2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三(上)期末数学试卷(理科)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨六中高三(上)期末数学试卷(理科)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知复数321i z i=+，则(z = )A ．1i --B ．1i -C ．132i+ D ．13i +2．（5分）已知集合2{|20A x x x =-<，}x Z ∈，集合{1B =-，0，1，2}，则集合()Z A B I ð的子集个数为( ) A ．3B ．4C ．7D ．83．（5分）已知函数2()(2cos 1)sin 2xf x x =-，则函数()f x 的最小正周期和最大值分别为( )A ．π和1B ．π和12C ．2π和1D ．2π和124．（5分）已知向量(,2)a x =r，(2,1)b =-r ，若()a b b +⊥r r r ，则实数x 的值为( ) A ．12B ．32C ．52D ．725．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A ．24里B ．48里C ．96里D ．192里6．（5分）已知函数1()1x e f x x -=+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为( )A ．410x y -+=B ．410x y ++=C ．0x y -=D ．430x y -+=7．（5分）设函数3,0()21,0x log x x f x x ->⎧=⎨+⎩…，若f （a ）2=，则实数a 的值为( )A ．9B ．0或9C ．0D ．1-或98．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线C右支上一点，若122||||F F PF =，1230PF F ∠=︒，则双曲线C 的离心率为( )A 1BC 1D 9．（5分）某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建“12+”合作体，现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中名层干部去2所共建学校交流学习，若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部，则该市直属高中学校共有( )种选派方法． A ．160B ．80C ．40D ．2010．（5分）已知E ，F 分别为矩形ABCD 的边AD 与BC 的中点，M 为线段EF 的中点，把矩形ABFE 沿EF 折到11A B FE ，使得190A ED ∠=︒，若2AD AB =，则异面直线1A M 与1B D 所成角的余弦值为( )A B C D 11．（5分）已知圆22:1O x y +=，过直线:20l x y +-=上第一象限内的一动点M 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过A ，B 两点的直线与坐标轴分别交于P ，Q 两点，则OPQ ∆面积的最小值为( ) A ．1B ．12C ．14 D ．1812．（5分）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且[0x ∈，1]时，()f x x =，则函数()()cos g x f x x π=-在[2x ∈-，4]上的所有零点之和为( ) A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置． 13．（5分）在6(x+的展开式中，3x 项的系数是 ．（用数学作答） 14．（5分）水平放置一个底面半径为20cm ，高为100cm 的圆柱形水桶（不计水桶厚度），内装高度为50cm 的水，现将一个高为10cm 圆锥形铁器放入水桶中并完全没入水中（圆锥的底面半径小于20)cm ，圆柱形水桶的水面高度上升了2.5cm ，则圆锥形铁器的侧面积为 2cm ．15．（5分）已知a ，b 均为正实数，若a b ab +=，则4ba a+的最小值为 ． 16．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B两点，若2AF FB =u u u r u u u r ，且弦AB ，则抛物线C 的方程为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC ∆中，设边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，cos cos 2A aC b c=-+． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2bc =，ABC ∆的周长为37+，求a 的值．18．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -的底面是直角梯形，SA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，E 为AB 中点，且4AB =，2AD CD ==．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面SAC ；（Ⅱ）若SC 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角B SC E --的余弦值．19．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n n S a a +=g ． （Ⅰ）证明：当2n …时，112n n a a +--=； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设2212n a n n b a -=g ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．（12分）在平面直角坐标系中，已知动点M 与到定点(1,0)F 距离到定直线2x =的距离2． （Ⅰ）求动点M 轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若轨迹C 上存在点P ，使32OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求直线l 的方程．21．（12分）已知函数2()2()8f x x lnx a =-++，a R ∈． （Ⅰ）证明：当1a =时，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；（Ⅱ）若1x …时，()0f x …恒成立，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=．（Ⅰ）写出曲线1C 的极坐标方程，并求出曲线1C 与2C 公共弦所在直线的极坐标方程； （Ⅱ）若射线(0)2πθϕϕ=<<与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 点，且||2AB =，求tan ϕ的值． [选修4-5：不等式选讲] 23．设1()||||(0)f x x a x a a=-++>． （Ⅰ）证明：()2f x …；（Ⅱ）若f （2）3>，求a 的取值范围．2019-2020学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知复数321i z i=+，则(z = )A ．1i --B ．1i -C ．132i+ D ．13i +【解答】解：Q 复数322111i iz i i i-===--++，故选：A ．2．（5分）已知集合2{|20A x x x =-<，}x Z ∈，集合{1B =-，0，1，2}，则集合()Z A B I ð的子集个数为( ) A ．3B ．4C ．7D ．8【解答】解：Q 集合2{|20A x x x =-<，}{|02x Z x x ∈=<<，}{1}x Z ∈=， 集合{1B =-，0，1，2}，∴集合(){1Z A B =-I ð，0，2}， ∴集合()Z A B I ð的子集个数为：328=．故选：D ．3．（5分）已知函数2()(2cos 1)sin 2xf x x =-，则函数()f x 的最小正周期和最大值分别为( )A ．π和1B ．π和12C ．2π和1D ．2π和12【解答】解：Q 函数21()(2cos 1)sin cos sin sin 222x f x x x x x =-==， 故它的最小正周期为22ππ=；它的最大值为12， 故选：B ．4．（5分）已知向量(,2)a x =r，(2,1)b =-r ，若()a b b +⊥r r r ，则实数x 的值为( )A ．12B ．32C ．52D ．72【解答】解：Q 向量(,2)a x =r，(2,1)b =-r ，∴(2,3)a b x +=-rr，Q ()a b b +⊥rr r ，()2(2)30a b b x ∴+=--+=r r r g ， 解得实数72x =． 故选：D ．5．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A ．24里B ．48里C ．96里D ．192里【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]2378112a -=-， 解得1192a =，∴第此人二天走1192962⨯=步 故选：C ．6．（5分）已知函数1()1x e f x x -=+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为( )A ．410x y -+=B ．410x y ++=C ．0x y -=D ．430x y -+=【解答】解：由1()1x e f x x -=+，得11122(1)()(1)(1)x x x x e e xe f x x x ---+-'==++， 则f '（1）14=， 又f （1）12=， ∴函数()f x 在1x =处的切线方程为11(1)24y x -=-，即410x y -+=． 故选：A ．7．（5分）设函数3,0()21,0x log x x f x x ->⎧=⎨+⎩…，若f （a ）2=，则实数a 的值为( )A ．9B ．0或9C ．0D ．1-或9【解答】解：根据题意，函数3,0()21,0x log x x f x x ->⎧=⎨+⎩…，若f （a ）2=，当0a >时，f （a ）3log 2a ==，解可得9a =； 当0a …时，f （a ）212a -=+=，解可得0a =； 则0a =或9； 故选：B ．8．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线C右支上一点，若122||||F F PF =，1230PF F ∠=︒，则双曲线C 的离心率为( )A 1B C 1 D 【解答】解：在等腰三角形12PF F 中，122||||2F F PF c ==，1230PF F ∠=︒，可得1||PF ==，由双曲线的定义可得12||||22PF PF c a -=-=，即有c e a ===． 故选：B ．9．（5分）某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建“12+”合作体，现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中名层干部去2所共建学校交流学习，若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部，则该市直属高中学校共有( )种选派方法． A ．160B ．80C ．40D ．20【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，先把6名教师和2名中名层干部分成2组，每组3名教师和1名中层干部，有3126222022C C A ⨯⨯=种分组方法； ②，将分好的2组分派到两个学校，有222A =种安排方法； 则有20240⨯=种选派方法；故选：C ．10．（5分）已知E ，F 分别为矩形ABCD 的边AD 与BC 的中点，M 为线段EF 的中点，把矩形ABFE 沿EF 折到11A B FE ，使得190A ED ∠=︒，若2AD AB =，则异面直线1A M 与1B D 所成角的余弦值为( ) A ．15B．15 C ．15 D ．5 【解答】解：如图所示，把矩形ABFE 沿EF 折到11A B FE ，使得190A ED ∠=︒， 建立空间直角坐标系，由2AD AB =，设2CD =．可得1(1A ，0，2)，(1D ，2，0)，1(1B -，0，2)， ∴1(1MA =u u u u r ，0，2)，1(2DB =-u u u u r，2-，2)， ∴112042MA DB =-++=u u u u r u u u u rg ． 1||5MA =u u u u r，1||23DB =u u u u r ．1cos MA ∴<u u u u r ，1111115||||523MA DB DB MA DB >===⨯u u u u r u u u u ru u u u r g u u u u r u u u u r g ．则异面直线1A M 与1B D 所成角的余弦值为15． 故选：A ．11．（5分）已知圆22:1O x y +=，过直线:20l x y +-=上第一象限内的一动点M 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过A ，B 两点的直线与坐标轴分别交于P ，Q 两点，则OPQ ∆面积的最小值为( ) A ．1B ．12C ．14 D ．18【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 由OA AM ⊥，可得切线MA 方程：1111()x y y x x y -=--， 又因为22111x y +=，所以切线MA 方程：111x x y y +=， 同理可得切线MB 方程：221x x y y +=， 而MA ，MB 交于点0(M x ，0)y ， 即10101x x y y +=，20201x x y y +=， 可得AB 的直线方程为：001xx yy +=， 即有01(P x ，0)，01(0,)Q y ，000011111||||22||2OPQ S OP OQ x y x y ∆===，0(02x <<，002)y << 2000011112(2)22OPQ S x x x x ∆==--+，0(02x <<，002)y << 所以20(2)1max x x -+=， OPQ S ∆最小值为12， 故选：B ．12．（5分）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且[0x ∈，1]时，()f x x =，则函数()()cos g x f x x π=-在[2x ∈-，4]上的所有零点之和为( ) A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：函数()()cos g x f x x π=-的零点，即方程()cos 0f x x π-=的根， 也就是两函数()y f x =与cos y x π=图象交点的横坐标． 由()f x 是定义在R 上的偶函数， 且满足(2)()f x f x +=， 可得函数周期为2．又当[0x ∈，1]时，()f x x =，作出函数()y f x =与cos y x π=的图象如图： 由图可知，函数()()cos F x f x x π=-在区间[2-，4]上的所有零点之和为2266-++=． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置． 13．（5分）在6(x x+的展开式中，3x 项的系数是 60 ．（用数学作答） 【解答】解：Q 6()x x的通项是366266(2r r rrr rC xC xx--=，3632r∴-=， 2r ∴=，3x ∴项的系数是226260C ⨯=故答案为：6014．（5分）水平放置一个底面半径为20cm ，高为100cm 的圆柱形水桶（不计水桶厚度），内装高度为50cm 的水，现将一个高为10cm 圆锥形铁器放入水桶中并完全没入水中（圆锥的底面半径小于20)cm ，圆柱形水桶的水面高度上升了2.5cm ，则圆锥形铁器的侧面积为 2003π 2cm ．【解答】解：圆锥的体积为2211020 2.53V r ππ=⋅⋅=⋅⋅圆锥，化简得2300r =，解得103r =； 所以圆锥形铁器的侧面积为 ())222103103102003S rl cm ππ==⋅+圆锥侧．故答案为：15．（5分）已知a ，b 均为正实数，若a b ab +=，则4ba a+的最小值为 5 ． 【解答】解：a ，b 均为正实数，且a b ab +=， 所以01ab a =>-， 故1a >，则44441111511ab a a a a a a a a a -+=+=+=-++=--…， 当且仅当411a a -=-即3a =，32b =时取等号，此时取得最小值5． 故答案为：516．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若2AF FB =u u u r u u u r ，且弦AB的中点纵坐标为2，则抛物线C 的方程为 24y x = ．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意可知图象如图：抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若2AF FB =u u u r u u u r，AE FB ∴=，1cos :tan 3AE BAE BAE AB ∠==∠=，直线:)2pAB y x =-，中点12(2x x M +，12)2y y +，122y y +=，)2p y x =-，代入22y px =，消去x，可得20y y p --=，12y y +=，可得12=，所以2p =， 所以，抛物线方程为：24y x =． 故答案为：24y x =．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC ∆中，设边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，cos cos 2A aC b c=-+． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2bc =，ABC ∆的周长为37，求a 的值． 【解答】解：（Ⅰ）因为cos cos 2A aC b c=-+， 由正弦定理得：cos sin cos 2sin sin A AC B C=-+， 可得sin cos cos sin 2cos sin 0A C A C A B ++=， 可得sin()2cos sin 0A C A B ++=， 可得sin 2cos sin 0B A B +=， 由于(0,)B π∈，可得sin 0B ≠， 可得1cos 2A =-，由于(0,)A π∈， 可得23A π=． （Ⅱ）因为23A π=，2bc =， 所以由余弦定理得：222222222cos 2()2a b c bc A b c bc b c b c =+-=++=++=+-， 又因为周长37a b c ++= 所以22(37)2a a =+-， 所以7a ．18．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -的底面是直角梯形，SA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，E 为AB 中点，且4AB =，2AD CD ==．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面SAC ；（Ⅱ）若SC 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角B SC E --的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为SA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以SA BC ⊥，在直角梯形ABCD 中，得出AC BC ⊥， 又AC SA A =I ，所以BC ⊥平面SAC ．（Ⅱ）解：因为SA ⊥平面ABCD ，所以SCA ∠是SC 与底面ABCD 所成角，45SCA ∠=︒， 所以22SA AC ==以A 为坐标原点，AB ，AD ，AS 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则(0S ，0，2)，(2C ，2，0)，(2E ，0，0)，(4B ，0，0)，(2ES =-u u u r ，0，22)，(0EC =u u u r ，2，0)，(4SB =u u r ，0，22)-，(2SC =u u u r，2，22)-，设平面SCE 的法向量(n x =r，y ，)z ，则222020n ES x z n EC y ⎧=-+=⎪⎨==⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取2x =，则(2n =r 0，1)， 设面SBC 的法向量(m x =r，y ，)z ，则422022220m SB x z m SC x y z ⎧=-=⎪⎨=+-=⎪⎩u u r r g u u u r r g ，取1x =，得2)m =r ， 设二面角11C A D C --的平面角为θ，则||226cos ||||32m n m n θ===r rg r r g g ，∴二面角11C A D C --的余弦值为6．19．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n n S a a +=g ． （Ⅰ）证明：当2n …时，112n n a a +--=； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设2212n a n n b a -=g ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解答】解：（Ⅰ）证明：2n …时，112n n n S a a --=g ，又12n n n S a a +=g ． 作差得11122n n n n n n S S a a a a -+--=-g g ， 即112n n n n n a a a a a +-=-g g ， 又0n a >，所以有112n n a a +--=；（Ⅱ）因为2n …时，112n n a a +--=，所以{}n a 的奇数项是以11a =为首项，2为公差的等差数列；偶数数项是以22a =为首项，2为公差的等差数列； 所以2112(1)21n a n n -=+-=-；222(1)2n a n n =+-=， 所以n a n =；（Ⅲ）2(21)2n n b n =-，前n 项和14316(21)4n n T n =++⋯+-g gg ， 14116364(21)4n n T n +=++⋯+-g g g ，两式相减可得1342(16644)(21)4n n n T n +-=+++⋯+--g1116(14)42(21)414n n n -+-=+---g g ，化简可得12065499n n n T +-=+g ． 20．（12分）在平面直角坐标系中，已知动点M 与到定点(1,0)F 距离到定直线2x =的距离． （Ⅰ）求动点M 轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若轨迹C 上存在点P ，使32OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求直线l 的方程．【解答】解（Ⅰ）设(,)M x y 因为，M 到定点(1,0)F 的距离与到定直线2x =，所以有|||2|2MF x =-，2|x -，整理得：2222x y +=， 所以动点M 的轨迹方程为：2212x y +=；（Ⅱ）由题意直线l 斜率存在，设:(1)l y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与椭圆的方程整理得：2222(12)4220k x k x k +-+-=，2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+， 32OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，所以121233,22p p x x x y y y =+=+，将P 点坐标代入椭圆有22121233()2()222x x y y +++=， 又221122x y +=，222222x y +=，所以2222112212129()()3(2)24x y x y x x y y +++++=12123202x x y y ++=，22212123(21)2()202k x x k x x k ++-++=， 代入得216k =，直线方程:1)l y x =-． 21．（12分）已知函数2()2()8f x x lnx a =-++，a R ∈． （Ⅰ）证明：当1a =时，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；（Ⅱ）若1x …时，()0f x …恒成立，求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）证明：2()()x lnx a f x x--'=，当1a =时，2(1)()x lnx f x x --'=，()1h x x lnx =--，1()x h x x-'=， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>， 所以()h x 在区间(1,)+∞增，在区间为(0,1)上减，所以()h x h …（1）0=，即()0f x '…，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增； （Ⅱ）设2()()x lnx a f x x --'=，()u x x lnx a =--，1()0x u x x-'=…，所以()u x 在(1,)+∞上单调递增，()1u x a -…，（1）当10a -…，即1a …时，()f x 在[1，)+∞上是单调递增的，()f x f …（1）0a ⇒厔?所以1a ； （2）当10a -<，即1a >时，u （1）0<，x →+∞，()u x →+∞， 故存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使000()0u x x lnx a =--=， 所以当01x x <<时，()0u x <，当0x x >时，()0u x >， 所以()f x 在区间0(x ，)+∞增，在区间为0(1,)x 上减，所以0()()0f x f x 厖，2000()2()80f x x lnx a =-++…， 又00x lnx a =+，得200028014x x x -+⇒<厔， 又易得00a x lnx =-是a 随0x 而增大的，所以1422a ln <-…，综上：422a ln -． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=．（Ⅰ）写出曲线1C 的极坐标方程，并求出曲线1C 与2C 公共弦所在直线的极坐标方程； （Ⅱ）若射线(0)2πθϕϕ=<<与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 点，且||2AB =，求tan ϕ的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，ρθ=，2cos ρθ=，得tan θ=． 所在直线的极坐标方程()6R πθρ=∈，（或6πθ=和7)6πθ=．（Ⅱ）把(0)θφφπ=<<，代入ρθ=，2cos ρθ=，得||2cos OA φ=；||OB φ=，又||2AB =，则2cos 2φφ-=，1sin(),(,)62663ππππφφ-=-∈-．所以3πφ=，tan φ=[选修4-5：不等式选讲] 23．设1()||||(0)f x x a x a a=-++>． （Ⅰ）证明：()2f x …；（Ⅱ）若f （2）3>，求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）证明：111()||||||||2f x x a x x a x a a a a=-++---=+厖； （Ⅱ）f （2）11|2||2|3|2|1a a a a=-++>⇔->-， 121a a ∴->-或121a a-<-+，0a ∴<<或a >。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知{}210A x x =-≥,{}xB y y e==，则A B =I（ ）A ．()0+∞，B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．(][),11,-∞-+∞U【答案】C【解析】求出集合A ，B ，直接进行交集运算即可. 【详解】{}{}21011A x x x x x =-≥=≤-≥或，{}{}0x B y y e y y ===>， {}1A B x x ⋂=≥故选：C 【点睛】本题考查集合的交集运算，指数函数的值域，属于基础题. 2．化简cos 480o 的值是（ ）A ．12B ．12-C D ． 【答案】B【解析】利用终边相同的角同名函数相同，可转化为求120︒的余弦值即可. 【详解】1cos 480cos(360120)cos1202︒=︒+︒=︒=-.故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数中终边相同的角三角函数值相同及特殊角的三角函数值，属于容易题.3．已知()sin 2f x x x =，则()f x 的周期为（ ） A ．π B ．2πC ．1D ．2【答案】A【解析】利用两角和的正弦公式化简函数，2ω=代入周期计算公式2T πω=即可求得周期. 【详解】()sin 222sin(2)3f x x x x π==+，周期为：22T ππ== 故选：A 【点睛】本题考查两角和的正弦公式，三角函数的最小正周期，属于基础题. 4．已知扇形的周长为6cm ，圆心角为14，则扇形面积为（ ） A ．22cm B ．289cmC ．298cm D ．21cm【答案】B【解析】周长为6cm 则26R l +=，代入扇形弧长公式解得83R =，代入扇形面积公式212S R α=即可得解. 【详解】由题意知26R l +=，14l R =代入方程解得83R =， 所以11648==2499S ⨯⨯ 故选：B 【点睛】本题考查扇形的弧长、面积公式，属于基础题. 5．方程2log 2x x +=的解所在的区间为（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】B【解析】令2()log 2f x x x =+-，由(1)(2)0f f <可知方程2log 2x x +=的解所在的区间为(1,2). 【详解】令2()log 2f x x x =+-，21(1)log 1210f =+-=-<，22(2)log 2210f ==+->，因为(1)(2)0f f <，所以()f x 在(1,2)上有零点，因此方程2log 2x x +=的解所在的区间为(1,2). 故选：B 【点睛】本题考查求函数零点范围，属于基础题. 6．已知3sin()2cos()sin 2παπαα-+-=，则22sin sin cos ααα-=（ ） A ．2110B ．32CD ．2【答案】A【解析】由三角函数诱导公式化简等式可得tan 3α=-，利用221sin cos αα=+将所求等式化简为含tan α的分式，代入tan 3α=-即可得解. 【详解】化简得3cos sin αα-=，则tan 3α=-222222sin sin cos 2tan tan sin cos tan 1αααααααα--=++=2110 故选：A 【点睛】本题考查三角函数诱导公式二、六，同角三角函数的关系，属于基础题.7．比较133log 2a =,151()3b -=,152()3c -=的大小（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】D【解析】由对数函数的单调性判断出133log 02a =<，再根据幂函数15y x -=在(0,)+∞上单调递减判断出115512()(0)33-->>，即可确定大小关系.【详解】因为133log 02a =<，115512()(0)33-->>，所以a c b <<故选：D 【点睛】本题考查利用对数函数及幂函数的单调性比较数的大小，属于基础题.8．为了得到sin(2)6y x π=-的图象，可以将sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移1112π个单位 B ．向左平移12π个单位C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位 【答案】A【解析】根据左加右减原则，只需将函数sin 2y x =向左平移1112π个单位可得到sin(2)6y x π=-.【详解】1111sin 2()sin(2)sin[(2)2]sin(2)12666y x x x x πππππ=+=+=-+=-， 即sin 2y x =向左平移1112π个单位可得到sin(2)6y x π=-.故选：A 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，三角函数诱导公式，属于基础题. 9．已知函数()2tan(2)f x x φ=-+，(0)2πφ<<，其函数图象的一个对称中心是(,0)12π，则该函数的一个单调递减区间是（ ）A ．5(,)66ππ-B ．ππ(,)63-C ．(,)36ππ-D ．5(,)1212ππ-【答案】D【解析】由正切函数的对称中心得3=πφ，得到()2tan(2)3f x x π=-+，令222322k k x πππππ-+<+<+可解得函数的单调递减区间. 【详解】 因为(,0)12π是函数的对称中心，所以=()1222k k Z πφπ+∈⨯，解得()26k k Z ππφ=-∈ 因为02πφ<<，所以3=πφ，()2tan(2)3f x x π=-+，令2)23(2k x k k Z πππππ-+<+<+∈，解得)5++(122122k Z k k x ππππ-∈<<， 当0k =时，函数的一个单调递减区间是5(,)1212ππ- 故选：D 【点睛】本题考查正切函数的图像与性质，属于基础题. 10．已知函数2()sin()2cos 2264f x x x πππ=+--，则()f x 在3[0,]2上的最大值与最小值之和为（ ） A ．92-B ．72-C ．0D ．112-【答案】D【解析】首先利用两角和与差的正弦公式将函数化简为()sin()326f x x ππ=--，当3[0,]2x ∈时，7[,]26612x ππππ-∈-，由正弦型函数的单调性即可求出最值.【详解】21cos12()sin()2cos 2=+cos 22264222221cos 3sin()3222226x f x x x x x x x x ππππππππππ+=+---⨯-=--=--当3[0,]2x ∈时，7[,]26612x ππππ-∈-，max 7()(0)sin()362f x f π==--=-min 4()()sin()3232f x f π==-=-所以最大值与最小值之和为：112-. 故选：D 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，正弦型函数的单调性与最值，属于基础题. 11．已知sin y x ω=的图象在[0,1]上存在10个最高点，则ω的范围（ ）A ．3741[,)22ππB ．[20,22)ππC ．3741[,]22ππD ．(20,22)ππ【答案】A【解析】根据题意列出周期应满足的条件，解得444137T <≤，代入周期计算公式即可解得ω的范围. 【详解】由题可知1(9)141(10)14T T ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得444137T <≤， 则4244137πω<≤，374122ππω≤< 故选：A 【点睛】本题考查正弦函数图像的性质与周期，属于中档题.12．定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且当[0,2]x ∈时，2()f x x =，则方程()f x m =(14)m <<在[2019,2019]-上的所有根的和为（ ） A ．1004- B ．3028 C ．2019 D ．2020【答案】D【解析】首先由题所给条件计算函数的周期性与对称性，作出函数图像，()f x m =(14)m <<在[2019,2019]-上的所有根等价于函数()f x 与y m =图像的交点，从两函数的交点找到根之间的关系，从而求得所有根的和. 【详解】函数()f x 为奇函数，所以(4)()()f x f x f x -=-=-，则()f x 的对称轴为：2x =-， 由(8)((4)4)(4)()f x f x f x f x -=--=--=知函数周期为8，作出函数图像如下：()f x m =(14)m <<在[2019,2019]-上的所有根等价于函数()f x 与y m =图像的交点，交点横坐标按如图所示顺序排列， 因为(2019)(3)1f f ==，(2019)(3)1f f -=-=-，所以两图像在y 轴左侧有504个交点，在y 轴右侧有506个交点，3456100910101222222x x x x x x x x ++++=====L 123456*********x x x x x x x x +=+=+==+=L 123456100910102020x x x x x x x x ++++++++=L故选：D 【点睛】本题考查函数的图像与性质，根据函数的解析式推出周期性与对称性，考查函数的交点与方程的根的关系，属于中档题.二、填空题13．tan22°+tan23°+tan22°tan23°=_______ 【答案】1【解析】解：因为tan22°+tan23°+tan22°tan23°=tan(22°+23°)(1- tan22°tan23°)+ tan22°tan23°=tan45°=114．已知log (1)a y ax =-在(1,2)上单调递增，则a 的范围是_____【答案】1 02a<≤【解析】令()1g x ax=-，利用复合函数的单调性分论讨论函数()g x的单调性，列出关于a的不等式组，求解即可.【详解】令()1g x ax=-当1a>时，由题意知()1g x ax=-在(1,2)上单调递增且10y ax=->对任意的(1,2)x∈恒成立，则1(1)10aag a>⎧⎪->⎨⎪=-≥⎩，无解；当01a<<时，由题意知()1g x ax=-在(1,2)上单调递减且10y ax=->对任意的(1,2)x∈恒成立，则01(2)120aag a<<⎧⎪-<⎨⎪=-≥⎩，解得12a<≤.故答案为：12a<≤【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，同增异减，求解时注意对数函数的定义域，属于基础题.15．函数sin()y A x bωφ=++，其中0A>,0>ω,||2πφ<的图象如图所示，求y的解析式____【答案】14sin()223y xπ=++【解析】首先根据函数的最高点与最低点求出A，b，然后由图像求出函数周期从而计算出12ω=，再由函数过点4(,2)3π求出3πφ=.【详解】6(2)6(2)4,222A b --+-====， 42()2233T πππ=--=，24T ππω==，解得12ω=，则14sin()22y x φ=++，因为函数过点4(,2)3π， 所以14sin()023πφ⨯+=，14()23k k Z πφπ⨯+=∈，解得2()3k k Z πφπ=-+∈因为||2πφ<，所以3πφ=， 14sin()223y x π=++.故答案为：14sin()223y x π=++【点睛】本题考查由图像确定正弦型函数的解析式，第一步通过图像的最值确定A ，b 的值，第二步通过周期确定ω的值，第三步通过最值点或者非平衡位置的点以及16．已知函数11,[0,2](){1(2),(2,)2x x f x f x x --∈=-∈+∞，若0x >时，()kf x x≤恒成立，则实数k 的取值范围是 . 【答案】3[,)2+∞【解析】试题分析：当01x ≤≤时，()111(1)f x x x x =--=--=， 当12x <≤时，()111(1)2f x x x x =--=--=-，又11,[0,2](){1(2),(2,)2x x f x f x x --∈=-∈+∞，如图所示：当[2(1),2]x n n ∈-时，()f x 在21x n =-处取得最大值，且max ()(21)f x f n =-， 令(21)n a f n =-，则数列{}n a 是以1为首项，以12为公比的等比数列， ∴11111()22n n n a --=⨯=，∴11(21)2n f n --=， 若0x >时，()k f x x ≤恒成立，只需*n N ∀∈，当[2(1),2]x n n ∈-上，均有()kf x x≤恒成立，结合图形知：(21)21k f n n -≤-11221n k n -⇒≤-，∴1212n n k --≥，∴max 121()2n n k --≥，令1212n n n b --=，11212132222n n n n nn n nb b +-+---=-=， 当1n =时，10n n b b +->，∴1n n b b +>，∴12b b <， 当2n ≥时，10n n b b +-<，1n n b b +<，∴234b b b >>>L ， ∴2b 最大，∴max 2212213()22n b b -⨯-===，∴32k ≥. 【考点】1.函数图像；2.恒成立问题；3.数列的最值.三、解答题 17．求下列各式的值（1）22cos 101sin 35cos35-o o o； （2）cos 7cos8cos15cos 23cos8cos15--o o oo o o【答案】（1）2；（2）1-. 【解析】(1)首先利用公式21cos 2cos 2αα+=降幂，然后将20o 写为9070-o o 将cos 20o 化为sin 70o 即可得解； (2)将7o 记为158-o o ，23o 记为158+o o ，再用公式()(),C C αβαβ-+展开，然后化简求值.【详解】(1)原式=1cos2012sin702 1sin70sin702+-==o ooo(2)原式=cos(158)cos8cos15cos8cos15sin8sin15cos8cos15cos(158)cos8cos15cos8cos15sin8sin15cos8cos15 --+-=+---o o o o o o o o o oo o o o o o o o o osin15sin81sin15sin8==--o oo o故答案为：2；-1【点睛】本题考查三角函数诱导公式，二倍角公式，两角和与差的余弦公式，属于基础题.18．已知函数()2sin(2)13f x xπ=++（1）写出函数()f x单调递减区间和其图象的对称轴方程；（2）用五点法作图，填表并作出()f x在5[,]66ππ-的图象.23xπ+xy【答案】（1）递减区间7,,1212k k k Zππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭，对称轴方程：()122kx k Zππ=+∈；（2）见解析【解析】(1)由正弦型函数的单调性与对称性即可求得()f x的单调区间与对称轴；(2)根据五点作图法规则补充表格，然后在所给坐标中描出所取五点，以光滑曲线连接即可. 【详解】 (1) 令3222()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得7()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令2()32x k k Z πππ+=+∈，解得1()122x k k Z ππ=+∈， 所以函数的递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，对称轴方程：()122k x k Z ππ=+∈； (2)23x π+2π π32π 2πx 6π-12π3π 712π 56π y 131-11【点睛】本题考查正弦型函数的单调性与对称性，五点法作正(余)弦型函数的图像，属于基础题. 19．已知22()log 2axf x x +=-为奇函数，且0a > （1）求a 的值；（2）判断()f x 在()2,+∞上的单调性，并用单调性定义证明． 【答案】（1）1a =；（2）递减，见解析【解析】(1)函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=- ，得到2222log log 22ax axx x -+=----，从而解得1a =；(2) 在区间()2,+∞上任取两个数12,x x ，且12x x <，判断21()()f x f x -的符号，得到21()()f x f x <，由此证明函数()f x 的单调性. 【详解】(1) 由题意知()()f x f x -=-，则2222log log 22ax axx x -+=---- 2222ax x x ax--=--+，解得1a =；(2)函数 22()log 2axf x x +=-在()2,+∞上单调递减，证明如下： 在区间()2,+∞上任取两个数12,x x ，且12x x <，212121222212122(2)(2)()()log log log 22(2)(2)x x x x f x f x x x x x +++--=-=---+ 因为122x x <<，所以212121(2)(2)(2)(2)4()0x x x x x x +---+=--< 即21210(2)(2)(2)(2)x x x x <+-<-+，2121(2)(2)01(2)(2)x x x x +-<<-+，所以2121221(2)(2)()()log 0(2)(2)x x f x f x x x +--=<-+即21()()f x f x <，函数22()log 2axf x x +=-在()2,+∞上单调递减. 【点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数，利用定义证明函数的单调性，属于基础题. 20．2()2sin sin sin sin cos 2626222x x x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（11()42x π->,求x 的范围；（2）若()f α，312cos()413πβ-=-，且344ππα<<，3744ππβ<<，求sin()αβ-.【答案】（1）5{|22,}66x k x k k Z ππππ+<<+∈；（2）16sin()65αβ-=. 【解析】(1)利用公式1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=--+ 化简函数解析式可得())24f x x π=+ ，将函数解析式代入不等式得1sin 2x > ，即可求得x 的取值范围；(2)由()f α求得3sin()45πα+=，根据,αβ的范围求出24ππαπ<+<，304πβπ<-<，从而求得4cos()45πα+=-，5sin()413πα+=，再利用两角差的余弦公式即可得解. 【详解】111cos 1()2(cos )sin 222211cos sin )224x f x x xx x x π-=-⨯-++=+=+1()42x π->12n 2x >，1sin 2x >， 5(2,2)()66x k k k Z ππππ∈++∈(2) 3()))445f ππααα=+=+= 因为344ππα<<，所以24ππαπ<+<，4cos()45πα+=-，因为3744ππβ<<，所以304πβπ<-<，5sin()413πα+=, 3sin()sin[()()]443316sin()cos()cos()sin()444465ππαβπαβππππαβαβ-+=+--=+--+-=-,16sin()sin()65αβαβπ-=--+=【点睛】本题考查三角函数和差化积公式，两角和与差的正弦公式，同角三角函数的平方关系，计算时注意角的取值范围，属于中档题.21．设函数()()21()sin cos cos 25,222x x f x a x a R ⎛⎫=+--∈ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 在R 上的最小值； （2）若方程()0f x =在506π⎛⎫⎪⎝⎭，上有四个不相等的实根，求a 的范围. 【答案】（1）见解析；（2）3(,22--【解析】(1)将函数化简为2()sin sin 2f x x a x a =+++，令sin [1,1]t x =∈-，则2()2f t t at a =+++ ，求出对称轴，对区间[1,1]-与对称轴的位置关系进行分类讨论求出最小值；(2) 要满足方程()0f x =在506π⎛⎫⎪⎝⎭，上有四个不相等的实根，需满足2()2f t t at a =+++在1(,1)2上有两个不等实根，列出相应的不等式组，求解即可.【详解】(1)2215()(1sin )(12sin )sin sin 222f x a x x x a x a =+--+=+++，令sin [1,1]t x =∈-，则2()2f t t at a =+++，对称轴为：2ax =- 当12a≤-即2a ≤-时，min ()(1)23f x f a ==+， 当12a-≥-即2a ≥时，min ()(1)3f x f =-=，当22a -<<时，2min()()224a a f x f a =-=-++，所以求函数()f x 在R 上的最小值223,2()2,2243,2a a ag a a a a +≤-⎧⎪⎪=-++-<<⎨⎪≥⎪⎩； (2) 要满足方程()0f x =在506π⎛⎫⎪⎝⎭，上有四个不相等的实根，需满足2()2f t t at a =+++在1(,1)2上有两个不等零点，2139()0224(1)2304(2)01122f a f a a a a ⎧=+>⎪⎪=+>⎪⎨∆=-+>⎪⎪<-<⎪⎩，解得3(,22a ∈--.【点睛】本题考查动轴定区间分类讨论二次函数最小值，正弦函数的单调性，二次函数的几何性质，属于中档题.22．设函数()()222()log 2log a a f x x ak x a=---（0a >且1,0a k ≠>）（1）若函数()f x 存在零点，求实数k 的最小值；（2）若函数()f x 有两个零点分别是sin θ，cos θ且对于任意的()0,1x ∈时1212421x x x m a+--+<恒成立，求实数m 的取值集合.【答案】（1（2）{76m m ⎫≤⎬⎭【解析】(1)由题意列出不等式组，令222()(2)g x x ak x a =--+，求出对称轴，若()g x 在区间(,)2ak +∞上有解，则2()03ak g ≤解不等式即可求得k 的范围；(2)由韦达定理计算得01a <<<，利用指数函数单调性解不等式，化简得232122x xx m ⋅+<+，令 231()t g t t t+=+，求出函数在区间(1,2)上的值域从而求得m 的取值范围. 【详解】(1)由题意知()()222log 2log a a x ak x a-=-有解，则2222220(1)0(2)(2)(3)x ak x a x ak x a ->⎧⎪->⎨⎪-=-⎩有解， ①③成立时，②显然成立，因此 令222222()(2)34(1)g x x ak x a x ax k a =--+=-++，对称轴为：23akx =当2ak x >时，()g x 在区间2(,)23ak ak 上单调递减，在区间2(,)3ak+∞上单调递增， 因此若()g x 在区间(,)2ak+∞上有解， 则22222242()40333ak akg k a ak k a a =-⋅++≤，解得23k ≥， 又0k >，则k ≥k(2)由题意知sin ,cos θθ是方程222(2)x ak x a -=-的两根，则4sin 3ak cos θθ+=，22(1)sin 3k cos a θθ+⋅=，联立解得22269310a k a -=≥，解得014a <<<，所以xy a =在定义域内单调递减，由1212421x x xm a +--+<可得212221x xx m --<+对任意的()0,1x ∈恒成立，化简得232122x x xm ⋅+<+，令2(1,2)xt =∈，231()t g t t t +=+， 22321()0()t t g t t t ---'=<+对(1,2)t ∈成立，所以()g t 在区间(1,2)上单调递减， 7()(2)6g t g >=，所以76m ≤【点睛】本题考查函数与方程，二次函数的图像与性质，考查韦达定理，求解指数型不等式，导数证明不等式，属于较难题.。
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期第三次调研数学(理)试题(解析版)
【点睛】
本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.
11．已知点 是椭圆 椭上非顶点的动点， 分别是椭圆的左、右焦点， 为坐标原点，若 为 的平分线上一点，且 ，则 的取值范围（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】延长 交 于点 ,由题可得 ,又有 ,可得 为 的中点,即 ,根据 的范围求 范围即可
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先求出 有两个不同零点时 的范围,再求出 有两个不同零点时 的范围,再画出 与 的图象,可得一交点为 ,进而由图象得到 的范围,使之满足 再与之前所求得交集即可
【详解】
由题, ,当 时, 恒成立,即 在 上单调递增,无法满足题意,故舍去；当 时,令 ,可得 ,则 在 上单调递增, 上单调递减,且 时, ,故由题需满足 ,即 ；
【详解】
（1）由题, ( 为参数), ,
即曲线 的普通方程为 ；
又 , , ,
即曲线 的直角坐标方程
（2）由（1）可得曲线 为 ,则其极坐标方程为
射线 与曲线 分别相交于异于极点的点 ,
,
,
,
【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标方程的转化,考查参数方程与普通方程的转化,考查极坐标系下的弦长的最值问题,考查运算能力
,
由（1）,则 ,
,
,
【点睛】
本题考查等比数列的证明,考查累加法求通项公式,考查错位相减法求前 项和,考查运算能力
20．已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上.
（1）求椭圆 的方程;
（2）设 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，求 的内切圆的半径的最大值.
黑龙江省哈三中2019-2020高三上学期期末考试数学(文)试题
2019-2020学年第一学期高三期末考试数学试题考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题， 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2,3,4A =，{}2,4,6,8B =，{}(,),,log x C x y x A y B y N *=∈∈∈且，则C中元素个数是A ． 2B ． 3C ． 4D ． 52．若变量,x y 满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则24z x y =+-的最大值为A ． 5B ． 1C ．1-D ． 4- 3．下列说法正确的个数是①“在ABC ∆中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题是真命题；②“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线320x my ++=垂直”的充要条件； ③“三个数,,a b c 成等比数列”是“b =④命题“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“0x R ∃∈，320010x x -+>”．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 44．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ． 1 B ．13C ． 12D ． 325．首项为1，且公比为q (1≠q )的等比数列的 第11项等于这个数列的前n 项之积，则n 的值为A ．4B ． 5C ． 6D ． 7 6．下列函数中，既是偶函数，又在区间()21,内是增函数的为 A ．x cos y 2= B ． x log y 2= C ．32-=x y D ．2xx e e y --=7．方程x ln ex=-的两个根为21x ,x ，则A ．021<x xB ．121=x xC ．121>x xD ．1021<<x x 8．已知)x sin()x (f ϕ+ω= ⎪⎭⎫ ⎝⎛π<ϕ>ω20||,，满足)2()(π+-=x f x f ，21)0(=f ，则)x cos()x (g ϕ+ω=2在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值与最小值之和为A ．23-B ．32-C ．0D ．1-9．已知椭圆方程为22182+=x y ，过椭圆上一点(2,1)P 作切线交y 轴于N ，过点P 的另一条直线交y 轴于M ，若∆PMN 是以MN 为底边的等腰三角形，则直线PM 的方程为 A ．223-=x y B ．12y x = C ．52+-=x y D ．3132-=x y10．直线13=+by ax 与圆222=+y x 相交于B ,A 两点（R b ,a ∈），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点)b ,a (P 与点()10,之间距离的最大值是 A ．417 B ．4 C ．2 D ． 37 11．已知双曲线左右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其右支上一点，1260∠=F PF ，且12∆=F PF S 1PF ，21214F F ，2PF 成等差数列，则该双曲线的离心率为A ．3B ． 32C ． 2D ． 212．数列{}n a 定义如下：11=a ，且当2≥n 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-为奇数为偶数n ,a n ,a a n n n 1211 ，若1119=n a ，则正整数=nA ．112B ．114C ．116D ．118第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13．已知向量1=a ,2=b ，且a 与b 的夹角为60，若1λ+<a b ，则实数λ的取值范围是 ．14．抛物线28y x =的顶点为O ，()1,0A ，过焦点且倾斜角为4π的直线l 与抛物线交于 N ,M 两点，则AMN ∆的面积是 ．15．已知四棱锥ABCD P -的所有侧棱长都相等，底面ABCD 为正方形，若四棱锥的高为3，体积为6，则这个四棱锥的外接球的体积为 ．16．设G 是ABC ∆的重心，且=++GC C sin GB B sin GA A sin 73370，则角B 的大小为 ．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本大题12分）如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75，距离为在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30，距离为A 处向正北方向航行到D 处，再看灯塔B 在北偏东120．（I ）求,A D 之间距离； （II ）求,C D 之间距离．18．（本大题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,n S n n⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线10x y -+=上，其中*n N ∈． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设2n n n b a a +=⋅，求证：16311112121<+++≤n b b b ．19．（本大题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，AD ∥BC ,,222,AD DC AD BC CD ⊥===侧面APD为等腰直角三角形，90APD ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，若λ=，()10,∈λ．（I ）求证： PA DE ⊥；（II ）是否存在实数λ，使直线AP ∥平面EBD ，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由；（III ）求点B 到平面APC 的距离．20．（本大题12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，直线43y x =+与以原点为圆心，短半轴长为半径的圆相切. （I ）求椭圆的方程；（II ）过左焦点1F 作不与x 轴垂直的直线l ，与椭圆交于,A B 两点，点(,0)M m 满足()()=+⋅-0，问1MA MB MF -是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．21．（本大题12分）已知函数()()()1ln )2(1212--++-=x a x x x x f . （Ⅰ）设3=x 是函数()x f 的一个极值点，求函数()x f 在1=x 处的切线方程； （Ⅱ）若对任意[)+∞∈,x 1，恒有()0>x f 成立，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22．（本大题10分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D 是BC 上一点，以BD 为直径的圆交AB 于点F ，连CF 交半圆于点E ，延长BE 交AC 于点G ， （I ）求证：BC BD BG BE ⋅=⋅； （II ）求证：A G E F 、、、四点共圆．23．（本大题10分）倾斜角为α的直线l 过点(8,2)P ，直线l 和曲线C :22(17sin )32ρθ+=交于不同的两点12M M 、.（I ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程,并写出直线l 的参数方程； （II ）求12PM PM 的取值范围．24．（本大题10分）已知函数()21,()1f x x g x x a =+=+-． （I ）当1a =时，解不等式()()f x g x ≥；（II ）若存在x R ∈，使得()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．哈三中2012—2013学年度上学期 高三学年期末考试数学试卷答案（文科）一.选择题 CBCBBB DABCAD 二、填空题13．021<λ<-14． 15．332π 16．3π三、解答题 17．（本大题12分）（I ）24=AD ； （II ）38=CD ． 18．（本大题12分）（I ）n a n 2=； （II ）略． 19．（本大题12分）（I ）证明：略； （II ）存在， 31=λ； （III ）66．20．（本大题12分）（I ）1121622=+y x ； （II ）4．22．（本大题10分）（I ）证明：略； （II ）证明：略．23．（本大题10分）（I ）143222=+y x ；8cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数） （II ）（649128,）24．（本大题10分） （I ）(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-⋃-∞-,,311； （II ）21≥a ．。
2020届 黑龙江省哈尔滨市 第三中学高三综合题(七)数学(理)试题(解析版)
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三综合题（七）数学（理）试题一、单选题1．已知全集{}1,3,5,7,9,11U =，{}3,5,9M =，{}7,9N =，则集合{}1,11=（ ） A ．M N ⋃ B ．M N ⋂C ．()U M N U ðD ．()U M N I ð【答案】C【解析】由集合运算的定义判断． 【详解】由题意{3,5,7,9}M N =U ，∴(){1,11}U M N =U ð． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的运算，掌握集合运算的定义是解题基础．2．设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件【答案】D【解析】结合纯虚数的概念，可得0,0a b =≠，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项. 【详解】若复数z a bi =+为纯虚数，则0,0a b =≠，所以0ab =，若0ab =，不妨设1,0a b ==，此时复数1z a bi =+=，不是纯虚数，所以“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的充分不必要条件. 故选：D 【点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.3．一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为（ ）A ．12B ．36C ．16D ．48【答案】A【解析】由三视图知原几何体是一个四棱锥，由此可求得体积． 【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，底面是矩形，高为3， ∴其体积为1343123V =⨯⨯⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原出原几何体．4．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点将线段12F F 三等分，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．22y x =± B ．2y x =±C ．22y x =±D ．y x =±【答案】A【解析】由已知得3c a =，结合222c a b =+可得ba，得渐近线方程． 【详解】∵左、右顶点将线段12F F 三等分，∴232c a =⨯，即3c a =， ∴22229a c a b ==+，22ba=2y x =±． 故选：A ． 【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题关键是得出,a b 的关系． 5．如图，若输入n 的值为4，则输出m 的值为（ ）A ．-3B ．13C ．2D ．12-【答案】C【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件可得结论． 【详解】程序运行时，变量值变化如下：1,2i m ==，开始循环，3m =-，满足4i <，2i =； 12m =-，满足4i <，3i =；13m =，满足4i <，4i =；2m =，不满足4i <，输出2m =．故选：C ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，得出结论、 6．函数()ln 25f x x x =+-的零点个数为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断出函数()f x 零点个数. 【详解】由于函数()f x 在()0,∞+上是增函数，且()()13,240f f e e =-=->，()()10f f e ⋅<，故函数在()1,e 上有唯一零点，也即在()0,∞+上有唯一零点.故选:B 【点睛】本小题主要考查函数单调性的判断，考查零点存在性定理的运用，属于基础题. 7．在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4=AD ，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为 A ．5- B ．4-C ．4D ．1【答案】D 【解析】【详解】分别以AD ，AB 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系，则A(0,0),D(4,0),B(0,4),C(2,4),则(2,3)P ,(2,3),(2,1),(2)(2)(3)11PA PB PA PB =--=-∴⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r.8．若62x x ⎛- ⎝⎭的展开式中常数项为10π，则直线0x =，x a =，x 轴与曲线cos y x =围成的封闭图形的面积为（ ） A．22-B．2C1D ．1【答案】A【解析】由二项式定理求出a ，再由微积分基本定理求出面积． 【详解】62x x ⎛- ⎝⎭的展开式的通项为663166((r r r r r rr T C x C x --+==，由630r -=，得2r =．∴常数项为226(1510C a π==，23a π=， 由于cos y x =与x 轴有一个交点为(,0)2π，∴2322223cos cos sin sin (sin 0)sin sin 2223222S xdx xdx x x πππππππππ=+=+=-+-=-⎰⎰． 故选：A ． 【点睛】本题考查二项式定理，考查微积分基本定理，在用微积分基本定理求面积时，要注意函数()f x 的图象是在x 轴上方还是在x 轴下方． 9．函数()sin()f x A x ωϕ＝＋（其中0A >，2πϕ<的图象如图所示，为了得到()sin g x x ω＝的图象，可以将()f x 的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度【答案】A【解析】试题分析：由题意，,所以，令，则，即向右平移可以得到.【考点】正弦型函数解析式 函数图像平移变换 点评：在求解的图像时，核心是理解各变量对图像的影响，另外，函数平移口诀“左加右减，上加下减”是快速准确解题的关键.10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 为左、右焦点，1A ，2A ，1B ，2B 分别是其左、右、上、下顶点，直线12B F 交直线22B A 于P 点，若12B PA ∠为直角，则此椭圆的离心率为（ ） A ．212B ．512C ．22D ．32【答案】B【解析】由12B PA ∠是直角，得斜率乘积为－1，由此可得,,a b c 关系，从而得离心率．【详解】由题意122(0,),(0,),(,0),(,0)B b B b F c A a -， ∵12B PA ∠为直角，∴1221FB A B k k =-，即1b bc a-⋅=-，即222b ac a c ==-，∴2()10c c aa +-=，210e e +-=，∴12e -=（12-舍去）． 故选：B ． 【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是得出,,a b c 的等式，本题中由直线垂直得斜率乘积为－1易得．11．已知PC 为球O 的直径，A ，B 是球面上两点，且2AB =，4APC BPC π∠=∠=，若球O 的体积为323π，则棱锥A PBC -的体积为（ ）A ．B C D 【答案】B【解析】由球体积求出球半径为2，从而可得APC ∆和BPC ∆都是等腰直角三角形，从而,AO PC BO PC ⊥⊥，PC ⊥平面AOB ，这样A PBC -的体积易求． 【详解】 由343233R ππ=，得2R =，如图，由PC 为球O 的直径，∴2OP OC OA OB AB =====，2PAC PBC π∠=∠=，4APC BPC ACP BCP π∠=∠=∠=∠=，,AO PC BO PC ⊥⊥，∴PC ⊥平面AOB ，AOB S ∆212sin 23π=⨯=，∴1()3A PBC P AOB C AOB AOB V V V S PO OC ---∆=+=+1433==． 故选：B ．【点睛】本题考查球的体积和棱锥的体积，解题关键证得PC ⊥平面AOB ，用两个小棱锥体积相加得所求体积．12．已知函数()323sin f x x x x π=--，则12402440252013201320132013f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L （ ） A ．4025 B ．-4025C ．8050D ．-8050【答案】D【解析】应用倒序相加法求和． 【详解】∵3232(2)()(2)3(2)sin (2)3sin f x f x x x x x x x ππ-+=-----+--232(8126)3(44)sin x x x x x x π=-+---++323sin x x x π+--4=-， 记1240244025()()()()2013201320132013S f f f f =+++L ， 则4025402421()()()()2013201320132013S f f f f =++++L ， ∴244025S =-⨯，8050S =-． 故选：D. 【点睛】本题考查函数的对称性，考查学生的分析问题与解决问题的能力．观察求值式，首尾自变量和为2，因此考虑计算(2)()f x f x -+，从而得解．二、填空题13．已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是__________． 【答案】92【解析】分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成14()()2a b a b++，展开后，利用基本不等式求得y 的最小值. 详解：因为2a b +=，所以12a b+=，所以14145259()()222222a b b a y a b a b a b +=+=+=++≥+=（当且仅当2b a =时等号成立），则14y a b =+的最小值是92，总上所述，答案为92. 点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算. 14．已知(),x y 满足：()00,0x y m m x y ⎧+≤>⎨≥≥⎩，若2z x y =+的最大值为2，则m =______.【答案】1【解析】作出可行域（示意图），作直线:20l x y +=，平移该直线可得最优解． 【详解】作出可行域，如图OAB ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，l 向上平移时，z 增大，易知当直线l 过点(,0)A m 时，z x y =+取得最大值2m ，所以22m =，1m =． 故答案为：1．【点睛】本题考查简单的线性规划，作出可行域是解题关键．15．某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如表， 则大约有_________%的把握认为主修统计专业与性别有关系．非统计专业统计专业男 15 10 女 520参考公式：0．0250．0100．0050．0015．024 6．635 7．879 10．828【答案】【解析】试题分析：由列联表，可得：，所以大约有99．5%的把握认为主修统计专业与性别有关系；故填．【考点】独立性检验的应用．【方法点睛】本题考查独立性检验思想的应用，属于基础题；独立性检验的一般步骤是：第一步，根据样本数据制作或完善列联表；第二步，根据公式，计算的值；第三步，利用临界值表，比较与临界值的大小关系，作出统计判断．16．ABC ∆中，60A ∠=︒，点D 在边AC 上，3DB =，且()0sin sin BA BC BD BA A BC C λλ⎛⎫ ⎪=+> ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则AC AB +的最大值为______. 【答案】27【解析】由sin sin BA A BC C =u u u r u u u r，结合向量的加法运算法则，由向量共线定理可得D点就是AC 边中点，这样在ABD ∆中应用正弦定用角理表示出,AB AD ，利用三角函数性质可求得+AB AC 的最大值． 【详解】如图，作BE AC ⊥于E ，取AC 中点F 连接BF ，()()sin sin BA BC BA BC BD BE BE BA A BC Cλλ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r 2()BA BC AF BE BE λλ=+=u u u r u u u r u u u r ，∴BD u u u r 与BF u u u r共线，从而D 与F 重合，即D 是AC 中点．ABD ∆中，603A π==，记ABD α∠=，则203πα<<，sin sin()3ADB πα∠=+， 由正弦定理得sin sin AB AD ADB ABD =∠∠sin BD A =，即3sin sin()sin33ABADπαα==+， ∴2sin()3AB πα=+，2sin AD α=，22sin()4sin 3AB AC AB AD παα+=+=++2(sin coscos sin )4sin 5sin 333ππααααα=++=+， 7)αθ=+，其中θ为锐角，cos 27θ=，3sin 7θ=∴2παθ=-时，+AB AC 取得最大值27故答案为：27 【点睛】本题考查向量共线定理，考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和正弦函数的性质，掌握三角函数辅助角公式是解题关键．三、解答题17．已知数列{}n a 满足：*22()n n S a n N =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令(1)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2nn a =；（2）1(2)24n n T n +=-+【解析】（1）利用项和公式求数列{}n a 的通项公式.(2)利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】（1）当1n =时，1122S a =-，解得12a =，由22n n S a =-，可得1122n n S a ++=-，上述两式相减可得1122n n n a a a ++=-， 所以12n na a +=，120a =≠，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nn a =．（2）由（1）可知(1)22n nn n b n a n =-=⋅-，所以123123(1222322)(2222)n nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅-++++L L ，令1231222322n M n =⨯+⨯+⨯++⋅L ①， 则234121222322n M n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ②， ①－②得123112(12)222222(22)2212n n n n n M n n n ++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--L ，所以(22)22n M n =-⋅+，所以12(12)(22)22(2)2412n nn n T n n +-=-⋅+-=-+-．【点睛】（1）本题主要考查利用项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若数列{}·n n b c ，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，则采用错位相减法.18．小建大学毕业后要出国攻读硕士学位，他分别向三所不同的大学提出了申请.根据统计历年数据，在与之同等水平和经历的学生中，申请A 大，B 大，C 大成功的频率分别为12，23，34.若假设各大学申请成功与否相互独立，且以此频率为概率计算. （Ⅰ）求小建至少申请成功一所大学的概率；（Ⅱ）设小建申请成功的学校的个数为X ，试求X 的分布列和期望. 【答案】（Ⅰ）2324；（Ⅱ）分布列见解析，2312EX =【解析】（Ⅰ）先求其对立事件即三所学校都不成功的概率，然后由对立事件概率性质可得；（Ⅱ）X的取值为0,1,2,3，分别计算概率得分布列，由期望公式计算期望即可．【详解】（Ⅰ）小建申请A大，B大，C大都不成功的概率为1231 11123424⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则小建至少申请成功一所大学的概率23 24.（Ⅱ）()124P X==，1111211131(1)2342342344P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，12111312311(2)23423423424P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()123132344P X==⨯⨯=，X的分布列如下：2312EX=.【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查随机变量的概率分布列和期望，掌握独立事件的概率公式是解题关键．19．如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且1==PA AB，E为PB中点.（Ⅰ）求证：AE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若2AD =，求二面角D EC B --的平面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）234【解析】（Ⅰ）由PA ⊥面ABCD ，得PA BC ⊥，再结合矩形可证得BC ⊥面PAB ，从而得BC AE ⊥，再由等腰三角形性质得线线垂直，从而得线面垂直；（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，由空间向量法求出二面角，注意二面角判断是钝角还是锐角． 【详解】（Ⅰ）∵1==PA AB ，E 为中点，∴AE PB ⊥， ∵ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，∴PA BC ⊥且BC AB ⊥，PA AB A =I ，∴BC ⊥面PAB ，AE ⊂平面PAB ，∴BC AE ⊥，BC PB B =I ，∴AE ⊥面PBC .（Ⅱ）如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系.()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,1P ，11,0,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面DEC 的法向量(),,n x y z =r ，则1120220n DE x y z n DC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩u u u v v u u u v v ，令2z =，得10,,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，设平面BEC 的法向量()',','m x y z =u r ，则11''0222'0m BE x z m BC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩u u u v v u u u v v ，令1x =，得()1,0,1m =u r，则234cos ,17n m <>=r u r，∵二面角D EC B --的平面角为钝角， ∴二面角D EC B --的平面角的余弦值为23417-.【点睛】本题考查证明线面垂直，考查求二面角问题．证明线面垂直，需要两个线线垂直，这里线线垂直一是可以从平面几何角度证明，另外就是从线面垂直的性质定理考虑．而用向量法求二面角（或线面角，异面直线所成的角）一般都是用空间向量法求解．关键是建立空间直角坐标系．20．已知抛物线2:2C y px =(0)p >，过焦点F 作动直线交C 于,A B 两点，过,A B 分别作圆22:()12p D x y -+=的两条切线，切点分别为,P Q ，若AB 垂直于x 轴时，114sin sin PAF QBF+=∠∠.（1）求抛物线方程；（2）若点H 也在曲线C 上，O 为坐标原点，且OA OB tOH +=，8HA HB -<，求实数t 的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）AB 垂直于x 轴时，|AF |＝|BF |＝p ．如图所示，由切线的性质可得PF ⊥AP ．在Rt △APF 中，sin ∠PAF 1p =，同理可得sin ∠QBF 1p=．即可解出p ．（Ⅱ）设直线AB 的方程为x ﹣1＝my ，A 2114y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B 2224y y ⎛⎫⎪⎝⎭，．直线方程与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式由|HA HB -u u u r u u u r|＜8，8BA u u u r ＜，可得8，m 2＜1．由OA OB +=u u u r u u u r t OH u u u r ，t ≠0．利用向量坐标运算可得22121214y y OH y y t ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭u u u r ，，把点H 的坐标代入抛物线方程即可得出． 【详解】解：（Ⅰ）AB 垂直于x 轴时，|AF |＝|BF |＝p ． 如图所示，由切线的性质可得PF ⊥AP ． 在Rt △APF 中，sin ∠PAF 1p=， 同理可得sin ∠QBF 1p=． ∵11sin PAF sin QBF+=∠∠4，∴2p ＝4，解得p ＝2． ∴抛物线方程为y 2＝4x ；（Ⅱ）设直线AB 的方程为x ﹣1＝my ，A 2114y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B 2224y y ⎛⎫⎪⎝⎭，． 联立214x myy x-=⎧⎨=⎩，化为y 2﹣4my ﹣4＝0， ∴y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4．∵|HA HB -u u u r u u u r|＜8，∴8BA u u u r ＜，=8，化为1+m 2＜2，即m 2＜1．∵222121212()2y y y y y y +=+-=16m 2+8．OA OB +=u u u r u u u r t OH u u u r，t ≠0．∴222121214244y y m m OH y y t t t ⎛⎫⎛⎫++=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，，．∵点H 也在曲线C 上，∴()22244216m m t t+=． 化为t 22221m m =+，t ≠0． ∵0≤m 2＜1． ∴t ∈203，⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴t 的取值范围是：203，⎛⎫ ⎪⎝⎭．【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用. 【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线位置关系的综合应用，其中把直线的方程代入圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系，借助韦达定理和判别式，运算、化简是解答此类问题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力及转化与化归思想的应用，同时助于向量的运算与化简，试题有一定的难度，属于难题. 21．已知函数()()2xf x exax b =++在点()()0,0f 处的切线方程为640x y ++=.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若方程()()f x kx k R =∈有三个实根，求实数k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）()()224xf xx ex =--，增区间：(,6-∞-，)6,+∞；减区间：(6,6-；（Ⅱ）()2222,5,0e e e ⎛⎫---⎪⎝⎭U 【解析】（Ⅰ）求出导函数()f x '，然后由(0)6f '=-，(0)4f =-可求得,a b ，由导数确定单调区间；（Ⅱ）对()224xe x x kx --=，由0x =不是方程的根，可变形为224xx x k e x--=⋅，令()42xe x g x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，利用导数研究()g x 的单调性，求出极值后可得结论． 【详解】 （Ⅰ）()()22'xexx ax a x b f =++++，由切线方程可得：()()'062044f a b a f b b ⎧=+=-=-⎧⎪⇒⎨⎨==-=-⎪⎩⎩， ∴()()224xf xx ex =--，()f x 增区间：(),6-∞-，()6,+∞；减区间：()6,6-.（Ⅱ）()224xe x x kx --=，∵0x =不是方程的根，∴224xx x k e x--=⋅，令()42x e x g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()()()212'2xx x x x e x g -+-=，∴()g x 在(),2-∞-递减，()2,0-递增，()0,1递增，()2,+∞递增.且()0g x =的根为15x =±.()222g e-=-，()15g e =-，()222g e =-，()g x 的大致图象如图，∴k 的取值范围为()2222,5,0e e e ⎛⎫---⎪⎝⎭U .【点睛】本题考查导数的几何意义，用导数求单调区间，考查用导数研究方程根的分布，解题时利用分离参数法把方程根据的分布转化为直线与函数图象交点个数问题．从而再由导数研究新函数的性质．特别是单调性、极值，由数形结合思想得出结论． 22．极坐标与参数方程已知曲线1C：6x cos y sin θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），2C：2x t cos y t sin αα⎧=+⋅⎪⎨⎪=⋅⎩（t 为参数）． （1）将1C 、2C 的方程化为普通方程；（2）若2C 与1C 交于M 、N ，与x 轴交于P ，求PM PN ⋅的最小值及相应α的值．【答案】（1）x 2+12y 2=1,02x sin ycos αα⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭（2）124，2k k Z παπ=+∈， 【解析】（1）利用sin 2θ+cos 2θ=1，即可将曲线1C 化为普通方程；消去参数t ，即可得出2C 的普通方程.（2）C 2与x 轴交于P 02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，把C 2的参数方程代入曲线1C 化为普通方程，整理等关于t 的一元二次方程，利用直线参数方程的几何意义，得|PM|•|PN|=﹣t 1t 2，进而求出最小值. 【详解】解：（1）由曲线C 1：x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），利用sin 2θ+cos 2θ=22x +=1，化为x 2+12y 2=1．由C 2：2x t cos y t sin αα⎧=+⋅⎪⎨⎪=⋅⎩（t 为参数），消去参数t可得：0x sin ycos αα⎛-= ⎝⎭． （2）C 2与x 轴交于P 02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，把C 2：2x t cos y t sin αα⎧=+⋅⎪⎨⎪=⋅⎩（t 为参数）． 代入曲线C 1可得：（2+22sin 2α）t 2+22tcos α﹣1=0． ∴|PM|•|PN|=﹣t 1t 2=21222sin α+≥124，∴|PM|•|PN|的最小值124，此时2k k Z παπ=+∈，．【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，直线参数方程的几何意义的应用，考查了推理能力和计算能力.23．设函数()212f x x x =-++． （1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）若不等式()2f x m <-的解集是非空的集合，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）4(,0][,)3-∞⋃+∞；（2）(,1)(5,)-∞-+∞U 【解析】【详解】在解答含有绝对值不等式问题时，要注意分段讨论来取绝对值符号的及利用绝对值的几何意义来求含有多个绝对值的最值问题．（Ⅰ）()3,(2){4,(21)3,(1)x x f x x x x x -≤-=-+-<≤>，令44x -+=或34x =，得0x =，43x =，所以，不等式()4f x ≥的解集是4{|0}3x x x ≤≥或． （Ⅱ）()f x 在(,1]-∞上递减，[1,)+∞递增，所以，，由于不等式()2f x m <-的解集是非空的集合，所以23m ->，解之，1m <-或5m >，即实数m 的取值范围是(,1)(5,)-∞-⋃+∞．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三数学上学期第三次调研试题理(含解析)
黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三数学上学期第三次调研试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.{}{}{}21,2,3,4,5,6,2,3,30U A B x N x x ===∈-< , 则()UA B =（ ）A. {}1,3,4,5,6B. {}1,4,5,6C. {}23,4,6，D. {}4,5,6【答案】A 【解析】 【分析】先将B 用列举法表示,得{}1,2B =,再由交集、补集定义计算即可 【详解】由题,解230x x -<得03x <<,则{}1,2B = 所以{}2A B ⋂=,则{}()1,3,4,5,6UA B ⋂=,故选：A【点睛】本题考查描述法与列举法的转换,考查集合的交集、补集的运算,属于基础题2.已知复数2z ii =+，则其共轭复数z 的虚部为（ ） A.25B. 25- C. 25iD. 25i -【答案】B 【解析】 【分析】利用分母实数化处理可得1255z i =+,则1255z i =-,即可得到虚部 【详解】由题,()()()22+112222555i i i i z i i i i ⋅-====+++-,则1255z i =- 故选：B【点睛】本题考查共轭复数,考查复数的虚部的定义,属于基础题3.若方程 221351x y a a +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则a 的取值范围是（ ）A. 5(,2)3B. (2,)+∞C. 5(,)3+∞D.5(,2)(2,)3+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得1350a a ->->,求解即可【详解】由题,因为221351x y a a +=--表示焦点在y 轴上的椭圆,所以1350a a ->->,即523a << 故选：A【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查解不等式 4.已知等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，满足39a =，且6328S S =，则13519a a a a ++++=（ ）A. 10312-B. 10322-C. 10918-D. 109116-【答案】C 【解析】 【分析】 由39a =,6328S S =即可求得113a q =⎧⎨=⎩,进而利用等比数列前n 项和公式计算即可,注意此时公比为2q【详解】由题,当1q =时,139a a ==,则613162283S a S a ==≠,舍去； 当1q ≠时,可得()()23161663331911128111a a q a q S q qS q a q q ⎧=⋅=⎪⋅-⎪⎪⎨--===⎪--⎪⎪-⎩,解得113a q =⎧⎨=⎩,则()()10210101241813519111121119911198a q a a a a a a q a q a q q ⎡⎤-⨯--⎢⎥⎣⎦++++=+⋅+⋅++⋅===-- 故选：C【点睛】本题考查等比数列的通项公式,考查等比数列的前n 项和公式,考查分类讨论思想,考查运算能力5.若圆222:()()C x a y a a -++=被直线:20+-=l x y 分成的两段弧之比是1:3，则满足条件的圆C （ ） A. 有1个 B. 有2个 C. 有3个 D. 有4个【答案】B 【解析】 【分析】由题,可得90ACB ∠=︒,,求解即可得到a 的解得个数,即为满足条件的圆C 的个数【详解】由题,设直线:20+-=l x y 与圆222:()()C x a y a a -++=的交点为A ,B , 因为将圆分成的两段弧之比是1:3,则90ACB ∠=︒,设圆心C 到直线的距离为d , 因为圆心为(),a a -,半径为a ,则d ===,即2=a ,故2a =± 故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线距离公式的应用,考查运算能力 6.已知tan(2019)2πθ-+=-sin()4πθθ+=（ ） B. 2 C.65D.25【答案】D 【解析】 【分析】先整理2sin()sin sin cos 4πθθθθθ+=+,由诱导公式可得tan 2θ=-,进而求解sin θ,cos θ的值,代入即可得到结果【详解】由题2sin()sin sin cos 4πθθθθθθθθ⎫+=+=+⎪⎪⎝⎭, 因为tan(2019)tan 2πθθ-+==-,所以22sin cos 1sin tan 2cos θθθθθ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩,即sin 5cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或sin 5cos 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则24sin5θ=,2sin cos 5θθ=-,所以原式422555⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 故选：D【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查和角公式的应用,考查三角函数值,考查运算能力 7.已知()sin f x x x =+则下列正确的是（ ） A. (sin1)(cos1)f f < B. (sin 2)(cos 2)f f < C. (sin 3)(cos3)f f < D. (sin 4)(cos 4)f f <【答案】D 【解析】 【分析】由题,可得()f x 在R 上单调递增,令sin cos 04t x x x π⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭,可得()52244k x k k Z ππππ+<<+∈,分别判断1,2,3,4的范围,从而判定选项 【详解】由题,()1cos 0f x x '=+≥,则()f x 在R 上单调递增,令sin cos 04t x x x π⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭,解得()52244k x k k Z ππππ+<<+∈,因为143ππ<<,则sin1cos1>,即()()sin1cos1f f >,故A 错误；因为2223ππ<<,则sin 2cos2>,即()()sin 2cos2f f >,故B 错误； 因为23π<<,则sin3cos3>,即()()sin3cos3f f >,故C 错误； 因为54443ππ<<,则sin 4cos4<,即()()sin 4cos4f f <,故D 正确； 故选：D【点睛】本题考查利用导数判断函数单调性,考查三角函数值比较大小8.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，则对角线1BD 与平面BDE 所成的角的正弦值为（ ） A.6 B.33C.23D.13【答案】C 【解析】 【分析】将正方体1111ABCD A B C D -放入空间直角坐标系中,分别求得1BD 与平面BDE 的法向量n ,则1BD 与n 夹角余弦值的绝对值即为对角线1BD 与平面BDE 所成的角的正弦值【详解】如图,将正方体1111ABCD A B C D -放入空间直角坐标系中,设边长为2,可得D 为()0,0,0,1D 为()0,0,2,B 为()2,2,0,E 为()0,2,1,则()12,2,2BD =--,()2,2,0DB =,()2,0,1BE =-,设平面BDE 的法向量(),,n x y z =,则00n DB n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即22020x y x z +=⎧⎨-+=⎩,令1x =,则()1,1,2n =-,所以111cos,1n BDn BDn BD⋅====⋅,则对角线1BD与平面BDE所成的角的正弦值为3,故选：C【点睛】本题考查向量法求线面夹角,考查空间向量的应用,考查运算能力9.直线x-+=经过椭圆22221(0)x ya bab+=>>的左焦点F，交椭圆于,A B两点，交y轴与C点，若2FC CA=，则该椭圆的离心率是（）A. 4-1D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可得F为(),C为()0,1,利用2FC CA=可得A为322⎛⎫⎪⎪⎝⎭,将点A坐标代入椭圆方程中,可得262a+=,进而求出离心率即可【详解】由题,可得F 为(),C为()0,1,设A为()00,x y,则()3,1FC=,()00,1CA x y=-,因为2FC CA=,则()121xy=-⎪⎩,即32xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以A为32⎫⎪⎪⎝⎭因为A在椭圆上,则2222321a b⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭+=且2223a b c-==,解得2a=所以223242331 633232cea====-=-++,故选：B【点睛】本题考查向量的线性运算,考查向量的坐标表示,考查椭圆的标准方程,考查椭圆的离心率10.一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（）A. 234aπ⎛⎫-⎪⎝⎭B. 262aπ⎛⎫-⎪⎝⎭C. 264aπ⎛⎫-⎪⎝⎭D.2364aπ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】画出直观图，由球的表面积公式求解即可【详解】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为2222213346484aS a a a aπππ⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.11.已知点Q 是椭圆22142x y +=椭上非顶点的动点，12F F 分别是椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 为12FQF ∠的平分线上一点，且10F M MQ ⋅=，则OM 的取值范围（ ）A.B.C.D. 2- 【答案】A 【解析】 【分析】延长1F M 交2QF 于点G ,由题可得1QF QG =,又有1F M MQ ⊥,可得M 为1F G 的中点,即22122211112222222OM F G QG QF QF QF a QF QF ==-=-=-=-,根据2QF 的范围求OM 范围即可【详解】延长1F M 交2QF 于点G ,因为M 为12FQF ∠的平分线上一点,所以1QFQG =, 因为10F M MQ ⋅=,所以1F M MQ ⊥, 所以M 为1FG 的中点,则2//OM F G , 由题,2a =,2b =则22122211112222222OM F G QG QF QF QF a QF QF ==-=-=-=-, 因为()(222,2QF ∈⋃, 所以(OM ∈, 故选：A【点睛】本题考查角平分线的应用,考查数量积表示垂直关系,考查椭圆的定义的应用,考查运算能力12.函数()4ln 3f x x ax =-+在两个不同的零点12,,x x 函数2()2g x x ax =-+存在两个不同的零点34,,x x 且满足3124,x x x x <<<则实数a 的取值范围是（ ）A. (0,3)B. (22,3)C. 14(22,4)e-D. 14(3,4)e-【答案】D 【解析】 【分析】先求出()f x 有两个不同零点时a 的范围,再求出()g x 有两个不同零点时a 的范围,再画出4ln 3y x =+与22y x =+的图象,可得一交点为()1,3,进而由图象得到a 的范围,使之满足3124,x x x x <<<再与之前所求得交集即可【详解】由题,()4f x a x'=-,当0a ≤时,()0f x '>恒成立,即()f x 在()0,∞+上单调递增,无法满足题意,故舍去；当0a >时,令()0f x '=,可得4x a =,则()f x 在40,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,4,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减,且0x →时,()0f x <,故由题需满足40f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即144a e -<； 由上式可得0a >,因为2()2g x x ax =-+存在两个不同的零点,则()280a ∆=-->,即22a >,令()0f x =,()0g x =,则4ln 3x ax +=,22x ax +=,可得当24ln 32x x +=+时,易得一解为1x =,此时3a =,另一解设为0x x =,则当()01,x x ∈时,4ln 3y x =+在22y x =+的上方.只有当3a >时,由图象可得203141x x x x x <<<<<,综上,143,4a e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题考查由零点个数求参问题,考查利用导数判断单调性的应用,考查运算能力二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.已知曲线3()2f x x x =-在点(1,1)-处的切线与直线30ax y +-=垂直，则a 的取值范围为________ 【答案】1 【解析】 【分析】先利用导数的几何意义求出切线斜率,由切线与直线垂直的关系,即可解得a 的值 【详解】由题,()232f x x '=-,则切线斜率为()1321k f '==-=,因为切线与直线30ax y +-=垂直,则()11a ⨯-=-,即1a = 故答案为：1【点睛】本题考查导数的几何意义,考查两直线垂直关系,考查运算能力14.设,x y 满足约束条件:1010210x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z y x =-的最小值为__________【答案】1 【解析】 【分析】先作出可行域,将目标函数化为斜截式,根据斜率的关系找到最优解,再将最优解的坐标代入目标函数即可得到最小值.【详解】作出可行域如图所示阴影部分:将目标函数2z y x =-化为斜截式得2y x z =+, 由图可知最优解为M ,联立1010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩ ,解得01x y =⎧⎨=⎩,所以(0,1)M ,将(0,1)M 的坐标代入目标函数可得1201z =-⨯=, 所以2z y x =-的最小值为1. 故答案为:1【点睛】本题考查了简单的线性规划求最小值问题,属于中档题.解题关键是根据斜率关系找到最优解.15.已知圆221:(2)1C x y ++=和圆222:(2)81C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是________【答案】2212521x y +=或2211612x y +=【解析】 【分析】由题意可分析得到动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相切分为两种情况,分别为动圆M 与圆1C 外切,与圆2C 内切；以及当动圆M 与圆1C 及圆2C 内切,即可得到几何关系,由椭圆定义求解即可【详解】由题,设动圆M 的半径为r ,圆1C 的半径为11r =,圆2C 的半径为29r =,则当动圆M 与圆1C 外切,与圆2C 内切时,11MC r r =+,22MC r r =-,所以()()12121210MC MC r r r r r r +=++-=+=,因为圆心分别为()2,0-,()2,0,根据椭圆的定义可得,210a =,则5a =,2c =,所以22225421b a c =-=-=,则动圆圆心M 的轨迹方程是2212521x y +=；当动圆M 与圆1C 及圆2C 内切时,11MC r r =-, 22MC r r =-, 所以()()1212218MC MC r r r r r r +=-+-=-=,则28a =,即4a =,所以22216412b a c =-=-=,则动圆圆心M 的轨迹方程是2211612x y +=故答案为：2212521x y +=或2211612x y +=【点睛】本题考查几何法求轨迹方程,考查椭圆的定义的应用,考查圆与圆的位置关系 16.如图，哈尔滨市有相交于点O 的一条东西走向的公路l 与一条南北走向的公路m ，有一商城A 的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路PQ ，点,P Q 分别在公路,l m 上，且要求PQ 与椭圆形商城A 相切，当公路PQ 长最短时，OQ 的长为________千米.3【解析】 【分析】设PQ 为y kx b =+,联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭,利用0∆=可得()22114k b =-,则()2222222114b b PQ b b k b =+=+-,利用均值不等式求最值,再由取等条件求得OQ 即可【详解】由题,设PQ 为y kx b =+,由图易得1,2b b k >->,联立2214y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭,则()()222124104kb k b ⎛⎫∆=-+-= ⎪⎝⎭, 即()22114k b =-, 因为P 为,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭,Q 为()0,b , 则()22222222222244411114b b b PQ b b b b k b b b =+=+=+=++--- ()22451591b b =++-≥+=-,当且仅当22411b b -=-,即b =等,即OQ=【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用,考查利用均值不等式求最值,考查运算能力 三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos cos 3B bC a c=-+ （1）求cos B 的值；（2）若3a c +=，求AC 边上中线的最小值.【答案】（1）1cos 3B =- （2【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得cos sin cos 3sin sin B BC A C-=+,整理后可得3sin cos sin A B A =-,在三角形中,可知sin 0A >,即可求解cos B 的值； （2）设AC 上中点为D ,则()12BD BA BC =+,进而利用均值不等式求2BD 的最小值即可,进而得到结果 【详解】（1）由题,cos cos 3B bC a c =-+,cos sin cos 3sin sin B B C A C-∴=+,即3sin cos sin cos sin cos A B C B B C +=-,()3sin cos sin cos sin cos A B B C C B ∴=-+,()3sin cos sin A B B C ∴=-+,即3sin cos sin A B A =-,在ABC △中,sin 0A >,1cos 3B ∴=-（2）设AC 上中点为D ,则()12BD BA BC =+, ()22212cos 4BD BA BC BA BC B ∴=++⋅⋅,,BA c BC a ==,且3a c +=,()22222211121222434343BD a c ac a c ac a c ac ac ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤∴=++⋅-=+-=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦189294343ac ac ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 0,0a c >>,2239224a c ac +⎛⎫⎛⎫∴≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当32a c ==时取等, 929293434344ac ∴-≥-⨯=, 32BD ∴≥,min3BD∴=,当且仅当32a c ==时取等,故AC 边上中线的最小值为32【点睛】本题考查正弦定理的应用,考查均值不等式求最值,考查向量模的应用,考查运算能力 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,//,ABCD CD AB AD AB ⊥，113,122AD CD PD AB PA =====，点,E F 分别为,AB AP 的中点.（1）求证：平面//PBC 平面EFD ； （2）求二面角P DE F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2277【解析】 【分析】（1）利用平行四边形得//CB DE ,利用中位线得//EF PB ,即可求证；（2）易证CD PD ⊥,AD CD ⊥,则以D 为原点,分别以,,DA DC DP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系D xyz -,分别求出平面PDE 与平面DEF 的法向量,再由法向量的夹角余弦值来求二面角的余弦值 【详解】（1）证明：//CD AB ,//CD BE ∴,点E 是AB 的中点,且12CD AB BE ==, ∴四边形DCBE 是平行四边形,//CB DE ∴,又点F 是AP 的中点,∴在ABP ∆中,//EF PB ,,EF DE ⊂平面EFD ,,CB PB ⊂平面PBC ,且EF DE E ⋂=,CBPB B =,∴平面//PBC 平面EFD（2）,//AD AB CD AB ⊥,AD CD ∴⊥,平面PAD ⊥平面ABCD ,且CD ⊂平面ABCD ,平面PAD平面ABCD AD =,CD 平面PAD ,CD PD ∴⊥∴以D 为原点,分别以,,DA DC DP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系D xyz -,则由题,13,1,12AD CD PD AE AP =====,点F 为AP 的中点 ∴D 为()0,0,0,P 为()0,0,1,E 为)3,1,0,F 为31,0,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,则()0,0,1DP =,()3,1,0DE =,3122DF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面PDE 与平面DEF 的法向量分别是()1111,,n x y z =,()2222,,n x y z = 则1100DP n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,2200DE n DF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即111030z x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,2222303102x y x z +=⎪⎨+=⎪, 令11x =,则()11,3,0n =-；令21x =-,则(23,3n =- 则12121227cos ,1313327n n n n n n ⋅-===+⋅++⨯⋅,∴二面角P DE F --277【点睛】本题考查面面平行证明,考查向量法求二面角,考查线线垂直的证明,考查运算能力19.已知数列{}n a 中，*12211,4,430,n n n a a a a a n N ++==-+=∈.（1）证明数列{}1n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 是等差数列，1246,28,b b b =+=令1()2n n n C a b =+⋅，求数列{}n C 的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析；312n n a -=（2）13n n T n +=⋅【解析】 【分析】（1）由递推公式整理可得()2113n n n n a a a a +++-=-,即可证明数列{}1n n a a +-是首项为3,公比为3的等比数列,进而利用累加法求通项即可；（2）由（1）可得()213n nn C +⋅=,利用错位相减法即可求得n T【详解】（1）证明：21430n n n a a a ++-+=,21133n n n n a a a a +++∴-=-,即()2113n n n n a a a a +++-=-当1n =时,21413a a -=-=,∴数列{}1n n a a +-是首项为3,公比为3的等比数列.11333n n n n a a -+∴-=⨯=, ∴当2n ≥时,113n n n a a ---=,,1213a a -=,()112113131333331322n n n n n a a ----∴-=+++==⋅-- 113133133122222n n n n a a -∴=⋅-+=⋅-+=（2）数列{}n b 是等差数列,12416,2428,b b b b d =+=+=4d ∴=,()64142n b n n ∴=+-=+,由（1）,则()()31142213221()2n n n n n C n a n b ⎛⎫=+-=++=+⋅⋅⎪⎝⎭, ()123353213n n T n ∴=⨯+⨯+++⋅,()23133353213n n T n +∴=⨯+⨯+++⋅,()()()()()()2312312111112923232321392333213313922131393921323n n n n n n n n n n T n n n n n ++-++++∴-=+⨯+⨯++⋅-+⋅=+⨯+++-+⋅-=+⨯-+⋅-=+--+⋅=-⋅13n n T n +∴=⋅【点睛】本题考查等比数列的证明,考查累加法求通项公式,考查错位相减法求前n 项和,考查运算能力20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>P 在C 上.（1）求椭圆C 的方程;（2）设12,FF 分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B，求1F AB 的内切圆的半径的最大值.【答案】（1）2214x y +=（2）12【解析】 【分析】（1）分别由离心率公式,及将点(1,2P 代入椭圆中即可求得a 、b ,进而求得方程； （2）由题意可分析1112121122F AB F AB S F F y y C r ∆∆=⋅-=⋅,即由12y y -的最大值可求得r 的最大值,设直线l 为x my =+联立直线方程与椭圆方程可得()22410m y ++-=,再利用韦达定理得到1224433t y y t t t-==++,根据均值不等式可解得12y y -的最大值,进而可求r 的最大值【详解】（1）由题,c e a ==,点P 在C 上,即222211a b ⎝⎭+= 222c a b =-, ∴解得2,1a b ==,∴椭圆C 的方程为2214x y += （2）由题,设直线l为x my =A 为()11,x y ,B 为()22,x y ,联立2214x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩可得()22410m y ++-=,显然()()22440m ∆=++>,则12y y +=,12214y y m -=+, ()()()22221212122221614444m y y y y y y m m +∴-=+-=+=++⎝⎭,则12y y -=,设)1t t =≥,则221m t =-,1224433t y y t t t∴-==++,3t t +≥=,当且仅当3t t =,即t =时取等,此时可得12maxy y -=, 又112121211221212111222F AB F F A F F B S S S F F y F F y F F y y ∆∆∆=+=⋅+⋅=⋅-,且由（1）,c =∴当12maxy y -=时,()1max 122F AB S ∆=⨯=, 设1F AB 的内切圆的半径为r()11max max 12F AB F AB S C r ∆∆=⋅,则()max 12222a a r =+,即max 1282r =⨯,max 12r ∴=【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查弦长,考查椭圆的定义的应用,考查利用均值不等式求最值,考查运算能力 21.设22(),()11xe f x xe ax g x nx x x a=-=+-+-． （1）求()g x 的单调区间； （2）讨论()f x 零点的个数；（3）当0a >时，设()()()0h x f x ag x =-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1) ()g x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（理科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|2x ≥8}，集合B ={x|y =lg(x −1)}，则A ∪B =( )A. [1,3)B. (1,3]C. (1,+∞)D. [3,+∞)2. 已知i 为虚数单位，则z =i1−2i 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中是偶函数，且在(−∞,0)上单调递增的是( )A. f(x)=x 23 B. f(x)=2|x|C. f(x)=log 21|x+1|D. f(x)=1|x|−|x|4. 数列{2an+1}是等差数列，且a 1=1，a 3=−13，那么a 2020=( ) A. 10091010B. −10091010C. 20192020D. −201920205. 有一散点图如图所示，在5个(x,y)数据中去掉D(3,10)后，下列说法正确的是( )A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数R 2变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱6. 函数f(x)=xe x 在(1,f(1))处的切线方程为( )A. 2ex −y −e =0B. x −2ey −e =0C. 2ex −y −e +1=0D. x −2ey −e +1=07. “克拉茨猜想”又称“3n +1猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，得到1即终止运算，已知正整数m 经过5次运算后得到1，则m 的值为( )A. 32或5B. 16或2C. 16D. 32或5或48. 小李和小王相约本周六在14：00到15：00进入腾讯会议室线上交流，假设两人在这段时间内的每个时刻进入会议室是等可能的，先到者等候另一人10分钟，过时即离去．则两人能在会议室相遇的概率为( )A. 2536B. 1136C. 49D. 599. 某程序框图如图所示，若输入的a 、b 分别为5、3，则输出的n =( )A. 2B. 3C. 4D. 510. 已知F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，P 为y 轴上一点，Q 为左支上一点，若(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且△PF 2Q 周长最小值为实轴长的3倍，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. 2√211. 已知数列{a n }，a n =n 2sin n2π，则数列{a n }的前100项和为( )A. 5000B. −5000C. 5050D. −505012. 已知△ABC 中，长为2的线段AQ 为BC 边上的高，满足：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ sinC =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BH =( )A. 4√77B. 4√7C. 4√33D. 2√7二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. ∫√4−x 22−2dx =______．14. 直线l 过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F ，交抛物线C 于点A(点A 在x 轴上方)，过点A 作直线x =−p2的垂线，垂足为M ，若垂足M 恰好在线段AF 的垂直平分线上，则直线l 的斜率为______． 15. 新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药______(填“会”或者“不会”)对人体产生副作用．16.在三棱锥S−ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，二面角S−AB−C、S−AC−B、S−BC−A的大小均为π4，设三棱锥S−ABC的外接球球心为O，直线SO交平面ABC于点M，则三棱锥S−ABC的内切球半径为______，SOOM=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(x)=2√63，且π2<x<3π4，求cos2x．18.如图，三棱锥P−ABC中，底面△ABC是边长为2的正三角形，PA=2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点．(1)求证：平面BEF⊥平面PAC；(2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的余弦值为√77？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．19. 函数f(x)=lnx −2(x−1)x+1．(1)求证：函数f(x)在(0,+∞)上单调递增； (2)若m ，n 为两个不等的正数，试比较lnm−lnn m−n与2m+n 的大小，并证明．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆C 1过点(1,0)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点M(2,0)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且与圆C 1没有公共点，设G 为椭圆C 上一点，满足(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=t OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，求实数t 的取值范围．21. (1)某中学理学社为了吸收更多新社员，在校团委的支持下，在高一学年组织了抽签赠书活动．月初报名，月末抽签，最初有30名同学参加．社团活动积极分子甲同学参加了活动．(ⅰ)第一个月有18个中签名额．甲先抽签，乙和丙紧随其后抽签．求这三名同学同时中签的概率．(ⅰ)理学社设置了第n(n ∈N +)个月中签的名额为2n +16，并且抽中的同学退出活动，同时补充新同学，补充的同学比中签的同学少2个，如果某次抽签的同学全部中签，则活动立刻结束．求甲同学参加活动时间的期望．(2)某出版集团为了扩大影响，在全国组织了抽签赠书活动．报名和抽签时间与(1)中某中学理学社的报名和抽签时间相同，最初有30万人参加，甲同学在其中．每个月抽中的人退出活动，同时补充新人，补充的人数与中签的人数相同．出版集团设置了第n(n ∈N +)个月中签的概率为p n =19+(−1)n180，活动进行了2k(k ∈N +)个月，甲同学很幸运，中签了，在此条件下，求证：甲同学参加活动时间的均值小于9.5个月．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+ty =−t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=−4cosθ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点． (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若P(−1,0)，求1|AP|+1|BP|的值．23. 已知函数f(x)=|x +a|−|x −1|和函数g(x)=−2x +1．(1)当a =2时，求关于x 的不等式f(x)≥−1的解集；(2)若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f(x 1)=g(x 2)成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由2x≥8得：x≥3，∴集合A={x|x≥3}，由x−1>0得：x>1，∴集合B={x|x>1}，∴A∪B={x|>1}，故选：C．利用指数函数和对数函数的性质求出集合A，B，再利用集合的并集运算即可求出结果．本题主要考查了集合的基本运算，以及指数函数和对数函数的性质，是基础题．2.【答案】B【解析】解：z=i1−2i =i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−2+i5，故z在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B．对复数z进行化简，从而求出其所在的象限即可．本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题．3.【答案】D【解析】解：函数f(x)=x23在(−∞,0)上单调递减，即A错误；函数f(x)=2|x|在(−∞,0)上单调递减，即B错误；函数f(x)=log21|x+1|的定义域为(−∞,−1)∪(−1,+∞)，是非奇非偶函数，即C错误；对于选项D，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，f(−x)=1|−x|−|−x|=1|x|−|x|=f(x)，是偶函数，当x<0时，f(−x)=−1x+x，任取x1<x2<0，则f(x1)−f(x2)=−1x1+x1+1x2−x2=(x1−x2)(1x1x2+1)，∵x1<x2<0，∴x1−x2<0,1x1x2+1>0，∴f(x1)<f(x2)，即函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，即D正确．选项A 和B 对应的函数在(−∞,0)上均单调递减，选项C 的函数是非奇非偶，故可以作出判断；也可以从函数单调性和奇偶性的定义出发，对选项D 的函数进行证明．本题考查函数的单调性和奇偶性，熟练掌握基本初等函数的图象与性质、及图象的变换法则是解题的关键，本题既可以用排除法，也可以从函数单调性和奇偶性的定义出发，直接进行证明，考查学生的逻辑推理能力和分析能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：设等差数列{2a n+1}的公差为d ，且a 1=1，a 3=−13，∴2a1+1=1，2a3+1=3，∴3=1+2d ，解得d =1． ∴2a n +1=1+n −1=n ，∴a n =2n −1．那么a 2020=22020−1=−10091010． 故选：B ． 设等差数列{2an+1}的公差为d ，且a 1=1，a 3=−13，可得2a 1+1=1，2a 3+1=3，3=1+2d ，解得d.可得通项公式，进而得出结论．本题考查了等差数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强，∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小， 故选：A ．利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和，的变化情况．本题考察了利用散点图分析数据，判断变量的相关性问题，属于运用图形解决问题的能力，属于容易出错的题目．【解析】解：函数f(x)=xe x 的导数为f′(x)=(x +1)e x ， 可得函数f(x)=xe x 在(1,f(1))处的切线的斜率为k =2e ， 切点为(1,e)，则切线方程为y −e =2e(x −1)， 化为y =2ex −e.即2ex −y −e =0． 故选：A ．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得所求切线方程． 本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，化简运算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，正整数m 经过5次运算后得到1， 所以正整数m 经过4次运算后得到2， 经过3次运算后得到4，经过2次运算后得到8或1(不符合题意，舍去)， 经过1次运算后得到16， 可得正整数m 的值为32或5， 故选：A ．利用正整数m 经过5次运算后得到1，按照变换规则，逆向逐项分析，即可得到m 的所有可能的取值． 本题主要考查了归纳推理的应用，按照变换规则，进行逆向分析是解题关键，考查了学生的推理能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：设小李和小王进入会议的时间为14点x 分和14点y 分， 则{0≤x ≤600≤y ≤60， 由先到者等候另一人10分钟，可得两人能在会议室相遇的事件为|x −y|≤10， 故两人能在会议室相遇的概率P =1−12×50×50×260×60=1−2536=1136．故选：B ．先设小李和小王进入会议的时间为14点x 分和14点y 分，则{0≤x ≤600≤y ≤60，由先到者等候另一人10分钟，可得两人能在会议室相遇的事件为|x −y|≤10，然后求出相应的面积，根据与面积有关的几何概率公式即可求解．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N(A)，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N ，最后根据P =N(A)N求解．9.【答案】A【解析】解：模拟程序的运行，可得 a =5，b =3，n =1 a =152，b =6不满足条件a ≤b ，执行循环体，n =2，a =454，b =12满足条件a ≤b ，退出循环，输出n 的值为2． 故选：A ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】C【解析】解：如图，由(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即|OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则|OP|=|OF 2|=c ，|PF 2|+|F 2Q|+|PQ|=|PF 2|+|PQ|+|F 1Q|+2a=|PF 2|+|PF 1|+2a ．最小值为2×√2c +2a =2a +2√2c ． 由题意，2a +2√2c =6a ，即2a =√2c ， ∴e =c a=√2．故选：C ．由已知向量等式可得|OP|=|OF 2|=c ，画出图形，利用双曲线的定义把三角形周长最小转化为|PF 1|最小，求出周长最小值，再由△PF 2Q 周长最小值为实轴长的3倍列式求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的就与思想方法，考查双曲线定义的应用，是中档题．11.【答案】B【解析】解：∵a n =n 2sin n2π，∴当n 为偶数时，a n =0； 当n 为奇数时，a 3+a 1=−8， 而(a 2n+5+a 2n+3)−(a 2n+1+a 2n−1)=−(2n +5)2+(2n +3)2+(2n +1)2−(2n −1)2=(2n +3+2n +5)(2n +3−2n −5)+(2n +1+2n −1)(2n +1−2n +1)=−8n −16+8n =−16．而数列{a n }的前100项中，偶数项均为0，奇数项有50项， 则前100项的和即为所有奇数项的和，看作是以−8为首项，以−16为公差的前25项的和． 为−8×25+25×24×(−16)2=−5000．故选：B ．由已知数列通项公式，可得数列的偶数项为0，奇数项可构造等差数列，然后利用等差数列的求和公式求解．本题考查等差数列前n 项和的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．12.【答案】D【解析】解：如图，过Q 分别作AC 、AB 的平行线交AB 于M ，交AC 于N ． ∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ sinC =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ sinB ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ sinC ， ∵AQ ⊥BC ，∴|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC ， ∴四边形AMQN 是菱形， 且∠BAQ =∠CAQ =60°， AB =AC =2AQ =2AM =2AN ，∵AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴H 是AC 的中点，即与N 重合． AB =4，AH =2，∴BH 2=AB 2+AH 2−2AB ⋅AHcos∠BAH =42+22−2×4×2cos120°=28， ∴BH =2√7． 故选：D ．由题，过Q 分别作AC 、AB 的平行线交AB 于M ，交AC 于N.由向量加法的平行四边形法则可得AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合平面向量基本定理可得M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∠BAC =120°，然后由余弦定理可得结论． 本题考查平面向量基本定理，余弦定理，考查学生数形结合的思想，解题关键是作出平行四边形AMQN ．13.【答案】2π【解析】解：∫√4−x 22−2dx ，积分式的值相当于以原点为圆心，以2为半径的一个半圆面的面积， 故其值是2π 故答案为：2π．根据定积分的定义，找出根号函数f(x)=√4−x 2的几何意义，计算即可．此题考查利用定积分的几何意义，求解定积分的值，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数．14.【答案】√3【解析】解：由抛物线的性质可得AF=AM，又M恰好在线段AF的垂直平分线上，所以MF=AM，所以可得△AMF为等边三角形，所以∠MAF=60°，又因为AM//OF，所以∠AFx=60°，所以直线l的斜率为k=tan60°=√3，故答案为：√3．由抛物线的性质可得AF=AM，又M恰好在线段AF的垂直平分线上，所以MF=AM，所以可得△AMF为等边三角形，所以∠MAF=60°，进而求出直线l的斜率．本题考查抛物线的性质及中垂线的性质，属于中档题．15.【答案】不会【解析】【分析】本题主要考查了函数的实际应用，以及等比数列的实际应用，是中档题．设人第n次服药后，药在体内的残留量为a n毫克，由题意可得a n=700+0.3a n−1(n≥2)，变形可得a n−1000=0.3(a n−1−1000)，再利用等比数列的通项公式求出a n，即可得出结论．【解答】解：设人第n次服药后，药在体内的残留量为a n毫克，则a1=700，a2=700+a1×(1−70%)=700+0.3a1，a3=700+a2×(1−70%)=700+0.3a2，……以此类推可得：a n=700+0.3a n−1(n≥2)，变形可得a n−1000=0.3(a n−1−1000)，∴数列{a n−1000}是首项为−300，公比为0.3的等比数列，∴a n−1000=−300×0．3n−1<0，∴a n<1000，∴人长期服用这种药，不会对人体产生副作用．16.【答案】2√2−232【解析】解：如图，∵二面角S−AB−C、S−AC−B、S−BC−A的大小相等，∴S在底面射影为底面三角形ABC的内心，设为E，∵AB=6，BC=8，AC=10，∴AB2+BC2=AC2，可得△ABC是以角B为直角的直角三角形．过E作EF⊥AC，连接SF，则EF为三角形ABC内切圆的半径，且∠SFE为二面角S−AC−B的平面角为π4．由等面积法求得：12BC⋅AB=12(AB+BC+AC)×EF，得EF=2，可得三边上的斜高相等为2√2．设三棱锥S−ABC的内切球半径为r，则13×12×6×8×2=13[12×(6+8+10)×2√2]r+13×12×6×8r，得r=2√2−2；如图，设D是AC的中点，则D是三角形ABC的外心，三棱锥S−ABC的外接球球心为O，则OD⊥平面ABC，则OD//SE，∴M，D，E共线，在直角三角形ABC中，分别以BC，BA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，由E(2,2)，D(4,3)，得DE=√(4−2)2+(3−2)2=√5．设三棱锥S−ABC的外接球的半径为R，即OC=OA=R，若O与S在平面ABC的同侧，由直角梯形SEDO与直角三角形ODC得：2−√R2−5=√R2−52，R无解；若O与S在平面ABC的异侧，则√R2−52+2=√R2−5，解得R=√41，此时OD=√41−25=4．∴SMMO =SEOD=24=12，则SOOM=32．故答案为：2√2−2；32．由二面角S−AB−C、S−AC−B、S−BC−A的大小相等，得S在底面射影为底面三角形ABC的内心，设为E，利用等面积法求得底面内切圆的半径，再求出底面三边的斜高，然后利用等体积法求三棱锥内切球的半径；设D是AC的中点，则D是三角形ABC的外心，由三棱锥S−ABC的外接球球心为O，得OD⊥平面ABC，可得OD//SE，则M，D，E共线，利用解析法求得DE，设三棱锥S−ABC的外接球的半径为R，即OC=OA=R，然后利用三角形相似列式求得R，进一步得到SOOM的值．本题考查二面角、三棱锥的内切球与外接球等问题，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由图象可知A=2，周期T=2πω=2×(11π12−5π12)=π，则ω=2，又f(5π12)=2sin(2×5π12+φ)=2，可得2×5π12+φ=2kπ+π2，k∈Z，解得φ=2kπ−π3，k∈Z，由于−π2<φ<π2，可得：φ=−π3，可得函数解析式为：f(x)=2sin(2x−π3).(2)由题意知：π2<x<3π4，∴2π3<2x−π3<7π6，∵f(x)=2sin(2x−π3)=2√63，可得：sin(2x−π3)=√63，cos(2x−π3)=−√33，∴cos2x=cos(2x−π3+π3)=cos(2x−π3)cosπ3−sin(2x−π3)sinπ3=(−√33)×12−√63×√32=−√3−3√26．【解析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式，(2)由题意可求范围2π3<2x−π3<7π6，根据已知可求sin(2x−π3)，利用同角三角函数基本关系式可求cos(2x−π3)的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可求解cos2x的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，三角函数的化简求值，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．18.【答案】(1)证明：因为PA⊥底面ABC，BE⊂底面ABC所以PA⊥BE，又因为BE⊥AC，PA∩AC=A所以BE⊥平面PAC，因为BE⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAC，(2)解：因为EB，EC，EF两两垂直，所以以E为坐标原点，分别以EB ，EC ，EF 的正方向为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E(0,0,0),B(√3,0,0),C(0,1,0),A(0,−1,0),P(0,−1,2),F(0,0,1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,0)， 设平面PBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，由{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{√3x +y −2z =0−√3x +y =0， 不妨设x =1，则y =z =√3，所以m ⃗⃗⃗ =(1,√3,√3)，设PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3λ,λ,−2λ)，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3λ,λ,2−2λ)，由题知|cos〈AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ 〉|=|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ ||AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√3√7⋅√4λ2+4(1−λ)2=√427， 解得λ=12．【解析】(1)证明PA ⊥BE ，结合BE ⊥AC ，推出BE ⊥平面PAC ，然后证明平面BEF ⊥平面 PAC ， (2)通过EB ，EC ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，分别以EB ，EC ，EF 的正方向为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量，结合AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3λ,λ,2−2λ)，通过向量的数量积转化求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法与应用，考查空间想象能力以及计算能力．19.【答案】解：(1)证明：f′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2≥0，∴f(x)在(0,+∞)上单调递增 (2)不妨设m >n ， 则lnm−lnn m−n −2m+n=1m−n(lnm n−2(m−n)m+n)=1m−n(lnm n−2(mn −1)m n+1)，令mn =t >1，设ℎ(t)=lnt −2(t−1)1+t，ℎ(t)=f(t)由(1)知在(0,+∞)上单调递增，ℎ(1)=0，t >1， ∴ℎ(t)>0， 又m >n ， ∴lnm−lnn m−n>2m+n，【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可证明；(2)要比较大小，只要作差后进行变形，然后结合结构特点构造函数，结合单调性即可证明． 本题主要考查了导数与单调性关系及利用构造函数结合函数性质比较大小，属于中档试题．20.【答案】解：(1)依题意：椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆C 1过点(1,0).所以b =1，e =c a=√22，则b =c ，所以a =√2，所以椭圆方程为x 22+y 2=1．(2)由题意直线AB 斜率不为0，设直线AB ：x =ny +2， {x =ny +2x 22+y 2=1得(2+n 2)y 2+4ny +2=0.由△=8n 2−16>0得n 2>2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由韦达定理y 1+y 2=−4n2+n 2,y 1y 2=22+n 2， 因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以G(8t(2+n 2),−4nt(2+n 2)) 因为点G 在椭圆上∴64t 2(2+n 2)2+2×16n 2t 2(2+n 2)2=2得t 2=16n 2+2， 直线与圆没有公共点，则√1+n 2>1，所以2<n 2<3，t 2=16n 2+2，令y =t 2，x =n 2，可知y =16x+2在x ∈(2,3)上，是减函数，y ∈(165,4)，即：t 2∈(165,4)， ∴t ∈(−2,−4√55)∪(4√55,2)．【解析】(1)利用已知条件求出a ，b ，然后求解椭圆方程．(2)由题意直线AB 斜率不为0，设直线AB ：x =ny +2，通过{x =ny +2x 22+y 2=1得(2+n 2)y 2+4ny +2=0.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用韦达定理以及斜率的关系，求解G ，代入椭圆方程得到t 2=16n 2+2，利用直线与圆没有公共点，列出不等式，求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】(1)解：(i)三明同学同时中奖的概率为：C 183C 303=18×17×1630×29×28=2041015．( ii)由题意可知，参加活动的人数每月递减2人，而中奖名额每月递增2人，故活动举行4个月后结束． 设甲参加活动的时间X 的可能取值为1，2，3，4， 则P(X =1)=1830=35，P(X =2)=(1−1830)×2028=27，P(X =3)=(1−1830)×(1−2028)×2226=44455，P(X =4)=(1−1830)×(1−2028)×(1−2226)×1=8455， 则甲参加活动的时间的期望为EX =1×35+2×27+3×44455+4×8455=697455．(2)证明：甲在第奇数个月中奖的概率为110，再第偶数个月中奖的概率为19， 设甲中签为事件A ，则P(A)=1−[(910×89)×(910×89)×…(910×89)]=1−(45)k设m ≤k ，m ∈N +，甲在第2m −1，2m 个月中中签的概率为P(X =2m −1)=P(X =2m)=110(45)m−1， 则甲在事件A 发生的条件下，第2m −1，2m 个月中中签的概率为110(45)m−1P(A)，则甲在事件A 发生的条件下，甲参加活动时间的均值为EX =110P(A)[(1+2)+45(3+4)+(45)2(5+6)+⋯(45)k−1(2k −1+2k)]，设S =3+7×45+11×(45)2+⋯(4k −1)(45)k−1，则45S =3×45+7×(45)2+⋯(4k −5)(45)k−1+(4k −1)(45)k ，∴15S =3+4[45+(45)2+⋯(45)k−1]−(4k −1)(45)k S =5×19[1−(45)k ]−20k(45)k ， 所以 EX =19[1−(45)k ]−4k(45)k2[1−(45)k ]=192−2k(45)k[1−(45)k ]<192．【解析】(1)(i)根据组合数公式计算概率；(ii)分别计算甲在第x 个月的中奖概率，得出数学期望； (2)计算甲同学在第m 个月的中奖概率，得出参加活动时间的数学期望关于k 的函数，利用不等式得出结论．本题考查了离散型随机变量的分布列，数学期望计算，属于中档题．22.【答案】(1)直线l 的参数方程为{x =−1+ty =−t(t 为参数)，转换为直角方程为x +y +1=0．曲线C 的极坐标方程为ρ=−4cosθ，整理得ρ2=−4ρcosθ，根据{x =ρcosθρ2=x 2+y 2转换为直角坐标方程(x +2)2+y 2=4．(2)直线的参数方程可化为标准式为{x =−1−√22t y =√22t(t 为参数)，代入(x +2)2+y 2=4得到：t 2−√2t −3=0，所以t 1+t 2=√2，t 1t 2=−3， 故：1|AP|+1|BP|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√143．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)a=2时，f(x)=|x−2|−|x−1|．不等式f(x)≥−1，即|x−2|−|x−1|≥−1．当x<−2时，不等式化为−3≥−1，x无解；当−2≤x≤1时，不等式化为2x+1≥−1，解得−1≤x≤1；当x>1时，不等式化为3≥−1，则x>1．综上，f(x)≥−1的解集为{x|x≥−1}；(2)f(x)=|x+a|−|x−1|≤|(x+a)−(x−1)|=|a+1|，g(x)=−2x+1∈(−∞,1)，由题意知，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，即|a+1|<1，解得−2<a<0．∴实数a的取值范围为−2<a<0．【解析】(1)把a=2代入函数解析式，得到不等式|x−2|−|x−1|≥−1.然后分x<−2，−2≤x≤1，x>1三类去绝对值求解，取并集得答案；(2)利用绝对值的不等式可得f(x)≤|a+1|，又g(x)=−2x+1∈(−∞,1)，再由题意可得|a+1|<1，求解绝对值的不等式得答案．本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法，是中档题．。
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高三(上)期中数学试卷(理科)(PDF版 含答案)
①如果 m n ， m ， n / / ，那么 ．
5．已知曲线 f (x) (2a 1)ex 在 x 0 处的切线过点 (2,1) ，则实数 a ( )
A．3
B． 3
C． 1 3
D． 1 3
【解答】解：由 f (x) (2a 1)ex ，得 f (x) (2a 1)ex ，
f (0) 2a 1 ， 又 f (0) 2a 1，
MO 1 AN NO 1 DN ，
2
2
BO BN 2 NO2 1 3 7 ， 42
cos BMO BM 2 MO2 BO2
3 3 7 44
2．
2 BM OM
2 3 3 3
2
异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值为 2 ． 3
．
4
4
14．已知函数
f
(x)
4x 4x 2
，数列 {an} 满足 an
f
(
n 2020
)
，则数列
{an
}
的前
2019
项和为
．
15．已知 x 0 ， y 0 ， x 3y 3xy 8 0 ，则 x 3y 的最小值是 ．
16 ． 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， PA 底 面 ABCD ， AD AB ， AB / /DC ， AD DC AP 2 ， AB 1 ，若 E 为棱 PC 上一点，满足 BE AC ，则 PE ．
EC
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知关于 x 的不等式 | 2x m | 1(m R) 的解集为 [0 ，1] ．
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科) (含解析)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合 A ={x|x 2−3x +2≥0}，B ={x|2x <4}，则 A ∪B =( )A. ⌀B. {x|x ∈R}C. {x|x ≤1}D. {x|x >2}2. 复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是( )A. y =2−xB. y =lnxC. y =x −2D. y =|x|−14. 数列{2an+1}是等差数列，且a 1=1，a 3=−13，那么a 2020=( ) A. 10091010B. −10091010C. 20192020D. −201920205. 有一散点图如图所示，在5个(x,y)数据中去掉D(3,10)后，下列说法正确的是( )A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数R 2变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱6. 函数f(x)=e x +x 2+x +cosx ，则f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )A. 2x −y +2=0B. 2x +y +2=0C. x +2y +2=0D. x −2y +2=07. “卡拉兹猜想”又称“3n +1猜想”，是德国数学家洛萨·卡拉兹在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 为偶数，就将它减半；如果n 为奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为 ( )A. 10B. 64C. 10或64D. 328. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径3cm ，中间有边长为1cm 的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( )A. 14πB. 12πC. 1πD. 2π9. 阅读如图所示的程序框图，若输入a =0.45，则输出的k 值是( )A. 3B. 4C. 5D. 610. F 1，F 2分别是双曲线C ：x 29−y 27=1的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且|PF 1|=8，则△PF 1F 2的周长为( )A. 15B. 16C. 17D. 1811. 数列{a n }的通项公式为a n =1(n+1)(n+2)，则{a n }的前10项之和为( )A. 14B. 512C. 34D. 71212. 在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. x =13,y =23B. x =14,y =34C. x =23,y =13D. x =34,y =14二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. ∫(1−1√1−x 2−1)dx = ______ ．14. 过抛物线C:y 2=4x 的焦点F ，且斜率为√3的直线交C 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为____.15.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，且每过滤一，则要使产品达到市场要求，至少应过滤________次．(取lg2=0.3010，次可使杂质含量减少13lg3=0.4771)16.在三棱锥S−ABC中，ΔABC是边长为3的等边三角形，SA=√3,SB=2√3，二面角S−AB−C的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，|φ|<π，则2(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)求f(x)的单调区间。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高三(上)期中数学试卷(理科)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|y =log 2(x −1)}，B ={x|x 2−x −6≤0}，则A ∪B =( )A. [−2,+∞)B. [1,3]C. (1,3]D. (1,+∞)2. 已知|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，(a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗ ，则向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为( )A. π6B. π4C. π3D. π23. 数列{a n }中，a 1=2，a n =1−1an−1(n ≥2)，则a 8=( )A. 2B. 12C. −1D. 14. 中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C =Wlog 2(1+SN ).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN 从1000提升至4000，则C 大约增加了( )附：lg2≈0.3010A. 10%B. 20%C. 50%D. 100%5. 如图，在△ABC 中，已知BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗+32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1010a 1011=3.则log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a 2020=( )A. 3B. 505C. 1010D. 20207. 函数f(x)=1+e x1−e xcosx 的图象大致形状是( )A. B.C. D.8.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，|a⃗|=2，|b⃗ |=5，则2a⃗−b⃗ 在a⃗方向上的投影为()A. 32B. 2 C. 52D. 39.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2+x)=f(2−x)，当x∈[−2,0]时，f(x)=(√22)x−1，若关于x的方程f(x)−log a(x+2)=0(a>0,a≠1)在区间(−2,10)内恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A. (8,12)B. (12,+∞)C. (8,12]D. (1,8)10.已知函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0，若a，b∈R，a+b<0，则f(a)+f(b)的值()A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断11.已知函数f(x)=ln|x|+x2+3，若不等式f(log3a)≤f(x2−2x+2)对于x∈R恒成立，则a的取值范围为()A. [13,1) B. [13,3] C. [13,1)∪(1,3] D. [3,+∞)12.已知函数f(x)=sinωx+acosωx，周期T<2π，f(π3)=√3，且在x=π6处取得最大值，则使得不等式λ|ω|≥a恒成立的实数λ的最小值为()A. √310B. √311C. √312D. √313二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若向量a⃗=(t,t−√3)与b⃗ =(t+√3,2)共线，则t=______．14.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(x)=______．15.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”.他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程px2=q中，p为“隅”，q为“实”.即若△ABC的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则S2=14[a2c2−(a2+c2−b22)2].已知点D是△ABC边AB上一点，AC=3，BC=2，∠ACD=45°，tan∠BCD=8+√157，则△ABC的面积为______．16.设S n是数列{a n}的前n项和，a1=3，当n≥2时，有S n+S n−1−2S n S n−1=2na n，则使S1S2……S m≥2021成立的正整数m的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a7=1，S4=−32．(1)求数列{a n}的通项公式．(2)求S n，并求S n的最小值．18.已知函数f(x)=12cos2x+√32sinxcosx−14，(x∈R)．(1)当函数f(x)取得最大值时，求自变量x的取值集合；(2)用五点法做出该函数在[0,π]上的图象；(3)写出函数f(x)单调递减区间．19.数列{a n}中，a1=2，a n+1=2(n+1)na n．(1)求证：数列{a nn}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=na n−n，数列{2n b n b n+1}的前n项和为S n.求证：S n<1．20.△ABC中，三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，AB2−=AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ +BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ +CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)判断△ABC的形状；(2)若M=(a+b+c)(1a +1b+1c)，试求M的最小值．21.已知函数f(x)=12ax2−x⋅lnx+b，g(x)=f′(x)．(1)判断函数y=g(x)的单调性；(2)若x∈(0,e](e≈2.718)，判断是否存在实数a，使函数g(x)的最小值为2？若存在求出a的值；若不存在，请说明理由．(3)证明：3(12+23+34+⋯+nn+1)>n−ln√n+13，n∈N∗．22. 曲线C 1：{y =2t −1x=2t+1(其中t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 2：ρ=2acosθ(a >0)关于C 1对称． (1)求曲线C 1的普通方程，曲线C 2直角坐标方程；(2)将C 2向左平移2个单位长度，按照{x′=12xy′=√32y变换得到C 3，点P 为C 3上任意一点，求点P 到曲线C 1距离的最大值．23. 已知函数f(x)=|x −2|．(1)解不等式f(x)−f(2x +4)<2；(2)若f(x −1)+f(x +3)≥m 2+3m 对所有的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A ={x|y =log 2(x −1)}={x|x >1}， B ={x|x 2−x −6≤0}={x|−2≤x ≤3}， ∴A ∪B ={x|x ≥−2}=[−2,+∞)． 故选：A ．先求出集合A 和B ，由此能求出A ∪B ．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：因为(a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗ ， 所以(a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =0，所以a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b⃗ =0， 所以a ⃗ ⋅b ⃗ =1， 设向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为θ， 则cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=11×2=12，由θ∈[0,π]， 所以θ=π3， 故选：C ．由向量数量积的运算得：a ⃗ ⋅b ⃗ =1，由向量的夹角公式得：cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ ||b⃗ |=11×2=12，由θ∈[0,π]，所以θ=π3，得解．本题考查了向量的夹角公式及向量数量积的运算，属简单题．3.【答案】B【解析】解：数列{a n }中，a 1=2，所以a 2=1−12=12，a 3=1−1a 2=1−112=−1，a 4=1−1−1=2，故数列{a n }的周期为3，所以a 8=a 2×3+2=a 2=12． 故选：B ．直接利用数列的递推关系式求出数列的周期，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的周期，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：当SN =1000时，C =Wlog 21000， 当SN =4000时，C =Wlog 24000， 因为log 24000log21000=lg4000lg1000=3+2lg23≈3.60203≈1.2，所以将信噪比SN 从1000提升至4000，则C 大约增加了20%， 故选：B ．根据题意，计算出log 24000log21000即可．本题考查的是对数的运算，掌握对数的运算法则和运算性质是解题的关键，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴由BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 化简可得3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 故选：A ．根据向量减法的三角形法则，将BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 化成用向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，化简即得所求AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的线性表达式． 本题给出三角形的一边的一个三等分点，求向量的线性表达式．着重考查了平面向量的减法法则和平面向量的基本定理及其意义等知识，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由题意，可知∵数列{a n}为等比数列，且a1010a1011=3，∴根据等比中项的性质，可得a1a2020=a2a2019=⋯=a1010a1011=3，∴log3a1+log3a2+⋯+log3a2020=log3a1a2…a2020=log3(a1a2020⋅a2a2019…a1010a1011)=log331010=1010．故选：C．本题结合等比中项的性质及对数的运算法则进行计算即可得到正确的选项．本题主要考查了等比数列的性质应用，以及对数的运算．考查了整体思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．7.【答案】D【解析】解：∵f(−x)=1+e −x1−e−x ⋅cos(−x)=e x+1e x−1⋅cosx=−1+e x1−e xcosx=−f(x)，∴f(x)为奇函数，排除选项A和C；当0<x<1时，e x>1，cosx>0，∴f(x)<0，排除选项B，故选：D．根据函数奇偶性的概念可判断f(x)为奇函数，排除选项A和C，再对比剩下选项，只需考虑0<x<1时，f(x)与0的大小关系即可作出选择．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．【解答】解：∵向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，且|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=5，∴(2a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =2a ⃗ 2−b ⃗ ⋅a ⃗=2×22−5×2×cos60°=3， ∴向量2a ⃗ −b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影为a ⃗ ⋅(2a ⃗ −b⃗ )|a ⃗ |=32．故选：A ．9.【答案】C【解析】解：由f(2+x)=f(2−x)，得f(x +4)=f[2−(x +2)]=f(−x)， 又f(x)是偶函数，则f(x +4)=f(x)，则f(x)是周期为4的周期函数． 又当x ∈[−2,0]时，f(x)=(√22)x −1，∴当x ∈[0,2]时，−x ∈[−2,0]，则f(x)=f(−x)=(√22)−x −1=(√2)x −1．关于x 的方程f(x)−log a (x +2)=0(a >0,a ≠1)在区间(−2,10)内恰有5个不同的实数根，即y =f(x)与y =log a (x +2)在区间(−2,10)内有5个不同的交点． 显然a >1．在同一平面直角坐标系内作出函数y =f(x)与y =log a (x +2)的图象如图：则{log a 8<1log a 12≥1，解得8<a ≤12． ∴实数a 的取值范围是(8,12]． 故选：C ．由已知求得f(x)的周期，再求出函数在[0,2]上的解析式，作出函数y =f(x)与y =log a (x +2)的图象，由图可得关于a 的不等式组，求解得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．10.【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义求出m的值，再根据条件判断单调性，由得出结论．本题主要考查幂函数的定义和性质，属于中档题．【解答】解：∵已知函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数，∴m2−m−1=1，∴m=2，或m=−1，f(x)=x7，或f(x)=x−2．>0，对任意的x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2故f(x)是增函数，∴f(x)=x7．若a，b∈R，a+b<0，即a<−b，∴a7<(−b)7，即a7<−b7，即a7+b7<0．则f(a)+f(b)=a7+b7<0，故选：B．11.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=ln|x|+x2+3，∴其定义域为{x|x≠0}，∴f(−x)=ln|−x|+(−x)2+3=f(x)，即为偶函数，∵x>0时，f(x)=lnx+x2+3单调递增，∴不等式f(log3a)≤f(x2−2x+2)对于x∈R恒成立，即不等式f(|log3a|)≤f(|x2−2x+2|)对于x∈R恒成立，∴|log3a|≤|x2−2x+2|=(x−1)2+1对于x∈R恒成立，∴|log3a|≤1且log3a≠0，∴−1≤log3a≤1且log3a≠0，≤a≤3且a≠1，∴13故选：C．先研究函数f(x)=ln|x|+x2+3的奇偶性以及单调性，进而求解结论．本题主要考查函数的奇偶性以及单调性的应用，属于中档题目．12.【答案】B【解析】解：f(x)=sinωx+acosωx=√a2+1sin(ωx+φ)，其中tanφ=a，∵x=π6处取得最大值∴π6ω+φ=π2+2kπ，即φ=π2+2kπ−π6ω，k∈Z，∴tanφ=tan(π2+2kπ−π6ω)=tan(π2−π6ω)=1tanπω6=a，①，k∈Z，∵f(π3)=√a2+1sin(π3ω+φ)=√a2+1sin(π3ω+π2+2kπ−π6ω)=√a2+1cosπ6ω=√3，k∈Z，∴cosπ6ω=√3√a2+1，②，①×②得sinπ6ω=1a⋅√3a2+1，∴sin2ωπ6+cos2ωπ6=3a2+1+3a2(a2+1)=1，即a4−2a2−3=0，解得a=√3，a=−√3(舍去)，由①得tanωπ6=tan(π6+kπ)，k∈Z，∵cosωπ6>0，∴ωπ6在第一象限，∴取√33=tan(π6+2kπ)，k∈Z，由T=2π|ω|<2π，即|ω|>1，∴ωπ6=π6+2kπ，k∈Z，∴ω=12k+1，k∈Z，使|ω|最小，则k=−1，即|ω|min=11，若不等式λ|ω|≥a恒成立，则λ≥(a|ω|)max=√311，故选：B．先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得tanφ=1 tanπω6=a，①，再根据f(π3)=√3，可得cosπ6ω=√3√a2+1，②，通过①②求出a的值，再根据三角函数的性质可得ω=12k+1，k∈Z，求出|ω|min=11，根据不等式λ|ω|≥a恒成立，则λ≥(a|ω|)max，即可求出答案．本题考查了三角恒等换和同角的三角函数的关系，三角形函数的图象和性质，属于难题．13.【答案】3或−1【解析】解：向量a⃗=(t,t−√3)与b⃗ =(t+√3,2)共线，所以2t−(t−√3)(t+√3)=0，化简得t2−2t−3=0，解得t=3或t=−1．故答案为：3或−1．根据平面向量的共线定理，列方程求出t的值．本题考查了平面向量的坐标运算与应用问题，是基础题．14.【答案】sin(2x+π3)【解析】解：由函数图象可得函数的最大值为1，可得A=1，又∵函数的周期34T=7π12−(−π6)=3π4，∴T=2πω=π，可得ω=2，∴函数解析式为：f(x)=sin(2x+φ)，又函数图象经过点(−π6,0)，得：sin[2×(−π6)+φ]=0，可得2×(−π6)+φ=kπ，k∈Z，解之得φ=kπ+π3，(k∈Z)，又∵|φ|<π2，∴φ=π3，∴f(x)的解析式是f(x)=sin(2x+π3).故答案为：sin(2x+π3).首先根据函数图象得函数的最大值得到A，然后算出函数的周期T，利用周期的公式，得到ω，最后将点(−π6,0)代入，结合φ的范围，可得φ的值，即可求解f(x)的解析式．本题给出了函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的知识点，属于基础题．15.【答案】3√154【解析】解：因为tan∠ACB =tan(∠ACD +∠BCD)=1+8+√1571−8+√157=−√15，所以cos∠ACB =−14，由余弦定理可知AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BCcos∠ACB ， =9+4−2×3×2×(−14)=16， 即AB =4，根据“三斜求积术”可得S 2=14[42×22−(42+22−322)2]=13516，所以S =3√154． 故答案为：3√154由已知结合两角和的三角公式及同角平方关系可求cos∠ACB ，然后结合余弦定理可求AB ，代入已知公式即可求解．本题主要考查了两角和的正切公式及同角基本关系，余弦定理在求解三角形中的应用．16.【答案】1010【解析】解：∵S n +S n−1−2S n S n−1=2na n ， ∴S n +S n−1−2S n S n−1=2n(S n −S n−1)， ∴2S n S n−1=(2n +1)S n−1−(2n −1)S n ， ∴2n+1S n−2n−1S n−1=2．令b n =2n+1S n，则b n −b n−1=2(n ≥2)．∴数列{b n }是以b 1=3S 1=3a 1=1为首项，以2为公差的等差数列．∴b n =2n −1． 即2n+1S n=2n −1，得S n =2n+12n−1． ∴S 1S 2…S m =3×53×…×2m+12m−1=2m +1． 由2m +1≥2021，解得m ≥1010． 即正整数m 的最小值为1010． 故答案为：1010．把已知数列递推式变形，得到2n+1S n−2n−1S n−1=2，令bn =2n+1S n，则b n −b n−1=2(n ≥2)，可知数列{b n }是以b 1=3S 1=3a 1=1为首项，以2为公差的等差数列，求其通项公式，得到S n ，再由累积法求得S 1S 2…S m ，求解不等式得答案．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了利用累积法求数列的通项公式，是中档题．17.【答案】解：(1)∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 7=1，S 4=−32．∴{a 1+6d =14a 1+4×32d =−32，解得a 1=−11，d =2，∴数列{a n }的通项公式a n =−11+(n −1)×2=2n −13． (2)S n =−11n +n(n−1)2×2=n 2−12n =(n −6)2−36．∴n =6时，S n 的最小值为−36．【解析】(1)由等差数列{a n }的通项公式和前n 项和列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n }的通项公式．(2)求出S n =n 2−12n =(n −6)2−36.从而n =6时，S n 的最小值为−36．本题考查等差数列的通项公式、前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)因为f(x)=12cos 2x +√32sinxcosx −14=12×1+cos2x 2+√34sin2x −14=12sin(2x +π6)，令2x +π6=2kπ+π2，k ∈Z ，解得x =kπ+π6，k ∈Z ，所以函数f(x)取得最大值12时，自变量x 的取值集合为{x|x =kπ+π6,k ∈Z}． (2)列表如下：描点，连线可得函数图象如下：(3)令2kπ+π2<2x+π6<2kπ+3π2，k∈Z，解得kπ+π6<x<kπ+2π3，k∈Z，可得函数f(x)单调递减区间为(kπ+π6,kπ+2π3)，k∈Z．【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f(x)=12sin(2x+π6)，进而根据正弦函数的性质即可求解．(2)利用五点法即可做出该函数在[0,π]上的图象．(3)令2kπ+π2<2x+π6<2kπ+3π2，k∈Z，即可解得函数f(x)单调递减区间．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质，考查了五点作图法的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．19.【答案】证明：(1)依题意，由a n+1=2(n+1)na n，可得a n+1 n+1=2⋅a nn，∵a11=2，∴数列{a nn}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a nn=2⋅2n−1=2n，n∈N∗，∴a n=n⋅2n，n∈N∗．(2)由(1)，知b n=na n−n =nn⋅2n−n=12n−1，2n b n b n+1=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，∴S n =121−1−122−1+122−1−123−1+⋯+12n −1−12n+1−1=121−1−12n+1−1=1−12n+1−1<1，∴不等式S n <1成立．【解析】本题第(1)题将题干中的已知条件进行转化即可推导出数列{a nn }是以2为首项，2为公比的等比数列，通过计算出数列{ann }的通项公式即可计算出数列{a n }的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{b n }的通项公式，再计算出数列{2n b n b n+1}的通项公式，然后运用裂项相消法求出前n 项和S n 的表达式，最后根据不等式的性质即可证明结论成立．本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求和．考查了转化与化归思想，整体思想，不等式的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．20.【答案】解：(1)∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即C =π2， ∴△ABC 为直角三角形； (2)∵△ABC 为直角三角形， ∴a =csinA ，b =ccosA ， ∴M =(a+b+c)(ab+ac+bc)abc=(sinA+cosA+1)(sinAcosA+sinA+cosA)sinAcosA，令t =sinA +cosA(1<t ≤√2)，则sinAcosA =t 2−12，∴M =(t+1)(t 2−12+t)t 2−12=t 2+2t−1t−1=t −1+2t−1+4，∵1<t ≤√2，∴0<t −1≤√2−1，且y =x +2x 在(0,√2)上单调递减， ∴t −1=√2−1时，M min =5+3√2．【解析】(1)根据AB 2−=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而得出C =π2，即得出△ABC 是直角三角形；(2)根据△ABC 为直角三角形即可得出M =(sinA+cosA+1)(sinAcosA+sinA+cosA)sinAcosA，然后令t =sinA +cosA(1<t ≤√2)即可得出M =t −1+2t−1+4，然后根据函数y =x +2x 的单调性即可求出M 的最小值．本题考查了向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，换元法的应用，函数y =x +2x 的单调性，考查了计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)g(x)=ax −1−lnx ，x >0，∴g′(x)=a −1x =ax−1x，当a ≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0,+∞)为减函数，当a >0时，在x ∈(0,1a )，g′(x)<0，在(1a ,+∞)，g′(x)>0， ∴g(x)在(0,1a )为减函数，在(1a ,+∞)为增函数．(2)当a ≤0时，函数g(x)在(0,e]为减函数，g(x)min =ae −2=2，无解； 当0<a ≤1e 时，即1a ≥e ，函数g(x)在(0,e]为减函数，∴当x =e 时有最小值，g(x)min =ae −1−1=2，解得a =4e ，不合题意舍去； 当a >1e 时，即0<1a <e ，函数g(x)在(0,1a )为减函数，在(1a ,e]为增函数， ∴当x =1a 时有最小值，g(x)min =1−1+lna =2，解得a =e 2， 综上所述，存在实数a =e 2，当x ∈(0,e]时，函数g(x)的最小值是2．(3)证明：由(2)知，若x ∈(0,e]，g(x)=e 2x −1−lnx ≥2，即e 2x ≥3+lnx 恒成立， 即9x >e 2x ⩾3+lnx 在x ∈(0,e]内恒成立， 即x >19(3+lnx)在x ∈(0,e]内恒成立， 取x =n n+1，n ∈N ∗， 则nn+1>19(3+ln nn+1)， 则3⋅nn+1>1+13ln nn+1，∴3(12+23+34+⋯+n n+1)>n +13ln(12×23×…×n n+1)=n +13ln 1n+1=n −ln √n +13．【解析】(1)求导，分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；(2)根据(1)的结论，分类讨论，根据导数和函数的最值的关系，即可求出a 的值； (3)根据(2)可得g(x)=e 2x −1−lnx ≥2，即x >19(3+lnx)x ∈(0,e]内恒成立，取x =nn+1，可得3⋅nn+1>1+13ln nn+1，累加即可证明． 本题考查函数单调性与导数的关系的应用，考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握函数恒成立时所取的条件，是一道综合题．22.【答案】解：(1)由{y =2t −1x=2t+1消去t 得x −y −2=0，由ρ=2acosθ得ρ2=2aρcosθ，得x 2+y 2−2ax =0，依题意C 2的圆心C 2(a,0)在C 1：x −y −2=0上，所以a −0−2=0，解得a =2， 故曲线C 1 的普通方程为x −y −2=0，曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−4x =0.即(x −2)2+y 2=4．(2)C 2向左平移2各单位长度后得x 2+y 2=4，再按照{x′=12x y′=√32y 变换得到C 3：x 2+y 23=1，设P 点坐标为(cosθ,√3sinθ)，P 点到C 1 的距离为d =√3sinθ−2|√2=|2sin(θ−π6)+2|√2，当θ=2π3时，点P 到C 1 的距离最大，最大值为2√2．【解析】(1)消去参数t 可得C 1的普通方程，两边同乘以ρ后可得C 2的直角坐标方程，利用直线过圆心可得a =2；(2)利用图象变换先得C 3，再C 2上设P 点，由点到直线的距离求出距离d 再根据三角函数求最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：(1)f(x)−f(2x +4)<2即为|x −2|−|2x +2|<2，等价为{2−x +2x +2<2x ≤−1或{−1<x <22−x −2x −2<2或{x ≥2x −2−2x −2<2，化为x ≤−2或−23<x <2或x ≥2，综上可得，原不等式的解集为(−∞,−2)∪(−23,+∞)；(2)若f(x−1)+f(x+3)≥m2+3m对所有的x∈R恒成立，即为|x−3|+|x+1|≥m2+3m对所有的x∈R恒成立，即有(|x−3|+|x+1|)min≥m2+3m，由|x−3|+|x+1|≥|x−3−x−1|=4，当−1≤x≤3时，取得等号，则m2+3m≤4，解得−4≤m≤1，即m的取值范围是[−4,1]．【解析】(1)由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得(|x−3|+|x+1|)min≥m2+3m，由绝对值的性质可得最小值，再由二次不等式的解法可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和分类讨论思想，运算能力和推理能力，属于中档题．。
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2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|1}P x x =„，集合1|1Q x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭„，则(P Q =I )A ．ϕB ．{1}C ．{|0}x x <D ．{|0x x <或1}x =2．（5分）设复数1z i =，21z i =+，则复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）设函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩„，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞4．（5分）已知椭圆22143x y +=，则与椭圆相交且以点(1,1)A 为弦中点的直线所在方程为()A ．3470x y ++=B ．2570x y +-=C ．3410x y -+=D ．3470x y +-=5．（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅⋯⋯癸酉、甲戌、乙亥、丙子⋯⋯癸未、甲申、乙酉、丙戌⋯⋯癸巳⋯⋯癸亥，60为一个周期，周而复始，循环记录．按照“干支纪年法”，中华人民共和国成立的那年为己丑年，则2013年为()A ．甲巳年B ．壬辰年C ．辛卯年D ．癸巳年6．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面 ①m α⊂，//n α，则//m n ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β； ④若//m α，//n β，//m n ，则//αβ．上述四个命题中，正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）在ABC ∆中，1CA =，3CB =，2ACB π∠=，点M 满足3CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r，则(MA MB =u u u r u u u r g) A ．3B ．6C ．9D ．08．（5分）由直线1y x =-上的点向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，则切线长的最小值为() A ．1B ．2C ．2D ．39．（5分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)(21)n n a n =--，则2019(S = ) A ．2019B ．2019-C ．4037-D ．403710．（5分）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．174π B 1717C ．172πD 171711．（5分）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是221y x -=，[1y ∈，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．2.512．（5分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()2()xf x f x '+=，12()22f e=，若对任意正数a ，b 都有2221311(())224644x abf b e a -<++，则x 的取值范围是( ) A ．(2,1)-- B ．(,1)-∞-C ．1(1,)2-D ．1(0,)2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若双曲线的渐近线方程为2y x =±，且焦点在y 轴上，则双曲线的离心率为 ． 14．（5分）将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人三本，其余两人每人一本，则有 种不同分法．（结果用数字作答）15．（5分）如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[ϕπ∈-，]π，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．则y （米)关于t （分钟）的解析式为 ．16．（5分）已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 均在抛物线2y x =上，给出下列命题： ①若直线BC 过点3(,0)8M ，则存在ABC ∆使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的重心；②若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形； ③存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心； ④若边AC 的中线//BM x 轴，||2BM =，则ABC ∆的面积为23． 其中正确的序号为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，26b =，2B A =． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，求二面角1D BC C --的大小．19．（12分）已知在正项数列{}n a 中，首项12a =，点1(,n n A a a +在双曲线221y x -=上，数列{}n b 中，点(n b ，)n T 在直线112y x =-+上，其中n T 是数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求使得1|1|2020n T -<成立n 的最小值； （3）若n n n c a b =g ，求证：数列{}n c 为递减数列．20．（12分）已知抛物线2:4C y x =上一点(2,1)A ，D 与A 关于抛物线的对称轴对称，斜率为1的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 在直线AD 两侧． （1）求证：DA 平分MDN ∠；（2）点E 为抛物线在M 、N 处切线的交点，若EMN DMN S S ∆∆=，求直线MN 的方程． 21．（12分）已知函数()f x lnx ax =-，0a >．（1）若()f x a -„对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定点1(A x ，1())f x ，2(B x ，212())()f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在01(x x ∈，2)x ，使0()k f x '=成立；（3）当*n N ∈时，证明：22231(2)()()224n n ln ln ln n n +++⋯+>+． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意一点(,)P x y经过伸缩变换2x y y ⎧'⎪⎨'=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(cos sin )8l ρθθ-=． （1）求曲线2C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >，0c >设函数()||||f x x b x c a =-+++，x R ∈． （1）若2a b c ===，求不等式()7f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为2，证明：4199()2a b c a b b c c a +++++++…．2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|1}P x x =„，集合1|1Q x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭„，则(P Q =I )A ．ϕB ．{1}C ．{|0}x x <D ．{|0x x <或1}x =【解答】解：Q 111{|1}{|0}{|0}{|1x x Q x x x x x x x x--====剟厖或0}x <又{|1}P x x =Q „， {|0P Q x x ∴=<I 或1}x =故选：D ．2．（5分）设复数1z i =，21z i =+，则复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数1z i =，21z i =+，则复数12(1)1z z z i i i ==+=-+g ． 复数对应的点的坐标(1,1)-，复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于第二象限． 故选：B ．3．（5分）设函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩„，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【解答】解：函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩„，的图象如图：满足(1)(2)f x f x +<，可得：201x x <<+或210x x <+„， 解得(,0)x ∈-∞． 故选：D ．4．（5分）已知椭圆22143x y +=，则与椭圆相交且以点(1,1)A 为弦中点的直线所在方程为()A ．3470x y ++=B ．2570x y +-=C ．3410x y -+=D ．3470x y +-=【解答】解：设(,)A x y ，(,)B x y ''，由题意知22x x y y '+=⎧⎨'+=⎩，则2222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨''⎪+=⎪⎩， 两式相减得：2222043x x y y ''--+=，整理得：3()34()4y y x x x x y y ''-+=-=-''-+， 所以34k =-，直线方程为：31(1)4y x -=--，即3470x y +-=，故选：D ．5．（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅⋯⋯癸酉、甲戌、乙亥、丙子⋯⋯癸未、甲申、乙酉、丙戌⋯⋯癸巳⋯⋯癸亥，60为一个周期，周而复始，循环记录．按照“干支纪年法”，中华人民共和国成立的那年为己丑年，则2013年为()A ．甲巳年B ．壬辰年C ．辛卯年D ．癸巳年【解答】解：从1949年到2009年，总共经过了60年； 从2009年到2013年，总共经过了5年； 所以天干中的己变为癸，地支中的丑变为巳，即2020年是“干支纪年法”中的癸巳年． 故选：D ．6．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面 ①m α⊂，//n α，则//m n ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β； ④若//m α，//n β，//m n ，则//αβ． 上述四个命题中，正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，①错误；若//αβ，//βγ，则由平行公理得//αγ，又因为m α⊥，所以m γ⊥，故②正确； 若n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β或m β⊂，故③错误； 若//m α，//n β，//m n ，则α与β平行或相交；故④错误， 故选：A ．7．（5分）在ABC ∆中，1CA =，3CB =，2ACB π∠=，点M 满足3CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r，则(MA MB =u u u r u u u r g) A ．3B ．6C ．9D ．0【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，由题意知，(0,0)C ，(3,0)B ，(0,1)A ； ∴(3,0)CB =u u u r ，(0,1)CA =u u u r， ∴3(3,3)CM CB CA =+=u u u u r u u u r u u u r，∴(3,2)MA CA CM =-=--u u u r u u u r u u u u r， (0,3)MB CB CM =-=-u u u r u u u r u u u u r，则30(2)(3)6MA MB =-⨯+-⨯-=u u u r u u u rg ．故选：B ．8．（5分）由直线1y x =-上的点向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，则切线长的最小值为()A ．1B ．2C D 【解答】解：根据题意，设P 为直线1y x =-上一点，过点P 向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，T 为切线，圆22(2)(3)1x y -+-=的圆心为C ，其坐标为(2,3)，半径1r =，则切线长||PT ==， 要使切线长最小，必须是||PC 的值最小，又由||PC 的最小值d ==则切线长||PT 1=； 故选：A ．9．（5分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)(21)n n a n =--，则2019(S = ) A ．2019B ．2019-C ．4037-D ．4037【解答】解：(1)(21)n n a n =--，可得20191357911(40341)(40361)(40381)S =-+-+-+-⋯--+--- 22240372100940372019=++⋯+-=⨯-=-．故选：B ．10．（5分）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为( )A．174πB．1717πC．172πD．1717π【解答】解：由题意可知几何体是三棱锥，是正方体的一部分如图：底面BCD是等腰三角形，边长为：2，5，5，外接圆的半径为r，可得222(2)1r r=-+，解得54r=，三棱锥的外接球的半径为R，2225934(2)1616R r r=+-=+=，外接球的表面积为：34174162ππ⨯=．故选：C．11．（5分）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是221y x-=，[1y∈，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为()A ．1B ．2C ．3D ．2.5【解答】解：由题意画出曲线的图象，设小球的截面圆心为：0(0,)y ，设双曲线上的点(,)x y ，点到圆心的距离的平方22222220000()1()221r x y y y y y y y y y =+-=-+-=-+-，对称轴02y y =若2r 最小值在(0,1)时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在1y =的左边，所以012y „，02y „， 所以0211r <-=„， 故选：A ．12．（5分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()2()xf x f x '+12()22f e=，若对任意正数a ，b 都有2221311(())224644x abf b e a -<++，则x 的取值范围是( ) A ．(2,1)-- B ．(,1)-∞- C ．1(1,)2-D ．1(0,)2【解答】解：令2()()x g x e f x =，则2()()xg x f x e =，且222()2()()[2()()]x x x g x e f x e f x e f x f x e x '=+'=+'=则22222()()2()2()2()()()x x x x x g x e g x e g x g x e x g x f x e e '-'--'===g g ，令()2()h x ex g x =，则()2()22x xh x ex g x xx'=-'=，令()0h x '>，解得102x <<；令()0h x '<，解得12x >， ∴121112122()()2()2()02222e e eh x h e g ef ==-==„，()0f x ∴'„在(0,)+∞上恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上递减；又222222111114()4644464882ab ab ab f b e a b e a ++=+++==…， ∴131(())()222x f f -<，∴13()022131()222x x ⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，解得1x <-． 故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若双曲线的渐近线方程为2y x =±，且焦点在y 轴上，则双曲线的离心率为． 【解答】解：Q 双曲线的焦点在y 轴上，∴设双曲线的方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>可得双曲线的渐近线方程是ay x b =±，结合题意双曲线的渐近线方程是2y x =±，得2ab=， 2b a ∴=，可得：2224()c a a -=，即2245c a =，此双曲线的离心率e =．． 14．（5分）将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人三本，其余两人每人一本，则有 60 种不同分法．（结果用数字作答）【解答】解：第一步：一人三本的方法：13235554333021C C C ⨯==⨯=⨯g g ， 第二步，剩余的分给另外两人：222A =， 所以共有：30260⨯=种方法； 故答案为：60．15．（5分）如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[ϕπ∈-，]π，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．则y （米)关于t （分钟）的解析式为250sin()6032y t ππ=-+ ．【解答】解：（1）由题意， 50A =，60b =，3T =；故23πω=， 故250sin()603y t πϕ=++； 则由50sin 6010ϕ+=及[ϕπ∈-，]π得，2πϕ=-；故250sin()6032y t ππ=-+． 故答案为：250sin()6032y t ππ=-+． 16．（5分）已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 均在抛物线2y x =上，给出下列命题： ①若直线BC 过点3(,0)8M ，则存在ABC ∆使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的重心；②若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形； ③存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心； ④若边AC 的中线//BM x 轴，||2BM =，则ABC ∆的面积为23． 其中正确的序号为 ①② ．【解答】解：①若直线BC 过点3(,0)8M ，则当A 为坐标原点时，(0,0)A ，设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，则由重心坐标公式可得，ABC ∆的重心的横坐标为121131(0)3344x x ++=⨯=，纵坐标为0，∴抛物线2y x =的焦点1(4，0)为ABC ∆的重心，故①正确；②若直线BC 过点(1,0)N ，取(4,2)B ，则202413BC k -==-， 过B 且与BC 垂直的直线方程为32(4)2y x -=--，联立2382y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩或64983x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形，故②正确；设以1(4，0)为圆心的圆的方程为2221()4x y r -+=，联立22221()4x y r y x⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，得221681160x x r ++-=． Q 12102x x +=-<，∴方程221681160x x r ++-=至多有一个正根，即圆为2221()4x y r -+=与抛物线2y x =至多有两个交点，∴不存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心，故③错误；④如图，根据题意设2(A a ，)a ，2(B b ，)b ，2(C c ，)c ，不妨设0a <，M Q 为边AC 的中点，22(2a c M +∴，)2a c +，又//BM x 轴，则2a cb +=， 故2222222()()||||||22244a c a c a c a c BM b +++-=-=-==，2()8a c ∴-=，即22a c -=-设A 到BM 的距离为h ，故122||2||2||||2222ABC ABM a cS S BM h a b a a c ∆∆+==⨯=-=-=-=g D 错误．∴正确的序号为①②．故答案为：①②．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，b =，2B A =． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．【解答】解：（Ⅰ）ABC ∆Q 中，3a =，b =2B A =，∴由正弦定理得：3sin sin 2A A =，即2sin cos sin 3A A A =，cos A ∴=； （Ⅱ）由（1）知cos A =(0,)A π∈，sin A ∴，又2B A =， 21cos cos22cos 13B A A ∴==-=，(0,)B π∈，sin 3B ∴=， 在ABC ∆中，1sin sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+=，3sin 5sin a Cc A∴===． 18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，求二面角1D BC C --的大小．【解答】解：（1）证明：直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AB AC ==，1AA t =，则(2B ，0，0)，(0C ，2，0)，1(2B ，0，)t ，(0D ，0，)2t ，(1E ，1，)2t，(2BC =-u u u r，2，0)，1(0BB =u u u r ，0，)t ，(1DE =u u u r ，1，0)， Q 0BC DE =u u u r u u u rg ，10BB DE =u u u r u u u r g ，BC DE ∴⊥，1BB DE ⊥， 1BC BB B =Q I ，DE ∴⊥平面11BCC B ．（2）解：1(0A ，0，)t ，1(2B C =-u u u u r ，2，)t -，1(0AA =u u u r，0，)t ， Q 直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，21111211||2|cos ,|||||8B C AA B C AA B C AA t t∴<>===+u u u u r u u u ru u u u r u u u r g u u u u r u u u r g g ，解得22t =(0D ∴，02)，1(0C ，2，22)，(2BC =-u u u r，2，0)，(2BD =-u u u r ，02)，1(2BC =-u u u u r ，2，22)，设平面BDC 的法向量(n x =r，y ，)z ，则220220n BD x z n BC x y ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1n =r ，12)， 设平面1BCC 的法向量(m x =r，y ，)z ，则1220 2222m BC x ym BC x y z⎧=-+=⎪⎨=-++=⎪⎩u u u rrgu u u u rrg，取1x=，得(1m=r，1，0)，设二面角1D BC C--的大小为θ．则||2cos||||42m nm nθ===r rgr rg g，4πθ∴=．∴二面角1D BC C--的大小为4π．19．（12分）已知在正项数列{}na中，首项12a=，点1(,n nA a a+在双曲线221y x-=上，数列{}nb中，点(nb，)nT在直线112y x=-+上，其中nT是数列{}nb的前n项和．（1）求数列{}na、{}nb的通项公式；（2）求使得1|1|2020nT-<成立n的最小值；（3）若n n nc a b=g，求证：数列{}nc为递减数列．【解答】（1）解：由题意，点1(,)n nA a a+在双曲线221y x-=上，则11n na a+-=．∴数列{}na是以2为首项，1为公差的等差数列，2(1)11na n n∴=+-=+g，*n N∈．又Q点(nb，)nT在直线112y x=-+上，则112n nT b=-+．当1n=时，111112b T b==-+，解得123b=；当2n …时，11111122n n n n n b T T b b --=-=-++-， 整理，得113n n b b -=．∴数列{}n b 是以23为首项，13为公比的等比数列，1212()333n n n b -∴==g ，*n N ∈．（2）解：由（1），得11211112233n n n n T b =-+=-+=-g ．则111|1||11|332020n nn T -=--=<， 即32020n >．63729=Q ，732187=， n ∴的最小值为7．（3）证明：由（1），得22(1)(1)33n n n n n n c a b n +==+=g g ． 1112(2)2(1)420333n n n n n n n n c c ++++++∴-=-=-<，*n N ∈． 1n n c c +∴<对任意*n N ∈恒成立．∴数列{}n c 为递减数列．20．（12分）已知抛物线2:4C y x =上一点(2,1)A ，D 与A 关于抛物线的对称轴对称，斜率为1的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 在直线AD 两侧． （1）求证：DA 平分MDN ∠；（2）点E 为抛物线在M 、N 处切线的交点，若EMN DMN S S ∆∆=，求直线MN 的方程． 【解答】解：（1）由题意如图，由题意抛物线的对称轴为y 轴，可知(2,1)D -， 设直线MN 的方程为y x b =+，(,)M x y ''''，(,)N x y ''，联立直线与抛物线的方程整理得：2440x x b --=，4x x '+=，4xx b '=-， 所以11(1)(2)(1)(2)2(1)()4(1)2(4)4(1)4(1)022(2)(2)(2)(2)(2)(2)DN DM y y x b x x b x x x b x x b b b b k k x x x x x x x x '''''-''-+-''++''+-+''+++''+--+++-+=+====''''+''++''++''++''+，所以DN DM k k =-， 所以DA 平分MDN ∠；（2）由24y x =，24x y =，所以2xy '=，所以在M 处的切线方程为：22()2424x x x x y x x x ''''''''=-''+=-①， 同理在N 处的切线方程为：224x x y x ''=-②，①②联立和（1）解得：22x x x '+''==，4x x y b '''==-，所以E 的坐标为：(2,)b -，由（1）直线:0MN x y b -+=及题意得：22=，整理得：231450b b +-=，解得：13b =或5-，又因为且M 、N 在直线AD 两侧，经检验13b =符合题意， 所以直线MN 的方程为13y x =+．21．（12分）已知函数()f x lnx ax =-，0a >．（1）若()f x a -„对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定点1(A x ，1())f x ，2(B x ，212())()f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在01(x x ∈，2)x ，使0()k f x '=成立；（3）当*n N ∈时，证明：22231(2)()()224n n ln ln ln n n +++⋯+>+． 【解答】解：（1）()f x a -„对0x ∀>恒成立，即0lnx ax a -+„对任意0x >都成立， 构造函数()(0)g x lnx ax a x =-+>，则()0max g x „，11()axg x a x x-'=-=， 令()0g x '=，解得1x a=， 当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞，()0g x '<；故11()()10max g x g ln a a a==-+„，即10(0)lna a a -+>…，设h （a ）1(0)lna a a =-+>，则11()1ah a a a-'=-=， 令h '（a ）0=，解得1a =，当(0,1)a ∈时，h '（a ）0>；当(1,)a ∈+∞时，h '（a ）0<； 故h （a ）max h =（1）0=，即h （a ）10lna a =-+„，而又需10lna a -+…，故1a =； （2）证明：作辅助函数211121()()()()()()f x f x F x f x f x x x x x -=----，则2121()()()()f x f x F x f x x x -'='--，显然12()()F x F x =，由导数的几何意义可知，存在01(x x ∈，2)x ，使得210021()()()()0f x f x F x f x x x -'='-=-，即21021()()()f x f x f x x x -'=-，即0()f x k '=，即得证．（3）证明：由（1）知，1lnx x -„，则11ln x x-…，取11()n n N x n +=∈g ，则111n ln n n +>+，则2211111()(1)(1)(2)12n ln n n n n n n +>>=-+++++， ∴2223111111111(2)()()2233412222(2)n nln ln lnn n n n n +++⋯⋯+>-+-+⋯⋯+-=-=++++，即得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意一点(,)P x y经过伸缩变换2x y y⎧'⎪⎨'=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(cos sin )8l ρθθ-=． （1）求曲线2C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．第21页（共21页）【解答】解：（1）将曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意一点(,)P x y经过伸缩变换2x y y⎧'=⎪⎨'=⎪⎩后得到曲线22sin x C y θθ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩的图形．整理得22134x y +=．（2）设点,2sin )P θθ，直线:(cos sin )8l ρθθ-=转换为直角坐标方程为：80x y --=．所以点,2sin )P θθ到直线80x y --=，的距离d ==，当sin()1θα+=-时，max d =+，此时点(P ．[选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >，0c >设函数()||||f x x b x c a =-+++，x R ∈．（1）若2a b c ===，求不等式()7f x >的解集；（2）若函数()f x 的最小值为2，证明：4199()2a b c a b b c c a +++++++…．【解答】解：（1）当2a b c ===时，22,2()|2||2|26,2222,2x x f x x x x x x +>⎧⎪=-+++=-⎨⎪-+<-⎩剟．()7f x >Q ，∴2272x x +>⎧⎨>⎩或2272x x -+>⎧⎨<-⎩， ∴52x <-或52x >，∴不等式的解集为55(,)(,)22-∞-+∞U ．（2）()|||||()()|||f x x b x c a x b x c a b c a b c a =-+++--++=++=++Q …， ()2min f x b c a ∴=++=， ∴4191419()(222)2a b c a b b c c a a b b c c a ++=++++++++++21922=…， ∴4199()2a b c a b b c c a +++++++…。