北京市西城重点中学2017年4月 人教版数学九年级上册第二十一章 一元二次方程 教材分析及相关练习无答案
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c( x 2 m) b( x 2 m) 2 m ax 0 有两个相等的实数根，求证： ABC 是直角三角形。
（4）已知： a, b, c 分别是 ABC 的三边长，求证：方程 b x (b c a ) x c 0 没有实数根。 （5）当 m 是什么整数时，关于 x 的一元二次方程 mx 4 x 4 0 与 x 4mx 4m 4m 5 0 的根 都是整数？（ m 1 ） （6）已知关于 x 的方程 x 2 x
（2016） 考试内 容 一元二 次方程 考试要求 B C 能选择适当的方法解数 了解 一元二次方程 的有关概 字系数一元二次方程； 能 念. 理解配方法；会用一元二 运用方程有关内 有根的判别式解决与一 次方程根的判别式判断方程根 容解决有关问题 元二次方程根有关的问 的情况. 题 A
二、本章知识结构框图
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a 0 方程有实数根； 0时 a 0 a 0 ） 方程有两个不相等的实数根；当 方程有两个相等的实数根； 0时 0时
（当
②当
的是： 】
从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 2．常见的问题类型 （1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况 （2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 ①先计算出判别式（关键步骤） ； ②用配方法将判别式恒等变形； ③判断判别式的符号； ④总结出结论.
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n ，若 n 0 时，方程无实数解。 b b 2 4ac 2a
（3）公式法：一元二次方程 ax bx c 0( a 0) 的根 x
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当 b 4ac 0 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； 当 b 4ac 0 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为 x1 x 2 当 b 4ac 0 时，方程无实数根. 公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定 a, b, c 的值；③代入 b 4ac 中计算其值，判 断方程是否有实数根；④若 b 4ac 0 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 （因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一 元二次方程。 ） （4）因式分解法： （复习十字相乘法） ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式至少有一个为 0，即： 若 ab 0 ，则 a 0或b 0 ； 【学生的易错点为： 】
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m2 1 0 ，其中 m 为实数， （1）当 m 为何值时，方程没有实 x 2 2 x 2m 2.
数根？（2）当 m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。 答案： （1） m 2 （2） x 1,1
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例：求证：方程 ( a 1) x 2ax ( a 4) 0 无实数根。 （4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方 程进行分类讨论，如果二次系数为 0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为 0，一元二次方 程可能会有两个实数根或无实数根。 （5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面 分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 （四） 、一元二次方程的应用 1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。 2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要 结合几何知识检验。 3.增长率问题（下降率） ：在此类问题中，一般有变化前的基数（ a ） ，增长率（ x ） ，变化的次数（ n ） ， 变化后的基数（ b ）,这四者之间的关系可以用公式 a (1 x ) b 表示。 4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去） 。 （五）新题型与代几综合题 （1）有 100 米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于 600 平方米，在场地的北面有一堵 50 米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长 40 米、宽 10 米的仓库，但面积只有 400 平方米，不合要求，问应 如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？ （2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄） ： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿 符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（36 岁） (3) 已 知 ： a, b, c 分 别 是 ABC 的 三 边 长 ， 当 m 0 时 ， 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程
第二十一章 一元二次方程 教材分析及相关练习 一、(一)课程学习目标 课标要求 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；会用一元二次方程根的判别 式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；*了解一元二次方程的根与系数的关系。 1．联系一元一次方程和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步 体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型” ． 2．以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念. 3．根据化归的思想，抓住“降次”这一基本策略，掌握开平方法、配方法、公式法和因式分解法等一元 二次方程的基本解法. 4．经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用 方程这种重要数学工具的基本能力. (二)中考考试要求：源自《2017 中考说明》 A 一 元 二 次 方程 B C 了解一元二次方程的有关概念； 理解 能用适当的方法解数字系 运用方程与不等式的有关内 配方法； 会用一元二次方程的根的判 数的一元二次； 能用根的判 容解决有关问题 别式判断方程根的情况 别式解决与一元二次方程 根有关的问题
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三、课时安排 本章教学时间约需 16 课时，具体分配如下（仅供参考） ： 22.1 一元二次方程………………（1 课时） 22.2 降次——解一元二次方程…（共 9 课时） 直接开方法…………………（1 课时） 配方法………………………（1 课时） 公式法………………………（2 课时） 因式分解法…………………（2 课时） 解法综合课…………………（1 课时） 一元二次方程根的判别式……（2 课时） 22.3 实际问题与一元二次方程…（4 课时） 数学活动与小结………………………………（2 课时） 四、教学建议 （一）联系已有的相关知识，如一次方程、方程组，以及函数知识，以求进一步提高学生整体应用数 学建模思想的意识和能力．一元二次方程的解法中，渗透“降次”的转化思想，体会不同解法的优缺点与 相互的联系，培养学生灵活解一元二次方程的能力与扎实的运算功底．对实际问题的探索不要以繁、难、 偏、旧的问题作为学生探究性学习的题材． （二）对于“一元二次方程根的判别式” ，教材没有明确给出概念，而是以归纳的形式引导学生探究 一元二次方程根的个数与 b 2 4ac 的关系；为了教学方便，可以介绍判别式的概念，适当添加习题，使学 生理解一元二次方程根的存在情况与系数的关系． （三）对于“一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） ” ，为了后续学习（包括初、高中函数的学习） 的方便，可根据学生情况，在教学中安排 1~2 课时，组织学生进行这方面的简单探究活动。 五、教学中应注意的问题 本章教学重点、难点 1.本部分教材的重点是一元二次方程的解法 2.一元二次方程的应用是本章的一个难点 3.培养学生注意观察一元二次方程的结构特征，正确地选用适当方法解一元二次方程是本章的一个重点, 也是一个难点. （一） 、一元二次方程的概念 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为 1，未知数的最高次数为 2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）让学生明确只有当二次项系数 a 0 时，整式方程 ax bx c 0 才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）让学生熟练整理方程的过程 3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 （二） 、一元二次方程的解法 1．让学生明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段， 从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2．要让学生能观察方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元 二次方程； 3．引导学生体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：
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b ； 2a
②因式分解法的一般步骤： 将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于 0；令每一个因 式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程 ①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次
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(1)开平方法：对于形如 x n 或 ( ax b) n( a 0) 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未 知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如 x n 的方程的解法： 当 n 0 时， x n ; 当 n 0 时， x1 x2 0 ; 当 n 0 时，方程无实数根。 （2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为 ( x m) n 的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤： （不同解题顺序的对比和思考，理解其合理性） ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化 1” ：根据等式的性质把二次项的系数化为 1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为 ( x m) n 的形式； ④求解：若 n 0 时，方程的解为 x m
【初三数学】北京市九年级数学上(人教版)第21章一元二次方程单元综合练习卷(含答案解析)
人教版九年级上第二十一章一元二次方程单元测试（含答案）一、单选题1．下列方程，是一元二次方程的是（）①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③x2-1x=4，④x2=0，⑤x2-3x+3=0A．①②B．①④⑤C．①③④D．①②④⑤2．将一元二次方程5x2 -1=4x化成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）A．5、-1、4 B．5、4、-1 C．5、-4、-1 D．5、-1、-43．若a是方程的一个解，则的值为A．3 B．C．9 D．4．已知﹣4是关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根，则a的值是（）A．12 B．﹣20 C．20 D．﹣125．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()A．(x＋1)2＝6 B．(x－1)2＝6C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝96．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A．k＞－1 B．k＞－1且k≠0C．k＜－1 D．k＜－1或k＝0 7．已知关于x的一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥34B．m≥2C．m≥1D．m≥08．三角形的两边长分别为3米和6米，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（）A．11 B．12 C．11或13 D．139．一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=0的解是（）A.x=1B.x=2C.x1=1，x2=2D.x1=﹣1，x2=﹣2 10．若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）A．x2+3x-2=0 B．x2-3x+2=0 C．x2-3x-2=0 D．x2+3x+2=011．有m支球队参加篮球比赛，共比赛了21场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A. B.C. D.12．据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m 2，2013年同期将达到8200元/m 2， 假设这两年兰州市房价的平均增长率为x ，根据题意，所列方程为（ ） A ．27600(1x%)8200+= B ．27600(1x%)8200-= C ．27600(1x)8200+= D ．27600(1x)8200-=二、填空题13．一元二次方程25830x x -+=的一次项系数是____________，常数项是____________. 14．设m 是一元二次方程2270x x +-=的一个根，则2249m m +-=________ 15．已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=的两个实数根，且22121213x x x x +-=，则k 的值为____.16．一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，设平均每次降价的百分率为x ，则列方程为_____．三、解答题17．用适当的方法解方程。
(人教版)北京九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》经典题(提高培优)
一、选择题1．方程()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的值为（ ） A ．2±B ．2-C ．2D ．4 2．下列方程中，没有实数根的是（ ） A ．2670x x ++=B ．25260x x --=C ．22270x x -=D ．2220x x -+-= 3．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形的周长是（ ）A ．10B ．17C ．20D ．17或20 4．用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）A ．x 2﹣2x ﹣99＝0化为（x ﹣1）2＝100B ．x 2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25C ．2x 2﹣7x ﹣4＝0化为（x ﹣74）2＝8116 D ．3x 2﹣4x ﹣2＝0化为（x ﹣23）2＝109 5．若关于x 的方程kx²+4x-1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k-4且k≠0B ．k≥-4C ．k>-4且k≠0D ．k>-46．已知一元二次方程2210x x --＝的两个根分别是1x ，2x ，则2112x x x -+的值为（ ）．A ．-1B ．0C ．2D ．37．若x=0是关于x 的一元二次方程（a+2）x 2x+a 2+a-6=0的一个根，则a 的值是（ ）A ．a ≠2B ．a=2C ．a=-3D ．a=-3或a=2 8．若m 是方程220x x c --=的一个根，设2(1)p m =-，2q c =+，则p 与q 的大小关系为（ ）A ．p ＜qB ．p ＝qC ．p ＞qD ．与c 的取值有关 9．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，则平均每次降价的百分率为（ ）A ．15%B ．40%C ．25%D ．20% 10．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（ ）A ．6人B ．7人C ．8人D ．9人 11．一元二次方程20x x -=的根是（ ） A ．10x =，21x = B ．11x =，21x =-C ．10x =，21x =-D ．121x x == 12．用一条长40cm 的绳子怎样围成一个面积为75cm 2的矩形？设矩形的一边为x 米，根据题意，可列方程为（ ）A ．x （40－x ）＝75B ．x （20－x ）＝75C ．x （x ＋40）＝75D ．x （x ＋20）＝713．方程23x x =的解为（ ） A ．3x = B ．3x =- C ．10x =，23x = D ．10x =，23x =-14．一元二次方程x 2=4x 的解是（ ） A ．x=4 B ．x=0 C ．x=0或-4D ．x=0或4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案15．不解方程，判断方程2x 2+3x ﹣4＝0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根二、填空题16．填空：（1）214x x ++________2(7)x =+；（2）29x x -+_______=（x-____）2 17．若二次式236x -的值与2x -的值相等，则x 的值为_______．18．一元二次方程22(1)210a x x a +++-=，有一个根为零，则a 的值为________． 19．已知实数a ，b 是方程210x x --=的两根，则11a b+的值为______． 20．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有______人患有流感．21．三角形两边长分别为3和5，第三边满足方程x 2-6x+8=0，则这个三角形的形状是__________．22．对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b ＝a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）﹣5＝0的两根记为m 、n ，则（m +2）（n +2）＝_____．23．等腰三角形ABC 中，8BC =，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根，则m 的值是___．24．已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程260x x a -+=的两个实数根，且221212x x -=，则a =________．25．已知1x ，2x 是方程2250x x --=的两个实数根，则2212123x x x x ++=__________． 26．已知关于x 的方程28m 0x x ++=有一根为2-，则方程的另一根为______ 三、解答题27．如图，有一道长为10m 的墙，计划用总长为54m 的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃ABCD ．若花圃ABCD 面积为272m ，求AB 的长．28．已知关于x 的方程()220x mx m -+=-． （1）求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m 的值以及方程的另一个根．29．已知关于x 的方程()2222x kx x k +=--，当k 取何值时，此方程（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根．30．某地区2018年投入教育经费2000万元，2020年投入教育经费2420万元（1）求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2022年需投入教育经费2900万元，如果按（1）中教育经费投入的增长率，到2022年该地区投入的教育经费是否能达到2900万元?请说明理由．。
人教版初中数学九年级上册第二十一章：一元二次方程(全章教案)
第二十一章一元二次方程本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)，一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题．其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容．方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习做好准备．联系一元二次方程和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”．本章是中考考查的重点内容，主要考查一元二次方程的解及其解法、一元二次方程根与系数的关系、建立一元二次方程模型解决实际问题．【本章重点】一元二次方程的解法及应用．【本章难点】1．一元二次方程根与系数的关系的应用．2．利用一元二次方程解决实际问题．【本章思想方法】1．体会和掌握转化法，如：在解一元二次方程时，利用转化法将一元二次方程转化为一元一次方程．2．掌握建模思想，如：在利用一元二次方程解决实际问题时，根据题意建立适当的一元二次方程，将实际问题转化为数学模型．21.1一元二次方程1课时21.2解一元二次方程4课时21.3实际问题与一元二次方程1课时21.1一元二次方程一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程及相关概念．2．掌握一元二次方程的一般形式．3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．【过程与方法】从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念．【情感态度与价值观】通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】1．一元二次方程的概念及其一般形式．2．判断一个数是不是一元二次方程的解．【教学难点】能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P1～P4的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解决下列问题：问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？【解析】设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)_cm__，宽为__(50－2x)_cm__.列方程，得__(100－2x )(50－2x )＝3600__， 化简，整理，得__x 2－75x ＋350＝0__.①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【解析】全部比赛的场数为__4×7＝28(场)__.设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛一场．因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共__12x (x －1)__场．列方程，得__12x (x －1)＝28__.化简、整理，得 __x 2－x －56＝0__.②归纳总结：方程①②的共同特点是：方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__2__.2．一元二次方程的定义：等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．3．一元二次方程的一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__.其中__ax 2__是二次项，__a __是二次项系数，__bx __是一次项，__b __是一次项系数，__c __是常数项．环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】判断下列方程，哪些是一元二次方程？ (1)x 3－2x 2＋5＝0； (2)x 2＝1；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋35；(4)2(x ＋1)2＝3(x ＋1)； (5)x 2－2x ＝x 2＋1； (6)ax 2＋bx ＋c ＝0.【互动探索】(引发学生思考)要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？【解答】(2)(3)(4)是一元二次方程．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个方程是不是一元二次方程，首先看方程等号两边是不是整式，然后移项，使方程的右边为0，再观察左边是否只有一个未知数，且未知数的最高次数是否为2.【例2】将方程2x ⎝⎛⎭⎫12－x ＋2＝5(x －1)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数． 【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程的一般形式是怎样的？【解答】去括号，得x－2x2＋2＝5x－5.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：2x2＋4x－7＝0.其中二次项系数是2，一次项系数是4，常数项是－7.【互动总结】(学生总结，老师点评)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将二次项化负为正，化分为整．【例3】下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的解？－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4.【互动探索】(引发学生思考)你能类比判断一个数是一元一次方程的解的方法判断一元二次方程的解吗？【解答】将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的解．【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断一个数是否是方程的解，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．若相等，则这个数是方程的解，若不相等，则这个数不是方程的解．【活动2】巩固练习(学生独学)1．下列方程是一元二次方程的是(D)A．ax2＋bx＋c＝0 B．3x2－2x＝3(x2－2)C．x3－2x－4＝0 D．(x－1)2＋1＝02．已知x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一个解，则m的值为(A)A．2B．0C．0或2D．0或－2【教师点拨】将x＝2代入x2－2mx＋4＝0得，4－4m＋4＝0.再解关于m的一元一次方程即可得出m的值．3．把一元二次方程(x＋1)(1－x)＝2x化成二次项系数大于0的一般式是__x2＋2x－1＝0__，其中二次项系数是__1__，一次项系数是__2__，常数项是__－1__.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例4】求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．【互动探索】(引发学生思考)已知关于x的方程，且含有字母系数，要证明该方程是一元二次方程，则该方程的二次项系数必须满足什么条件？【证明】m2－8m＋17＝m2－8m＋42＋1＝(m－4)2＋1.∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0，∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．【互动总结】(学生总结，老师点评)要证明不论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只需证明二次项系数恒不为0，即m 2－8m ＋17≠0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧必须满足的三要素⎩⎪⎨⎪⎧ 是整式方程只有一个未知数未知数的最高次数是2一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)2．判断一个数是否是一元二次方程解的方法：将这个数分别代入方程的左右两边，如果“左边＝右边”，则这个数是方程的解；如果“左边≠右边”，则这个数不是方程的解．请完成本课时对应练习！21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2．理解并掌握直接开方法、配方法解一元二次方程的方法．【过程与方法】1．通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．2．通过把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程解一元二次方程．【情感态度与价值观】通过对一元二次方程解法的探索，体会“降次”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程．【教学难点】把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的形式．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P5～P9的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，对于方程x2＝p：(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x1＝__p__，x2＝__－p __.(2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝__0__；(3)当p＜0时，方程__无实数根__.2．用直接开平方法解下列方程：(1)(3x ＋1)2＝9; x 1＝23，x 2＝－43.(2)y 2＋2y ＋1＝25. y 1＝4，y 2＝－6. 3．(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2； (2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2；(3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋ __1__)2.4．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x ＋n )2＝p 的形式，那么就有：(1)当p >0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x 1＝，x 2＝；(2)当p ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝__－n __； (3)当p ＜0时，方程__无实数根__. 环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学) 【例1】用配方法解下列关于x 的方程： (1)2x 2－4x －8＝0； (2)2x 2＋3x －2＝0.【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的实质和关键点是什么？ 【解答】(1)移项，得2x 2－4x ＝8. 二次项系数化为1，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋12＝4＋12，即(x －1)2＝5. 由此可得x －1＝±5， ∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5. (2)移项，得2x 2＋3x ＝2.二次项系数化为1，得x 2＋32x ＝1.配方，得⎝⎛⎭⎫x ＋342＝2516. 由此可得x ＋34＝±54，∴x 1＝12，x 2＝－2.【互动总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，转化为开平方所需要的形式，配方法的一般步骤可简记为：一移，二化，三配，四开．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．若x 2－4x ＋p ＝(x ＋q )2，则p 、q 的值分别是( B ) A ．p ＝4，q ＝2 B ．p ＝4，q ＝－2 C ．p ＝－4，q ＝2D ．p ＝－4，q ＝－22．用直接开平方法或配方法解下列方程： (1)3(x －1)2－6＝0 ； (2)x 2－4x ＋4＝5； (3)9x 2＋6x ＋1＝4； (4)36x 2－1＝0； (5)4x 2＝81； (6)x 2＋2x ＋1＝4. (1)x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2. (2)x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. (3)x 1＝－1，x 2＝13.(4)x 1＝16，x 2＝－16.(5)x 1＝92，x 2＝－92.(6)x 1＝1，x 2＝－3.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy )z 的值．【互动探索】(引发学生思考)一个数的平方是正数还是负数？一个数的算术平方根是正数还是负数？几个非负数相加的和是正数还是负数？【解答】由已知方程，得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0， 即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0， ∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2. ∴(xy )z ＝[2×(－3)]－2＝136.【互动总结】(学生总结，老师点评)若几个非负数相加等于0，则这几个数都等于0. 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移项→二化简→三配方→四开方请完成本课时对应练习！21.2.2 公式法(第2课时)一、基本目标 【知识与技能】1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念． 2．会熟练运用公式法解一元二次方程． 【过程与方法】复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．【情感态度与价值观】在一元二次方程求根公式的推导过程中，激发学生兴趣，了解解决问题多样性． 二、重难点目标 【教学重点】求根公式的推导及用公式法解一元二次方程． 【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P9～P12的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．用配方法解下列方程： (1)x 2－5x ＝0； x 1＝0，x 2＝5. (2)2x 2－4x －1＝0. x 1＝1＋62，x 2＝1－62. 2．如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的两根？ x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a.【教师点拨】因为前面解具体数字的一元二次方程已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定．(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0.当b 2－4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x ＝－b ±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的__求根公式__. (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫__公式法__.(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2__个实数根，也可能__没有__实数根． (5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝__b 2－4ac __.当Δ__>__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ__＝__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根；当Δ__<__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根．4．不解方程，判断方程根的情况． (1)16x 2＋8x ＝－3； (2)9x 2＋6x ＋1＝0； (3)2x 2－9x ＋8＝0； (4)x 2－7x －18＝0.解：(1)没有实数根． (2)有两个相等的实数根． (3)有两个不相等的实数根． (4)有两个不相等的实数根．【教师点拨】将方程化为一般形式，再用判别式进行判断． 环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学) 【例1】用公式法解下列方程： (1)2x 2＋1＝3x ； (2)2x (x －1)－7x ＝2.【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的步骤是怎样的？ 【解答】(1)原方程整理，得2x 2－3x ＋1＝0. 其中a ＝2，b ＝－3，c ＝1，则Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1>0. ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－(－3)±12×2，即x 1＝12，x 2＝1.(2)原方程整理，得2x 2－9x －2＝0. 其中a ＝2，b ＝－9，c ＝－2，则Δ＝b 2－4ac ＝(－9)2－4×2×(－2)＝97>0. ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－(－9)±972×2，即x 1＝9＋974，x 2＝9－974.【互动总结】(学生总结，老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值；(2)求出Δ＝b 2－4ac 的值；(3)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a ；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b2a；当Δ<0时，方程没有实数根．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个实数根 D ．没有实数根2．如果方程5x 2－4x ＝m 没有实数根，那么m 的取值范围是__m ＜－45__.3．用公式法解下列方程：(1)2x 2－6x －1＝0； (2)2x 2－2x ＋1＝0； (3)5x ＋2＝3x 2.解：(1)x 1＝3＋112，x 2＝3－112.(2)方程没有实数根． (3)x 1＝2，x 2＝－13.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，试判断方程(a ＋b )x 2＋2cx ＋(a ＋b )＝0的根的情况．【互动探索】(引发学生思考)三角形的三边满足什么关系？是怎样根据一元二次方程的系数判断根的情况？【解答】∵a 、b 、c 分别是三角形的三边，∴a ＋b ＞0，c ＋a ＋b ＞0，c －a －b ＜0，∴Δ＝(2c )2－4(a ＋b )·(a ＋b )＝4(c ＋a ＋b )(c －a －b )<0，故原方程没有实数根．【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是掌握三角形三边的关系，即两边之和大于第三边，以及运用根的判别式Δ＝b 2－4ac 判断方程的根的情况．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．一元二次方程根的情况⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根Δ<0⇔方程没有实数根2．当Δ≥0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根为x ＝－b ±b 2－4ac2a.请完成本课时对应练习！21.2.3因式分解法(第3课时)一、基本目标【知识与技能】1．掌握用因式分解法解一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．【过程与方法】通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．【情感态度与价值观】了解因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度，培养学生的应用意识和创新能力．二、重难点目标【教学重点】运用因式分解法解一元二次方程．【教学难点】选择适当的方法解一元二次方程．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P12～P14的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．将下列各题因式分解：am＋bm＋cm＝__m(a＋b＋c)__；a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；a2＋2ab＋b2＝__(a＋b)2__；x2＋5x＋6＝__(x＋2)(x＋3)__；3x2－14x＋8＝__(x－4)(3x－2)__.2．按要求解下列方程：(1)2x2＋x＝0(用配方法)；(2)3x2＋6x－24＝0(用公式法)．解：(1)x 1＝0，x 2＝－12. (2)x 1＝2，x 2＝－4.3．对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解法__.4．如果ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0，这是因式分解法的根据．即：如果(x ＋1)(x －1)＝0，那么x ＋1＝0或 __x －1＝0__，即x ＝－1或__x ＝1__.环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生对学) 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)x 2－3x －10＝0； (2)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34；(3)3x (2x ＋1)＝4x ＋2； (4)(x －4)2＝(5－2x )2.【互动探索】(引发学生思考)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 【解答】(1)因式分解，得(x ＋2)(x －5)＝0. ∴x ＋2＝0或x －5＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝5.(2)移项、合并同类项，得4x 2－1＝0. 因式分解，得(2x ＋1)(2x －1)＝0. ∴2x ＋1＝0或2x －1＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝12.(3)原方程可变形为3x (2x ＋1)－2(2x ＋1)＝0. 因式分解，得(2x ＋1)(3x －2)＝0. ∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.(4)移项，得(x －4)2－(5－2x )2＝0. 因式分解，得(1－x )(3x －9)＝0， ∴1－x ＝0或3x －9＝0， ∴x 1＝1，x 2＝3.【互动总结】(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0；(2)将方程左边进行因式分解，将一元二次方程转化成两个一元一次方程；(3)对两个一元一次方程分别求解．【活动2】 巩固练习(学生独学) 1．解方程： (1)x 2－3x －10＝0； (2)3x (x ＋2)＝5(x ＋2)； (3)(3x ＋1)2－5＝0； (4)x 2－6x ＋9＝(2－3x )2. 解：(1)x 1＝5，x 2＝－2. (2)x 1＝－2，x 2＝53.(3)x 1＝－1＋53，x 2＝5－13.(4)x 1＝－12，x 2＝54.2．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，求该三角形的周长．解：解x 2－12x ＋35＝0，得x 1＝5，x 2＝7.∵3＋4＝7，∴x ＝5，故该三角形的周长＝3＋4＋5＝12. 【活动3】 拓展延伸(学生对学) 【例2】已知9a 2－4b 2＝0，求代数式a b －b a －a 2＋b 2ab的值． 【互动探索】(引发学生思考)a 、b 的值能求出来吗？a 、b 之间有怎样的关系？怎样将a 、b 的值与已知代数式联系起来．【解答】原式＝a 2－b 2－a 2－b 2ab ＝－2ba .∵9a 2－4b 2＝0， ∴(3a ＋2b )(3a －2b )＝0， 即3a ＋2b ＝0或3a －2b ＝0， ∴a ＝－23b 或a ＝23b .当a ＝－23b 时，原式＝－2b－23b ＝3；当a ＝23b 时，原式＝－3.【互动总结】(学生总结，老师点评)要求a b －b a －a 2＋b 2ab 的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a 与b 的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，容易发生错误．本题注意不要漏解．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.请完成本课时对应练习！*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(第4课时)一、基本目标【知识与技能】掌握一元二次方程的根与系数的关系．【过程与方法】利用求根公式得到一元二次方程的根，推导出根与系数的关系，体现了数学推理的严密性与严谨性．【情感态度与价值观】通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识，培养学生观察思考、归纳概括的能力．二、重难点目标【教学重点】理解一元二次方程的根与系数的关系．【教学难点】利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P15～P16的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解下列方程，并填写表格：方程x1x2x1＋x2x1·x2x2－2x＝00220x2＋3x－4＝0－41－3－4x2－5x＋6＝0235 6(1)用语言描述你发现的规律：__一元二次方程的两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项__.(2)关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，请用式子表示x1、x2与p、q的关系：__x1＋x2＝－p，x1x2＝q__.2．解下列方程，并填写表格：(1)用语言描述你发现的规律：__两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比__.(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，请用式子表示x 1、x 2与a 、b 、c 的关系：__x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca__.3．求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2－6x －15＝0； (2)5x －1＝4x 2； (3)x 2＝4； (4)2x 2＝3x .解：(1)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝－15. (2)x 1＋x 2＝54，x 1x 2＝14.(3)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－4. (4)x 1＋x 2＝32，x 1x 2＝0.环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】x 1、x 2是方程2x 2－3x －5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值： (1)x 1＋x 2 ； (2)1x 1＋1x 2；(3)x 21＋x 22； (4)x 21＋3x 22－3x 2.【互动探索】(引发学生思考)根据一元二次方程的根与系数的关系可考虑将所求代数式转化为两根之和与两根之积的关系．【解答】(1)x 1＋x 2＝32，(2)∵x 1x 2＝－52，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－35.(3)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝294. (4)x 21＋3x 22－3x 2＝(x 21 ＋x 22 ) ＋(2x 22 －3x 2 )＝1214. 【互动总结】(学生总结，老师点评)解答这类问题一般先将求值式进行变形，使其含有两根的和与两根的积，再求出方程的两根的和与两根的积，整体代入即可求解．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积． (1)x 2－5x －3＝0； (2)9x ＋2＝x 2； (3)6x 2－3x ＋2＝0； (4)3x 2＋x ＋1＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝－3. (2)x 1＋x 2＝9，x 1x 2＝－2. (3)方程无解． (4)方程无解．2．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值． 解：另一根为2，m ＝2.【教师点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x ＝1代入方程先求m ，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答．3．若一元二次方程x 2＋ax ＋2＝0的两根满足：x 21 ＋x 22 ＝12，求a 的值．解：a ＝±4.【教师点拨】由x 21 ＋ x 22 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12，再整体代入方程的两根之和与两根之积得到答案．【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0，且方程两实根的积为5，求k 的值．【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程有根的条件是什么？一元二次方程两实根的积与什么有关？【解答】∵方程两实根的积为5，∴ ⎩⎨⎧Δ＝[－(k ＋1)]2－4⎝⎛⎭⎫14k 2＋1≥0，x 1x 2＝14k 2＋1＝5，∴k ≥32，k ＝±4.故当k ＝4时，方程两实根的积为5.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的值应满足Δ≥0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1、x 2和系数的关系如下： x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.请完成本课时对应练习！。
(基础题)人教版九年级上册数学第二十一章 一元二次方程含答案
人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（）A. B. C. D.2、一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.无法判断3、目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生398元，今年上半年发放了468元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A.398（1+x）2=468B.468（1+x）2=398C.398（1+2x）=468 D.468（1+2x）=3984、若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围是（）A.a≥1B.a＞1C.a≤1D.a＜15、若方程（a+1）x2+ax﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（）A. a≥1B. a≠0C. a≠1D. a≠﹣16、方程（x﹣1）（x﹣2）=1的根是（）A.x1=1，x2=2 B.x1=﹣1，x2=﹣2 C.x1=0，x2=3 D.以上都不对7、已知A，B是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（）A. B. C.1 D.8、用配方法解方程x2+x﹣1=0，配方后所得方程是（）A.（x﹣）2=B.（x+ ）2=C.（x﹣）2=D.（x+ ）2=9、某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八九月份平均每月的增长率为x ，那么满足的方程是（）A.50（1+ x）2=196B.50+50（1+ x 2）=196C.50+50（1+ x）+50（1+2 x）=196D.50+50（1+ x）+50（1+ x）2=19610、方程2（x+1）2=1化为一般式为（）A.2x 2+4x+2=1B.x 2+4x=﹣1C.2x 2+4x+1=0D.2x 2+2x+1=011、用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）A.﹣1，3，﹣1B.1，﹣3，﹣1C.﹣1，﹣3，﹣1D.1，﹣3，112、已知4个数据：−，2 ，a ， b ，其中a、b是方程x2-2x-1=0的两个根，则这4个数据的中位数是（）A.1B.C.2D.13、是关于的一元一次方程的解，则（）A.-2B.-3C.4D.-614、已知点（k，b）是平面直角坐标系第二象限内的点，则一元二次方程根的存在情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.无法确定15、由下表：6.17 6.18 6.19 6.200.04 0.1可知方程（为常数）一个根（精确到0.01）的范围是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为________17、参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为________．18、若关于x的方程x2+ax+a＝0有一个根为﹣3，则a的值是________.19、若关于x的一元二次方程的一个根是3，则a的值是________．20、今年六一儿童节，博雅学校六（1）班学生互赠贺卡（即每个同学要给班上的每位同学赠贺卡），共用去1560张贺卡，则六（1）班有________ 名学生．21、若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则k的取值范围是________．22、用配方法解方程，将方程变为的形式，则________．23、方程4 =9的根为________.24、如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是________．25、一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的根的判别式的值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程：.27、已知二次函数的图象与x轴交于两点，且，求a的值．28、阅读材料，回答问题：材料：为解方程x4﹣x2﹣6=0，然后设x2=y，于是原方程可化为y2﹣y﹣6=0，解得y1=﹣2，y2=3．当y=﹣2时，x2=﹣2不合题意舍去；当y=3时，x2=3，解得x1=， x2=﹣．故原方程的根为x1=，x2=﹣．请你参照材料给出的解题方法，解下列方程①（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0．②﹣=2．29、试说明不论x，y取何值，代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．30、某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、C3、A4、A5、D6、D7、C8、D9、D11、A12、A13、A14、A15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、29、。
2017年人教版九年级上册数学第二十一章 一元二次方程
2017年人教版九年级数学上册第21章：一元二次方程：一、一元二次方程的概念1．只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是________________．二、一元二次方程的解法1．解一元二次方程的基本思想是，主要方法有：直接开平方法、__________、公式法、__________.2.配方法：通过配方把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)变形为（x ＋ab 2）²＝__________的形式，再利用直接开平方法求解． 3．公式法：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2－4ac ≥0时，x ＝____________.4．用因式分解法解方程的原理是：若a ·b ＝0，则a ＝0或__________．三、一元二次方程根的判别式1．一元二次方程根的判别式是__________． 2．(1)b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根；(2)b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根；(3)b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__________实数根．四、一元二次方程根与系数的关系1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__________，x 1x 2＝__________.注意：（1）222121212()2x x x x x x +=+-⋅（2）22121212()()4x x x x x x -=+-⋅； 12x x -=一元二次方程的定义：1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ．x 2＋1x 2＝0 B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝1 D ．3x 2－2xy －5y 2＝02.下列方程中，无论取何值，总是关于x 的一元二次方程的是（ ）A.02=++c bx axB.x x ax -=+221C.0)1()1(222=--+x a x aD.0312=-+=a x x 3.关于x 的一元二次方程（a 2—1）x 2+x —2=0是一元二次方程，则a 满足（ ）A. a ≠1B. a ≠—1C. a ≠±1D.为任意实数4.一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：。
北京市北京四中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．方程22(1)110m x m x -++-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠±l B ．m≥-l 且m≠1 C ．m≥-l D ．m ＞-1且m≠1 2．用配方法解方程2x 4x 70+-=，方程应变形为（ ）A ．2(2)3x +=B ．2 (x+2)11=C ．2 (2)3?x -= D ．2()211x -=3．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（ ） A ．5000（1+x ）＝6050 B ．5000（1+2x ）＝6050 C ．5000（1﹣x ）2＝6050 D ．5000（1+x ）2＝60504．方程22x x =的解是（ ） A ．0x = B ．2x =C ．10x =，22x =D ．10x =，22x =5．若整数a 使得关于x 的一元二次方程()222310a x a x -+++=有两个实数根，并且使得关于y 的分式 方程32133ay yy y -+=--有整数解，则符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．56．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（ ） A ．6人 B ．7人 C ．8人 D ．9人 7．若关于x 的一元二次方程260x x c -+=有两个相等的实数根，则常数c 的值为（ ） A ．3B ．6C ．8D ．98．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．x 2+65x-350=0B ．x 2+130x-1400=0C ．x 2-130x-1400=0D ．x 2-65x-350=0 9．关于x 的一元二次方程（a －1）x²－x ＋a²－1＝0的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1B ．－1C ．1或－1D ．010．已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，且(a +m )( a +n )＝2，(b +m )( b +n )＝2，则ab ﹣mn的值为（ ） A ．4 B ．1 C ．﹣2 D ．﹣1 11．一元二次方程x 2=4x 的解是（ ）A ．x=4B ．x=0C ．x=0或-4D ．x=0或4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案12．已知m 是方程2210x x --=的一个根，则代数式2242020m m -+的值为（ ） A ．2022 B ．2021C ．2020D ．201913．已知方程2202030x x +-=的根分别为a 和b ，则代数式2a a 2020a b ++的值为（ ） A ．0 B ．2020C ．1D ．-202014．若()()2222230x y xy ++--=，则22x y +的值是（ ）A ．3B ．-1C ．3或1D ．3或-1 15．如果2是方程x²−3x+k=0的一个根,则此方程的另一根为( )A ．2B ．1C ．−1D ．−2二、填空题16．若二次式236x -的值与2x -的值相等，则x 的值为_______． 17．方程230x -=的解为___________．18．已知关于x 的一元二次方程230x mx +=+的一个根为1，则方程的另一个根为________．19．设a ，b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则11a b+=_____． 20．将一元二次方程x 2﹣8x ﹣5＝0化成（x +a ）2＝b （a ，b 为常数）的形式，则b ＝_____．21．一元二次方程x 2=2x 的解为__________22．已知关于x 的方程2x m =有两个相等的实数根，则m =________．23．已知等腰三角形的边长是方程213360x x -+=的两个根，则这个等腰三角形的周长是______．24．当m ______时，关于x 的一元二次方程2350mx x -+=有两个不相等的实数根． 25．函数()2835my m x -=+-是一次函数，则m =______．26．已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++=_______．三、解答题27．先化简，再求值：（1﹣1a ）21a a -，其中a 满足方程a 2﹣a ﹣2＝0． 28．（1）计算：()21332273-+--⨯． （2）解一元二次方程：x 2﹣4x ﹣5＝0．29．物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件，设二、三这两个月月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率；（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顺客，经调查发现，销售单价与月平均销售的关系如下表： 销售单价（元） 34 35 36 37 38 39 40 月平均销售量（件）430425420415410405400若要使利润达到4250元，且尽可能多的提升月平均销售量，则销售单价应定为多少元？ 30．如图，在ABC 中，13AB AC ==厘米，10BC =厘米，AD BC ⊥于点D ，动点P 从点A 出发以每秒1厘米的速度在线段AD 上向终点D 运动．设动点运动时间为t 秒．（1）求AD 的长；（2）当PDC △的面积为15平方厘米时，求t 的值；（3）动点M 从点C 出发以每秒2厘米的速度在射线CB 上运动．点M 与点P 同时出发，且当点P 运动到终点D 时，点M 也停止运动．是否存在t ，使得112PMDABCS S =？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．。
九年级数学人教版第二十一章一元二次方程整章知识(同步课本图文结合例题详解)
解：x+5=1或x－1=7，所以x1=－4，x2=8，你的看法如何？
【解析】上述解法是错误的，将 x1、x2 代入原方程等 式两边不相等，因此它们并不是原方程的解.
九年级数学上册第21章一元二次方程
1. 当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0 是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数、 常数项分别是什么? 【解析】当a-1≠0，即a ≠1时，方程(a-1)x2-bx+c=0 是一元二次方程，这时方程的二次项系数、一次项系数、 常数项分别是a-1,-b,c.
（2）若x＝2是方程 ax2 4x 5 0 的一个根，
你能求出a的值吗？ （提示：根的作用：可以使等号成立.）
九年级数学上册第21章一元二次方程
例题
【例2】关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值
为（ ）
A．1
B ． -1
C．2
D．-2
【解析】选A. 将x=3代入方程x2-kx-6=0得32-3k-6=0 ，解得
(1 x)2 100
求得方程的正整数解为 x 9.
九年级数学上册第21章一元二次方程
2.（眉山·中考）一元二次方程的解 2x2 6 0 为
.
【解析】∵一元二次方程 2x2 6 0 , ∴x2=3 ∴x= 3
∴x1= 3 ，x2= 3 答案：x1= 3 ，x2= 3 .
（3）变形得（x+2）2 = 4，所以x1=0 , x2= -4.
九年级数学上册第21章一元二次方程
跟踪训练
解下列方程：
（1）y2=0.49 （2）a2=0.5 （3）3x2 27
【解析】 （1）用直接开平方法解得 y=±0.7，所以y1=0.7, y2= -0.7
人教版九年级数学上册知识点总结：第二十一章一元二次方程
人教版九年级数学上册知识点总结第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。
知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
典型例题：1、已知关于x的方程（）x21m-+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。
21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a-.（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程基础知识点归纳总结(带答案)
九年级数学上册第二十一章一元二次方程基础知识点归纳总结单选题1、方程3x2+10=2x2+6根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根名C．没有实数根D．无法判断答案：C分析：根据一元二次方程根的判别式判断即可．原方程变形为，3x2+10−2x2−6=0，即x2+4=0，则a=1，b=0，c=4，∴Δ=b2−4ac=0−4=−4即Δ<0；故原方程没有实数根．故选C．小提示：本题考查一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是找准方程的各系数．2、若关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a≠0B．a>−1且a≠0C．a≥−1且a≠0D．a>−1答案：B分析：根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，解得：a＞-1且a≠0，故选：B．小提示：本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．3、若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)有一根为2022，则方程a(x+1)2+b(x+1)=−5必有根为（）A．2022B．2020C．2019D．2021答案：D分析：设t=x+1，即a(x+1)2+b(x+1)=−5可改写为at2+bt+5=0，由题意关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)有一根为x=2022，即at2+bt+5=0有一个根为t=2022，所以x+1=2022，x=2021．由a(x+1)2+b(x+1)=−5得到a(x+1)2+b(x+1)+5=0，对于一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)=−5，设t=x+1，所以at2+bt+5=0，而关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)有一根为x=2022，所以at2+bt+5=0有一个根为t=2022，则x+1=2022，解得x=2021，所以一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)=−5有一根为x=2021．故选：D．小提示：本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．4、用配方法解一元二次方程x210x＋11＝0，此方程可化为（）A．（x－5）2＝14B．（x＋5）2＝14C．（x－5）2＝36D．（x＋5）2＝36答案：A分析：移项后两边都加上一次项系数一半的平方,写成完全平方式即可．x210x＋11＝0，x2-10x=-11，x2-10x+25=-11+25，即（x-4）2=14，故选：A．小提示：本题考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．5、南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（）A．x⋅(60+x)=864B．x⋅(60−2x)=864C．x⋅(30−x)=864D．x⋅(60−x)=864答案：D分析：设它的宽为x步，则长为(60-x)步，根据面积列出方程即可得出结果．解：设它的宽为x步，则长为(60-x)步，∴x(60-x)=864，故选：D．小提示：题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．6、已知x＝a是一元二次方程x2−2x−3=0的解，则代数式2a2−4a的值为（）A．3B．6C．﹣3D．﹣6答案：B分析：把x＝a代入一元二次方程x2−2x−3=0，得a2-2a-3=0，再变形，得a2-2a=3，然后方程两边同乘以2，即可求解．解：把x＝a代入一元二次方程x2−2x−3=0，得a2-2a-3=0，∴a2-2a=3，∴2a2-4a=6，故选：B．小提示：本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数值是解题的关键．7、已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +3=0有两个实数根x 1=1，x 2=n ，则代数式(m +n )2022的值为（ ） A ．1B ．0C ．32022D ．72022答案：A分析：直接利用根与系数的关系得出两根之和，进而得出答案．解：∵关于x 的一元二次方程x 2+mx +3=0有两个实数根x 1=1，x 2=n ，∴1+n =-m ，解得：m +n =-1，故（m +n ）2022=1．故选：A ．小提示：此题主要考查了根与系数的关系，正确得出m +n 的值是解题关键．8、设方程x 2−3x +2=0的两根分别是x 1,x 2，则x 1+x 2的值为（ ）A ．3B ．−32C ．32D ．−2答案：A分析：本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可． 由x 2−3x +2=0可知，其二次项系数a =1，一次项系数b =−3，由韦达定理：x 1+x 2 =−b a =−(−3)1=3，故选：A ．小提示：本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率．9、有一块矩形铁皮，长50cm ，宽30cm ，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为800cm 2．设切去的正方形的边长为x cm ，可列方程为（ ）A．4x2=800B．50×30−4x2=800C．(50−x)(30−x)=800D．(50−2x)(30−2x)=800答案：D分析：根据题意求得底面的长为(50−2x)，宽为(30−2x)，即可求解．设切去的正方形的边长为x cm，则底面的长为(50−2x)，宽为(30−2x)，则(50−2x)(30−2x)=800故选：D小提示：本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．10、关于x的方程x2−3kx−2=0实数根的情况，下列判断正确的是（）A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根C．没有实数根D．有一个实数根答案：B分析：根据根的判别式直接判断即可得出答案．解：对于关于x的方程x2−3kx−2=0，∵Δ=(−3k)2−4×1×(−2)=9k2+8>0，∴此方程有两个不相等的实数根．故选B．小提示：此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．填空题11、某海洋养殖场每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖场第一年的可变成本为2.6万元，第三年的养殖成本为7.146万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x，则可列方程为_____．答案：2.6(1+x)2=7.146−4分析：根据题意可求出第三年的可变成本为(7.146-4)万元，再用x表示出第三年的可变成本，即可列出等式，即得出答案．设可变成本平均每年增长的百分率为x，则可列方程为：2.6(1+x)2=7.146−4．所以答案是：2.6(1+x)2=7.146−4．小提示：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．12、设x1，x2是关于x的方程x2−6x+k=0的两个根，且x1=2x2，则k=______．答案：8分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=6、x1⋅x2=k，再根据x1=2x2求得x2＝2，代入k的表达式，求解即可．解：x1，x2是关于x的方程x2−6x+k=0的两个根，∴x1+x2=6，x1⋅x2=k，∵x1=2x2，∴2x2+x2=3x2=6，即x2=2，则k=x1⋅x2=2(x2)2=2×4=8，所以答案是：8．小提示：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．13、如图1，在矩形ABCD中，AB<AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD 向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图2所示，则AD边的长为________．答案：5分析：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为5，得到AB与BC的积为20；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为9，得到AB与BC的和为9，构造关于AB的一元二方程可求解．解：由图象与题意知可知，当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为5，∴12AB⋅12BC=5，即AB⋅BC=20．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为9，∴AB+BC=9．则BC=9−AB，代入AB·BC=20，得AB2−9AB+20=0，解得AB=4或AB=5，∵AB<AD，即AB<BC，∴AB=4，BC=5，∴AD=BC=5．所以答案是：5．小提示：本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．14、一元二次方程(x−2)(x+7)=0的根是_________．答案：x1=2，x2=−7分析：由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．解：由题意可知：x −2=0或x +7=0，∴x 1=2或x 2=−7，所以答案是：x 1=2或x 2=−7．小提示：本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．15、对于实数m ，n ，先定义一种断运算“⊗”如下：m ⊗n ={m 2+m +n ，当m ≥n 时n 2+m +n ，当m <n 时，若x ⊗(−2)=10，则实数x 的值为___．答案：3分析：根据定义，分x ≥－2和x ＜－2两种情况进行解方程，得出x 的值．解：当x ≥－2时，x 2+x －2=10，解得：x 1=3，x 2=－4（不合题意，舍去）；当x ＜－2时，（－2）2+x －2=10，解得：x =8（不合题意，舍去）；∴x =3．所以答案是：3．小提示：本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分x ≥－2和x ＜－2两种情况进行解方程是解题的关键．解答题16、已知长方形硬纸板ABCD 的长BC 为40cm ，宽CD 为30cm ，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm （纸板的厚度忽略不计）(1)EF＝ cm，GH＝ cm；（用含x的代数式表示）(2)若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长．答案：(1)（30-2x）；（20-x）(2)5cm分析：（1）根据所给出的图形可直接得出EF与GH即可；（2）根据（1）得到EF与GH，结合M的面积列出方程（30-2x）（20-x）=300，求出x的值即可．（1）解：由图示可得：EF=（30-2x）cm，GH=（40÷2-x）cm=（20-x）cm．故答案为（30-2x），（20-x）．（2）解：设剪掉的小正方形边长为x cm，x＜30由题意可得（30-2x）（20-x）=300解得：x=5或x=30（舍去）．答：剪掉的小正方形的边长5cm．小提示：本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用等知识点，根据图示列出一元二次方程是解答本题的关键．17、解方程：(1)x2﹣4x+2＝0：(2)（x﹣1）2﹣x+1＝0．答案：(1)x1=2+√2，x2=2−√2(2)x1=1,x2=2分析：（1）方程利用配方法求出解即可；（2）方程利分解因式法求出解即可．（1）x2﹣4x+2＝0方程整理得：x2-4x=-2，配方得：x2-4x+4=2，即（x-2）2=2，开方得：x-2=±√2解得，x1=2+√2，x2=2−√2；（2）（x﹣1）2﹣x+1＝0（x﹣1）2﹣(x-1)＝0(x−1)(x−2)=0x−1=0,x−2=0∴x1=1,x2=2小提示：此题考查了解一元二次方程-公式法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．18、解方程：(1)(x−1)2−9=0．(2)x2−2x−5=0．答案：(1)x1=4，x2=−2；(2)x1=1+√6，x2=1−√6．分析：（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．（1）解：(x−1)2−9=0，∴x−1=±3，解得：x1=4，x2=−2；（2）解：x2−2x−5=0，x2−2x=5，x2−2x+1=5+1，(x−1)2=6，∴x−1=±√6，∴x1=1+√6，x2=1−√6．小提示：本题考查了直接开平方法和配方法解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．。
北京市九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》阶段测试(含答案解析)
一、选择题1．方程22(1)110m x m x -++-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠±lB ．m≥-l 且m≠1C ．m≥-lD ．m ＞-1且m≠12．27742322x -±+⨯⨯=⨯是下列哪个一元二次方程的根（ ） A ．22730x x ++= B ．22730x x --= C ．22730x x +-=D ．22730x x -+= 3．下列方程属于一元二次方程的是（ ）A ．222-=x x xB ．215x x +=C ．220++=ax bx cD ．223x x += 4．下列方程中是一元二次方程的是（ ）A ．210x +=B ．220x -=C ．21x y +=D ．211x x+= 5．用配方法解方程2x 4x 70+-=，方程应变形为（ ）A ．2(2)3x +=B ．2 (x+2)11=C ．2 (2)3?x -=D ．2()211x -= 6．将4张长为a 、宽为b （a ＞b ）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a ＋b ）的正方形，图中空白部分的面积之和为S 1，阴影部分的面积之和为S 2．若S 1＝53S 2，则a ，b 满足（ ）A ．2a ＝5bB ．2a ＝3bC ．a ＝3bD ．3a ＝2b7．已知a ，b ，c 分别是三角形的三边长，则关于x 的方程()()220a b x cx a b ++++=根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有且只有一个实数根D ．没有实数根8．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．210x x +=B ．ax 2+bx +c ＝0C ．(x ﹣1)(x ﹣2)＝0D ．3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)29．若关于x 的一元二次方程260x x c -+=有两个相等的实数根，则常数c 的值为（ ） A ．3B ．6C ．8D ．9 10．一元二次方程20x x -=的根是（ ） A ．10x =，21x =B ．11x =，21x =-C ．10x =，21x =-D ．121x x == 11．关于x 的一元二次方程（a －1）x²－x ＋a²－1＝0的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ．012．方程23x x =的解为（ ） A ．3x =B ．3x =-C ．10x =，23x =D ．10x =，23x =- 13．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++=B ．22(1)x x x -=-C ．2325x x y -+=D ．2210x += 14．一元二次方程（x ﹣3）2﹣4＝0的解是（ ） A ．x ＝5 B ．x ＝1 C ．x 1＝5，x 2＝﹣5 D ．x 1＝1，x 2＝5 15．如图，BD 为矩形ABCD 的对角线，将△BCD 沿BD 翻折得到BC D '△，BC '与边AD 交于点E ．若AB ＝x 1，BC ＝2x 2，DE ＝3，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣4x+m ＝0的两个实根，则m 的值是（ ）A ．165B ．125C ．3D ．2二、填空题16．已知x a =是方程2350x x --=的根，则代数式234a a -++的值为________． 17．解方程：268x x +=-解：两边同时加_________，得26x x ++________8=-+________则方程可化为（_______）2=________两边直接开平方得_____________即_________或_____________所以1x =__________，2x =___________．18．将方程2630x x +-=化为()2x h k +=的形式是______．19．若二次式236x -的值与2x -的值相等，则x 的值为_______．20．关于x 的方程()210x k x x -++=有两个相等的实数根，则k =_______． 21．写出有一个根为1的一元二次方程是______．22．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0有一根为x ＝﹣1，则a +b ＝_____．23．用配方法解方程x 2+4x+1＝0，则方程可变形为（x+2）2＝_____．24．已知x ＝2是关于x 一元二次方程x 2+kx ﹣6＝0的一个根，则另一根是_____． 25．已知等腰三角形的边长是方程213360x x -+=的两个根，则这个等腰三角形的周长是______．26．当x=______时，−4x 2−4x+1有最大值．三、解答题27．（1）用配方法解：221470x x --=；（2）用因式分解法解：()()222332x x -=-．28．解方程：（1） 2890x x --=（2）（x+1）2=6x+629．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．（1）若每件衬衫降价5元，则每件商品盈利________元，每天可售出________件，商场每天盈利________元；（2）若每件衬衫降价x 元，则每件商品盈利________元，每天可售出________件（用含x 的代数式表示）；（3）若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？30．解方程：2x²-4x-3=0．。