09年启航考研概率(王式安)讲义及笔记
2009启航考研数学命中情况一览表
重点题型预测班讲义P15例题21
22
重点题型预测班概率讲义P4例题6
23
强化班概率讲义P26第5-4，5-5
重点题型预测班讲义P13例题21
数学（二）
09真题题号
对应班次及讲义
单
选
题
1
强化班高数讲义P10例题1.29
重点题型预测班讲义P4例题5-（2）
2
强化班高数讲义P6例题1.15
16
强化班高数讲义P29例题3.13
17
冲刺班高数讲义P2第10题
18
强化班高数讲义P35例题3.30
19
强化班高数讲义P57第7.5题
重点题型预测班讲义P18第18题
20
21
1）拉格朗日中值定理概念考察
2）强化班高数讲义P21例题2.23，P23例题2.27
22
强化班线性代数讲义P66例题8.17
19
20
强化班线性代数讲义P71例题4.7
21
强化班高数讲义P119例题6.5
重点题型预测班讲义P15例题21
22
重点题型预测班概率讲义P7例题11
23
重点题型预测班概率讲义P4例题6
最后五套题（数一）第五套P26第10题
4
强化班高数讲义P76例题9.19
重点题型预测班讲义P24例题44，45
最后五套题（数一）第一套P1第4题
5
强化班线性代数讲义P61例题3.31
6
强化班线性代数讲义P32例题2.17
7
强化班概率讲义P21第4-3题
8
重点题型概率讲义P6例题9，P7例题11
填
空
题
考研概率强化讲义(全题目)资料
考研概率与数理统计第一章 随机事件和概率第一节 基本概念例题例1．1：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问总共输的场次是多少？例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。
例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7 个点B 1，B 2，…，B 7。
若将每一个A i 和每一个B j 连成不作延长的线段A i B j (i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段 A i B j 相交而得到的交点最多有A ． 315个B ． 316个C ． 317个D ． 318个例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。
例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序）151513=∙C C 2112121515=∙-∙C C C C例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序）121413=∙C C 1811121415=∙-∙C C C C例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序）121413=∙C C 92225=-C C 例1．11：化简 (A+B)(A+B )(A +B)例1．12：)()()(C B C A C B A = 成立的充分条件为： (1)C A ⊂ (2) C B ⊂例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。
考研数学所有知识点合集(概率论,高数,线代)
P ( X = k ) = q k −1 p, k = 1,2,3, Λ ，其中 p≥0，q=1-p。
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布。 ⑥均匀分布 b]内， 其密度函数 f ( x ) 在 设随机变量 X 的值只落在[a， [a，b]上为常数 k，即
2、常见分布
①0－1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q ②二项分布 在 n 重贝努里试验中， 设事件 A 发生的概率为 p 。 事件 A 发 生的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为
F (−∞) = lim F ( x) = 0
x → −∞ x → +∞
，
F (+∞) = lim F ( x) = 1 ；
4° 5°
F ( x + 0) = F ( x) ，即 F ( x) 是右连续的； P ( X = x) = F ( x) − F ( x − 0) 。
X x1, x 2,Λ , xk , Λ | P ( X = xk ) p1, p 2,Λ , pk ,Λ 。
A ⊂ Υ Bi
i =1
n
， P ( A) > 0 ，
P ( Bi / A) =
P( Bi ) P( A / Bi )
∑ P( B
j =1
n
，i=1，2，…n。
j
) P( A / B j )
m A所包含的基本事件数 = = n 基本事件总数
此公式即为贝叶斯公式。
2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、 贝叶斯）
，k = 0.1 ， 这就是 （0-1）
分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 ③泊松分布 设随机变量 X 的分布律为
P ( x < X ≤ x + dx) ≈ f ( x)dx
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第1章 随机事件与概率【圣
③对立事件一定是互不相容的事件，即 A∩B＝∅．但互不相容的事件不一定是对立事件．
＿
④A－B 可以记为 AB．
7．事件的运算性质
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（1）交换律
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A∪B＝B∪A，AB＝BA
（2）结合律
（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）
n r 1
次所得的组合，此种重复组合总数为
r
，这里的 r 也允许大于 n．
上述四种排列组合及其总数计算公式在使用中要注意识别有序与无序、重复与不重复．
3．确定概率的频率方法 （1）确定概率的频率方法 在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得概率的一种方法，其基本思想是： ①与考察事件 A 有关的随机现象可大量重复进行．
4．随机变量 定义：表示随机现象结果的变量，常用大写字母 X，Y，Z 表示． 注意：很多事件都用随机变量表示时，应写明随机变量的含义．在同一个随机现象中， 不同的设置可获得不同的随机变量，如何设置可按需要进行．
5．事件间的关系 假设在同一个样本空间 Ω（即同一个随机现象）中进行．事件间的关系与集合间关系
2．排列与组合公式 排列与组合都是计算“从 n 个元素中任取 r 个元素”的取法总数公式． 区别：组合公式是不讲究取出元素间的次序，否则用排列公式．而所谓讲究元素间的次 序，可以从实际问题中得以辨别，例如两个人相互握手是不讲次序的；而两个人排队是讲次 序的，因为“甲右乙左”与“乙右甲左”是两件事．
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1-1-5），或用概率论的语言说“A 不发生”，即A＝Ω－A．
＿
图 1-1-5 A 的对立事件A
注意：
＿
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①对立事件是相互的，即 A 的对立事件是A，而A的对立事件是 A．必然事件 Ω 与不可
09年考研心理学专业基础综合测试大纲解析
09年考研心理学专业基础综合测试大纲解析09年心理学专业基础综合考试大纲沿袭了08年的知识体系与框架，仅有三处具体的知识点有细微的调整：第一处是普通心理学第十二章人格中的第一节“人格概述”，删去了原有的“人格的结构”这一知识点;第二处是实验心理学第二章心理学实验的变量与设计中的第四节“实验研究的效度”，新增了“构思效度(也叫构想效度)”与“统计结论效度”两个知识点，删去了原有的“内部效度的影响因素”和“外部效度的影响因素”两个知识点;第三处是实验心理学第五章主要的心理学实验中的第五节“记忆实验”，新增了“错误记忆的实验”一个知识点。
发展与教育心理学、心理统计与测量没有知识点的调整。
深入分析大纲的这些安排及调整，我们有如下的发现：首先，08年的大纲相对是比较成熟的，它的框架和结构是非常合理的，因此09年的大纲完全尊重了08年的体系。
这就提醒广大的考生们，心理学专业课的重心内容并没有发生变化，依然非常强调基本概念和基本理论的理解与应用!其次，大纲在不断追求结构上的合理性。
比如，普通心理学中删除了“人格的结构”这一知识点，人格的结构最核心的部分是气质与性格，而本章第三节和第四节分别会对气质和性格展开更为详细的介绍，因此单独列出“人格的结构”这一点就显得不是特别必要，故而09年大纲将其删除。
再比如，实验心理学的实验研究效度部分新增了两个知识点后，就将原有的“内/外部效度的影响因素”删除，更多是为了章节结构的合理性考虑，实际上是删除了名称但没有删除内容，相当于把影响因素融入到了内/外部效度的概念当中去了，因此在学习内/外部效度时，还是要考虑其影响因素的!故而提醒广大考生，当出于大纲结构的合理性而调整知识点时，并不代表某个知识点不重要了，而是很有可能要融合在其他知识点中考察!第三，大纲对研究领域中不断出现的热门话题有较高的关注!实验心理学中新增了三个知识点：构思效度、统计结论效度、错误记忆的实验。
其实这三个知识点并不新，比如错误记忆早在50年前就有学者研究，但最近几年才进入我国学者的视野，并逐渐受到较多的关注。
【海文考研数学】：概率论基础知识归纳 第四章
【海文考研数学】：概率论基础知识归纳 第四章一 数学期望§4.1.1离散型随机变量的数学期望例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下： 该班同学的平均年龄为：若令x 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x 的分布律为于是，x 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为定义1：设x 为离散型随机变量，其分布律为如果级数绝对收敛，则此级数为x 的数学期望（或均值）既为 E(X)，即 E(X)=意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1，乙中的环数为X2，已知X1和X2的分布律分别为：问谁的平均中环数高？ 解：甲的平均中环数为 E(X 1)=8 0.3+90.1+10 0.6=9.3乙的平均中环数为 E(X 2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1可见E(X 1)> E(X 2)，即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。
例3：设 ，求E(X) 解：由于，其分布律为，k=0,1,2…,所以例4：一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的平均数？解：令X表示双方取得联系时，发方发出呼唤信号的次数。
X的分布律为于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为由于,求导数将x=0.8代如上式，便得将此结果代入原式便得：（次）§4.1.2连续型随机变量的数学期望绝对收敛，则称此积分为X的数学期望，记为E(X)，即，例7：设风速V是一个随机变量，且V~U[0,a]，又设飞机的机翼上所受的压力W是风速V的函数：这里a,k均为已知正数。
试求飞机机翼上所受的平均压力E(W)。
W的分布函数为两边求导，使得进而便可求得W的数学期望由此运算过程可以看到，不必求出W的概率密度ƒw(z)，而根据V的概率密度ƒv(v)也可直接求出W 的数学期望值，即§4.1.3随机变量函数的数学期望值1.一维随机变量函数的数学期望定理1：设X为随机变量，Y=g(X),(1)如果X，且级数(2)如果Xƒ(X)，且积分绝对收敛，则有证略解：例9：设 ，求解：（令 m=k-2）例10：设 ，求解：由于X 的概率密度为 于是例11：国际市场上每年对我国某种商品的需求量为一个随机变量X （单位：吨），且已知，并已知每售出一吨此种商品，可以为国家挣得外汇3万美元，但若售不出去，而屯售于仓库，每年需花费保养费每吨为一万美元，问应组织多少货源可使国家的平均收益达到最大？解：设a 为某年准备组织出口此种商品的数量（单位：吨）Y 为国家收益，于是Y 是X 的函数，即其概率密度为令解得 a=3500（吨）但 ，故E(Y)在a=3500时，E （Y ）最大，即组织货源为3500吨时，可是国家的收益达到最大。
09年启航考研概率（王式安）讲义及笔记
1
第一章
第一章 随机事件与概率
1
第一章
2
第一章
3
第一章
4
第一章
5
第一章
6
第一章
7
第一章
8
第一章
9
第二章
第二章 随机变量及其分布
10
第二章
11
第二章
12
第二章
13
第二章
14
第二章
15
第二章
16
第二章
17
第二章
18
第二章
19
第二章
20
第二章
21
第三章
第三章 多维随机变量的分布
22
第三章
23
第三章
24
第三章
25
第三章
26
第三章
27
第三章
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第三章
29
第三章
30
第三章
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第四章
第四章 随机变量的数字特征
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第四章
33
第四章
34
第四章
35
第四章
36
第四章
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第四章
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第四章
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第四章
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第四章
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第四章
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第五章
第五章 大数定律和中心极限定理
王式安概率论与数理统计讲义
不宁唯是整理
第一章 随机事件与概率.................................................................................1 第二章 随机变量及其分布...........................................................................10 第三章 多维随机变量的分布.......................................................................22 第四章 随机变量的数字特征.......................................................................32 第五章 大数定律和中心极限定理 ...............................................................43
汪宏喜09年考研辅导讲义(概率论与数理统计)
2009年考研数学内部讲义概率论与数理统计编讲 汪宏喜安徽农业大学2008年5月第三部分 概率论与数理统计第一章 随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验考试要求1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件间的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握计算概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．• 考试内容解析 •一、随机事件与样本空间1．随机试验E ：⎪⎩⎪⎨⎧)()3()()2()(,)1(随机性知每次试验的结果事先未多样性先已知试验所有的可能结果事统计性可重复进行试验在相同的条件下２．样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间．记为Ω={ω}．Ω中的元素ω称为样本点，也即E 的基本事件．３．随机事件：试验E 的结果称为E 的随机事件．记为A 、B 、C 等．(1)基本事件：E 的事件中不能再分解成其它事件的最简单的事件称基本事件;(2)必然事件与不可能事件：每次试验E 中必然发生的事件为必然事件，记为Ω; 每次试验E 中一定不发生的事件称不可能事件，记为∅．4．事件间的关系和运算事件的关系有：包含、相等、不相容、对立；事件间的运算有：并(和)、差、交等． (1)包含：如果事件A 发生必然导致B 发生,则称事件B 包含事件A ,记作A ⊂B 或B ⊃A ． (2)相等：如果A ⊂B 且B ⊂A ,则称事件A 与B 相等．记作A =B ．(3)不相容：如果事件A 与事件B 不可能同时发生, 即∅=B A I ，则称事件A 与事件B是互不相容(或互斥)．(4)对立：如果事件A 与事件B 满足：Ω=∅=B A B A U I ②;①．即事件A 与事件B 必发生其一，但不能同时发生．则称事件A 与事件B 是互逆事件，或者说A 与B 为对立事件，记为B A =(或A B =)．注：两个互相对立的事件A 与一定为不相容事件,但是两个不相容事件未必是对立事件．(5)并(和)：如果事件A 与事件B 至少有一个发生,则称这样的事件为事件A 与事件B 的并(或和), 记作A ∪B 或A +B ．(6)差：如果事件A 发生而事件B 不发生,则称这样的事件为事件A 与事件B 的差, 记作A -B 或A \B ．(7)交：如果事件A 与事件B 同时发生,则称这样的事件为事件A 与事件B 的交,记作A ∩B 或AB ．(8)完全事件组：如果事件A 1，A 2，…，A n ，…两两互不相容，且每次试验中必出现一个且只出现一个,则称A 1，A 2，…，A n ，…构成完备事件组．完全事件组可以是有限的,也可以是无限的．完全事件组也称为样本空间Ω的一个划分．4．事件运算的性质对于任意事件A ，B ，C ， A 1，A 2，…，A n ，…，有 (1)交换律：A +B =B +A ；AB =BA ．(2)结合律：A +B +C = (A +B )+C =A +(B +C )；ABC =(AB )C =A (BC )．(3)分配律：A (B +C )=AB +AC ；A (B -C )=AB -AC ；i ii iAA A A U U =)(．(4)对偶律：i ii ii ii iA A A A ，AB ，B A U I I U ==+==+,．5．事件与集合由于事件是样本空间的子集，因此事件的关系与运算可以用集合的文氏图形象地表示出来，如图1．1二、事件的概率概率是事件出现可能性大小的度量,用P (A )表示事件A 的概率．如用{…}表示事件,其中大括号内用文字或式子描述事件的内容,则以P {…}表示其概率．1．概率的概念在一个随机试验中,对于每一个事件A ,都有唯一的实数P (A )和它对应,且P (A )是满足下列条件的事件A 的函数：(1)非负性：P (A )≥0；(2)规范性：对于必然事件，有P (Ω)=1；(3)可列可加性：对于两两互不相容的事件A 1，A 2，…,A n ，…,有∑=ii i iA P A P )()(U ．∅=B A I 图1.1AB A −ΩB A ⊂BAB A U B A I2．概率的基本性质 (1)P (∅)=0;(2)有限可加性：设事件A 1，A 2，…,A n 两两互不相容,则∑===ni i i ni A P A P 11)()(U ;(3)对于两个事件A 与B ,如果B A ⊂,则P (A -B )=P (A )-P (B )． 特别地,由于P (Ω)=1,故而有()1()P A A =−．3．古典型概率如果一个随机试验的结果只有有限个,且每个结果出现的概率都相同,则称这样的试验为古典型概率．对于此类试验中的事件A ,其概率可以如下计算：nn A A P A=Ω=中所含样本点的个数中所含样本点的个数)(． 4．几何型概率如果随机试验的样本空间Ω是一个区域,并且任一点落在任意两个长度(面积、体积)相同的子区域内是等可能的，则事件A 的概率为)()()(或面积或体积长度的或面积或体积长度的Ω=A A P ．5．条件概率对于任意两个事件A 和B ,其中P (A )>0,则事件B 在事件A 发生的条件下的条件概率定义为：)()()|(A P AB P A B P =注：可以验证,对于给定的事件A ,条件概率)|(A B P 具有概率的一切性质． 6．计算概率的几个公式(1)加法公式：对于任意事件A ，B ，C ，有P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )．P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (AC )-P (BC )+P (ABC )．上式可以推广至多个事件的情形,即为一般的加法公式． (2)减法公式：对于任意两个事件A ，B ，有P (A -B )=P (A )-P (AB )．(3)乘法公式：对于任意两个事件A ，B ，则有()()(|)(()0)P AB P A P B A P A =>或()()(|)(()0)P AB P B P A B P B =>一般地，对任意三事件A 、B 、C ,则()()(|)(|)P ABC P A P B A P C AB =．对于n 个事件A 1，A 2，…,A n ，若P (A 1A 2…A n -1)>0,则P (A 1A 2…A n )= P (A 1)P (A 2|A 1)…P (A n | A 1A 2…A n -1)(4)全概率公式：设A 1，A 2，…,A n ，…,是一个完全事件组，且P (A i )>0,则对任意B ,有∑==ni i i A B P A P B P 1)|()()((5)贝叶斯公式：设A 1，A 2，…,A n ，…,是一个完全事件组，且P (A i )>0,则对任意B (P (B )>0),有),,2,1()|()()|()()()()|(1n i A B P A P A B P A P B P B A P B A P nj jji i i i L ===∑=三、事件的独立性与独立重复试验1．独立事件(1)两个事件独立：对于两个事件A 与B ，如果P (AB )=P (A )P (B ),则称事件A 与B 独立． 如果事件A 与B 独立,则事件B A B A B A 与与与,,也独立．(2)多个事件的的相互独立：对于任意n 个事件A 1，A 2，…,A n ，如果其中任意两个事件均相互独立,即对任意n j i ≤<≤1,有)()()(j i j i A P A P A A P =,则称n 个事件A 1，A 2，…，A n 两两独立;如果其中任何k n k ≤≤2()个事件：),1(,,,2121n i i i A A A k i i i k ≤<<<≤L L 均有),()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P L L =则称A 1，A 2，…,A n 相互独立． 2．独立试验(1)独立试验：两个或两个以上试验为相互独立的,如果与各试验相联系的事件之间相互独立．(2)独立重复试验：在两个或多个独立试验中,如果同一事件在各个试验中出现的概率相同,则称它们是独立重复试验．(3)伯努利试验：如果试验结果只有A 与A 两个结果,则称之为伯努利试验．将一伯努利试验独立重复进行n 次,则称为n 重伯努利试验．设在每次试验中P (A )=p (0<p <1),则在n 重伯努利试验中,事件A 出现k 次的概率为kn k p p k n p n k b −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=)1(),;( 此公式称为二项概率公式．• 例题讲解 •例1．已知A 、B 、C 为任意三个随机事件,则P [(A +B )(A -C )]等于( ))()()()()()()()()()()()()()()()()(AC P A P D ABC P AC P A P C ABC P AB P AC P A P B ABC P AB P AC P A P A −+−−−+−+−解:例2．设三个非空事件A ,B ,C 是完备事件组,则不能得出结论的是( )∅=∅=D C C B A B C A C B B A A )()()(,)(,,)(U 为对立事件两两互斥解:例3．设随机事件A 与B 互不相容,则下列选项中不正确．．．的是( ) ()()()()()])([()()()()()(1)()()()(B A P A P B A P D A P B A B A P C B P A P B A P B B A P A P B A P A U U U −=−=−−=−−+=−解:例4．)(),|()|(,1)(0,,则若有为两事件设B A P B A P B P B A =<<B A D B P A P AB PC B A B AB A ⊃==∅=)()()()()()()(解:例5．)()|(,1)(,0)(,,,=≠>C AB P C P ABC P C B A 与为三个随机事件已知)|()()()()()()()()|()|()()|()|()()|()|(C B P AC P ABC P D B P A P AB P C AC B P C B P B BC A P C A P A C B P C A P ====不等价的是 解:例6．)(,32)(,41)|()|(则设===A P A B P B A P)|()|(,)(127)(,)()()(,)(125)(,)(B A P B A P B A D B A P B A C B P A P B A B B A P B A A ====且不独立与且不独立与且独立与且独立与U U解:例7．设有两个事件A , B , 0<P (A )<1, 0<P (B )<1, 则( )一定相容则不独立若一定互斥则不独立若一定相容则独立若不相容一定互斥则独立若B A B A D B A B A C B A B A B B A B A A ,,,)(,,,)(,,,)()(,,,)(解:例8．商店销售10台电视机,其中有7台一级品,3台二级品,已买出一台,在其余的9台中 任取2台发现均为一级品,则买出的那一台也是一级品的概率为( )107)(105)(87)(85)(D C B A 解:例9．.____)|(,2.0)(,6.0)(,3.0)(,,====B A P AB P B P A P B A 则是两个随机事件设 解:例10．已知11()()(),()0,()()416P A P B P C P AB P AC P BC ======，则事件,,A B C 全不发生的概率为 .解: 从P (AB )=0，可知P (ABC )=083)(1)()(8501611*********)()()()()()()()(=−===+−−−++=+−−−++=C B A P C B A P C B A P ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P U U U U U U 则图1.2例11．袋中有五张卡片，每张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从中无放回地随机抽取三张卡片，则取到的三卡片中最大的数与最小的数之差等于3的概率是 .解:例12．在区间(0,1)中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于21的概率为 . 解: 这是一个几何概型,设x ,y 为所取的两个数,则样本空间为1{(,)|0,1},{(,)|(,),||}.2334(),,.14A A x y x y A x y x y x y S P A S S A S ΩΩΩ=<<=∈Ω−<===Ω记故其中分别表示和的面积 例13.(练习)设甲,乙两约好8:00—9:00在某地方会面,约定先到者等候20分钟,过了时间就离开,则两人能够会面的概率 .(95)例14．从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从1,,X L 中任取一个数，记为Y ，则P {Y =2}= .解:由于事件{X =1}，{X =2}，{X =3}，{X =4}是一个完备事件组，且1{},1,2,3,44P X i i ===. 1{2|1}0,{2|},2,3,4P Y X P Y X i i i=======,根据全概率公式41{2}{}{2|}i P Y P X i P Y X i ======∑111113(0).423448=+++=例15．(练习)设袋中装有m 枚正品硬币,n 枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽),在袋中任取一枚硬币投掷r 次,已知每次都是国徽,则这枚硬币是正品的概率为r n m m2⋅+.例16．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8081，则该射手的命中率为 .解:这是一个4重伯努利试验概型，设试验的成功率即射手的命中率为p ，则进行四次独立地射击，事件“四次均不中”的概率为4(1)p −，它是“至少命中一次”的对立事件. 依题意48012(1)11.8133p p p −=−⇒−=⇒= 例17．(练习)现进行一系列独立重复试验，成功两次之前失败两次的概率为163，则成功三次之前失败三次的概率 . (325) 注：（07，4 分）某人向同一目标独立重复射击，每次命中目标的概率为p （0<p <1）,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）（A ）3p (1-p )2 （B ）6p (1-p )2. （C ）3p 2 (1-p )2 （D ）3p 2 (1-p )2.解:第4次射击恰好第二命中表示4次射击中第4次命中目标，前三次射击有1次命中目标.由独立重复性知所求的概率为: 2213)1(p p C − 应选（C ）.例18．(摸球问题)袋中有a 只黑球，b 只白球，它们除颜色不同外，其它方面没有区别.现将球随机地一只只摸出来，求第k 次摸出的球是黑球的概率(b a k +≤≤1).解法1 把a 只黑球b 只白球视为不同的(如设想把它们编号)，若把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b 个位置上，则基本事件总数就是a+b 个相异元素的全排列 (a+b )!.若记k A 为“第k 次摸出黑球”，这相当于在第k 个位置上放一黑球，在其余的(a+b -1)个位置上放另外的(a+b -1)个球.所以，k A 包含的基本事件个数为)!1(−+⋅b a a .故所求概率为ba ab a b a a A P k +=+−+⋅=)!()!1()(.解法2 还是将球视作各不相同的，只考虑前k 次摸球.此时样本空间包含的基本事件总数为kb a A +.而k A 这个事件相当于在第k 个位置上放一只黑球(有a C a =1种放法)，在其余k -1个位置上摆放从余下的a+b -1只球中任意取出的k -1只球(有11−−+k b a A 种放法)，总共有11−−+⋅k b a A a 种.故所求概率为b a a A A a A P kba kb a k +=⋅=+−−+11)(. 这个结果与k 无关.也就是说，不管先后次序，不管是放回还是不放回抽样，抽取到黑球的概率都是ba a+，这与我们平常生活经验是一致的.例如在体育比赛中的抽签，摸彩票等等，机会均等且与先后次序无关.例19．(分房问题) 有n 个人每个人都以同样的概率N1被分在)(N n N ≤间房中的每一间中(每间容量不限).试求下列各事件的概率：(1)A ：某指定n 间房中各有一人； (2)B ：恰有n 间房，其中各有一人；(3)C ：某指定房间中恰有)(n m m ≤人.解 由于每一个人可被分配到N 间房中任意一间，所以基本事件总数相当于从N 个元素中选取n 个重复排列数，即为nN ，事件C B A ,,包含的基本事件数分别为m n mn C nN B A N C m n C m n m −−=⋅==)1(,!,!.于是(1)n Nn A P !)(=；(2)n nN N n C B P !)(⋅=；(3)m n mm n nm n mn N N C NN C C P −−−=−=)11()1()1()(.注：某班共40个同学，求该班“没有任何两人生日相同”的概率(生日相同指几月几日出生相同)。