对数函数知识点总结
对数总结知识点
对数总结知识点一、对数的定义1.1 对数的基本概念对数是指数的倒数，它描述了某个数在底数为固定值时的指数。
设a和b是两个实数，并且a>0且a≠1，若a的x次幂等于b，即a^x=b，则称x是以a为底b的对数，记作x=loga(b)。
其中，a称为对数的底数，b称为真数，x称为指数。
对数的底数a通常取2、e或者10。
1.2 对数的特性对数有几个重要的特性：（1）当b=a^1时，对数的值为1，即loga(a)=1；（2）当b=1时，对数的值为0，即loga(1)=0；（3）当b=a^0时，对数的值不存在，即loga(0)是无意义的，因为0没有对数；（4）当b=a^(-1)时，对数的值等于-1，即loga(a^(-1))=-1；（5）当a=1时，对数不存在，因为1的任何次幂都是1，没有唯一的对数。
以上就是对数的基本概念和特性，通过这些概念，我们可以初步了解对数的意义和性质。
接下来，我们将介绍对数的性质和运算规则。
二、对数的性质和运算规则2.1 对数的性质对数具有一些重要的性质，这些性质在对数的运算中起着重要的作用。
下面我们来介绍对数的性质：（1）对数的反函数性质：指数函数和对数函数是互为反函数的，即a^loga(x)=x，loga(a^x)=x；（2）对数的除法性质：loga(x/y)=loga(x)-loga(y)，即对数的商等于对数的差；（3）对数的乘法性质：loga(xy)=loga(x)+loga(y)，即对数的积等于对数的和；（4）对数的幂性质：loga(x^k)=k*loga(x)，即对数的幂等于指数与对数的乘积。
通过以上性质，我们可以在对数的运算中简化表达式，更方便地进行计算和推导。
接下来，我们来介绍对数的运算规则。
2.2 对数的运算规则对数的运算规则主要包括：换底公式、对数的乘除法、对数的幂运算等。
（1）换底公式：当底数相同时，不同的对数可以相互转化，即loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中a、b、c为正数，且a≠1，c≠1。
高中数学对数的知识点总结
高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。
设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。
其中a称为底数，b称为真数。
即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。
例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。
2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。
（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。
即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。
⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。
⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。
3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。
4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。
在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。
例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。
二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。
分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。
（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。
2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。
对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。
3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结对数函数是指可以用对数形式表示的函数，它的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
对数函数具有一些特殊的性质和运算规则，在数学中得到广泛应用。
本文将对对数函数的定义、性质、运算规则以及常见的应用进行总结。
一、对数函数的定义与性质：1. 对数的定义：对于任意的正实数a和b (a ≠ 1)，对数函数 y = loga(b) 表示满足 a^y = b 的唯一实数y。
2.对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
3. 常见的对数函数是以自然常数e为底的自然对数函数 y = ln(x)和以常数10为底的常用对数函数 y = log10(x)。
4. 对数函数与指数函数是互逆变换关系，即 loga(a^x) =a^(loga(x)) = x。
5. 对数函数的图像特点：以对数函数 y = loga(x) 为例，当 a > 1 时，函数图像过点(1,0)，在区间(0,+∞)上是单调递增的，当x趋于0时，y趋于负无穷；当 a < 1 时，函数图像过点(1,0)，在区间(0,+∞)上是单调递减的，当x趋于0时，y趋于正无穷。
6. 对数函数具有对称性，即 loga(a/x) = -loga(x)。
二、对数函数的运算规则：1. 对数的乘法规则：loga(mn) = loga(m) + loga(n)。
2. 对数的除法规则：loga(m/n) = loga(m) - loga(n)。
3. 对数的幂次规则：loga(m^p) = p * loga(m)。
4. 对数的换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中c为任意的正实数（c ≠ 1）。
5. 对数函数的反函数：对于对数函数 y = loga(x)，其反函数为指数函数 x = a^y。
三、对数函数的应用：1.解指数方程和指数不等式：对于形如a^x=b或a^x<b的方程或不等式，可以通过取对数将其转化为对数方程或对数不等式进行求解。
对数函数的知识点总结
对数函数的知识点总结# 对数函数的知识点总结对数函数是数学中的一种基本函数，它在科学、工程和金融等领域有着广泛的应用。
以下是对数函数的核心知识点总结：## 定义对数函数通常表示为 \( \log_b(a) \)，其中 \( a \) 是真数，\( b \) 是底数。
它表示的是底数 \( b \) 需要被乘以自身多少次才能得到 \( a \)。
## 基本性质1. 底数大于0：对数函数的底数 \( b \) 必须大于0且不等于1。
2. 真数大于0：对数函数的真数 \( a \) 必须大于0。
3. \( \log_b(1) = 0 \)：任何底数的1的对数都是0。
4. \( \log_b(b) = 1 \)：任何底数的自身的对数都是1。
5. \( \log_b(a^n) = n \cdot \log_b(a) \)：对数的指数法则。
## 特殊对数- 自然对数：底数为 \( e \)（约等于2.71828），表示为 \( \ln(a) \)。
- 常用对数：底数为10，表示为 \( \log(a) \)。
## 运算法则- 乘法法则：\( \log_b(a \cdot c) = \log_b(a) + \log_b(c) \)- 除法法则：\( \log_b(\frac{a}{c}) = \log_b(a) - \log_b(c) \) - 幂法则：\( \log_b(a^n) = n \cdot \log_b(a) \)- 换底公式：\( \log_b(a) = \frac{\log_k(a)}{\log_k(b)} \)## 图像特征- 对数函数的图像是一条从左下角到右上角无限延伸的曲线。
- 当 \( a > 1 \) 时，对数函数是递增的。
- 当 \( 0 < a < 1 \) 时，对数函数是递减的。
- 对数函数的图像永远不会与x轴相交。
## 应用- 解指数方程：通过取对数转换为线性方程。
对数知识点总结
对数知识点总结一、对数的基本概念定义：对数是指数函数的逆运算。
给定正实数a（a≠1）和正实数x，如果等式a^y=x成立，那么数y就是以a为底，x的对数，记作y=log_a(x)。
其中，a被称为对数的底，x被称为真数，y被称为对数。
对数的底和真数：对数的底必须为正实数且不等于1，真数必须为正实数。
对数的值：对数的值可以是实数，也可以是复数。
二、对数的性质对数函数为单调增函数。
常用的对数：以10为底的对数称为常用对数，记作lgN；以无理数e（e=2.71828…）为底的对数称为自然对数，记作lnN。
三、对数的运算规则对数的乘法规则：log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)，其中M、N 为正实数，a为正实数且a≠1。
对数的除法规则：log_a(M/N) =log_a(M) - log_a(N)，其中M、N为正实数，a为正实数且a≠1。
对数的幂次规则：log_a(M^p) = p * log_a(M)，其中M为正实数，a为正实数且a≠1，p为任意实数。
对数的换底公式：log_b(M) /log_b(a) = log_a(M)，其中M为正实数，a、b为正实数且a≠1，b≠1。
四、对数的应用对数在各个领域都有广泛的应用，包括统计学、金融、化学反应、数据压缩、声学和地震学、科学计量、货币贬值、人口增长、生物学、天文学、网络和社交媒体以及电路分析等。
对数可以帮助处理广泛的数据范围、计算复利、描述化学反应速率与反应物浓度的关系、压缩数据、表示声音的强度等。
以上是对数的基本知识点总结，涵盖了定义、性质、运算规则以及应用等方面。
希望这些信息能够帮助你更好地理解和掌握对数知识。
对数计算知识点归纳总结
对数计算知识点归纳总结一、基本概念1. 对数的定义对数的定义可以从指数函数的逆函数出发。
设a>0且a≠1，a的x次幂函数y=a^x是严格增函数和满射的，对数函数y=log_a x是a^y=x的逆函数。
其中，a称为底数，x称为真数，y称为对数。
如果底数未标明，则默认情况下一般为10，即log=lg。
2. 底数、真数和对数在对数的定义中，底数指的是指数函数的底数，真数指的是指数函数的结果值，对数指的是幂函数的幂指数。
例如，在对数表达式log28中，2是底数，8是真数，3是对数。
3. 对数的符号与数值对数的数值是实数，在常见对数中，对数的值是无理数。
在实际应用中，对数的值往往是无限循环小数。
4. 对数的常见类型对数按照底数的不同可以分为常用对数（底数为10）和自然对数（底数为e）等不同类型。
常用对数在实际应用中使用率较高，自然对数在微积分等领域具有特殊的作用。
二、性质1. 对数函数的图像对数函数的图像是一条渐进线（一条直线和坐标轴所组成的图像），且对数函数是严格递增的。
对数函数的图像有着特殊的凹陷形状。
2. 对数函数的定义域和值域对数函数的定义域是真数的取值范围，是所有正实数的集合。
对数函数的值域是对数的取值范围，是所有实数的集合。
3. 对数函数的性质（1）对数函数是严格递增函数；（2）对数函数的图像是一条渐进线；（3）对数函数的定义域是正实数的集合；（4）对数函数的值域是实数的集合。
4. 对数与指数的关系对数和指数是互为逆运算的关系，即a^log_a x = x，log_a(a^x)=x。
对数和指数的关系在数学推导和实际问题中有着重要的应用。
三、运算规则1. 对数的运算性质对数具有一系列的运算规则，包括等式变形、对数运算、对数化简等。
对数的运算规则可以帮助简化复杂的计算和推导过程。
2. 对数乘除法规则（1）log a mn = log a m + log a n（对数乘法规则）；（2）log a (m/n) = log a m - log a n（对数除法规则）。
对数计算天文知识点总结
对数计算天文知识点总结一、对数的概念和基本性质1.1 对数的定义对数是指数的逆运算。
设a和b是两个正数，且a≠1, a^x=b，其中x是未知数，那么称x 是以a为底b的对数，记作 x=loga b。
对数的底数一般情况下是10，称为常用对数，若底数是e（自然常数），则称为自然对数。
1.2 对数的基本性质（1）对数的定义域和值域以10为底的对数函数log10 x的定义域是正实数集合R+，值域是实数集合R。
（2）对数的性质① loga(1)=0② loga(a)=1③ loga(x·y)=loga x+loga y④ loga(x/y)=loga x-loga y⑤ loga(x^m)=mloga x⑥ loga a^x=x1.3 对数的常用公式（1）换底公式loga b=logc b/logc a（2）对数解方程当底数相等时，方程两边求对数即可；当指数相等时，求底数相等的对数；当底数和指数均为未知数时，采用换底公式。
二、天文学中对数计算的应用2.1 天文学中的大数字天文学中常常涉及到非常大的数字，例如宇宙的尺度、星体的质量、光强等等。
这些数字有时候超出了我们通常所能理解的范围，因此对数计算成为了天文学家处理这些大数字的重要工具。
2.2 星等系统星等是天文学中表示星体亮度的一种尺度。
在星等系统中，一等星的亮度是二等星的100倍，而一等星和六等星的亮度差距是2.512倍。
这就意味着，两颗星体之间的亮度比可以用对数来表示。
例如，如果一颗星的星等是1，而另一颗星的星等是6，那么它们之间的亮度比可以表示为2.512^(6-1)=100倍。
2.3 测量天体距离在天文学中，测量天体的距离是一项非常重要的工作。
而对数计算正是帮助天文学家进行这项工作的重要工具之一。
例如，在测量星体距离时，可以利用星等和光度来推算天体的距离，其中就包括了对数的计算。
2.4 测量星体质量天文学家通过测量星体的亮度和光谱特性来推算星体的质量。
对数相关知识点总结
对数相关知识点总结一、对数的概念1. 对数的定义对数是一种数学运算，用来表示一个数在指数运算中的幂。
例如，如果a^x = b，那么x称为以a为底b的对数，记作x= log(a)b。
2. 对数的性质（1） log(a)1 = 0（2） log(a)a = 1（3） log(b)a = 1/log(a)b（4） log(a)b + log(a)c = log(a)(b*c)（5） log(a)b - log(a)c = log(a)(b/c)3. 对数的底常见的对数底有自然对数底e和常用对数底10。
自然对数底e约等于2.71828，常用对数底10。
二、对数的运用1. 对数的应用对数在数学中有着广泛的应用，尤其在指数函数、微积分、概率统计等领域中有着重要作用。
2. 对数方程对数方程是指含有对数的方程，例如log(x+2) = 2。
对数方程的解法通常是先化为指数方程，然后解出方程的根。
3. 对数不等式对数不等式是指含有对数的不等式，例如log(x+2) < 2。
对数不等式的解法通常是先将其转化为指数形式，然后求出解。
4. 对数函数对数函数是指以对数为自变量的函数，例如y = log(x)。
对数函数的图像通常为单调增加的曲线，与指数函数互为反函数。
三、常用对数和自然对数1. 常用对数对数底为10的对数称为常用对数，通常用log表示，例如log(x)。
常用对数在计算中有着广泛的应用。
2. 自然对数对数底为e的对数称为自然对数，通常用ln表示，例如ln(x)。
自然对数在微积分、概率统计等领域中有着重要作用。
3. 常用对数和自然对数的换底公式常用对数和自然对数的换底公式是log(a)b = ln(b)/ln(a)。
利用换底公式可以方便地转化对数的底。
四、对数的运算1. 对数的加减法对数的加减法规则是log(a)b + log(a)c = log(a)(b*c)、log(a)b - log(a)c = log(a)(b/c)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果a xN ( a 0, a 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 的对数，． ．． N记作： x log a N （ a — 底数， N — 真数，log a N — 对数式）说明： ○ 注意底数的限制 a 0 ，且 a 1 1 ； ○2a x Nlog a N x ；○3 注意对数的书写格式．两个重要对数：○常用对数：以 10 为底的对数 lg N ； 1○2 自然对数：以无理数 e 2.71828 为底的对数的对数 ln N ．（二）对数的运算性质如果 a 0 ，且 a1 ， M 0 ， N 0 ，那么：○1 log a (M · N ) log a M ＋ log a N ； ○2 log a Mlog a M － log a N ； N○3 log a M n n log a M (n R)．注意：换底公式log a b log c b 0 ，且a 1； c 0 ，且c 1； b 0 ）． log c （a a 利用换底公式推导下面的结论（1） log am b nnlog a b ；（ 2） log ab 1 ．m log b a（二）对数函数1、对数函数的概念：函数y log a x(a 0 ，且 a 1) 叫做对数函 数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（ 0， +∞）．注意： ○对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意 1辨别。
如：y 2 log 2 x ，y log5x都不是对数函数，而只能称5 其为对数型函数．○ 对数函数对底数的限制： ( a 0 ，且 a 1) ．2 2、对数函数的性质：a>10<a<1 332 . 5 2 . 5 221 . 5 1 . 51 1 1 10 . 5 0 . 5-1 0-.51 23 45 6 7 8-1 0-.512 3456 781 1-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5定义域 x＞ 0 定义域 x＞0 值域为 R 值域为 R在 R 上递增在 R 上递减函数图象都函数图象都过定点过定点（ 1，0）（ 1，0）对数函数·例题解析例 1． 求下列函数的定义域：（1） y log a x 2； （ 2） y log a (4 x) ； （ 3） y log a (9 x 2) ．解：（ 1）由 x 2>0 得 x 0 ，∴函数 y log a x 2的定义域是x x 0 ；（ 2）由 4 x 0 得 x 4 ，∴函数 y log a (4 x) 的定义域是 x x 4 ；（ 3 ） 由 9-x 2 0 得 -3 x 3 ， ∴ 函 数 y l og(9 x 2 ) 的 定 义 域 是 ax1x 3 x 3 ．例 2． 求函数 y 5x 解：（ 1） 1y 2 ∴ f 1(x) log 1 5 5 x 2 1（ 2） 1y - 2 ∴ f -1 ( x) 2 例 4． 比较下列各组数中两个值的大小：x 21 12 ( x 0) 的反函数。
2 和函数 y2( x 2) (x -2) ；log 1 ( x - 2) (2 x 5) ． 2 2（ 1） log 2 3.4 ， log 2 8.5 ； （ 2） log 0.3 1.8 ， log 0.3 2.7 ； （3） log a 5.1 ， log a 5.9 . 解：（ 1）对数函数（ 2）对数函数y log 2 x 在 (0, ) 上是增函数，于是log 2 3.4 log 2 8.5 ； y log 0.3 x 在(0, ) 上是减函数，于是log 0.3 1.8 log 0.32.7 ；（ 3）当 a 1 时，对数函数 y log a x 在(0, ) 上是增函数， 于是 log a 5.1 log a5.9 ，当 o a 1时，对数函数 y log a x 在 (0, ) 上是减函数，于是 log a 5.1 log a5.9 ． 例 5． 比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1） log 6 7 ， log 7 6 ；（ 2） log 3，log20.8 ；（3） 1.10.9， log 1.1 0.9 ， log0.70.8 ；（ 4） log 5 3 ，log 63 ， log 73 ．解：（ 1）∵log67 log 6 6 1 ， log 7 6 log 7 7 1，∴ log6 7 log 7 6 ；（ 2）∵ log3log3 1 0 ，log 20.8 log 210 ，∴ log 3log 2 0.8 ．(3 ）∵10 . .19 ，1. log11.1 0.91log 1.1 1 0 ，0 log 0.7 1 log 0.70.8 log 0.7 0.71，∴ 1.10.9log 0.70.8 log 1.1 0.9 ．（ 4）∵ 0 log 35 log 3 6log3 7 ，∴ log 5 3 log6 3 log7 3 ．例 7．求下列函数的值域：（ 1）ylog 2(x3) ；（ 2） y log 2 (3x2 ) ；（ 3）y log a (x24x 7) （ a 0 且a1）．解：（ 1）令t x 3 ，则 y log 2t ，∵ t 0 ，∴ yR ，即函数值域为R ．（ 2）令t 3 x2，则 0t 3 ，∴ y log 2 3 ，即函数值域为 ( ,log 2 3] ．（ 3 ）令t x24x 7 (x 2) 2 3 3 ，当 a 1 时， ylog a3 ，即值域为[log a 3, ) ，当 0 a 1时， y log a 3 ，即值域为( ,log a 3] ．例 8．判断函数f ( x) log 2( x2 1 x) 的奇偶性。
解：∵x2 1 x 恒成立，故 f (x) 的定义域为 ( , ) ， f ( x) log 2 ( x2 1 x)log 2 1 log 2x2 1 x log2 x2 1 xf ( x) ，所以， f (x)x 2 1 x (x2 1)2 x2为奇函数。
例 9．求函数y2log 1 ( x23x 2) 的单调区间。
3解：令u x23x 2 (x 3 )2 1 在[ 3 ,) 上递增，在( , 3] 上递减，2 4 2 2又∵23x 2 0 x 2 x 1 x，∴或，故 u x23x 2 在 (2, ) 上递增，在(,1) 上递减，又∵ y 2 log 1 u 为减函数，3所以，函数 y 2log 1 ( x23x2)在(2,) 上递增，在( ,1) 上递减。
3例 10．若函数 y log 2( x2axa) 在区间( ,1 3) 上是增函数， a 的取值范围。
解：令 u g( x) x2ax a ，∵函数 y log 2 u 为减函数，∴ u g(x)x2ax a 在区间 ( , 13上) 递减，且满足 u 0 ，∴a312 3 a 2 ，2 ，解得 2g (1 3) 0所以， a 的取值范围为[2 2 3, 2] ．【例 1】(1) 求函数 y=log13x2 的定义域．22 x 1(2 ) 求函数 1 ＞，且≠1)的定义域．y =a)(a 0 a1 log a( x(3 ) 已知函数 f(x) 的定义域是[0， 1]，求函数 y = f[log 1 (3－ x)]的定义3log 1 3x 2≥ 0 3x 2 x 1 ≤02 2x 12x≤1 2x 1(1)由3x2＞ 011或x＞2解(3x2)( 2x 1) ＞0 x＜2x 1x≠12 32x 1≠ 0x≠1221＜x≤ 12x＜1或＞2 2 ＜≤2x x13 3x≠ 12∴所求定义域为 {x| 2＜x≤1}3解(2) ∵ 1－ log a(x ＋ a) ＞ 0，∴ log a(x ＋ a) ＜ 1．当 a＞ 1 时， 0＜ x＋ a＜ a，∴函数的定义域为当 0＜ a＜ 1 时， x＋ a＞ a，∴函数的定义域为( －a， 0) ．(0 ，＋∞ ) ．解(3) ∵f(x) 的定义域为 [0，1]，∴函数 y = f[log 1 (3－x)] 有意义，3必须满足≤－≤ ，即1≤log 1－x)≤log11 ，∴1 ≤ －log 1 (3x) 1log 1(3 33 3 3 3 3 3x≤ ，∴≤x≤ 8．故函数y =f[log－的定义域为[2，8．12 3 1 (3x)] ]3 3【例 2】已知函数 y =10x域和值域．1 10x ，试求它的反函数，以及反函数的定义x x 解 已知函数的定义域为 R ，∵ y = 10 x ∴ y ≠1，由 y = 10 x 得 10 101 1x x y＞ 0 0＜ y ＜1，即为函数的值域． (1－y)10 = y ，∴ 10 =1 y由 10x= y 得 x = lg y ，即反函数 f 1(x) =lg x ． 1 y 1 y 1 x反函数的定义域为(0 ， 1) ，值域为 y ∈ R ． 【例 3】 作出下列函数的图像，并指出其单调区间．(1)y=lg( －x)(2)y=log 2|x ＋ 1|(3)y =|log 1 (x －1)|， (4)y ＝log 2 (1－x) ．2解 (1)y=lg( － x) 的图像与 y=lgx 的图像关于 y 轴对称，如图 2．8－ 3 所示，单调减区间是 ( －∞， 0) ．解 (2) 先作出函数 y=log 2|x| 的图像，再把它的图像向左平移1 个单位就得y ＝ log 2|x ＋ 1| 的图像如图 2．8－ 4 所示．单调递减区间是 ( －∞，－ 1) ． 单调递增区间是 ( － 1，＋∞ ) ．解 (3) 把 y = log 1 x 的图像向右平移 1个单位得到 y = log 1 (x － 1) 的图像，保留其在x2 2 轴及 x 轴上方部分不变，把 x 轴下方的图像以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方，就得到 y =|log 1 (x － 1)|的图像．如图 2． 8－ 5 所示 2单调减区间是 ( － 1， 2] ． 单调增区间是 [2 ，＋∞ ) ．解 (4) ∵函数 y=log 2( －x) 的图像与函数y=log 2x 的图像关于y 轴对称，故可先作y=log 2( －x)的图像，再把y＝ log 2( － x) 的图像向右平移1 个单位得到y=log 2(1 －x) 的图像．如图2． 8－ 6 所示．单调递减区间是( －∞， 1) ．【例4】图 2．8－ 7 分别是四个对数函数，①y=log ax② y=log bx③ y=log cx④y=logdx的图像，那么 a、 b、 c、 d 的大小关系是[ ] A． d＞ c＞ b＞ a B． a＞ b＞ c＞ dC． b＞ a＞ d＞ c D． b＞ c＞ a＞ d解选 C，根据同类函数图像的比较，任取一个x＞ 1 的值，易得b＞a＞ 1＞d＞c．【例5】已知log a3＞ log b3，试确定a和b 的大小关系．解法一令y1=log ax，y2=log bx，∵ log ax＞ log b3，即取x＝ 3 时，y1＞y2 ，所以它们的图像，可能有如下三种情况：(1) 当 log a3＞ log b3＞ 0 时，由图像2．8－ 8，取x=3，可得b＞ a＞1．(2) 当 0＞ log a3＞ log b3 时，由图像2．8－ 9，得0＜ a＜ b＜ 1．(3) 当 log a3＞ 0＞ log b3 时，由图像2．8－ 10，得a＞ 1＞ b＞ 0．【例6】若 a2＞ b＞ a＞ 1，则 logaa、 logbb、 logb a、 log a b的大小顺序是：b a_____．解∵a2＞b＞ a＞ 1，∴ 0＜a＜1，b＞ 1，∴ log a ＜，log b b ＞b a a b0 a，＜＜，＞．由 2 ＞＞＞得＞b＞∴log b b ＜＜0 0 log b a 1 log a b 1 a b a 1 a a 1 a log b aa b1，故得： log a b＜log b a＜log b a＜log a b．【例 8】已知函数 f(x) = log a (x＋1x 2 )(a＞ 0，且 a≠ 1)，判断其奇偶性．解法一已知函数的定义域为R，则－ x∈ R f(－ x) = log a( 1+ x 2－ x)( 1 x 2x)( 1 x2x)= log a1 x2x1 x 2x2= log a = log a 1 x 2x11 x 2x= log a ( 1 x 2x) f (x)∴f(x) 是奇函数．解法二已知函数的定义域为R由 f(x) ＋f( －x) = log a ( 1+ x 2＋x) ＋log( 1+ x 2－ x)= log a [( 1+ x 2x)( 1+ x 2x)]=log a1=0∴f(x)= － f(x) ，即 f(x) 为奇函数．单元测试一、选择题（每小题 5 分，共 50 分） .1．对数式 loga2(5a) b 中，实数 a的取值范围是（）A． ( ,5) B． (2,5) C． (2, )D． ( 2,3) (3,5)2．如果lgx=lga+3lgb － 5lgc ，那么（）A． x=a+3b－ c3ab ab 3D． x=a+b3－ c3 B． x C． xc55c3．设函数y=lg(x 2－5x) 的定义域为 M，函数 y=lg(x －5)+lgx的定义域为 N，则（）A． M∪N=R B． M=N C． M N D． M N4．若 a＞ 0， b＞ 0， ab＞ 1， log 1 a =ln2 ，则 log ab与 log 1 a的关系是（）2 2A． lo g ab＜log 1a ．loga log 1aBb=2 2C． lo g a log 1a ．loga log 1aDb＞b≤2 25．若函数 log 2(kx 2+4kx+3) 的定义域为 R，则 k的取值范围是（）A． 0, 3B． 0, 3C． 0,3D． ( ,0] 3 ,4 4 4 46．下列函数图象正确的是（）ABC D7．已知函数g(x) f (x) 1，其中 log 2f(x)=2x， x R ，则 g(x) （）f ( x)A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数9．如果 y=log 2 x 在 (0 ， +∞ ) 内是减函数，则 a 的取值范围是（）a － 1A ．｜ a ｜＞ 1B ．｜ a ｜＜2 C ． a 2 D ． 1 a210．下列关系式中，成立的是（） 1 0A ． log 3 4log 1 10 B ． log 1 101 log 3 4 5 5 3 3 0C ． log 3 4 1D ． log110 1 log 1 10log 3 4 3 5 3 5 二、填空题：（每小题 6 分，共 24 分） .11．函数 y log 1 (2 x 2) 的定义域是 ，值域是. 2 12．方程log(2 x +1)log (2 x+1+2)=2 的解为 . 2 213．将函数 y 2 x 的图象向左平移一个单位，得到图象 C1，再将 C1 向上平移一个单位得到图象 C ，作出 C 关于直线 y=x 对称的图象 C ，则 C 的解析式为 .2 23 314．函数 y= log 1 (x 24x 12) 的单调递增区间是. 2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 共 76 分 ). 15．（ 12分）已知函数f ( x) log 2 x 1log 2 ( x 1) log 2 ( p x) . x 1(1) 求函数 f (x) 的定义域； (2) 求函数 f (x) 的值域 .16．（ 12分）设 x ， y ， z ∈ R +，且 3x=4y=6z.(1)求证： 11 1 ; (2) 比较 3x ， 4y ，6z 的大小 . zx 2 y17．（ 12分）设函数 f ( x ) lg( xx 21) .(1) 确定函数 f (x) 的定义域； (2) 判断函数 f (x) 的奇偶性；(3) 证明函数 f (x) 在其定义域上是单调增函数； (4) 求函数 f(x) 的反函数 .18．现有某种细胞 100个，其中有占总数 1的细胞每小时分裂一次，即由 1个细胞分裂成 2个 2细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过 1010个？（参考数据：lg3 0.477,lg 2 0.301 ） .20．（ 14 分）已求函数 ylog a ( xx 2)( a 0,a 1) 的单调区间 .必修 1 数学章节测试（ 7）—第二单元（对数函数）一、 DCCAB BDBDA二、 11 ． 2 1 1, 2 ， 0, ；12 ． 0 ； 13 ． y log 2 ( x 1)1 ； 14． ( , 2) ；三、15． 解：(1) 函数的定义域为 (1 ， p).(2) 当 p ＞ 3时， f( x ) 的值域为 ( －∞， 2log 2( p +1) －2) ；当1＜ p 3 时， f (x) 的值域为( －， 1+log2(p+1)).16． 解： (1) 设 3x =4y =6z=t. ∵ x ＞0， y ＞ 0，z ＞ 0，∴ t ＞ 1，lgt ＞ 0，x log 3 t lg t , y lg t , z lg tlg 3 lg 4 lg 6∴ 1 1 lg 6 lg 3 lg 2 lg41 . z x lg t lg t lg t2 lgt 2y(2)3 x＜ 4y＜ 6z.17．解： (1) 由 x x 21 0 得 x ∈ R ，定义域为 R. (2) 是奇函数 . (3) 设 x 1， x 2∈ R ，且 x 21 0x1＜ x2，则f (x1 ) f(x2 )lg x1 x12 1 .令 tx x 21 ，x 2 x 221则t 1t 2 ( x 1x 12 1) ( x 2 x 221).=( x 1 x 2 )( x 12 1 x 221) =( x 1 x 2 ) ( x 1 x 2 )(x 1 x 2 )x 2 1 x 211 2=( x 1 x 2 )( x 12 1 x 221 x 1 x2 x 12 x 221 1∵ x 1－x 2＜ 0， x 121x 1 0 ，x 221 x2 0 ，x 12 1x 221 0 ， ∴ t 1－t 2＜ 0，∴ 0＜ t 1＜t 2，∴ 0t 11，t 2∴ f (x 1) － f (x2) ＜ lg1=0 ，即 f (x1) ＜ f(x2) ，∴ 函数f(x)在 R 上是单调增函数 .(4) 反函数为y 102 x 1 (x R). 2 10 x18．解：现有细胞 100 个，先考虑经过 1、 2、 3、4 个小时后的细胞总数，1 小时后，细胞总数为 1 100 1 10023 100 ；2 2 2 2 小时后，细胞总数为 13 1001 3 1002 9 100；2 22 243 小时后，细胞总数为 1 9 1001 9 1002 27 100；2 42 4 84 小时后，细胞总数为 1 27 1001 27 1002 81 100 ；2 8 2 8 16xy 与时间 x （小时）之间的函数关系为：3 可见，细胞总数y 100 ， x N 2x x由 100 3 1010，得 108 ，两边取以 10 为底的对数，得 3 2 2∴ x 8 ， ∵8 845.45 ，lg3lg3 lg 2x lg 38，2∴ x 45.45.答：经过46 小时，细胞总数超过 1010个 . 19．解：（ 1）过 A,B,C, 分别作 AA ,BB ,CC 垂直于 x 轴，垂足为A ,B ,C ，1 1 1 1 1 1则S=S梯形 AA1B1B +S 梯形 BB1C1C － S 梯形 AA1C1C.log 1 t 24t log 3 (1 4(t 2) 2 t 2 ) 3 4t-----（2）因为 v= t 24t 在 [1,) 上是增函数 , 且v 5,v 14在 5.上是减函数，且1<u9; S log 3 u 在 1,9上是增函数，v55所以复合函数S=f(t)log 3 (1 4 )在 1, 上是减函数t 24t9（3）由（ 2）知 t=1 时， S 有最大值，最大值是f (1) log 3 2 log 3 5 520．解：由 x x 2>0得 0<x<1，所以函数ylog a ( x x 2) 的定义域是 (0,1) 因为 0< x x 2=( x 1 )2 1 1 ，2 4 4 1所以，当 0<a<1时 ,log a ( x x 2 ) log a 4函数 y log a ( xx 2) 的值域为 log a 1 , ;4当a>1时 ,log a (x x 2 ) log a 14 函数 y log a ( xx 2) 的值域为 ,log a14当 0<a<1时，函数ylog a ( x x 2) 在0, 1 上是减函数，在 1 ,1 上是增函数；2 2当 a>1 时，函数y log a ( x x 2) 在 0, 1 上是增函数，在 1 ,1 上是减函数 .2 2。