狭义相对论(2)
第18课狭义相对论II——动量和能量
0
2
1− 2
• =
≈ 0 +
0 2
2
1− 2
1
2
2 0 2
2
≈ 0 +
1
0 2
2
物体静止时的质能
动能
• Einstein由此假设，物体的能量 =
2
=
0 2
2
1− 2
相对论中的能量
• 这个假设能满足能量守恒吗？
•
•
=
2
• =
0
2
1− 2
•=
0
•=
2
大家能感受到这
些公式的美吗？
2
1− 2
=
02
2
1− 2
= ( −
)/
2
1−
2
2
y
A
参
考
系
A’
参
考
系
在A参考系中
以速度v向x
方向运动
速度u
ut
x
(
• =
′
′
′
=
(
−
2
1− 2
)
2
−/
2
1− 2
)
=
(−)
(−/2)
=
−
1−/2
• 一起来验证光速不变，无法通过速度叠加超光速。
A’
参
考
系
= ( − )/ 1 −
2
2
′ =
′ =
1−
2
2
′
= ( −
狭义相对论2
5
例2：静止的 介子衰变的平均寿命是 2.5×10-8s, 当它以 速率 u = 0.99c 相对于实验室运动时，在衰变前能通过多 长距离?
解：如果以 2.5×10-8s 和 0.99c 直接相乘，得出的距离 只有 7.4m，与实验结果 (52m) 相差近一个数量级。
注意到静止 介子的寿命 t' 是固有时, 在实验室 内观测，寿命为
t t 2.5108 18108s 1 u2 / c2 1 0.992
在实验室内观测， t 时间内 π 介子通过的距离为 u t = 0.99×3×108×18×10-8 = 53 m
与实验结果符合很好。
6
例3：地面上某地先后发生两个事件，在飞船 A 上观测时 间间隔为 5s，对下面两种情况，飞船 B 上观测的时间间 隔为多少？ (1) 飞船 A 以 0.6c 向东飞行，飞船 B 以 0.8c 向西飞行 (2) 飞船 A, B 分别以 0.6c 和 0.8c 向东飞行。
t
1 u2 / c2
同一地点先后发生的两个事件的时间间隔叫固有时，
又叫原时，由固定的一个时钟测得，t' 是原时。t 是 S 系中不同地点的同步时钟测得，叫运动时。
3
t
t
t
1 u2 / c2
两个事件的时间间隔，固有时最短。
t > t' 还意味着固定于 S' 系的钟 (一只钟, 测固
有时) 比固定于 S 系的钟 (多只同步钟，测运动时) 走
x2 x1 1u2 / c2
12
x2 x1
x2 x1 1u2 / c2
x x 1u2 / c2 x < x' 表明棒的运动长度比静止长度缩短，这个效应 称为长度收缩。棒的静止长度叫固有长度，也叫原长。 与所有运动长度相比，固有长度最长。
相对论公式的含义
狭义相对论的公式：S(R⁴,η_αβ)。
狭义相对论是阿尔伯特·爱因斯坦在1905年发表的题为《论动体的电动力学》一文中提出的区别于牛顿时空观的新的平直时空理论。
狭义相对论是对艾萨克·牛顿时空理论的拓展，要理解狭义相对论就必须理解四维时空，其数学形式为闵可夫斯基几何空间。
广义相对论包括如下几条基本假设：1、广义相对性原理（广义协变性原理）：任何物理规律都应该用与参考系无关的物理量表示出来。
用几何语言描述即为，任何在物理规律中出现的时空量都应当为该时空的度规或者由其导出的物理量。
2、爱因斯坦场方程（详见广义相对论条目）：它具体表达了时空中的物质（能动张量）对于时空几何（曲率张量的函数）的影响，其中对应能动张量的要求（其梯度为零）则包含了上面关于在其中做惯性运动的物体的运动方程的内容。
相对论公式是什么呢?相对论公式：1、广义相对论：R_uv-1/2×R×g_uv=κ×T_uv。
2、狭义相对论：S(R4,η＿αβ）。
3、相对速度公式：△v=|v1-v2|/√（1-v1v2/c^2)。
4、相对长度公式L=Lo*√（1-v^2/c^2)Lo。
5、相对质量公式M=Mo/√（1-v^2/c^2)Mo。
6、相对时间公式t=to*√（1-v^2/c^2)to。
相对解释：相对论是关于时空和引力的理论，主要由爱因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。
相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
相对论极大地改变了人类对宇宙和自然的“常识性”观念，提出了“同时的相对性”、“四维时空”、“弯曲时空”等全新的概念。
相对论的所有公式狭义相对论力学（注:“γ”为相对论因子，γ=1/sqr(1-u^2/c^2)，β=u/c，u为惯性系速度。
）1．基本原理：（1）相对性原理：所有惯性系都是等价的。
（2）光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。
实 第6章狭义相对论2 -
相应释放的能量为：
E＝m0c 0.0311 10 9 10 2.79910 J
2 16
27
12
1kg这种核燃料所释放的能量为：
E 2.79910 14 3.3510 J/kg 27 m1 m2 8.348610
这相当于同质量的优质煤燃烧所释放热量的1千多万倍！ 27
dy
dt
u 1 2 v x dt c dt u2 1 2 c
由上两式得
vy u2 v y 1 2 u c 1 2 v x c vz u v 1 2 z u c 1 2 v x c
2
同样得
3
洛仑兹速度变换式 正变换
vx u v x u 1 2 v x c 2 vy u v y 1 2 u c 1 2 v x c vz u2 v 1 2 z u c 1 2 v x c
2m0 1
2
c
2
> 2m0
损失的动能转换成静能－－结合能
30
五、相对论的动量能量关系式
m
m0 1
2
c
2
两边平方得
E P c m c
2 2 2
2 4 0
m0c
2
E
相对论能量三角形
第6章结束
31
Pc
物质所包括的静能为：
分子的动能和势能 原子和原子之间的化学能
原子核与电子之间的电磁能
原子核内部质子与中子的结合能 基本粒子之间的结合能
的速度变换；
3）光在任何惯性系中的速率均为c： 设S’系中一束光沿x’轴正方向传播，其速率为 c，则在S系中，按洛伦兹速度变换:
v u cu x vx c u u 1 2 v 1 2 c x c c 即在S系中测得的光速仍为c,满足光速不变原理 5
三言两语让你理解相对论
三言两语让你理解相对论理解相对论的途径：光速不变——狭义相对论——等效原理——广义相对论——时空弯曲。
一、光速不变狭义相对论很短，只有几页。
它要表达的意思更短，只有一句话：不管观察者如何运动，被观察的光速不变。
从这句看似简单的话可以得出一些非常奇妙的结论，这些结论严重违背了我们的日常经验，但现在都被证明是正确的。
假设一列火车以时速300公里往北跑，一辆汽车以时速150公里也往北跑，汽车里的人会发现，火车的速度是每小时150公里。
结论就是：物体运动的速度不仅取决于他自身的速度，也取决于观察者的运动速度。
这个结论只适用于低速运动的物体（比如火车、比如地球的运动等），一旦速度加快到光速（每秒三十万公里）或者接近光速，这个日常经验就失效了，因为大量精确的实验验证了：光速是不变的。
也就是说，光速是个固定值，是个常数，它不随着观察者的运动而改变。
再举例：假设一束光以每秒30万公里往北运动，一艘宇宙飞船以每秒15万公里也往北运动，宇宙飞船里面的人会发现这束光多快呢？照我们的日常经验来看，这束光的速度应该是每秒钟15万公里。
— 1 —错！宇宙飞船里面的人会发现，这束光的速度仍然是每秒钟30万公里。
二、狭义相对论举例：假设一束光以每秒30万公里往北运动，一艘宇宙飞船以每秒15万公里也往北运动，在地球上静止不动的人看来，一秒钟后，宇宙飞船距离那束光15万公里。
记住：是1秒钟后！但是，宇宙飞船里面的人会感觉这段时间是多长呢？现在的已知条件是：宇宙飞船距离那束光15万公里，光速是每秒钟30万公里。
则：15万公里/（除以）时间=30万公里/（除以）1秒钟则：时间等于0.5秒也就是说，地球上的人过去了一秒钟，以时速15万公里运动的人会感觉时间只过去了半秒钟。
结论：速度可以改变时间。
你运动的越快，时间会过得越慢。
当你以光速运动时，时间就会静止。
再举例：博尔特以每秒10米参加百米赛跑，旁边为他加油的人过去1秒钟后，博尔特只感觉过去了三十万分之299990秒，也就是0.99996667秒。
什么是相对论和狭义相对论
什么是相对论和狭义相对论？相对论是一种物理学理论，用于描述物体在高速和强引力场下的运动和相互作用。
相对论分为狭义相对论和广义相对论两个部分。
狭义相对论是由爱因斯坦于1905年提出的，它是一种描述高速运动物体行为的理论。
狭义相对论基于两个基本假设：光速不变和等效原则。
光速不变指的是在任何惯性参考系中，光速在真空中的数值都是恒定不变的，约为每秒299,792,458米。
等效原则指的是在任何惯性参考系中，物理定律的形式都是相同的。
根据狭义相对论，物体的运动和观测结果会受到时间和空间的扭曲。
时间扭曲指的是在高速运动物体的参考系中，时间会变慢，这被称为时间膨胀效应。
空间扭曲指的是物体的长度会在高速运动方向上收缩，这被称为长度收缩效应。
此外，狭义相对论还引入了质能等效原理，即质量和能量之间存在着等效关系（E=mc^2）。
狭义相对论还提出了相对论动力学，即描述物体在高速运动下的运动规律。
根据相对论动力学，物体的质量会随着速度的增加而增加，这被称为质量增加效应。
此外，狭义相对论还引入了四维时空的概念，即将时间和空间统一为时空的一个整体。
广义相对论是由爱因斯坦于1915年提出的，它是一种描述引力的理论。
广义相对论基于等效原则，并提出了新的引力观念。
根据广义相对论，物体的运动和相互作用是由于时空的弯曲造成的，而不是传统的牛顿引力。
这种时空弯曲是由物体的质量和能量分布所引起的。
广义相对论还预言了黑洞的存在，黑洞是一种密度极高的天体，它的引力非常强大，甚至连光也无法逃逸。
此外，广义相对论还解释了宇宙的膨胀和结构的形成，为宇宙学提供了理论基础。
相对论在物理学和天文学中有着广泛的应用。
它为我们提供了理解高速运动、引力和宇宙结构的框架，并为各种实验和观测结果提供了解释。
通过相对论，人们能够更好地理解和探索宇宙的奥秘，推动科学和技术的发展。
狭义相对论基础-2
2.狭义相对论时空观结论
两个事件P1和P2 ，在S系中观测,时刻为 t1 和 t2 ，在 S’ 系中 v v 观测，时刻为 t’1 和 t’2 。 t 2 2 x2 t1 2 x1 c c t ' t ' 根据洛伦兹变换 2 1 2 v2 v 1 2 1 2 时间间隔为 c v c (t 2 t1 ) 2 ( x2 x1 ) c 在S系中同时但不同地， t 2 't1 ' v2 在S’系中测量则不同时， 1 2 体现时空相关 c 其时间间隔为：
x1 L x2 在S系测得： L x2 x1
S'系测得： 利用洛仑之变换：x2
x 2 t 2
x1
t 2 t1
x2
x1
长度收缩是相对的，S系 L 看S’系中的物体收缩，反 L 2 之，S’系看S系中的物体 1 c 也收缩。
1 ( ) 2 c x1 t1
讨论： 1. 如果相对运动只发生在 x 方向，则：
uv u' uv 1 2 c
2. 若、u<<c，则回到伽利略速度变换。
例4
在 S 系中一束光沿X轴传播，速率为c；在 S’ 系中，
光的速率为多少？
对 S 系，将带撇的和不带撇的互相交换，同时把 变 成 – ，可以得到速度的逆变换公式：
t
反之，在 S’ 系中同地发生两事件，x’1 = x’2 在 S 系中测量，时间间隔
v2 1 2 c
结论
t 2 t1
t1 t2 v2 1 2 c
(1) 运动的时钟变慢！
也变慢
(2) 运动时钟变慢是相对的！
3） 长度收缩
设长L' 棒静止在S'系中
4 狭义相对论基础 (2)
c, v3 x '
c / 2 4c / 5 c 4c 2 1 /c 2 5
8
已知光在静水中的速度为c/n，n为水的折射率，求
在流速为u的水中光的速度。
解：S系（实验室）S’（流水），则S’相对S以u运动
v ' c n c v v ' u 1 uv '/ c
2
u c n )/c
两事件同时发生
t1 t2
t t2 t1 0
t
t t2 t1
？
2
t ux / c 1 u c
2 2
13
t t t2 t1
u c
2
x
2
1
u c
2
若
已知
x 0 t 0
t 0
同时性的相对性 事件1、事件2 不同时发生
4、用洛仑兹变换讨论。 注意 原时一定是在某坐标系中同一地点发生的两个事件 的时间间隔；原长一定是物体相对某参照系静止时 两端的空间间隔。
32
作业: 4-13 4-16 4-18
33
l l0 1
讨论
u c
2
2
1) 相对效应 2) 纵向效应
3) 在低速下
伽利略变换
4) 同时性的相对性的直接结果
26
例1、原长为5m的飞船以u＝9×103m/s的速率相对于地 面匀速飞行时，从地面上测量，它的长度是多少？ 解：
l l0 1 u c
2 2
＝5 1 －（ 9 10 / 3 10 ) 4 . 999999998
1
u c
u c
dx dt
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2
⑵ Ek mc m0 c m0 c (
2
1 1
2
1)
L0 2 ( 1)m0 c L
36
9. 火箭相对于地面以v=0.6c的匀速度向上飞
离地球.在发射t=10s后(火箭上的钟)， 火箭向地面发射一导弹，其速度相对于地 面为v1=0.3c，问火箭发射后多长时间，导 弹到达地球？(地球上的钟)
e.g. x 2 y 2 z 2 c 2t 2 inv.
E p 2 inv. c
2 2
20
Chap.8 SUMMARY
1.狭义相对论的两条基本原理 ⑴相对性原理 ⑵光速不变原理 2.洛仑兹变换
y y
v
x
x vt 1
2
z z
o o
P
x, x
z z
E m 1 解： k 2 E0 m0 1
(C)
c 2 v k 1 k
34
7. 静止质量为m0的粒子,固有寿命为实验室 测得寿命的1/n,则此粒子的动能为 . 1 2 2 2 1) Ek mc m0c m0c ( 解： 2 1 实验室寿命：
0 1
t
2
1 (v / c )
5s
28
于是
x
vt 1
2
9 10 m
8
[思考] 其它方法?
29
4.
v
d
h
L
一隧道长L、宽d、高h，拱顶 为半圆．设想一列车以极高的 速度v通过隧道，若从列车上 观察，则⑴隧道的尺寸如何？ ⑵设列车长度为L0，它全部通 过隧道的时间是多少？
答案：D
26
2. 在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？ ⑴一切物体相对于观察者的速度都不能大于真 空中的光速． ⑵质量、长度、时间的测量结果都是随物体与 观察者的相对运动状态而改变的． ⑶在一惯性系中发生于同一时刻、不同地点的 两个事件,在其它一切惯性系中也是同时发生的 ⑷惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对 运动的时钟时，会看到这时钟比与他相对静止 的相同时钟走得慢些． (A) ⑴⑶⑷ (B) ⑴⑵⑷ (C) ⑴⑵⑶ (D) ⑵⑶⑷
解：t是原时，在地球上看，对应的时间间 隔为
t
t
1 (v / c )
2
12.5 s
在发射导弹时，火箭高度为 vt 导弹到达地球时,飞行时间为t1= (vt)/v1
37
设火箭发射后经t2时间 ,导弹到达地球, 则有
t2 t t1 (1 v / v1 )t 37.5 s
答案：B
27
3. 在惯性系S1中发生于同一地点的两个事件的
时间间隔为4s，在另一惯性系S2中观察，这 两个事件的时间间隔为5s，问：在S2系中这 两个事件发生的地点间的距离是多少？ 解：x x vt vt 2 2 1 1
又 t=4s是原时
由 t 得 v=3c/5
E m0c
2
1 ( Ft / m0c)
2
18
⑶ v p/m
其中 m E / c m0 1 ( Ft / m0c)
2 2
于是 v
Ft m0 1 ( Ft / m0 c)
2
i
19
Note: 在狭义相对论中, 也存在着一些不依赖 于参考系的物理量(不变量 invariance)
11
重核裂变
X Y Z
质量亏损
m0mX 0 (mY 0m Z 0 )
裂变能
E m0 c 2
12
2 3 4 1 e.g. 聚变反应：1 H 1H 2 He 0 n
反应前，mi0=8.348610-27 kg
反应后，mi0=8.317510-27 kg 质量亏损: m0=mi0-mi0 =3.1110-29 kg 释放能量: E=m0c2=2.79910-12 J 1kg核燃料可释放能量: 3.351014 J
2
1)
0.25m0 c
[思考] 0.6c 0.8c? 0.8c 0.9c?
17
时静止于坐 例8-9 粒子的静止质量为m0,t=0 标原点,此后受到恒力Fi的作用而运动, 求t时刻粒子的动量、总能量和速度.
t 解： ⑴由动量定理 p p0 Fdt 0 Ft Ft i ⑵ E 2 E 2 ( pc) 2 0
24
③动能：Ek=E-E0 动能定理：A=Ek 功能原理：A=E ④动量与能量的关系：E2=E02+(pc)2
E
E0
pc
25
Chap.8 EXERCISES
1. 下列几种说法 ⑴所有惯性系对物理基本规律都是等价的. ⑵在真空中，光的速度与光的频率、光源的运 动状态无关． ⑶在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的 传播速率都相同． 其中哪些说法是正确的？ (A)只有⑴⑵正确.(B)只有⑴⑶正确. (C)只有⑵⑶正确.(D)三种说法都正确.
高能粒子加速实验 加速电压提高至数 百万伏 eU=(1/2)mv2 将失 效。电子获得 4.5Mev以上的能量， 电子速率v几乎恒定 不变。
V2(×1016m2/s2)
9.0
6.0
1.5 1.0 3.0 5.0 (Mev) 5
3.相对论动能 [推导] 动能定理: A=Ek
其中 A F dr
§8.6 相对论动力学(Relativistic Dynamics) 1.动力学基本方程
d v Notes: ①这里 m m(v) , 一般 F m dt ②可导出动量定理： t2 Fdt dP or Fdt P2 P1
t1
1
dP d (mv ) F dt dt
38
2
0 1 1 n
2
于是 Ek (n 1)m0c 2 [思考] 粒子的相对论质量？总能量？
35
8. 细棒静止质量为m0,长度为L0.当它沿棒长 方向做高速运动时,测得其长度为L,则其 速度v= ,其动能Ek= .
⑴ L L0 1 解：
2
2
v c 1 ( L / L0 )
Notes: ①vc时, Ek≈m0v2/2 (经典动能) 推导：
Ek mc m0c
2
2
m0c (
2
1 1
1 2
2
1)
[ (1 ) 1 k ]
k
m0c (1 1)
2 2
m0v
1 2
2
9
②Ek相Ek经
e.g. 令 R=Ek相/Ek经，则有
解： ⑴在车上看,隧道截面尺寸不变,长度为
L L 1 (v / c)
2
30
⑵在车上看,隧道迎面而来：
L0
2
L
v
L0 L L0 L 1 (v / c) t v v
[思考] 在地上看, t=？
L 1 ( v / c ) L 0 Answer: v
2
31
2.相对论质量
m
相对论 质量
m0 1 (v / c )
运动 速率
2
静止质量
[推导] See张三慧《大学物理(第二版)第一册》 P.319~321.
2
Notes: ①若m0≠0，则必定vc.
②当vc时,m≈m0,→牛顿力学.
③实验证明正确.
人们曾在美国斯坦福直线加速器中加速电子，
加速器全长2英里，每米加以七百万伏电电压
14
e.g.光子
m0 0
E Pc
又
E mc
2
E h m 2 2 c c
E h P c c
15
例8-7 电子的静止能量约为0.5Mev,⑴当其速 度为0.99c时,其动能为 Mev;⑵当 其动能为0.25Mev时,其速度为 c. 1 解: ⑴ 2 2 2 Ek mc m0c m0c ( 1) 2 1 1 0.5 ( 1) Mev 3.0 Mev 2 1 (0.99)
2
m0 1 (v / c )
2
2
(mv) 2 m 2 m0 c
7
2mvd(mv) 2mdm 0 2 c 2 vd(mv) c dm
于是
A c dm
2
m
设开始时静止 则某一时刻的相对论动能：
Ek A c dm mc m0c
2 2 m0
2
8
22
2
4.相对论动力学 ⑴动力学基本方程
dP F dt
( P mv )
23
⑵动量定理：
Fdt dP
m m0
or
2
t2 t1
Fdt P2 P 1
⑶相对论质量
1 (v / c )
⑷相对论能量 ①静止能量：E0=m0c2
②总能量：E=mc2
5.甲以4c/5的速度相对于乙运动,若甲携一长 L、截面积S、质量m的棒,此棒安放在运 动方向上,则⑴甲测得此棒密度为 ; ⑵乙测得此棒密度为 . 解： ⑴对甲而言,棒静止
m / LS
2
⑵对乙而言,棒沿Байду номын сангаас长度方向运动,棒长为
L L 1 3L / 5
截面积仍为S
32
质量：m m / 1 5m / 3
(1kg标准煤可释放能量: 2.93107 J)
13
5.动量与能量的关系
E E ( pc)
2 2 0
2
E
E0
pc
相对论 总能量
静止 动量 能量