2017年秋季新版湘教版九年级数学上学期4.1、正弦和余弦课件21
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九年级数学(湘教版)上册课件：正弦和余弦
规律：不论三角板大小，30°、45°、60°角的对边与斜 边的比值是个固定值.
2.若是普通直角三角形，当一个锐角的度数固定时，这个 角的对边与斜边的比值是否也是固定值呢?
学生组内讨论探索 (学生画图并运用三角形类似知识加以证明) 规律：(1)直角三角形中，锐角大小确定后，这个角的对边与 斜边的比值随之确定； (2)直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比 值越大.
动手实践，寻找规律
• 由推理可得：角度不变，比值不变
• 由动态演示：角度改B变’，比值改变
B D D’
A
αβ C C’
类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三 角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数．
定义
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正
弦，记作: sin
即:
sin
角的对边
cos＝sin 90- ，
sin＝cos90 ．
例
题
求 cos30 ，cos 60 ，cos 45 的值．
cos30 sin 90 30 sin 60 3 ,
2
cos 60 sin 90 60 sin 30 1 ,
2
cos 45 sin 90 45 sin 45 2 .
2
35° 68°
88° 9° 30°18′
76°18′ 9°38′ 81°53′
cos
0.3746 0.3746 0.0349 0.9877 0.8634
0.2368 0.9859 0.1409
65角的对边
斜边
的值，
与同桌和邻近桌的同学交流，计算出 的比值是否相等（精确到0.01）？
结论：在有一个锐角为65º的直角三角形中， 65º角的对边与 斜边的比值是一个常数，它约等于0.91．
2.若是普通直角三角形，当一个锐角的度数固定时，这个 角的对边与斜边的比值是否也是固定值呢?
学生组内讨论探索 (学生画图并运用三角形类似知识加以证明) 规律：(1)直角三角形中，锐角大小确定后，这个角的对边与 斜边的比值随之确定； (2)直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比 值越大.
动手实践，寻找规律
• 由推理可得：角度不变，比值不变
• 由动态演示：角度改B变’，比值改变
B D D’
A
αβ C C’
类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三 角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数．
定义
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正
弦，记作: sin
即:
sin
角的对边
cos＝sin 90- ，
sin＝cos90 ．
例
题
求 cos30 ，cos 60 ，cos 45 的值．
cos30 sin 90 30 sin 60 3 ,
2
cos 60 sin 90 60 sin 30 1 ,
2
cos 45 sin 90 45 sin 45 2 .
2
35° 68°
88° 9° 30°18′
76°18′ 9°38′ 81°53′
cos
0.3746 0.3746 0.0349 0.9877 0.8634
0.2368 0.9859 0.1409
65角的对边
斜边
的值，
与同桌和邻近桌的同学交流，计算出 的比值是否相等（精确到0.01）？
结论：在有一个锐角为65º的直角三角形中， 65º角的对边与 斜边的比值是一个常数，它约等于0.91．
湘教版九年级数学上册第4章4.1《正弦和余弦》精品PPT教学课件
AB DE
α
α
万向思维精品图书
∵ ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E, 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
万向思维精品图书 如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
（1）
（2）
万向思维精品图书
小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，
算出：
A的对边 斜边
3 3.3
10 . 11
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边A′B′=2.2cm，
算出：
A'的对边 斜边
2 2.2
10 . 11
万向思维精品图书
由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形 中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 10 .
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
万向思维精品图书
新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
万向思维精品图书
∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角 的邻边 斜边
α
万向思维精品图书
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).
α
α
万向思维精品图书
∵ ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E, 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
万向思维精品图书 如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
（1）
（2）
万向思维精品图书
小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，
算出：
A的对边 斜边
3 3.3
10 . 11
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边A′B′=2.2cm，
算出：
A'的对边 斜边
2 2.2
10 . 11
万向思维精品图书
由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形 中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 10 .
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
万向思维精品图书
新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
万向思维精品图书
∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角 的邻边 斜边
α
万向思维精品图书
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).
九年级数学上册4.1正弦(第1课时)课件(新版)湘教版
B
B
70 °
A
C
A
这个比值与三角形的 大小有关吗？
30 °
100m
C
30 锐角所对的直角边 斜边
1 2
在直角三角形中，45°的锐角所对的直角边与斜
边的比值会是一个常数吗，你能求这个常数吗？
B
45的锐角所对的直角边 斜边
2, 2
45 °
60的锐角所对的直角边 斜边
A
？
C
这些比值与三角形的大小有关吗？
若从顶峰至道观修 一条滑道，滑道大 约长多少米？
讲授新课
一 锐角正弦的概念
问题：同学们，从上述情境中，你可以找到一个什么数学 问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
B
?
100m
70 °
A
C
直角三角形中锐角A与它的对边和斜边之间是否也存在某 种关系呢？
如果将条件中的70°改为30°，你能求AB吗？
综上可知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当 ∠A＝30°、45°、 60° 时，它的对边与 斜边的比都是一个固定值.
任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A＝
∠A’＝α，那么
BC与 B'C有' 什么关系．你能解释一下吗？
AB A' B'
B' B
A
C
A'
C'
BC B'C' AB A' B'
AC2 = AB2-BC2 = 52-32 = 16
于是 AC Leabharlann 4因此 sin B AC 4 AB 5
当堂练习
1.在直角三角形ABC中，若三边长都扩大二倍，则锐角 A的正弦值（ B )
湘教版九年级数学上册4.1正弦和余弦课件
5
6
6
C
6 A
2．在Rt △ABC 中， ∠C= 90º， BC=7，B=8．求
cos A, cos B, sin A，sin B 的值．
B
答案：
cos A
15 ,
8
cos B 7 , 8
7
8
sin A 7 , sin B 15 .
8
8
C
A
3 ．求下列各式的值．
（１） sin 30 cos 30,
0.3746 0.3746 0. 0349 0.9877 0.8634
0.2368 0.9859 0.1409
2．已知正弦值或余弦值，用计算器求相应的锐 练 习 角α （精确到1′）．
（1） sinα＝0.1087，则α≈ （2） sinα＝0.9358，则α≈
6°14′ 69°21′
（3） cosα＝0.7081，则α≈ 44°55′
cos AC ,
AB
AC＜AB
∴
C
A
0＜ cos ＜1．
4．求下列各式的值
（１）sin2 30 cos2 30; （２） sin2 45 cos2 45;
（３） sin2 60 cos2 60.
解 （１）sin2 30 cos2 30
（２）
sin
2
45
cos2
45
1 2
2 2
2 2
Sin160 sin Cos420 cos
按键的顺序
1
6
=
4
2
=
显示结果 0.275 637 355 0.743 144 825
由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用.
湘教版九年级上4.1正弦和余弦(第一课时)课件
题 （１）求∠A的正弦 sin A ；
B
（２）求∠B的正弦 sin B ．
3
5
C
A
2、在直角三角形ABC中，∠C= 90º，BC=3，
AC=5 。
（１）求∠A的正弦 sin A ；
B
（２）求∠B的正弦 sin B ．
3
C5
A
练习
练习
1．在直角三角形ABC中， ∠C= 90º， BC=5，
AB=13．
B
（１）求 sin A 的值； （２）求 sin B 的值．
5
13
C
A
2、在直角三角形ABC中，若三边长都
扩大二倍，则锐角A的正弦值（B )
A、扩大2倍
B、不变
C、缩小2倍
D、无法确定。
3、在平面直角体系第一象限内有一点 P（3，4），连接0P，求OP与X轴正方 向所夹锐角α的正弦值。
知识拓展:
小刚说：对于任意锐角α，都有 0 ＜ sin ＜1
探究
1、在纸上画有一个角为30º的直角三角 形, 思考30º角的对边与斜边的比值有什 么规律？
A
在直角三角形△ABC中，∠C=90º
如果∠A=30ºBC=3 那么AB=6 ，
C
B
斜边AB=10 那么BC= 。5
结论：30º角的对边斜边的比值是__0_.5_
做一做
每位同学画一个直角三角形，其中一个锐 角为65º，量出65º角的对边长度和斜边长 度，计算：
弦，记作: sin
即: sin角斜 的边 对边
BC AB
a c
A
c
Ca B
如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°,AB ＝c, AC ＝b, BC ＝a.
湘教版九年级数学上册课件：4.1 正弦和余弦 (共25张PPT)
AB DE
α
α
∵ ∠A=∠D= α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E , 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
AB
2
=
3 4
AB2.
因此
sin60
=
AC AB
=
3 2
.
至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）
的正弦值，而对于一般锐角 α 的正弦值，我们可以利用计算
器来求.
例如求 50°角的正弦值，可以在计算器上依次按
键
，显示结果为0.7660…
如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对 应锐角.
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角 的邻边 斜边
α
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).
例3 求cos30°，cos60°，cos45°的值．
解：
cos30 = sin(90 -30)= sin60 =
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
α
α
∵ ∠A=∠D= α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E , 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
AB
2
=
3 4
AB2.
因此
sin60
=
AC AB
=
3 2
.
至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）
的正弦值，而对于一般锐角 α 的正弦值，我们可以利用计算
器来求.
例如求 50°角的正弦值，可以在计算器上依次按
键
，显示结果为0.7660…
如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对 应锐角.
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角 的邻边 斜边
α
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).
例3 求cos30°，cos60°，cos45°的值．
解：
cos30 = sin(90 -30)= sin60 =
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
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2
2 例 2.在△ABC 中， ∠C＝90° ， BC＝2， sinA＝ ， 则边 AC 的长是( 3 A. 13 BinA＝ ，可求出 AB＝3，在用勾股定理求 AC. 3 解：D
例 3.B 在 Rt△ABC 中，如果各边长度都扩大 3 倍， 则锐角A的正弦值( ) A．不变化 B．扩大3倍 C．缩小 D．缩小3倍 解析：因为各边值都扩大3倍，所以锐角A的对边 与斜边的比值不变． 解：A
2．问题2：在上述问题中，他 在水平方向又分别前进了多远？
思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三 角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜 边的比值________；与三角形大小无关．
归纳结论：在直角三角形中，锐角α的对边与斜 边的比叫角α的正弦，记作Sinα
角α的对边 即 Sinα＝ 斜边
四、点点对接 例1.如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AC＝4， BC＝3， (1)求∠A的正弦SinA.
五、小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？
六、布置作业 推荐课后完成《课时夺冠》相关作业．
(2)求∠B的正弦SinB.
解析：先利用勾股定理算出 AB 的长，在利用正 弦的计算方法进行计算．
3 解：(1)∠A 的对边 BC＝3，斜边 AB＝5，于是 SinA＝ . 5
2)∠B 的对边是 AC，根据勾股定理，得 AC2＝AB2－BC2＝52 4 －3 ＝16.于是 AC＝4， 因此 SinB＝ 5
教学目标 1．使学生理解锐角正弦的定义． 2．会求直三角形中锐角的正弦值．
教学重难点 重点：理解和掌握锐角正弦的定义． 难点：根据定义求锐角的正弦值．
一、课前预习 阅读课本P109－111页内容，了解本节主要内容．
二、情景引入 1 ．下图是学校举行升国旗仪式的情景，你能想 办法求出旗杆的高度吗？
2．学习了本章内容你就能简捷地解决这类问题， 本章将介绍的锐角三角形函数，它们的本事可大了， 可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节 “正弦和余弦”．
三、探究新知 1 ．问题 1 ：如图，小明沿着某斜坡向上行走了 13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜 坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行 走了多少呢？
2 例 2.在△ABC 中， ∠C＝90° ， BC＝2， sinA＝ ， 则边 AC 的长是( 3 A. 13 BinA＝ ，可求出 AB＝3，在用勾股定理求 AC. 3 解：D
例 3.B 在 Rt△ABC 中，如果各边长度都扩大 3 倍， 则锐角A的正弦值( ) A．不变化 B．扩大3倍 C．缩小 D．缩小3倍 解析：因为各边值都扩大3倍，所以锐角A的对边 与斜边的比值不变． 解：A
2．问题2：在上述问题中，他 在水平方向又分别前进了多远？
思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三 角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜 边的比值________；与三角形大小无关．
归纳结论：在直角三角形中，锐角α的对边与斜 边的比叫角α的正弦，记作Sinα
角α的对边 即 Sinα＝ 斜边
四、点点对接 例1.如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AC＝4， BC＝3， (1)求∠A的正弦SinA.
五、小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？
六、布置作业 推荐课后完成《课时夺冠》相关作业．
(2)求∠B的正弦SinB.
解析：先利用勾股定理算出 AB 的长，在利用正 弦的计算方法进行计算．
3 解：(1)∠A 的对边 BC＝3，斜边 AB＝5，于是 SinA＝ . 5
2)∠B 的对边是 AC，根据勾股定理，得 AC2＝AB2－BC2＝52 4 －3 ＝16.于是 AC＝4， 因此 SinB＝ 5
教学目标 1．使学生理解锐角正弦的定义． 2．会求直三角形中锐角的正弦值．
教学重难点 重点：理解和掌握锐角正弦的定义． 难点：根据定义求锐角的正弦值．
一、课前预习 阅读课本P109－111页内容，了解本节主要内容．
二、情景引入 1 ．下图是学校举行升国旗仪式的情景，你能想 办法求出旗杆的高度吗？
2．学习了本章内容你就能简捷地解决这类问题， 本章将介绍的锐角三角形函数，它们的本事可大了， 可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节 “正弦和余弦”．
三、探究新知 1 ．问题 1 ：如图，小明沿着某斜坡向上行走了 13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜 坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行 走了多少呢？