一维下料问题的AB分类法
一维优化下料问题
第24卷 第1期 桂林工学院学报 V ol.24N o.1 2004年1月 JOURNA L OF G UI LI N I NSTIT UTE OF TECH NO LOGY Jan12004文章编号:1006-544X(2004)01-0103-04一维优化下料问题张春玲,崔耀东(广西师范大学数学与计算机科学学院,广西桂林 541004)摘 要:下料问题在生产中普遍存在,优化下料可以提高原材料利用率,是企业增加经济效益的途径之一.对一维下料问题进行了探讨,给出一维下料问题的一些概念和数学模型,讨论解决一维下料问题的常用算法以及算法的适用情况,分析与之相关的一些问题和具体的实际应用.关键词:下料;最优化;整数规划中图分类号:T B11411;O224 文献标识码:A 随着全球资源的日益匮乏,人们对资源利用问题的研究愈来愈重视,下料问题就是其中之一[1-3].最大限度的节约原材料,提高原材料利用率是生产中提高效益的一个重要手段,在机械行业、造纸、服装、木材等行业,下料问题都有广泛的实际应用.下料问题就是研究怎样在客观条件和可以接受的时间下优化排样得到最优解或近似理论最优解.下料问题根据维数一般可分为一维下料和二维下料,本文主要对一维下料问题进行讨论.1 一维下料问题的概念和数学模型 一维下料问题(one2dimensional cutting stock problem,简称1CSP)是在已知原材料和顾客需求坯料的情况下优化下料使原材料的使用率达到最大或废料达到最小.根据原材料长度是否相等,一维优化下料可以分为单一型材的优化下料和多型材的优化下料.单一型材的优化下料很多文献中都已有讨论,而多型材的优化下料在型材类型比较多的时候,可以将型材按长度相近进行分组,先选组,再从组中选择型材下料,由此引发出分组问题.分组有利于节约原材料,但是如果分组太细,会导致增加库存管理的负担. Dyckoff[3]提出下料问题可以根据4种特征来分类:维度、分配类型、大物件的分类和小项的分类.Dyckoff描述一维下料问题为1/V/D/M:1指的是一维问题,V指的是所有的小项必须从一大物件中产生,D的意思是所有大物件是不同的,M 是指小项之间不同. 如果原材料是同一长度或只有少数的组(组中长度相近),可得到标准一维下料问题(S1D-CSP),对于S1D-CSP给出切割方案的概念,切割方案是用1根原材料切割各种不同规格的坯料时,保持坯料规格的种类不变,只改变切割数量.将有效的切割方案集中起来就是最后的下料方式. S1D-CSP问题可以描述如下: l i—坯料长度,i=1,…,n; d i—每种坯料的需求数量,i=1,…,n; L k—原材料长度,k=1,…,P.切割方案c可以用如下一个向量a ck来表示:a1ck,a2ck,…,a nck;(1) 满足∑ni=1l i a ick≤L k,且a1ck≥0,是整数.(2) a ick表示l i在特定的切割方案中出现的次数,x ck表收稿日期:2003-05-12基金项目:广西自然科学基金资助项目(桂科基0236017).作者简介:张春玲(1978-),女,硕士研究生,研究方向:C AD/C AM.示切割方案c 在原材料k 上使用的次数,t k 表示在原材料k 上满足(2)式的切割方案的总数,那么将会有如下的整数规划模型:min∑pk =1∑t kc =1x ck L k ,(3)s 1t 1∑pk =1∑t kc =1a 1ck x ck L k ≥d i ,i =1,…,n ;(4)x ck ≥0且为整数,c =1,…t k ;k =1,…,p.(5) 从S1D -CSP 所对应的数学模型中可知S1D -CSP 所优化的目标是最小化被切割的原材料数量.当原材料的长度全都不同时所建立的数学模型与上述模型是有所不同的.如G radisar 等人[4]提出的G 1D 2CSP (generation one 2dimensional cutting stock prob 2lem ),其数学模型中优化的目标是最小化废料,而且这一模型中原材料的长度全都不同. Dyckoff [3]将优化下料过程分为2类:以需求项为导向(item 2oriented )和以方案为导向(pattern 2oriented )的方法.以需求项为导向的方法是对顾客的每一需求项进行单独的处理,直到一需求项处理完才处理下一需求项;以方案为导向的方法是把几种坯料组合进行下料,一次切割可得到不同规格的坯料.以方案为导向的方法只能对原材料长度是单一的或者原材料分为少数的组时有效,对于原材料的长度都不相同的情况只能用以需求项为导向的方法(表1).表1 原材料与坯料[5]T able 1 S tock and item顾客需求坯料原 材 料需求编号需求长度/cm 需求量/根原材料编号原材料长度/cm 130412113535231938211301339714394084415344934153627 以需求项为导向的方法是先选择第1种需求坯料进行处理,第1种坯料在原材料2上切割6根,在原材料1上切割6根,这样就得到12根304cm 长的坯料,再选择第2种坯料处理,在原材料4上切割21根,在原材料3切割4根,在原材料2上切割6根,在原材料1上切割7根,共得到38根长度为319cm 的坯料,其它情况类似.若是以方案为导向的方法,首先将坯料进行组合,如(5,7,10,14,0)方案表示在第1种长度为13535cm 的原材料上切割5根长度为304cm 的坯料,7根长度为319cm 的坯料,10根长度为397cm 的坯料,14根长度为415cm 的坯料,不切割长度为366cm 的坯料(为0表示不切割). 以需求为导向方法得到的切割量会出现比需求量少的情况,其方法一般是基于启发式算法;以方案为导向方法得到的切割量则会出现比需求量多的情况,其方法一般是基于线性规划的.两种方法有各自的优缺点,可进行适当的组合得到良好的下料效果. 一维下料的数学模型早在1939年就已由K an 2torovich 提出.下料问题的求解很大程度上依赖于模型的建立,可根据具体情况进行模型的补充和修改.一维下料问题所建立的数学模型是一个整数规划问题,求解整数规划问题一般使用分支定界法或割平面法.分支定界法是一种隐枚举法,效果的好坏取决于分支的模式和界的确定,但下料问题的求解有其自身的特点,下面讨论一维下料问题的常用算法.2 一维下料问题的常用算法 一维下料问题是组合优化中的一个经典问题,从计算的复杂性理论上看,优化下料问题属于NP难问题,即至今还不存在多项式界算法.NP 难问题的求解通常使用接近最优解的近似算法实现.求解一维下料问题的算法[1]有基于线性规划的方法、分支定界法、动态规划法、启发式算法、模拟退火算法、演化算法等.211 基于线性规划的方法 以方案为导向的方法大多是基于线性规划的方法(LP M ).此类方法可以减少废料,但是会产生多于需求量的切割量,只适用于单一型材或者是只有少量组的下料.基于线性规划的方法是将建立的整数规划问题进行松弛,按照线性规划进行求解,对得到的解取整.基于线性规划的方法可以追溯到G ilm ore 和G om ory 的列生成(columngeneration )方法[6-7\〗.当原材料和需求的坯料的种类相当多或者是坯料的长度特别短而原材料的长度特别长时,将导致切割方案太多,一次性将所有的切割方案全部枚举出来是不可能的,文献[6]中通过初始化部分切割方案,进而利用迭代401桂 林 工 学 院 学 报 2004年的方式在每一步背包子规划中用特定的方法和动态规划求解得到进入基的列,最后对主规划的解取整.Haessler[8]对G ilm ore2G om ory的算法进行了改进,修改了初始解,利用更强的约束条件控制切割方案的产生以减少切割方案的变更.Valerio[9]将列生成算法与分支定界法相结合,利用弧流模型, 1种切割方案对应于1条路径,在弧流的变量上进行分支.分支价值算法(branch2and2price)又称整数规划列生成算法,它是在分支定界树的每个结点上使用column generation算法.Vanderbeck[10]介绍了一种基于列生成的算法,对分支定界法进行扩展,讨论分支模式,提出了一种伪多项式启发式,并在整数规划列生成算法中应用.212 基于启发式算法的方法 当原材料的长度都不相同的时候只能用以需求项为导向的方法求解,这有2种可能:用确切的方法(分支定界或动态规划)或者是用形式为SHP(Sequence Heuristic Procedure)的近似算法.启发式算法所使用的启发式一般只适用于特定的问题,无通用性,有效的启发式对问题的求解是很有用的,但是有时寻找一个有效的启发式比解决问题本身还要困难.启发式算法得到的结果一般不会太差,通常也可将启发式进行组合.G radis2 ar[5]将一种字典排序的方法应用于多型材下料问题,以需求项为导向,用启发式(SHP)最小化约束条件的影响,并设置参数Y来调整废料与下料方案的复杂度之间的权.将基于线性规划的方法和基于启发式的方法相结合[11],用2个阶段求解:首先将问题转换成可用LP M求解的模式,然后将切割方案中包含比需求量多的解删除,最后的结果是两部分的解之和:S=S LP M+S SHP,这样既能减少废料又能得到确切的需求量.213 其它算法 遗传算法和模拟退火算法用于优化下料问题中效果良好:遗传算法是基于自然选择和基因遗传的搜索算法,具有很好的鲁棒性,在解决复杂问题的优化方面非常适用.前面已提到,当切割方案特别多时一次性枚举是不可能的,利用遗传算法,先随机的生成一些切割方案,形成初始种群,然后经过选择、杂交、变异的遗传操作,计算个体适应度,将适应度高的个体保留到下一代,而适应度低的个体被淘汰,经过个体的优选最终得到近似的最优解;模拟退火算法是基于金属退火的机理建立起来的一种全局最优化方法,它能够以随机搜索技术从概率的意义上找出目标函数的全局最小点.Waugner[12]利用遗传算法解决一维下料问题并考虑了废料、库存使用和最后存货等问题.Liang[13]用只使用变异算子的演化规划同时对2个目标进行优化,采用了3PS和SRI两个变异算子.刘道海等[14]从蚁群算法中信息素的概念得到启示,将信息素的观点引入道变异算子中,用与适应值联系在一起的信息素的变化来引导每个基因位的变异,并把这一算法运用到优化下料中.李元香、张进波、徐静雯等[15]提出一种基于变长编码求解一维下料问题的演化算法,收到了比较好的结果,材料平均利用率可达到97%.3 相关问题 研究中发现[16-18]对于1CSP的很多实例,下料问题所建立的整数规划问题的最优解与利用松弛后线性规划问题求得的最优解具有一定的性质.这些性质有利于确定下料实例所属类别,简化计算量,对高维下料问题的研究也有帮助.引用文献[18]中的四元组E=(m,l,b,L)来描述一维下料问题的实例,其中l=(l1,l2,…,l m),b =(b1,b2,…,b m)T,m是坯料种类,L是原材料长度,l和b分别是每种坯料的长度和对应的需求量,非负整数向量a j=(a1j,a2j,…,a mj)T,a≠0且满足∑mi=1l i a ij≤L,(j=1,2,…,n),n是切割方案的总数,x j是切割方案a j的使用次数,则所建立的数学模型如下: min z=∑nj=1x j, s.t.∑nj=1a ij x j≥b i,i=1,…,m, x j≥0,x j是整数,j=1,…,n.(6) 与式(6)相应的松驰模型为 min z=∑nj=1x j, s.t.∑nj=1a ij x j≥b i,i=1,…,m, x j≥0,j=1,…,n.(7) 设Z3=Z3(E),Z c=Z c(E)分别表示(6)和(7)的最佳解,Δ(E)∶=Z3(E)-Z c(E). Δ(E)<1,实例E具有整数上界取整性质(IRUP,integer round2up property) Δ(E)≥1,实例E具有非整数上界取整性质(non2IRUP)501第24卷 第1期 张春玲等:一维优化下料问题 Δ(E)<2,实例E具有可修改的上界取整性质(MIRUP,modified integer round2up property) 文献[16]中对具有MIRUP的实例的定义为Z3(E)≤[Z c(E)]+1,猜想标准一维下料问题都具有MIRUP.non2IRUP的实例相对出现的较少一些,文献[19]中给出了有效构造non2IRUP实例的方法,对于MIRUP的猜想还未证明.4 结 论 讨论了一维下料问题的概念、模型、算法,而与下料问题类似的问题如装货、背包等问题,其模型和算法与下料问题的模型与算法都有相似之处,两者可以互相借鉴.高维下料问题,特别是二维不规则图形的下料问题是目前研究的热点,也是难度较大的一个问题.研究一维下料为研究高维下料问题提供了一定的理论基础.另外,由于下料问题与生产实践密切相关,这方面的研究结果有助于提高工厂经济效益.参考文献[1]H inxman A I.The trim-loss and ass ortment problems:A survey[J].European Journal of Operational Research,1980,(5):8 -18.[2]Cheng C H,Feiring B R,Cheng T C E.The cutting stock prob2lem2A survey[J].International Journal of Production econom ics, 1994,(36):291-305.[3]Dyck off H.A ty pology of cutting and packing problems[J].EuropeanJournal of O perational Research,1990,(44):145-159.[4]G radisar M,Resinovic G,K ljajic M.Evaluation of alg orithms forone2dimensional cutting[J].C om puters&Operations Research, 2002,(29):1207-1220.[5]G radisar M,K ljajic M,Resinovic G,et al.A sequential heuristicprocedure for one2dimensional cutting[J].European Journal of Op2 erational Research,1999,(114):557-568.[6]G ilm ore P C,G om ory R E.A linear programm ing approach to thecutting2stock problem[J].Operations Research,1961,(9): 849-859.[7]G ilm ore P C,G om ory R E.A linear programm ing approach to thecutting2stock problem:partⅡ[J].Operations Research,1963,(11):863-888.[8]Haessler R W.A note on com putational m odification to theG ilm ore2G om ory cutting stock alg orithm[J].Operations Re2search,1980,28(4):1001-1005.[9]Valerio DE Carvalho J M.Exact s olution of cutting stock problemsusing column generation and branch and bound[J].Int.T rans.Opl Res,1998,5(1):35-44.[10]Vanderbeck F.C om putational study of a column generation alg o2rithm for bin packing and cutting stock problems[J].M ath.Program,1999,(86):565-594.[11]G radisar M,Resinovic G,K ljajic M.A hybrid approach for op2tim ization of one2dimensional cutting[J].European Journal of Operational Research,1999,(119):719-728.[12]W augner Bret J.A genetic alg orithm s olution for one2dimensionalbundled stock cutting[J].European Journal of Operational Re2 search,1999,(117):368-381.[13]Liang K o2Hsin,Y ao X in,Newton C,et al.A new ev olutionaryapproach to cutting stock problems with and without contiguity [J].C om puter&Operations Research,2002,(29):1641-1659.[14]刘道海,方 毅,黄樟灿.一种求解组合优化问题的演化算法[J].武汉大学学报(理学版),2002,48(3):315-318. [15]李元香,张进波,徐静雯,等.基于变长编码求解一维下料问题的演化算法[J].武汉大学学报(理学版), 2001,47(3):289-293.[16]S cheithauer G,T ern o J.T he m odified integer round2up property of theone2dim ensional cutting stock problem[J].E uropean Journal of O per2 ational R esearch,1995,(84):562-571.[17]Nitsche Ch,Scheithauer G,T erno J.New case of the cuttingstock problem having MIRUP[J].M athematical M ethods of Op2 erations Research,1998,(48):105-115.[18]Nitsche Ch,Scheithauer G,T erno J.T ighter relaxations for thecutting stock problem[J].European Journal of Operational Re2 search,1999,(112):654-663.[19]Rietz J,Scheithauer G,T erno J.Fam ilies of non2IRUP instances ofthe one2dimensional cutting stock problem[J].Discrete Applied M athematics,2002,(121):229-245.Optimization of one2dimensional cutting stock problemZHANG Chun2ling,C UI Y ao2dong(Institute o f Mathematics and Computer Science,Guangxi Normal Univer sity,Guilin541004,China)Abstract:Cutting stock problem exits widely in production.Optimizing cutting stock is a method to im prove the using rate of materials and to increase the benefit of industry.It is significant for cutting stock problem research.The survey of one2dimensional cutting stock problem presents the general mathematic m odel of cutting stock problem with the dis2 cussion of the comm on method of one dimensional cutting stock problem and the alg orithm situation used.Related problems and application are als o discussed.K ey w ords:cutting stock;optimization;integer programming601桂 林 工 学 院 学 报 2004年。
一维下料模型
解得:X=(0,10,5,0,10,0,0)T, f=25, 即方案2用10根, 方案3用5根, 方案5用10根,共耗用25根原料, 余料总长35m.
结论: 余料总长最短并不等价于耗用原材料总 数最少. 即使余料总长为0, 耗用原材 料总数也未必是最少的. 即要求余料总长最短并不一定能省料.
五．以产品利润最大为目标的模型
目标的模型为：
min f x j
j 1
n
n uij x j bi (i 1, 2,..., m) j 1 m L T 1 l u L (i 1, 2,..., m) s.t. i ij i 1 x j 0 , 整数 ( j 1, 2,..., n) uij 0 , 整数 (i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n)
一维下料模型
一. 问题 设有一维下料问题：某类线形钢材其原 材料长度为L，现要为m种零件的毛坯下 料，共有n个下料方案，其中第j个方案使 得每根原材料可获得第i种零件的毛坯aij 个，第i种零件的毛坯长度为li，共需bi个. 问应如何下料？
这类问题因目标不同，而所建模型就有所不同。
二．需求约束的表达
19 2u1 3u2 4u3 5u4 20
有51组非负整数解.其中uj表示在一根原料上截得的第j种零件数量. 往往切割方案太多时,我们只取较好的n个方案,设uij表示第i种零件用第j种切割方案在一
根原料上截得的数量,最短的零件长度，T min{li } 其余符号同前, 则以耗用原材料总数最少为
解: 截管方案有
截管方案 4m 6m 余料长度
1 2 3 4
4 3 1 0
0 1 2 3
2 0 2 0
结构件AB类问题划分
结构件AB类问题划分
结构件A类：
计划性维修：根据设备的使用情况、检修情况，制定设备的维修周期，并按照维修计划时间进行维修。
A类设备实行严格的日检、联检、维修。
A.1 日检：专业维护人员每天巡检三次
A.2 联检：设备管理人员制定相应检查表实行每月联检方式（设备管理人员、设备专业维护人员、生产操作人员联合检查）。
A.3 台帐：对每台设备进行故障分析，建立设备履历，对重大故障进行报告，并组织实施技术革新，实行故障分析和备件损耗分析并建立安全库存。
A.4 培训：培养专业的维护人员，加强三懂四会的培训。
A5 维修：设备管理人员对设备的运行情况，维修记录进行梳理，确定各设备各配件的更换周期，并对设备运行情况实施监测，开展预防性、计划性维修，确保机器一直处于可靠的状态。
结构件B类：
预知性维修：是根据日常的检查和监测，对设备出现自检报警、监测异常等情况判断设备的故障，并组织检维修。
B类设备实行严格的日检、月检。
B.1日检：严格落实B类设备的日常检查保养、定期检查保养，专业维护人员实行每天2次检查；
B.2 联检：设备管理人员制定相应检查表实行每月联检方式（设
备专业维护人员、设备保养人联合检查）。
B.3台帐：对每台设备进行维护台帐。
加强日常的维护，填写由设备管理人员提供的设备润滑、检查保养表。
B.4培训：培养专业的维护人员，加强三懂四会的培训。
分支定界算法优化一维下料问题
1 一维优化下料问题的具体模型分析
原材 料 长 度 为 L , 数 量 充 足 。需 要 切 割 成
n ( n ≥0 )种不同规格的零件 , 根据既省材料又容易
操作的原则 ,人们已经设计好了 n 种不同的下料方 式 。设第 j种下料方式中可下得第 i种零件 aij 个 , 又已知第 i种零件得需要量为 bi 个 , xj 表示第 B j 种 下料方式所消耗得零件数目 , cj 表示第 B j 种下料方
x = 20 51 0 9 0 24 0 1。
3 实例
设某车间有一批长度为 180 cm 的钢管 ,为制造 零件的需要将其裁成 3 种不同长度的零件 , 分别为
70, 52, 35 cm。这三种零件的需要量分别为 100, 150, 100 根 。问 如 何 下 料 才 使 得 原 材 料 的 消 耗
m in f =
n
∑c x
j j =1
j
if nargin < 10, op tions = op tim set( { } ) ; op tions . D isp lay = ’ off’ ; op tions . LargeScale = ’ off’ ; end
∑a
j =1
ij
xj = bi
最少 ? 分析 :对于一维下料问题都可以用组合最优化的 方法给出合理的下料方式 。设 x1 , x2 , x3 分别表示 在已知钢管上下 3 种不同长度的零件数 ,则 70 x1 +
52 x2 + 35 x3 ≤ 180 ( xi ∈ Z , i = 1, 2, 3 ) 。其中 x1 ≤ 2 ,表 1给出下料方案 。
xj > 0 xj < xj ∈ Z
套裁下料问题的模型分析及实现
结果表 明 ：四种方 案下料 的钢管依次 数为 ： ０ ５、
２
１０ ５ 、 、 ０ 、 ０ ０ ０根 ，得到 的产品最大配 套数为 １０套。 ０
材料 利用 率为０： 。 ２
ｐ １
一
ｐ２ Ｐ３
一 一
∑
Ｐ
（） ７ 、
（ ，３ ． ｊ ２ ． ＝１ ｍ）
问 题 的 目标 是 获 得 ｎ种 零 件 的 最 大 配 套 数 ，
目标 函数 可 以写成 ：
∑１
ｍ ａ Ｆ ：上 １ ｘ ＿ 一
Ｐ １
【 ２ 第３ 卷 ６】 ３ 第５ 期 ２１— （ ） ０ １ ６下
０ 引 言
下 料 问题在 机 械 、家 具 、钢 铁 、船 舶 、车 辆 、 建 筑 、造 纸 、玻 璃 、皮 革 等 制 造 业 中 是 控 制 原 材
料利 用 率 的 重 要 环 节 。根 据 世 界 银 行 钢 铁统 计年 鉴的统 计 分 析 ，中 国 、印度 等 发展 中国家 与 美 国 、 日本 等 发 达 国家 相 比 ，钢 材 在 切 割 焊 接 过程 中 的
割得 到 的 各种 规 格 零 件 的 个数 ａ 乘 以 按这 种 方 案 ｉ ｉ
３ 要 求 这 ｎ种 不 同 零 件 按 Ｐ ： ２ Ｐ ： ） Ｐ ： ３
Ｐ ：…… ： ｎ的 配 套 关 系来 切 割 ，求 出最 大 产 品 ｐ 配 套数 的下料 组合 。
切 割 的钢 管 的数量 ｘ２ ￣ ，即 ａｘ（ ｌ２ ３ …… ｊ： ｕ ｉ ，，， ｊ＝
．∑ ｘ＝ ｊ
Ｊ＝１
ABC物料的分配方法
ABC物料的分配方法ABC物料的分配方法ABC物料分类方法作为管理materials（物料）的一种方法，它一般把库存materials（物料）分成三类：一、A类物品：高值---其价值占库存总值70-80%的相对少数物品。
通常为物品的15-20%。
二、B类物品：中值---其总值占库存总值的15-20%...ABC物料分类方法作为管理materials（物料）的一种方法，它一般把库存materials（物料）分成三类：一、A类物品：高值---其价值占库存总值70-80%的相对少数物品。
通常为物品的15-20%。
二、B类物品：中值---其总值占库存总值的15-20%。
物品数居中，通常占物品的30-40%。
三、C类物品：低值---其库存总值几乎可以忽略不计，只占5-10%。
是物品的大多数，通常占60-70%。
它的理论基础是ABC分类法，也就是我们常说：80对20原则，它还可以称为：帕累托分析法或巴雷托分析法、柏拉图分析、主次因分析法、ABC分析法、分类管理法、重点管理法等。
它是根据事物在技术或经济方面的主要特征，进行分类排队，分清重点和一般，从而有区别地确定管理方式的一种分析方法。
ABC物料分类目的是为了让我们重点关注价值高的materials（物料），通过集中解决A类materials（物料）的问题，来实现整个库存materials（物料）的管理目标。
很多人在运用这个法则的时候，人们经常犯以下的一些错误：1、简单的按照一个时点或一段时间库存的价值来判断。
由于库存materials（物料）存储在时间上的波动，造成不能真实的反映情况。
比如：由于某一产品暂时减少生产或者其新产品的量产刚刚开始，在下一阶段，这些产品会大量生产。
这时，些产品对应的材料库存价值少，很可能都会被划分到B类，甚至C类materials（物料）。
2、简单的按照价值来划分ABC分类。
ABC分类是为了给materials（物料）管理带来方向，分清重点。
实用一维下料问题模型与求解算法
实用一维下料问题模型与求解算法
作者：袁月明， 龙建成， 许鹏
作者单位：袁月明,龙建成(北京交通大学交通运输学院,北京,100044)， 许鹏(北京交通大学电子信息工程学院,北京,100044)
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1.期刊论文张艳诚.李明喜.胡波.Zhang Yancheng.Li Mingxi.Hu Bo一维下料问题的优化模型-黄石理工学院学
报2006,22(4)
在一维下料问题中,针对增加下料方式引起加工成本的不同,建立了多目标优化模型,并给出了求解算法.首先通过加权法将模型化为单目标优化模型,然后通过废料长度表示下料方式的可调整程度,并以此为基础调整下料方案.结果表明,新模型得到的下料方案能更全面的考虑下料问题的经济成本并具有较好的实用性.
2.期刊论文陈璐.黄伟健.冯真.数模指导组实用下料的数学模型-数学的实践与认识2005,35(7)
考虑到整数规划模型的下料方式数量难以穷尽的问题,本文以原材料最少为目标,采用启发式多级序列线性优化的方法建立一维下料模型.对于二维下料问题,采用降维启发式的方法即通过形成"板条"把二维下料问题化为一维下料问题.
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简述abc 分类法。
简述abc 分类法。
ABC分类法是一种常用的物料管理方法，它根据物料的重要性和使用频率将物料分为A类、B类和C类。
这种分类方法的目的是帮助企业更好地管理库存，提高物料管理的效率和精确性。
A类物料是最重要且使用频率最高的物料，一般占总物料数量的比例较小，但是占用了大部分的库存资金。
这些物料的管理要求比较严格，需要进行精确的库存控制和定期盘点。
A类物料通常是企业核心产品的关键组成部分，或者是销售量最大的产品。
对于A类物料，企业应该保持较高的库存周转率，以确保供应链的稳定性和客户满意度。
B类物料是次重要且使用频率较高的物料，一般占总物料数量的比例适中。
这些物料的管理要求相对宽松一些，可以采取批量订购和适量库存的方式进行管理。
B类物料通常是企业非核心产品的组成部分，或者是销售量较小但仍然具有一定重要性的产品。
对于B类物料，企业应该根据市场需求和供应商的能力进行合理的库存控制，以平衡成本和服务水平。
C类物料是最不重要且使用频率最低的物料，一般占总物料数量的比例较大。
这些物料的管理要求相对宽松，可以采取定期订购和小批量库存的方式进行管理。
C类物料通常是企业非关键产品的组成部分，或者是销售量较小且对供应链影响较小的产品。
对于C类物料，企业可以采取更灵活的供应链管理策略，以降低库存成本和风险。
ABC分类法的核心思想是将有限的物料管理资源合理分配到不同类别的物料上，以实现物料管理的精细化和高效化。
通过对不同类别物料的不同管理策略，企业可以实现库存资金的最优配置，避免因库存过多或过少而导致的资金浪费或供应链中断的风险。
ABC分类法的应用可以在多个层面上产生积极影响。
首先，它可以帮助企业识别出最重要、最关键的物料，从而优先保证其供应的稳定性和质量。
其次，它可以帮助企业把更多的精力和资源投入到核心产品的开发和生产中，提高企业的核心竞争力。
此外，ABC分类法还可以帮助企业优化库存管理流程，减少库存积压和滞销，提高资金周转效率。
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余料长 利用率 / % 类别
57
94. 3
B
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88. 7
B
14
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A
14
98. 6
A
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A
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91. 2
B
12
98. 8
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94. 3
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B
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B
216
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B
142
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B
185
81. 5
B
185
81. 5
B
241
75. 9
B
167
83. 3
B
Abstract: In order to solve large2scale one2dimensional cutting stock p roblem of calculating difficulties, according to the characteristics of one2dimensional cutting stock p roblem , the author used random search technology to imp rove the greedy algorithm and put forward a kind of simp le and p ractical classification method named AB. Experiments show that the algorithm for larger p roblem s can quickly obtain the op timal solution or app roximate op timal solution w ith high accuracy.
A
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A
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88. 9
B
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B
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113
88. 7
B
12
98. 8
A
39
96. 1
A
37
96. 3
当一部分零件已经被利用率很高的方案安排了 , 我们就 把其剔除 。对余下的零件重新安排 。这时就要用到如图 2所 示的模块 2, 先重新统计各种规格的零件需求量 dj ( j = 1, 2, …, m ) 以及总需求量 p0, 限定至多只能耗用 k0 根原料 ,当然 , 该参数要给得可行 ,这样就求得一个用 k0 根原料安排 p0 个零 件的新的可行方案 。其中 , n0 是最大循环次数 ,有时光循环一 两次是得不出可行解的 ,实验表明 ,取 n0 = 10总能获得新的 可行方案 。
原料序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
l1 l2 l3 l4 l5
00121 00040 11100 02010 02010 00121 10110 00040 11100 03000 10001 00011 00000
余料长 利用率 / % 类别
88
91. 2
B
12
98. 8
表 1 例 1的数据
j
1
2
3
4
5
lj 512 321 128 247 290
dj
5 12
8 22
6
表 2 例 1的初始安排
原料序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
l1 l2 l3 l4 l5
01120 10110 01111 01111 11100 00121 00040 01120 02010 10101 00021 01011 01020 01020 10010 11000 01000
14 62
计算机应用
第 29卷
出 ,根据余料长度 ,能安排就安排 ,不能安排就取下一个 ,直到
该根原料无法排下任一个零件为止 ,就去取下一根原料 。对
下一根原料和余下未安排的零件重复这个过程 ,直到全部零
件都被安排为止 。
一般而言 ,这种安排有些原料利用率较高 ,而另一些则利 用率可能不太高 。设定一个余料的阈值 T =λL ( 0 <λ < 1) ,
s /L, [ s /L ] + 1,
s /L 为整数 其他
(4)
于是得出以下定理 。
定理 1 若模型 ( 3)有一个可行解能使 kmax = k3 , 则此 可行解必是模型 (3)的最优解 。
了解这个结论很重要 ,可避免犯一些明显错误 。例如 ,文
献 [ 3 ]的算例 3,得出的结果是只需用 15根原料 ,认为明显优
排都无法产生 A类或达到理论上的耗用原料最少数量为止 。
实验证明 ,因为越到后面 ,余料的长度越大 , 故可对阈值
作动态调整 ,比如第 g次迭代时 ,取 λ =α +βg / g0 效果更好 , 其中 g0 是最大迭代次数 ,通常取值范围在 30 ～ 100。一般 g0 大一些效果会好些 ,但程序的运行时间会增加 。α与 β是可调 参数 ,通常 α的取值范围在 0. 01 ～ 0. 04,β的取值范围在 0 ～
679
32. 1
B
可见 ,初始安排耗用原料 17 根 ,其中有 4 根原料属于 A 类 ,利用率大于 96% ,把其保留 。对于 13根 B类原料 ,此时五
第 5期
林健良 :一维下料问题的 AB 分类法
1 46 3
种规格的零件需求量分别是 4、9、5、16、4, 重新安排得表 3。 表 3 例 1的第一次调整
第 29卷第 5期 2009年 5月
计算机应用 Journal of Computer App lications
Vol. 29 No. 5 M ay 2009
文章编号 : 1001 - 9081 (2009) 05 - 1461 - 03
一维下料问题的 AB分类法
林健良
(华南理工大学 理学院 , 广州 510640) (majllin@ scut. edu. cn)
m in kmax
m
∑lj xkj ≤ L,
j =1
k = 1, 2, …, kmax
∑ s. t. kmax xkj = dj,
j = 1, 2, …, m
(3)
k =1
xkj ∈ Z+
其中 , Z+ = { 0, 1, 2, …} ,即为非负整数的集合 。
m
∑ 设 s = lj dj,则 s表示需下料的全部零件总长度 。因为 j=1
Key words: one2dimensional cutting stock p roblem; greedy algorithm; op tim ization; random search
0 引言
下料问题在建筑 、机械 、服装等很多行业中有着广泛的应 用 ,研究优化下料问题 ,就是要提高原料的利用率 ,节约有限 的资源 。一维下料问题是下料问题中最基本 、最常用的情况 , 如型材 、管材和棒材的下料均属一维下料问题 。目前 ,研究一 维下料问题的文献很多 ,如文献 [ 1 - 5 ] , 其中大多用遗传算 法或粒子群算法 。用这些方法来解决下料问题 ,操作上较为 麻烦 ,而且效果往往不理想 ,常常对一个规模很小的问题 ,迭 代很多次也未能求得最优解 。本文根据一维下料问题的特 点 ,把贪心算法和随机搜索技术有机地结合起来 ,提出一种简 单实用的方法 ,称之为 AB 分类法 。大量实验表明 ,该算法计 算时间短 ,效果很好 ,绝大多数时候都能快捷地求出问题的最 优解 。
当第 k根原料的余料长度 yk ≤ T时 ,这根原料的利用率 :
(L - yk ) /L ≥ (L - λL ) /L = 1 - λ
(5)
可认为较高 ,其切割方式应被采用 。满足该条件的原料称为
A类 ,其余称为 B类 。以后对 B 类原料用随机法重新安排切
割方式 , 再使其又产生一些 A 类 。如此重复 ,直到经多次重
1 问题及数学模型
设有一批数量足够多的一维原料 (只需考虑长度 ) ,每根
长度均为 L,现需利用这批原料截取 m 种不同规格的零件 ,第
j种规格的零件的长度为 lj, 需求量为 dj ( j = 1, 2, …, m ) 个 。 现要研究在完成任务的前提下 , 使耗用的原料数量最少的下
料方法 。
若设共耗用 kmax 根原料 ,且在第 k根原料上截取的第 j种
Apply ing AB cla ssif ica tion m ethod in one2d im en siona l cutting stock problem
L IN J ian2liang
(School of S cience, Sou th Ch ina U n iversity of Technology, Guangzhou Guangdong 510640, China)
摘 要 :为了解决大规模的一维下料问题的计算困难 , 根据一维下料问题的特点 ,把贪心算法和随机搜索技术有 机地结合起来 ,利用随机搜索技术对贪心算法进行了有效的改进 ,提出了一种简单实用的 AB 分类法 。实验表明 ,该 算法对规模较大的问题也能较快地获得问题最优解或精度较高的近似最优解 。
关键词 : 一维下料问题 ;贪心算法 ;优化 ;随机搜索 中图分类号 : TP301. 6 文献标志码 : A
图 3是 AB分类法的总流程 ,先统计出零件总需求量 p0 , 然后执行模块 1,获得一个初始可行方案 。此时的 k值就是该
方案耗用原料的数量 ,通常该方案有些原料的利用率较高 ,也 有些不高 。对于给定的余料阈值 T, 对这 k根原料作出分类 , 余料短于 T的原料为 A 类 (设有 w 根 ) 其余 k - w 根为 B类 。 保留 A 类的下料方案不变 ,对 B类原料执行模块 2,重新作出 安排 。同时求出最大余料长度 m ax Y,若 m ax Y = L,则至少可 以减少 1根原料 ,并检查 k值是否满足定理 1的条件 ,否则 ,重 新对重排的结果分出 A 类和 B类 ,如此反复 ,直到满足定理 1 的条件或迭代次数达到最大值 g0 为止 ,输出最优方案或近似 最优方案 。