平面向量及运算法则
平面向量的基本运算法则
平面向量的基本运算法则平面向量是在平面上具有大小和方向的量，它在数学和物理中都有广泛的应用。
对于平面向量，有一些基本的运算法则需要掌握。
一、平面向量的表示方法表示一个平面向量可以使用坐标表示法或者矢量表示法。
1. 坐标表示法：假设平面上有一个点P，以原点O为起点，连接OP，并将OP表示为一个有向线段，那么OP就是一个平面向量。
通常用大写字母表示向量，比如向量OP可以表示为向量OQ = (x, y)。
2. 矢量表示法：平面向量还可以使用矢量符号表示，比如向量OP 可以表示为向量→OP。
二、平面向量的基本运算包括加法、减法、数乘和数量积。
1. 加法：设有两个平面向量→AB和→CD，它们的和表示为→AB+→CD，即将两个向量的起点对齐，连接终点即可得到它们的和向量→AD。
2. 减法：设有两个平面向量→AB和→CD，它们的差表示为→AB-→CD，即将被减向量→CD取反，然后按照加法法则相加，即→AB+(-→CD)。
3. 数乘：设有一个平面向量→AB，它与一个实数k的乘积表示为k→AB，即将向量→AB的长度乘以实数k，方向不变。
4. 数量积：设有两个平面向量→AB和→CD，它们的数量积表示为→AB·→CD，即将两个向量的模长相乘再乘以它们夹角的余弦值。
如果→AB和→CD垂直，它们的数量积为0；如果夹角为锐角，它们的数量积为正；如果夹角为钝角，它们的数量积为负。
三、平面向量基本运算法则的性质平面向量的基本运算法则满足一些重要的性质。
1. 交换律：对于加法和数量积来说，交换向量的顺序不改变运算结果，即→AB+→CD = →CD+→AB，→AB·→CD = →CD·→AB。
2. 结合律：对于加法来说，可以将多个向量的和分成多个组，然后先对每组中的向量进行加法运算，再将每组的运算结果进行加法运算，结果是相同的。
3. 分配律：对于加法和数乘来说，分配律成立，即k(→AB+→CD)= k→AB+k→CD，(k+m)→AB = k→AB+m→AB。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量是解决平面几何问题的重要工具，通过向量的运算可以简化平面几何问题的处理过程。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，以及其在几何问题中的应用。
一、平面向量的表示平面向量用有序数对表示，常用形式为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，其中A和B分别表示向量的起点和终点，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)表示向量的坐标。
二、平面向量的加法平面向量的加法指的是将两个向量按照特定的法则相加，得到一个新的向量。
设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的和C可以表示为C(x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
三、平面向量的减法平面向量的减法指的是计算出一个新的向量，使得用该向量加上被减向量等于另一个向量。
设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A 与向量B的差D可以表示为D(x₁ - x₂, y₁ - y₂)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法指的是将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
设有向量A(x, y)和实数k，kA可以表示为kA(kx, ky)。
五、平面向量的点乘平面向量的点乘指的是两个向量的对应坐标相乘后相加的运算。
设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的点乘可以表示为A·B = x₁x₂ + y₁y₂。
六、平面向量的叉乘平面向量的叉乘指的是两个向量按照一定的法则相乘，得到一个新的向量。
设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的叉乘可以表示为A×B = x₁y₂ - x₂y₁。
七、平面向量的模长平面向量的模长指的是一个向量的长度，可以通过勾股定理求得。
设有向量A(x, y)，则向量A的模长可以表示为|A| = √(x² + y²)。
八、平面向量的单位向量平面向量的单位向量指的是模长为1的向量，可以通过将向量除以其模长得到。
设有向量A(x, y)，则向量A的单位向量可以表示为Â = (x/|A|, y/|A|)。
平面向量及运算法则
平面向量及运算法则平面向量是指可以完整描述平面上的有方向和大小的物理量。
在数学中，平面向量通常用箭头上的字母表示，例如a或b，有时也用粗体字母表示，例如a或a。
平面向量具有位移、速度、加速度、力等物理量的特性。
平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法、点积和叉积等。
1.平面向量的加法：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的加法结果为a+a=(a+a)a+(a+a)a。
即，将两个向量的分量分别相加得到新向量的分量。
2.平面向量的减法：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的减法结果为a-a=(a-a)a+(a-a)a。
即，将两个向量的分量分别相减得到新向量的分量。
3.平面向量的数量乘法：设有一个平面向量a=aa+aa，它的数量乘法结果为aa=aaa+aaa。
即，将向量的每个分量都乘以一个标量k得到新向量的分量。
4.平面向量的点积（内积）：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的点积结果为a·a=aa+aa。
即，将两个向量的对应分量相乘并相加得到点积的结果。
点积的结果是一个标量，表示两个向量的夹角余弦乘以两个向量的长度之积。
5.平面向量的叉积（外积）：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的叉积结果为a×a=(0,0,aaa)，其中k为垂直于平面向量的单位向量。
即，叉积的结果是一个新的向量，其方向垂直于两个向量所在的平面，大小为两个向量长度的乘积与它们夹角的正弦值之积。
平面向量的运算法则有很多，下面列举几个常用的法则。
1.交换律：平面向量的加法满足交换律，即a+a=a+a。
2.结合律：平面向量的加法满足结合律，即(a+a)+a=a+(a+a)。
3.分配律：数量乘法和加法之间满足分配律，即a(a+a)=aa+aa。
4.点积的分配律：点积的分配律表示为(a+a)·a=a·a+a·a，其中a、a和a 分别是平面向量。
平面向量的坐标表示与运算学习平面向量的坐标表示及其运算法则
平面向量的坐标表示与运算学习平面向量的坐标表示及其运算法则平面向量的坐标表示与运算平面向量是解析几何学中的重要概念，它可以通过坐标表示和进行各种运算。
本文将介绍平面向量的坐标表示及其运算法则。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个向量可以用有序实数对（x, y）表示，其中x代表向量在x轴上的投影长度，y代表向量在y轴上的投影长度。
这个有序实数对称为向量的坐标表示。
例如，对于平面上的向量AB，若A点的坐标为（x₁, y₁），B点的坐标为（x₂, y₂），则向量AB的坐标表示为（x₂ - x₁, y₂ - y₁）。
二、平面向量的运算法则1. 加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后将它们的终点连线，新的向量就是连接相接点与连接终点的线段的向量。
对于向量AB和向量CD，它们的和向量为向量AC。
和向量的坐标表示为（x₂ - x₁ + x₄ - x₃, y₂ - y₁ + y₄ - y₃）。
2. 数乘：向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
数乘改变了向量的大小，但不改变其方向。
对于向量AB和实数k，向量kAB的坐标表示为（k(x₂ - x₁), k(y₂- y₁)）。
3. 减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示。
对于向量AB和向量CD，它们的差向量为向量AD。
差向量的坐标表示为（x₂ - x₁ - x₄ + x₃, y₂ - y₁ - y₄ + y₃）。
4. 模长：向量的模长表示了向量的大小。
在平面直角坐标系中，向量（x, y）的模长表示为√(x² + y²)。
三、平面向量的运算实例例1：已知向量A(3, 4)，向量B(5, 2)，求向量A + 向量B 和向量A - 向量B的坐标表示。
解：向量A + 向量B的坐标表示为（3 + 5, 4 + 2），即(8, 6)。
平面向量的所有公式归纳总结
平面向量的所有公式归纳总结平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。
平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.ab+bc=ac.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.2、向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c).如果a、b就是互为恰好相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0ab-ac=cb.即“共同起点,指向被减”a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').1、定义：已知两个非零向量a,b.作oa=a,ob=b,则角aob称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量内积(内积、点内积)就是一个数量,记作ab.若a、b不共线,则ab=|a||b|cos〈a,b〉;若a、b共线,则ab=+-∣a∣∣b∣.2、向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'.3、向量的数量内积的运算律ab=ba(交换律);(λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律);(a+b)c=ac+bc(分配律);4、向量的数量内积的性质aa=|a|的平方.a⊥b〈=〉ab=0.|ab|≤|a||b|.5、向量的数量内积与实数运算的主要不同点（1）向量的数量积不满足结合律,即：(ab)c≠a(bc);例如：(ab)^2≠a^2b^2.（2）向量的数量积不满足用户解出律,即为：由ab=ac(a≠0),推不出b=c.（3）|ab|≠|a||b|（4）由|a|=|b|,推不出a=b或a=-b.1、实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣∣a∣.当λ>0时,λa与a同方向;当λ<0时,λa与a反方向;当λ=0时,λa=0,方向任一.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.备注：按定义言,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣>1时,则表示向量a的存有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上弯曲为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.2、数与向量的乘法满足用户下面的运算律结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb).向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘坐向量的解出律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.1、定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b 和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.2、向量的向量内积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a‖b〈=〉a×b=0.3、向量的向量内积运算律a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.备注：向量没乘法,“向量ab/向量cd”就是没意义的.1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;①当且仅当a、b逆向时,左边挑等号;②当且仅当a、b同向时,右边取等号.2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.①当且仅当a、b同向时,左边取等号;②当且仅当a、b逆向时,右边挑等号.定比分点公式(向量p1p=λ向量pp2)设p1、p2就是直线上的两点,p就是l上不同于p1、p2的任一一点.则存有一个实数λ,并使向量p1p=λ向量pp2,λ叫作点p棕斑向线段p1p2阿芒塔的比.若p1(x1,y1),p2(x2,y2),p(x,y),则有op=(op1+λop2)(1+λ);(的定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ).(的定比分点座标公式)我们把上面的式子叫做有向线段p1p2的定比分点公式1、三点共线定理若oc=λoa+μob,且λ+μ=1,则a、b、c三点共线2、三角形战略重点推论式在△abc中,若ga+gb+gc=o,则g为△abc的重心3、向量共线的关键条件若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb. a//b的关键条件就是xy'-x'y=0.4、零向量0平行于任何向量.5、向量横向的充要条件a⊥b的充要条件是ab=0.a⊥b的充要条件就是xx'+yy'=0.6、零向量0垂直于任何向量.。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量是二维的有方向和大小的量，通常用箭头表示。
在平面上，我们可以进行平面向量的加法、减法、数乘、点乘和叉乘等运算，下面将详细介绍这些运算法则。
1.平面向量的加法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其加法运算为：⃗A+⃗B=⃗C，其中C是由A和B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
加法满足以下性质：-交换律：⃗A+⃗B=⃗B+⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)+⃗C=⃗A+(⃗B+⃗C)2.平面向量的减法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其减法运算为：⃗A-⃗⃗B=⃗C，其中C是由A的箭头指向B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
3.平面向量的数乘：设有平面向量A和实数k，表示为⃗A和k，其数乘运算为：k⃗A=⃗B，其中B的大小等于A的大小乘以k，方向与A相同（若k>0），或相反（若k<0）。
数乘满足以下性质：- 结合律：k(l⃗A) = (kl)⃗A-分配律：(k+l)⃗A=k⃗A+l⃗A4.平面向量的点乘（数量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其点乘运算为：⃗A · ⃗B = ABcosθ，其中A和B的夹角θ的余弦值等于点乘结果与两个向量大小的乘积的商。
点乘满足以下性质：-交换律：⃗A·⃗B=⃗B·⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)·⃗C=⃗A·⃗C+⃗B·⃗C-数乘结合律：(k⃗A)·⃗B=k(⃗A·⃗B)特殊情况下：-若⃗A与⃗B垂直，即⃗A·⃗B=0，则称⃗A与⃗B是正交的或垂直的。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B>0，则夹角θ为锐角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B=0，则夹角θ为直角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B<0，则夹角θ为钝角。
5.平面向量的叉乘（向量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其叉乘运算为⃗A × ⃗B = nABsinθ⃗n，其中n为垂直于A和B所在平面的单位向量，θ为A和B 的夹角。
初中数学复习平面向量的运算法则
初中数学复习平面向量的运算法则平面向量是数学中的一个重要概念，它可以用来描述平面上的位移、力、速度等量。
本文将介绍平面向量的运算法则，包括向量的加法、减法、数量乘法和点乘。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量合成为一个新的向量的运算。
设有两个向量：AB→ 和CD→，它们的加法运算可以表示为：AB→ + CD→ = AC→。
这里的AC→也是一个向量。
在平面上，我们可以使用平行四边形法则来进行向量的加法运算。
具体步骤如下：1. 将向量AB→ 的起点放在原点，即坐标轴的交点，然后按照向量既定的方向和长度画出向量AB→；2. 以向量CD→ 的起点为起点，按照向量既定的方向和长度画出向量CD→；3. 接着，将向量AB→ 平行平移，使其起点与向量CD→ 的终点重合；4. 连接向量AB→ 的终点与向量CD→ 的起点，得到新的向量AC→。
二、向量的减法向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量的运算。
设有两个向量：AB→ 和CD→，它们的减法运算可以表示为：AB→ - CD→ =AD→。
同样，AD→ 也是一个向量。
在平面上，向量的减法运算可以使用平行四边形法则来进行，具体步骤如下：1. 将向量AB→ 的起点放在原点，按照向量既定的方向和长度画出向量AB→；2. 以向量CD→ 的起点为起点，按照向量既定的方向和长度画出向量CD→；3. 将向量CD→ 反向，即将其方向取反；4. 接着，将向量AB→ 平行平移，使其起点与向量 -CD→ 的终点重合；5. 连接向量AB→ 的终点与向量 -CD→ 的起点，得到新的向量AD→。
三、向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量的运算。
设有一个向量AB→ 和一个实数 k，它们的数量乘法运算可以表示为：kAB→。
在平面上，数量乘法可以通过改变向量的长度和方向来实现，具体步骤如下：1. 将向量AB→ 的起点放在原点，按照向量既定的方向和长度画出向量AB→；2. 以原点 O 为中心，将向量AB→ 的终点向量 B 连接到点 C；3. 在向量AB→ 的延长线上，找到与向量BC→ 长度相等的一点 D；4. 连接点 O 和点 D，得到新的向量AD→。
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是由大小和方向确定的量，常用于表示物体在平面上的位移或力的作用方向。
平面向量的运算是指对平面向量进行加法、减法、数乘和点乘等操作。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算规则。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用有向线段表示，由两个点确定，例如AB表示从点A到点B的平面向量。
可以用字母加箭头（如→）表示平面向量，如：AB →其中A为向量的起点，B为终点。
二、平面向量的加法对于两个平面向量AB → 和CD →，它们的和可以通过平行四边形法则得到。
具体步骤如下：1. 将向量CD → 的起点与向量AB → 的终点相重合，得到新的向量AC →；2. 连接向量AB → 的起点和向量CD → 的终点，得到新的向量AD →；3. 新的向量AD → 就是原始向量AB → 和CD → 的和，即AD → = AB → + CD →。
三、平面向量的减法向量的减法可以通过向量加法的逆运算得到。
对于向量AB → 和CD →，它们的差可以表示为AB → - CD →，具体步骤如下：1. 取向量CD → 的终点B为新向量的起点，向量AB → 的起点A为新向量的终点，得到新的向量BA →；2. 新的向量BA → 就是原始向量AB → 和CD → 的差，即BA → = AB → - CD →。
四、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度乘以一个实数，从而改变向量的大小。
设有向量AB → 和实数k，它们的数乘表示为kAB →，其具体步骤如下：1. 将向量AB → 的长度乘以实数k，得到新向量AC →；2. 新的向量AC → 的方向与原来向量AB → 相同，而长度为原来的k倍，即AC → = kAB →。
五、平面向量的点乘平面向量的点乘（内积）运算可以得到两个向量的乘积，结果为一个实数。
设有向量AB → 和CD →，它们的点乘表示为AB → · CD →，具体计算方法如下：1. 将向量AB → 和CD → 的长度相乘，得到实数AC；2. 计算向量AB → 与向量CD → 之间夹角的余弦值，得到实数cosθ；3. 点乘的结果为AB → · CD → = ACcosθ。
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平面向量及运算法则
【课前预习】阅读教材P74-P113完成下面填空
1、向量：
（1）概念：既有 又有 的量叫做向量
（2）表示：可以用有向线段来表示，包含三个要素： 、 和 ；记为AB 或 a
（3）模：AB 的长度叫向量的模，记为||AB 或 ||a
（4）零向量：零向量的方向是任意的
单位向量是____________的向量.
（5）相等向量： 的向量叫相等向量；
（6）共线向量： 的向量叫平行向量，也叫共线向量
2、向量运算的两个法则：
加法法则：
（1）平行四边形法则，要点是：统一起点；
（2）三角形法则，要点是：首尾相接；
减法法则：向量减法运算满足三角形法则，要点是统一起点，从 指向 。
3、实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作a λ ，其长度与方向规定如下：
（1）||a λ = ||||a λ；（2）λ> 0 时，a λ与a 同向；λ< 0 时，a λ与a 反向；（3）λ= 0 时，a λ=0
4、向量的线性运算满足：
（1）()a λμ=
（2）(λμ+)a =
（3）()a b λ+=
5、//a b (0)b a a λ⇔=≠其中R λ∈且唯一
【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1. ①向量AB 与是共线向量，则A 、B 、C 、D
③若a =b, b=c,则a=c ；
④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；
⑤若|a |=|b |,则a =b 。
D B A ⑥若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线
其中正确命题的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2、如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则-＝( ) A.
B. C. D.
3、在平行四边形ABCD 中，
下列各式中成立的是（ ） A ．+
=AB BC CA B ．+=AB AC BC C ．+=AC BA AD D ．+=AC AD DC
4．下面给出的四个式子中，其中值不一定为0的是（ ）
A.AB BC CA ++
B.OA OC BO CO +++
C.AB AC BD CD -+-
D.NQ QP MN MP ++- 强调（笔记）：
【课中35分钟】边听边练边落实 5．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-则必有 ( )
A. 0AD =
B. 00AB AD ==或
C. ABCD 是矩形
D. ABCD 是正方形 6、如图所示，OADB 是以向量OA =a ，OB =b 为边的平行四边形，又BM=
31BC ，CN=3
1CD ．试用a ，b 表示OM ，ON ，MN ．
O A D B C M N
7、设两个非零向量1e 、2e 不是平行向量
（1）如果AB =1e +2e ，BC =21e +82e ，CD =3(21e e )，求证A 、B 、D 三点共线；
（2）试确定实数k 的值，使k 1e +2e 和1e +k 2e 是两个平行向量．
变式: 已知OA 、OB 不共线，OP =a OA +b OB ．
求证：A 、P 、B 三点共线的充要条件是a +b =1．
强调（笔记）：
【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点
1.
2.
3.
4.
【课后15分钟】 自主落实，未懂则问
1． 下面的几个命题：
共线与则b a ==；
②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量；
③若,a b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >；
④由于0方向不定，故0不能与任何向量平行；
⑤对于任意向量,,a b ≤+≤
其中正确命题的序号是：（ ）
A.①②③
B.⑤
C.③⑤
D.①⑤
2．设D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命
题：①AB →＝－12 a －b ②BE →＝a ＋12 b ③CF →＝－12 a ＋12
b ④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题个数为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4
3.设两非零向量12,e e ，不共线，且1212()//()k e e e ke ++，则实数k 的值为（ ）
A ．1
B ．-1
C ．1±
D ．0。