一维下料模型

解得:X=(0,10,5,0,10,0,0)T, f=25, 即方案2用10根, 方案3用5根, 方案5用10根,共耗用25根原料, 余料总长35m.
结论: 余料总长最短并不等价于耗用原材料总 数最少. 即使余料总长为0, 耗用原材 料总数也未必是最少的. 即要求余料总长最短并不一定能省料.
五．以产品利润最大为目标的模型
目标的模型为：
min f x j
j 1
n
n uij x j bi (i 1, 2,..., m) j 1 m L T 1 l u L (i 1, 2,..., m) s.t. i ij i 1 x j 0 , 整数 ( j 1, 2,..., n) uij 0 , 整数 (i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n)
一维下料模型
一. 问题 设有一维下料问题：某类线形钢材其原 材料长度为L，现要为m种零件的毛坯下 料，共有n个下料方案，其中第j个方案使 得每根原材料可获得第i种零件的毛坯aij 个，第i种零件的毛坯长度为li，共需bi个. 问应如何下料？
这类问题因目标不同，而所建模型就有所不同。
二．需求约束的表达
19 2u1 3u2 4u3 5u4 20
有51组非负整数解.其中uj表示在一根原料上截得的第j种零件数量. 往往切割方案太多时,我们只取较好的n个方案,设uij表示第i种零件用第j种切割方案在一
根原料上截得的数量,最短的零件长度，T min{li } 其余符号同前, 则以耗用原材料总数最少为
解: 截管方案有
截管方案 4m 6m 余料长度
1 2 3 4
4 3 1 0
0 1 2 3
2 0 2 0
则利润可表示为
R 1350 y 210( x1 x2 x3 x4 ) 2(4 x1 3x2 3x3 2 x4 ) 1350 y 218 x1 216 x2 216 x3 214 x4
（P3）
显然，零解是模型(P3)的一个可行解，又从约束条件
x
j 1
n
j
M
和非负性可知，本模型的可行集是有界域中的整数点， 故模型(P3)的可行集是非空有限集，因此它必有最优解。
例２ :现有一批长度规格为18m的原料钢管，共100根，打算用 其制造一批钢架毛坯料销售，每个钢架需要4m和6m长的钢管 分别为10根与5根. 每个钢架毛坯料销售收入1350元，每根原 料钢管成本210元，每个切口成本费用2元.
min f x1 x2 x3 u11 x1 u12 x2 u13 x3 50 u x u x u x 10 21 1 22 2 23 3 u31 x1 u32 x2 u33 x3 20 u41 x1 u42 x2 u43 x3 15 s.t. 16 4u11 5u21 6u31 8u41 19 16 4u12 5u22 6u32 8u42 19 16 4u13 5u23 6u33 8u43 19 u 0, 整数；x 0, 整数;i =1,2,3,4;j =1,2,3. j ij
可大大缩短时间.
求解得最优下料方案：
x1 0, x2 84, x3 0, x4 14, y 25
所以，max R=12610. 即只需采用切割方案2与4, 实际上只耗用 原料84+14=98根, 可得25套产品. 获利12610元.
六．避免切割方案太多的模型
当零件品种较多时,往往切割方案就有很多,从而模型的变量就有很多,比如,每根原 料长20m, 想截取2m,3m,4m,5m四种零件,就有51种切割方案.这等价于不等式
从而，本问题的（P3）模型为
max R 1350 y 218 x1 216 x2 216 x3 214 x4 4 x1 3 x2 x3 10 y x 2 x 3x 5 y 3 4 2 s.t. x1 x2 x3 x4 100 x j 0, 整数，j 1, 2,3, 4; y 0, 整数.
切割方案 4m 6m 8m 余料长度
1 2 3 4 5 6 7
4 3 2 1 1 0 0
0 1 0 2 1 3 0
0 0 1 0 1 0 2
3 1 3 3 1 1 3
需求量
50
20
15
若用模型(P1),则得
min s 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7 4 x1 3 x2 2 x3 x4 x5 50 x 2 x x 3x 20 4 5 6 2 s.t. x3 x5 2 x7 15 x j 0, 整数，j 1, 2,,7
对于此问题,目前不少书或论文 是用等式来描述需求约束的, 即
a x
j 1 ij
n
j
bi , (i 1, 2,..., m)
其中xj表示按第j个切割方案下料时所耗用的原材料数 量(j=1,2,„,n). 它们是非负整数. 从而这种约束常 常没有可行解.
为保证模型有非负整数可行解, 需求 约束应该用不等式来描述：
解得:
3 0 U 1 0
2 0 10 1 0 , X 10 , f=28. 1 0 8 0 2
矩阵U的每列就是一个切割方案. 注: 本题可用EXCEL”规划求解”来解, 求解时附加约束：
x1 x2 x3 , 26 x1 x2 x3 ij x j bi (i 1, 2,..., m) s.t. j 1 x 0 整数 ( j 1, 2,..., n) j
(P1)
四.以耗用原材料总数最少为目标的模型
设f表示耗用的原材料总数,则可得此问题的模型如下：
min f x j
解得:X=(0,12,0,0,15,0,0)T, s=27, 即方案2用12根, 方案5用15根, 共耗用27根原料, 余料总长27m.
若用模型(P2),则得
min f x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 4 x1 3 x2 2 x3 x4 x5 50 x 2 x x 3 x 20 4 5 6 2 s.t. x3 x5 2 x7 15 x j 0, 整数，j 1, 2,,7
P(4)
这里,假定数据均用整数. 模型(P4)中uij与xj都是变量, 故它是非线性整数规划. 它无需预先设计切
割方案, (P4)的解就会给出切割方案.
例3：设L=19m, l1=4m, l2=5m, l3=6m, l4=8m, b1=50, b2=10, b3=20, b4=15. T=4m 求最省料的下料方案. 解: 只取较好的3个切割方案,由(P4)得
j 1
n
n aij x j bi ( i 1,2 ,..., m ) s .t . j 1 x 0 整数 ( j 1,2 ,..., n ) j
(P2)
例1 钢管零售商有一批钢管的原料长度都是19m, 现有一客户需买50根4m, 20根6m, 15根8m这种钢管, 应如何下料? 解:可先设计出如下7个下料方案
优化模型如下：
max R py s x j t c j x j
j 1 j 1 n n
n aij x j bi y,(i 1,2, ,m) j =1 n s.t. x j M j =1 x 0, 整数,(j =1,2, ,n);y 0, 整数. j
现有一批钢管, 可用来生产出一种钢架毛坯料配套出售, 希望获 利最大.设
R---总利润 p---产品售价 M---现有原料根数 y---产出产品数 s---每根原料的成本 t---加工每个截口的费用 xj---第j个“截管方案”所用原料根,(j=1,2,„,n) cj---第j个“截管方案” 的截口数 bi---每套产品所需第i种零件数 aij---第j个“截管方案”可截得的第i种零件数(i=1,2,„,m ; j=1,2,„,n).
n
a x
j 1 ij
j
bi , (i 1, 2,..., m)
结论: 需求约束不要用等式, 而应该用不等式来描述.
三．以余料总长最短为目标的模型
第j个下料方案每根原材料的余料长度为
L aij li
i 1
m
j=1,2,…,n.
设s表示余料总长, 则可得此问题的模型如下：
min s ( L aij li ) x j