人教版垂径定理

A
E
B
O
·
r
a 2
d
a 2 2 =d2+( ) r 2
构造直角三角形，利用垂径定理 和勾股定理，解决问题。
解决求赵州桥拱半径的问题？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 解: 如图，用弧AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为r．
教学目标：
1. 理解圆是轴对称图形. 2. 掌握垂径定理和推论的推理过程，并能解决一些简单的计算、 证明和作图问题。 3. 使学生了解垂径定理及推论在实际中的应用，培养学生把 实际问题转化成数学问题的能力。
教学重点：
1.垂直于弦的直径的性质、推论及应用。 2.利用垂径定理及推论解决实际问题。
教学难点：
O
巩固练习
7．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E。 求证：四边形ADOE是正方形． 证明： ∵ AB⊥ AC于A， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E ∴
OEA ODA EAD 90
C
∴四边形ADOE为矩形， 1 1 又由垂径定理： AE AC AD AB 2 2 且 AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
C
（不是直径）， 如图，若CD是直径，且CD平分弦AB 是否能得到CD⊥AB，且平分弧ACB和 弧AB？为什么？
·
O E B D
AC=BC AD=BD CD⊥AB 垂径定理推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
符号语言：
A
思考：如果AB也是直径，
上述结论是否成立？
不一定. ∵ CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径）， 且AE=BE， A O
AO OE AE
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
1. 如图，在⊙O中，直径为 10cm，弦AB的长为8cm，求圆 心O到AB的距离. 2. 如图，在⊙O中，直径为 10cm，圆心O到AB的距离为 3cm，求弦AB的长. 3. 设⊙O的半径是r，圆心到弦 的距离为d，弦长为a，这三者 间有怎样的关系式？
AD=BD
E B D
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦， A 并且平分弦所对的两条弧．
符号语言： CD是⊙O的直径，CD⊥AB于E， ∵ ∴AE=BE, AC=BC ， AD=BD .
·
O
（ 若一条直线满足： 1）过圆心 CD是直径（2）垂直于弦 CD ⊥AB于E 则可推出： （3）平分弦 AE=BE （4）平分弦所对的优弧 AC=BC （5）平分弦所对的劣弧 AD=BD
E
·
O
A
D
B
C
1.垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且 平分弦所对的两条弧． 2.垂径定理推论：
·
O E A D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧． 3.半径、弦、弦心距、弓形高之间的关系。 r2 =d2+( a)2
2
h
a/2
r d
h+d=r
O
1.必做题： 课本P87——P88 第1、7题。 2.选做题： 课本P88 第10题. 3.备选题： 圆o的直径是50 ,圆o的两条平行弦AB与CD， 若AB=40，CD=48. 求AB与CD间的距离.
过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，
∵半径OC⊥弦AB AB=37.4，CD=7.2， ∴ AD 1 AB 1 37.4 18.7,
2 2
∴
即:
OD=OC－CD=r－7.2
OA2=AD2+OD2 r2=18.72+（r－7.2）2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C B
AC O D B
∴ CD ⊥ AB ，
，
.
D
C
（1）过圆心（CD是直径）；
（2）垂直于弦（CD ⊥AB于E）；
E
A
（3）平分弦（AE=BE）；
·
O B D
（4）平分弦所对的劣弧（ AD=BD）；
（5）平分弦所对的优弧（ AC=BC ）.
5个条件中，任满足2个，剩下3个结论都成立。 由 (2)、(3)，得(1)、(4)、(5)。
实践探究
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直 径对折，重复几次，你发现了什么？由 此你能得到什么结论？
可以发现：
C
圆是轴对称图形，任何 一条直径所在直线都是 它的对称轴．
·
O D
如图 ，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． 你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
相等的线段： AE=BE 相等的弧： AC=BC
1.对垂直于弦的直径的性质、推论的说明过程的理解。 2.应用垂径定理及推论解决实际问题。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆 弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点 到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
2. 如图，在⊙O中，P是弦ＡＢ的中点，ＣＤ 是过点Ｐ的直径，则下列结论不正确的是（ Ｄ ）
C
Ａ．CD ⊥AB Ｂ．AC=BC C． AD=BD Ｄ．ＰＯ＝ＰＤ
Ｐ
A
·
O B D
Hale Waihona Puke ３. 如图，周长为10 的⊙O中，弦AB的弦心 距OC等于3，那么弦AB的长为（ D ）。 A A. 2 B. 4 O C. 6 D. 8 C ４. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E， 若AB=20，CD=16，则线段OE等于（ B ）。 A A. 4 B. 6 C. 8 D.10 O
r2 =d2+( a)2 2
h+d=r
C
h a/2 r d
A
D
B
解得：r≈27．9（m）
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
O
AB=37.4m CD=7.2m
巩固练习 1. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于M， C 下列结论不一定成立的是（ ） A Ａ． CM=DM O Ｂ． AC=AD C D M Ｃ． AD=2BD B Ｄ．∠BCD=∠BDC
A
C B O
常用此方法来确定圆心的位置
例1：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心 O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解：过点O作OE⊥AB于E，连接OA.
1 1 AE AB 8 4 2 2
在 Rt
OE AB
A
E
B
AOE中 由 股 理 ： ， 勾 定 得
2 2
O
·
C E B D
巩固练习
B
巩固练习
5. 如图，⊙O的直径ＡＢ垂直弦ＣＤ于Ｐ，且 Ｐ是半径ＯＢ的中点，ＣＤ＝６，则直径 Ａ AB的长为（ D ）。 A. 2 3 B. 3 2 O Ｐ C. 4 2 D. 4 3
Ｄ Ｂ
·
Ｃ
6. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨 度ＡＢ的长为２４米，拱桥的半径为１３米，则拱高 C ＣＤ的长为（ B）米。 D A. ５ B. ８ A B C. ７ D. 5 3