余数问题(教师版)
《与余数有关的问题》(教学设计)
《与余数有关的问题》（教学设计）教学设计：一、教学目标1. 理解余数的概念。
2. 学会利用余数解决整除和求模问题。
3. 学会分析和解决余数有关的问题。
4. 通过练习，巩固和提高学生解决余数问题的能力。
二、教学重点1. 余数的概念和解题方法。
2. 整除和求模问题的解决方法。
3. 与余数有关的问题的解决方法。
三、教学难点1. 在解决问题时理解余数的应用。
2. 培养学生思维逻辑能力，分析问题的方法。
四、教学方法1. 经验教学法2. 演示教学法3. 互动探究法五、教学过程1. 导入环节（5分钟）老师可以在黑板上写上一个式子：“10÷4=2....2”。
然后问学生这个式子有什么意义和用途，引发学生余数的问题和疑惑。
2. 分组讨论（10分钟）教师将学生分成小组，要求学生在小组内讨论和比较什么情况下会产生余数，如何确定该余数，并说明产生此余数会如何影响整个式子。
3. 知识讲解（15分钟）教师在黑板上讲解余数及其应用，引导学生了解余数的概念和不同情况下的求余方法，并列举一些例子进行解释。
4. 练习（20分钟）教师在黑板上出示一些练习题，并给出解题步骤和解答。
然后，要求学生在课本上完成一些练习题，以检验学情和学生掌握余数的能力。
5. 总结（10分钟）老师简单总结余数的概念、应用和解题方法，并鼓励学生在生活和学习中多加尝试与余数有关的问题。
六、教学资源1. 黑板、彩笔2. 教师出示的练习题3. 学生课本七、教学评价1. 学生理解余数及其应用的能力是否提升。
2. 学生解决余数问题的能力是否提高。
3. 课堂练习、作业能否完成。
4. 学生在处理余数问题时的思维逻辑是否清晰、正确。
八、教学实验1. 解决整除问题的方法：（1）判断-如果除数被被除数整除，则结果为整数；否则有余数。
（2）整数除法-进行除法运算得到的结果为整数，而余数为0。
例如：判断100是否被4整除。
由于100÷4=25，且27×4=108，因此100不被4整除，余数为0。
有余数的除法(教师)
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
有余数的除法内容分析知识结构1.272除以23的商为 ，余数为 。
【难度】★ 【答案】11,19【解析】解：272=23×11+192.已知某数被5除后的小数部分为0.4，则5除这个数的余数为 。
【难度】★ 【答案】2【解析】解：0.4×5=23. 7104×519的积被11除，得商为 ，余数为 。
【难度】★★ 【答案】335179 , 7 【解析】解：7104×519=（11×645+9）（11×47+2）=11×11×645×47+11×645×2+9×11×47+9×2 =11×11×645×47+11×645×2+9×11×47+11×1+7 =11×335179+7一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有r b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷q a ，也就是r bq a += 其中q 是商，r 是余数，0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商知识精讲模块一：带余除法的定义与性质课前热身即 被除数=除数×商+余数， 或 被除数-余数=除数×商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
人教版二年级下册数学第六单元《有余数的除法)》作业设计教师版
人教版二年级下册数学第六单元《有余数的除法》作业设计
教师版
一、作业目的
本次作业旨在帮助学生进一步掌握有余数的除法概念，培养其整除和余数的计算能力。
二、作业内容
1.计算以下各题：
–23 ÷ 5
–35 ÷ 6
–48 ÷ 7
–57 ÷ 8
–68 ÷ 9
2.选择题：
1.25 ÷ 5 = （）余（） A. 4 5 B. 6 0 C. 5 0 D. 6 1
2.38 ÷ 6 = （）余（） A. 6 2 B. 5 8 C. 6 4 D. 5 6
三、完成时间
本次作业需在学习《有余数的除法》后一周内完成，收作业时需注意学生的计算过程和答案准确性。
四、作业要求
1.作业需以整洁的笔迹完成，不得有涂改。
2.答案需用算式或文字清晰表示，方便后续批改。
3.学生如有不懂之处，可在作业本上标明，以便老师及时解答。
五、评分标准
1.算术题：每题2分，计算准确得满分；
2.选择题：每题1分，正确选项得满分；
3.作业整洁度：5分；
4.提出问题：老师根据问题难易程度酌情给分。
六、注意事项
1.作业完成后请家长签字确认；
2.完成作业的学生可以获得相应的加分奖励。
以上是本次作业设计的内容，希望能帮助学生更好地掌握有余数的除法知识，提高他们的数学计算能力。
祝大家学习进步！。
余数问题教案2(教师版)
课题：余数问题班级姓名还是有两个机会有个年轻人，届逢兵役年龄，抽签的结果，正好抽中下下签，最艰苦的兵种－－海军陆战队。
年轻人为此镇日忧心重重，几乎已到了茶不思、饭不想的地步。
年轻人深具智慧的祖父，见到自己的孙子这付模样，便寻思要好好开导他。
老祖父：“孩子啊，没什么好担心的。
当了海军陆战队，到部队中，还有两个机会，一个是内勤职务，另一个是外勤职务。
如果你分发到内勤单位，也就什么好担心的了！”年轻人问道：“那，若是被分发到外勤单位呢？”老祖父：“那还有两个机会，一个是留在本岛，另一个是分发外岛。
如果你分发在本岛，也不用担心呀！”年轻人又问：“那，若是分发到外岛呢？”老祖父：“那还是有两个机会，一个是后方，另一个是分发到最前线。
如果你留在外岛的后方单位，也是很轻松的！”年轻人再问：“那，若是分发到最前线呢？”老祖父：“那还是有两个机会，一个是站站卫兵，平安退伍；另一个是会遇上意外事故。
如果你能平安退伍，又有什么好怕的！”年轻人问：“那么，若是遇上意外事故呢？”老祖父：“那还是有两个机会，一个是受轻伤，可能送回本岛；另一个是受了重伤，可能不治。
如果你受了轻伤，送回本岛，也不用担心呀！”年轻人最恐惧的部分来了，他颤声问：“那……若是遇上后者呢？”老祖父大笑：“若是遇上那种情况，你人都死了，还有什么好担心的？倒是我要担心，那种白发人送黑发人的痛苦场面，可不是好玩的喔！”人生拥有的，是不断的抉择，端看您是用什么态度，去看待这些有赖您决定的无数机会。
能够综观每件事情、每个问题的正反两面，您将发现，内心最深沉的恐惧，也在所有状况明朗了解之后，将会自行化为乌有。
感悟：【运河通道1】a是自然数，除数b是自然数（a＞b），商也是自然数时，出现的余数是小于除数的自然数的除法，叫做带余除法。
并且余数小于除数。
当余数不为零时，商叫做不完全商。
【运河通道2】余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
593 余数问题(讲师版)
于 4，即两个余数的和 3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。 例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23+19=42 除以 5 的余数等
三.弃九法原理 在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算
术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算 结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：
例如：检验算式1234 1898 18922 678967 178902 889923 1234 除以 9 的余数为 1 1898 除以 9 的余数为 8 18922 除以 9 的余数为 4 678967 除以 9 的余数为 7 178902 除以 9 的余数为 0 这些余数的和除以 9 的余数为 2 而等式右边和除以 9 的余数为 3，那么上面这个算式一定是错的。 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这 个等式是正确的，那么左边几个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数一定与 等式右边和除以 9 的余数相同。 而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行 计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以 9 的余数就可以了，在算的 时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。 所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字 之和。 以后我们求一个整数被 9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之 和，再求这个和被 9 除的余数即可。 利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除 和乘方的结果对不对同样适用
5-6-1_余数问题.题库教师版.doc(可编辑修改word版)
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨一、带余除法的定义及性质一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是 a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当r = 0 时：我们称 a 可以被 b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当r ≠ 0 时：我们称 a 不可以被 b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有 a 本，这个 a 就可以理解为被除数，现在要求按照 b 本一捆打包，那么 b 就是除数的角色，经过打包后共打包了 c 捆，那么这个 c 就是商，最后还剩余 d 本，这个 d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。
例如：23，16 除以5 的余数分别是 3 和1，所以 23+16=39 除以5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。
例如：23，19 除以5 的余数分别是 3 和4，所以 23+19=42 除以5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数，即2.2.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以 c 所得的余数。
5-6 余数问题教学目标例如：23，16 除以5 的余数分别是 3 和1，所以23×16除以5 的余数等于3×1=3。
5-5-2 带余除法(二).教师版
【答案】10
【例 3】 一个两位数除以 13 的商是 6，除以 11 所得的余数是 6，求这个两位数． 【考点】带余除法的估算问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】因为一个两位数除以 13 的商是 6，所以这个两位数一定大于13 6 78 ，并且小于13 (6 1) 91；
是 31743 除以 823 可以看成余 469 也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得到的新 数比原来大 354 或 354+823n 也是满足题意的改动．有 n=1 时，354+823：1177，n=2 时，354+823×2=2000， 所以当千位增加 2，即改为 3 时，有修改后的五位数 33743 为 823 的倍数． 【答案】33743
77777 41 □ 0 ，……，所以 77777 是 41 的倍数，而1996 5 3991 ，所以 777 77 可以分成
1996个7
399 段 77777 和 1 个 7 组成，那么它除以 41 的余数为 7．
【答案】7
【例 8】 已知 a 200820082008 ，问： a 除以 13 所得的余数是多少？
【例 2】 有 48 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多 5 人．如果把书全部分给第一组，那么每人 4 本，有剩余；每人 5 本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人 3 本，有剩余；每人 4 本， 书不够．问：第二组有多少人?
【考点】带余除法的估算问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】小学数学夏令营 【解析】由 48 4 12 ， 48 5 9.6 知，一组是 10 或 11 人．同理可知 48 3 16 ， 48 4 12 知，二组是 13、
第5讲.有趣的余数问题.教师版
.在二年级的时候，我们就学习过一些周期问题的基本知识．但是由于本讲知识应用的广泛性，所以本讲又进行了拓展与延伸．本讲主要学习利用余数解答周期问题的方法， 知识点： 1．利用余数解决图形中的周期问题；2．利用余数解决生活中的周期问题； 3．利用余数解决年月日中的周期问题．周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现． 周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期．解答周期问题的关键是找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结尾就为周期里的最后一个； 闰 年：年份能被4整除；如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；一年有366天； 平 年：年份不能被4整除或能被4整除但不能被100整除；一年有365天． 一． 图形中的周期问题【分析】我们把开始的座次图当作第1幅图，第一次操作后的图当作第2幅图，……第十次操作的的图就是第11幅图，在这11幅图中，4幅图为一个周期，则11÷4=2……3，则知第11幅图（即第十次操作后的图）同第二次操作后的图．【基础班学案1】观察图中黑、白两色三角形的变化规律．请问：前200个图形中有多少个白色三角形？【分析】通过观察，发现（）为一个周期，则200÷3=66（个）……2（个），说明共有66个周期，还余下一个黑色三角形一个白色三角形，白色三角形共有：66×2+1=133（个）．例1经典精讲第五讲 有趣的余数问题【提高班学案1】如图所示，16幅图按规律排成一排．其中前三幅已经画出，请按规律画出第16幅图的样子．【分析】从前三幅图可知，每个对应位置上的小笑脸都是在按顺时针方向转动，且4组为一个周期，由16÷4=4（周），知第16幅对应的是第四幅图，即．【尖子班学案1】有同样大小的红、白、黑珠共90个，按先3个红的、2个白的、l个黑的排列着，如图：（1）黑珠共有几个？（2）第68个珠是什么颜色的？【分析】图形排列的顺序是，周期是3216÷=，一个周期内++=个，（1）那么90615有一个黑珠，所以黑珠一共有15个；（2）686112÷=，所以第68个是红色．例2【分析】由图知数数情况如下：大拇指、食指、中指、无名指、小指、无名指、中指、食指、大拇指、食指、……，可见每数8个数就重复对应一次手指的排序，则由200825÷=（次）知当数到200时正好数到食指．[巩固] 观察图中图形的规律，第200个图形应该是下面A、B、C、D四个图形中的哪一个？【分析】由颜色的规律知，周期数为3，由图的形状知：周期数为5，则由2003=662÷（个）知第200个图形的颜色是黑色．又由200540÷=组）知第200个图形的形状是☆．所以综合这两种情况知答案是A ．[巩固] 如图所示，表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“黎曼假设”4个汉字不断重复，第二行是“庞加莱猜想”5个汉字不断重复，第三行则是“哥德巴赫猜想”6个汉字不断重复．第200列从上向下依次是哪3个汉字？【分析】第200列从一到下的3个汉字，即是每行中第200个汉字的组成，由200÷4=50（个），知第一行第200个汉字是“设”．由200÷5=40（个），知第二行第200个汉字是“想”，由200÷6=33（个）……2（个），知第三行第200个汉字是“德”．则第200列从上到下依次是“设、想、德”．二．生活中的周期问题：【分析】观察知“红，黄，蓝，绿”四种颜色为一个周期，那么46÷4=11……2，则知第46名同学手里拿的彩旗同周期里的第2个相同，为黄色．【分析】经过对已知条件的分析，我们发现，三种树6棵一组，每组按同样的顺序重复出现．这样，我们只需计算出100棵树中包含了几个6棵，然后把余数对照果树的排列顺序便可确定第100棵树是什么树了． 因为：1006164÷=，说明经过16次重复后还余4棵树．这4棵树的排列顺序应是：苹果树，梨树，梨树，桃树．所以，第100棵种的是桃树．并且这100棵树中有： 苹果树：116117⨯+=（棵） 梨树：216234⨯+=（棵） 桃树：316149⨯+=（棵）[巩固] 如果时钟现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈之后是几点钟？例4例3【分析】分针转一圈表示1小时，转24圈是一天，那么周期是24，1990248222÷=圈，那么过了82天，还多余了22圈，在过22小时后是18222416+-=点．【基础班学案2】广场挂了一排彩灯，共1997盏．彩灯排列的规则是：从头起每八盏为一组顺序排列．每组的八盏灯依次为三盏红灯，二盏黄灯，三盏绿灯．那么，最后一盏灯的颜色是．【分析】彩灯的排列规则是八盏灯为一组，每组按同样的方式重复出现．由于1997÷8=249……5，说明经过249次重复后还余5盏灯．这5盏灯应是：红，红，红，黄，黄．因此，第1997盏灯，即最后一盏灯应是黄色的．【提高班学案2】某商店门口挂了一串彩色气球，它们按“3红2黄2蓝”的顺序排列，那么第36个气球是什么颜色．第55个气球是什么颜色？【分析】气球是按“3红2黄2蓝”的顺序排列，周期是3227÷=个，第++=个，那么36751 36个是红色气球，55776÷=个，第55个是蓝色气球．【尖子班学案2】“亮灯工程”后，全市一到晚上，五光十色，非常漂亮，商业大厦楼上的彩灯按“3红2绿2黄1紫”排列，那么第43盏灯是什么颜色？第100盏灯是什么颜色？【分析】彩灯按“3红2绿2黄1紫”一组排列，周期是32218÷=盏，所+++=盏，那么43853以第43盏是红色；1008124÷=盏，第100盏是绿色．【基本班学案3】公园里的花坛种菊花，园林工人按1棵白、5棵黄、2棵红排列．那么，第30棵种什么颜色的花？第72棵该种什么颜色的花？【分析】菊花按1棵白、5棵黄、2棵红的顺序排列，周期是1528÷=棵，++=棵，那么30836第30棵种黄色，7289÷=，第72棵种红色．【提高班学案3】节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面紧接着有3盏彩灯．那么第73盏灯是_____灯．【分析】从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯、不难看出周期是白灯、红灯、黄灯、绿灯，周期是4盏，那么734181÷=，第73盏是白灯．【尖子班学案3】为庆祝国庆节，学校插了很多彩旗．彩旗是按4面黄旗、3面红旗、2面绿旗、1面蓝旗的顺序排列的．第109面旗应是什么颜色？已插了几面黄旗、几面红旗、几面绿旗、几面蓝旗？【分析】彩旗按4面黄旗、3面红旗、2面绿旗、1面蓝旗的顺序排列，周期是432110+++=面，那么10910109÷=面，第109面是绿旗．一个周期内有4面黄旗，所以黄旗一共有⨯+=面，一个周期内有⨯+=面，一个周期内有3面红旗，所以红旗一共有103333104444绿旗2面，所以绿旗一共有102222⨯+=面，一个周期内有1面蓝旗，所以蓝旗有10面．三．报数游戏【分析】根据题意可知报出的数如下：1，7，9，3，1，7，9，3，……可见这些数是有规律的，且4个数为一个周期，周期里的数是1，7，9，3． 那么，100÷4=25，则知第100个同学报的是周期里的最后一个数3．四．星期中的周期问题【分析】（1）包括今天共有60161+=（天），且周期为7天，即（星期六，星期日，星期一，星期二，星期三，星期四，星期五），则61785÷=（天），所以再过60天是星期三． （2）从6月1日到8月1日共有：3031162++=（天），周期为7天，即：星期日，星期一，星期二，星期三，星期四、星期五、星期六．则：62786÷=（天），所以2008年8月1日是星期五．（3）因为2008年是闰年，所以从2008年2月8日到2009年2月8日共有3661367+=（天）周期是：星期五，星期六，星期日，星期一，星期二，星期三，星期四．则3677523÷=（天），所以答案是星期日．[巩固]三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶，甲第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期_______． 【分析】21天内，每人取奶7次，甲第8次取奶又是星期一，即每取7次奶为一个周期1007142÷=，所以甲第100次取奶是星期二．[巩固]阿奇和其他5个小朋友围成一圈，圆圈中央摆放着55个乒乓球，从阿奇开始，小朋友们沿逆时针方向依次拿球，每人每次拿3个，直到把乒乓球全部拿完为止（最后剩下的球不足3个就全拿）．阿 奇总共拿到了几个球？ 【分析】想知道阿奇共拿到了几个球，就必须知道阿奇取了几次，由题意知：55÷3=18（次）……1（个），（18+1）÷6=3（周）……1（次），所以阿奇共取了4次，而其中有1次只取了1个，则阿奇共取了：33110⨯+=（个）．【基本班学案4】华罗庚金杯”少年数学邀请赛每隔一年举行一次1988年是第二届．2000年是第几届？【分析】“每隔一年举行一次”的意思是每2年举行一次．1988年到2000年还有2000-1988=12年，因此还要举行1226÷=届．1988年是第二届，所以22年是2＋6=8届例6例5【提高班学案4】某月的最后一个星期五是这个月的25号，这个月的第一天是星期几？【分析】这个月的25号是周五，7321-=号也是星期五，l号即第一天是星期2．⨯=天，所以25214【尖子班学案4】某年的10月里有5个星期六，4个星期日．问：这年的10月1日是星期几？【分析】10月有31天，因为有5个星期六，只有4个星期日．所以10月31日是星期六，因为31473=⨯+，所以，3日也是星期六，l日是星期四．[巩固]今天是2008年3月16日星期日，阿奇研究日历时，发现再过1天是2008年3月17日星期一，再过2天则是2008年3月18日星期二……请问：（1）再过多少天才是2008年儿童节呢？（2）2008年的儿童节是星期几？【分析】（1）从2008年3月16日到2008年6月1日（包括6月1日）共有天数是：153031177+++=（天）．（2）从2008年3月16日到2008年6月1日（包括这两天）共有天数是：163031178+++=（天），且这78天中的前7天对应的星期是：（星期日、星期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六）．由787111÷=（天）知这年的儿童节是星期日．【超常挑战】紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如，8972⨯=，在9后面写2，9218⨯=，在2后面写8……得到一串数字：19892868…，问这串数字从1开始，往右数，第l999个数字是几？这1999个数字的和是多少？【分析】⑴根据题意，写出这列数的前面部分数字：19892868842868842……“286884”这6个数字重复出现，周期是6．⑵第1999个数字是：因为(19994)63323-÷=⋅⋅⋅，所以，第l999个数字是6．⑶这1999个数字的和是：+++++++++⨯+++271195216(1989)(286884)332(286)==++11995家庭作业1．找出下面图形的排列规律，根据规律算出第29个图形是什么？【分析】（1）周期是“∆∆”五个一周期，那么29554÷=，所以第29只是“”．（2）周期是“∆”四个一周期，那么29471÷=，所以第29个是““．2．图中的五角星处应填几？第四行的☆填______第五行的☆填_______，_______．【分析】第四行的☆填3927⨯=第五行的☆填32781⨯=⨯=，327813．有一组图形从左往右排列○○△☆☆○○△☆☆……那么第50个是什么图形？这50个中圆有多少个？【分析】图形排列的顺序是“○○△☆☆”，周期是5，那么50510÷=，第50个是“☆”，一个周期里有2个○，50个图形中有21020⨯=个．4. 有红、白和黑球共1993只，按红5只、白4只、黑3只、红5只……的顺序排列，如下图所示，最后一只球是什么颜色？【分析】周期是红球5只、白球4只、黑球3只，是54312÷=只，所以最++=只，1993121661后一只是红色．5.二（1）班有六位同学在进行报数游戏，他们围成一圈．小娟报“l”，小华报“2”，小丽报“3”，小捷报“4”，小强报“5”，小勇报“6”．每个人报的数总比前一个人多1．问“72”是谁报的？“190”是谁报的？【分析】报数是按照小娟，小华，小丽，小捷，小强，小勇的顺序，周期是6个人，那么72612÷=组，“72”是小勇报的，1906314÷=，所以190是小捷报的．6. 一月份有三十一天，如果某年的1月1日星期一，这年的2月22日是星期几？【分析】星期的周期是周一、周二、周三、周四、周五、周六、周天，l月l日到2月22日共312253+=天，53774÷=天，所以2月22日是星期四．。
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一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a ＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2。
知识精讲余数问题2.余数的乘法定理 a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除。
用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ，k 是整数，即m |(a －b )【例1】用某自然数a 去除1992，得到商是46，余数是r ，求a 和r ．【解析】 因为1992是a 的46倍还多r ,得到19924643......14÷=，得1992464314=⨯+，所以43a =，14r =．【例2】 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．【解析】 (法1)因为 甲=乙1132⨯+，所以 甲+乙=乙1132⨯++乙=乙12321088⨯+=；【解析】 则乙(108832)1288 =-÷=，甲1088=-乙1000=．【解析】 (法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的(111)+倍，所以得到乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=．经典例题【例3】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
【解析】 本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。
方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。
本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两 位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.【例4】有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968。
【例5】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【解析】 由48412÷=，4859.6÷=知，一组是10或11人．同理可知48316÷=，48412÷=知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．【例6】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【解析】 因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678⨯=，并且小于13(61)91⨯+=；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78583+=．【例7】有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556-=，594514-=，(56,14)14=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。
【例8】 20032与22003的和除以7的余数是________．【解析】 找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222⨯+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．【例9】求2461135604711⨯⨯÷的余数． 【解析】 因为246111223...8÷=，1351112...3÷=，604711549...8÷=，根据同余定理(三)， 2461135604711⨯⨯÷的余数等于83811⨯⨯÷的余数，而838192⨯⨯=， 1921117...5÷=，所以2461135604711⨯⨯÷的余数为5．【例10】 求19973的最后两位数．【解析】 即考虑19973除以100的余数．由于100425=⨯，由于3327=除以25余2，所以93除以25余8，103除以25余24，那么203除以25余1；又因为23除以4余1，则203除以4余1；即2031-能被4 和25整除，而4与25互质，所以2031-能被100整除，即203除以100余1，由于1997209917=⨯+，所以19973除以100的余数即等于173除以100的余数，而63729=除以100余29，53243=除以100余43，176253(3)3=⨯，所以173除以100的余数等于292943⨯⨯除以100的余数，而29294336163⨯⨯=除以100余63，所以19973除以100余63，即19973的最后两位数为63．【例11】2008222008+除以7的余数是多少？【解析】 328=除以7的余数为1，200836691=⨯+，所以200836691366922(2)2⨯==⨯＋，其除以7的余数为：669122⨯=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．【作业1】5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
【答案】79【作业2】明明在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少3而余数恰恰相同，这题中的除数是多少？【答案】18【作业3】两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．【解析】 因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为4154884179---÷+=（）（），所以，被除数为7948324⨯+=。
【作业4】1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【解析】 1013121001-=，100171113=⨯⨯，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91。
【作业5】求478296351⨯⨯除以17的余数．【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，(2711)179......1⨯⨯÷=．【作业6】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a ，2a +，5a +，则这个自然数是多少？【解析】 根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数（都为a ）． 既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是29023357-=的约数，又是23319538-=的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数是19．【作业7】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【解析】 由48412÷=，4859.6÷=知，一组是10或11人．同理可知48316÷=，48412÷=知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．【作业8】某个大于1的自然数分别除442，297，210，得到相同的余数，则该自然数为 。
【分析】首先要清楚一个事实：两个数被同一个数除余数相同，则这两个数相减（大减小）能被这个数整除。
知道了这个事实后我们就很容易做这个题了。
因为该自然数能整除442297145-=，也能整除442210232-=，同样能整除29721087-=。
所以可知这个自然数必定是145，232，87的公约数。
而这三个数大于1的公约数只有29。
所以可知这个自然数为29。
【作业9】两位自然数ab 与ba 除以7都余1，并且a b >，求ab ba ⨯．【解析】 ab ba -能被7整除，即(10)10)9a b b a a b +-+=⨯-（（）能被7整除．所以只能有7a b -=，那么ab 可能为92和81，验算可得当92ab =时，29 ba =满足题目要求，92292668ab ba ⨯=⨯=【作业10】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【解析】 所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该数应该为1186751-=和673334-=的公约数，所求答案为17．。