稳定性模型--食饵捕食者模型
稳定性模型食饵捕食者地中海鲨鱼问题知识讲解
定理1 对于x>0，y>0，方程(4)给出了一族封闭曲线(相 轨线)，且每条封闭曲线不包含方程组(1)的任何平衡点 。 由定理1，当x(0)及y(0)皆为正数时，方程组(1)的解x(t)， y(t)都是时间t的周期函数，设周期为T>0。 方程(4)无解析解，数值积分求解，绘制如下图 注意到平衡点P(c/f,a/b)，在图中分析得
D’Ancona的数据是捕食者每年的年平均数，为了比较，我 们必须算出方程组(1)的解 x(t)、y(t)的平均值。我们易算出
x
1 T
T
0
xtdt
1 T
T
0
c
y f
y
dt
c f
1 fT
ln
yTln
y0
捕食者死亡率下降或食饵对 捕食者供养能力提高将导致
由y(t) 的周期性，y(0)=y(T) ，得 食饵减少
稳定性模型食饵捕食者地中海鲨 鱼问题
建立微分方程组模型
设食用鱼的数量为x(t)，鲨鱼等软骨鱼的数量为y(t)，根据 鲨鱼靠捕食食用鱼为生这一事实，假设a为食饵(食用鱼)的 自然增长率，b为捕食者(鲨鱼)掠取食饵的能力的比例系数 ，c为捕食者死亡率，f为食饵对捕食者的供养能力(使捕食 者增多)的比例系数。我们建立下面的微分方程组：
dx dt
f x, y
dy
dt
g x, y
(2)
f x, y 0 gx, y 0
平衡点P0(x0,y0)就是右端对应代数方程组的解，仅当 limx(t)=x0 且limy(t)=y0 时，我们说平衡点P0是稳定的。称 x=x0，y=y0为方程组（2）的平衡解。
注意到，方程组(1)有两组平衡解x(t)=0，y(t)=0及x(t)=c/f， y(t)=a/b。对第一组平衡解，没有讨论的实际意义。 Nhomakorabea dx dt
食饵-捕食者模型
x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10.
用相轨线分析
P(d / b, r / a) 点稳定性
(t ) (r ay) x x x(r ay ) 消去dt dx (t ) (d bx) y y dy y (d bx)
x1 x2 2 (t ) r2 x2 x 1 2 N N 1 2
有稳定平衡点
食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进
• 相轨线是封闭曲线，结构不稳定——一旦离开某 一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状. • 自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的， 即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状.
r/a10
5 0 0 20
P
d/b 40
60
80
100
120
捕食者数量与r成正比, 与a成反比
d 食饵 x 数量 b
d ~捕食者死亡率 b ~食饵供养捕食者能力
食饵数量与d成正比, 与b成反比
模型 一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降， 解释 但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？ 自然环境 P( x , y ) x d / b, y r / a
相互依存
x1 x2 1 (t1 ) r1 x1 x 1 N 1 N , 1 2
x1 x2 1 (t ) r1 x1 x 1 N 1 N , 1 2
x1 x2 2 (t ) r2 x2 x 1 2 N N 1 2
g ( y) q g m
存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q
建模——捕食者
食饵——捕食者模型摘要：建立具有自身阻滞作用的两个种群食饵-捕食者模型，并结合模型的数值解和相轨线，对模型的稳定性进行了分析。
关键词：种群，数值解，平衡点，相轨线，Volterra 模型（一）模型准备自然界中不同种群之间还存在着这样一种制约的生存方式：种群甲靠有限的自然资源生存，而种群乙靠掠取甲为生。
就像生活在草原上的狼与羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在，这样两个肉弱强食的种群，它们的发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？（二）模型假设有羊和狼两个种群，记食饵（羊群）和捕食者（狼群）在时刻t 的数量分别为)(t x ，)(t y ，1r 为羊群的固有增长率，1N 为环境容许的最大羊群量，2N 为环境容许的最大狼群量。
1、假设羊群可以独立生存，而可被其直接利用的自然资源有限，设总量为“1”。
羊群数量的增长率可以分为两部分考虑：其一，因为草原上的资源有限，所以它的增长服从Logistic 规律，即)1(11.N xx r x -=， 其二，当两个种群在同一个自然环境中生存时，由于狼群以掠取羊群为生，所以它对羊群的增长产生了负面影响，可以合理地在因子)1(1N x-中再减去一项，该项与狼群的数量y （相对于2N 而言）成正比，于是得到羊群增长的方程为：)1()(2111.N y N x x r t x σ--= （1） 1σ的意思是：单位数量的狼（相对2N 而言）掠取1σ倍的羊（相对1N 而言）。
2、假设狼群没有羊群的存在会灭亡，设其死亡率为2r ，则狼群独自存在时，有：y r t y 2.)(-=，又因为羊群的存在为狼群提供了食物，所以它对狼群的增长产生了促进作用，而狼群的增长又受到自身的阻滞作用，于是得到狼群增长的方程为：)1()(1222.N x N y y r t y σ+--= （2） 2σ的意思是：单位数量的羊（相对1N 而言）供养2σ倍的狼（相对2N 而言）。
（三）模型建立根据模型假设中的方程（1）、（2），可得到如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=--=)1()()1()(1222.2111.N x N y y r t y N y N x x r t x σσ （四）模型求解利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造，然后从理论上研究其平衡点，验证前面的猜测。
食饵—捕食者模型稳定性分析00
一、模型假设1.假设捕食者离开食饵无法生存；2.假设大海中资源充足，食饵独立生存时以指数规律增长；3.成年鱼在鱼群中所占比例大致稳定4．无人为捕捞等外加环境干扰二、符号说明x(t) ——成年食饵在时刻t 的数量；y(t ) ——捕食者在时刻t的数量；k——成年鱼所占种群内的比例；N1——大海中能容纳的食饵的最大容量；N 2——大海中能容纳的捕食者的罪的容量;r1——食饵的相对增长率；r 2——捕食者的相对增长率；1——单位数量捕食者（相对于N 2）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者 (相对于 N1 )消耗的供养甲实物量的 1 倍；2——单位数量食饵（相对于N1）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者 (相对于 N 2 )消耗的供养食饵实物量的 2 倍；d——捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。
三、模型建立食用鱼独立生存时按照指数形式增长，且食用鱼的相对增长率为r1，即x rx ，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是x(t) 满足方程x (t) x(r ay) rx axy (1)系数 a 反映捕食者掠取食饵的能力。
由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d，即y dy ，食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。
设这种作用与食饵数量成正比，于是y(t ) 满足y (t) y( d bx)dy bxy(2)比例系数 b 反映食饵对捕食者的供养能力。
方程 (1) 、(2) 是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，设这里有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型。
考虑到种群自身的阻滞作用，在上两式中加入 Logistic 项，即建立以下数学模型：x1(t) r1x1 1 x11x2 N N2 1x2(t) r2x2 1 x1 x22 N N21(3)(4)下面对其平衡点进行稳定性分析：由微分方程 (3) 、 (4)f ( x 1 , x 2 )f ( x 1 , x 2 )r 1x 1 1 x 1 x 2N1 N21r 2 x 2 1 x 1 x 22 N N2 1得到如下平衡点 :P 1(N 1,0) , P 2 (N 1 (1 1) ,N 2(21) ) , P 3 (0,0)1 12 11 2因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时( x 1, x 2 0 ) 才有意义，所以，对 P 2 而言要求 2 >0。
捕食者-被捕食者模型稳定性分析报告
被捕食者—捕食者模型稳定性分析【摘要】自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫等。
本文是基于食饵—捕食者之间的有关规律，建立具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，分析平衡点的稳定性，进行相轨线分析，并用数值模拟方法验证理论分析的正确性。
【关键词】食饵—捕食者模型相轨线平衡点稳定性一、问题重述在自然界中，存在这种食饵—捕食者关系模型的物种很多。
下面讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。
二、问题分析本文选择渔场中的食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象，建立微分方程，并利用数学软件MATLAB 求出微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测出它的解析解构造。
然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，验证前面的猜测。
三、模型假设1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；四、符号说明)(t x /)(1t x ——食饵(食用鱼)在时刻t 的数量；)(t y /)(2t x ——捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量；1r ——食饵(食用鱼)的相对增长率；2r ——捕食者(鲨鱼)的相对增长率；1N ——大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量；2N ——大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的罪的容量；1σ——单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；2σ——单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；d ——捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。
一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支
一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支摘要：捕食者-食饵模型可用于研究生态系统中的捕食行为和食物链稳定性。
在现实生态系统中，许多因素会对捕食者与食饵之间的相互作用产生影响，其中一个重要因素就是时滞。
本文通过引入时滞因素，研究了一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支。
通过数学模型的建立与分析，我们得到了该系统的平衡点存在以及Hopf分支发生的条件，并利用MATLAB软件进行了数值模拟。
结果表明，时滞对系统的稳定性和动态性质具有重要影响，适当的时滞引入可以使系统产生周期性振荡。
1. 引言生态系统中的捕食者-食饵关系是一个重要而复杂的生态现象，其研究可以揭示自然规律并帮助我们更好地了解生态系统的运行机制。
捕食者-食饵模型在生态学中被广泛应用，其中Lotka-Volterra模型是最经典的一种。
2. 模型的建立我们考虑一个具有时滞的捕食者-食饵模型，其中食饵种群用x表示，捕食者种群用y表示。
模型可以表示为以下方程组：dx/dt = ax(1 - bx) - cxy(t - τ)dy/dt = -fy + hxy(t - σ)其中a, b, c, f, h是正常数，τ和σ是时滞参数。
3. 平衡点的存在性首先，我们研究该模型的平衡点的存在性。
设平衡点为(x0, y0)，即dx/dt = 0，dy/dt = 0。
通过求解方程组，我们可以得到平衡点的表达式。
4. 稳定性分析接下来，我们研究平衡点的稳定性。
通过线性稳定性分析，我们可以判断平衡点的稳定性。
当α = β = 0时，模型简化为传统Lotka-Volterra模型，它的平衡点为(0, 0)和(1/b, 0)。
根据稳定性分析，我们得到当r < 1时，平衡点(0, 0)是稳定的；当r > 1时，平衡点(1/b, 0)是稳定的。
其中r = ah/(bf)。
5. Hopf分支的发生条件在本文的模型中，我们引入了时滞参数τ和σ。
稳定性模型食饵捕食者模型课件
m
捕食者的死亡率。
03
稳定性模型食饵捕食者模 型的求解方法
解析解法
公式推导
通过数学公式推导，直接得出模型在 各种参数下的解。
适用范围
适用于模型简单、参数较少的情况， 但可能不适用于复杂模型。
数值解法
迭代计算
01
通过迭代的方式逐步逼近模型的解。
精度控制
02
可以控制计算的精度，以适应不同的需求。
适用范围
模型定义
稳定性模型食饵捕食者模型是 一种生态学数学模型，用于描 述捕食者和食饵之间的相互作 用关系。
该模型由两个微分方程组成， 分别描述了食饵和捕食者的种 群动态。
通过分析该模型的平衡点和稳 定性，可以了解种群数量的变 化规律和生态系统的稳定性。
模型背景
该模型是在20世纪20年代由 美国生态学家洛特卡和沃尔特 拉提出的，用于研究种群数量
捕食者种群的增长率可用以下方程表示
dP/dt = P*(aN/H - m)
模型参数解释
K
环境最大容纳量，表示在理想 环境下，食饵种群的最大数量 。
H
捕食者的半饱和常数，表示捕 食者达到最大捕食效率时所需 要的食物量。
r
食饵种群的内在增长率，表示 在没有环境限制的情况下，食 饵种群的增长速度。
a
捕食效率，表示单位时间内， 一个捕食者能够捕获的食饵数 量。
通过分析系统的数学模型 ，可以确定分岔的类型和 发生条件。
05
稳定性模型食饵捕食者模 型的改进与扩展
模型参数调整
调整捕食率
通过实验数据或观察，对捕食者 对食饵的捕食率进行更精确的估 计和调整，以提高模型的预测精 度。
调整死亡率
根据环境和物种特性，调整食饵 和捕食者的死亡率，使模型更符 合实际情况。
一类食饵-捕食模型的稳定性和Hopf分岔
一类食饵-捕食模型的稳定性和Hopf分岔引言：食物链是自然界中生物互相作用的重要方面之一，而食饵-捕食模型是描述这种互相作用的数学模型之一。
在这类模型中，食饵是指养分来源，捕食者则以食饵为食。
在这篇文章中，我们将探究现象。
一、模型的建立假设食饵种群的增长率与其种群大小成正比，而捕食者种群的增长率与食饵种群大小和捕食者种群大小成正比。
以t表示时间，x(t)和y(t)分别表示食饵种群和捕食者种群的大小，则该模型的数学表达式如下：dx/dt = ax - bxydy/dt = cxy - dy其中，a、b、c和d为常数，分别表示食饵种群的增长率、食饵种群遭到捕食者捕食的速率、食饵被捕食后被转化为捕食者的速率和捕食者种群的死亡率。
二、平衡点的分析平衡点是指在一段时间内，系统中各个种群的大小保持不变的状态。
在我们的模型中，稳定的平衡点应该满足以下条件： dx/dt = 0 => ax - bxy = 0dy/dt = 0 => cxy - dy = 0由以上两个方程可以解得平衡点为：(x*, y*) = (d/c,a/b)。
当系统处于平衡点时，食饵和捕食者种群的大小不再发生变化。
三、线性稳定性分析为了探究平衡点的稳定性，我们需要对系统进行线性稳定性分析。
假设系统在平衡点周边有微小的扰动，即令(x, y) = (x* + ε, y* + δ)，其中ε和δ为很小的变量。
将这个微小扰动代入模型的微分方程中，可以得到以下近似方程：dε/dt = (a - b(y* + δ))εdδ/dt = (c(x* + ε)y* - d)δ通过对近似方程进行线性化，可以得到雅可比矩阵：J = | a - by* -bx* || cy* cx* - d|其中，x*和y*为平衡点的坐标。
依据线性稳定性理论，平衡点(x*, y*)是稳定的当且仅当雅可比矩阵的全部特征值具有负实部。
四、Hopf分岔的分析除了探究系统的稳定性外，我们还关注系统是否存在Hopf分岔现象。
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Q3 x x2
x
相轨线退化为 P点 P~中心
c ? fm gm 设c ? pgm 令y ? y0 g ( y ) ? g m f (x) ? p? fm
存在x1<x0<x2, 使f(x1)=f(x2)=p
Q1(x 1,y0),Q2(x 2,y0)
考察 x ? [x1, x2 ] f (x)g( y) ? pgm f (x) ? p g ( y) ? q ? g m
x(t) 20.0000 21.2406 22.5649 23.9763
… 9.6162 9.0173
… 18.4750 19.6136 20.8311
y(t) 4.0000 3.9651 3.9405 3.9269
… 16.7235 16.2064
… 4.0447 3.9968 3.9587
食饵-捕食者模型(Volterra)
y?(t) ? ?(d ? bx)y ? ?dy? bxy
(2)
a ~捕食者掠取食饵能力 b ~食饵供养捕食者能力 方程(1),(2) 无解析解
用数学软件 MATLAB求微分方程数值解
t 0 0.1000 0.2000 0.3000 … 5.1000 5.2000 … 9.5000 9.6000 9.7000
( x ed ? bx )( y r e ? ay ) ? c
f (x) g( y)
f(x) fm
相轨线 f ( x ) g ( y ) ? c
在相平面上讨论相轨线的图形
O
x0
x
g(y)
f (0) ? f (? ) ? 0, f (x0) ? fm, x0 ? d / b gm
g(0) ? g(? ) ? 0, g( y0 ) ? gm, y0 ? r / a
Volterra模型的平衡点及其稳定性
x?(t) ? (r ? ay)x ? rx? axy
稳定性分析
y?(t) ? ?(d ? bx)y ? ?dy? bxy
?r ? ay ? ax ?
平衡点
P(d /b, r /a), P?(0,0)
A? ? ?
by
? d ? bx??
?0 ? ad / b?
食饵-捕食者模型(Volterra)
食饵(甲)数量 x(t), 捕食者(乙)数量 y(t)
甲独立生存的增长率 r
x?? rx
乙使甲的增长率减小， x?(t) ? (r ? ay)x ? rx? axy (1)
减小量与 y成正比
乙独立生存的死亡率 d
y?? ? dy
甲使乙的死亡率减小， 减小量与 x成正比
30 T3
P(d / b, r / a)
25
20 x?? 0
T2
15 y?? 0 x?? 0，y?? 0
10 x?? 0 P x?? 0， y?? 0
? T54 y?? 0 P0
0
0
20 40 60 80
T1
100 120
120
x(t) 的“相位”领先
100
y(t)
80
x(t)
60
40
20
y(t)
0
x ? x0, y ? y0
模型解释
x?(t) ? (r ? ay)x y?(t) ? ?(d ? bx)y
初值 P0 ( x0? , y0? ) 相轨线的方向
T1 : x(t ) ? y(t ) ? T2 : x(t ) ? y(t) ? T3 : x(t) ? y(t) ?
T4 : x(t) ? y(t) ?
存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q Q3(x,y1), Q4(x,y2)
x是[x1, x2]内任意点
相轨线是封闭曲线族
用相轨线分析 P(d / b, r / a) 点稳定性
相轨线 是封闭曲线
x(t), y(t)是周期函数 (周期记 T)
求x(t), y(t) 在一周期的平均值 x, y y?(t ) ? (? d ? bx ) y
O
y0
y
c ? f m g m 时无相轨线 以下设 c ? f m g m
相轨线 f ( x ) g ( y ) ? c
f(x) fm p
O x1 x0
c ? fmgm
g(y)
gm q
x2
x O y1
x ? x0, y ? y0
y y2
Q4
Q4
y0 y2
y0 Q1
P
Q2
y
y1
O
Q3 x1 x x0
dx ? x(r ? ay) dy y(? d ? bx)
? d ? bx dx ? r ? ay dy
x
y
? d ln x ? bx ? r ln y ? ay ? c1
( x d e ? bx )( y r e ? ay ) ? c
取指数
c 由初始条件确定
用相轨线分析 P(d / b, r / a) 点稳定性
第七章 稳定性模型
§7.5 食饵-捕食者模型
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7.5 食饵-捕食者模型 (种群的弱肉强食)
? 种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠 捕食甲为生，形成 食饵-捕食者系统 ，如 食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫 .
? 模型的历史背景 ——一次世界大战期间地中海 渔业的捕捞量下降 (食用鱼和鲨鱼同时捕捞 )， 但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？
x?(t ) ? ( r ? ay ) x y?(t) ? ? (d ? bx) y
计算结果（数值，图形）
观察，猜测
x(t), y(t)是周期函数，相轨线 (x,y)是封闭曲线 x(t), y(t)的周期约为 10.7 xmax? 99.3, xmin ? 2.0, ymax ? 28.4, ymin ? 2.0 用数值积分 可算出 x(t), y(t)一周期的平均值： x(t)的平均值约为 25, y(t)的平均值约为 10.
A P ? ??br / a
0
? ?
p =0, q > 0 P: 临界状态
?r 0 ?
A P? ? ??0
?
d
? ?
q<0 P′不稳定
P点稳定性不能用近似线性方程分析
用相轨线分析 P(d / b, r / a) 点稳定性
x?(t) ? (r ? ay)x y?(t) ? (? d ? bx) y
消去dt
? ? x ? 1
T
1 T1 y
x (t )d t ?
( ? d )dt
T0
T 0b y
x (t ) ? 1 ( y?? d ) by
? 1 ( ln y (T ) ? ln y (0) ? d T )
T
b
b
x?(t) ? (r ? ay)x
x? d/b
y? r/a
轨线 中心
P(x0, y0) : x0 ? d / b, y0 ? r / a
0 T1 2 T2 4 T3 6