＜a ＜1时， 由1log 1ax x +-＞0＝log a 1，得0＜11xx+-＜1，解得－1＜x ＜0． 故当a ＞1时，x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是{x |－1＜x ＜0}． 题型十 反函数【例10】若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．12x C ．12log x D ．2x －2 解析：因为函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2．故f (x )＝log 2x ．【例10-1】函数f (x )＝3x (0＜x ≤2)的反函数的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1,9]C ．(0,1)D ．[9，＋∞)解析：∵ 0＜x ≤2，∴1＜3x ≤9， 即函数f (x )的值域为(1,9]．故函数f (x )的反函数的定义域为(1,9]． 【例10-2】若函数y ＝f (x )的反函数图象过点(1,5)，则函数y ＝f (x )的图象必过点( )A ．(5,1)B ．(1,5)C ．(1,1)D ．(5,5) 解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称，而点(1,5)关于直线y ＝x 的对称点为(5,1)，所以函数y ＝f (x )的图象必经过点(5,1)．【例10-3】已知f (e x )＝x ，则f (5)＝( )A ．e 5B ．5eC ．ln 5D ．log 5e解析：(方法一)令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ，即f (x )＝ln x ． 所以f (5)＝ln 5．(方法二)令e x ＝5，则x ＝ln 5，所以f (5)＝ln 5．【例10-5】已知对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，试求f (3)的值． 分析：设出函数f (x )的解析式，利用待定系数法即可求出．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，∵对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴11log 299a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴a 2＝19． ∴a ＝11222111933⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．∴f (x )＝13log x ． ∴f (3)＝111331log 3log 3-⎛⎫= ⎪⎝⎭＝－1．【例10-6】已知对数函数f (x )的反函数的图象过点(2,9)，且f (b )＝12，试求b 的值．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则它的反函数为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，由条件知a 2＝9＝32，从而a ＝3．于是f (x )＝log 3x ，则f (b )＝log 3b ＝12，解得b＝123=。
对数函数的图像和性质
(3) log a 5.1, log a 5.9(a 0, a 1)
归纳总结
问题. 两个同底数的对数比较大小的 一般步骤：
①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性；
③比较真数大小，然后利用对数函数的
增减性判断两对数值的大小．
试一试
比较下列各题中两个值的大小:
１、 log0.56______log0.5４
２、 log1.51.6______log1.51４.
3、 若 log3m log3n
，则m___n;
4、 若 log0.7m log0.7n ， 则m___n.
试一试
比较下列各题中两个值的大小:
１、 log0.56______log0.5４
式胃，酸说中明氢溶离液子酸的碱浓度度与溶是液2.中5×氢1离0子-2 摩的浓尔度/升， 之胃间酸的的变p化H是关多系；少？
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为 [H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH．
回顾小结
通过本节的学习，大家对对数函数有哪些认 识？能概括一下吗？
习题２.２ P７４ ７，８ ．１０（做书上）
a＞1
0＜a＜1
图y
y
象 0 (1,0)
x
0 (1,0) x
定义域 : ( 0,+∞)
值域 : R
性
过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是增函数 当x>1时，y>0
质 当x=1时，y=0
当0<x<1时，y<0
在(0,+∞)上是减函数 当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y>0
对数函数常见题型例析(5种)
对数函数常见题型例析对数函数是重要的基本初等函数之一,在近几年的高考中渐渐走红,频频出现在高考试卷与模拟试卷中,主要考查对数函数的图象和性质,本文就对数函数的常见题型归纳如下,供大家参考. 1.求定义域 例1函数3)5lg()(--=x x x f 的定义域为_____.解:要使)(x f 有意义,则⎩⎨⎧≠->-0305x x ,解得5<x ,且3≠x ,∴)(x f 的定义域为5|{<x x ,且}3≠x .点评:求对数定义域切记真数大于零,底数大于零且不等于1,常用方法是列不等式组, 注意求出的定义域要写成集合或区间的形式. 2.比较大小例2设,,a b c 均为正数,且,log221a a=,log)21(21b b = c c2log)21(=,则（ ）A a b c <<B c b a <<C c a b <<D b a c << 解:由a a21log2=可知0>a 12>∴a ,210,1log21<<∴>a a ;由b b21log)21(=可知1)21(0,0<<∴>b b ,即1log021<<b ,121<<b ;由c c2log )21(=可知21,1log0,02<<∴<<∴>c c c ,从而c b a <<,故选A.点评:本题的关键就是抓住“真数大于零”这一隐含条件,利用指、对函数的性质得出结论. 3.解对数方程例3解方程:0)2(log )12(log 244=--+x x ;解:由已知得)2(log )12(log 244-=+x x ,则2122-=+x x ,即0322=--x x ,解得3=x 或1-=x ,当1-=x 时,对数真数小于零,舍去,故方程的根是3=x . 点评:解对数方程要注意验根,即保证对数的真数大于零. 4.最值问题例4设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12,则a =（ ）B 2C 22D 4解:设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上递增,最大值和最小值 分别为a a aalog,2log,依题意知212loglog2log==-aaaa a ,4=∴a ,故选D.点评:最值问题是高考考查对函数性质的热点题型,解决的关键是根据对数函数单调性求解. 5.求参数范围 例5已知132log<a,则a 的取值范围是（ ）A ),1()32,0(+∞ B ),32(+∞ C )1,32( D ),32()32,0(+∞解:当10<<a 时,,log132log a aa=<32<∴a ,即320<<a ;当1>a 时,,log132loga aa=<32>∴a ,即1>a .综上所述,a 的取值范围是320<<a 或1>a ,故选A.点评:这类问题一般是根据对数函数的单调性,分10<<a 和1>a 两种情况讨论.。
对数函数经典例题
对数函数经典例题（实用版）目录1.对数函数的定义与性质2.对数函数的图像与性质3.对数函数的运算法则4.对数函数的应用5.经典例题解析正文对数函数是一种重要的数学函数，它被广泛应用于各个领域。
对数函数的定义为：如果，那么我们称 y 为以 a 为底的 x 的对数，记作：x=loga y（a>0，且 a≠1）。
根据这个定义，我们可以得到对数函数的一些基本性质。
首先，对数函数的图像与性质。
对数函数的图像通常为一条斜率为 1，截距为 0 的直线。
其性质包括：当 x=1 时，y=0；当 x>1 时，y>0；当0<x<1 时，y<0；当 x<0 时，y 不存在。
其次，对数函数的运算法则。
对数函数的运算法则包括：loga (xy) = logax + logay；loga (x/y) = logax - logay；loga x^n = nlogax。
再次，对数函数的应用。
对数函数在实际生活中的应用非常广泛，例如在计算机科学中，对数函数被用来表示数据的大小；在经济学中，对数函数被用来表示成本与收益的关系。
最后，让我们来看一些经典的对数函数例题。
例如，如果 a=2，那么log2 8 等于多少？根据对数函数的定义，我们可以得到 log2 8=3。
再比如，如果 a=10，b=100，那么 log10 100 等于多少？根据对数函数的定义，我们可以得到 log10 100=2。
总的来说，对数函数是一种重要的数学函数，它被广泛应用于各个领域。
对数函数的定义、图像、性质、运算法则以及应用，都是我们需要掌握的基本知识。
(完整版)对数函数图像及其性质题型归纳,推荐文档
对数函数及其性质题型总结1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：特征Error!判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x是对数函数，则实数a ＝__________．(1)图象与性质a ＞10＜a ＜1图象(1)定义域{x |x ＞0}(2)值域{y |y R }∈(3)当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)(4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0(4)当x ＞1时，y ＜0；当0＜x＜1时，y ＞0性质(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数性质（6）底数与真数位于1的同侧函数值大于0，位于1的俩侧函数值小于0性质（7）直线x ＝1的右侧底大图低谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．题型一：定义域的求解 求下列函数的定义域．例1、(1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log (2x －1)(5x －4)；(3)．y =在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．题型二:对数值域问题对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．221log 1(4y ax ax R a =++数的定义域为，变式求实数的围。
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对数函数的概念: 函数y 对数函数的图象和性质
高中数学-对数函数图像和性质及经典例题
第一部分：回顾基础知识点
log a x(a 0,且a 1）叫做对数函数其中x是自变量，函数的定义域是（o, +3）.
在同一坐标系中画岀下列对数函数的图象;
(1) y log 2 x (2)y log! x
2
(3)y log3x(4)y log i x
3 ■0 5 -・
图象特征函数性质
a 10 a 1 a 10 a 1函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0，+x）
图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R
函数图象都过定点（1 , 1） 1 1
自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，
图象逐渐下降
增函数减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0
第一象限的图象
纵坐标都大于0
x 1, log a x 00 x 1, log a x 0
第二象限的图象纵坐标都小于0
第二象限的图象
纵坐标都小于00 x 1, log a x 0x 1, log a x 0 -1 --
底数a是如何影响函数log a x 的.
规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大
第二部分：对数函数图像及性质应用
例1 •如图，A , B , C 为函数y log i x 的图象上的三点，它们的横坐标分别是
t , t +2, t +4(t 1).
2
⑴设 ABC 的面积为S 。
求S=f (t )； ⑵判断函数S=f (t )的单调性;
解：(1 )过A,B,C,分别作AAi,BB i ,CC i 垂直于x 轴，垂足为 Ai,B i ,C i ，
则 S =S 梯形 AA i B i B +S 梯形 BB 1C 1C — S
上是减函数，且 1<u
“ 2 (x 2
3) 3 解：(1 )••• f(x -3)=lg
2
,
(x 3) 3
••• f(x)=lg x —
3
l t
2
4t
汽6
log 3(1 J )
t 2 4t
2
(2)因为v= t
4t 在[1,)上是增函数
，且v 5,
梯形 AA i C i C.
S log 3 u 在
上是增函数,
所以复合函数 S=f (t )
Iog 3(1
t 2
上是减函数
(3)由(2)
知t =1 时，S 有最大值, 最大值是
f (1) lo
g 39 5
2 log
3 5
9
例2 .已知函数f(x -3)=lg
2
x x 2
6
(1)f(x)的定义域；
⑵判断f(x)的奇偶性;
⑶求f(x)的反函数；
⑷若f[ (x)]=lgx,求(3)的值。
⑶求S= f (t)的最大值
2
4
2
3
x
得 X 2-3>3.
••• f(x)的定义域为(3, +
)
(2 )T f(x)的定义域不关于原点对称，
• f(x)为非奇非偶函数
t
x 3
(3 )由 y=lg
,
x 3
X >3,解得 y>0,
(3) 3
⑶3
解得⑶=6
1 -2y>0,
2
1 4
出 1 2
由 g=log (8xy+4y
+1)
2
1 2
=log (-12y +4y+1)
2 1 1 2 4 =log —[-12(y-
—)+
— ],
2
6
3
得x=
3(10y 1) 10y 1
当y= 1 ,g 的最小值为
6
log
例4.已知函数f(X) lOga(a
1)
(
• f -1(x)=
3(10x
1),
(x 1
x 10 0)
⑷•- f[ (3)]=lg
⑶3
(3) 3
ig3.
例3.已知x>0,y
0,且 x+2y=
1 ,求 g=log
2
1 (8xy+4y 2
2
+1)的最小值
解：由已知x=
求证：(1 )函数f(x)的图象在y轴的一侧;
(2 )函数f(X)图象上任意两点连线的斜率都大于
证明：(1)由a x 1 0得：a x 1,
•••当a 1 时，x 0,
即函数f (x)的定义域为(0,),
此时函数f (x)的图象在y轴的右侧；
当0 a 1 时，x 0,
即函数f(x)的定义域为(，0),
此时函数f (x)的图象在y轴的左侧.
•函数f (x)的图象在y轴的一侧;
B( X2, y2)是函数f (x)图象上任意两点，且为x2,
则直线AB的斜率k % y2 X, x2
y1 y2 iog a(a X11) log a(a X21)
a X1 1 g厂,
1时, 由(1 ) X1
X2
,
a x a X2,
a x 1 a X2
a]
X2
•
y1
y2 又X1 X2
1
时,
由(1 )知X1 X2 0,• a x a X2 1
(2 )设A(X1, y1)、
••• a Xl 1 a x2 1 0
a51 1
a^ 1,
•- y i y o ,又x i X2 0 ,
• k 0.
•••函数f (x)图象上任意两点连线的斜率都大于0 .
1 •函数y=lg (
- 1)的图像关于(
1 x
于直线y =x 对称的图象 C 3，则C 3的解析式为 _________________ .
2
4 •函数yn log^x
4x 12)的单调递增区间是 ________________ .
2
5 . 5.若 f(x)=1+log x 3, g(x)=2log x 2，试比较 f(x)与 g(x)的大小。
2
x
x
6.已知x 满足不等式2(log 2x ) -7log 2x+3 0,求函数f(x)=log 2 log 2
的最大值和最小
值。
2
4
第三部分：针对性练习
(A ) x 轴对称 (B ) y 轴对称
(C )原点对称
(D )直线y=x 对称
2 .函数 y=log
1 (2x
2
-3x+1)的递减区间为
2
(A ) (1 ,
3 (B)(-,
4
1 (D)(-,
2
3 .将函数y 2x
的图象向左平移一个单位，得到图象 C i ，再将 C i 向上平移一个单位得到图象 C 2，作岀C 2关
针对性练习答案 1.C
2.A
3 • y log 2(X 1) 1 ；
4 .
( , 2)；
” 1
0 解得 log 2X
3。
2
x x
••• f(x)=|o g 2— log 2 _ (log 2 x
2 4
3
•••当log 2x= 时，f(x)取得最小值
2
当log 2x=3时，f(x)取得最大值 2
3X 5.解析：f(x)-g(x)=log x 3x-log x 4=log x 2 4 4 时，f(x)>g(x);当 x= 时，f(x)=g(x); 3 4 4
时，f(x)<g(x);当 x> -
3
3
当 0<x<1 当 1<x< 时，f(x)>g(x)。
6.解析：由
2
2 (log 2X ) -7log 2X+
3 3 2 1
1) (log 2X-2)=(log 2X- )- —
2 4。