对数函数应用-求值域
求函数值域的方法
函数值域求法基本初等函数的值域：1、一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；2、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的值域：当a ＞0时，值域为[ab ac 442-，﹢∞）；当a ＜0时，值域为（-∞，ab ac 442-]。
3、反比列函数y=xk（k ≠0，x ≠0）的值域为：{y|y ≠0，y ∈R} 4、指数函数y=a x（a ＞0且a ≠1）的值域为：R +5、对数函数y=㏒a x （a ＞0，且a ≠1）的值域R6、正、余弦函数的值域为：[-1，+1]，正、余切函数的值域为R函数值域求法观察法对于一些比较简单的函数，其值域可结合不等式的性质、图象通过观察得到。
如利用|x|≥0，2x ≥0，x ≥0等，直接得出它的值域．例1、 求下列函数的值域⑴ y ＝1x ． ⑵ y ＝25x +． 解：⑴ 由x ∈R ，且x ≠0，易知y ∈R 且x ≠0．所以函数的值域为{ y|y ∈R 且y ≠0}．⑵ ∵ x2≥0，∴25x +≥5．∴ 函数的值域为{ y| y ≥5}．例2、求函数x3y -=的值域。
解：∵x≥0 ∴- x ≤0 3—x ≤3。
故函数的值域是：（ —∞，3 ]例3、求函数[]2,1,211∈-=x xy 的值域。
解：由21≤≤x 得1213-≤-≤-x ，312111-≤-≤-x ，故函数的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--31,1.例4、求函数111y x =++的值域。
分析：首先由1x +≥0，得1x ++1≥1，然后在求其倒数即得答案。
解：1x +≥0∴1x ++1≥1，∴０＜111x ++≤１，∴函数的值域为（０，１]．例5、求242-+-=x y 的值域。
由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：)[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以 例6、求函数y =211x +的值域 解：Θ 22111,011x x +≥∴<≤+ 显然函数的值域是：(]0,1配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域 例1、求下列函数的值域：⑴ y ＝－2x －4x ＋1，x ∈[－3，3]；⑵y ＝4x ＋41x －1．解：⑴配方，得y ＝－(x ＋2)2＋5，又x ∈[－3，3]，结合图象，知 函数的值域是{ y │－20≤y ＜5}⑵ ∵y ＝4x ＋41x －1＝2221x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1≥1， 当且仅当221x x -＝0，即x ＝±1时取等号，∴ 函数y ＝x4＋41x －1的值域为[1，＋∞)．例2、求函数y=2x —2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
对数函数的定义与性质
对数函数的定义与性质1. 定义对数函数是指可以将正实数映射到实数集上的函数。
常用的对数函数有自然对数函数和常用对数函数。
自然对数函数以数学常数e为底的对数函数，通常以ln(x)表示，其中x为正实数。
常用对数函数以10为底的对数函数，通常以log(x)表示，其中x为正实数。
2. 性质2.1 对数函数的定义域和值域自然对数函数ln(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。
常用对数函数log(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。
2.2 对数函数的性质（1）对数函数的图像：自然对数函数ln(x)和常用对数函数log(x)的图像都是单调递增的曲线。
（2）基本性质：对数函数具有以下基本性质：•ln(1) = 0，即自然对数函数ln(x)在x=1处的函数值为0。
•ln(e) = 1，即自然对数函数ln(x)在x=e处的函数值为1。
•log(1) = 0，即常用对数函数log(x)在x=1处的函数值为0。
•log(10) = 1，即常用对数函数log(x)在x=10处的函数值为1。
（3）对数函数的性质：对数函数具有以下性质：•ln(x y) = ln(x) + ln(y)，即自然对数函数ln(x y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的和。
•ln(x/y) = ln(x) - ln(y)，即自然对数函数ln(x/y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的差。
•ln(x^n) = n * ln(x)，即自然对数函数ln(x^n)等于n乘以自然对数函数ln(x)。
•log(x y) = log(x) + log(y)，即常用对数函数log(x y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的和。
•log(x/y) = log(x) - log(y)，即常用对数函数log(x/y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的差。
•log(x^n) = n * log(x)，即常用对数函数log(x^n)等于n乘以常用对数函数log(x)。
对数函数图象及性质——定义域、值域
1 f ( x ) log 2 x
x [1,2]
2 f ( x ) log a x
2 3
x [1,2]
(3) y log 1 ( x 4 x 5)
• 【例】 已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2 ＋f(x2)的最大值，及y取最大值时x的值． • 思路分析：要求函数y＝[f(x)]2 ＋f(x2)的最大值，要 做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定 义域．
• 由于对数函数y＝logax的图象和性质与底数a 的取值范围密切相关．当a>1时，函数y＝ logax在定义域内为单调增函数，当0<a<1时， 函数y＝logax在定义域内为单调减函数，因此 当题目条件中所给的对数函数的底数含有参 数时，常依底数的取值范围为分类标准进行 分类讨论求解．
思考题：1、若函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域是实数集R， 求实数a的取值范围。 2、若函数y=lg(ax2+ax+1)的值域为R， 则实数 a的取值范围。 解:1 ∵ y=lg(ax2+ax+1)的定义域是R ∴ 在R上ax2+ax+1>0恒成立, ∴ a=0 a>0 ⊿=a2-4a<0
答案：D
• 练习2．函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在[2,3] 上的最大值为1，则a＝________. • 解析：当a>1时，f(x)的最大值是f(3)＝1， • 则loga3＝1，∴a＝3>1. • ∴a＝3符合题意； • 当0<a<1时，f(x)的最大值是f(2)＝1，则loga2 ＝1，∴a＝2>1.∴a＝2不合题意． • 答案：3
对数函数及其应用对数函数的性质与应用
对数函数及其应用对数函数的性质与应用对数函数是数学中常见的一类函数，具有广泛的应用价值。
本文将介绍对数函数的性质和应用，并探讨其在实际问题中的具体运用。
一、对数函数的性质对数函数是以常数e（欧拉数）为底的指数函数的逆运算。
对数函数的一些基本性质如下：1. 定义域和值域：对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
2. 对数函数与指数函数的互为反函数关系：对数函数与指数函数是互为反函数的关系，即$log_a(a^x)=x$，$a^{log_a(x)}=x$。
3. 对数函数的增减性：对数函数是递增函数，即$log_a(x)<log_a(y)$成立当且仅当$x<y$。
4. 对数函数的图像：对数函数的图像通常为一条上升曲线，随着自变量的增大，函数值也相应增大，但增长速度逐渐减缓。
二、对数函数的应用对数函数在各个领域都有重要的应用，在以下几个方面具有特别的价值：1. 指数增长和衰减模型：对数函数可以描述许多具有指数增长和衰减的现象，例如人口增长、物种繁殖、放射性衰变等。
通过对数函数的分析，可以预测和控制这些现象的发展趋势。
2. 财务和利息计算：对数函数在金融领域中有广泛的应用，例如计算复利、评估投资回报率等。
对数函数可以帮助我们理解时间价值的概念，为财务决策提供重要的依据。
3. 数据压缩和编码：对数函数可以用于数据的压缩和编码，减少存储空间的占用和传输成本。
常见的压缩算法中就包括对数函数的运算，例如对数编码、哈夫曼编码等。
4. 检测与测量：对数函数在物理测量和数据处理中有广泛应用，例如声音强度的测量（分贝）、地震强度的测量（里氏震级）等。
对数函数使得我们能够更好地处理海量的测量数据，提高数据处理的效率和准确性。
结论对数函数是数学中的重要内容，具有广泛的应用领域。
通过对对数函数的性质和应用的了解，我们可以更好地理解和运用数学知识，解决实际问题。
对数函数的应用远不止以上几个方面，不同领域中还有许多其他实际问题可以通过对数函数的运算和分析来解决。
求函数值域的几种常见方法
求函数值域的几种常见方法函数的值域可以定义为函数的输出或结果的集合。
确定一个函数的值域有几种常见的方法，包括图像法、符号法和算法法。
下面将详细介绍这些方法。
一、图像法图像法是通过绘制函数的图像来确定函数的值域。
要使用图像法确定函数的值域，需要遵循以下步骤：1.根据函数的定义确定函数的自变量的取值范围。
通常需要考虑定义域和边界条件。
2.绘制函数的图像。
可以使用图表、软件或手工绘制。
3.根据图像确定函数的值域。
值域是函数图像上所有可能的输出值的集合。
可以观察图像找出最大值、最小值和其他可能的取值。
注意：图像法仅适用于可视化的函数。
对于复杂函数，可能需要使用其他方法来确定值域。
二、符号法符号法是利用函数的数学特性和符号来确定函数的值域。
符号法可以分为以下几种情况：1.对于代数函数，可以通过感性地观察含有未知数的表达式中的符号来确定函数的值域。
例如，对于一个二次函数，通过观察二次项系数的符号可以确定函数的开口方向和最值的取值。
2.对于三角函数，可以使用周期性和界限来确定函数的值域。
例如，对于正弦函数，它的值域在[-1,1]之间。
3.对于指数函数和对数函数，可以使用指数和对数的性质来确定函数的值域。
例如，指数函数的值域在(0,+∞)，对数函数的值域在(-∞,+∞)。
三、算法法算法法是通过算法或计算来确定函数的值域。
算法法常用于分段函数、复合函数和隐函数等情况。
以下是一些常见的算法法：1.对于分段函数，可以将定义域分成若干个区间，然后通过分析每个区间的函数表达式来确定函数的值域。
2.对于复合函数，可以从内层函数开始，将结果代入外层函数，逐步计算并确定函数的值域。
3.对于隐函数，可以通过假设一组函数值，然后解方程组，将解代入隐函数表达式来确定函数的值域。
注意：算法法可能需要进行大量的计算和推理，适用于复杂函数，但可能会带来较高的计算复杂性。
同时，算法法可能无法找到确切的值域，只能给出一个估计或范围。
总结：函数的值域可以通过图像法、符号法和算法法来确定。
求函数值域的方法
求函数值域的方法1500字函数的值域（range）是函数所有可能的输出（或称为函数的“结果”）的集合。
值域是由函数的定义域（domain）决定的。
一、确定函数的定义域和值域的基本方法：1. 找到函数的定义域：函数的定义域是指函数输入的所有可能取值的集合。
它可以通过函数的表达式、图像或其它方式确定。
2. 找到函数在定义域上的取值范围：通过对函数进行分析和计算，确定函数在定义域上的取值范围。
这可以通过求导、化简、求极值等数学方法进行计算。
二、求常数函数的值域：常数函数的值域即为函数的常数值。
三、求幂函数的值域：幂函数的值域取决于幂指数的奇偶性。
1. 当幂指数为奇数时，幂函数的值域是整个实数集。
2. 当幂指数为偶数时，幂函数的值域取决于底数的正负和定义域的取值范围。
四、求指数函数的值域：指数函数一般具有如下形式：f(x) = a^x，其中a为常数且a>0。
具体求解方法如下：1. 当a>1时，值域是(0, +∞)；2. 当0<a<1时，值域是(0, 1)；3. 当a=1时，值域是{1}；4. 当a<0时，指数函数的值域不是实数集，因为负数的幂是复数。
这时，可以考虑扩展值域为复数集。
五、求对数函数的值域：对数函数一般具有如下形式：f(x) = loga(x)，其中a为常数且a>0且a≠1。
具体求解方法如下：1. 当a>1时，值域是(-∞, +∞)；2. 当0<a<1时，值域是(-∞, 0)；3. 当a=1时，对数函数的值域不存在；4. 当a<0时，对数函数的值域不是实数集，因为负数的对数是复数。
六、求三角函数的值域：三角函数的值域取决于函数的周期和定义域的取值范围。
1. 正弦函数和余弦函数的值域是[-1, 1]；2. 正切函数在定义域的各个区间上具有不同的值域，可以通过观察和计算来确定。
七、求复合函数的值域：复合函数是多个函数的组合。
求复合函数的值域通常需要先求出每个函数的值域，然后根据复合的关系来确定最终的值域。
对数函数值域的求法
对数函数值域的求法观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。
二.反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
三.配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。
四.判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
五.最值法对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
六.图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。
点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
七.单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例7求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
八.换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
例8求函数y=x-3+√2x+1的值域。
九.构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例9求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。
十.比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
例10已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
十一.利用多项式的除法例11求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
十二.不等式法例12求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
对数函数求值域的方法
对数函数求值域的方法在数学中，对数（logarithm）函数是一类特殊的函数，用来把乘法问题转换成加法问题。
它有一个别名叫“对数关系”，指的是一个数是另一个数的多少次方。
它可以用来求 log N，即以 N 为底数的对数值。
此外，它还可以用来求值域，即在特定的区间内的值的范围。
一般来说，求值域的方法可以分两类：一类是给定对数函数的值，求对数函数的定义域；另一类是给定对数函数的定义域，求对数函数的值。
具体来说，求一个对数函数的值域，可以用下面四步简单的步骤来实现：第一步：设定一个想要求的值域x，它的区间为[a, b]（a < b）。
第二步：把x的定义域映射到定义域中x的取值，使得对数函数取值y在[a, b]之间。
第三步：求出x的定义域中x的取值集合。
第四步：将x的取值集合映射到值域[a, b]之间，即求出x的值域。
具体来说，假如给定一个值域x，它的区间为[a, b]，且已知原函数可以表示成y=f（x），那么根据上面的定义，对数函数可以表示成y=logf（x），因此，只要把x的定义域映射成适当的取值集合，便可以求出x的值域。
例如，已知f（x）=2^x，值域x的定义域为[0,3]，则可以将[0,3]映射到x的取值集合{0,1,2,3}；这四个取值都可以被2^x映射，因此，x的值域可以表示成[log2^0, log2^3]，即[0,3]。
这样，我们就可以求出x值域为[0,3]的对数函数求值域的方法了。
此外，还有另一种求值域的方法，即给定对数函数的定义域，求对数函数的值。
具体来说，假如给定一个定义域[a, b]，且已知函数可以表示成y=f（x），那么根据上面的定义，对数函数可以表示成y=logf（x），则可以求出定义域[a, b]之间的对数函数值。
例如，已知f（x）=2^x，定义域x的定义域为[1,4]，则可以将[1,4]映射到x的取值集合{1,2,3,4}；这四个取值都可以被2^x映射，因此，x的值域可以表示成[log2^1, log2^4]，即[1,4]。
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1、理解并掌握对数函数、对数型函数求值域的 方法和思想；
2、能够运用数学方法熟练解决有关对数函数求值 域的数学问题；
复习回顾：
指数函数求值域的方法和技巧： ⑴利用指数函数单调性求值域； ⑵利用换元法求函数值域； 课前小测： 求下列函数的值域：
①
f (x) 3 (2 x 4)
3
(27 x 3)
探究问题二、对数型函数求值域问题： 规律总结：利用换元法求值域 例2、求下列函数值域：
⑴ f (x) log0.5 (4 x 3) ⑵ f (x) log0.5 (x 2 2)
变式练习： ⑴ f (x) log 1 (x 6 x 17)
2
3 ⑵ f (x) log 0.2 (4 x 3)( x 7) 4
2
课堂小测： 求下列函数值域：
1、⑴
y log2 ( x 3)
2
⑵
y log2 (3 x )
⑶
y loga ( x 4x 7) (a 0, 且 a 0)
2
课堂小结：
通过本节课的学习，同学们学会了什么？
课后作业:
《对数函数及其性质 (x) 3
x2
探究问题一、对数函数求值域问题：
注意定义域的 例1、求下列函数的值域： 限定条件
规律总结：利用对数函数的单调性求解
①
f (x) log 1 x(4 x 8)
2
② f ( x) = log3 x
(1 x 2)
变式练习：
⑴ f (x) log5x(5 x 125) ⑵ f (x) log 1 ( x)