第四章动量和角动量
第 04 章 动量和角动量
H
N
(M+m)g
冲击过程后，m、M、地球系统机械能守恒：
解得：
[例4-4] 炮车的质量为M，炮弹的质量为m。若炮车与地面 有摩擦，摩擦系数为μ , 炮弹相对炮身的速度为u， 求炮身 相对地面的反冲速度 v 。
解： 选取炮车和炮弹组成系统 内、外力分析。
水平的动量守恒吗 ？ 运用质点系的动量定理：
v0 (t1 t2 ) l
l l v0 t1 t2 t1
得：
mM g g l v0 l 3M m 2h 2h
[例4-9] 光滑桌面上， 质量为m1的小球以速度u 碰在质量 为m2的静止小球上，u 与两球的连心线成θ 角(称为斜碰)。 设两球表面光滑， 它们相互撞击力的方向沿着两球的连 心线， 已知恢复系数为e ，求碰撞后两球的速度。 x 解： 设碰后两球速度分别为v 、v ，
人在最高点向后抛出物体的过 程中，应用动量守恒定律： O
α
x R R+ΔR
抛出物体后人的速度：
比不抛出物体时速度增加了：
抛出物体后多跳过的距离：
[解法二] 质心坐标系中应用动量守恒定律。 y m M
α O
x
R R+ΔR
在下落时间过程中，人相对于质心运动的距离，即为人 比不抛出物体时多跳过的距离:
二、箭体运动方程
对箭体和喷气组成的系统(设受外力F)： v+dv t+dt
z o
u
t
v
时，加速上升。
箭体运动方程可适用于所有有质量流动物 体的动力学问题。
三、火箭的速度公式
只计重力： 设 t=0 时，v=v0 ，m1=m10 ，任一时刻 t 时为 v 和 m1。
角动量 角动量守恒定律
h
vN2 2g
1 2g
3mvM m 6m
2
h
3m m 6m
2
19
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
P104例3 质量很小长度为l 的均匀细杆, 可绕过其中心
O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于
水l/4平处位, 置并时背,离有点一O只向小细虫杆以的速端率点vvA0 0垂爬直行落. 设在小距虫点与O细为杆
14
4-3 角动量 角动量守恒定律
比较 动量
F
dP dt
t2
Fdt ΔP
t1
F 0 P 0
F
P
mv
力 动量
t2
Fdt 力的冲量
t1
第四章 刚体转动
角动量
M
dL dt
t2
Mdt ΔL
t1
LMMrrp0F角L力动矩量0或或角动力量矩
其角速度为ω, 求齿轮啮合后两圆盘的角速度.
解: 系统角动量守恒
J11 J22 (J1 J2)
J11 J22
(J1 J2 )
16
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
P103例2 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下
落到跷板的一端 A, 并把跷板另一端的演员 N 弹了起来.
R
x
26
dP
F dt
t2
Fdt ΔP
t1
F 0 P 0
第4章动量和角动量
用多大的牵引力拉车厢？ （摩擦忽略不计)
解 选取车厢和车厢里的煤 m 和即将 落入车厢的煤 d m 为研究的系统。取水平
v
dm
向右为正。
m
F
t 时刻系统的水平总动量：
m v dm 0mv
t + dt 时刻系统的水平总动量: m d v m (v m d m )v
dt 时间内水平总动量的增量： d p (m d m )v m v d v m
④ 动量和力是矢量，可沿坐标轴分解，当沿某坐标方向所受合 外力为零时，总动量沿该方向的分量守恒。
N
当Fx 0时，
mivix px 常量
i＝1
当Fy 0时，
N
miviy py 常 量
i＝1
当Fz 0时，
N
miviz pz 常 量
i＝1
⑤ 动量守恒定律只适用于惯性系。
例题4-3 质量为M，仰角为α的炮车发射了一枚质量为m的炮
dt
F dtdp — 动量定理的微分式
2）积分形式： 对上式积分，
t2
v Fdt
t1
pv2 pv1
dpv
即：
t2
v Fdt
pv
— 动量定理的积分式
t1
在一个过程中，质点所受合力的冲量等于质点动量的增量。
说明
1、反映了过程量与状态量的关系。 2、I 与p 同向3、。 只适用于惯性系。
从动量定理可以知道,在相等的冲量作用下,不同质量的物体, 其速度变化是不相同的,但它们的动量的变化却是一样的,所以从 过程角度来看,动量比速度能更能恰当地反映了物体的运动状态。 因此,一般描述物体作机械运动时的状态参量,用动量比用速度更 确切些。动量是描述物体机械状态的状态参量。
大学物理第四章
解：利用功能原理：
A=DE
q
kF
m
Fl0tgq
=
1 2
k (l0 setq
- l0 )2
1 2
mv2
F
m
解得：
v=
2 m
Fl0tgq
-
1 m
k (l0 setq
-
l0
)2
[例13] 作业、p-55 功和能 自-20
一质量为m的球，从质量为M的圆弧
形槽中由A位置静止滑下，设圆弧形槽的半
径为R，(如图)。所有摩擦都略，试求：
+12 MV2
l
L
解得：
vr=
2(m +M) gR M
V= m
2gR M(m +M)
(2)小球到最低点B处时，槽滑行的距离。
∵ SFx = 0 ∴ DPx = 0
mvx = MVx
Am
m vxdt = M Vxdt
R
ml=ML
MB
l+L=R
L
=
mR m+M
lL
(3)小球在最低点B处时，槽对球的作用力；
1、动量： P
P = mv 2、第二定律：
F
=
dP dt
= ma
3、冲量： I
I
=
F t 2
t1
dt
4、动量原理
I = DP
5、力矩 M M = r × F
6、动量矩 L
L = r × P = r × mv
7、角动量原理:
t 2 t1
M dt
=
ω ω
2 1
J
dω
= Jω 2
第四章_角动量守恒定律1
M = 0，角动量相对于
力心守恒 c)参考点必须是惯性系中的固定点 参考点必须是惯性系中的固定点
例： A
参考点： 参考点：
A点 点
O点 点
LA
θ
LO
l
rA × mg 重力矩： 重力矩：= lmg sin θτ ˆ = mgRτˆ
张力矩： 张力矩：
ro × mg = mgRτˆ
ro ×T mg π ˆ = sin( +θ )R(−τ ) cosθ 2 = −mgRˆ τ
dS 1 = r ×v = C dt 2
在这里我们可以直接引入 但是我们认为引入
r × v 为一个新的物理量 r × mv 为一个新的物理量将更合适
一、角动量
（动量矩）
对点的角动量： 对点的角动量： 1 定义： Lo = ro × mv 定义： 角动量是描述质点的运动方向 相对于参考点的变化或物体的 转动特征的物理量 2 各项意义： 各项意义：
O
Lo
mv
ro
ro
:位置矢量，由参考点指向质点，决定于参考 点 位置矢量，由参考点指向质点， 位置矢量 的选取，一般选取惯性系中的固定点为参考点。 的选取，一般选取惯性系中的固定点为参考点。
质点具有的动量与参考系的选取有关。 质点具有的动量与参考系的选取有关 m v :质点具有的动量与参考系的选取有关。 －－决定于参考点与参考系 决定于参考点与参考系。 Lo = ro × mv －－决定于参考点与参考系。对于不同参考 系中不同参考点的角动量是不同的， 系中不同参考点的角动量是不同的，所以一 般要指明某一角动量所对应的参考点， 般要指明某一角动量所对应的参考点，且角 动量要画在参考点上。 动量要画在参考点上。
一、角动量
线性动量与角动量
线性动量与角动量动量是物体运动状态的物理量，描述了物体在空间中的运动和速度。
线性动量和角动量是动量的两种不同表现形式，它们在物理学中有着重要的作用。
一、线性动量的概念与特性线性动量是描述物体直线运动状态的物理量。
它是物体质量与速度的乘积，用公式表示为：动量（p）= 质量（m）×速度（v）其中，动量的单位是千克·米/秒（kg·m/s）或牛顿·秒（N·s）。
线性动量具有以下特性：1. 动量守恒定律：在一个封闭系统中，当外力不产生作用时，物体的总动量保持不变。
即物体在相互作用过程中，动量的代数和保持不变。
2. 动量改变率与力的关系：牛顿第二定律指出，力是物体动量改变率的原因。
力与动量的改变率成正比，可以用公式表示为：力（F）= 动量改变率（Δp）/ 时间变化率（Δt）由此可见，力的作用会改变物体的动量，使其发生加速度或减速度。
二、角动量的概念与特性角动量是描述物体旋转状态的物理量。
它是物体质量、速度和转动半径的乘积，用公式表示为：角动量（L）= 质量（m）×速度（v）×转动半径（r）其中，角动量的单位是千克·米²/秒（kg·m²/s）或牛顿·米·秒（N·m·s）。
角动量具有以下特性：1. 角动量守恒定律：在一个封闭系统中，当外力矩不产生作用时，物体的总角动量保持不变。
即物体在相互作用过程中，角动量的代数和保持不变。
2. 角动量改变率与力矩的关系：力矩是物体角动量改变率的原因。
力矩与角动量的改变率成正比，可以用公式表示为：力矩（τ）= 角动量改变率（ΔL）/ 时间变化率（Δt）根据这个关系式，力矩的作用会改变物体的角动量，使其发生加速度或减速度。
三、线性动量与角动量之间的关系线性动量和角动量之间存在着密切的关系。
对于直线运动，物体的线性动量可以看作是角动量在该直线方向上的分量。
4-4 角动量与角动量定理
设固定轴为 z 轴
z
F F⊥
r⊥sinα Mz
r ˆ Mz = M ⋅ z r r ˆ = (r × F ) ⋅ z r r = r⊥ × F⊥
r⊥
d Lz Mz = dt
α
平面 ⊥ z 轴
M
O
·
r
——质点对轴的转动定律 质点对轴的转动定律 若绕固定轴的力矩为 0，即 ，
力对轴的力矩:力对 力对轴的力矩 力对 某点的力矩在过此点 的某轴上的投影
r F = 0 , r r M = 0 F 过 O点 ： 有 心 力 （ 如 行 星 受 中心恒星的万有引力）
r r r L = r × (m v ) = 常 矢 量
第4章 动量和角动量
开普勒第 二定律
α （1） mv r sin =const ） （2）轨道在同一平面内 ）
4-4 角动量与角动量定理来自m2R o m 1
第4章 动量和角动量
4-4 角动量与角动量定理
解： 有心力场中， 有心力场中 ， 运 用角动量守恒和(m 用角动量守恒和 1 ，m2 m2 )系统机械能守恒 系统机械能守恒 定律： 定律：
R o m 1
3Gm1 1 2 1 ⇒ sin θ = (1 + ) 2 4 2 Rv0
3Gm1 1 2 ) v = v0 (1 + 2 2 Rv0
r L r L0
r v v dL = L − L0
质点的角动量定理：对同一参考点O，质点所受的 质点的角动量定理：对同一参考点 ， 冲量矩等于质点角动量的增量. 冲量矩等于质点角动量的增量
第4章 动量和角动量
4-4 角动量与角动量定理
四 角动量守恒定律 由角动量定理
r 当M =0
第四章--角动量守恒定律
d t L末－L初
初
初
冲量矩：末r
Fdt
末
Mdt
初
角动量守恒：若 则
初
r F M rpL
0 c
所以在分析问题时要明确参考点。
合外力矩
知
LA, LO
M A, MO
在OA轴上的分量都为0,由
在OA轴上的分量都为常数
M
dL dt
eg2：质量为m的小球用弹性绳拴住， 另一端固定A点，弹性绳k=8N/m 自由伸长时l0=60cm，小球在光滑 水平面运动，初速度v0，与r夹角 α=300，此时l1=40cm，末态时球距 A点l2=80cm，达到最大绳长。
角动量 守恒定律
南京信息工程大学
盘状星系
力矩 角动量 角动量定理 角动量守恒定理
§4.1 力矩
物体 力运动状态改变
物体 力 是否转动？
外力是否 产生力矩
是 转动 否 不转动
力矩：反映力的大小、方向和作用点对物体转动的影响
M
一、力矩
1、定义 M r F
大小：M rF sin
的方向转到 mv方向，大
拇指指向为 L的方向
r
2、质点对定轴的角动量 若质点 相对于某一参考点O的
角动量为 L ，则该质点相对于通过
O的任意轴线OZ的角动量为
Lz L cos
3、质点对定轴的角动量的方向
选定正方向后只有正负两种可能， 合角动量可以用各角动量的代数和 来计算
Z
Lz L
定的力F，对z 轴上任一参考点来说，力对z 轴
的力矩保持不变
z
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第四章 动量和角动量
３２ 第四章 动量和角动量
§4.1 动量守恒定律
一、冲量和动量
1.冲量
定义：力的时间积累。
dt F I d =或⎰=21
t t dt F I
2.动量
定义：v
m P = 单位：kg.m/s 千克.米/秒
二、动量定律
1.质点动量定理
内容：质点所受的合外力的冲量等于质点动量的改变量。
1212v m v m P P I -=-= 冲量的方向与动量改变量的方向相同。
在直角坐标系下的表示
z
z t t z z y
y t t y y x
x t t x x P P dt F I P P dt F I P P dt F I 1212122
1
2
1
2
1
-==-==-==⎰⎰⎰
平均冲力：1
22
1
t t dt
F F t t -=
⎰
1
212
t t P P --= 2.质点系动量定理
第四章 动量和角动量 ３３
系统所受合外力的冲量等于系统总动量的改变量。
P dt F t t ∆=⎰
2
1
合
三、动量守恒定律
条件：若系统所受的合外力0=合F
，则：
结论：=
∑i
i i v m 恒量 四、碰撞
1、恢复系数 10
201
2v v v v e --=
2、碰撞的分类
完全弹性碰撞 0=e 机械能不损失 完全非弹性碰撞 1=e 机械能损失 完全弹性碰撞 10<<e 机械能损失
第四章 动量和角动量
３４ 煤粉与传送带A 相互作用的Δt 时间内，落至传送带A 上的煤粉质量为：
t q m m ∆=∆。
设煤粉所受传送带的平均冲力为f
，建立如图例3-4图解所示的坐标系，由质点系动
量定理得：
00
mv t f mv t f y x ∆-=∆-∆=∆
)
(149,220N f
f
f v q f v q f y
x
m y m x =+=
⇒==
与水平方向的夹角为
04.57==x
y
f f arct
g α
【讨论】 由于煤粉连续落在传送带上，考察t ∆时间内有m ∆（视为质点）的动量改变，按动量定理可求出平均冲力。
另外，求冲力时，应忽略煤粉给传送带正压力。
【例4-2】 质量为M 半径为R 的4/1圆周弧型滑槽，静止于光滑桌面上。
质量为m 的
MV mv x =
就整个下落的时间对此式积分
Vdt M dt v m t
x t ⎰⎰=0
因而有
第四章 动量和角动量 ３５
MS ms =
由于位移的相对性R S s -=，将此式代入上式得
R M
m m
S +=
【讨论】 本题牵涉相对运动，特别指明的是m 和M 的系统对地（而不是对M ）在水平方向动量守恒，求解时应首先说明m 是针对地还是M 的速度。
此距离值S 与弧型槽面是否光滑无关，只要M 下面的水平地面光滑就行了。
【例4-3】 一小球与另一质量相等的静止小球发生弹性碰撞。
试证明：碰后两球或者交换速度，或者沿互相垂直的方向离开。
【解】 设两球的质量都为m ，碰撞前运动球的速度为10v ，碰撞后两球的速度分别为1v
和
2v
，由于系统的动量和机械能（动能）守恒：
02121212122212102110=⋅⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
+=+=v v mv mv mv v m v m v m
结论：（1）1021,0v v v ==，交换速度（正碰）
（2）1012,0v v v ==，不可能（因静止球受到了力的作用，不可能再静止）
（1）21v v
⊥，相互垂直（斜碰）
【分类习题】
【4-1】
F 作用于一质量为kg 0.1的质点上，使质点沿x 轴运动。
已知运动方程为
243t t x -=)(3SI t +。
在s 40-内，求
（1）力F 的冲量； （2）力F 对质点的功。
第四章 动量和角动量
３６ 小球跳起的最大高度为
2
y ，水平速率为20v 。
则碰撞过程中，地面对小球的垂直冲量大小
为 ，方向为 ；地面对小球的水平冲量大小为 ，方向为 。
【4-3】 质量为kg 25.0的质点受力)(SI i t F =，0=t 时该质点以速度s m j /2
通过原点。
求该质点t 时刻的位置矢量。
【4-4】 有两物体A 和B 紧靠放在光滑水平桌面上，已知A 和B 的质量分别为kg 2和
kg 3（图3-15）。
一质量为g 100的子弹以s m v /800=的速率水平射入物体A ，经s 01.0又射入物体B 并停于B 内。
设子弹在A 中受摩擦力为N 3
10
3⨯。
求：
（1）子弹射入A 过程中，B 受A 的作用力大小。
（2）当子弹留在B 中时，A 与B 的速度大小。
【4-5】
m 千克水以速率v 进入弯管，经时间t 后以相同速率流出，
（图3-16），在管子拐弯处，水对管壁的平均冲力的大小为 ，方向为 （不计水的重量）。
【4-6】一木船以速率v 向湖边驶近, 一人静止站在木船上，已知人和木船的质量分别为m 和M ，设湖水静止，阻力不计。
如人相对船以'
v 沿船前进的方向向湖岸跳去，求跳后船向前的速率。
并讨论此人从大船跳上岸容易还是从小船跳上岸容易。
【4-7】如图3-18所示，水平地面上一辆静止的炮车发射炮弹。
炮身 质量为M ，炮身仰角为α，炮弹质量为m ，炮弹刚出口时相对于炮身的速率为u ，不计地面摩擦。
0v
§4-2角动量守定律
一、角动量
如图3.1：
r L =大小：mrv L =定。
二、角动量定理
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。
dt
L d M =
三、角动量守恒定律
条件：若质点所受的合力矩为零0=M
则： 质点的角动量保持不变。
=L
恒矢量
第四章 动量和角动量
３８ 推论：质点在有心力作用下，其角动量守恒。
有心力是恒定指向力心的力。
【典型题例】
用角动量守恒定律解题时，首先要分析系统的受力情况；其次，根据系统对固定点或定轴的力矩是否为零，判断系统的角动量守恒，并写出角动量守恒的矢量表达式；最后选择角动量的正方向，求出结果。
【例4-4】 在一光滑水平面上，有一轻弹簧，一端固定，另一端连接一质量为kg m 1=的滑块，如图所示。
弹簧自然长度为m l 2.00=，倔强系数为m N k /100=。
开始时，滑
l .0=【分类习题】
【4-1】 Ns 16，J 176【4-2】
042.2gy m ，向上；2/0mV ，向左 【4-3】
)(23
23SI j t i t
+【4-4】 （1）1.8N 310⨯，s m s m /6.22,/6)2( 【4-5】
,/t mv 向下【4-6】 /V m
M m
V +-大船
【4-7】
m M mu +αcos )
1(m
M ml +α
cos )2(
【4-8】
)(22121m m l G
m v +=，)
(22112m m l G m v +=
【4-9】 ))((212121210
m m k k m m k k v ++【4-10】 （1）043x m
mk
，
（2）2/0x
【4-11】 角动量，04ω【4-12】 GMR m
【4-13】 s m Nms /13,2275
【4-14】 同时 【4-15】 222mr L E k = 2
2mr
L E P -= 222mr L E -= L mr T 2
2π= 【4-16】
gL m M 2 gL m
M
5。