三角函数解题技巧和公式(已整理)
三角函数公式大全及记忆口诀
三角函数公式大全及记忆口诀
在数学中，三角函数是一类重要的函数，它们在几何、物理、
工程等领域中都有着广泛的应用。
为了更好地掌握三角函数，我们
需要熟练掌握它们的公式，同时也需要一些记忆口诀来帮助我们记忆。
首先，我们来看一下三角函数的公式大全：
1. 正弦函数（sine function），sin(θ) = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cosine function），cos(θ) = 邻边/斜边。
3. 正切函数（tangent function），tan(θ) = 对边/邻边。
4. 余切函数（cotangent function），cot(θ) = 邻边/对边。
5. 正割函数（secant function），sec(θ) = 斜边/邻边。
6. 余割函数（cosecant function），csc(θ) = 斜边/对边。
这些公式是我们在解决三角函数相关问题时经常会用到的，熟练掌握它们对我们的学习至关重要。
除了公式外，记忆口诀也是我们学习三角函数的好帮手。
下面是一个简单的记忆口诀：
正弦对，余弦邻，正切比，余切颠，正割斜，余割对。
这个口诀可以帮助我们记忆三角函数的定义和关系，使我们更容易在解题时迅速找到正确的公式和方法。
总之，三角函数是数学中的重要内容，掌握好三角函数的公式和记忆口诀，对我们的学习和工作都有着重要的帮助。
希望大家能够通过不断的练习和记忆，熟练掌握三角函数，为自己的数学学习打下坚实的基础。
常用三角函数公式及口诀
常用三角函数公式及口诀三角函数是数学中非常重要的一部分，它经常在几何、物理、工程等各个领域中被广泛应用。
掌握常用的三角函数公式和口诀，将有助于我们更好地理解和应用它们。
下面是一些常用的三角函数公式及口诀：一、三角函数的定义：在一个直角三角形中，正弦(sin)定义为对边与斜边的比值，余弦(cos)定义为邻边与斜边的比值，正切(tan)定义为对边与邻边的比值。
即：sin(θ) = 对边 / 斜边cos(θ) = 邻边 / 斜边tan(θ) = 对边 / 邻边二、特殊角的三角函数值：1.30°角特殊值：sin(30°) = 1/2cos(30°) = √3/2tan(30°) = 1/√32.45°角特殊值：sin(45°) = √2/2cos(45°) = √2/2tan(45°) = 13.60°角特殊值：sin(60°) = √3/2cos(60°) = 1/2tan(60°) = √3三、基本三角函数的性质：1.正弦、余弦的周期性：sin(θ) = sin(θ + 2π)cos(θ) = cos(θ + 2π)2.正弦、余弦的对称性：sin(-θ) = -sin(θ)cos(-θ) = cos(θ)3.正弦、余弦的平方和为1：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 14.正切的周期性：tan(θ) = tan(θ + π)四、和差角公式：1.正弦和差角公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B) 2.余弦和差角公式：cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)3.正切和差角公式：tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B)) / (1 ∓ tan(A)tan(B))五、倍角公式：1.正弦倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)2.余弦倍角公式：cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A) 3.正切倍角公式：tan(2A) = 2tan(A) / (1 - tan^2(A))六、半角公式：1.正弦半角公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cos(A)) / 2]2.余弦半角公式：cos(A/2) = ±√[(1 + cos(A)) / 2]3.正切半角公式：tan(A/2) = ±√[(1 - cos(A)) / (1 + cos(A))]七、和差化积公式：1.正弦和差化积公式：sin(A) + sin(B) = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]sin(A) - sin(B) = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] 2.余弦和差化积公式：cos(A) + cos(B) = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]cos(A) - cos(B) = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]。
高中数学《三角函数》详解+公式+精题(附讲解)
高中数学《三角函数》详解+公式+精题（附讲解）引言三角函数是中学数学的基本重要容之一，三角函数的定义及性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能进行考查的一个容。
其考查容包括：三角函数的定义、图象和性质，同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切。
两倍角的正弦、余弦、正切。
、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数。
要求掌握三角函数的定义，图象和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，会用“五点法”作正余弦函数及的简图；掌握基本三角变换公式进行求值、化简、证明。
了解反三角函数的概念，会由已知三角函数值求角并能用反三角函数符号表示。
由于新教材删去了半角公式，和差化积，积化和差公式等容，近年的高考基本上围绕三角函数的图象和三角函数的性质，以及简单的三角变换来进行考查，目的是考查考生对三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力掌握情况。
2．近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。
每年有 2 — 3 道选择题或填空题，或 1 — 2 道选择、填空题和 1 道解答题。
总的分值为 15 分左右，占全卷总分的约 10 左右。
（ 1 ）关于三角函数的图象立足于正弦余弦的图象，重点是函数的图象与 y=sinx 的图象关系。
根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性。
如 2000 年第（ 5 ）题、（ 17 ）题的第二问。
（ 2 ）求值题这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换。
如 2002 年（ 15 ）题。
（ 3 ）关于三角函数的定义域、值域和最值问题（ 4 ）关于三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）。
一般要先对已知的函数式变形，化为一角一函数处理。
如 2001 年（ 7 ）题。
（ 5 ）关于反三角函数， 2000 — 2002 年已连续三年不出现。
（ 6 ）三角与其他知识的结合（如 1999 年第 18 题复数与三角结合）今后有关三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，难度不会太大，会控制在中等偏易的程度；三角函数如果在解答题出现的话，应放在前两题的位置，放在第一题的可能性最大，难度不会太大。
三角函数解题技巧和公式(已整理)
浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中.面对三角函数内容的相关教学时.积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。
下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±.必可推出)2sin (cos sin ααα或.例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。
分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中.θθcos sin -已知.只要求出θθcos sin 即可.此题是典型的知sin θ-cos θ.求sin θcos θ的题型。
解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=-故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+=2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ.sin θcos θ的关系应用：由于tg θ+ctg θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ.θθcos sin ±.sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。
例2 若sin θ+cos θ=m 2.且tg θ+ctg θ=n.则m 2 n 的关系为（ ）。
三角函数相关公式及规律
一.任意角三角函数：1.角度制与弧度制：0180=rad π⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≈≈⇒003.57101745.01rad rad2.象限角：如果α第一象限的角：)22,2(πππα+∈k k 则∈2α第一象限或第三象限，∈α2第一象限或第二象限 如果α第二象限的角：)2,22(ππππα++∈k k 则∈2α第一象限或第三象限，∈α2第三象限或第四象限如果α第三象限的角：)232,2(ππππα++∈k k 则∈2α第二象限或第四象限，∈α2第一象限或第二象限如果α第四象限的角：)22,232(ππππα++∈k k 则∈2α第二象限或第四象限，∈α2第三象限或第四象限3.三角函数的定义：一般地，设角α终边上任意一点的体坐标为),(y x ,则二.三角公式1.同角三函数的关系:1cos sin 22=+αα αααcos sin tan =αα22cos 11tan =+ 2.诱导公式：主要应用于α的三个三角函数值与)(2Z k k ∈⋅+πα的三个三角函数值之间的关系（“奇变偶不变，符号看象限” 、“全、S 、T 、C”）(注：这里面所说的“奇”和“偶”指的是2π的系数k ,如果k 是奇数，则三角函数中的正弦变成余弦，余弦变成正弦，如果是偶数，则不改变三角函数的名称。
正负号由)(2Z k k ∈⋅+πα的象限决定)(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+∈=+=+,tan )2tan()(,cos )2cos(,sin )2sin(απααπααπαk z k k k 其中 )(函数值相等终边相同的角的各三角 (2)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-=+,tan )tan()(,cos )cos(,sin )sin(ααπαπααπααπ是第三象限角其中 (3)⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-,tan )tan(),,(,cos )cos(,sin )sin(αααααα而余弦是偶函数正切是奇函数其中正弦 (4)⎪⎩⎪⎨⎧-=---=-=-,tan )tan()(,cos )cos(,sin )sin(ααπαπααπααπ是第二象限角其中 (5))2(,sin )2cos(,cos )2sin(是第一象限角其中απααπααπ-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=- (6)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-,sin )23cos(,cos )23sin(ααπααπ)23(是第三象限角其中απ-(7)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+,sin )2cos(,cos )2sin(ααπααπ)2(是第二象限角其中απ+ (8)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+,sin )23cos(,cos )23sin(ααπααπ)23(是第四象限角其中απ+ (9) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--,sin )23cos(,cos )23sin(ααπααπ)23(是第一象限角其中απ-- (10) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=--,sin )2cos(,cos )2sin(ααπααπ)23(是第三象限角其中απ-- (11) ⎪⎩⎪⎨⎧-=-----=--=--,tan )tan()(,cos )cos(,sin )sin(ααπαπααπααπ是第二象限角其中 3.两角和与差的三角函数公式:βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±4.二倍角公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=-=--=-+==ααααααααααααααααα244222222tan 1tan 22tan sin cos 1cos 2sin 21sin cos 2cos )cos (sin 11)cos (sin cos sin 22sin5.半角公式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=-=+=αααααααcos 1cos 12tan 2cos 12sin 2cos 12cos 222(降幂扩角公式)αααααααcos 1cos 1sin cos 1cos 1sin 2tan+-±=-=+=6.积化和差公式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--+-=-++=--+=-++=)]cos()[cos(21sin sin )]cos()[cos(21cos cos )]sin()[sin(21sin cos )]sin()[sin(21cos sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα 7.和差化积公式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+-=--+=+-+=--+=+2sin2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα 8.辅助角的三角函数公式],[)sin(cos sin 222222b a b a b a b a y ++-∈±+=±=ϕααα)tan ,cos ,sin (2222a bb a ab a b =+=+=ϕϕϕ其中9.关于一般三角函数)sin(ϕω+=x A y 的性质(0,0>>ωA )(1)振幅：A (2)||2:min ωπ=+T 周期 (3)T f 1:=频率πω2||= (4)ϕω+x :相位 (5)ϕ:初相 10.正弦函数：x y sin =(1)定义域：R x ∈ (2)值域：]1,1[-∈y (3)单调性：↓++∈↑+-∈]232,22[,]22,22[ππππππππk k x k k x(4)周期性:最小正周期为π2 (5)奇偶性:奇函数 (6)对称轴方程:2ππ+=k x ,相邻两条对称轴间的距离是最小正周期的一半.(7)当自变量取对称轴时,函数值取得最大值或最小值. (8)当22ππ+=k x 时,函数取最大值1;(9)当232ππ+=k x 时,函数取最小值－1.(10)相邻的两个最大值之间的水平距离是一个最小正周期; (11)相邻的两个最小值之间的水平距离是一个最小正周期;(12)相邻的一个最大值和一个最小值之间的水平距离是一个最小正周期的一半. (13)对称点: )0,(πk ,相邻的两个对称点间的距离是最小正周期的一半. 11.余弦函数x y cos =(1)定义域:∈x R (2)值域]1.1[:-∈y (3)单调性：↑++∈↓+∈]22,2[,]2,2[πππππππk k x k k x (4)周期性:最小正周期为π2(5)奇偶性:偶函数(6)对称轴方程:πk x =(7)相邻两条对称轴间的距离是最小正周期的一半 (8)当自变量取对称轴时,函数值取得最大值或最小值 (9)当πk x 2=时,函数取最大值1(10)当ππ+=k x 2时,函数取最小值－1(11)相邻的两个最大值之间的水平距离是一个最小正周期 (12)相邻的两个最小值之间的水平距离是一个最小正周期(13)相邻的一个最大值和一个最小值之间的水平距离是一个最小正周期的一半.(14)对称点方程: )0,2(ππ+k12.正切函数x y tan =(1)定义域: 2ππ+≠k x(2)值域R y ∈: (3)单调性：↑+-∈)2,2(ππππk k x(4)周期性:最小正周期为π (5)奇偶性:奇函数 (6)对称点方程: )0,(πk13.图象变换：由x y sin =到)sin(ϕω+=x A y +B 的图像变换：(1)值域:]||,||[B A B A y ++-∈(2)单调区间(利用复合函数的“同增异减”原理来判定)当0>ω时:○1]22,22[ππππϕω+-∈+k k x 解出x 的区是为单调递增区间○2]232,22[ππππϕω++∈+k k x 解出x 的区是为单调递减区间 当0<ω时:○1]232,22[ππππϕω++∈+k k x 解出x 的区是为单调递增区间 ○2]22,22[ππππϕω+-∈+k k x 解出x 的区是为单调递减区间(3)对称轴方程的求法:令2ππϕω+=+k x 解出x 并注明Z k ∈(4)对称点的求法: 令πϕωk x =+解出x 并注明Z k ∈(5)限定定义域求值域：根据定义域x 的范围求出ϕω+x 的范围，然后根据三角函数的图象求出)sin(ϕω+x 的范围，进而求出)sin(ϕω+=x A y 的范围.。
(完整版)三角函数公式大全(最新整理)
csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)
双曲函数
sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2 cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2 tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)
常用公式表（一）
1。乘法公式
（1）（a+b）²=a2+2ab+b2
三角函数和差化积公式
sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
常用公式表（二）
///
///
1、求导法则：（1）（u+v） =u +v （2）（u-v） =u -v
/
/
（3）（cu） =cu
/
（1）（c） =0
/
//
（4）（uv） =uv +u v
2、基本求导公式：
a/
a 1
（2）（x ） =ax
（5）
u v
uv uv v2
x/x
（3）（a ） =a lna
（1） 直线形式：点斜式： y y0 kx x0
斜截式：y=kx+b
y y1
x
x1
两点式： y2 y1 x2 x1
（2）直线关系： l1 : y k1 x b1
l2 : y k2 x b2
平行：若 l1 // l2 ，则 k1 k2
三角函数常用公式及用法
三角函数常用公式及用法珠海市金海岸中学 唐云辉1、终边相同的角及其本身在内的角的表示法：S=},360|{0Z k k ∈⋅+=αββ，或者},2|{Z k k S ∈+==παββ用法：用来将任意角转化到0～π2的范围以便于计算。
公式中k 的求法：如是正角就直接除以；的，剩余的角就是公式中要求的，得到的整数就是我们或απk 23600如果是负角，就先取绝对值然后再去除以后再取相反数，得到的整数加或者123600π就是上述公式中的k,减去剩余的角的值。
或者等于πα236002、L 弧长=αR=nπR180 S 扇=21L R=21R 2α=3602R n ⋅π 用法：前者是弧长公式，用以计算圆弧的长度；后者为扇形的面积公式，用以计算扇形的面积。
3.三角形面积公式：S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc 4=2R 2A sinB sinC sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=CBA c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4．同角关系：（1）、商的关系：①θtan =x y =θθcos sin 用法：一般用来计算三角函数的值。
（2）、平方关系：1cos sin 22=+θθ用法：凡是见了m =±ααcos sin 或者αααα22cos sin cos sin ±±的形式题目都可以用上述平方关系进行运算，遇到m =±ααcos sin 就先平方而后再运算，遇到αααα22cos sin cos sin ±±这类题目就联想到分母为“1”=αα22cos sin +进行运算即可。
（3）、辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕθθθ±+=±b a b a （其中a>0,b>0，且ab=ϕtan ） 用法：用以将两个异名三角函数转化成同名三角函数，以便于求取相关的三角函数。
星火教育：三角函数公式及学习方法总结
星火教育：三角函数公式及学习方法总结三角函数虽然在高一阶段就开始学习，但是很多高一生掌握的十分肤浅，要知道，三角函数可是高考中的重点考查对象，一般会出现在选择题、填空题和第一道综合题里面，所占的分值绝对不低，所以同学们有必要从一开始就打好基础，这样学起来才会比较的扎实。
下面星火教育就来简单介绍一下三角函数，并且说一下三角函数的相关题目。
三角函数的一些常见公式和差化积sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtan B)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtan B)积化和差sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(—a)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtanA=sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限诱导公式相关习题cos（-17π/4）解析：cos(-17派/4）可化为cos(-（π/4+16π/4），cos(-&)=cos(&),得原式=cos(π/4+16π/4）=cos （45°+4π）.又因cos（&+π）=-cos（&），+4π等于没+，得原式=cos（45°）=2分之根号2三角函数并不是太难，但是相关的公式的确比较繁琐，希望大家可以多多记忆，活学活用。
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关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。
下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααc o s s i n 21c o s s i n 2c o s s i n )c o s (s i n 222±=±+=±故知道)c o s(s i n αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。
分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。
解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+=2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：由于tg θ+ctg θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。
例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。
A ．m 2=nB ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22mn = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系：sin θcos θ=2121)cos (sin 22-=-+m θθ而：n ctg tg ==+θθθθcos sin 1故：1212122+=⇒=-nm n m ，选B 。
例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。
A ．21B ．21-C ．41D ．41-分析：tg α+ctg α=41cos sin 4cos sin 1=⇒=αααα 故：212sin cos sin 22sin =⇒=αααα。
答案选A 。
例4 已知：tg α+ctg α=2，求αα44cos sin +分析：由上面例子已知，只要αα44cos sin +能化出含sin α±cos α或sin αcos α的式子，则即可根据已知tg α+ctg α进行计算。
由于tg α+ctg α=⇒=2cos sin 1αα21cos sin =αα，此题只要将αα44cos sin +化成含sin αcos α的式子即可： 解：αα44cos sin +=αα44cos sin ++2 sin 2αcos 2α-2 sin 2αcos 2α=（sin 2α+cos 2α）- 2 sin 2αcos 2α =1-2 (sin αcos α)2=1-2)21(2⨯=211-=21通过以上例子，可以得出以下结论：由于ααcos sin ±，sin αcos α及tg α+ctg α三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。
这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。
但有一点要注意的；如果通过已知sin αcos α，求含ααcos sin ±的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。
这是由于（ααcos sin ±）2=1±2sin αcos α，要进行开方运算才能求出ααcos sin ±二、关于“托底”方法的应用：在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg α（或ctg α）与含sin α（或cos α）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。
方法如下：例5 已知：tg α=3，求ααααcos sin 2cos 3sin +-的值。
分析：由于αααcos sin =tg ，带有分母cos α，因此，可把原式分子、分母各项除以cos α，“造出”tg α，即托出底：cos α；解：由于tg α=30cos 2≠⇒+≠⇒αππαk故，原式=013233123cos cos cos sin 2cos cos 3cos sin =+⨯-=+-=+⋅⋅-ααααααααααtg tg例6 已知：ctg α= -3，求sin αcos α-cos 2α=?分析：由于αααsin cos =ctg ，故必将式子化成含有ααsin cos 的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：1cos sin 22=+αα及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin α，造出ctg α：解：αααααααααα222222cos sin cos cos sin cos cos sin 1cos sin +-=-⇒=+ α2sin ,分母同除以分子 ααααααααα22221)sin cos (1)sin cos (sin cos ctg ctg ctg +-=+- 56)3(1)3(322-=-+-+-=例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷）设20,20ππ<<<<y x ，)6sin()3sin(sin sin y x y x --=ππ且求：)3)(33(--ctgy ctgx 的值 分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于20,20ππ<<<<y x ，故0sin ,0sin ≠≠y x ，在等式两边同除以y x sin sin ，托出分母yx sin sin 为底，得：解：由已知等式两边同除以y x sin sin 得：1sin sin 6cos cos 6sin sin sin 3cos cos 3sin 1sin sin )6sin()3sin(=-⋅-⇒=--yyy x x y x y x ππππππ334)3)(33(1)3)(33(431)3)(13(411sin sin 3cos sin sin cos 341=--⇒=--⇒=--⇒=-⋅-⋅⇒ctgy ctgx ctgy ctgx ctgy ctgx y y y x x x“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。
由于αααcos sin =tg ，αααsin cos =ctg ，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。
而添加分母的方法主要有两种：一种利用1cos sin 22=+αα，把αα22cos sin +作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。
三、关于形如：x b x a sin cos ±的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：可以从公式)sin(sin cos cos sin x A x A x A ±=±中得到启示：式子x b x a sin cos ±与上述公式有点相似，如果把a ，b 部分变成含sinA ，cosA 的式子，则形如x b x a sin cos ±的式子都可以变成含)sin(x A ±的式子，由于-1≤)sin(x A ±≤1，所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a 当成sinA ，b 当成cosA ，如式子：x x sin 4cos 3+中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA ≤1，-1≤cosA ≤1，可以如下处理式子：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±++=±x b a bx b a a b a x b x a sin cos sin cos 222222 由于1)()(222222=+++b a b b a a 。
故可设：22sin ba a A +=，则A A sin 1cos -±=，即：22cos ba b A +±=∴)sin()sin cos cos (sin sin cos 2222x A b a x A x A b a x b x a ±+=±+=± 无论x A ±取何值，-1≤sin(A ±x)≤1，22b a +-≤)sin(22x A b a ±+≤22b a + 即：22b a +-≤x b x a sin cos ±≤22b a + 下面观察此式在解决实际极值问题时的应用：例1（98年全国成人高考数学考试卷）求：函数x x x y cos sin cos 32-=的最大值为（AAAA ） A ．231+B ．13-C ．231- D ．13+ 分析：x x x x 2si n 21cos si n 221cos si n =⋅=，再想办法把x 2c o s 变成含x cs o 2的式子：212cos cos 1cos 22cos 22+=⇒-=x x x x于是：x x y 2sin 21212cos 3-+⋅= x x 2sin 21232cos 23-+=23)2sin 212cos 23(+-=x x 由于这里：1)21()23(,21,232222=+=+==b a b a 则 ∴23)2sin 212cos 23(1+-⨯=x x y 设：21cos ,23123sin 22===+=A b a a A 则 ∴232sin cos 2cos sin +-=x A x A y 23)2sin(+-=x A 无论A-2x 取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故231+-≤y ≤231+ ∴y 的最大值为231+，即答案选A 。
例2 （96年全国成人高考理工科数学试卷）在△ABC 中，已知：AB=2，BC=1，CA=3，分别在边AB 、BC 、CA 上任取点D 、E 、F ，使△DEF 为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sin α取何值时，△EFD 的边长最短？并求此最短边长。