高中数学必修五三角形面积通关100题 (含答案)

．
71. 设 △
的三个内角，，所对的三边分别为，，，若 △
的面积为 = −
− ，则
=
．
72. 已知，，分别为 △ 三个内角，，的对边，若 = 2，且 2 +
− sin ，则 △ 面积的最大值为
．
sin − sin =
73. 在 △ 中，角，，的对边分别为，，， sin = √2sin ，cos = ，△ 的面积
的垂线，垂足分别是，．则 ⋅ =
．
93. 在 △ 中，，，所对的边分别是，，，若 = − + 6， = ，则 △ 的
面积为
．
94. △
中， = √3， = 1， = 30∘，则 △
的面积等于
．
95. 巳知 △
的一个内角为 120∘ ，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则 △
的面积
的面积为 √ ，则边的长为
．
18. 在 △ =
中，内角，，所对的边分别，，．若 = √7 ， = 3 ， = 60∘ ，则
，△ 的面积 =
．
19. 在 △
中， = 60∘，∣ ∣ = 2，且 △
的面积为 √ ，则 ∣ ∣ =
．
20. 已知 △ 的三边长分别为 4，5，6，则 △ 的面积为
= ， = 3，则 △ 的面积 =
．
的面积为，且 ⋅ = ，
69. 在锐角三角形
中，角，，所对的边分别为，，，若 = 2， = ，且 sin =
√3 cos ，则 △ 的面积为
．
70. 在 △ 中，内角，，的对边分别是，，，若 sin − sin = sin ，且 △ 的
面积为 sin ，则 cos =
中， = 2， = 2 ，则 △
的对边，若 = 1 ， = √3 ， ∠ = π ，则
的面积的最大值为
．
56. 在 △ 中，，，分别为 ∠ ，∠ ，∠ 的对边，若 + − + +
当取得最大值时， △ =
．
57. 在 △ 中，角，，的对边分别是，，，已知 = 2， = 2√2，且
为
．
96. 如图，点为半圆的直径延长线上一点， = = 2，过动点作半圆的切线，若
= √3 ，则 △ 的面积的最大值为
则边的长度为
．
46. 设 △ 三个内角，，所对的边分别为，，，若 sin = 4sin ， +
sin = sin 2√7 − ，则 △ 的面积为
．
47. 若锐角 △ 的面积为 10√3，且 = 5， = 8，则等于
．
48. 在 △
中， = √7， = 2， = 60∘，则 △
的面积等于
冲之继承并发展了“割圆术”，将 π 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆
术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积， =
．
32. 在 △ 中，已知 = ， = 4，△ 的面积为 2√3，则 =
．
33. 在锐角 △ 中， = 3， = 4，若 △ 的面积为 3√3，则
34. 在 △
的长为
．
84. ，，分别是 △ 内角，，的对边， + = 4，sin 1 + cos = 2 − cos sin ，
则 △ 面积的最大值为
．
85. 如图，在四边形
中，∠ = 45∘，∠ = 30∘， = 1， = 2，cos∠ = ，则
=
；三角形的面积为
．
86. 在 △ 中，三内角，，对应的边分别为，，，且 = 1， cos + cos = 2cos ，
= 60∘，则 =
．
52. 在 △
中，在边上，且 = 2 ， = 1 ， ∠ = 30∘ ， ∠ = 150∘ ，的长
为
；△ 的面积为
．
53. 已知 △ 的面积和三边，，满足： = − − ， + = 8，则 △ 面积的
最大值为
．
54. 在 △ △=
55. 已知在 △
中，，，分别是角，，．
． + 6， = ，则 △
的面积是
．
65. 在 △
中，若 = ， = 2，且 △
的面积为 √ ，则边的长为
．
66. 已知 △
的面积为 √ ， = √3， = ，那么 △
的周长为
．
67. 在锐角三角形
为
．
中，已知 = 4， = 3，△
的面积等于 3√3，那么边的长
68. 在 △ 中，角，，所对的边分别为，，，若 △
设 ℎ 是边上的高，则 ℎ 的最大值为
．
87. 在锐角 △ 中，角，，的对边分别为，，，已知
= √ ， = 4 ， + = 5，
则 △ 的面积为
．
88. △ 中的内角，，的对边分别为，，，若 = 4√5， = 5， = 2 ，点为边
上一点，且 = 6，则 △ 的面积为
．
89. 在 △
．
21. 在 △
中， = 60∘， = 4， = 2√3，则 △
的面积等于．
22. 已知在 △
中， = 2√3， = 6， = 30∘，△
的面积
．
23. 在 △
中，已知 − = 4， + = 2 ，且最大内角为 120∘，则 △
的面积为
．
24. 已知是 △
的角平分线， = 2， = 3，∠
= 60∘ ，则 =
．
25. 在 △
中，已知 = 8， = 5， △
26. 已知 △ 的面积为 6， = 4，∠
= 12，则 cos2 = = 45∘，则 =
．．
27. 若 △ 中 = 2， = √2 ，则 △ 的面积最大值为
．
28. 如图，已知 △
中，∠
= 30∘，∠
= 45∘， = 3， = 2，则 = ．
的面积为 √ ．若线段的延长线上存在点，
使 ∠ = ，则 =
．
81. 若在 △
中，∠ = 60∘， = 1， △ = √ ，则 △
外接圆的半径 =
．
82. △
中， = √3， = 1，∠ = 30∘，则 △
的面积等于
．
83. 在等腰 △ 中， = ，边上的中线长为 6，则当 △ 的面积取得最大值时，
．
49. 已知 △ ，的面积是
= = 4，，cos∠
= 2，点为
=
．
延长线上一点，
= 2，连接
= 5√3， sin −
，则 △
50. 在 △
中，，，分别是角，，的对边，若 = 4，tan = 3，cos = √ ，则 △
的面积为
．
51. 在 △
中，角，，的对边分别为，，，若 + + = 20，三角形面积为 10√3，
三角形面积通关 100 题（含答案）
1. 在 △ 中，角，，所对的边分别为，，．若 = 4， = 5， = 6，则 △ 的面
积为
．
2. 设平行四边形
中， = 4 ， = 6 ， ∠ = 60∘ ，则平行四边形
的面积
为
．
3. 在 △
中，若 = 120∘， = 5， = 4，则 △
中，为边上一点， = ，∠ = 120∘， = 2，若 △
3 − √3，则 ∠ =
．
的面积为
90. 在 △
中，内角，，所对的边分别为，，，且边上的高为 √ ，则 + 取得
最大值时，角的值为
．
91. 若在 △
中，∠ = 60∘， = 1， △ = √3，则
=
．
92. 已知 △
的面积是 4，∠ = 120∘，点满足 = 3 ，过点作边，所在直线
= 1， = √ ，则 =
，cos =
．
15. △
的内角，，的对边分别为，，， = 60，面积 △
半径为 √3，则 =
．
= 15√3，△
外接圆
16. 在 △
中，∠ ，∠ ，∠ 的对边分别是，，，若 = 1， = √3，∠ = 30∘，则 △
的面积是
．
17. 在 △
中， = ， = 2，且 △
．．
12. 在 △ 中，内角，，的对边分别为，，，且 + − = = √3，则 △ 的
面积为
．
13. 在 △
中，角，，所对的边分别为，，，且 = 8， = 8√3， △ = 16√3，那
么角的值为
．
14. 在 △
中，内角，，所对的边长分别为，，，记为 △
的面积，若 = 60∘，
中，角，，的对边分别为，，，已知 = 60∘， = 4， △ ．
= 4√3，则
37. 设 △ 中，角，，所对的边分别为，，，若 = 4， = ， = ，则 △ 的面
积=
．
38. 等腰 △
中， = ，为边上的中线，且 = 3，则 △
为
．
的面积最大值
39. 在 △ 中，角，，所对的边分别是，，，cos = ，且 cos + cos = 2，则 △
面积的最大值为

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(word完整版)高中数学必修5解三角形测试题及,文档

高中数学必修 5 解三角形测试题及答案一、选择题：〔每题 5 分，共 60 分〕1．在 VABC 中， AB 3, A 45 , C 75 ，那么 BC=A ．33B ．2 C ．2D ．332．以下关于正弦定理的表达或变形中错误的是．．A ．在 VABC 中 ,a:b:c=sinA:sinB:sinCB ． VABC 中 ,a=bsin2A=sin2B a =b+cC ． VABC 中,sinAsinB+sinCD ． VABC 中 , 正弦值较大的角所对的边也较大sin Acos B B 的值为 3． VABC 中 , 假设 a,那么bA ．30B ． 45C ． 60D ． 90ab c，那么 VABC 是4．在VABC 中，假设 =cosCcosA cosBA ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形5．以下命题正确的选项是A ．当 a=4,b=5,A= 30 时，三角形有一解。

B ．当 a=5,b=4,A= 60 时，三角形有两解。

（ A 〕（ B 〕（ B 〕〔 B 〕D ．等腰直角三角形（ D 〕C ．当 a= 3 ,b= 2 ,B= 120 时，三角形有一解。

D ．当 a=3 6 ,A= 60 时，三角形有一解。

2 ,b=26． ABC 中 ,a=1,b=3 , ∠A=30 °,那么∠ B 等于〔 B 〕A ． 60°B ． 60°或 120°C ． 30°或 150°D ． 120°7 ．符合下列条件的三角形有且只有一个的是〔D〕A ． a=1,b=2 ,c=3B ． a=1,b= 2 ,∠ A=30 °C ． a=1,b=2, ∠ A=100 °D ． b=c=1, ∠ B=45 °8 ．假设 (a+b+c)(b+c－a)=3abc, 且sinA=2sinBcosC, 那么 ABC是〔B〕A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．在ABC 中，角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ， A=,a= 3 ,b=1，3c=那么(B)(A)1(B)2(C)3 －1(D)3uur10 ．〔 2021 重庆理〕设ABC 的三个内角 A, B, C ，向量 m( 3 sin A,sin B) ，ruur r1 cos( AB) ，那么 C =〔n (cos B,3 cos A) ，假设 m gn C 〕A ．B ．2 5C ．D ．66 3 311．等腰 △ ABC 的腰为底的 2 倍，那么顶角 A 的正切值是〔 D 〕Ａ． 3Ｂ． 3Ｃ． 15Ｄ．1528712．如图： D,C,B 三点在地面同素来线上 ,DC=a, 从 C,D 两点测得A 点仰角分别是β ,α (α <β ),那么 A 点离地面的高度 AB 等于〔 A 〕Aa sin sina sin sin A ．) B ．)sin(cos(a sin cosacos sin C ．)D ．)sin(cos(αβBDC题号 123 4567891011 12答案二、填空题：〔每题 5 分，共 20 分〕13．a2 ，那么a b c _______2_______sin Asin Bsin A sin C14．在ABC 1 (a 2+b 2－ c 2),那么角∠ C=______.中，假设 S ABC =4415．〔广东 2021 理〕点 A, B, C 是圆 O 上的点，且AB 4, ACB450 ，那么圆 O 的面积等于8．rrr rr r 16． a2, b4, a 与b 的夹角为3，以 a,b 为邻边作平行四边形，那么此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为____ 2 3 ________三、解答题：〔 17 题 10 分，其余小题均为 12 分〕17．在ABC 中， c 2 ,b2 3 , B 450 ，解三角形 ABC 。

人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案

人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 锐角△ABC 中，已知a =√3，A =π3，则b 2+c 2+3bc 的取值范围是( )A. (5，15]B. (7，15]C. (7，11]D. (11，15]2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sinA =2sinBcosC ，则△ABC的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3. 在△ABC 中，∠A =60∘，b =1，S △ABC =√3，则a−2b+csinA−2sinB+sinC的值等于( )A. 2√393B.263√3C. 83√3D. 2√34. 在△ABC 中，有正弦定理：asinA =bsinB =csinC =定值，这个定值就是△ABC 的外接圆的直径.如图2所示，△DEF 中，已知DE =DF ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，记△DEM 的外接圆面积与△DMF 的外接圆面积的比值为λ，那么( )A. λ先变小再变大B. 仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值C. λ先变大再变小D. λ是一个定值5. 已知三角形ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线长为3，当三角形ABC 的面积最大时，AB 的长为( ) A. 2√5 B. 3√6 C. 2√6 D. 3√5 6. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b =c ，且满足sinBsinA =1−cosB cosA.若点O 是△ABC 外一点，∠AOB =θ(0<θ<π)，OA =2OB =2，平面四边形OACB 面积的最大值是( )A. 8+5√34B. 4+5√34C. 3D. 4+5√327. 在△ABC 中，a =1，b =x ，∠A =30∘，则使△ABC 有两解的x 的范围是( )A. (1，2√33) B. (1，+∞)C. (2√33，2) D. (1，2)8. △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 的面积为( )A. √3B. √32C. 2√3D. 19. 在△ABC 中，若sinBsinC =cos 2A2，则△ABC 是( )A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形10. 在△ABC 中，已知∠C =60∘.a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则ab+c +bc+a 为( )A. 3−2√3B. 1C. 3−2√3或1D. 3+2√311. 设锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 a =1，B =2A ，则b 的取值范围为( ) A. (√2，√3) B. (1，√3) C. (√2，2) D. (0，2)12. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足2bcosB =acosC +ccosA ，若b =√3，则a +c 的最大值为( )A. 2√3B. 3C. 32D. 9二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）13. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且acosC +12c =b ，则角A 的大小为______ ；若a =1，则△ABC 的周长l 的取值范围为______ ．14. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对边的长分别为a ，b ，c.已知a +√2c =2b ，sinB =√2sinC ，则sin C2= ______ ．15. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a −b =ccosB −ccosA ，则△ABC 的形状是______ ． 16. 在△ABC 中，若a 2b 2=tanA tanB，则△ABC 的形状为______ ．17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a −b)sinB =asinA −csinC ，且a 2+b 2−6(a +b)+18=0，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 18. 如果满足∠ABC =60∘，AC =12，BC =k 的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是______ ．19. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，外接圆半径为1，且满足tanA tanB=2c−b b，则△ABC 面积的最大值为______ ．三、解答题（本大题共11小题，共132.0分）20. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，且√3a =2csinA ．(1)求角C 的大小；(2)若a =2，且△ABC 的面积为3√32，求c 的值．21. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知asinB =√3bcosA ．(1)求角A 的大小；(2)若a =√7，b =2，求△ABC 的面积．22.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinA−csinC=(a−b)sinB．(1)求角C的大小；(2)若边长c=√3，求△ABC的周长最大值．23.已知函数f(x)=√3sinxcosx−cos2x−1，x∈R．2(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f(C)=0，若向量m⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n⃗=(2，sinB)共线，求a，b的值．24.已知△ABC中，A<B<C，a=cosB，b=cosA，c=sinC(1)求△ABC的外接圆半径和角C的值；(2)求a+b+c的取值范围．25.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足(2a−c)cosB=bcosC，(1)求角B的大小；(2)若△ABC的面积为为3√3且b=√3，求a+c的值．426.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且(2+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC(1)求角A的大小；(2)求△ABC的面积的最大值．27.已知函数f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx(x∈R)．(Ⅰ)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间；]内恒有两个不相等的实数解，求实数t的取值(Ⅱ)若方程f(x)−t=1在x∈[0，π2范围．28.已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量m⃗⃗⃗ =(cosA+1，√3)，n⃗=(sinA，1)，且m⃗⃗⃗ //n⃗；(1)求角A；=−3，求tanC．(2)若1+sin2Bcos 2B−sin 2B29.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1−sin C2(1)求sinC的值(2)若a2+b2=4(a+b)−8，求边c的值．30.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：(a+c)(sinA−sinC)=sinB(a−b)(I)求角C的大小；(II)若c=2，求a+b的取值范围．答案和解析【答案】 1. D 2. A 3. A 4. D 5. A 6. A7. D8. B 9. B 10. B 11. A 12. A13. 60∘；(2，3]14. √2415. 等腰三角形或直角三角形 16. 等腰三角形或直角三角形 17. −27218. 0<k ≤12或k =8√319. 3√3420. 解：(1)△ABC 是锐角，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，且√3a =2csinA ．由正弦定理得：√3sinA =2sinC ⋅sinA∵△ABC 是锐角， ∴sinC =√32，故C =π3；(2)a =2，且△ABC 的面积为3√32，根据△ABC 的面积S =12acsinB =12×2×b ×sin π3=3√32解得：b =3．由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC =4+9−2×3=7 ∴c =√7．故得c 的值为√7． 21. (本题满分为14分)解：(1)∵asinB =√3bcosA ，由正弦定理得sinAsinB =√3sinBcosA.…(3分) 又sinB ≠0，从而tanA =√3.…(5分) 由于0<A <π，所以A =π3.…(7分)(2)解法一：由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，而a =√7，b =2，A =π3，…(9分) 得7=4+c 2−2c =13，即c 2−2c −3=0．因为c >0，所以c =3.…(11分) 故△ABC 的面积为S =12bcsinA =3√32.…(14分) 解法二：由正弦定理，得√7sin π3=2sinB ，从而sinB =√217，…(9分)又由a >b 知A >B ，所以cosB=2√77．故sinC=sin(A+B)=sin(B+π3)=sinBcosπ3+cosBsinπ3=3√2114.…(12分)所以△ABC的面积为12bcsinA=3√32.…(14分)22. 解：(1)由已知，根据正弦定理，asinA−csinC=(a−b)sinB 得，a2−c2=(a−b)b，即a2+b2−c2=ab．由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab =12．又C∈(0，π)．所以C=π3．(2)∵C=π3，c=√3，A+B=2π3，∴asinA =bsinB=√3√32=2，可得：a=2sinA，b=2sinB=2sin(2π3−A)，∴a+b+c=√3+2sinA+2sin(2π3−A)=√3+2sinA+2(√32cosA+12sinA)=2√3sin(A+π6)+√3∵由0<A<2π3可知，π6<A+π6<5π6，可得：12<sin(A+π6)≤1．∴a+b+c的取值范围(2√3，3√3].23. 解：(1)由于函数f(x)=√3sinxcosx−cos2x−12=√32sin2x−1+cos2x2−12=sin(2x−π6)−1，故函数的最小值为−2，最小正周期为2π2=π．(2)△ABC中，由于f(C)=sin(2C−π6)−1=0，可得2C−π6=π2，∴C=π3．再由向量m⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n⃗=(2，sinB)共线可得sinB−2sinA=0．再结合正弦定理可得b=2a，且B=2π3−A．故有sin(2π3−A)=2sinA，化简可得tanA=√33，∴A=π6，∴B=π2．再由asinA =bsinB=csinC可得asinπ6=bsinπ2=3sinπ3，解得a=√3，b=2√3．24. 解：(1)由正弦定理csinC =2R=1，∴R=12．再由a=cosB，b=cosA，可得cosBsinA =cosAsinB，故有sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．再由A <B <C ，可得2A +2B =π，∴C =π2．(2)由于a +b +c =cosB +cosA +sinC =sinA +cosA +1=√2sin(A +π4)+1．再由O <A <π4，可得π4<A +π4<π2，∴√22<sin(A +π4)<1，∴2<√2sin(A +π4)+1<√2+1，即a +b +c 的取值范围为(2，√2+1)．25. 解：(1)又A +B +C =π，即C +B =π−A ， ∴sin(C +B)=sin(π−A)=sinA ，将(2a −c)cosB =bcosC ，利用正弦定理化简得：(2sinA −sinC)cosB =sinBcosC ， ∴2sinAcosB =sinCcosB +sinBcosC =sin(C +B)=sinA ，在△ABC 中，0<A <π，sinA >0，∴cosB =12，又0<B <π，则B =π3 (2)∵△ABC 的面积为3√34，sinB =sin π3=√32， ∴S =12acsinB =√34ac =3√34，∴ac =3，又b =√3，cosB =cos π3=12，∴由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 得：a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =(a +c)2−9=3，∴(a +c)2=12，则a +c =2√326. 解：(1)△ABC 中，∵a =2，且(2+b)(sinA −sinB)=(c −b)sinC ， ∴利用正弦定理可得(2+b)(a −b)=(c −b)c ，即b 2+c 2−bc =4，即b 2+c 2−4=bc ， ∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc=12，∴A =π3．(2)再由b 2+c 2−bc =4，利用基本不等式可得4≥2bc −bc =bc ， ∴bc ≤4，当且仅当b =c =2时，取等号，此时，△ABC 为等边三角形，它的面积为12bcsinA =12×2×2×√32=√3，故△ABC 的面积的最大值为：√3．27. 解：(I)f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx =cos2x +√3sin2x +1 2sin(2x +π6)+1令−π2+2kπ≤2x +π6≤+2kπ(k ∈Z) 解得：kπ−π3≤x ≤kπ+π6(k ∈Z) 由于x ∈[0，π]f(x)的单调递增区间为：[0，π6]和[2π3，π]. (Ⅱ)依题意：由2sin(2x +π6)+1=t +1 解得：t =2sin(2x +π6)设函数y1=t与y2=2sin(2x+π6)由于在同一坐标系内两函数在x∈[0，π2]内恒有两个不相等的交点．因为：x∈[0，π2]所以：2x+π6∈[π6，7π6]根据函数的图象：当2x+π6∈[π6，π2]sin(2x+π6)∈[12，1]，t∈[1，2]当2x+π6∈[π2，7π6]时，sin(2x+π6)∈[−12，1]，t∈[−1，2]所以：1≤t<228. 解：(1)∵m⃗⃗⃗ //n⃗，∴√3sinA−cosA=1，2(sinA⋅√32−cosA⋅12)=1，sin(A−π6)=12，∵0<A<π，−π6<A−π6<5π6，∴A−π6=π6.∴A=π3．(2)由题知1+sin2Bcos 2B−sin 2B=−3，∴(cosB+sinB)2(cosB+sinB)(cosB−sinB)=−3，∴cosB+sinBcosB−sinB=−3，∴1+tanB1−tanB=−3，∴tanB=2．∴tanC=tan[π−(A+B)]=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB =8+5√311．29. 解：(1)∵sinC+cosC=1−sin C2∴2sin C2cosC2+1−2sin2C2=1−sinC2∴2sin C2cosC2−2sin2C2=−sinC2∴2sin2C2−2sinC2cosC2=sinC2∴2sin C2(sin C2−cosC2)=sinC2∴sin C2−cos C2=12∴sin2C2−sinC+cos2C2=14∴sinC=3 4(2)由sin C2−cos C2=12>0得π4<C2<π2即π2<C<π∴cosC=−√7 4∵a2+b2=4(a+b)−8∴(a−2)2+(b−2)2=0∴a=2，b=2由余弦定理得c2=a2+b2−2abcosC=8+2√7∴c=1+√730. (本题满分为12分)解：(I)在△ABC中，∵(a+c)(sinA−sinC)=sinB(a−b)，∴由正弦定理可得：(a+c)(a−c)=b(a−b)，即a2+b2−c2=ab，…(3分)∴cosC=12，∴由C为三角形内角，C=π3.…(6分)(II)由(I)可知2R=c sinC=√32=4√33，…(7分)∴a+b=4√33(sinA+sinB)=4√33[sinA+sin(A+π3)]=4√33(32sinA+√32cosA)=4sin(A+π6).…(10分)∵0<A<2π3，∴π6<A+π6<5π6，∴12<sin(A+π6)≤1，∴2<4sin(A+π6)≤4∴a+b的取值范围为(2，4].…(12分)【解析】1. 解：由正弦定理可得，a sinA=b sinB=c sinC=√3√32=2，∴b=2sinB，c=2sinC，∵△ABC为锐角三角形，∴0∘<B<90∘，0∘<C<90∘且B+C=120∘，∴30∘<B<90∘∵bc=4sinBsin(120∘−B)=4sinB(√32cosB+12sinB)=2√3sinBcosB+2sin2B=√3sin2B+(1−cos2B)=2sin(2B−30∘)+1，∵30∘<B<90∘，∴30∘<2B−30∘<150∘，∴12<sin(2B−30∘)≤1，∴2<2sin(2B−30∘)+1≤4，即2<bc≤3，∵a =√3，A =π3，由余弦定理可得：3=b 2+c 2−bc ，可得：b 2+c 2=bc +3， ∴b 2+c 2+3bc =4bc +3∈(11，15]．故选：D ．由正弦定理可得，asinA=bsinB =csinC =√3√32=2，结合已知可先表示b ，c ，然后由△ABC 为锐角三角形及B +C =120∘可求B 的范围，再把所求的bc 用sinB ，cosB 表示，利用三角公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求bc 的范围，由余弦定理可得b 2+c 2+3bc =4bc +3，从而可求范围．本题综合考查了正弦定理和面积公式及两角和与差的正弦、余弦公式及辅助角公式的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用，属于中档题． 2. 解：因为sinA =2sinBcosc ，所以sin(B +C)=2sinBcosC ，所以sinBcosC −sinCcosB =0，即sin(B −C)=0，因为A ，B ，C 是三角形内角，所以B =C ．三角形为等腰三角形．故选：A ．通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形的判断，考查计算能力，属于基础题．3. 解：∵∠A =60∘，b =1，S △ABC =√3=12bcsinA =12×1×c ×√32， ∴c =4，∴a 2=b 2+c 2−2bccosA =1+14−2×1×4×12=13，∴a =√13，∴a−2b+csinA−2sinB+sinC =asinA =√13√32=2√393．故选：A ．先利用面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理可求a ，再利用正弦定理求解比值．本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解．4. 解：设△DEM 的外接圆半径为R 1，△DMF 的外接圆半径为R 2，则由题意，πR 12πR 22=λ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，由正弦定理可得：R 1=12DE sin∠DME ，R 2=12DFsin∠DMF ，又DE =DF ，sin∠DME =sin∠DMF ，可得：R 1=R 2，可得：λ=1．故选：D ．设△DEM 的外接圆半径为R 1，△DMF 的外接圆半径为R 2，则由题意，πR 12πR 22=λ，由正弦定理可得：R 1=12DE sin∠DME ，R 2=12DFsin∠DMF ，结合DE =DF ，sin∠DME =sin∠DMF ，可得λ=1，即可得解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于基础题．5. 解：设AB=AC=2x，AD=x．设三角形的顶角θ，则由余弦定理得cosθ=(2x)2+x2−9 2×2x×x =5x2−94x2，∴sinθ=√1−cos2θ=√144−9(x2−5)24x2，根据公式三角形面积S=12absinθ=12×2x⋅2x⋅√144−9(x2−5)24x2=√144−9(x2−5)22，∴当x2=5时，三角形面积有最大值.此时x=√5．AB的长：2√5．故选：A．设AB=AC=2x，三角形的顶角θ，则由余弦定理求得cosθ的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得sinθ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值时的x即可．本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力.运算量较大．6. 解：△ABC中，∵b=c，sinBsinA =1−cosBcosA，∴sinBcosA+cosBsinA=sinA，即sin(A+B)=sin(π−C)=sinC=sinA，∴A=C，又b=c，∴△ABC为等边三角形．∴S OACB=S△AOB+S△ABC=12⋅OA⋅OB⋅sinθ+12⋅AB2⋅sinπ3=12×2×1×sinθ+√34(OA2+OB2−2OA⋅OB⋅cosθ)=sinθ−√3cosθ+5√34=2sin(θ−π3)+5√34．∵0<θ<π，∴−π3<θ−π3<2π3，故当θ−π3=π2时，sin(θ−π3)取得最大值为1，故S OACB=的最大值为2+5√34=8+5√34，故选：A．依题意，可求得△ABC为等边三角形，利用三角形的面积公式与余弦定理可求得S OACB=2sin(θ−π3)+5√34(0<θ<π)，从而可求得平面四边形OACB面积的最大值．题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦定理的应用，求得S OACB=2sin(θ−π3)+5√34是解题的关键，也是难点，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．7. 解：结合图形可知，三角形有两解的条件为b=x>a，bsinA<a，∴b=x>1，xsin30∘<1，则使△ABC有两解的x的范围是1<x<2，故选：D．根据题意画出图形，由题意得到三角形有两解的条件为b =x >a ，bsinA <a ，即可确定出x 的范围．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，画出正确的图形是解本题的关键．8. 解：由于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量加法的几何意义，O 为边BC 中点，∵△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，∴三角形应该是以BC 边为斜边的直角三角形，∠BAC =π2，斜边BC =2，又∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴|AC|=1，|AB|=√BC 2−AC 2=√22−12=√3， ∴S △ABC =12×|AB|×|AC|=12×1×√3=√32．故选：B ．由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用向量加法的几何意义得出△ABC 是以A 为直角的直角三角形，又|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，从而可求|AC|，|AB|的值，利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了平面向量及应用，三角形面积的求法，属于基本知识的考查．9. 解：由题意sinBsinC =1+cosA 2，即sinBsinC =1−cosCcosB ，亦即cos(C −B)=1， ∵C ，B ∈(0，π)， ∴C =B ，故选：B ．利用cos 2A2=1+cosA 2可得sinBsinC =1+cosA 2，再利用两角和差的余弦可求．本题主要考查两角和差的余弦公式的运用，考查三角函数与解三角形的结合.属于基础题．10. 解：cosC =a 2+b 2−c 22ab=12，∴ab =a 2+b 2−c 2，∴ab+c +bc+a =ac+a 2+b 2+bcab+(a+b)c+c 2=a 2+b 2+(a+b)ca 2+b 2+(a+b)c =1，故选B ．先通过余弦定理求得ab 和a 2+b 2−c 2的关系式对原式进行通分，把ab 的表达式代入即可．本题主要考查了余弦定理的应用.解题的关键是找到a ，b 和c 的关系式． 11. 解：锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，B =2A ， ∴0<2A <π2，且B +A =3A ， ∴π2<3A <π． ∴π6<A <π3， ∴√22<cosA <√32， ∵a =1，B =2A ，∴由正弦定理可得：ba =b=sin2AsinA=2cosA，∴√2<2cosA<√3，则b的取值范围为(√2，√3).故选A由题意可得0<2A<π2，且π2<3A<π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得ba=b=2cosA，根据cosA的范围确定出b范围即可．此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A的范围．12. 解：2bcosB=ccosA+acosC，由正弦定理，得2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，∴2sinBcosB=sinB，又sinB≠0，∴cosB=12，∴B=π3．∵由余弦定理可得：3=a2+c2−ac，∴可得：3≥2ac−ac=ac，∴即有：ac≤3，代入：3=(a+c)2−3ac可得：(a+c)2=3+3ac≤12，∴a+c的最大值为2√3．故选：A．利用正弦定理化边为角，可求导cosB，由此可得B，由余弦定理可得：3=a2+c2−ac，由基本不等式可得：ac≤3，代入：3=(a+c)2−3ac可得a+c的最大值．该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，基本不等式的应用，考查学生运用知识解决问题的能力，属于中档题．13. 解：acosC+12c=b变形得：2acosC+c=2b，利用正弦定理得：2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC，∴sinC=2cosAsinC，即sinC(2cosA−1)=0，由sinC≠0，得到cosA=12，又A为三角形的内角，则A=60∘；∵a=1，sinA=√32，B+C=120∘，即C=120∘−B，∴asinA =bsinB=csinC=2√33，即b=2√33sinB，c=2√33sin(120∘−B)，则△ABC的周长l=a+b+c=1+2√33sinB+2√33sin(120∘−B)=1+2√33(32sinB+√32cosB)=1+2(√32sinB+12cosB)=1+2sin(B+30∘)，∵0<B<120∘，∴30∘<B+30∘<150∘，∴12<sin(B+30∘)≤1，即2<1+2sin(B+30∘)≤3，则l范围为(2，3]．故答案为：60∘；(2，3]将已知的等式左右两边都乘以2变形后，利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式变形，根据sinC不为0，得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；由A的度数求出sinA的值，及B+C的度数，用B表示出C，由正弦定理表示出b与c，而三角形ABC的周长l=a+b+c，将表示出的b与c，及a的值代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即可得到l的范围．此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，利用了转化的思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．14. 解：∵在△ABC中a+√2c=2b，sinB=√2sinC，∴由正弦定理可得a+√2c=2b，b=√2c，联立可解得a=b=√2c，∴由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=222 2×√2c×√2c =34，再由二倍角公式可得cosC=1−2sin2C2=34，解得sin C2=√24或sin C2=−√24，再由三角形内角的范围可得C2∈(0，π2)故sin C2=√24故答案为：√24由题意和正弦定理可得a=b=√2c，代入余弦定理可得cosC，由二倍角公式和三角形内角的范围可得．本题考查解三角形，涉及正余弦定理和二倍角公式，属中档题．15. 解：将cosA=b2+c2−a22bc ，cosB=a2+c2−b22ac代入已知等式得：a−b=c a2+c2−b22ac −c⋅b2+c2−a22bc，整理得：a2+b2−c2a =a2+b2−c2b，当a2+b2−c2=0，即a2+b2=c2时，△ABC为直角三角形；当a2+b2−c2≠0时，得到a=b，△ABC为等腰三角形，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰三角形或直角三角形．利用余弦定理表示出cosA与cosB，代入已知等式，整理后即可确定出三角形形状．此题考查了余弦定理，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16. 解：原式可化为sin 2Asin 2B =sinAcosB cosAsinB ⇒sinA sinB =cosBcosA⇒sin2A =sin2B ∴2A =2B 或2A =π−2B ⇒A =B 或A +B =π2．故答案为等腰三角形或直角三角形左边利用正弦定理，右边“切变弦”，对原式进行化简整理进而可得A 和B 的关系，得到答案．本题主要考查了正弦定理的应用.考查了学生利用正弦定理解决三角形问题的能力． 17. 解：由已知(a −b)sinB =asinA −csinC ，即asinA −csinC =(a −b)sinB ，根据正弦定理，得，a 2−c 2=(a −b)b ，即a 2+b 2−c 2=ab ．由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =12．又C ∈(0，π).所以C =π3．a 2+b 2−6(a +b)+18=0，可得(a −3)2+(b −3)2=0，所以a =b =3，三角形是正三角形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×3×3×cos120∘=−272．故答案为：−272．通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出C 的余弦值，得到C 的值.通过a 2+b 2−6(a +b)+18=0，求出a ，b 的值，推出三角形的形状，然后求解数量积的值．本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法三角形形状的判断，向量数量积的应用，考查计算能力．18. 解：(1)当AC <BCsin∠ABC ，即12<ksin60∘，即k >8√3时，三角形无解； (2)当AC =BCsin∠ABC ，即12=ksin60∘，即k =8√3时，三角形有1解；(3)当BCsin∠ABC <AC <BC ，即ksin60∘<12<k ，即12<k <8√3，三角形有2个解；(4)当0<BC ≤AC ，即0<k ≤12时，三角形有1个解．综上所述：当0<k ≤12或k =8√3时，三角形恰有一个解．故答案为：0<k ≤12或k =8√3要对三角形解得各种情况进行讨论即：无解、有1个解、有2个解，从中得出恰有一个解时k 满足的条件．本题主要考查三角形解得个数问题，重在讨论.易错点在于可能漏掉k =8√3这种情况． 19. 解：由r =1，利用正弦定理可得：c =2rsinC =2sinC ，b =2rsinB =2sinB ， ∵tanA =sinA cosA，tanB =sinBcosB ， ∴tanAtanB =sinAcosBcosAsinB =4sinC−2sinB2sinB=2sinC−sinBsinB，∴sinAcosB =cosA(2sinC −sinB)=2sinCcosA −sinBcosA ，即sinAcosB +cosAsinB =sin(A +B)=sinC =2sinCcosA ， ∵sinC ≠0，∴cosA =12，即A =π3， ∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，∴bc =b 2+c 2−a 2=b 2+c 2−(2rsinA)2=b 2+c 2−3≥2bc −3，∴bc≤3(当且仅当b=c时，取等号)，∴△ABC面积为S=12bcsinA≤12×3×√32=3√34，则△ABC面积的最大值为：3√34．故答案为：3√34．利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0，可得出cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，根据cosA的值，得出bc=b2+c2−a2，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc 的最大值，进而由sinA的值及bc的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 面积的最大值．此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．20. (1)利用正弦定理可求角C的大小(2)直接利用△ABC的面积S=12acsinB求解出b，再用余弦定理可得．本题考查了正弦定理，余弦定理的运用和计算能力．21. (1)由弦定理化简已知可得sinAsinB=√3sinBcosA，结合sinB≠0，可求tanA=√3，结合范围0<A<π，可求A的值．(2)解法一：由余弦定理整理可得：c2−2c−3=0.即可解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．解法二：由正弦定理可求sinB的值，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用两角和的正弦函数公式可求sinC，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．22. (1)通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出C的余弦值，得到C的值．(2)由已知利用正弦定理可得a=2sinA，b=2sin(2π3−A)，利用三角函数恒等变换的应用化简可求a+b+c=2√3sin(A+π6)+√3，根据A+π6的范围，利用正弦函数的图象和性质得到结果．本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法，以及三角函数恒等变换的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．23. (1)化简函数f(x)的解析式为sin(2x−π6)−1，可得函数的最小值为−2，最小正周期为2π2．(2)△ABC中，由f(C)=sin(2C−π6)−1=0，求得C=π3.再由向量m⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n⃗=(2，sinB)共线可得sinB−2sinA=0，再由B=2π3−A可得sin(2π3−A)=2sinA，化简求得A=π6，故B=π2.再由正弦定理求得a、b的值．本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理、两个向量共线的性质，属于中档题．24. (1)由正弦定理求得外接圆半径R.再由a=cosB，b=cosA，可得cosBsinA =cosAsinB，化简得sin2A=sin2B．再由A<B<C，可得2A+2B=π，由此可得C的值．(2)由于a+b+c=cosB+cosA+sinC=√2sin(A+π4)+1.再由O<A<π4，利用正弦函数的定义域和值域求得sin(A+π4)+1<√2+1的范围，即可求得a+b+c的取值范围．本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．25. (1)结合三角形的内角和定理及诱导公式可得sin(C+B)=sinA，再对已知(2a−c)cosB=bcosC，利用正弦定理化简可求B(2)结合三角形的面积公式S=12acsinB，可求ac，由已知b，B，再利用余弦定理b2= a2+c2−2accosB可求a+c本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用，解决此类问题的关键是要是考生具备综合应用公式的能力26. (1)由条件利用正弦定理可得b2+c2−bc=4.再由余弦定理可得A=π3．(2)利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得面积的最大值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．27. (Ⅰ)首先利用三角函数的恒等变换，变形成正弦型函数进一步利用函数的单调性求函数在固定区间内的增减区间．(Ⅱ)把求方程的解得问题转化成求函数的交点问题，进一步利用函数的性质求参数的取值范围．本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的单调性，在同一坐标系内的利用两函数的交点问题求参数的取值范围问题．28. (1)利用向量共线定理可得：√3sinA−cosA=1，再利用和差公式、三角函数求值即可得出．(2)由题知1+sin2Bcos 2B−sin 2B =−3，利用倍角公式化为cosB+sinBcosB−sinB=−3，因此1+tanB1−tanB=−3，解得tanB.再利用tanC=tan[π−(A+B)]=−tan(A+B)，展开代入即可得出．本题考查了向量共线定理、和差公式、三角函数求值、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．29. (1)利用二倍角公式将已知等式化简；将得到的式子平方，利用三角函数的平方关系求出sinC．(2)利用求出的三角函数的值将角C的范围缩小，求出C的余弦；将已知等式配方求出边a，b；利用余弦定理求出c本题考查三角函数的二倍角公式、同角三角函数的平方关系、考查三角形中的余弦定理．30. (I)利用正弦正理化简已知等式可得：a2+b2−c2=ab，由余弦定理可得求得cosA=12，结合A的范围，即可求得A的值．(II)由正弦定理用sinA、sinB表示出a、b，由内角和定理求出A与B的关系式，代入a+b利用两角和与差的正弦公式化简，根据A的范围和正弦函数的性质得出a+b的取值范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了两角和差的正弦函数公式，解题时注意分析角的范围，属于中档题．。

高中数学必修五三角形面积通关100题 (含答案)

29. 在 △ 中，内角，，的对边分别为，，，已知 cos = ，sin = 2cos ，且 = 4，
则 △ 的面积是
．
30. 设 △
的面积为，2 + √3 ⋅ = 0．若 ∣∣ ∣∣ = √3，则的最大值为
．
31. 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 π，理论上能把 π 的值计算到任意精度，祖
三角形面积通关 100 题（含答案）
1. 在 △ 中，角，，所对的边分别为，，．若 = 4， = 5， = 6，则 △ 的面
积为
．
2. 设平行四边形
中， = 4 ， = 6 ， ∠ = 60∘ ，则平行四边形
的面积
为
．
3. 在 △
中，若 = 120∘， = 5， = 4，则 △
= 60∘，则 =
．
52. 在 △
中，在边上，且 = 2 ， = 1 ， ∠ = 30∘ ， ∠ = 150∘ ，的长
为
；△ 的面积为
．
53. 已知 △ 的面积和三边，，满足： = − − ， + = 8，则 △ 面积的
最大值为
．
54. 在 △ △=
55. 已知在 △
中，，，分别是角，，．
的垂线，垂足分别是，．则 ⋅ =
．
93. 在 △ 中，，，所对的边分别是，，，若 = − + 6， = ，则 △ 的
面积为
．
94. △
中， = √3， = 1， = 30∘，则 △
的面积等于
．
95. 巳知 △
的一个内角为 120∘ ，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则 △

人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案

⼈教版必修五“解三⾓形”精选难题及其答案⼈教版必修五“解三⾓形”精选难题及其答案⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.锐⾓△ABC中，已知a=√3，A=π3，则b2+c2+3bc的取值范围是( )A. (5，15]B. (7，15]C. (7，11]D. (11，15]2.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，且满⾜sinA=2sinBcosC，则△ABC的形状为( )A. 等腰三⾓形B. 直⾓三⾓形C. 等边三⾓形D. 等腰直⾓三⾓形3.在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=√3，则a?2b+csinA?2sinB+sinC的值等于( )A. 2√393B. 263√3 C. 83√3 D. 2√34.在△ABC中，有正弦定理：asinA =bsinB=csinC=定值，这个定值就是△ABC的外接圆的直径.如图2所⽰，△DEF中，已知DE=DF，点M在直线EF上从左到右运动(点M不与E、F重合)，对于M的每⼀个位置，记△DEM的外接圆⾯积与△DMF的外接圆⾯积的⽐值为λ，那么( )A. λ先变⼩再变⼤B. 仅当M为线段EF的中点时，λ取得最⼤值C. λ先变⼤再变⼩D. λ是⼀个定值5.已知三⾓形ABC中，AB=AC，AC边上的中线长为3，当三⾓形ABC的⾯积最⼤时，AB的长为( )A. 2√5B. 3√6C. 2√6D. 3√56. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内⾓A ，B ，C 所对的边，b =c ，且满⾜sinB sinA =1?cosB cosA.若点O 是△ABC 外⼀点，∠AOB =θ(0<θ<π)，OA =2OB =2，平⾯四边形OACB ⾯积的最⼤值是( )A. 8+5√34B. 4+5√34C. 3D. 4+5√327. 在△ABC 中，a =1，b =x ，∠A =30°，则使△ABC 有两解的x 的范围是( )A. (1，2√33)B. (1，+∞)C. (2√33，2)D. (1，2)8. △ABC 的外接圆的圆⼼为O ，半径为1，若AB +AC =2AO ，且|OA |=|AC |，则△ABC 的⾯积为( )A. √3B. √32C. 2√3D. 19. 在△ABC 中，若sinBsinC =cos 2A2，则△ABC 是( )A. 等边三⾓形B. 等腰三⾓形C. 直⾓三⾓形D. 等腰直⾓三⾓形10. 在△ABC 中，已知∠C =60°.a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则ab+c +bc+a 为( )A. 3?2√3B. 1C. 3?2√3或1D. 3+2√311. 设锐⾓△ABC 的三内⾓A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 a =1，B =2A ，则b 的取值范围为( )A. (√2，√3)B. (1，√3)C. (√2，2)D. (0，2)12. 在△ABC 中，内⾓A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满⾜2bcosB =acosC + ccosA ，若b =√3，则a +c 的最⼤值为( )A. 2√3B. 3C. 32D. 9⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，共35.0分）13. 设△ABC 的内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且acosC +12c =b ，则⾓A 的⼤⼩为______ ；若a =1，则△ABC 的周长l 的取值范围为______ ．14. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对边的长分别为a ，b ，c.已知a +√2c =2b ，sinB =√2sinC ，则sin C2= ______ ．15. 已知△ABC 中，⾓A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ?b =ccosB ?ccosA ，则△ABC的形状是______ ． 16. 在△ABC 中，若a 2b 2=tanAtanB ，则△ABC 的形状为______ ．17. 在△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ?b)sinB =asinA ?csinC ，且a 2+b 2?6(a +b)+18=0，则AB?BC +BC ?CA +CA ?AB = ______ ． 18. 如果满⾜∠ABC =60°，AC =12，BC =k 的三⾓形恰有⼀个，那么k 的取值范围是______ ．19. 已知△ABC 的三个内⾓A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，外接圆半径为1，且满⾜tanAtanB=2c?b b，则△ABC ⾯积的最⼤值为______ ．三、解答题（本⼤题共11⼩题，共132.0分）20. 在锐⾓△ABC 中，a ，b ，c 是⾓A ，B ，C 的对边，且√3a =2csinA ．(1)求⾓C 的⼤⼩；(2)若a =2，且△ABC 的⾯积为3√32，求c 的值．21. 在△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知asinB =√3bcosA ．(1)求⾓A 的⼤⼩；(2)若a =√7，b =2，求△ABC 的⾯积．22.已知△ABC中，内⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满⾜asinA?csinC=(a?b)sinB．(1)求⾓C的⼤⼩；(2)若边长c=√3，求△ABC的周长最⼤值．23.已知函数f(x)=√3sinxcosx?cos2x?1，x∈R．2(1)求函数f(x)的最⼩值和最⼩正周期；(2)已知△ABC内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f(C)=0，若向量m =(1，sinA)与n?=(2，sinB)共线，求a，b的值．24.已知△ABC中，A(1)求△ABC的外接圆半径和⾓C的值；(2)求a+b+c的取值范围．△ABC中，⾓A，B，C的对边分别是a，b，c且满⾜(2a?c)cosB=bcosC，(1)求⾓B的⼤⼩；(2)若△ABC的⾯积为为3√3且b=√3，求a+c的值．425.已知a，b，c分别为△ABC的三个内⾓A，B，C的对边，a=2且(2+b)(sinA?sinB)=(c?b)sinC(1)求⾓A的⼤⼩；(2)求△ABC的⾯积的最⼤值．26.已知函数f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx(x∈R)．(Ⅰ)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间；]内恒有两个不相等的实数解，求实数t的取值(Ⅱ)若⽅程f(x)?t=1在x∈[0，π2范围．已知A、B、C是△ABC的三个内⾓，向量m =(cosA+1，√3)，n?=(sinA，1)，且m //n?；(1)求⾓A；(2)若1+sin2B=?3，求tanC．cos?2B?sin?2B27.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1?sin C2(1)求sinC的值(2)若a2+b2=4(a+b)?8，求边c的值．28.在△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满⾜：(a+c)(sinA?sinC)=sinB(a?b)(I)求⾓C的⼤⼩；(II)若c=2，求a+b的取值范围．答案和解析【答案】1. D2. A3. A4. D5. A6. A7. D8. B9. B10. B11. A12. A13. 60°；(2，3]14. √2415. 等腰三⾓形或直⾓三⾓形16. 等腰三⾓形或直⾓三⾓形17. ?27218. 019. 3√3420. 解：(1)△ABC是锐⾓，a，b，c是⾓A，B，C的对边，且√3a=2csinA．由正弦定理得：√3sinA=2sinC?sinA ∵△ABC是锐⾓，∴sinC=√32，故C=π3；(2)a=2，且△ABC的⾯积为3√32，根据△ABC的⾯积S=12acsinB=12×2×b×sinπ3=3√32解得：b=3．由余弦定理得c2=a2+b2?2abcosC=4+9?2×3=7∴c=√7．故得c的值为√7．21. (本题满分为14分)解：(1)∵asinB=√3bcosA，由正弦定理得sinAsinB=√3sinBcosA.…(3分)⼜sinB≠0，从⽽tanA=√3.…(5分)由于0所以A=π3.…(7分)(2)解法⼀：由余弦定理a2=b2+c2?2bccosA，⽽a=√7，b=2，A=π，…(9分)3得7=4+c2?2c=13精选，即c 2?2c ?3=0．因为c >0，所以c =3.…(11分) 故△ABC 的⾯积为S =12bcsinA =3√32.…(14分) 解法⼆：由正弦定理，得√7sin π3=2sinB ，从⽽sinB =√217，…(9分) ⼜由a >b 知A >B ，所以cosB =2√77．故sinC =sin(A +B)=sin(B +π3)=sinBcos π3+cosBsin π3=3√2114.…(12分) 所以△ABC 的⾯积为12bcsinA =3√32.…(14分) 22. 解：(1)由已知，根据正弦定理，asinA ?csinC =(a ?b)sinB 得，a 2?c 2=(a ?b)b ，即a 2+b 2?c 2=ab ．由余弦定理得cosC =a 2+b 2?c 22ab =12．⼜C ∈(0，π)．所以C =π3．(2)∵C =π3，c =√3，A +B =2π3，∴a sinA =b sinB =√3√32=2，可得：a =2sinA ，b =2sinB =2sin(2π3A)，∴a +b +c =√3+2sinA +2sin(2π3?A)=√3+2sinA +2(√32cosA +12sinA) =2√3sin(A +π6)+√3 ∵由0=sin(2x ?π6)?1，故函数的最⼩值为?2，最⼩正周期为2π2=π．(2)△ABC 中，由于f(C)=sin(2C ?π6)?1=0，可得2C ?π6=π2，∴C =π3．再由向量m =(1，sinA)与n ? =(2，sinB)共线可得sinB ?2sinA =0．。

高中数学必修5解三角形面积相关精选题目(附答案)

高中数学必修5解三角形面积相关精选题目（附答案）三角形的面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .题型一：三角形面积的计算1.(2017·北京高考)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．2.△ABC 中，若a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且2A ＝B ＋C ，a ＝3，△ABC 的面积S △ABC ＝32，求边b 的长和B 的大小．题型二：与三角形有关的综合问题（一）：与三角形面积有关的综合问题3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C . (1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c . （二）：三角形中的最值问题4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．巩固练习：1．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32C.3D ．232．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( ) A ．－78B.78C ．－87D.873．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的大小为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．5.如图，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝________.6．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．7．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( ) A ．5B ．6C ．7D ．88．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( ) A.3 B ．2 C ．23 D ．49．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.⎝⎛⎦⎤0，403 10．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .11.如图，在△ABC 中，已知B ＝π3，AC ＝43，D 为BC 边上一点．(1)若AD ＝2，S △DAC ＝23，求DC 的长； (2)若AB ＝AD ，试求△ADC 的周长的最大值．参考答案：1.[解] (1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314.(2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍去)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3. 2.解：∵A ＋B ＋C ＝180°，又2A ＝B ＋C ，∴A ＝60°. ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32，sin A ＝32，∴bc ＝2.①又由余弦定理得3＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2×2×12，即b 2＋c 2＝5.② 解①②可得b ＝1或2.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝b2.当b ＝1时，sin B ＝12，B ＝30°；当b ＝2时，sin B ＝1，B ＝90°.3.解：(1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ，得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1，即cos(B ＋C )＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)由于0<A <π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.4.解：(1)由题意可知 12ab sin C ＝34×2ab cos C . 所以tan C ＝ 3. 因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)由(1)知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－A －π3 ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤3⎝⎛⎭⎫0<A <2π3. 当A ＝π3时，即△ABC 为等边三角形时取等号，所以sin A ＋sin B 的最大值为 3. 巩固练习：1.解析：选B S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32.2.解析：选B 设等腰三角形的底边长为a ，顶角为θ，则腰长为2a ，由余弦定理得，cos θ＝4a 2＋4a 2－a 28a 2＝78.3.解析：选B ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，由余弦定理得：sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1.又0°<C <180°，∴C ＝45°.4.解析：∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.5.解析：在△ADC 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝1114.又0°<C <180°，∴sin C ＝5314. 在△ABC 中，AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝sin C sin B ·AC ＝5314×2×7＝562.6.解析：不妨设b ＝2，c ＝3，cos A ＝13，则a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝9，∴a ＝3. 又∵sin A ＝1－cos 2 A ＝223，∴外接圆半径为R ＝a 2sin A ＝32·223＝928.7.解析：选C 如图，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40， ∴a ＝7.8.解析：选B ∵S ＝12bc sin A ，∴3＝12×2c sin 120°， ∴c ＝2，∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，设△ABC 外接圆的半径为R ，∴2R ＝a sin A ＝2332＝4，∴R ＝2.9.解析：选D ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.10.解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B 2，即sin B ＝4(1－cos B )，故17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1517，cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. 所以b ＝2.11.解：(1)∵S △DAC ＝23， ∴12·AD ·AC ·sin ∠DAC ＝23， ∴sin ∠DAC ＝12.∵∠DAC <∠BAC <π－π3＝2π3，∴∠DAC ＝π6.在△ADC 中，由余弦定理得 DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos π6，∴DC 2＝4＋48－2×2×43×32＝28， ∴DC ＝27.(2)∵AB ＝AD ，B ＝π3，∴△ABD 为正三角形．在△ADC 中，根据正弦定理，可得 AD sin C ＝43sin2π3＝DCsin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， ∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， ∴△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ＋43 ＝8⎝⎛⎭⎫sin C ＋32cos C －12sin C ＋43 ＝8⎝⎛⎭⎫12sin C ＋32cos C ＋43＝8sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π3＋43， ∵∠ADC ＝2π3，∴0<C <π3，∴π3<C ＋π3<2π3，∴当C ＋π3＝π2，即C ＝π6时，△ADC 的周长取得最大值，且最大值为8＋4 3.。

三角形面积问题知识点专项练习含答案(高考数学提分)

第25讲三角形面积问题一．解答题（共19小题）1．已知焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C 经过点16(3,)5．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线1l ，直线1l 上存在M 、N 两点满足OM ON ⊥，求OMN ∆面积的最小值．（3）若与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交x 轴于定点M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，且||||AB MN 为定值，求点M 的坐标． 2．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到椭圆上点的最远距离为3，点(2,1)P 为椭圆外一点，不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求ABP ∆面积最大值时的直线l 的方程．3．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P 不过原点O 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．（1）求椭圆C 的方程；（2）求直线l 的斜率；（3）求AOB ∆面积的最大值．4．已知点(0,2)A -，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点(0,2)A -的动直线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点．当OPQ ∆的面积最大时，求直线l 的方程．5．已知F 为抛物线2y x =的焦点，点AB 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点）．（1）求证：直线AB 过定点；（2）求ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值．6．如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，点F 为抛物线2:C y x =的焦点，且抛物线C 上存在不同的两点A ，B ．（1）若AB 中点为M ，且满足PA ，PB 的中点均在C 上，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，6(OA OB O ⋅=为坐标原点），且ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，求124S S +最小值．7．如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围．8．已知椭圆22184x y +=，1F ，2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A ，B 两点．（1）若直线l 垂直于x 轴，求||AB ；（2）当190F AB ∠=︒时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F ABF MNS S=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 且斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点，且ON 的斜率为34-．（1）求椭圆C 的离心率e 的值；（2）若24a c =，l 为过椭圆C 的右焦点2F 的任意直线，且直线l 交椭圆C 于点P ，Q ，求△1F PQ 内切圆面积的最大值．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F 和2F ，离心率为12，以P 在椭圆E 上，且△12PF F （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过椭圆C 右焦点2F ，交该椭圆于A 、B 两点，AB 中点为Q ，射线OQ 交椭圆于P ，记AOQ ∆的面积为1S ，BPQ ∆的面积为2S ，若213S S =，求直线l 的方程．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率2e =，点P在椭圆C 上，直线l 过1F 交椭圆于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当290F AB ∠=︒时，点A 在x 轴上方时，求点A ，B 的坐标；（3）若直线2AF 交y 轴于点M ，直线2BF 交y 轴于点N ，是否存在直线l ，使得2ABF ∆与1MNF ∆的面积满足212ABF MNF SS=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，12||2F F =，椭圆离心率e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过椭圆的右焦点2F ，交椭圆于A ，B 两点，若△1AF B ，求直线l 的方程．13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点0(P x ，0)y 是坐标平面内一点，且220074x y +=．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(0,)3S -且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，问：在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标和MAB ∆面积的最大值；若不存在，说明理由．14．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，△1AF B 的周长为8，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值．15．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上有一点0(2,)Q y 到焦点F 的距离为52．（Ⅰ）求p 及0y 的值；（Ⅱ）如图，设直线y kx b =+与抛物线交于两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且12||2y y -=，过弦AB 的中点M 作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点D ，连接AD ，BD ．试判断ABD ∆的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由．16．已知点Q 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的动点，点Q 到抛物线准线与到点1(2P -，1)的．（1）求抛物线C 的方程；（2）如图，设直线y kx b =+与抛物线C 交于两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 且12||2y y -=，过弦AB 的中点M 作垂直于y 轴的直线与抛物线C 交于点D ，求ABD ∆的面积．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，曲线E是抛物线24x y =在椭圆C 内的一部分，抛物线24x y =的焦点F 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．（ⅰ）求证：点M 在定直线上；（ⅱ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．18．已知(0,2)A -，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF O 为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求直线l 的方程．19．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其右焦点到椭圆C 外一点(2,1)P 的距离，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 的长度为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求AOB ∆面积S 的最大值．第25讲三角形面积问题参考答案与试题解析一．解答题（共19小题）1．已知焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C 经过点16(3,)5．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线1l ，直线1l 上存在M 、N 两点满足OM ON ⊥，求OMN ∆面积的最小值．（3）若与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交x 轴于定点M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，且||||AB MN 为定值，求点M 的坐标．【解答】解：（1）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，所以210a =，5a =，又椭圆C 经过点16(3,)5，代入椭圆方程，求得4b =，所以椭圆的方程为：2212516x y +=；（2）设(3,)M M y ，(3,)N N y ，(3,0)F ，由OM ON ⊥，所以90M N OM ON y y =+=，1393||||922MON M N M MS y y y y ∆=-=+，故OMN ∆面积的最小值为9；（3）设直线l 的方程为：y kx m =+，则点(,0)mM k-，联立2212516y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(2516)50254000k x kmx m +++-=，122502516kmx x k +=-+，2122254002516m x x k -=+，所以2224025||25k AB k -=，则AB 的中点P 的坐标为2222525(,)25162516km k m m k k --+++，又PN AB ⊥，得1PNk k =-，则直线PN 的方程为：22225125()25162516k m kmy m x k k k +-=-+++，令0y =，得N 点的坐标为222525(,0)2516k m km mk k +-++，则29||||2516km mMN k k=-++，所以22222||5251659||||25||2121AB kk m k m MN mk m k -++==-++，当且仅当2291m k =时，比值为定值，此时点(,0)mM k-，为(3,0)M ±，故(3,0)M -或(3,0)．2．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到椭圆上点的最远距离为3，点(2,1)P 为椭圆外一点，不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB被直线OP 平分．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求ABP ∆面积最大值时的直线l 的方程．【解答】解：（1）由题意可知：12c e a ==，左焦点(,0)c -到椭圆上点的最远距离为3，即使3a c +=，可解得：2a =，1c =， 2223b a c =-=，∴所求椭圆C 的方程为：22143x y +=；-------------------（4分）（2）易得直线OP 的方程：12y x =，设(A A x ，)A y ，(B B x ，)B y ，0(R x ，0)y 其中0012y x =， A ，B 在椭圆上，∴2222143143A Ab B x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 3342A B A B AB A B A B y y x x k x x y y -+∴==-=--------------------+（6分）设直线AB 的方程为3:(0)2l y x m m =-+≠，代入椭圆：2214332x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得：223330x mx m -+-=，00m m >-<<≠由可得根据韦达定理可知：A B x x m +=，233A B m x x -⋅=，-----------------（8分）|||A B AB x x ∴=-=，点(2,1)P 到直线l 的距离为：d =丨=丨，11|||4|22ABPS d AB m ∆∴=⋅⋅=⋅-，------------------（10分）当1m =ABP S ∆取最大值，此时直线l的方程312y =-+-．------------------（12分）3．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P不过原点O 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．（1）求椭圆C的方程；（2）求直线l的斜率；（3）求AOB∆面积的最大值．【解答】解：（1）设椭圆的左焦点的坐标为(,0)c-，则由已知可得12ca=，且，解得2a=，1c=，所以b所以椭圆C的方程为22143x y+=；（2）设1(A x，1)y，2(B x，2)y，AB的中点为(R x，)y，则22112222143143x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差可得：12121212()()()()43x x x x y y y y-+-++=，又121200,22x x y yx y++==，且12OR OPk k==，即012yx=，所以0121203332442lxy ykx x y-==-⋅=-⨯=--，故直线l的斜率为32-；（3）由（2）设直线l的方程为32y x m=-+，则点O到直线l的距离为d==，联立方程2232143y x mx y⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y整理可得：223330x mx m-+-=，所以212123,3mx x m x x-+==，所以||AB ==所以三角形AOB 的面积为221312||)()262m m S AB d +-=⋅=⨯当且仅当2212m m =-，即m =此时三角形AOB4．已知点(0,2)A -，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点(0,2)A -的动直线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点．当OPQ ∆的面积最大时，求直线l 的方程．【解答】解：（1）设(,0)F c ，由条件知22a b c c ==⇒=．又222a b c =+，可得21b =，24a =，∴椭圆E 的方程：2214x y +=．（2）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线:2l y kx =-，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y将2y kx =-代入椭圆E 的方程：2214x y +=．得22(14)16120k x kx +-+=，当△216(43)0k =->，即234k >．1221614k x x k +=+，1221214x x k =+从而12|||PQ x x =-=又点O 到直线PQ 的距离d =．所以OPQ ∆的面积1||2OPQs d PQ ∆=⋅⋅=t =，则0t >，∴244144OPQ t S t t t∆==++．当且仅当2t =，k =等号成立，且满足△0>，所以当OPQ ∆的面积最大时，l的方程为：2y =-或2y =-． 5．已知F 为抛物线2y x =的焦点，点AB 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点）．（1）求证：直线AB 过定点；（2）求ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值．【解答】解：（1）设直线AB 的方程为：x my n =+，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由2OA OB ⋅=，可得12122x x y y +=，①，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 在抛物线上可得211x y =，222x y =，②由①②可得122y y =-或1（舍去），由2x my n y x=+⎧⎨=⎩可得20y my n --= 根据韦达定理有122y y n ⋅=-=-， ∴直线AB 过定点(2,0)；（2）点A ，B 位于x 轴的两侧，不妨设A 在x 轴的上方，则10y >，又焦点1(4F ，0)1211211111199292()23224888ABO AFOS S y y y y y y y y y ∆∆∴+=⨯⨯-+⨯=-=+⋅．当且仅当143y =，取“=”号， ABO ∴∆与AFO ∆面积之和的最小值是3，6．如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，点F 为抛物线2:C y x =的焦点，且抛物线C 上存在不同的两点A ，B ．（1）若AB 中点为M ，且满足PA ，PB 的中点均在C 上，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，6(OA OB O ⋅=为坐标原点），且ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，求124S S +最小值．【解答】解：（1）证明：设0(P x ，0)y ，21(A y ，1)y ，22(B y ，2)y ，因为直线PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程2200()22y y y y ++=的两个根，即220002220y y y y y -+-=，的两个不同的实数根，所以1202y y y +=，所以PM 垂直于y 轴．（2）根据题意可得1(4F ，0)，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则211x y =，222x y =，所以22121212126x x y y y y y y +=+=，则123y y =-或122y y =，因为A ，B 位于x 轴的两侧，所以123y y =-，设直线AB 的方程为x ty m =+，联立2x ty my x=+⎧⎨=⎩，得20y ty m --=，所以123y y m =-=-，则3m =，所以直线过定点(3,0)，所以1212111143||4||224S S y y y +=⨯⨯-+⨯⨯11211111131339()()2226222222y y y y y y y y y =⨯-+=⨯+=+⨯=，当且仅当11922y y =，即132y =时取等号，故124S S +的最小值为6．7．如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：可设(,)P m n ，21(4y A ，1)y ，22(4y B ，2)y ，AB 中点为M 的坐标为2212(8y y +，12)2y y +，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上，可得21214()422y m n y ++=⋅， 222214()422m y n y ++=⋅，化简可得1y ，2y 为关于y 的方程22280y ny m n -+-=的两根，可得122y y n +=，2128y y m n =-，可得122y y n +=，则PM 垂直于y 轴；（另解：设PA ，PB 的中点分别为E ，F ，EF 交PM 于G ，EF 为PAB ∆的中位线， //EF AB ，又M 为AB 的中点， G 为EF 的中点，设1:AB y kx b =+，2:EF y kx b =+，由24y x =，1y kx b =+，2y kx b =+，解得4M P y y k==，所以PM 垂直于y 轴）（Ⅱ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，可得2214n m +=，10m -<，22n -<<，由（Ⅰ）可得122y y n +=，2128y y m n =-，由PM 垂直于y 轴，可得PAB ∆面积为121||||2S PM y y =⋅- 22121()28y y m +=-2211[(4162)]162n m n m =⋅-+-244n m =-可令t ==可得12m =-时，t ；1m =-时，t 取得最小值2，即25t ，则3S =在25t 递增，可得S ∈，PAB ∆面积的取值范围为．8．已知椭圆22184x y +=，1F ，2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A ，B 两点．（1）若直线l 垂直于x 轴，求||AB ；（2）当190F AB ∠=︒时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F ABF MNS S=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，2(2,0)F ，当AB x ⊥轴时，则A，(2,B ，得||AB = （2）设1(A x ，1)y ，11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒， ∴2212111111(2,)(2,)40AF AF x y x y x y =+-=-+=，又A 在椭圆上，满足2211184x y +=，即22114(1)8x y =-，∴221144(1)08x x -+-=，解得10x =，即(0,2)A ．直线:2AB y x =-+，联立222184y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得8(3B ，2)3-；（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(0,)M y ，4(0,)N y ，直线:2l x my =+，则11212121||||2||2F ABSF F y y y y =-=-， 1134341||||||2F MNSFO y y y y =-=-．联立222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)440m y my ++-=．则12242m y y m +=-+，12242y y m -=+．由直线1AF 的方程：11(2)2y y x x =++，得M 纵坐标13122y y x =+；由直线1BF 的方程：22(2)2y y x x =++，得N 的纵坐标24222y y x =+．若11F ABF MNSS=，即12342||||y y y y -=-，121212341212121222228()||||||||2||2244(4)(4)y y y y y y y y y y x x my my my my --=-=-==-++++++， 12|(4)(4)|4my my ∴++=，21212|4()16|4m y y m y y +++=，代入根与系数的关系，得22244|416|422m m m m m --++=++，解得m =．∴存在直线20x +-=或20x -=满足题意．9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 且斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点，且ON 的斜率为34-．（1）求椭圆C 的离心率e 的值；（2）若24a c =，l 为过椭圆C 的右焦点2F 的任意直线，且直线l 交椭圆C 于点P ，Q ，求△1F PQ 内切圆面积的最大值．【解答】解：（1）设点A 的坐标为1(x ，1)y ，点B 的坐标为2(x ，2)y ，则线段AB 的中点为1212(,)22x x y y N ++，直线AB 的斜率为12121AB y y k x x -==-，直线ON 的斜率为12121212202ONy y y y k x x x x +-+==++-，所以，直线AB 和直线ON 的斜率之积为2212121222121212331()44AB ON y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅==⨯-=--+-，由于点A 、B 在椭圆C 上，则有22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，上述两式相减得22221212220x x y y a b --+=，化简得222122221234y y b a x x --==--，所以，2234b a =，因此，椭圆的离心率为12c e a ======；（2）由（1）知，2a c =，由于24a c =，得244c c =，由于0c >，得1c =，所以，2a =，b =所以，椭圆C 的标准方程为22143x y +=，△1F PQ 的周长为48a =，椭圆C 的右焦点为2(1,0)F ，设直线l 的方程为1x my =+，设点3(P x ，3)y 、4(Q x ，4)y ，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程并化简得22(34)690m y my ++-=， △222(6)4(34)(9)144(1)0m m m =-⨯+⨯-=+>，由韦达定理可得342634m y y m +=-+，342934y y m =-+， △1F PQ的面积为1123411||||222F PQSF F y y =⨯⨯-=⨯=，令11t =，则221m t =-，所以，12212121213(1)4313F PQt t St t t t===-+++，由于函数13y t t =+在区间[1，)+∞上单调递增，所以，当1t =时，△1F PQ 的面积取到最大值12331=+，设△1F PQ 的内切圆的半径为r ，则1142F PQa r S⨯⨯=，所以，1124F PQF PQSSr a==，当△1F PQ 的面积取到最大值时，其内切圆的半径r 取到最大值34，因此，△1F PQ 内切圆面积的最大值为239()416ππ⨯=．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F 和2F ，离心率为12，以P 在椭圆E 上，且△12PF F （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过椭圆C 右焦点2F ，交该椭圆于A 、B 两点，AB 中点为Q ，射线OQ 交椭圆于P ，记AOQ ∆的面积为1S ，BPQ ∆的面积为2S ，若213S S =，求直线l 的方程．【解答】解：（1）依题意，显然当P 在短轴端点时，△12PF F 的面积最大为122c b ⨯⨯=即bc =12c e a ==，222a b c -=，解得24a =，23b =，21c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）因为213S S =，所以11||||sin 3||||sin 22QP QB BQP QA QO AQO ∠=⨯∠，所以||3||QP QO =，所以||4||OP OQ =，当AB 斜率不存在时，21S S =，不合题意，当AB 斜率存在时，设直线方程为(1)y k x =-，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：1212121234y y y y x x x x -+⋅=--+，即34AB OP k k ⋅=-，故直线OP 的方程为：34y x k=-，联立2234143y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2221634P k x k =+，联立34(1)y xk y k x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，解得22434Q k x k =+，因为4P Q x x =224434k k =⨯+，即214k =，解得：12k =±，所以直线AB 的方程为1(1)2y x =±-．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率2e =，点P 在椭圆C 上，直线l 过1F 交椭圆于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当290F AB ∠=︒时，点A 在x 轴上方时，求点A ，B 的坐标；（3）若直线2AF 交y 轴于点M ，直线2BF 交y 轴于点N ，是否存在直线l ，使得2ABF ∆与1MNF ∆的面积满足212ABF MNF SS=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知，2c a =222a b c -=，又22421a b+=，联立方程组可解得：28a =，24b =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（2）设(,)A x y ，依题意，1(2,0)F -，2(2,0)F ，因为290F AB ∠=︒，所以1290F AF ∠=︒，即2212111111(2,)(2,)40F A F A x y x y x y =+-=-+=，又A 在椭圆上，满足2211184x y +=，即22114(1)8x y =-，∴22221111444(1)08x x y x -+=-+-=，解得10x =，即(0,2)A ，直线:2AB y x =+，联立方程组222184y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得82(,)33B --．（3）存在直线:2l x y =-或2x y =-，使得2ABF ∆与1MNF ∆的面积满足212ABF MNF SS=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(0,)M y ，4(0,)N y ，直线:2l x my =-（斜率不存在时不满足题意），则21212121||||2||2ABF SF F y y y y =-=-，1134341||||||2MNF S FO y y y y =-=-．联立方程组222184x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(2)440m y my +--=．则12242m y y m +=+，12242y y m =+．由直线2AF 的方程：11(2)(2)y y x x =--，得M 纵坐标13122y y x -=-．由直线2BF 的方程：22(2)2y y x x =--，得N 纵坐标24222y y x -=-，由212ABF MNF SS=，得1234||||y y y y -=-．所以121212341212121222228()||||||||||2244(4)(4)y y y y y y y y y y x x my my my my ------=-=-==-------，所以12|(4)(4)|8my my --=，21212|4()16|8m y y m y y -++=，代入根与系数的关系式，得22244|416|822m m m m m --+=++，解得m =．存在直线2x y =-或2x y =-满足题意． 12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，12||2F F =，椭圆离心率e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过椭圆的右焦点2F ，交椭圆于A ，B 两点，若△1AF B ，求直线l 的方程．【解答】解：（1）可得222222112c c c e a =⎧⎪⇒=⎨==⎪⎩，22a =，21b =，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=．（2）1(1,0)F ，该直线l 的方程设为1x my =+，联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩可得22(2)210m y my ++-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12222m y y m -+=+，12212y y m -=+． △1AF B的面积12121||||2S F F y y =⨯⨯-==．解得2m =±．∴直线l 的方程为210y ±-=．13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点0(P x ，0)y 是坐标平面内一点，且220074x y +=．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(0,)3S -且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，问：在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标和MAB ∆面积的最大值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，由1234PF PF =，即为0(c x --，00)(y c x --，03)4y -=，即有2220034x y c +-=，又220074x y +=，解得1c =，又c e a ==a =1b =，因此所求椭圆的方程为：2212x y +=；（2）动直线l 的方程为13y kx =-，由221322y kx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得22416(12)039k x kx +--=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12243(12)k x x k +=+，122169(12)x x k =-+，假设在y 轴上存在定点(0,)M m ，满足题设，则1(MA x =，1)y m -，2(MB x =，2)y m -，21212121212()()()MA MB x x y m y m x x y y m y y m =+--=+-++21212121111()()()3333x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121(1)()()339k x x k m x x m m =+-+++++222216(1)1421()9(12)33(12)39k k k m m m k k +=--++++++222218(1)(9615)9(21)m k m m k -++-=+，由假设得对于任意的k R ∈，0MA MB =恒成立，即22109150m mm ⎧-=⎨+-=⎩，解得1m =．因此，在y 轴上存在定点M ，使得以AB 为直径的圆恒过这个点，点M 的坐标为(0,1)这时，点M 到AB 的距离d =，||AB ，1||2MAB S AB d ∆====，设212k t +=则212t k -=得[1t ∈，)+∞，1(0t ∈，1]，16]9=，当且仅当11t =时，上式等号成立．因此，MAB ∆面积的最大值是169．14．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，△1AF B 的周长为8，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为过椭圆右焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，△1AF B 的周长为8，则由椭圆的定义可得48a =，所以2a =，又12c e a ==，所以1c =，则23b =，故椭圆的方程为22143x y +=；（Ⅱ）由（Ⅰ）值，2(1,0)F ，则可设直线AB 的方程为：1x my =+，代入椭圆方程可得：22(43)690m y my ++-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则122643m y y m -+=+，122943y y m-=+，所以||AB =2212(1)43m m +=+，原点到直线AB 的距离为d =，所以三角形AOB的面积为221112(1)||2243m S d AB m +=⋅⋅=+61=，令21t m =，所以613S t t=+，当1t 时，函数13t t +单调递增，所以当1t =时，63312max S ==+，故三角形AOB 的面积的最大值为32． 15．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上有一点0(2,)Q y 到焦点F 的距离为52．（Ⅰ）求p 及0y 的值；（Ⅱ）如图，设直线y kx b =+与抛物线交于两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且12||2y y -=，过弦AB 的中点M 作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点D ，连接AD ，BD ．试判断ABD ∆的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由．【解答】解：()I 由抛物线2:2(0)C y px p =>，可得焦点(,0)2p，抛物线上的点0(2,)Q y 到焦点F 的距离为52． ∴5222p +=，1p =． 22y x ∴=，把0(2,)Q y 代入抛物线方程，解得02y =±．()II 联立22y kx by x=+⎧⎨=⎩，得：2222(1)0(0)k x kb x b k +-+=≠，△0>，即120kb ->，1222(1)kb x x k -+=，2122b x x k =． 222221212121224(12)||||[()4]4kb y y k x x k x x x x k --=-=+-==， 212kb k ∴-=，211(,)kb M k k -，211(,)2D k k，ABD ∴∆的面积12211121||||||22222kb S MD y y k -=⋅-=⨯⨯=． 16．已知点Q 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的动点，点Q 到抛物线准线与到点1(2P -，1)的．（1）求抛物线C 的方程；（2）如图，设直线y kx b =+与抛物线C 交于两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 且12||2y y -=，过弦AB 的中点M 作垂直于y 轴的直线与抛物线C 交于点D ，求ABD ∆的面积．【解答】解：（1）点Q 到抛物线准线与到点1(2P -，1)，∴点Q 到抛物线的焦点与到点1(2P -，1)∴ 1p ∴=，∴抛物线C 的方程为22y x =；（2）联立直线y kx b =+与抛物线C 得：2222(1)0(0)k x kb x b k +-+=≠，△0>，即120kb ->，1222(1)kb x x k ++=，2122b x x k =．1212||||2y y k x x -=-==，212kb k ∴-=，21(kb M k -，1)k ，21(2D k ，1)k，ABD ∴∆的面积12211121||||||22222kb S MD y y k -=-=⨯⨯=． 17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，曲线E是抛物线24x y =在椭圆C 内的一部分，抛物线24x y =的焦点F 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．（ⅰ）求证：点M 在定直线上；（ⅱ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．【解答】解：（1）抛物线24x y =的焦点(0,1)F ，因为F 在椭圆C 上，所以1b =，又因为离心率c e a === 所以可得24a =，所以椭圆的方程为：2214x y +=；（2）()i 设2(,)4m P m ，0m >，因为24x y =，所以2xy '=，在P 点的切线的方程2()42m m y x m -=-，即224m m y x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(D x ，0)y联立2224424x y m m y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，整理可得：4223(1)404m m x m x +-+-=，由△0>，得0m <且31221m x x m +=+，4122441m x x m -=+，因此302121m x m =⨯+，将其代入224m m y x =-，得2024(1)m y m =-+，所以0012y x m =-，所以直线OD 的方程为12y x m=-，联立方程12y x m x m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得点M 的纵坐标为12-，所以点M 在定直线12y =-上；()ii 由()i 知直线l 的方程为224m m y x =-，令0x =，得24m y =-，所以2(0,)4m G -，又2(,)4m P m ，(0,1)F ，32(1m D m +，22)4(1)m m -+，所以211(4)28m mS GF m +=⋅⋅=，22222022112(2)(2)2242(1)16(1)m m m m m S PM m x m m +++=⋅⋅-=⨯⨯=++， 2212222(4)(1)(2)S m m S m ++=+，设22t m =+，则2212222(2)(1)22111912()48S t t t t S t t t t t +-+-===-++=--+，当114t =，即4t =时，12S S 取到最大值98，此时m =(*)式，所以点P的坐标为3)8． 18．已知(0,2)A -，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，F 是椭圆E 的右焦点，直线AFO 为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求直线l 的方程．【解答】解：（1）设(,0)F c ，由条件知2c =，得c又c a =所以a =，2222b a c =-=，故E 的方程22182x y +=；（2）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线:2l y kx =-，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，将2y kx =-代入2248x y +=，得22(14)1680k x kx +-+=，当△0>，可得2410k ->，即12k >或12k <-， 1221614k x x k +=+，122814x x k =+，从而||PQ=，又点O 到直线PQ 的距离d =，所以OPQ ∆的面积1||2OPQS d PQ ∆=⋅=，t =，则0t >，211422222OPQ t S t t t ∆==⋅=++，当且仅当t k =0>，所以当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为：2y x =-或2y =-．19．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其右焦点到椭圆C 外一点(2,1)P 的距离，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 的长度为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求AOB ∆面积S 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆右焦点为(,0)c，则由题意得2ca=⎨=⎪⎩得1ca=⎧⎪⎨=⎪⎩或3ca=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆方程为2212xy+=．（Ⅱ）因为线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，直线l不过原点O，则弦AB与x垂直，故可设直线AB程为y kx m=+，由2212y kx mxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y，并整理，得222(12)4220k x kmx m+++-=，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，又△2222164(12)(22)0k m k m=-+->，所以122412kmx xk+=-+，21222(1)12mx xk-=+，因为||2AB=2=，即222112(1)[()4]4k x x x x++-=，所以2222248(1)(1)[()]41212m mkk k-+--=++，即2212(1)1mk=-+，因为211k+，所以2112m <．又点O到直线AB的距离h=，因为1||2S AB h h=⋅=，所以222222112(1)2()22S h m m m==-=--+，所以212S<，即S．。

高中数学解三角形面积周长问题训练(含解析)

解三角形面积周长问题一、解答题（共16题；共155分）1.（2021高一下·湖南期末）内角，，的对边分别为，，，，.（1）证明：；（2）若，求的周长.2.（2021高一下·玉林期末）在锐角中，，，分别是角，，所对的边，且.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积.3.（2021高一下·湖南期末）已为c分别为三内角的对边，且（1）求.（2）若，的平分线，求的面积.4.（2021高一下·红桥期末）在△ABC中，内角A ，B ，C所对的边分别是a ，b ，c，若.（1）求a ，c的值；（2）求△ABC的面积5.（2021高一下·天津期末）在中，角所对的边分别为，已知（1）若，求角A的大小；（2）若，求的面积．6.（2021高一下·山西期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求角；（2）若，的面积为，求.7.（2021高一下·东丽期末）在△ABC中，acosB＝bsinA．（1）求∠B；（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．8.（2021高一下·重庆期末）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求角A的值；（2）若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长.9.（2021高一下·怀化期末）在中，角，，的对边分别为，，，，，且.（1）求的大小；（2）若，的面积为，求的周长.10.（2021高一下·潍坊期末）在中，、、分别是角、、的对边，_______________，从① ，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．（1）求角的大小；（2）若，的面积，求的周长．11.（2021高一下·红桥期末）在锐角△ABC中，内角A ，B ，C所对的边分别是a ，b ，c，且.（1）求角A的大小：（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.12.（2021高一下·吉安期末）在中，、、分别是角、、的对边，．（1）求角的大小；（2）若，的周长为，求的面积．13.（2021高一下·河北期末）在① ，② ，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若角A的角平分线，且，求面积的最小值．14.（2021高一下·海南期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若且是锐角三角形，求的面积的取值范围．15.（2021高一下·南昌期末）已知锐角的内角的所对边分别为，其中，.（Ⅰ）若，求角；（Ⅱ）求面积的最大值．16.（2021高一下·赣州期末）在中，内角，，的对边分别为，，，设为直线上一点.（1）求角的大小：（2）若，求面积的最大值.答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）由，可得，所以，所以为锐角，，所以，由正弦定理可得.（2）由（1）知，所以，设，，，则，解得，所以的周长为.（1）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式，从而求出角B的正弦值，再利用sinB>sinA,【解析】【分析】则，所以为锐角，再结合同角三角函数基本关系式求出角A的余弦值，再利用三角形内角和为180度的性质结合诱导公式，再结合两角和的正弦公式，从而求出角C的正弦值，再利用正弦定理证出。

高考数学三角形面积问题专项练习题讲解(含答案解析)

高考数学三角形面积问题专项练习题讲解（含答案解析）一、解答题1．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且124A A =,P 为椭圆上异于1A ，2A 的点，1PA 和2PA 的斜率之积为34−．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为椭圆中心，M ，N 是椭圆上异于顶点的两个动点，求OMN 面积的最大值．【答案】（1）（2）3【解析】试题分析：第（1）问首先由124A A =得到椭圆左、右顶点的坐标，再由1PA 和2PA 的斜率之积为34−求出几何量b 的值即得椭圆标准方程；第（2）问先列出OMN 的面积，需要求直线被椭圆截得的弦长，计算点到直线的距离，再讨论OMN 的面积最值．试题解析：（1）由1224A A a ==，得2a =，所以1(2,0)A −，2(2,0)A ．设00(,)P x y ，则，解得23b =．于是椭圆C 的标准方程为．（2）①当直线MN 垂直于x 轴时，设MN 的方程为x n =，由221{43x y x n+==，得(M n ，(,N n ，从而12OMNSn =⨯⨯= 当n =OMN②当直线线MN 与x 轴不垂直时，设MN 的方程为y kx m =+，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得222(34)84120k x kmx m +++−=． 2222644(34)(412)0k m k m =−+−>，化简得22430k m −+>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122834km x x k −+=+，212241234m x x k−=+，MN ==，原点O 到直线MN的距离d =，所以1122OMNSMN d =⋅=≤= 当且仅当22342k m +=时，OMNS综合①②知，OMN考点：椭圆标准方程，直线和椭圆的位置关系，三角形面积．2．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的离心率为2，过椭圆C 的左焦点和上顶点的直线与圆223:4O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)P −的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，点O '与原点O 关于直线l 对称，试求四边形OAO B '的面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）2 【分析】（1）由题得：过椭圆C 的左焦点和上顶点的直线方程为1x yc b+=−，又由该直线与圆相切得到：=，联立2c a =，解方程组即得；（2）由题得直线l 的斜率k 一定存在，可设直线:2l y kx =−，代入椭圆方程，消元化简得：()221416120k x kx +−+=，由弦长公式求得||AB =O 到直线AB 的距离d =，算出2||14OAO BS d AB k '=⋅=+四边形，最后求出四边形OAO B '的面积的最大值.【详解】（1）过椭圆C 的左焦点和上顶点的直线方程为1x yc b+=−，即0bx cy bc −+=，又该直线与圆O 相切，2bc a ==，又离心率c e a ==1b ∴=， 222213114b e a a ∴=−=−=，24a ∴=，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由点O '与原点O 关于直线l 对称，得2OAB OAO B S S '=△四边形. 当直线l 的斜率不存在时，l x ⊥轴，四边形OAO B '不存在，不合题意.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线:2l y kx =−，设()11,A x y ，()22,B x y ，将2y kx =−代入2214x y +=，得()221416120k x kx +−+=，当()216430k ∆=−>，即234k >时，1221614k x x k +=+，1221214x x k =+，从而12AB x =−== 又点O 到直线AB 的距离d =，2OABOAO B S S '∴==△四边形2||14d AB k ⋅=+，t =，则0t >，288244OAO B t S t t t'==≤++四边形，当且仅当2t =，即2k =±>0∆，∴四边形OAO B '的面积的最大值为2.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，求椭圆的面积的最值等问题，运用了弦长公式，点到直线的距离公式，属于难题；同时考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.3．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的四个顶点围成的菱形的面积为2220x y x +−=的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为12,k k ，当1234k k =−时，△MON 的面积是否为定值若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）MON S ∆【分析】(1)根据菱形的面积和焦点建立方程组，解方程组可得； (2)先求弦长和三角形的高，再求面积的表达式，求出定值. 【详解】解：（1）由题意可知，2ab =，圆2220x y x +−=的圆心为(1,0)，所以1c =，因此221a b −=，联立221ab a b ⎧=⎪⎨−=⎪⎩，解之224,3a b ==，故椭圆的方程为22143x y +=.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 可得，222(34)84120k x kmx m +++−= 则有222222644(34)(412)48(43)0k m k m k m ∆=−+−=−+>，即2243m k <+，21212228412,3434km m x x x x k k −−+==++，所以12MN x =−===点O 到直线MN的距离d =，所以1||2MON S MN d ∆== 又因为12121234y y k k x x ⋅==−，所以22222121221228()()334412434km km mk x x km x x mk k m x x k −+++++=+=−−+，化简可得22243m k =+，满足>0∆，代入MONS ∆=222m==，当直线MN 的斜率不存在时，由于1234k k =−，考虑到,OM ON 关于x轴对称，不妨设1222k k ==−，则点,M N的坐标分别为),22M N −,此时12MON S ∆=综上，MON ∆法二：设1122(2cos ),(2cos )M N θθθθ，由题意12121212123sin sin 34cos cos 4y y k k x x θθθθ⋅===−，可得12cos()0θθ−=，所以12()2k k πθθπ−=+∈Z ，而12211sin sin |2MON S θθθθ∆=⨯−12sin()|θθ=−因为122k πθθπ−=+，所以12sin(=1θθ−±），故MON S ∆=.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解和定值问题，侧重考查数学运算的核心素养.4．已知椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）过点12⎫−⎪⎭.（1）求椭圆C 的方程.（2）若A ，B 是椭圆C 上的两个动点（A ，B 两点不关于x 轴对称），O 为坐标原点，OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，问是否存在非零常数λ，使k 1k 2＝λ时，AOB 的面积S 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，14λ=−. 【分析】（1,,a b c 之间的关系即可求出椭圆的方程；（2）设AB 的直线方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB ，及O 到直线AB 的距离，由直线OA ，OB 的斜率之积的值, 得参数之间的关系，求出面积的表达式，由AOB 的面积S 为定值，可得对应比成比例，即可求出λ的值. 【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点1,2⎫−⎪⎭所以223114a b +=,c = 从而 22224a b c b =+=联立方程组 2222311,44,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解得 224,1,a b ⎧=⎨=⎩ 所以 22 1.4x y +=（2）设存在这样的常数,λ使 12,k k AOB λ=的面积S 为定值.因为A ，B 两点不关于x 轴对称，故斜率存在，设直线AB 的方程为,y kx m =+ 点()11,,A x y 点()22,,B x y 则由12k k λ=知1212y y x x λ⋅=即12120y y x x λ−= 即(1kx +()212)0m kx m x x λ+−=所以()(2121k x x km x λ−++)220x m += ①联立方程组 221,4,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()222148440.kxkmx m +++−=由韦达定理有12221228 1444 14km x x k m x x k −⎧+=⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩代入①得()()22222448k mk m m λ−−−+()2140k +=化简得()22414k m λλ−=− ②点O 到直线AB的距离d =AOB 的面积121||22m S AB d x x =⋅=⋅−=将②代入上式，再平方得()()()()22222222414(14)162(14)41k k k S k λλλλ+⋅−−−−⎛⎫= ⎪⎝⎭−+()42242264644411681(14)k k k k λλλλ−++−=⋅++−要使上式为定值, 只需26464441681λλλ−+−==即需2(41)0λ+= 从而1,4λ=− 此时21,24S ⎛⎫= ⎪⎝⎭1S = 所以存在这样的常数1,4λ=− 此时1AOBS =为定值.【点睛】本题的结论是：若A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的两个动点，O 为坐标原点，OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，若2122b k k a⋅=−，则AOB 的面积S 为定值12ab .5．已知12F F ，分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，点12P ⎛− ⎝⎭，在椭圆E 上，且抛物线24y x =的焦点是椭圆E 的一个焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点2F 作不与x 轴重合的直线l ，设l 与圆2222x y a b +=+相交于A B ，两点，且与椭圆E 相交于C D ，两点，当11·1F A F B =时，求1FCD 的面积.【答案】（1）22 1.2x y +=（2 【分析】（1）由已知结合抛物线的性质可得()110F −，、()210F ，，由椭圆性质可得122a PF PF =+，进而可求出a ，b ，即可得解；（2）设直线l 方程为1x ty =+，联立直线与圆的方程可以求出2t ，再联立直线和椭圆的方程，化简后由根与系数的关系与三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由24y x =焦点为()10F ，可得()110F −，，()210F ，，因为点1P ⎛− ⎝⎭在椭圆E 上，所以122a PF PF =+=所以a =1c =，所以2221b a c =−=，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=；（2）由已知，可设直线l 方程为1x ty =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立2213x ty x y =+⎧⎨+=⎩ 得()221220t y ty ++−=，则1221222121t y y t y y t ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=−⎪+⎩，所以()()()()1112121212·1122F A F B x x y y ty ty y y +++=+++= =()()2212122221241t t y y t y y t −++++=+，因为11·1F A F B =，所以22221t t −=+ 1，解得213t =，联立22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()222210t y ty ++−=，()2810t ∆=+>，设()33C x y ，，()44B x y ，，则3423422212t y y t y y t ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=−⎪+⎩，所以11234121122F CDSF F y y F F ⋅−===△3==. 【点睛】本题考查了抛物线性质的应用，考查了直线与椭圆的综合问题以及运算求解能力，属于中档题．6．已知F 1，F 2是椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x +y =1被椭圆截得的弦的中点坐标为3144P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，当△ABF 2面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（Ⅰ）23x +y 2=1；（Ⅱ）x ﹣y =0或x +y =0. 【分析】（Ⅰ）根据直线椭圆的过上顶点，得b =1，再利用点差法以及弦中点坐标解得a 2=3，即得椭圆方程；（Ⅱ）先设直线l 方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理，并以|F 1F 2|为底边长求△ABF 2面积函数关系式，在根据基本不等式求△ABF 2面积最大值，进而确定直线l 的方程. 【详解】（Ⅰ）直线x +y =1与y 轴的交于（0，1）点，∴b =1，设直线x +y =1与椭圆C 交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 232=，y 1+y 212=，∴221122x y a b +=1，222222x y a b+=1，两式相减可得21a（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）21b +（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=0， ∴()2121221212()y y b x x x x a y y −+=−−+，∴22b a− ⋅3212=−1，解得a 2=3，∴椭圆C 的方程为23x +y 2=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F 1（，0），F 20），设A （x 3，y 3），B （x 4，y 4），可设直线l 的方程x =my 将直线l 的方程x =my 代入23x +y 2=1，可得（m 2+3）y 2﹣﹣1=0，则y 3+y4=，y 3y 4213m −=+，|y 3﹣y 4|3m ==+∴212ABF S=|F 1F 2|⋅|y 3﹣y 4|=⋅|y 3﹣y 4|==≤=，=，即m =±1，△ABF 2面积最大，即直线l 的方程为x ﹣y =0或x +y =0. 【点睛】本题考查椭圆标准方程、点差法、基本不等式求最值以及利用韦达定理研究直线与椭圆位置关系，考查综合分析与求解能力，属中档题.7．已知点1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点，椭圆上一点P 满足1PF x ⊥轴，215PF PF =，12F F =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，当1ABF 的内切圆面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（1）2213x y +=；（2）y x =y x =−+. 【分析】（1）由1PF x ⊥轴，结合勾股定理可得2221122PF F F PF +=，从而可求出2PF =1PF =则可知a =122F F c ==21b =，即可求出椭圆的标准方程. （2）设()11,A x y ，()22,B x y，:l x ty =12y y +=，12213y y t =−+，从而可用t 表示出112122AF BF F AF F BSSS=+=()11112AF BSAF F B AB r =++⋅=，即可知r =大时，t 的值，从而可求出直线的方程.【详解】解：（1）因为1PF x ⊥轴，所以122PF F π∠=，则2221122PF F F PF +=，由215PF PF =，12F F =2PF =1PF =122F F c ==由椭圆的定义知2a ==a ∴=2221b ac =−=， ∴椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（2）要使1AF B △的内切圆的面积最大，需且仅需其1AF B △的内切圆的半径r 最大.因为()1F，)2F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，易知，直线l 的斜率不为0，设直线:l x ty =2213x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22310t y ++−=，故12y y +=，12213y y t =−+；所以11212121212AF BF F A F F BSS SF F yy =+=−===，又()1111114222AF B S AF F BAB r a r r=++⋅=⋅⋅=⋅=，故23t=+，即，122r ==≤；=，即1t =±时等号成立，此时内切圆半径取最大值为12， ∴直线l 的方程为y x =y x =−.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆内三角形周长的求解，考查了三角形的面积公式，考查了直线与椭圆的位置关系.本题的关键是用内切圆半径表示出三角形的面积.本题的难点是计算化简.8．已知椭圆()222103x y C a a +=>：的右焦点F 到左顶点的距离为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 是坐标原点，过点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上），若OE OA OB =+，延长AO 交椭圆与点G ，求四边形AGBE 的面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）92. 【分析】（1）根据椭圆方程中基本量的关系与右焦点F 到左顶点的距离，即可求出椭圆基本量，即得椭圆方程；（2）首先联立方程组，利用韦达定理表示出四边形的面积，根据面积表达式的函数单调性求出面积的最值即可. 【详解】（1）由题知23b =，3a c +=，()2222223a b c a b a =+⇒=+−，解得2a =，所以椭圆22143x y C +=：；（2）因为过点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上），设:1l x ty =+，联立()2222134690143x ty t y ty x y =+⎧⎪⇒++−=⎨+=⎪⎩，设()11,A x y ，()22,b x y ，有122122634934t y y t y y t −⎧+=⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩，因为OE OA OB =+，所以四边形AOBE 是平行四边形，所以12332AGBE AOBE OGBAOBS S SSyy =+==−，有AGBES ==，令1m =，有218181313AGBE m S m m m==++，当m 1≥时1813m m+单调递减，所以当1m =时面积取最大值，最大值为max 189312S ==+. 【点睛】本题主要考查了椭圆方程基本量的求解，椭圆中三角形的面积计算，属于一般题.9．已知P 是圆221:(1)16F x y ++=上任意一点，F 2(1,0)，线段PF 2的垂直平分线与半径PF 1交于点Q ，当点P 在圆F 1上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点()M 的直线l 与（1）中曲线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=.（2）AOBl的方程为x y =−【分析】（1）根据垂直平分线的性质，利用椭圆定义法可求得曲线C 的方程；（2）设直线l 的方程为x =ty 22143x y +=交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程消去x ，利用韦达定理结合三角形的面积，利用换元法以及基本不等式求解最值，然后推出直线方程. 【详解】（1）由已知|QF 1|+|QF 2|=|QF 1|+|QP |=|PF 1|=4，所以点Q 的轨迹为以为1F ，2F 焦点，长轴长为4的椭圆，则2a =4且2c =2，所以a =2，c =1，则b 2=3，所以曲线C 的方程为22143x y +=；（2）设直线l 的方程为x =ty 22143x y +=交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程消去x ，得(3t 2+4)y 2﹣﹣3=0，则y 1+y2=，y 1y 22334t =−+，则S △AOB 12=|OM |•|y 1﹣y 2|2=2=•=u =，则u ≥1，上式可化为26633u u u u=≤=++，当且仅当u =t时等号成立，因此△AOBl 的方程为xy 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系以及基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA OB OD +=，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）根据椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为)，结合离心率即可求得椭圆方程；（Ⅱ）分类讨论：当直线l 的斜率不存在时，四边形OADB；当直线l 的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由,OA OB OD += 得2242,1212D Dkm mx y k k −==++ ，代入曲线C ，整理出k ，m 的等量关系式，再根据OADB S AB d = 写出面积的表达式整理即可得到定值．【详解】(Ⅰ)由222222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,a b c ===得椭圆C 的方程为22142x y +=.（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =−或1x =，此时四边形OADB当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，联立椭圆方程22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ()222124240k x kmx m ⇒+++−= ()228420k m ∆=+−>，2121222424,1212km m x x x x k k−−+==++ ()121222212m y y k x x m k+=++=+AB =点O 到直线AB的距离是d =由,OA OB OD +=得2242,1212D Dkm mx y k k −==++ 因为点D 在曲线C 上，所以有2222421212142km m k k −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=整理得22122k m +=由题意四边形OADB 为平行四边形，所以四边形OADB 的面积为OADBS AB d ===由22122k m +=得OADB S =故四边形OADB 【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线距离公式、面积计算公式、向量数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．11．已知圆M ：(2264x y++=及定点()N ，点A 是圆M 上的动点，点B 在NA 上，点G 在MA 上，且满足2NA NB =，0GB NA ⋅=，点G 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设斜率为k 的动直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，与直线12y x =和12y x =−分别交于P 、Q 两点.当12k >时，求OPQ ∆（O 为坐标原点）面积的取值范围. 【答案】（1）221164x y +=；（2）()8,+∞. 【分析】（1）根据题意得到GB 是线段AN 的中垂线，从而GM GN +为定值，根据椭圆定义可知点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，即可求出曲线C 的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，表示处OPQ ∆的面积代入韦达定理化简即可求范围. 【详解】（1）20NA NB B GB NA ⎧=⇒⎨⋅=⎩为AN 的中点，且GB AN GB ⊥⇒是线段AN 的中垂线，AG GN ∴=，又8GM GN GM GA AM MN+=+==>=，∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，设椭圆方程为22221x y a b+=（0a b >>），则4a =，c =，2b ∴==，所以曲线C 的方程为221164x y +=.（2）设直线l ：y kx m =+（12k ≠±），由22416y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得()2221484160k x kmx m +++−=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()2222644144160km k m ∆=−+−=，22164m k =+.①又由20y kx m x y =+⎧⎨−=⎩可得2,1212m m P k k ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭；同理可得2,1212mm Q k k −⎛⎫ ⎪++⎝⎭. 由原点O 到直线PQ的距离为d =P Q PQ x =−，可得22111222222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k∆=⋅=−=⋅+=−+−.② 将①代入②得222224181441OPQm k S k k ∆+==−−，当214k >时，22241288184141OPQ k S k k ∆⎛⎫+⎛⎫==+> ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭，综上，OPQ ∆面积的取值范围是()8,+∞. 【点睛】此题考查了轨迹和直线与曲线相交问题，轨迹通过已知条件找到几何关系从而判断轨迹，直线与曲线相交一般联立设而不求韦达定理进行求解即可，属于一般性题目.12．已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆C 上一点，以PF 1为直径的圆E ：x2292y ⎛+= ⎝⎭过点F 2．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 且斜率大于0的直线l 1与C 的另一个交点为A ，与直线x ＝4的交点为B ，过点（3）且与l 1垂直的直线l 2与直线x ＝4交于点D ，求△ABD 面积的最小值．【答案】（1）22184x y +=；（2）．【分析】（1）根据题意求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l 1的方程，代入涂鸦方程，利用韦达定理求得A 的横坐标，求得直线l 2方程，求得D 点坐标，利用三角形的面积公式及基本不等式即可求得△ABD 面积的最小值．【详解】（1）在圆E 的方程中，令y ＝0，得到：x 2＝4，所以F 1（﹣2，0），F 2（2，0），又因为212OE F P =，所以P 点坐标为(2，所以122a PF PF =+=，则a =b ＝2，因此椭圆的方程为22184x y +=；（2）设直线l 1：y =k （x ﹣2）（k ＞0），所以点B 的坐标为()42k ，设A （x A ，y A ），D （x D ，y D ），将直线l 1代入椭圆方程得：（1+2k 2）x 2+（﹣8k 2）x +8k 2﹣k ﹣4＝0，所以x P x A 228412k k−−=+，所以x A 224212k k −−=+，直线l 2的方程为y 1k =−（x ﹣3），所以点D 坐标为14k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以S △ABD 12=（4﹣x A ）|y B ﹣y D |12=•224621k k +++•12k k +＝2k 3k++≥2，当且仅当2k 3k =，即k =时取等号，综上，△ABD 面积的最小值．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB的面积为7，求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=，223x y +=；（2）y =+ 【详解】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a ,b ，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为()12,F F ，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪−=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎨=⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于()0000,(0,0)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为()0000x y x x y y =−−+，即0003x y x y y =−+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=−+⎪⎩，消去y ，得()222200004243640x y x x x y +−+−=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()()()22222200000024443644820x x y y y x ∆=−−+−=−=．因为00,0x y >，所以001x y ==．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB，所以12AB OP ⋅=，从而7AB =．设()()1122,,,A x y B x y ，由（*）得1,20024x x y =+ 所以()()2221212AB x x y y =−+−()()222000222200048214y x x y x y −⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭+．因为22003x y +=，所以()()20222016232491x AB x −==+，即42002451000x x −+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．综上，直线l的方程为y =+点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.14．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率一次为k1、k2，满足4k=k1+k2．（i）当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由；（ii）求△OPQ面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）+y2=1．（Ⅱ）（i）当k变化时，m2是定值．（ii）S△OPQ∈（0，1）．【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设条件，设c=k，a=2k，则b=k，利用待定系数法能求出椭圆方程．（Ⅱ）（i）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、斜率性质，结合已知条件推导出当k变化时，m2是定值．（ii）利用椭圆弦长公式，结合已知条件能求出△OPQ面积的取值范围．解：（Ⅰ）由题设条件，设c=k，a=2k，则b=k，∴椭圆方程为+=1，把点（，）代入，得k2=1，∴椭圆方程为+y2=1．（Ⅱ）（i）当k变化时，m2是定值．证明如下：由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，∴4k=k1+k2==，∴2kx1x2=m（x1+x2），由此解得m2=，验证△＞0成立．∴当k变化时，m2是定值．（ii）S△OPQ=|x1﹣x2|•|m|=，令=t＞1，得S△OPQ==＜1，∴△OPQ面积的取值范围S△OPQ∈（0，1）．考点：椭圆的简单性质．。

(完整版)必修5-解三角形单元测试题---(含答案)(20210206030015)

32 专题：正弦定理、余弦定理的应用正弦定理、余弦定理应用的常见题型： ⑴ 已知两角与一边，解三角形，有一解。

⑵ 已知两边及其中一边的对角，解三角形，可能有两解、一解或无解（如右图）。

⑶ 已知三边，解三角形，有一解。

⑷ 已知两边及夹角，解三角形，有一解。

|1.在厶 ABC 中，已知 A=30°, B=45°, a=1，贝U b=() A. .22..3B.3C.D.222.在厶ABC 中，已知 C= - , b=4, ABC 的面积为2・._3，则 3 c=() A. ,7 B.2 、.2C.2、、3D.273.已知在△ ABC 中，sinA : sinB : sinC=3 : 5 :7,那么这个三角形的最大角是（）A.90 °B.120°C.135°D.150o4.已知在△ABC中， a 、b 、c 分别是角A 、B 、 C 的对边，如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 那么 A=( A.30 °B.60°C.120°D.150o)5.在厶ABC 中，角 A ， B 的对边分别为B.6.在厶 ABC 中, 3 5a=、2 , b= . 3 , C.4 aa 、b 且A=2B sinB= ，则旦的值是（5 b85D. nA.— 6B. C. 7. △ ABC 的内角 A 、 A.1B.2C.8.在厶ABC 中，内角 2 A. 2B. 9.在厶ABC 中，角 1 A. 一B.3nB=—, 3 则A 等于（D.C 的对边分别是 a 、 b 、c ，右 B=2A, a=1, b= 3，则 c=（ D.1B C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若 bsinA- 3 acosB=0,且 b =ac ,贝UC.2D. 4A 、B 、C 所对应的边分别为 a 、b 、 nc , sinC+sin(A-B)=3sin2B.若 C=—, 则-=() bC.D.3310. 在厶ABC中，如果a+c=2b, B=30°,^ ABC的面积为？，那么b等于( )21+ 3 2+ 3A. B. 1+ 3 C. D. 2+ 32 211. 已知△ ABC的内角A、B C所对的边分别是a、b、c,且a= 5，b=3，c=2 . 2，则角A= .112. 在厶ABC中，内角A、B C所对的边分别是a、b、c已知b-c= —a，2sinB=3sinC，贝U cosA的值为____________413. 在厶ABC中，a、b、c 分别是角A B C 的对边，若a2-c 2=2b，且sinB=6cosA?sinC，贝U b= .2 2 214. 已知△ ABC的内角A、B C所对的边分别为a、b、c,若c <a +b +2abcos2C，贝U C的取值范围为15. 设_圧「的内角:-所对的边分别为.,且“一- • .■' o9(1)求的值；⑵求：i' I：的值;16. 在_把匚中，角1.「厂所对的边分别为..'「，且，「」’I： : ■ I -(1)求广.的值；(2)若』—［：,〉；-［,求二角形ABC的面积.B17. —•工二的内角的对边分别为“二…，已知二1一1三一」-二二.(I)求I：：：)J Ji ;(n)若n = f，二一上二的面积为】，求二.18. △三二中，角丄］打一所对的边分别为，: 'TI ■ (1)求r-;sin jd + sin.fi cos J4-HCOS⑵若△一匸1:-的面积-- ■：I ,求二匚参考答案1. 答案为：A；2. 答案为：C;3. 答案为：B;4. 答案为：B;5. 答案为：A;6. 答案为：B;7. 答案为：B;8. 答案为：C;9. 答案为：C;10. 答案为：B;11. 答案为：45 ° ;12. 答案为：-0.25 ;13. 答案为：3;n14. 答案为：(0,—);315. 解：⑴由込T希玄定理得，,+亠4諾口又十=6,解得—=3字与正弦走理得"上容十g所以sin （上一百）二sin ^cos B -cos 日sin 疗二耳*16. 解:(1)由已知及正弦罡理可得min厘亡凶C* +血Ccos^4 = 2 sin B亡心営丄由两角和的正菠公式得地〔丿十2沏Bees A由三角形的內角和可得血启二2血占匚oM因为sin 0,所^COSJ4=-2(2)由余弦定理得：弓6 =护斗J — 2尿x占=0 + u)" —3bc= 64—3b^ t\ be =£J由⑴知I+所以"《争字半17. 解:(1> 因为sin(^ + C) = sin(7T-^) = sin-5,siii3— = -~~ 』所sin.fi = 4(1- cos B).又因为或f?爲4"/F =1,所^16(1-002 5)2 + 00£25=1,展幵，得17COS3F-32COS5+15-04解得cosi = l 皓去》或co S5 = ^|<2> 由cos 5 = —j 得sin £ = J1- 匚;『E 故=—flesinS = —acY117 2 17又％= 则处=耳.由余弓玄定理51空+广=6」17 32得方2 二疋十百2 一2accos£= (a +c)2 - 2血(1 十ex 召)二36- 2x —x—二 4 ,所以占=2.18. 解:<、!—.. 严sin jl + sin 5 nri sin C sin + sin B(1)因为tanC =----------- ,即------ - ------------ ,cos J4+COS^匚os(7 cos」十cos 卫所以sinCcosj4 + sin Ceos B■= cosCsin^4+ cos C7sin 5』即sin Ceos J-cosCsin J!=COS C sin sin Ceos 5 j 得sin(C- ZJ = sin(3 - C). 所V.C-A = ^-C S或U-人=咒一(8-6(不成立).即2C = A^3t ^C = -7所以，占 +山=2" 3又因环H1 迢一QkwU 二，JDJ£-Z = y2 6 ⑵= —<se sin =亲七 -3+ 远?2 LI 冶去用上討5JTV2。

新北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．在ABC 中，内角A ､B ､C 所对的边分别是a ､b ､c ，已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，ABC 的面积为3154，则a =（） A ．2B ．3C ．4D ．52．在ABC ∆中，若sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos 20B C +=，4a =，则ABC ∆的面积为（）A ．243+B ．43+C ．623+D ．843+3．如图，四边形ABCD 中，CE 平分ACD ∠，23AE CE ==，3DE =，若ABC ACD ∠=∠，则四边形ABCD 周长的最大值（）A ．24B ．1233+C ．183D ．(3534．2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（） A ．50米B ．57米C ．64米D ．70米5．设,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（） A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直6．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若1,3a b ==B 是,A C 的等差中项，则角C =（） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=，1b =，则223a c -的最小值为（）A ．4-B ．23-C ．2-D ．3-8．已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()2c a a b =+，则2cos cos()AC A -的取值范围是（）A ．2,1⎛⎫⎪⎪⎝⎭B ．13,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭ C ．23,⎛⎫⎪⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭9．在△ABC 中，a 2tanB =b 2tanA ，则△ABC 是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形10．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m11．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（）A ．43-B ．34-C ．34D ．4312．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 成等差数列，且直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长，则△ABC 的面积的最大值为（） A ．33B ．332C ．32D 3二、填空题13．已知60A =︒，ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，133sin sin 14B C +=，则bc 的值为______. 14．如图，点A 是半径为1的半圆O 的直径延长线上的一点，3OA =B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边ABC ，则四边形OACB 的面积的最大值为___________.15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则满足10a =，18b =，30A =︒的三角形解的个数是______.16．在ABC 中，2AB =，30C ︒=，则AB BC 的取值范围是________. 17．在锐角ABC ∆中，2AC =，22AB =D 在BC 边上，并且2BD DC =，6π∠=CAD ，则ABC ∆的面积为__________．18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足22()a b c S --=，b ＋c ＝2，则S 的最大值是________19．在ABC 中，2AB =，4AC =．BC 边上的中线2AD =，则=ABC S △_____． 20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2b =，2a c =，则当角C 取最大值时，△ABC 的面积为__________．三、解答题21．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1||2AB AC AC ⋅=，且1c =. 在①cos cos 2a C c A +=；② sin 3cos b C c B c =；③ sin 2sin a B c A =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题. （1）求角A ；（2）若___________，角B 的平分线交AC 于点D ，求BD 的长. (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)22．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A 为锐角，22sin cos 2c a B C ab--=. （1）求A ；（2）若34b c =，且BC 边上的高为23ABC 的面积. 23．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知222sin sin sin sin sin B A C A C --=．（1）求B ；（2）若3b =，当ABC 的周长最大时，求它的面积． 24．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos cos cos aA b C c B=+.（1）求角A 的大小；（2）若a =11b c+的取值范围. 25．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知1b =，面积28sin aS A=，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.（1）6B π=;（2）B C =.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.26．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，222sin sin sin sin sin A C B A C +=+.（1）求角B 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，b =2a c -的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】首先利用正弦定理表示为23b c =，再结合余弦定理求cos A 和sin A ，并利用1sin 2ABCS bc A ==求a的值. 【详解】2sin 3sin B C =，由正弦定理可知23b c =， 14b c a -=，可得13,24c a b a ==，∴2221cos 24b c a A bc +-==-，sin A ==，1131sin 2242ABCSbc A a a ==⨯⨯=，解得：4a =. 故选：C 2．C解析：C 【分析】在ABC ∆中，()sin sin B A C +=，化简sin (sin cos )sin 0A B B C +-=可得4A π=，又sin cos 20B C +=和34B C π+=，解得3B π=，512C π=，最后通过正弦定理求出1)c =，再根据三角形面积公式得到面积.【详解】由sin (sin cos )sin 0A B B C +-=得：sin sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos sin 0A B A B A B A B A B A B ⋅+⋅-⋅-⋅=⋅-⋅=，∴sin cos A A =，又0()A π∈，，则4A π=，则34B C π+=，又3sin cos 2sin 22B C C π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，则3222B C k ππ=-+或222B C k ππ=-+，(0)B C π∈、，，则322B C π+=或22C B π-=，又34B C π+=，则取22C B π-=，得3B π=，512C π=，又4a =，根据正弦定理，sin 1)sin a Cc A ⋅==，∴1sin 62ABC S ac B ∆=⋅=+ 故选C. 【点睛】思路点睛：在三角形中，由于A B C π++=,根据诱导公式，()sin sin A B C +=，()sin sin A C B +=,()sin sin C B A +=，()cos cos A B C +=-,()cos cos A C B +=-,()cos cos C B A +=-等，以上常见结论需要非常熟练. 3．D解析：D 【分析】ACD △和CDE △中，结合正弦定理可求得6ACE DCE π∠=∠=，这样可得,DC AC ，在ABC 中，由余弦定理得2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅，应用基本不等式可得AB BC +的最大值，从而可得四边形ABCD 周长的最大值．【详解】设ABC ACD ∠=∠2θ=，(0,)2πθ∈，∵CE 平分ACD ∠，∴DCE ACE θ∠=∠=，又AE CE =，∴EAC ACE θ∠=∠=，AE CE ==DE =AD =ACD △中，由正弦定理得sin sin CD AD DAC ACD =∠∠，则CD ==， CDE △中，2DEC EAC ECA θ∠=∠+∠=，由正弦定理得sin sin CD DE CED DCE =∠∠，则CD θ==，∴θ=，解得cos θ=，6πθ=，∴3CD ==，ACD △中，由角平分线定理得AC AE CD DE ==236AC =⨯=． ABC 中，23ABC πθ∠==，由余弦定理得2222cos 3AC AB BC AB BC π=+-⋅，即2222223136()3()()()44AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC =+-⋅=+-⋅≥+-+=+，当且仅当AB BC =时等号成立，12AB BC +≤，此时ABC 为等边三角形．∴AB BC CD DA +++的最大值为12315++=+ 故选：D ．【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，在平面图形中充分利用平面几何的知识可减少计算量．本题解题关键是求出6ACE π∠=．4．D解析：D 【分析】画出图形，在ABC 中，利用余弦定理，即可求解AC 的长，得到答案. 【详解】由题意，设李华家为A ，有害垃圾点为B ，可回收垃圾点为C ，则李华的行走路线，如图所示，在ABC 中，因为80,30,60AB BC B ===，由余弦定理可得：70AC ===米，即李华回到自家楼下至少还需走70米. 故选：D .【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，以及余弦定理的应用，其中解答中作出示意图，结合余弦定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.5．C解析：C 【解析】,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin Aa-， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin bB， ∵sin sin A ba B-=﹣1，∴两条直线垂直．故选C ．6．A解析：A 【详解】由题设可得060B =311sin sin 2A A =⇒=，则030A =或0150A =，但a b AB <⇔<，应选答案A ．7．A解析：A 【分析】由222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=，利用正弦定理和余弦定理，可得6B π=，再根据正弦定理、三角形内角和及两角和的余弦公式，得到223a c -4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，借助角C 的范围，即可求得结果. 【详解】222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=，∴2223a c b ac +-=，∴2222a c b ac +-=∴cos 2B =，又0B π<<，∴6B π=，12sin sin sin sin 6b A C B ac π====， ∴2sin a A =，2sin c C =，∴24sin a A C -=-4sin()B C C =+-4sin()6C C π=+-14cos 22C C C ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭2cos C C =-14cos 2C C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为506C π<<，所以7336C πππ<+<，所以当3C ππ+=时，2a -取得最小值，且最小值为4-. 故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用、三角形内角和的应用、两角和的余弦公式及余弦型函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.8．C解析：C 【分析】由余弦定理和正弦定理进行边化角，结合诱导公式和两角和与差的正弦公式可得2C A =，由锐角三角形得出A 角范围，再代入化简求值式，利用余弦函数性质可得结论．【详解】∵2()c a a b =+，∴22222cos c a ab a b ab C =+=+-，∴(12cos )b a C =+，由正弦定理得sin sin (12cos )B A C =+，∴sin()sin (12cos )sin cos cos sin A C A C A C A C +=+=+，整理得sin sin cos cos sin sin()A C A C A C A =-=-，∵,A C 是三角形的内角，∴A C A =-，即2C A =，又三角形是锐角三角形，∴2222A A A πππ⎧<⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩，解得64A ππ<<，由2C A =得22cos cos cos cos()cos A A A C A A ==∈-⎝⎭．故选：C ．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的边角转换，考查两角与差的正弦公式，余弦函数的性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．9．D解析：D 【分析】根据正弦定理22tan ta in n s sin B B A A =⋅⋅，化简得到sin 2sin 2A B =，得到答案. 【详解】22tan tan a B b A =，故22tan ta in n s sin B B A A =⋅⋅，即sin 2sin 2A B =.故22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=.故选：D . 【点睛】本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力.10．D解析：D 【分析】由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBDsin 45BC302sin 45203BC3tan 3020320AB BC故选D 【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．11．A解析：A 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan2C，从而求得tan C ．【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=，即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan2CC C ⨯===---，故选：A ．【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．12．B解析：B 【分析】由三角形内角和公式以及等差数列的性质可得3B π=，根据直线过圆心可得2312a c +=，根据基本不等式可得6ac ≤，最后由三角形面积公式得结果.【详解】在△ABC 中，A +B +C ＝π，∵角A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A +C ， ∴2B ＝π﹣B ，∴B 3π=．∵直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长， ∴圆心（2，3）在直线ax +cy ＝12上，则2a +3c ＝12， ∵a ＞0，c ＞0，∴12＝2a +3c ≥ac ≤6．当且仅当2a ＝3c ，即a ＝3，c ＝2时取等号．∴11sin 62222ABCSac B =≤⨯⨯=， ∴△ABC故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题.二、填空题13．40【分析】首先根据正弦定理求并表示最后根据余弦定理求的值【详解】根据正弦定理可知根据余弦定理可知得解得：故答案为：40【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更适合或解析：40 【分析】首先根据正弦定理求2R ，并表示sin sin 22b c B C R R+=+，最后根据余弦定理求bc 的值. 【详解】22sin a R R A =⇒==，根据正弦定理可知1322b c b c R R +=⇒+=，根据余弦定理可知()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，得249133bc =-，解得：40bc =. 故答案为：40 【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．14．【分析】设表示出的面积及的面积进而表示出四边形的面积并化简所得面积的解析式为正弦函数形式再根据三角函数的有界性进行求解【详解】四边形的面积的面积的面积设则的面积的面积四边形的面积故当即时四边形的面积解析：【分析】设AOB θ∠=，表示出ABC 的面积及OAB 的面积，进而表示出四边形OACB 的面积，并化简所得面积的解析式为正弦函数形式，再根据三角函数的有界性进行求解．【详解】四边形OACB 的面积OAB =△的面积ABC +△的面积，设AOB θ∠=，2222cos 31214AB OA OB OA OB θθθ∴=+-⋅⋅=+-⨯=-则ABC 的面积213sin 60cos 22AB AC AB θ=⋅⋅︒==OAB 的面积11sin 122OA OB θθθ=⋅⋅=⨯=，四边形OACB 的面积3cos 2θθ=+13(sin )60)2θθθ==-︒，故当6090θ-︒=︒，即150θ=︒时，四边形OACB =故答案为：【点睛】方法点睛：应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60︒︒︒等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15．2【分析】直接利用正弦定理得到答案【详解】根据正弦定理得到：故故满足条件的三角形共有个故答案为：【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题意在考查学生的应用能力解析：2 【分析】直接利用正弦定理得到答案. 【详解】根据正弦定理得到：sin sin a b A B=，故9sin 10B =，91sin sin 10B A >=>. 故满足条件的三角形共有2个. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题，意在考查学生的应用能力.16．【分析】首先根据正弦定理得化简得到再求其范围即可【详解】由正弦定理得：所以所以因为所以即故的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的应用同时考查三角函数的值域问题属于中档题解析：[6,2]-【分析】首先根据正弦定理得4sin =BC A ，化简得到()4sin 2302⋅=+-AB BC A ，再求其范围即可. 【详解】由正弦定理得：4sin sin ==AB BCC A，所以4sin =BC A . 所以()cos 1808sin cos ⋅=⋅-=-AB BC AB BC B A B()()8sin cos 180308sin cos 30⎡⎤=--+=+⎣⎦AA A A 218sin sin cos 4sin 22⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭A A A A A A ()()221cos 24sin 2302=--=+-A A A因为0150<<A ，所以3030330<2+<A ，即()1sin 2301-≤+≤A ，()64sin 23022-≤+-≤A .故AB BC 的取值范围是[6,2]-. 故答案为：[6,2]- 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，同时考查三角函数的值域问题，属于中档题.17．【分析】在中由正弦定理可得到在中由正弦定理可得到由是锐角可知结合三角形的面积公式可得到答案【详解】在中由正弦定理得：则在中由正弦定理得：则因为所以由于三角形是锐角三角形故则故的面积为【点睛】本题考查 1【分析】在ADC ∆中，由正弦定理sin sin DC AC CAD ADC =∠∠，可得到1sin ADC DC∠=，在ADB ∆中，由正弦定理sin sin DB ABBAD ADB=∠∠，可得到12sin sin 2DCDB ADBDC BAD AB ∠∠===，由BAD ∠是锐角，可知4BAD π∠=，46BAC ππ∠=+，结合三角形的面积公式可得到答案．【详解】在ADC ∆中，由正弦定理得：sin sin DC ACCAD ADC=∠∠，则11sin 2sin6ADC DC DCπ∠=⨯⨯=，在ADB ∆中，由正弦定理得：sin sin DB AB BAD ADB =∠∠，则sin sin DB ADBBAD AB ∠∠=，因为1sin sin ADB ADC DC∠=∠=，2BD DC =，所以122sin 22DCDC BAD ∠==，由于三角形是锐角三角形，故4BAD π∠=，则26sin sin 46BAC ππ+⎛⎫∠=+=⎪⎝⎭，故ABC ∆的面积为126222312+⨯⨯⨯=+.【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题．18．【分析】结合余弦定理同角三角函数的基本关系式和基本不等式先求得然后求得的最大值【详解】由余弦定理得依题意所以由于是三角形的内角所以所以由解得所以当且仅当时等号成立所以的最大值为故答案为：【点睛】本小解析：417【分析】结合余弦定理、同角三角函数的基本关系式和基本不等式，先求得sin A ，然后求得S 的最大值. 【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，依题意221()sin 2a b c S bc A --==，2b c +=， ()()222212cos 221cos sin sin 41cos 2b c bc A b c bc bc A bc A A A +---+=-=⇒=-，所以1cos 1sin 4A A =-，221sin 1sin 14A A ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,2171sin sin 0162A A -=，由于A 是三角形ABC 的内角，所以sin 0A >，所以由2171sin sin 0162A A -=解得8sin 17A =.所以21444sin 21717217b c S bc A bc +⎛⎫==≤⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当1b c ==时等号成立，所以S 的最大值为417. 故答案为：417【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值，属于中档题.19．【分析】中分别用余弦定理表示再利用解边长再根据余弦定理求角最后根据三角形面积公式求解【详解】设中中解得：中故答案为：【点睛】本题考查解三角形重点考查数形结合分析问题计算能力属于基础题型解析：15【分析】ABD △，ADC 中，分别用余弦定理表示cos ADB ∠，cos ADC ∠，再利用cos cos 0ADB ADC ∠+∠=解边长BC ，再根据余弦定理求角BAC ∠，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】设BD DC x ==，ABD △中，22222cos 224x xADB x +-∠==⋅⋅，ADC 中，22222412cos 224x x ADC x x+--∠==⋅⋅ 180ADB ADC ∠+∠=，cos cos 0ADB ADC ∴∠+∠=,212044x x x -∴+=，解得：6x =26BC ∴=， ABC 中，(22224261cos 2244BAC +-∠==-⨯⨯,sin BAC ∴∠==1242ABCS∴=⨯⨯=【点睛】本题考查解三角形，重点考查数形结合分析问题，计算能力，属于基础题型.20．【分析】由余弦定理可得再利用基本不等式的性质可得的最大值再利用三角形面积计算公式即可得出【详解】解：在中由余弦定理可得：时取等号此时当取最大值时的面积故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理基本不等式的【分析】由余弦定理可得cos C ，再利用基本不等式的性质可得C 的最大值，再利用三角形面积计算公式即可得出．【详解】解：2b =，2a c =，∴在ABC ∆中，由余弦定理可得：22222441311cos ()22222242a b c c c c C ab c c +-+-===+⨯⨯⨯，(0,)C π∈，3c =时取等号．此时，3a =， 06Cπ∴<，∴当C 取最大值6π时，ABC 的面积11222S =⨯=．【点睛】本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）3A π=；（2 【分析】（1）由1||2AB AC AC ⋅=，得到1cos 2AB A =，进而求得1cos 2A =，即可求解；（2）分别选①②③，结合正弦定理和余弦定理，求得2B π=，得到4ABD π∠=，进而得到sin ADB ∠的值，在ABD △中结合正弦定理，即可求解. 【详解】（1）由1||2AB AC AC ⋅=，可得1cos ||2AB AC A AC ⋅=，所以1cos 2AB A =，又由1c =，所以1cos 2A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=. （2）若选①：因为cos cos 2a C c A +=，由余弦定理可得222222222a b c b c a a c ab bc+-+-⋅+⋅=，整理得220b b，解得2b =，又由余弦定理可得2222212cos 2122132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，即a = 因为222a c b +=，所以2B π=，又因为角B 的平分线交AC 于点D ，可得4ABD π∠=，所以5()3412ADB ππππ∠=-+=，则sin sin[()]sin cos cos sin 343434ADB πππππππ∠=-+=+=，在ABD △中，由正弦定理可得sin sin ABBD A ADB=⋅==∠. 若选②：由sin cos bC B c =，根据正弦定理可得sin sin cos sin B C C B C =，因为(0,)Cπ∈，可得sin 0C >，所以sin1B B =，可得sin 2sin()13B B B π-=-=，即1sin()32B π-=，因为2333B πππ-<-<，所以36B ππ-=，可得2B π=又因为角B 的平分线交AC 于点D ，可得4ABD π∠=，所以5()3412ADB ππππ∠=-+=，则sin sin[()]sin cos cos sin 343434ADB πππππππ∠=-+=+=，在ABD △中，由正弦定理可得sin sin ABBD A ADB=⋅==∠. 若选③：由sin 2sin a B c A =，根据正弦定理可得sin sin 2sin sin A B C A =，因为(0,)C π∈，可得sin 0C >，可得sin 2sin B C =，又由()()3C A B B πππ=-+=-+，可得sin 2sin 2sin()sin 3B C B B B π==+=+，所以cos 0B =，因为(0,)B π∈，所以2B π=.又因为角B 的平分线交AC 于点D ，可得4ABD π∠=，所以5()3412ADB ππππ∠=-+=，则sin sin[()]sin cos cos sin 343434ADB πππππππ∠=-+=+=，在ABD △中，由正弦定理可得sin sin ABBD A ADB=⋅==∠. 【点睛】方法点睛：对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用. 22．（1）6π；（2）【分析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得A ；（2）由余弦定理用c 表示a ，然后把三角形的面积用两种方法表示求得c ，从而可计算出面积．【详解】（1）由22sin cos 2c a B C ab--=得222sin 2cos ab B ab C c a -=-，由余弦定理得222222sin ab B c a b c a +--=-，所以2sin a B b =，由正弦定理得2sin sin sin A B B =，B 是三角形内角，sin 0B ≠，所以1sin 2A =，又A 为锐角，所以6A π=．（2）由（1）2222232cos 2cos 166a b c bc A c c c π=+-=+-⋅⋅2716c =，4a =，所以11sin 22ABC S bc A a ==⨯△2111222⨯=⨯c =b == 111sin 222ABC S bc A ===△【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键．三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解．这是一种解题技巧．23．（1）23B π=；（2）ABC S =△. 【分析】（1）利用正弦定理角化边，整理求得cos B ，由B 的范围可得结果；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得当3a c ==时周长最大，由三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：222b ac ac --=，2221cos 22a cb B ac +-∴==-，()0,B π∈，23B π∴=；（2）由余弦定理得：()()222222cos 29b a c ac B a c ac ac a c ac =+-=+-+=+-=，()2292a c ac a c +⎛⎫∴=+-≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a c =时取等号），6a c ∴+≤，∴当3a c ==时，ABC 取得最大值，此时19sin 22ABCSac B ===. 【点睛】方法点睛：求解与边长相关的最值或取值范围类问题通常有两种方法：①利用正弦定理边化角，将所求式子转化为与三角函数值域有关的问题的求解，利用三角恒等变换和三角函数的知识来进行求解；②利用余弦定理构造方程，结合基本不等式求得基本范围；应用此方法时，需注意基本不等式等号成立的条件. 24．（1）3A π=；（2）⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 【分析】（1）利用正弦定理边化角可化简已知关系式求得cos A ，结合A 的范围可求得结果；（2）解法一：利用正弦定理边化角可整理得到1161sin 262B b c B ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=⎛⎫-+⎪⎝⎭，利用B 的范围可求得sin 6B π⎛⎫+⎪⎝⎭的范围，代入整理可求得结果；解法二：利用余弦定理和基本不等式可求得3bc ≤，整理得到11b c +=合二次函数的性质可求得所求的范围. 【详解】（1）由正弦定理得：()sin sin 2cos sin cos sin cos sin A AA B C C B B C ==++. B C A π+=-，()sin sin B C A ∴+=，2cos 1A ∴=，即1cos 2A =， ()0,A π∈，3A π∴=.（2）解法一：由正弦定理知，2sin sin sin sin 3a b c A B C ====，sin sin 1111sin sin 3612sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 2362B B B B C b c B C B C B B B ππππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∴+=+===⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3A π=，20,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭. 令6B πθ=+，则5,66ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1sin ,12θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.则11cos 24sin sin 22sin 22b cθθθθ⎫+====+∞⎪⎪⎣⎭-+--+⎪⎝⎭.解法二：3a =，3A π=，∴由余弦定理知：2232b c bc bc bc +-=≥-（当且仅当b c =时取等号）， 3bc ∴≤，()233b c bc +=+，则113bc ≥，11b c b c bc +∴+===.11b c ∴+的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 【点睛】方法点睛：求解与边长相关的取值范围类问题通常有两种方法：①利用正弦定理边化角，将所求式子转化为与三角函数值域有关的问题的求解，利用三角恒等变换和三角函数的知识来进行求解；②利用余弦定理构造方程，结合基本不等式求得基本范围；将所求式子化为符合基本不等式的形式或配凑成函数的形式来进行求解；应用此方法时，需注意基本不等式等号成立的条件.25．2+ 【分析】利用三角形的面积公式，结合已知面积变形可得1sin sin 4B C =，再利用所选条件结合正弦定理求出另外两边，可得三角形的周长. 【详解】由三角形的面积公式可知，1sin 2S ab C =， 21sin 28sin a ab C A∴=，整理得4sin sin ,b A C a =由正弦定理得:4sin sin sin sin ,B A C A =因为sin 0A ≠，4sin sin 1,B C ∴=1sin sin 4B C ∴=，若选择条件（1）由6B π=：得1sin 2B =，则1sin 2C =，又,,A B C 为三角形的内角，6B C π∴==，2,3A π∴= 由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ==代入1,b c ==解得a =∴三角形的周长为2若选择条件（2）B C =，则由B C =，得sin sin ,B C = 又1sin sin 4B C =，1sin sin 2B C ∴== 又,,A B C 为三角形的内角，,6B C π∴==23A π∴=. 由正弦定理得:sin sin sin a b c A B C ==，代入1,b c ==解得a =∴三角形的周长为2【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式和正弦定理求出三角形的另外两边是解题关键. 26．（1）3B π=；（2）()0,3.【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再利用余弦定理求出角B 的大小；（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简2a c -，再由锐角三角形得出C 的范围，进而得出答案．【详解】（1）由已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，结合正弦定理，得222a c b ac +=+. 再由余弦定理，得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，又()0,B π∈，则3B π=.（2）由3B π=，b = 224sin 2sin 4sin 2sin 3a c AC C C π⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭224sin cos cos sin 2sin 33C C C C ππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭因为ABC 为锐角三角形，则62C ππ<<，则0cos C << 所以2a c -的取值范围为()0,3.。

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