函数的值域与最值知识点梳理、经典例题及解析、近年高考题带答案
高三函数值域或最值的典型例题解析一
高三函数值域或最值的典型例题解析（一）1.函数[]23,4,5y x x-=+∈的值域_____________． 【答案】513,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由2()f x x =-在(0,)+∞上单调递增，∴23y x =-+在[]4,5x ∈上单调递增，而当4x =时，52y =；当5x =时，135y =. ∴函数值域为513,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦.2.求函数253)(-+=x x x f 的值域. 【解析】第一步，观察函数类型，型如；第二步，变形：函数35361111()3222x x f x x x x +-+===+---， 第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域：根据反比例函数的性质可知：1102x ≠-，所以3y ≠，所以函数的值域为}3|{≠y y . 3.若函数()11x f x x -=+的定义域是[)0,+∞，则()f x 的值域是___________. 【答案】[)1,1- 【解析】由()11221111x x f x x x x -+-===-+++ 当0x ≥时，11x +≥，所以1011x <≤+，则2201x -≤-<+ 所以21111x -≤-<+，即()()101x f x x x -=≥+的值域为[)1,1-故答案为：[)1,1-4. 定义在R 上的函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是__________． 【解析】第一步，将函数配方成：由()()()()()()()()()12341423f x x x x x x x x x =++++=++++()f x ()ax b f x cx d +=+ey cx d=+()f x 2()y a x b c =-+()()225456x x x x =++++()225x x =++10()25x x ++24()2255x x =++-1第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域：因为2255555244x x x ⎛⎫++=+-≥- ⎪⎝⎭,()22550x x ⇒++≥所以()2255x x ++-11≥-即函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是[)1-+∞， 5.已知函数432--=x x y 的定义域是],0[m ，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是（ ） A ．]4,0( B ．]4,23[ C ．]3,23[ D ．),23[+∞【答案】C 【解析】试题分析：因二次函数432--=x x y 的对称轴为23=x ,且0=x 时,函数值4-=y ,当23=x 时,425-=y ,因此当3=x 时, 4-=y .故当323≤≤m ,故应选C. 6.设为，的反函数，则的最大值为．【答案】【解析】第一步，先判定函数()222xx f x +=-在区间[]20，上是单调递增的；第二步，求出函数()222x x f x +=-的值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，；第三步，根据反函数的性质得出反函数()x fy 1-=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，为增函数； 所以在⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，为增函数； 所以的最大值为()()221-+f f 4=7.求函数()1423xx f x +=--， []1,1x ∈-的值域..()1f x -()222x x f x -=+[]0,2x ∈()()1y f x f x -=+4()()1y f x f x -=+()()1y f x fx -=+【解析】第一步，变化函数为二次函数的形式：()1423x x f x +=-- ∴()()32222-•-=xxx f ，设2x t =，∴()()222314f t t t t =--=--第二步，求出换元后函数的定义域： ∵[]1,1x ∈-，∵[]0,2t ∈，第三步，结合二次函数的性质得出函数的值域：可得 ()[]4,3f t ∈--， 综上所述：函数的值域为[]4,3--. 8.求函数y x =+.【解析】第一步，换元（注意换元后的变量的取值范围）：令210,2t t x -==，所以原函数可化为()211022y t t t =-++≥ 第二步，根据函数解析式判定单调性： 因为其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为1，没有最小值，故值域为(,1]-∞.9.求函数的值域.【解析】第一步，将函数式化成关于的方程的形式：因为所以()()0732222=++-+-y x y x y第二步，根据判别式得出函数值的取值范围：2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足()0322≠++=x x x f 即R x ∈此时方程有实数根即0≥∆，3274222++-+=x x x x y x 3274222++-+=x x x x y=∆()[]()()07324222≥+---y y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒2,29y当2=y 时，方程化为7=0，显然不能成立，所以2≠y ， 将2=y ，29-=y 分别代入检验的2=y 不符合方程，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈⇒2,29y 10.已知函数9()(03)1f x x x x =+≤≤+，求()f x 的值域. 【解析】第一步，将函数解析式化成()xax x f +=的形式：因为30≤≤x ，所以01>+x ； 所以()()119119-+++=++=x x x x x f ； 第二步，利用基本不等式求函数最小值：()()()5119121191=-+⨯+≥-+++=x x x x x f ，当且仅当191+=+x x ，即2=x 时等号成立。
常见函数值域或最值的经典求法-学会解题之高三数学多题一解【解析版】
常见函数值域或最值的经典求法【高考地位】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.方法一 观察法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数中的特殊函数；第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.例1（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列函数中，值域为[1,)+∞的是（ ） A ．1y x =-B ．1y x =+ C ．21y x =+D ．1y x =- 【答案】BC【分析】可以求出选项A 函数的值域为[0,)+∞，选项D 函数的值域为(0,)+∞，选项BC 函数的值域为[1,)+∞，即得解.【详解】解：A. 函数的值域为[0,)+∞，所以该选项不符合题意；B.因为||0,||11x x ≥∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意； C.因为2220,11,11x x x ≥∴+≥∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意； D. 函数的值域为(0,)+∞，所以该选项不符合题意. 故选：BC【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）函数()()21{5x f x x +=-+，，2113x x -≤<≤≤的值域是______________（用区间表示） 【答案】[0,4]【分析】根据二次函数、一次函数的性质，分别求解21x 时和13x ≤≤时，函数的值域，综合即可得答案. 【详解】当21x 时，2()(1)f x x =+，为开口向上，对称轴为1x =-的抛物线，所以()[0,4)f x ∈，当13x ≤≤时，()5f x x =-+，为单调递减函数， 所以()[2,4]f x ∈，综上：()[0,4]f x ∈，即()f x 的值域为[0,4]. 故答案为：[0,4]方法二 分离常数法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数类型，型如； 第二步 对函数变形成形式；第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域.例2 求函数2)(-=x x f 的值域.【解析】第一步，观察函数类型，型如；第二步，变形：函数35361111()3222x x f x x x x +-+===+---， 第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域：根据反比例函数的性质可知：1102x ≠-，所以3y ≠，所以函数的值域为}3|{≠y y . 【变式演练2】函数212x y x -=+； ①[]5,10x ∈的值域是__________； ②()()3,22,1x ∈---的值域是__________．【答案】 919,712⎡⎤⎢⎥⎣⎦()1,7,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】215222x y x x -==-++，然后画出其图像，结合图像可得答案. 【详解】()2252152222x x y x x x +--===-+++， 其图像可由反比例函数5y x-=的图像先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，如下： ()f x ()ax bf x cx d +=+()f x ()a ef x c cx d=++ey cx d=+()f x ()f x ()f x ()ax b f x cx d +=+ey cx d=+()f x当5x =时97y =，当10x =时1912y =，所以[]5,10x ∈的值域是919,712⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为当3x =-时7y =，当1x =时13y =，所以()()3,22,1x ∈---的值域是()1,7,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，故答案为：919,712⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ；()1,7,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭方法三 配方法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 将二次函数配方成；第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.例3 定义在R 上的函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是__________． 【解析】第一步，将函数配方成：由()()()()()()()()()12341423f x x x x x x x x x =++++=++++2()y a x b c =-+2()y a x b c =-+()()225456x x x x =++++()225x x =++10()25x x ++24()2255x x =++-1第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域：因为2255555244x x x ⎛⎫++=+-≥- ⎪⎝⎭,()22550x x ⇒++≥所以()2255x x ++-11≥-即函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是[)1-+∞， 【变式演练3】（2022·全国·高一课时练习）函数212y x x =-++的值域为________.【答案】4(,0)[,)9-∞+∞【分析】先求出x 的取值范围，再求出2924x x -++≤，且220x x -++≠，即得解. 【详解】解：由题得220,1x x x -++≠∴≠-且2x ≠.因为221992()244x x x -++=--+≤, 且220x x -++≠.所以原函数的值域为4(,0)[,)9-∞+∞.故答案为：4(,0)[,)9-∞+∞方法四 反函数法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 求已知函数的反函数； 第二步 求反函数的定义域；第三步 利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域例4 设为，的反函数，则的最大值为． 【答案】【解析】第一步，先判定函数()222xx f x +=-在区间[]20，上是单调递增的；()1fx -()222x f x -=+[]0,2x ∈()()1y f x f x -=+4第二步，求出函数()222x x f x +=-的值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，； 第三步，根据反函数的性质得出反函数()x fy 1-=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，为增函数； 所以在⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，为增函数； 所以的最大值为()()221-+f f 4=【变式演练4】求函数的值域.方法五 换元法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.例5 求函数()1423xx f x +=--， []1,1x ∈-的值域..【解析】第一步，变化函数为二次函数的形式：()1423x x f x +=--∴()()32222-•-=x x x f ，设2x t =，∴()()222314f t t t t =--=--第二步，求出换元后函数的定义域： ∵[]1,1x ∈-，∵[]0,2t ∈，第三步，结合二次函数的性质得出函数的值域：可得 ()[]4,3f t ∈--， 综上所述：函数的值域为[]4,3--.()()1y f x f x -=+()()1y f x fx -=+34()56x f x x +=+【变式演练5】【2021新高考高考最后一卷数学第二模拟】函数22sin sin 21sin x xy x+=+的值域为______. 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题可得，22222sin 2sin cos tan 2tan cos 2sin 12tan x x x x x y x x x ++==++，令tan x t =，则22221t ty t +=+， 即()21y -220t t y -+=，当210y -=，即12y =时，14t =； 当210y -≠，即12y ≠时，要使方程有解，则需()44210y y ∆=--≥，得111,,1222y ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 综上，1,12y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦例6 求函数12y x x =+-.【解析】第一步，换元（注意换元后的变量的取值范围）：令21120,2t t x x -=-=，所以原函数可化为()211022y t t t =-++≥ 第二步，根据函数解析式判定单调性： 因为其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为1，没有最小值，故值域为(,1]-∞.【变式演练6】 求函数，的值域.方法六 判别式法)1x )(cos 1x(sin y ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数解析式的形式，型如的函数； 第二步 将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域.例7 求函数的值域.【解析】第一步，将函数式化成关于的方程的形式：因为所以()()0732222=++-+-y x y x y第二步，根据判别式得出函数值的取值范围：2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足()0322≠++=x x x f 即R x ∈此时方程有实数根即0≥∆，=∆()[]()()07324222≥+---y y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒2,29y当2=y 时，方程化为7=0，显然不能成立，所以2≠y ， 将2=y ，29-=y 分别代入检验的2=y 不符合方程，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈⇒2,29y 【变式演练7】（2022·全国·高一专题练习）求函数231xy x x =-+的值域.【答案】(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】将函数式转化为方程()2310yx y x y ++=-，即该方程在x ∈R 上有解，讨论0y =、0y ≠，结合判别式法即可求值域. 【详解】因为231xy x x =-+，所以当0x =时，0y =；当0y ≠时，原函数化为()2310yx y x y ++=-，22dx ex fy ax bx c++=++x y 3274222++-+=x x x x y x 3274222++-+=x x x x y所以22(31)40y y ∆=+-≥，整理得25610y y ++≥， 解得即1y ≤-或15y ≥-，∴综上，函数231xy x x =-+的值域为(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭. 方法七 基本不等式法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数；第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.例8 已知，求函数 的最小值.【解析】第一步，将函数解析式化成()xax x f +=的形式： 因为25≥x ，所以02>-x ； 所以()()()()2212222425422-+-=-+=-+-=x x x x x x x f ； 第二步，利用基本不等式求函数最小值：()()()()()122122222122=-⨯-≥-+-=x x x x x f ，当且仅当()()22122-=-x x ，即3=x 时等号成立。
高考数学专题复习《函数的极值最值》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)
（2）已知函数 在 <m></m> 处有极值10， 则 等于( )
A. 或18 B. C. D. 或18
解：因为函数 在 处有极值 ，所以 ，且 ，即 得 或 而当 ， 时， ，函数在 处无极值，故舍去. 所以 ，所以 故选C.
解：由题意知， ，令 ，得 ， ，因为 在区间 上的最大值就是函数 的极大值，所以极大值点为 ，所以 ，即 .故填 .
1.函数的极值
（1）函数极值的定义：如图，函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都小， ；而且在点 附近的左侧 ，右侧 . 类似地，函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都大， ；而且在点 附近的左侧 ，右侧 .我们把 叫做函数 的__________， 叫做函数 的________； 叫做函数 的__________， 叫做函数 的________.极小值点、极大值点统称为_______，极小值和极大值统称为______.
√
易错：注意检验
变式2.（1） 若函数 的极小值点是 <m> ，则 的极大值为( )
A. B. C. D.
√
解：由题意， ，所以 ，解得 ，故 ，可得 ，则 在 和 上单调递增，在 上单调递减，所以 的极大值为 .故选C.
（2）若 , 是函数 的两个极值点，则
√
（5）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值. ( )
×
3. 已知函数 的导函数 <m></m> 的图象如图所示，则( )
A.函数 有2个极大值点，2个极小值点B.函数 有1个极大值点，1个极小值点C.函数 有3个极大值点，1个极小值点D.函数 有1个极大值点，3个极小值点
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =−+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤− 二、典型例题： 例1：求函数()xf x xe−=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'1x fx x e −=−，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值 小炼有话说：函数()xf x xe−=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
专题02 常见函数值域或最值的经典求法-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(解析版)
专题02 常见函数值域或最值的经典求法【高考地位】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.方法一 观察法例1函数[]23,4,5y x x-=+∈的值域_____________． 【答案】513,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由2()f x x =-在(0,)+∞上单调递增，∴23y x =-+在[]4,5x ∈上单调递增，而当4x =时，52y =；当5x =时，135y =. ∴函数值域为513,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【变式演练1】求函数x x f 28)(-=的值域. 【解析】∵2x ＞0，∵0≤8﹣2x ＜8．∵0≤x28-＜2．故函数x x f 28)(-=的值域是)22,0[.方法二分离常数法例2 求函数253)(-+=x x x f 的值域.【解析】第一步，观察函数类型，型如；第二步，变形： 函数35361111()3222x x f x x x x +-+===+---， 第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域： 根据反比例函数的性质可知：1102x ≠-，所以3y ≠，所以函数的值域为}3|{≠y y . 【变式演练2】【北京大学附属中学2021届高三5月阶段性检测】若函数()11x f x x -=+的定义域是[)0,+∞，则()f x 的值域是___________. 【答案】[)1,1- 【解析】由()11221111x x f x x x x -+-===-+++ 当0x ≥时，11x +≥，所以1011x <≤+，则2201x -≤-<+ 所以21111x -≤-<+，即()()101x f x x x -=≥+的值域为[)1,1-故答案为：[)1,1-方法三 配方法 第一步 将二次函数配方成；第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.例3 定义在R 上的函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是__________． 【解析】第一步，将函数配方成：由()()()()()()()()()12341423f x x x x x x x x x =++++=++++()()225456x x x x =++++()f x ()ax b f x cx d +=+ey cx d=+()f x 2()y a x b c =-+2()y a x b c =-+()225x x =++10()25x x ++24()2255x x =++-1第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域：因为2255555244x x x ⎛⎫++=+-≥- ⎪⎝⎭,()22550x x ⇒++≥所以()2255x x ++-11≥-即函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是[)1-+∞， 【变式演练3】已知函数432--=x x y 的定义域是],0[m ，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是（ ） A ．]4,0( B ．]4,23[ C ．]3,23[ D ．),23[+∞【答案】C 【解析】试题分析：因二次函数432--=x x y 的对称轴为23=x ,且0=x 时,函数值4-=y ,当23=x 时,425-=y ,因此当3=x 时, 4-=y .故当323≤≤m ,故应选C. 考点：二次函数的图象和性质.方法四 反函数法例4 设为，的反函数，则的最大值为． 【答案】【解析】第一步，先判定函数()222xx f x +=-在区间[]20，上是单调递增的；第二步，求出函数()222x x f x +=-的值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，； 第三步，根据反函数的性质得出反函数()x fy 1-=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，为增函数； ()1fx -()222x f x -=+[]0,2x ∈()()1y f x f x -=+4所以在⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，为增函数； 所以的最大值为()()221-+f f 4=【变式演练4】求函数的值域.方法五 换元法例5 求函数()1423xx f x +=--， []1,1x ∈-的值域..【解析】第一步，变化函数为二次函数的形式：()1423x x f x +=-- ∴()()32222-•-=xxx f ，设2x t =，∴()()222314f t t t t =--=--第二步，求出换元后函数的定义域： ∵[]1,1x ∈-，∵[]0,2t ∈，第三步，结合二次函数的性质得出函数的值域：可得 ()[]4,3f t ∈--， 综上所述：函数的值域为[]4,3--.【变式演练5】【2021新高考高考最后一卷数学第二模拟】函数22sin sin 21sin x xy x+=+的值域为______.【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题可得，22222sin 2sin cos tan 2tan cos 2sin 12tan x x x xx y x x x ++==++，令tan x t =，则22221t ty t +=+，()()1y f x f x -=+()()1y f x fx -=+34()56x f x x +=+即()21y -220t t y -+=，当210y -=，即12y =时，14t =； 当210y -≠，即12y ≠时，要使方程有解，则需()44210y y ∆=--≥，得111,,1222y ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 综上，1,12y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦例6求函数y x =+.【解析】第一步，换元（注意换元后的变量的取值范围）：令210,2t t x -==，所以原函数可化为()211022y t t t =-++≥ 第二步，根据函数解析式判定单调性： 因为其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为1，没有最小值，故值域为(,1]-∞.【变式演练6】 求函数，的值域.方法六 判别式法)1x )(cos 1x (sin y ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x第一步 观察函数解析式的形式，型如的函数；第二步 将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域.例7 求函数的值域.【解析】第一步，将函数式化成关于的方程的形式：因为所以()()0732222=++-+-y x y x y第二步，根据判别式得出函数值的取值范围：2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足()0322≠++=x x x f 即R x ∈此时方程有实数根即0≥∆，=∆()[]()()07324222≥+---y y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒2,29y当2=y 时，方程化为7=0，显然不能成立，所以2≠y ， 将2=y ，29-=y 分别代入检验的2=y 不符合方程，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈⇒2,29y 【变式演练7】求函数12+=x xy 的值域. 【解析】2201xy yx x y x =∴-+=+，当0y =时方程有解，当0y ≠时由0∆≥可得2140y -≥1122y ∴-≤≤，综上可知值域为]21,21[-.方法七 基本不等式法22dx ex fy ax bx c++=++x y 3274222++-+=x x x x y x 3274222++-+=x x x x y例8 已知，求函数 的最小值.【解析】第一步，将函数解析式化成()xax x f +=的形式： 因为25≥x ，所以02>-x ； 所以()()()()()221222212425422-+-=-+-=-+-=x x x x x x x x f ； 第二步，利用基本不等式求函数最小值：()()()()()122122222122=-⨯-≥-+-=x x x x x f ，当且仅当()()22122-=-x x ，即3=x 时等号成立。
2024年高考数学一轮复习专题05函数的单调性与最值含解析
专题05函数的单调性与最值最新考纲1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.基础学问融会贯穿1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义假如函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，假如存在实数M满意条件(1)对于随意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于随意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【学问拓展】函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax(a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]． (3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．重点难点突破【题型一】确定函数的单调性(区间) 命题点1 给出详细解析式的函数的单调性 【典型例题】下列函数中，值域为R 且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝x 2+2xB ．y ＝2x +1C ．y ＝x 3+1D ．y ＝（x ﹣1）|x |【解答】解：依据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x 2+2x ＝（x +1）2﹣1，其值域为[﹣1，+∞），不符合题意； 对于B ，y ＝2x +1，其值域为（0，+∞），不符合题意；对于C ，y ＝x 3+1，值域为R 且在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意； 对于D ，y ＝（x ﹣1）|x |，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；故选：C ．【再练一题】已知函数f （x ）＝ln ，则（ ）A ．f （x ）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上单调递增B ．f （x ）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上单调递减C ．f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增D ．f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减【解答】解：依据题意，函数f （x ）＝ln，其定义域为R ，有f（﹣x）＝ln ln f（x），则函数f（x）为偶函数，设t，y＝lnt，对于t，则导数t′，当x＞0时，t′＞0，即函数t在区间（0，+∞）上为增函数，又由y＝lnt在区间（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）＝ln在0，+∞）上为增函数，故选：C．命题点2 解析式含参数的函数的单调性【典型例题】定义在R的函数f（x）＝﹣x3+m与函数g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[2，+∞）C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：依据题意，函数f（x）＝﹣x3+m，其定义域为R，则R上f（x）为减函数，g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx＝x2﹣kx+m在[﹣1，1]上为减函数，必有x1，解可得k≥2，即k的取值范围为[2，+∞）；故选：B．【再练一题】已知函数f（x）（a＞0且a≠1）在R上单调递减，则a的取值范围是（）A．[，1）B．（0，] C．[，] D．（0，]【解答】解：由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满意0＜a＜1，依据二次函数开口向上，在（单调递减，可得，即，解得：．且[x2+（4a﹣3）x+3a]min≥[log a（x+1）+1]max故而得：3a≥1，解得：a．∴a的取值范围是[，]，故选：C．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．【题型二】函数的最值【典型例题】若函数f（x），则函数f（x）的值域是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．[0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，2）【解答】解：当x＜1时，0＜2x＜2，当x≥1时，f（x）＝﹣log2x≤﹣log21＝0，综上f（x）＜2，即函数的值域为（﹣∞，2），故选：A．【再练一题】函数f（x）＝e x﹣x在区间[﹣1，1]上的值域为（）A．[1，e﹣1] B．C．D．[0，e﹣1]【解答】解：函数的导数f′（x）＝e x﹣1，由f′（x）＞0得e x﹣1＞0，即e x＞1，得0＜x≤1，此时函数递增，由f′（x）＜0得e x﹣1＜0，即e x＜1，得﹣1≤x＜0，此时函数递减，即当x＝0时，函数取得微小值同时也是最小值f（0）＝1，∵f（1）＝e﹣1，f（﹣1）1＜e﹣1，∴函数的最大值为f（1）＝e﹣1，即函数的值域为[1，e﹣1]，故选：A．思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再视察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最终结合端点值，求出最值．(5)换元法：对比较困难的函数可通过换元转化为熟识的函数，再用相应的方法求最值．【题型三】函数单调性的应用命题点1 比较大小【典型例题】已知函数，若，则a、b、c之间的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：依据题意，函数，其定义域为R，则f（﹣x）＝|ln（x）|＝|ln|＝|﹣ln（x）|＝|ln（x）|＝f （x），即函数f（x）为偶函数，设g（x）＝ln（x）＝ln，有g（0）＝ln1＝0，设t，则y＝lnt，当x≥0时，t为减函数且t＞0，而y＝lnt在（0，+∞）为增函数，则g（x）＝ln（x）＝ln在[0，+∞）上为减函数，又由g（0）＝0，则在区间[0，+∞）上，g（x）≤0，又由f（x）＝|g（x）|，则f（x）在区间[0，+∞）上为增函数，a＝f（）＝f（log94），b＝f（log52）＝f（log254），又由log254＜log94＜1＜1.80.2，则有b＜a＜c；故选：D．【再练一题】已知函数f（x）＝x•ln，a＝f（），b＝f（），c＝f（），则以下关系成立的是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b【解答】解：，，；∵；∴；∴c＜a＜b．故选：A．命题点2 解函数不等式【典型例题】已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，则关于x的不等式f（x）+f（x2﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【解答】解：依据题意，函数f（x）＝e x﹣e﹣x，有f（﹣x）＝e﹣x﹣e x＝﹣（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，又由f′（x）＝e x+e﹣x＞0，则函数f（x）在R上为增函数，f（x）+f（x2﹣2）＜0⇒f（x）＜﹣f（x2﹣2）⇒f（x）＜f（2﹣x2）⇒x＜2﹣x2，即x2+x﹣2＜0，解可得﹣2＜x＜1，即其解集为（﹣2，1）；故选：A．【再练一题】设定义在R上的奇函数f（x）满意f（x）＝x3﹣8（x＞0），则{x|f（x﹣2）≥0}＝（）A．[﹣2，0）∪[2，+∞）B．（﹣∞﹣2]∪[2，+∞）C．[0，2）∪[4，+∞）D．[0，2]∪[4，+∞）【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）＝x3﹣8；∴f（0）＝f（2）＝f（﹣2）＝0，且f（x）在（0，+∞），（﹣∞，0）上都单调递增；∴①x＝2时，满意f（x﹣2）≥0；②x＞2时，由f（x﹣2）≥0得，f（x﹣2）≥f（2）；∴x﹣2≥2；∴x≥4；③x＜2时，由f（x﹣2）≥0得，f（x﹣2）≥f（﹣2）；∴x﹣2≥﹣2；∴x≥0；∴0≤x＜2；综上得，f（x﹣2）≥0的解集为[0，2]∪[4，+∞）．故选：D．命题点3 求参数范围【典型例题】若函数f（x）在R上是增函数，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，1] B．（0，2）C．（0，1] D．[1，2）【解答】解：∵f（x）在R上是增函数；∴；解得0＜a≤1；∴a的取值范围为：（0，1]．故选：C．【再练一题】若（a≠1），在定义域（﹣∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）在定义域（﹣∞，+∞）上是单调函数时，①函数的单调性是增函数时，可得当x＝0时，（a2﹣1）e ax≤ax2+1＝1，即a2﹣1≤1，解之得a∵x≥0时，y＝ax2+1是增函数，∴a＞0又∵x＜0时，（a2﹣1）e ax是增函数，∴a2﹣1＞0，得a＜﹣1或a＞1因此，实数a的取值范围是：1＜a②函数的单调性是减函数时，可得当x＝0时，（a2﹣1）e ax≥ax2+1＝1，即a2﹣1≥1，解之得a或a．∵x≥0时，y＝ax2+1是减函数，∴a＜0又∵x＜0时，（a2﹣1）e ax是减函数，∴a2﹣1＞0，得a＜﹣1或a＞1因此，实数a的取值范围是：a综上所述，得a∈故选：C．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为详细的不等式求解，应留意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需留意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的随意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除留意各段的单调性外，还要留意连接点的取值．基础学问训练1．若，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，对A选项，变形为log a x3＜log a y2，而函数y=是单调递减函数，x3＜y2，∴log a x3>log a y2，故A不正确；对B选项，,函数y=cosx是单调递减函数，∴，故B不正确；对C选项，y=是单调递减函数，∴, 故C不正确；而D选项，幂函数y=是单调递增函数，∴，故应选D.2．已知函数且满意，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，所以函数为定义在R上的偶函数；又时，单调递减，所以由偶函数的对称可得：时，单调递增，所以由可得，解得.故选C3．已知函数，则函数有（）A．最小值，无最大值 B．最大值，无最小值C．最小值1，无最大值 D．最大值1，无最小值【答案】D【解析】∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，]设t，则t，且x，∴f（x）＝g（t）t2+t（t﹣1）2+1，t，∴g（t）≤g（1）即g（t）≤1∴函数f（x）的最大值1，无最小值.故选D.4．若函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，则a=（）A．16 B．17 C．32 D．33【答案】B【解析】函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，可得y= x2-2x+a的最小值为16，由y=（x-1）2+a-1，可得a-1=16，即a=17，故选：B．5．高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】．∴当时，；当时，；∴函数的值域是．故选A．6．已知函数的最小值为8，则A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的最小值为8，可得，明显的最小值不为8；时，由对数函数的性质可得当时，的最小值为，由题意可得，设递增，，可得，故选：B．7．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x），①当t﹣1＝0，f（x）＝1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满意条件．②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1＝t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，故f（a）+f（b）＞2．再由f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可得2≥t，结合大前提t﹣1＞0，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t．综上可得，t≤2，故选：A．8．奇函数单调递减，若，则满意的取值范围是（）A．B．C．D．[1，3]【答案】D【解析】因为奇函数单调递减，所以函数单调递减，且为奇函数，所以，因为，所以，所以，解得，即满意的取值范围是，故选D.9．假如对定义在R上的奇函数，对随意两个不相邻的实数，全部，则称函数为“H函数”，下列函数为H函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】依据题意，对于全部的不相等实数，则恒成立，则有恒成立，即函数是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．10．已知定义在上的函数，对随意，有，且时，有，设，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为对随意，所以，因为时，有，所以函数在区间上是增函数，因为，所以，即，所以，故选A.11．已知定义在R上的函数f(x)＝－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a【答案】B【解析】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）＝f（x）；∴﹣1＝﹣1；∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；∴mx＝0；∴m＝0；∴f（x）＝﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a＝f（||）＝f（），b＝f（），c＝f（2）；∵0＜＜2＜；∴a<c<b．故选：B．12．已知t为常数，函数在区间上的最大值为2，则t的值为A．B．C．D．【答案】A【解析】令上的增函数.当，即时，，舍去.当，即时，由于单调递增，故函数的最值在端点处取得..若，解得（舍去）.当时，符合题意.当，解得.当时，，不符合题意.当时，符合题意.故.所以选A.13．假如奇函数在区间上是减函数，值域为，那么______.【答案】12【解析】由f（x）在区间上是递减函数，且最大值为5，最小值为-2，得f（3）＝5，f（7）＝-2，∵f（x）是奇函数，∴．故答案为：12．14．已知函数，若上是减函数，则实数的取值范围为____.【答案】[，0）【解析】若在R上是减函数，因为y=上单调递减，故只需满意，解得：k∈[，0）故答案为：[，0）15．设函数f（x）=|x-1|在x∈[t，t+4]（t∈R）上的最大值为M（t），则M（t）的最小值为______．【答案】2【解析】作出函数f（x）=|x-1|的图象，如图所示，当t+4≤1即t≤-3时，f（x）在[t，t+4]递减，可得最大值M（t）=f（t）=|t-1|=1-t，由M（t）在t≤-3递减，可得M（t）≥4，即最小值为4；当t≥1时，f（x）在[t，t+4]递增，可得最大值M（t）=f（t+4）=|t+3|=t+3，由M（t）在t≥1递增，可得M（t）≥4，即最小值为4；当t＜1＜t+4，即-3＜t＜1时，f（x）在（t，1）递减，在（1，t+4）递增，可得f（x）的最小值为0；当t=-1时，f（t）=f（t+4）=2；当-1＜t＜1时，f（t）＜f（t+4），f（x）的最大值M（t）=f（t+4）=t+3，且M（t）∈（2，4）；当-3＜t＜-1时，f（t）＞f（t+4），f（x）的最大值M（t）=f（t）=1-t，且M（t）∈（2，4）；综上可得M（t）的最小值为2．故答案为：2．16．已知函数，若当时，都有，则a的取值范围为______．【答案】【解析】①当时，即②当时，若，即时，若，即时，③当时，综上所述，17．对于区间，若函数同时满意：上是单调函数；函数的值域是，则称区间为函数的“保值”区间．求函数的全部“保值”区间．函数是否存在“保值”区间？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）函数存在“保值”区间，此时m的取值范围是．【解析】因为函数的值域是，且的值域是，所以，所以，从而函数在区间上单调递增，故有，解得，又，所以，所以函数的“保值”区间为；若函数存在“保值”区间，若，由可得函数的“保值”区间为；若，此时函数在区间上单调递减，可得，消去m得，整理得，因为，所以，即，即有，因为，可得；若，此时函数在区间上单调递增，可得，消去m得，整理得．因为，所以，可得，可得．由，即有．综合得，函数存在“保值”区间，此时m的取值范围是．18．已知函数常数．证明上是减函数，在上是增函数；时，求的单调区间；对于中的函数和函数，若对随意，总存在，使得成立，求实数a的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】证明：：设，且，，，，当时，即，当时，即，时，，即，此时函数为减函数，当时，，即，此时函数为增函数，故上是减函数，在上是增函数；时，，，设，则，，由可知上是减函数，在上是增函数；，即，即上是减函数，在上是增函数；由于为减函数，故又由（2）得由题意，的值域为的值域的子集，从而有，解得．19．已知函数，其中．解关于x的不等式；求a的取值范围，使在区间上是单调减函数．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】的不等式，即为，即为，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；，由在区间上是单调减函数，可得，解得．即a的范围是．20．已知函数．判定并证明函数的单调性；是否存在实数m，使得不等式对一切都成立？若存在求出m；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）【解析】函数上R上的单调递增函数．证明如下：设，，，且，，函数上R上的单调递增函数．函数，，是R上的奇函数，不等式对一切都成立，，对一切都成立，是R上的增函数，，对一切都成立，．存在实数，使得不等式对一切都成立．实力提升训练1．已知是自然对数的底数），，则的大小关系是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】记,可得x=e可知：上单调递增，又∴，即故选：A2．若函数，设，则的大小关系A．B．C．D．【答案】D【解析】依据题意，函数，是二次函数，其对称轴为y轴，且在上为增函数，，则有，则；故选：D．3．已知函数，若的最小值为，则实数m的值为A． B． C．3 D．或3【答案】C【解析】函数，即，当时，不成立；当，即时，递减，可得取得最小值，且，解得成立；当，即时，递增，可得取得最小值，且，不成立；综上可得．故选：．4．若函数上的最大值与最小值的差为2，则实数的值为( ).A．2 B．－2 C．2或－2 D．0【答案】C【解析】解：①当a=0时，y=ax+1=1，不符合题意；②当a＞0时，y=ax+1在[1，2]上递增，则（2a+1）﹣（a+1）=2，解得a=2；③当a＜0时，y=ax+1在[1，2]上递减，则（a+1）﹣（2a+1）=2，解得a=﹣2．综上，得a=±2，故选C．5．已知直线分别与函数的图象交于两点，则两点间的最小距离为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依据题意得到PQ两点间的距离即两点的纵坐标的差值，设t+1=u,t=u-1>0,原式等于依据均值不等式得到当且仅当u=1，t=0是取得最值.故答案为：D.6．已知函数的值域为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，设，则，又由指数函数的性质，可知函数为单调递减函数，所以函数的值域为，故选C.7．已知函数的定义域为(1)试推断的单调性；(2)若，求的值域；(3)是否存在实数，使得有解，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）单调递增（2）（3）存在，且取值范围为【解析】解：（1）设单调递增.（2）令的值域为（3）由而当时，令，所以的取值范围为8．已知函数（1）设的两根，且，试求的取值范围（2）当时，的最大值为2，试求【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意可得的两根，且，解得故（2）当时，的最大值为2，由，可知抛物线开口向上，对称轴为①若，则当时取得最大值，即，解得②若，则当时取得最大值，即，解得故9．已知函数．(1)若，求a的值．(2)推断函数的奇偶性，并证明你的结论．(3)求不等式的解集．【答案】(1)；(2)奇函数；(3).【解析】，则，得，即，则．函数的定义域为R，，即函数是奇函数．由不等式，，在R上是增函数，不等式等价为，即，即，得．即不等式的解集为．10．已知函数.（Ⅰ）推断并证明的单调性；（Ⅱ）设，解关于的不等式.【答案】（Ⅰ）上单调递增；（Ⅱ）.【解析】解：（Ⅰ）的定义域为，由是奇函数；任取，则，上单调递增；又由（Ⅰ）知，上的奇函数，上单调递增；上单调递增.（Ⅱ），由是奇函数；又由（Ⅰ）知上单调递增，上单调递增，等价于，可得：，解得：不等式的解集是.。
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题
一．观察法:通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.例1:求函数)+=的值域.y-3x32(点拨：根据算术平方根的性质，先求出)-的值域.32(x解：由算术平方根的性质，知)2(x-≥3。
∴函数的值域为)3-≥0，故3+)2(x3,3[+∞ .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法:当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域.例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数, 故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域. 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域.点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四.判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
(2021年整理)高中数学专题之函数的值域与最值(内附练习及答案)
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函数的值域与最值【基本概念】求函数最值的基本方法： 1、配方法（二次函数） 2、分离常数法（分式函数） 3、反函数法（分式函数） 4、基本函数性质法5、换元法[换元必换限]（无理函数、高次函数等）6、基本不等式法(耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域与最值） 8、数形结合法 【典型例题】例1：求下列函数的值域。
(1）2121x y x -=+； (2）()lg 12cos y x =-; (3）2y x =；(4）2211x x y x -+=+；（5）()2lg 612y x x x x =-+≤≤； （6)3sin 2cos xy x-=-。
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函数的值域与最值【考纲说明】1．理解值域和最值的区别与联系，掌握求函数值域和最值的基本方法； 2．通过函数最值求参数的范围，同时解决恒成立问题；【知识梳理】2.函数的值域1、函数值域的概念在函数y=f （x ）中，与自变量x 的值对应的y 值叫做函数值。
函数值的集合叫做函数的值域。
2、确定函数值域的原则（1）当函数y=f （x ）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；（2）当函数y=f （x ）用图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； （3）当函数y=f （x ）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其解析式唯一确定； （4）当函数y=f （x ）由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定； 3、常见函数的值域（1）一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；（2）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），当a>0时值域为]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时 （3）反比例函数y=xk（x ≠0）的值域为{}R y y y ∈≠且,0| （4）指数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为),0(+∞。
（5）对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ；（6）正弦函数x y sin =,余弦函数x y cos =的值域都是]1,1[-。
（7）正切函数),2(tan Z k k x x y ∈≠=∏+∏其中,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。
3.函数的最值1、函数的最值一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
记作()max 0y f x =一、①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。
记作()min 0y f x =2、利用函数最值求参数的范围通过分离变量，用自变量把参数表示出来，得到参数关于某个变量的函数或不等式，然后求出该函数的最值。
利用函数的最值，可得到参数的范围。
3、最值在实际问题中的应用（1）在实际问题中建立函数模型，利用函数的最值求相关量的最值； （2）已知实际问题中有关量的最值，求相关量的取值范围；4.求函数值域和最值的常用方法1、基本函数法对于基本函数的值域，可通过它的图像、性质直接求解； 2、配方法对于形如y=ax 2+bx+c （a ≠0）或y = a [f(x)]2+ b f(x) + c (a ≠0)类的函数的值域问题，均可用配方法求解； 3、换元法利用代数或三角换元，将所给函数转化为易求值域的函数。
形如y=)(1x f 的函数，令f （x ）=t ； 形如y=ax+b+d cx +(a 、b 、c 、d 均为常数，ac ≠0)的函数，令d cx +=t ；形如22x a -的函数，可利用三角代换，令x=a cos θ，θ∈[0，π]；或令x=a sin θ ，θ∈]2,2[ππ-4、不等式法利用基本不等式a+b ≥2ab 。
注意条件“一正二定三相等” 5、函数的单调性法确定函数在定义域上（或定义域上的某个子集）的单调性求出函数的值域。
例如f （x ）=ax+xb（a>0，b>0） 当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性。
6、数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助于几何法求函数的值域。
形如1212x x y y --可联想两点（x 1，y 1）与（x 2，y 2）连线的斜率。
7、函数的有界性法 形如y=xxsin 1sin +，可用y 表示出sinx ，再根据-1< sinx ≤1，解关于y 的不等式，可求出y 的取值范围。
8、导数法设y=f(x)的导数为f ’(x),由f ’(x)=0可求得极值点坐标。
若函数定义域为[a,b],则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值。
【经典例题】【例1】（2013年新课标1（理））已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是A.(,0]-∞B.(,1]-∞C.[2,1]-D.[2,0]- 【解析】D【例2】错误！未指定书签。
（2013辽宁（理））已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示 ,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -= A.2216a a -- B.2216a a +- C.16- D.16 【解析】B【例3】（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取 值范围是（A ）[1 （Ｂ）(,1)-∞∞（Ｃ）[2- （Ｄ）(,2)-∞-∞ 【解析】D【例4】错误！未指定书签。
（2013年上海卷（理））设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()97a f x x x=++, 若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为________ 【解析】87a ≤-【例5】（2010浙江）设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 .。
【解析】5102【例6】（2012浙江卷.理）已知a ＞0，b ∈R ，函数()342f x ax bx a b =--+． (Ⅰ)证明：当0≤x ≤1时，(ⅰ)函数()f x 的最大值为|2a －b |﹢a ；(ⅱ) ()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0； (Ⅱ) 若﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0，1]恒成立，求a ＋b 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)利用导数求解；(Ⅱ）a ＋b 的取值范围为：(]3-∞，．【例7】(2012全国卷.理)已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值． 【解析】（1）()f x 的解析式为21()2x f x e x x =-+且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞（2）当x =max ()2eF x =当1,a b ==(1)a b +的最大值为2e【例8】（2012湖南卷）已知函数()f x =ax e x =-，其中a ≠0. 二、若对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合.三、在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 12()x x <，记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）a 的取值集合为{}1.（Ⅱ）存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为212211(ln,)()ax ax e e x a a x x --. 【例9】设函数()f x ＝2()ln x a x -，a ∈R（Ⅰ）若x ＝e 为()y f x =的极值点，求实数a ；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈（0,3e ]，恒有()f x ≤42e 成立. 【解析】（Ⅰ）a e = 或3a e =。
（Ⅱ）a的取值范围为33e a e ≤≤。
【例10】（2011北京理）已知椭圆G ：2214x y +=，过点（m ，0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点。
（Ⅰ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（Ⅱ）将||AB 表示为m 的函数，并求||AB 的最大值。
【解析】（Ⅰ）椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-,离心率为.23==a c e （Ⅱ）212212)()(||y y x x AB -+-=.3||342+=m m |AB|的最大值为2. 【例11】（2012四川） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立。
（Ⅰ）求1a ，2a 的值； （Ⅱ）设10a >，数列110{lg}na a 的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值。
【解析】（I ）120,0a a ==；或121,2a a ==1212a a =-=-（II ）数列{}n b 是单调递减的等差数列（公差为1lg 22-），从而 故7n =时，n T 取得最大值，且n T 的最大值为1777()7(113lg 2)217lg 2222b b T ++-===-【例12】已知向量a =)sin sin (cos x x x ωωω，-，b =)cos 32sin cos (x x x ωωω，--， 设函数f （x ）=a ·b +)(R x ∈λ的图像关于直线x =π对称，其中λω，为常数，且）（1,21∈ω （1） 求函数f （x ）的最小正周期；（2） 若y=f （x ）的图像经过点）（0,4π求函数f （x ）在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡530π，上的取值范围 【解析】略【课堂练习】1.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 （A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ 2.（2012全国）已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）3.（2011湖南）设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)++∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 4.错误！未指定书签。