向量的概念与背景
平面向量的基本概念
平面向量的实际背景及基本概念1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。
数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。
4.有向线段的三要素：起点，大小，方向 5.有向线段与向量的区别； （1）相同点：都有大小和方向（2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。
②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线 段表示相同（等）的向量。
③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成 6.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；7.向量的模：向量AB 的大小（长度）称为向量的模，记作|AB |. 8.零向量、单位向量概念：长度为零的向量称为零向量，记为：0。
长度为1的向量称为单位向量。
9.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即：0 ∥ａ。
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 10.相等向量A(起点)B（终点）a长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．． 向线段的起点无关．．．．．．．．. 11.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．． 说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。
（2）共线向量是可以相互平行的。
例1.判断下列说法是否正确，为什么？ （1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。
向量的基础知识及应用
向量的基础知识及应用向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍向量的基础知识，包括向量的定义、性质、表示方法以及向量的应用。
## 一、向量的定义在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以在空间中表示为有向线段，起点和终点分别表示向量的起点和终点。
向量常用字母加上箭头表示，如$\vec{a}$、$\vec{b}$。
向量的大小称为模，通常用两点间的距离表示。
向量的方向可以用与某一坐标轴的夹角表示。
向量的模和方向唯一确定一个向量。
## 二、向量的性质1. 向量相等：两个向量的模和方向完全相同，则这两个向量相等。
2. 零向量：模为0的向量称为零向量，记作$\vec{0}$，零向量的方向是任意的。
3. 平行向量：模相等且方向相同或相反的向量称为平行向量。
4. 共线向量：如果存在一个非零实数$k$，使得$\vec{a}=k\vec{b}$，则称向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$共线。
5. 相反向量：模相等方向相反的向量称为相反向量，记作$-\vec{a}$。
## 三、向量的表示方法1. 坐标表示法：在直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数组$(a_1, a_2, a_3)$，其中$a_1$、$a_2$、$a_3$分别是向量在$x$轴、$y$轴、$z$轴上的投影。
2. 分解表示法：将一个向量分解为与坐标轴平行的分量，如$\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}$，其中$\vec{i}$、$\vec{j}$、$\vec{k}$分别是$x$轴、$y$轴、$z$轴的单位向量。
3. 几何表示法：在空间中用有向线段表示向量，起点为原点，终点为向量的终点。
## 四、向量的运算1. 向量的加法：向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$的和记作$\vec{a}+\vec{b}$，满足三角形法则。
2. 向量的数乘：实数$k$与向量$\vec{a}$的乘积$k\vec{a}$，其模为$k$倍的$\vec{a}$的模，方向与$\vec{a}$相同（$k>0$）或相反（$k<0$）。
4.1 向量的定义及背景
P x
所有二维向量的集合称为二维向量空间，记为R2。 3. 三维向量： z P 空间的有向线段称为三维向量 . 三维向量 oP 与数对(x, y,z) x y o 一一对应，记为 oP y x 所有三维向量的集合称为三为 向量。一般 二、三维向量可用有向线段来表示，将其推广到 n 维后，不能由几何图形来描述，但可类似二、 三向量维来理解。 如中学学过的向量加法的平行四边形法则等。 α 。
b1 a11 a12 a1n 记 b2 a 21 a 22 a2n 1 , 2 , , n , , . a a a b m m2 m1 mn
k11 k 2 2 k n n .
小结：向量的概念及线性运算 作业：习题 4.1 1—4题
右边称为 线性组合
下节内容： §4.2 向量的线性关系
2 (0,1, , 0, 0)
n (0, 0,, 0,1)
基本单位向量构成的向量组称为单位向量组.
③ 行向量与列向量 行向量： (a1 , a2 ,, an )
b1 b2 列向量： b n
※ 由于向量的加法、数乘运算都按矩阵的加法 与数乘运算法则进行定义，因此，在运算中把行 向量与列向量视为不同的向量。
x 三维向量 y 对应空间的有向线段； z n维向量是二、三维向量的推广。
2. 向量组 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成 的集合称为向量组. 1 0 如 1 , 2 为二维基本单位向量组。 0 1
3. n维向量的线性运算
向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.
平面向量的实际背景及基本概念
平面向量的实际背景及基本概念【要点梳理】要点一：向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．要点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．要点二：向量的表示法1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．2.向量的表示方法:(1)字母表示法:如,,,a b c 等.(2)几何表示法:以A 为始点，B 为终点作有向线段AB （注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段AB 表示向量，通常我们就说向量AB .要点诠释：（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．要点三：向量的有关概念1．向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).要点诠释：（1）向量a 的模||0a ．（2）向量不能比较大小，但||a 是实数，可以比较大小．2．零向量:长度为零的向量叫零向量.记作0 ，它的方向是任意的．3．单位向量:长度等于1个单位的向量.要点诠释：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4．相等向量:长度相等且方向相同的向量.要点诠释：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．要点四：向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:0 与任一向量共线.要点诠释：1.零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.2.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．【典型例题】类型一：向量的基本概念例1．下列各题中，哪些是向量？哪些不是向量？（1）密度；（2）浮力；（3）风速；（4）温度．【变式1】下列物理量中，不能称为向量的是（）A ．质量B ．速度C ．位移D ．力例2．下列说法正确的是（）．A ．向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 必在同一直线上B ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反C ．向量AB 的长度与向量BA 的长度相等D ．单位向量都相等【变式1】判断下列命题的正误：（1）零向量与非零向量平行；（2）长度相等方向相反的向量共线；（3）若向量a 与向量b 不共线，则a 与b 都是非零向量；（4）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（5）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量。
向量的物理背景与概念 课件
[解析] ①错误．两个向量相等，它们的起点和终点都不一定 相同． ②正确． ③错误．若A→B＝D→C，则 A，B，C，D 四个点有可能在同一条 直线上．所以 ABCD 不一定是平行四边形． ④正确．平行四边形 ABCD 中，AB∥DC，AB＝DC 且有向线 段 A→B与D→C方向相同，所以A→B＝D→C.
⑤错误．若 a∥b，b∥c，b＝0，则 a 与 c 不一定平行．
[错因与防范] (1)本题发生的错误是对向量的有关概念理解 不正确或将向量与有向线段混淆，会对①④判断错误；混淆向 量平行和直线平行，会导致对③④判断错误；忽视零向量与任 意向量平行，会导致对⑤判断失误． (2)解答向量的有关问题时，要紧扣向量的定义，从向量的大小 和方向两个角度分析问题．共线向量和平行向量是同一概念， 都是指方向相同或相反的向量．理解时要注意与平面几何中的 “共线”“平行”的区别．要特别注意零向量与任意向量平 行，忽视这一点就会出现错误．
向量
数量
方向
有
无
可以用有向线段表 因为实数与数轴上的
区
表示方法 示，也可以用字母 符号表示
点一一对应，所以数 量常常用数轴上的一
别
个点表示
位移、力、速 实例 度、加速度
年龄、身高、长度、 面积、体积、质量、 功
联系
(1)向量与数量都是有大小的量 (2)向量的模是数量
2．向量与有向线段的区别 (1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关．只要大小和 方向相同，这两个向量就是相等的向量． (2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个 要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线 段． 3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量 不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行 向量． 4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任 何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位 向量的终点在平面内形成一个单位圆．
向量概念知识点总结
向量概念知识点总结一、向量的概念在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以在空间中的任意位置定义，具有位移、速度、力等物理量的特点。
向量可以简单地用一组有序数字表示，也可以用相关的符号表示。
在实际生活中，向量可以用来描述物体的位置、速度、加速度、力等。
Mathematica的向量记号是在向量上加箭头，例如 a，或者使用粗体斜体字母表示，例如 a。
这里，a可以表示一个向量。
二、向量的定义数学上，向量是一个有方向和大小的物理量。
向量是欧几里得空间中的一个元素，它可以用来表示空间中的位置或方向。
在数学中，向量通常用箭头表示，长度表示大小，箭头方向表示方向。
向量可以放在平面坐标系中，也可以用于描述空间中的方向和位置。
根据向量的定义，我们可以将向量表示为(x, y, z)，也可以表示为< x, y, z>。
在数学上，向量还可以表示一个n维空间中的一个点，也可以表示一个n维空间中的矩阵。
三、向量的运算1.向量的加法向量的加法是指将两个向量进行相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律，即a+b = b+a，(a+b)+c = a+(b+c)。
向量的加法可以表示为a + b = <a1+b1, a2+b2,a3+b3>。
在平面坐标系中，可以使用平行四边形法则来求解向量的加法结果。
2.向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以表示为a -b = <a1-b1, a2-b2, a3-b3>。
通过向量的减法，我们可以求得两个向量之间的差向量，用来表示两个向量之间的相对位置。
3.向量的数量积和内积向量的数量积又称为内积，是指将两个向量进行点乘得到一个数。
向量的数量积可以表示为a • b = |a| |b| cosθ。
其中，|a|和|b|表示向量a和b的长度，θ表示向量a和b之间的夹角。
通过向量的数量积，我们可以求得两个向量之间的夹角，也可以求得一个向量在另一个向量上的投影。
高中向量知识点总结
高中向量知识点总结向量是数学中的重要概念，它在几何、物理等领域都有着广泛的应用。
在高中数学学习中，向量是一个重要的知识点，掌握好向量的相关知识对于学生的数学学习和未来的发展都具有重要意义。
本文将对高中向量知识点进行总结，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一部分内容。
1. 向量的概念。
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
在直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对，也可以表示为一个坐标点到另一个坐标点的位移。
向量的大小通常用模长来表示，方向则可以用夹角或者方向角来描述。
2. 向量的运算。
向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
向量的加法和减法都是按照平行四边形法则进行的，而数量乘法则是将向量的模长与一个标量相乘，同时改变向量的方向。
向量的运算在几何和物理问题中有着重要的应用，能够帮助我们更好地描述和计算问题。
3. 向量的数量积和向量积。
向量的数量积又称为点积，是两个向量的数量乘积再与它们的夹角的余弦值相乘所得的结果。
向量的数量积具有对称性和分配律，可以用来计算向量的模长、夹角以及投影等问题。
而向量的向量积又称为叉积，是两个向量的数量乘积再与它们的夹角的正弦值相乘所得的结果。
向量的向量积可以用来求得平行四边形的面积和向量的方向。
4. 向量的应用。
在几何中，向量可以用来描述平面图形的性质，比如平行四边形的性质、三角形的性质等。
在物理中，向量则可以用来描述物体的位移、速度、加速度等物理量，是物理学中不可或缺的工具。
另外，在工程和计算机图形学中，向量也有着广泛的应用，比如在计算机游戏中的物体运动、碰撞检测等方面。
总结：通过本文的总结，我们对高中向量知识点有了更深入的了解。
向量作为数学中的重要概念，在几何、物理等领域有着广泛的应用。
掌握好向量的相关知识，不仅有助于学生的数学学习，还能够为他们未来的发展打下坚实的基础。
希望本文能够帮助学生更好地理解和掌握高中向量知识，为他们的学习和未来的发展提供帮助。
2.1向量的物理背景与概念及向量的几何表示
4.向量AB 的大小，也就是向量AB 长度（或称模）， 向量 的大小， 长度（或称模）， 记作： 记作： AB 向量和有向线段的联系和区别？ 向量和有向线段的联系和区别？3、向量Biblioteka 相关定义（2） 、向量的相关定义（ ）
r 1. 零向量 ： 长度为零 的向量叫做零向量 记作 0 零向量： 长度为零的向量叫做零向量 的向量叫做零向量.记作
3、向量的相关定义（1） 、向量的相关定义（ ） 1.向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量. 向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量. 大小又有方向的量叫做向量 方向. 2.向量特点：有大小，又有方向. 向量特点： 大小，又有方向
r r r 向量表示法： 表示； 3.向量表示法：也可用字母 a ，b ，c 表示；还可用 有向线段起点和终点字母表示 AB ， CD .
五 课堂小结
（1）向量的定义 ）向量的定义——既有大小又有方向的量叫做向量； 既有大小又有方向的量叫做向量
（2）向量的表示方法 ）向量的表示方法—— 可以用有向线段表示；也可用字母表示；还可 可以用有向线段表示；也可用字母表示； 用有向线段起点和终点字母表示 ； 相等向量,平行向量 （3）两个向量之间的关系 ）两个向量之间的关系——相等向量 平行向量 相等向量 向量可平移, 这是向量的本质特征. 向量可平移 这是向量的本质特征 注意对平行向量也叫做共线向量的理解
——课本第 页例题 课本第85页例题 课本第
某人从A 点出发向西走了200 到达B 200m 例 3 某人从 A 点出发向西走了 200m 到达 B 点 ， 然 后 改 变 方 向 向 西 偏 北 60 度 走 了 450m到达C 最后又向东走了200 200m 450m到达C点，最后又向东走了200m到达 D 点. uuu uuu uuu r r r (1)作出向量 AB , BC , CD(用1cm表示100m )； uuu v (2)求|DA | .
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3．两个特殊向量：
1、零向量：长度为 0 的向量。记作 0 2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。
零向量大小为0，方向不确定的.可以是任意方向. 单位向量大小为1，方向不一定相同。 所以单位向量可以有无数个。
2020/7/16
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的 单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？
b
c
记作 a ∥b ∥c
. 规定：0与任一向量平行.
C
o
A
l B
OA = a OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直 线l上的一点O ，这时它们是不是平行向量？
2020/7/16
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？ 2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？
2020/7/16
由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常 用数轴上的一个点表示，如3，2，-1，…而且不同的点 表示不同的数量.
-1 0 1 2 3
对于向量，我们常用有向线段来表示。
2020/7/16
B（终点） 有向线段：在线段AB的两个
端点中，规定一个顺序，假设
A为起点，B为终点，我们就
A（起点）
零向量 零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什 么向量？ 平行向量（共线向量）
（6）共线向量一定在同一直线上． ×
2020/7/16
A．0 B. 1 C. 2 D. 3
若 a ∥ b ,b ∥ c ,则 a ∥ c . 当 b ≠ 0时成立.
2020/7/16
3.某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改
变方向按东北方向走了 1 0 2 米到达C点,到达
C点后又改变方向向西走了10米到达D点.(1)作
出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模.
5.平行向量: 6.共线向量:
7. 相等向量: 8. 相反向量:
2020/7/16
仅对向量的方向明确规定，而 没有对向量的大小明确规定
对向量的大小和方向 都明确规定
巩固练习
请判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同． × （2）不相等的向量一定不平行． ×
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ （4）存在与任何向量都平行的向量吗？
等的向量有多少个？ 11个
变式二：是否存在与向量OA长 度相等,方向相反的向量？
存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？
2020/7/16
CB, DO, FE
1.判断下列命题是否正确，若不正确，请 简述理由.
①向量 A B 与 C D 是共线向量，则A、B、C、D
四点必在一直线上；
向量的两个要素： 大小、方向
所以数学中的向量也叫 自由向量
如图：它们表示2条
不同的有向线段;但 都表示同一个向量. A
2020/7/16
B
D
C
1.向量的几何表示：用有向线段表示.
向量AB的大小，也就是向量AB的长度 （或称模），记作|AB|.
2.向量的字母表示：（1） a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示，例如，AB，CD
D
C
北
2020/7/16
西Байду номын сангаас
A
B东
南
1m
定义 表示
几何表示法：有向线段
符号表示法： a,b, AB
向量
长度(模)
零向量
特殊向量
向量的有关概念
单位向量
2020/7/16
向量间 的关系
平行(共线)向量 相等向量
1.向量的概念: 2.向量的表示:
3.零向量: 4.单位向量:
仅对向量的大小明确规定，而 没有对向量的方向明确规定
(×)
②单位向量都相等；
(×)
③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相
反的向量)不相等；
(×)
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
(×)
2020/7/16
2.下面几个命题： ( 1)若 ab,bc,则a c. ( 2 ) 若 |a | 0 ,则 a 0 . ( 3 ) 若 |a | |b |,则 a b . (4)若两个向量 a , b 相等,则 |a||b|,且 a∥ b. 其中真命题的个数是( D)
P
2020/7/16
判断题
1.海拔含零上和零下海拔，所以海拔是向量（ ） 2.向量的模是一个正实数（ ） 3.若|a|>|b| ，则a > b ( ) 4.所有单位向量的大小相等（ ）
2020/7/16
2.1.3．相等向量与共线向量
(1)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
如： a
平行向量又叫做共线向量
向量
现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？ 位移、力、速度、加速度、电场强度等
数量
哪些量只有大小没有方向？ 距离、身高、质量、时间、面积等
2020/7/16
向量与数量的区别是什么？
向量 有大小，方向，双重性，不能比较大小.
数量 只有大小，是一个代数量，可以进行 代数运算、比较大小.
思考1： 温度有零上零下之分，温度是不是向量？为什么？
说线段AB具有方向.具有方向 的线段叫做有向线段.
思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？ 有向线段的三个要素：起点、方向、长度.
2020/7/16
能不能说向量就是有向线段?
有向线段的三要素： 区 我们现在所研究的“向量起，点与、起方点位向置、无长关.度
别 用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。
2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量
2020/7/16
思考:时间,路程,功是向量吗? 速度,加速度是向量吗?
向数量量向：：量既只的有 有两大 大要小 小素， ，：又 没方有 有向方 方、向向大的的小量量..
2020/7/16
既有大小又有方向的量叫向量。
（2）相D等向量：C长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
A
B
A
B
D
C
记作：a = b
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗? 向量相等
平行向量一定是相等向量吗?
向量平行
2020/7/16
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出 图中与向量OA相等的向量.
O AD OC B
变式一：与向量OA长度相