高二数学组合2

1.3组合（第一课时）教学目标：1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；2.能正确认识组合与排列的联系与区别教学重点：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式教学过程一、复习引入：1．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m n≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m n≤）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mA表示n注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（m n≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号mnA 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：(1)(2)(1)mnA n n n n m=---+（,,m n N m n*∈≤）全排列数：(1)(2)21!nnA n n n n=--⋅=（叫做n的阶乘）二、讲解新课：1 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m()m n≤个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m()m n≤个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．．．．用符号m n C表示．3．组合数公式的推导：（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数mnA，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数mnC；mmA mnA＝mnC mmA⋅．（2）组合数的公式：(1)(2)(1)!mm nn mmA n n n n mCA m---+==或)!(!!mnmnC mn-=,,(nmNmn≤∈*且例子：1、计算：（1）47C ； （2）710C ；（1）解： 4776544!C ⨯⨯⨯=＝35； （2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120． 解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120． 2、求证：11+⋅-+=m n m nC mn m C ． 证明：∵)!(!!m n m n C m n -=111!(1)!(1)!m nm m n C n mn m m n m +++⋅=⋅--+-- ＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+--- ＝!!()!n m n m -∴11+⋅-+=m n m n C mn m C3、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查．(1)全是合格品的抽法有多少种？ (2)次品全被抽出的抽法有多少种？ (3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？ (4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？4、名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅， 所以，一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法． 解法二：（间接法）10036310=-C C课堂小节：本节课学习了组合的意义，组合数的计算公式 课堂练习： 课后作业：1.2.2组合（第二课时）教学目标：1掌握组合数的两个性质；2.进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题教学重点：掌握组合数的两个性质 教学过程一、复习引入：1 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m()m n≤个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．．．．用符号mnC表示．3．组合数公式的推导：（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数mnA，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数mnC；②求每一个组合中m个元素全排列数mmA，根据分步计数原理得：m n A＝mnC mmA⋅．（2）组合数的公式：(1)(2)(1)!mm nn mmA n n n n mCA m---+==或)!(!!mnmnC mn-=),,(nmNmn≤∈*且二、讲解新课：1 组合数的性质1：m nnmnCC-=．一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n m-个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n-m个元素的组合数，即：mnnmnCC-=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明：∵)!(!!)]!([)!(!mnmnmnnmnnC m nn-=---=-又)!(!!mnmnC mn-=，∴n nmnCC-=说明：①规定：10=n C ；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； ③y n x n C C =y x =⇒或n y x =+． 2．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C ．一般地，从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m n C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m n C 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想． 证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+=∴m n C 1+＝m n C +1-m n C ． 3.例子1．（1）计算：69584737C C C C +++；（2）求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C ．4565664889991010210C C C C C C C =++=+===证明：（2）右边1121112()()n n n n n n nm m m m m m m C C C C C C C ----+++=+++=+==左边2．解方程：（1）3213113-+=x x C C ；（2）解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ． 解：（1）由原方程得123x x +=-或12313x x ++-=，∴4x =或5x =，又由111312313xxx N*⎧≤+≤⎪≤-≤⎨⎪∈⎩得28x≤≤且x N*∈，∴原方程的解为4x=或x=上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x=和5x=代入检验,这样运算量小得多.（2）原方程可化为2333110xx xC A-++=，即5333110x xC A++=，∴(3)!(3)!5!(2)!10!x xx x++=-⋅，∴11120(2)!10(1)(2)!x x x x=-⋅-⋅-，∴2120x x--=，解得4x=或3x=-，经检验：4x=是原方程的解3. 有同样大小的4个红球，6个白球。

(1)从中任取4个，有多少种取法？(2)从中任取4个，使白球比红球多，有多少种取法？(3)从中任取4个，至少有一个是红球，有多少种取法？(4)假设取1个红球得2分，取1个白球得1分。

从中取4个球，使总分不小于5分的取法有多少种？课堂小节：本节课学习了组合数的两个性质课堂练习：课后作业：1.2.2组合（第三课时）教学目标：1、进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；2、能够解决一些组合应用问题教学重点：解决一些组合应用问题教学过程一、复习引入：1 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m()m n≤个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m()m n≤个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．．．．用符号mnC表示．3．组合数公式的推导：（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数mnA，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m 个元素的组合数mnC；②求每一个组合中m个元素全排列数mmA，根据分步计数原理得：m n AmnC mmA⋅（2）组合数的公式：(1)(2)(1)!mm nn mmA n n n n mCA m---+==或)!(!!mnmnC mn-=,,(nmNmn≤∈*且4.组合数的性质1：m nnmnCC-=．5.组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C ． 二、讲解新课： 例子1．(1)把n+1个不同小球全部放到n 个有编号的小盒中去，每小盒至少有1个小球，共有多少种放法？(2)把n+1相同的小球，全部放到n 个有编号的小盒中去，每盒至少有1个小球，又有多少种放法？(3)把n+1个不同小球，全部放到n 个有编号的小盒中去，如果每小盒放进的球数不限，问有多少种放法？2．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？解：分为三类：1奇4偶有4516C C ； 3奇2偶有2536C C ； 5奇1偶有56C ，∴一共有4516C C +2536C C +23656=C ． 3．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其 中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有2324C C ；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有1334C C ；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有2334C C ，∴一共有2324C C +1334C C +2334C C ＝42种方法．4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？解法一：（排除法）422131424152426=+-C C C C C C ． 解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有2324C C ；另一类为甲不值周一，但值周六，有2414C C ， ∴一共有2414C C +2324C C ＝42种方法．5．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？解：第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有26C 种方法；第二步：将5个“不同元素（书）”分给5个人有55A 种方法． 根据分步计数原理，一共有26C 55A ＝1800种方法6. 从6双不同手套中，任取4只， (1)恰有1双配对的取法是多少？ (2)没有1双配对的取法是多少？ (3)至少有1双配对的取法是多少？ 课堂小节：本节课学习了组合数的应用 课堂练习：。