【数学】广东省惠州市第一中学2015-2016学年高二4月月考(文)

惠州市第一中学高二4月月考文科数学试题用时：120分钟 满分：150分一、选择题（每题5分，共60分） 1已知集合{}{}1,2,3,1,2,4A B ==，则AB 等于（ ）A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}1,2D ．{}1,2,3,4 2.函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是 （ ）A.),31(+∞-B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞ 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，511a =，12186,S = 则8a =（ ） A.18 B.20 C. 21 D. 224.执行程序框图，该程序运行后输出的的值是 （ ） A.6 B.5 C. 4 D.35.已知平面向量(12)=，a ，(32)=-，b ，若k +a b 与3-a b 垂直，则实数k 值为（ ） A.13-B.119C. 11D. 196.一个俯视图为正方形的几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）kA.2B.43C. 23D. 137. 从1、2、3、4中任取两个数，则其中一个数是另一个数两倍的概率为（ ） A ．16 B ．14 C ．13D ．128.已知双曲线2219x y m-=的一个焦点为(5,0)，则它的渐近线方程为（ ）A.43y x =±B.223y x =±C. 23y x =±D. 34y x =±9．已知直线l ⊥平面α,直线m ∥平面β,则“α∥β”是“l ⊥m ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 10．已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 11.若,x y 满足约束条件3000x y a x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩且目标函数2z x y =+的最大值为10，则a 等于（ ）A ．-3B ．-10C ．4D ．1012.已知函数()()22,191,1x x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩，若函数()()g x f x k =-仅有一个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．4,23⎛⎤⎥⎝⎦ B ．()4,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C ．(),0-∞ D ．()4,0,23⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭二、填空题（每题5分，共20分）13.设函数2,0()21,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，则((1))f f -=________．14.在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则角A = .15.函数()f x 的图象在2x =处的切线方程为230x y +-=，则(2)(2)f f '+= . 16.已知圆1)sin 2()cos 2(:221=-+-θθy x C 与圆1:222=+y x C ，在下列说法中： ①对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终相切； ②对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终有四条公切线； ③当6πθ=时，圆1C 被直线013:=--y x l 截得的弦长为3；④Q P ,分别为圆1C 与圆2C 上的动点，则||PQ 的最大值为4． 其中正确命题的序号为______． 三、解答题（6题共70分）17.（本小题满分10分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . 已知a+b =5，c =7，且274sin cos2.22A B C +-= (1) 求角C 的大小；（2）求△ABC 的面积18.（本小题满分12分）已知数列{}2nn a -为等差数列，且138,26a a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．19.（本小题满分12分）已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表： 人数xyA B CA14 40 10Ba36 bC28834若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设,x y 分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为A 等级的共有14+40+10=64人，数学成绩为B 等级且地理成绩为C 等级的有8人．已知x 与y 均为A 等级的概率是0.07． （1）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求,a b 的值；（2）已知8,6a b ≥≥，求数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率．20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF ∆为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，2EF =，四边形EFCB 是高为3的等腰梯形，//EF BC ，O 为EF 的中点． （1）求证：AO CF ⊥；（2）求O 到平面ABC 的距离．21. （本小题满分12分）如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，焦距为22，直线x a=-与y b =交于点D ，且32BD =，过点B 作直线l 交直线x a =-于点M ，交椭圆于另一点P ．（1）求椭圆的方程；（2）证明：OM OP 为定值．22.（本小题满分12分）设a R ∈，函数2()ln ,()xf x ax xg x e ax =-=-．（1）当7a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若()()0f x g x >对(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案选择题：1.C 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.C 8.A 9.A 10.C 11.C 12.D填空题：13.0 14.120° 15.-3 16.①③④【解析】对于①，我们知道两个圆相切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和，有题意，有：圆1C 的半径为：1，圆心为：()2cos ,2sin θθ；圆2C 的半径为：1，圆心为：()0,0，所以两个圆的圆心距为：()()22222cos 02sin 04cos 4sin 2θθθθ-+-=+=，又因为，两圆的半径之和为：1+1=2=圆心距，所以对于任意θ，圆1C 和圆2C 始终相切。

对于②，从①有，两圆相切，所以两圆只有三条公切线，所以②错误。

对于③，我们有圆1C 的方程为：()()22311x y -+-=，故有圆1C 的圆心为：()3,1，设其被l 所截弦为CD ，过圆心1C 做1C P 垂直于CD ，则由圆的性质，有P 是弦CD 的中点，所以圆心到直线l 的距离为：()2233111231⋅--=+，又因为圆1C 的半径为1，所以有其所截弦CD 的长为：221213,2⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭所以③正确。

对于④，由①有，两圆相切，所以两圆上的点的最大距离就是两圆的直径之和，因为1C 的直径为2，2C 的直径也为2，也就是说PQ 的最大值为：2+2=4.三、解答题（6题共70分）17.（本小题满分10分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . 已知a+b =5，c =7，且274sin cos2.22A B C +-= (Ⅰ) 求角C 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积. 解：(Ⅰ)∵A +B +C =180°由 ∴ 整理，得 ------------------3分 解 得： ……4分 ∵ ∴C=60° ------------------5分（Ⅱ）由余弦定理得：c 2=a 2+b 2－2abcosC ，即7=a 2+b 2－ab ∴由条件a+b=5得 7=25－3ab ， 故--------------8分 ∴ 272cos 2cos 4272cos 2sin 422=-=-+C C C B A 得27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C 01cos 4cos 42=+-C C 21cos =C ︒<<︒1800C ab b a 3)(72-+=ab=623323621sin 21=⨯⨯==∆C ab S ABC所以的面积． -----------------10分 18.（本小题满分12分）已知数列{}2nn a -为等差数列，且138,26a a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．解：（1）设数列{}2nn a -的公差为d ，∵31326,218a a -=-=，∴18662d -==，．．．．．．．．3分 ∴266(1)6n n a n n -=+-=，∴26n n a n =+． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 （2）12122(1)2226(12)623(1)2122n nn n n n S n n n ++-+=+++++++=+⨯=++--．．．．．．．．12分19.（本小题满分12分）已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表： 人数xyA B CA14 40 10Ba36bABC △323sin 21==C ab SC 28 8 34若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设,x y 分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为A 等级的共有14+40+10=64人，数学成绩为B 等级且地理成绩为C 等级的有8人．已知x 与y 均为A 等级的概率是0.07． （1）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求,a b 的值；（2）已知8,6a b ≥≥，求数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率． 19．解：（1）140.07200n n =⇒=，∴14280.3200a ++=，故18a =， 而1428403681034200ab ++++++++=，∴12b =． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）30a b +=且8,6a b ≥≥．由14281034a b ++>++得2a b >+．(,)a b 的所有结果为(8,22),(9,21),(10,20),(11,19),(24,6)共17组，其中2a b >+的共8 组，则所求概率为：817． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF ∆为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，2EF =，四边形EFCB 是高为3的等腰梯形，//EF BC ，O 为EF 的中点． （1）求证：AO CF ⊥； （2）求O 到平面ABC 的距离．20．（1）证明：因为AEF ∆等边三角形，O 为EF 的中点，所以AO EF ⊥． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分又因为平面AEF ⊥平面,EFCB AO ⊂平面AEF ，平面AEF 平面EFCB EF =， 所以AO ⊥平面EFCB ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 又CF ⊂平面EFCB ，所以AO CF ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）解：取BC 的中点G ，连接OG ．由题设知，OG BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分由（1）知AO ⊥平面EFCB ，又BC ⊂平面EFCB ，所以OA BC ⊥，因为OG OA O =，所以BC ⊥平面AOG ．．．．．．．．．8分过O 作OH AG ⊥，垂足为H ，则BC OH ⊥，因为AG BC G =，所以OH ⊥平面ABC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 因为3,3OG AO ==，所以62OH =，即O 到平面ABC 的距离为62．（另外用等体积法谈亦可）．．．．．．．．．．．．．．．12分21. （本小题满分12分） 如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，焦距为22，直线x a =-与y b =交于点D ，且32BD =，过点B 作直线l 交直线x a =-于点M ，交椭圆于另一点P ．（1）求椭圆的方程；（2）证明：OM OP 为定值．21．解：（1）由题可得22222(2)32222a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，∴2242a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆的方程为22142x y +=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）(2,0),(2,0)A B -，设011(2,),(,)M y P x y -，则110(,),(2,)OP x y OM y ==-，直线BM 的方程为：0(2)4y y x =--，即00142y y x y =-+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 代入椭圆方程2224x y +=，得2222000(1)40822y y y x x +-+-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 由韦达定理得201204(8)28y x y -=+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴201202(8)8y x y -=+，∴012088y y y =+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴2220001012220004(8)843224888y y y OP OM x y y y y y -+=-+=-+==+++，即OP OM 为定值． ．．．．．．．．．12分22.（本小题满分12分）设a R ∈，函数2()ln ,()xf x ax xg x e ax =-=-．（3）当7a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（4）若()()0f x g x ⋅>对(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）当7a =时，21()7ln ,()14f x x x f x x x'=-=-，∴(1)13f '=，∵(1)7f =， ∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为713(1)y x -=-即136y x =-．．．．．．．．．．．．．3分 （2）若()0f x >对(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 0ax x ->对(0,)x ∈+∞恒成立，则max 2ln ()x a x>， 设2ln ()(0)x h x x x =>，则312ln ()x h x x -'=， 当120x e <<时，()0h x '>，函数()h x 递增；当12x e >时，()0h x '<，函数()h x 递减，所以当0x >时，12max 1()()2h x h e e ==， ∴12a e>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵()h x 无最小值，∴()0f x <对(0,)x ∈+∞恒成立不可能．∵()()0f x g x >对(0,)x ∈+∞恒成立，∴()0xg x e ax =->，即xe a x <对(0,)x ∈+∞恒成立． 设()xe H x x=，∴2(1)()x e x H x x -'=，当01x <<时，()0H x '<，函数()H x 递减； 当1x >时，()0H x '>，函数()H x 递增，所以当0x >时，min ()(1)H x H e ==， ∴a e <．．．．．．．11分 综上可得，12a e e<<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。