人教版广东省惠州市第一中学高二数学选修2-2 第一章 导数及其应用 函数极值与导数 函数的最大(小)
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.3.2
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其它 0 ；而且在点 x ＝ b 附近的左侧 点的函数值都大， f′(b) ＝ ______ f′(x)>0 f′(x)<0 ，就把点b叫做函数y＝f(x)的极 __________ ，右侧__________ 大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
③y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零；
④y＝f(x)在区．②③
B．①④
D．③④
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第一章 导数及其应用
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解析：
由导函数图象知函数 f(x) 在( －∞，－3) 上单调递
解析：
D．极小值点x＝1
y′＝6x(x2－1)2＝0有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3
＝1，由解y′>0得x>0；由解y′<0得x<0，只有x＝0是极小值点，
故选C.
答案： C
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第一章 导数及其应用
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3．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．
么，f(x0)是极大值．
f′(x)<0 ，右侧__________ f′(x)>0 (2)如果在x0附近的左侧__________ ，那 么，f(x0)是极小值．
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人教版高中数学选修2-2学案：第一章1.31.3.2函数的极值与导数
1． 3.2函数的极值与导数预习课本P26～ 29，思虑并达成以下问题(1)函数极值点、极值的定义是什么？(2)函数获得极值的必需条件是什么？(3)求可导函数极值的步骤有哪些？[新知初探 ]1．函数极值的观点(1) 函数的极大值一般地，设函数y＝ f(x)在点 x0及邻近有定义，假如对x0邻近的全部的点，都有f(x)＜f(x0)，就说 f(x0 )是函数 y＝ f(x)的一个极大值，记作y 极大值＝ f(x0)， x0是极大值点．(2) 函数的极小值一般地，设函数y＝ f(x)在点x0及邻近有定义，假如对x0邻近的全部的点，都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数y＝ f(x)的一个极小值，记作y 极小值＝ f(x0)， x0是极小值点．极大值与极小值统称为极值．[点睛 ]怎样理解函数极值的观点(1)极值是一个局部观点，极值不过某个点的函数值，与它邻近点的函数值比较它是最大值或最小值，但其实不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值能够不只一个．(3)函数的极大值与极小值之间无确立的大小关系．(4)函数的极值点必定出此刻区间的内部，区间的端点不可以成为极值点．(5)单一函数必定没有极值．2．求函数 y＝ f(x)极值的方法一般地，求函数y＝ f(x)的极值的方法是：解方程 f′(x)＝ 0. 当 f′(x)＝ 0 时：(1)假如在 x0邻近的左边 f′(x)＞ 0，右边 f′(x)＜ 0，那么 f( x0)是极大值；(2)假如在 x0邻近的左边 f′(x)＜ 0，右边 f′(x)＞ 0，那么 f( x0)是极小值．[点睛 ]一般来说，“f′(x0)＝0”是“函数y＝f(x)在点x0处获得极值”的必需不充足条件．若可导函数 y＝ f(x)在点 x处可导，且在点 x处获得极值，那么 f′(x000)＝0；反之，若f′(x0)＝0，则点 x0不必定是函数 y＝ f(x)的极值点．[小试身手 ]1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数 f(x)＝ x3＋ ax2－ x＋ 1必有 2个极值． ()(2)在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合． ()1(3)函数 f(x)＝x有极值． ()答案： (1) √ (2) √ (3) ×2．以下四个函数：①y＝ x3；② y＝ x2＋ 1；③ y＝ |x|；④ y＝ 2x，此中在 x＝ 0 处获得极小值的是()A．①②B．②③C．③④D．①③答案： B3．已知函数 y＝ |x2－1|，则 ()A． y 无极小值，且无极大值B． y 有极小值－ 1，但无极大值C． y 有极小值0，极大值 1D． y 有极小值0，极大值－ 1答案： C4. 函数 f(x)＝ x＋ 2cos x 在 0，π上的极大值点为 () 2πA． 0 B.6ππC. 3D.2答案： B运用导数解决函数的极值问题题点一：知图判断函数的极值1．已知函数y＝ f( x)，其导函数y＝ f′(x)的图象以下图，则y＝ f(x)()A．在 (－∞， 0)上为减函数C．在 (4，＋∞)上为减函数分析：选 C由导函数的图象可知：B．在 x＝0 处取极小值D．在 x＝2 处取极大值x∈ (－∞， 0)∪ (2,4) 时， f′(x)>0， x∈ (0,2)∪ (4，＋∞)时， f′(x)<0 ，所以 f(x)在 (－∞， 0)， (2,4)上为增函数，在(0,2)， (4，＋∞)上为减函数，所以 x＝ 0 获得极大值， x＝2 获得极小值， x＝ 4 获得极大值，所以选 C.题点二：已知函数求极值2．求函数－x 的极值．f(x)＝ x2e解：函数的定义域为R，f′(x)＝ 2xe x＋ x2·e x·(－ x) ′－－＝ 2xe x－ x2·e x－－＝ x(2－ x)e－x .－x令 f′(x)＝ 0，得 x(2－ x) ·e ＝ 0，解得 x＝ 0 或 x＝ 2.当 x 变化时， f′(x)， f( x)的变化状况以下表：x(－∞， 0)0(0, 2)2(2，＋∞) f′(x)－0＋0－f(x)极小值 0－ 2极大值 4e所以当 x＝ 0时， f(x)有极小值，并且极小值为f(0) ＝ 0；当 x＝ 2 时， f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝ 4e－24＝ 2.e题点三已知函数的极值求参数3．已知函数 f (x)的导数 f′(x)＝ a(x＋ 1)(x－ a)，若 f (x)在 x＝a 处取到极大值，则 a 的取值范围是 ()A． (－∞，－ 1)B． (0，＋∞)C． (0,1)D． (－ 1,0)分析：选D若 a<－ 1，∵ f′(x)＝ a(x＋ 1)(x－ a)，∴ f( x)在 (－∞， a)上单一递减，在(a，－ 1)上单一递加，∴f(x)在 x＝ a 处获得极小值，与题意不符；若－ 1<a<0，则 f(x)在 (－ 1， a)上单一递加，在 (a，＋∞)上单一递减，进而在 x＝ a 处获得极大值．若 a>0，则 f (x)在 (－ 1， a)上单一递减，在 (a，＋∞)上单一递加，与题意矛盾，∴选 D.4．已知 f(x)＝ ax5－ bx3＋ c 在 x＝±1 处的极大值为 4，极小值为 0，试确立 a， b， c 的值．解： f′(x)＝ 5ax4－3bx2＝ x2(5ax2－ 3b)．由题意， f′(x)＝ 0 应有根 x＝±1，故 5a＝ 3b，于是 f′(x)＝ 5ax2(x2－ 1)(1)当 a＞ 0， x 变化时， f′(x)， f(x)的变化状况以下表：x (－∞，－－ 1(－ 1,0)0(0,1)1(1，＋∞) 1)f′(x)＋0－0－0＋f (x)极大值无极值极小值4＝ f－＝－a＋b＋c，由表可知：0＝ f＝a－b＋c.又 5a＝ 3b，解之得： a＝ 3， b＝ 5， c＝ 2.(2)当 a＜ 0 时，同理可得 a＝－ 3， b＝－ 5， c＝ 2.1．求函数极值的步骤(1)确立函数的定义域．(2)求导数 f′(x)．(3)解方程 f′(x)＝ 0 得方程的根．(4)利用方程 f′(x)＝ 0 的根将定义域分红若干个小开区间，列表，判断导函数在各个小开区间的符号．(5) 确立函数的极值，假如f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处获得极大(小 )值．2．已知函数极值，确立函数分析式中的参数时，注意两点(1)依据极值点的导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)由于导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后一定考证充足性．函数极值的综合应用[典例 ]3y ＝已知函数 f(x)＝ x － 3ax － 1(a ≠0)．若函数 f(x)在 x ＝－ 1 处获得极值，直线m 与 y ＝ f(x)的图象有三个不一样的交点，求 m 的取值范围．[解 ]由于 f(x)在 x ＝－ 1 处获得极值且 f ′(x)＝ 3x 2－ 3a ，所以 f ′(－1)＝ 3×(－ 1)2－ 3a ＝ 0，所以 a ＝ 1.所以 f(x)＝ x 3－ 3x － 1， f ′(x)＝ 3x 2－ 3，由 f ′(x)＝ 0，解得 x 1＝－ 1， x 2＝ 1.当 x<－ 1 时， f ′(x)>0 ；当－ 1<x<1 时， f ′(x)<0 ；当 x>1 时， f ′(x)>0.所以由 f(x)的单一性可知，f(x)在 x ＝－ 1 处获得极大值f(－ 1)＝ 1，在 x ＝ 1 处获得极小值 f(1) ＝－ 3. 作出 f(x)的大概图象以下图：由于直线 y ＝ m 与函数y ＝ f(x)的图象有三个不一样的交点，联合f(x)的图象可知， m 的取值范围是 (－ 3,1)．[一题多变]1．[变条件]若本例中条件改为“已知函数f(x)＝－ x 3＋ ax 2－ 4”在x ＝43处获得极值， 其余条件不变，求m 的取值范围．解： 由题意可得2f ′(x)＝－3x ＋ 2ax ，由4 f ′ ＝ 0，33 2可得 a ＝ 2，所以 f(x)＝－ x ＋ 2x － 4，2则 f ′(x)＝－ 3x ＋ 4x.令 f ′(x)＝ 0，得 x ＝ 0 或 x ＝4，3当 x 变化时， f ′(x)， f( x)的变化状况以下表：x(－∞， 0)0， 44 4，＋ ∞3 3 3f ′(x) －0 ＋0 －f(x)－ 4－7627作出函数 f(x)的大概图象以下图：由于直线y＝ m 与函数y＝ f(x)的图象有三个不一样的交点，所以m 的取值范围是76－4，－27 .2． [变条件 ]若本例“三个不一样的交点”改为“两个不一样的交点”结果怎样？改为“一个交点”呢？解：由例题分析可知：当 m＝－ 3 或 m＝ 1 时，直线 y＝ m 与 y＝ f(x)的图象有两个不一样的交点；当 m<－ 3 或 m>1 时，直线 y＝ m 与 y＝ f(x)的图象只有一个交点．(1) 研究方程根的问题能够转变为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，方程 f(x)＝ g(x)的根就是函数f( x) 与g(x)的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数能够判断函数的单一性，研究函数的极值状况，并能在此基础上画出函数的大概图象，从直观上判断函数图象与进而为研究方程根的个数问题供给了方便．x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，1．已知函数层级一学业水平达标y＝ f(x)在定义域内可导，则函数y＝ f(x)在某点处的导数值为0 是函数y＝f(x)在这点处获得极值的()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．非充足非必需条件分析：选 B依据导数的性质可知，若函数y＝ f(x)在这点处获得极值，则f′(x)＝ 0，即32必需性建立；反之不必定建立，如函数 f (x)＝ x 在 R 上是增函数，f′(x)＝ 3x ，则 f′(0)＝ 0，但在 x＝ 0 处函数不是极值，即充足性不建立．故函数 y＝ f(x)在某点处的导数值为0 是函数y＝ f(x)在这点处获得极值的必需不充足条件，应选 B.22．设函数 f(x)＝x＋ ln x，则 ()1为 f(x)的极大值点A． x＝21B． x＝2为 f(x)的极小值点C． x＝ 2 为 f(x)的极大值点D． x＝ 2 为 f(x)的极小值点分析：选D由 f ′(x)＝－221＝11－2＝ 0可得 x＝ 2.当 0＜ x＜ 2 时， f′(x)＜ 0， f(x) x＋x x x单一递减；当 x＞ 2 时， f′(x)＞ 0， f(x)单一递加．故x＝ 2 为 f(x)的极小值点．3．已知函数32f (x)＝ 2x＋ ax ＋ 36x－ 24 在 x＝ 2 处有极值，则该函数的一个递加区间是()A． (2,3)B． (3，＋∞)C． (2，＋∞ )D． (－∞， 3)分析：选B由于函数f(x)＝ 2x3＋ ax2＋ 36x－ 24 在 x＝ 2 处有极值，又f′(x)＝ 6x2＋ 2ax＋36，所以 f′(2)＝ 0 解得 a＝－ 15.令 f′(x)＞ 0，解得 x＞ 3 或 x＜ 2，所以函数的一个递加区间是 (3，＋∞)．4．设函数 f( x)在 R 上可导，其导函数为f′(x)，且函数 f(x)在 x＝－ 2 处获得极小值，则函数 y＝ xf′(x)的图象可能是()分析：选 C由题意可得f′(－2)＝ 0，并且当 x∈ (－∞，－ 2)时， f′(x)＜ 0，此时xf′(x)＞0；清除 B、 D，当 x∈ (－ 2，＋∞)时， f′(x)＞ 0，此时若 x∈ (－ 2,0)， xf′(x)＜ 0，若 x∈(0，＋∞)， xf′(x)＞ 0，所以函数 y＝ xf′(x)的图象可能是 C.5．已知函数f(x)＝ x3－ px2－ qx 的图象与 x 轴切于 (1,0)点，则 f(x)的极大值、极小值分别为()44A. 27， 0B． 0，27C．－4， 0D． 0，－4 2727分析：选A f′(x)＝ 3x2－2px－ q，由 f′(1)＝ 0， f(1) ＝ 0 得，3－2p－ q＝ 0，p＝ 2，解得∴ f( x)＝ x3－ 2x2＋ x. 1－p－ q＝ 0，q＝－ 1，由 f′(x)＝ 3x2－ 4x＋ 1＝ 0 得 x＝13或 x＝ 1，易适当 x＝13时 f(x)取极大值274.当 x＝ 1 时 f(x)取极小值 0.6 ．设 x ＝ 1与 x ＝ 2是函数f(x) ＝ aln x ＋ bx2＋ x 的两个极值点，则常数 a ＝______________.分析：∵ f′(x)＝a＋ 2bx＋ 1，由题意得a＋ 2b＋ 1＝0，a＋ 4b＋ 1＝ 0.x22∴ a＝－ .3答案：－237．函数 f(x)＝ ax2＋ bx 在 x＝1处有极值，则 b 的值为 ________．a分析： f′(x)＝ 2ax＋ b，∵函数f(x)在 x＝1a处有极值，1 1∴f′a＝2a·＋ b＝ 0，即 b＝－ 2.a答案：－28.已知函数 f(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx，其导函数y＝ f′(x)的图象经过点 (1,0) ， (2,0)．如图，则以下说法中不正确的选项是 ________． (填序号 )①当 x＝3时，函数 f(x)获得最小值；2② f( x)有两个极值点；③当 x＝ 2 时函数值获得极小值；④当 x＝ 1 时函数获得极大值．分析：由图象可知， x＝ 1,2 是函数的两极值点，∴②正确；又x∈ (－∞， 1)∪ (2，＋∞)时， y＞ 0； x∈ (1,2)时， y＜ 0，∴ x＝ 1 是极大值点， x＝ 2 是极小值点，故③④正确．答案：①9．设 a 为实数，函数xf(x)＝ e － 2x＋ 2a， x∈ R，求 f(x)的单一区间与极值．解：由 f(x)＝ e x－ 2x＋ 2a， x∈ R 知 f′(x)＝ e x－ 2， x∈ R. 令 f′(x)＝ 0，得 x＝ ln 2.于是当 x 变化时， f′(x)， f(x)的变化状况以下表：x(－∞， ln 2)ln 2(ln 2 ，＋∞)f′(x)－0＋f (x)单一递减↘2(1－ ln 2＋ a)单一递加↗故 f( x)的单一递减区间是 (－∞， ln 2) ，单一递加区间是 (ln 2，＋∞)；且 f( x)在 x＝ ln 2 处获得极小值．极小值为 f(ln 2)＝ 2(1－ ln 2＋ a)，无极大值．10．已知 f(x)＝ ax3＋ bx2＋cx(a≠0)在 x＝±1 时获得极值，且 f(1)＝－ 1.(1)试求常数 a， b， c 的值；(2)试判断 x＝±1 时函数获得极小值仍是极大值，并说明原因．解： (1)由已知， f′(x)＝ 3ax2＋ 2bx＋ c，且 f′(－1)＝ f′(1)＝ 0，得 3a＋ 2b＋ c＝ 0,3a－ 2b＋ c＝ 0.又 f(1) ＝－ 1，∴ a＋b＋ c＝－ 1.∴ a ＝ 1， b ＝ 0， c ＝－3. 221 33x ， (2) 由 (1)知 f(x)＝ x －22∴ f ′(x)＝ 3x 2－ 3＝3(x － 1)(x ＋ 1)．22 2当 x<－ 1 或 x>1 时， f ′(x)>0；当－ 1<x<1 时， f ′(x)<0 ，∴函数 f(x)在 (－ ∞，－ 1)和 (1，＋ ∞)上是增函数，在 (－ 1,1)上为减函数．∴当 x ＝－ 1 时，函数获得极大值 f(－ 1)＝ 1；当 x ＝ 1 时，函数获得极小值f(1)＝－ 1.层级二应试能力达标1．函数 f(x)＝ ax 3＋ bx 在 x ＝ 1 处有极值－ 2，则 a ， b 的值分别为 ( )A ． 1，－ 3B ． 1,3C ．－ 1,3D ．－ 1，－ 3分析： 选 A ∵ f ′(x)＝ 3ax 2＋ b ，由题意知3a ＋ b ＝ 0，∴ af ′(1)＝ 0， f (1)＝－ 2，∴a ＋b ＝－ 2， ＝ 1， b ＝－ 3.32a 的取值范围是 ()2．已知 f(x)＝ x ＋ ax ＋ (a ＋ 6)x ＋ 1 有极大值和极小值，则 A ． (－ 1,2)B ． (－ 3,6)C ． (－∞，－ 3)∪ (6，＋ ∞ )D ． (－ ∞，－ 1)∪ (2，＋ ∞)分析： 选 C f ′(x)＝ 3x 2＋2ax ＋ a ＋ 6，∵ f( x)有极大值与极小值，∴ f ′(x)＝ 0 有两不等实根，∴＝ 4a 2－ 12(a ＋ 6)>0，∴ a<－ 3或 a>6.3．设 a ∈R ，若函数 y ＝ e x ＋ ax(x ∈R) 有大于零的极值点，则 ( )A ． a ＜－ 1B ． a ＞－ 111C ． a ＜－ eD ． a ＞－ e分析：选 A ∵ y ＝ e x ＋ ax ，∴ y ′＝ e x ＋ a.令 y ′＝ e x ＋ a ＝ 0，则 e x ＝－ a ，∴ x ＝ ln( － a)．又∵ x ＞ 0，∴－ a ＞ 1，即 a ＜－ 1.4．已知函数 f (x)＝ e x (sin x － cos x)， x ∈ (0,2 017 ，π)则函数 f (x)的极大值之和为 ()2π 2 018 ππ2 016 πe－ ee － eA.2πB. 2πe － 11－ eπ1 008 ππ 1 008 πe － ee－ eC.1－ e 2πD.1－ e π分析： 选 B f ′(x)＝ 2e x sin x ，令 f ′(x)＝ 0 得 sin x ＝ 0，∴ x ＝ k π， k ∈ Z ，当 2k π<x<2k π＋ π时， f ′(x)>0 ，f(x)单一递加，当 (2k － 1) π<x<2k π时， f ′(x)<0， f(x)单一递减，∴当 x ＝ (2k＋1) π ，f(x)取到极大，∵ x∈ (0,2 017 π)，∴ 0<(2k＋ 1) π<2 017 ，π∴ 0≤k<1 008 ，k∈ Z. ∴f(x)的极大之和S＝ f( π)＋f(3 π)＋f(5 π)＋⋯＋ f(2π3π5π2015π015 π)＝ e ＋ e ＋ e ＋⋯＋ e＝π2π 1 008π 2 016 πe [1－]e－ e，故 B.2π＝2π1－e1－ e5．若函数y＝－ x3＋ 6x2＋ m 的极大13，数m 等于 ______．分析： y′＝－ 3x2＋ 12x＝－ 3x(x－ 4)．由 y′＝ 0，得 x＝ 0 或 4.且 x∈ (－∞， 0)∪ (4，＋∞)，y′＜ 0；x∈ (0,4)， y′＞ 0，∴ x＝ 4 取到极大．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.答案：－ 1932a 的取范6．若函数 f( x)＝ x＋ x － ax－ 4 在区 (－ 1,1)上恰有一个极点，数______．分析：由意， f′(x)＝ 3x2＋ 2x－ a，f′(－1)f′(1)<0，即 (1－ a)(5－ a)<0，解得 1<a<5，此外，当 a＝ 1，函数 f(x)＝ x3＋232x－ x－ 4 在区 (－ 1，1)上恰有一个极点，当 a＝5 ，函数 f(x)＝ x ＋ x － 5x－ 4 在区 (－1,1)没有极点．故数 a 的范 [1,5)．答案： [1,5)7．已知函数 f(x)＝ e x(ax＋ b)－ x2－ 4x，曲 y＝ f (x)在点 (0，f(0)) 的切方程 y＝ 4x＋4.(1)求 a， b 的；(2)f(x)的性，并求 f(x)的极大．解：(1)f′(x)＝ e x( ax＋ a＋ b)－ 2x－ 4.由已知得f(0)＝ 4， f′(0)＝4，故 b＝ 4， a＋ b＝ 8.进而 a＝ 4， b＝ 4.(2) 由 (1)知， f(x)＝ 4e x(x＋ 1)－ x2－ 4x，′(＝x ＋－－＝＋e x－1f x)4e ( x 2)2x 4 4(x 2) 2.令 f′(x)＝ 0 得， x＝－ ln 2 或 x＝－ 2.进而当 x∈ (－∞，－2)∪ (－ ln 2，＋∞) ， f′(x)>0；当 x∈ (－ 2，－ ln 2)， f′(x)<0.故 f( x)在 (－∞，－ 2)， (－ ln 2，＋∞)上增，在 (－ 2，－ ln 2)上减．当 x＝－ 2 ，函数f(x)获得极大，极大－ 2f (－ 2)＝ 4(1－ e )．8．已知 f(x)＝ 2ln(x＋ a)－ x2－ x 在 x＝ 0 获得极．(1)求数 a 的．(2) 若对于 x 的方程 f(x)＋ b＝ 0 的区 [－ 1,1]上恰有两个不一样的数根，求数 b 的取范．2解： (1)f ′(x)＝－ 2x － 1，当 x ＝ 0 时， f(x)获得极值，所以 f ′(0)＝ 0，解得 a ＝ 2，查验知 a ＝ 2 切合题意．(2) 令 g(x)＝ f (x)＋ b ＝ 2ln(x ＋ 2)－ x 2 － x ＋ b ，5 则 g ′(x)＝ 2 － 2x － 1＝－2x x ＋ 2 (x ＞－ 2)． x ＋ 2x ＋ 2g(x)， g ′(x)在 (－ 2，＋ ∞)上的变化状态以下表：x( － 2,0) 0 (0，＋ ∞) g ′(x)＋ 0 － g(x) 2ln 2＋ b由上表可知函数在x ＝ 0 处获得极大值，极大值为 2ln 2＋ b. 要使 f(x)＋ b ＝ 0 在区间 [ －1,1]上恰有两个不一样的实数根，g － ≤0，只要 g ＞ 0，g ≤0，b ≤0，即 2ln 2 ＋ b ＞ 0， 2ln3 － 2＋ b ≤0，所以－ 2ln 2＜ b ≤2－ 2ln 3.故实数 b 的取值范围是 ( －2ln 2,2－ 2ln 3] ．。
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章导数及其应用1.1.1、2
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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(4)在公式ΔΔxy＝fxx22－－fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1中，当 x1 取定 值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特 别地，当函数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔΔyx＝0.
平均变化率为
fx2－fx1
___x_2_－__x1___
②曲线割线的 斜率
刻画函数值在
区间 [x_1_，__x_2_]_
上变化的快慢
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处 ①瞬时速度：物
刻画函数值在
的瞬时变化率是 lim
体在某一时刻
ΔΔyx＝Δ_lix_m→_0_f__x_0＋__Δ_ΔΔ_xxx_→－_0_f_x_0
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
为 g×2＋12g×0.1＝4210g.
(4)由(2)得物体在 t＝2 s 时的瞬时速度为 g×2＝2g.
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
求函数f(x)在某点处的导数
已知f(x)＝x2＋3. (1)求f(x)在x＝1处的导数； (2)求f(x)在x＝a处的导数．
广东省惠州市第一中学高二数学人教A版选修导数及其应用生活中的优化问题举例PPT课件
广 东 省 惠 州 市第一 中学高 二数学 人教A版 选修2 －2 第 一 章 导 数 及其 应用 1 . 4 生 活 中 的 优 化问 题举例 (共24 张PPT)
栏目 导引
广 东 省 惠 州 市第一 中学高 二数学 人教A版 选修2 －2 第 一 章 导 数 及其 应用 1 . 4 生 活 中 的 优 化问 题举例 (共24 张PPT)
广 东 省 惠 州 市第一 中学高 二数学 人教A版 选修2 －2 第 一 章 导 数 及其 应用 1 . 4 生 活 中 的 优 化问 题举例 (共24 张PPT)
栏目 导引
广 东 省 惠 州 市第一 中学高 二数学 人教A版 选修2 －2 第 一 章 导 数 及其 应用 1 . 4 生 活 中 的 优 化问 题举例 (共24 张PPT)
第一章 导数及其应用
【解】 设 OO1 为 x m，则 1<x<4.由题设可得正六棱锥底面 边长为 32－（x－1）2＝ 8＋2x－x2. 于是底面正六边形的面积为 6· 43·( 8＋2x－x2)2＝323(8＋2x－x2)．
栏目 导引
第一章 导数及其应用
帐篷的体积为 V(x)＝323(8＋2x－x2)13（x－1）＋1＝ 23(16＋12x－x3)． 求导数，得 V′(x)＝ 23(12－3x2)． 令 V′(x)＝0，解得 x＝－2(不合题意，舍去)或 x＝2. 当 1<x<2 时，V′(x)>0，V(x)为增函数； 当 2<x<4 时，V′(x)<0，V(x)为减函数． 所以当 x＝2 时，V(x)最大．
特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点， 则这个极值一定是最值。
第一章 导数及其应用
面积、容积最值问题 请你设计一个帐篷，它下部的形状是高 为 1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥(如图所示)．试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离为多少时，帐篷的体积最大？
广东省惠州市第一中学高二数学人教A版选修2-2 第一章 导数及其应用《导数在研究函数中的应用》习题课
导数在研究函数中的应用习题课讲义例1、一个物体的运动方程为21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒例2、 已知32()26f x x x a =-+(a 是常数)在[－2，2]上有最大值3，那么在[－2，2]上的最小值是（ ） A ．－5B ．－11C ．－29D ．－37例3、已知函数()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x =-----,则(1)f '=（ ）A ．0B ．24C ．24-D ．120-例4、设函数()f x 是定义在R 上的可导函数，,x R ∀∈有2()(),f x f x x -+=在(0,)+∞上，()f x x '<，若(6)()1860f m f m m ---+≥，则实数m 的取值范围是( )A 、[3,3]-B 、[3,)+∞C 、[2,)+∞D 、(,3]-∞例5、定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x xe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞UC ．()(),00,-∞+∞UD ．()3,+∞ 例6、定义在R 上的可导函数()f x 满足()()xf x f x e '-<，且(0)4f =，则不等式()(4)xf x x e <+的解集为例7、已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 例8、过曲线y ＝x 3－x 2上一点)2,1(--P 的切线方程是 例9、若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是______ __．例10、抛物线2y x =上的点到直线20x y --=的距离的最小值为例11、已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0，1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1，2)上为增函数， 则a ＝例12、已知函数f (x )＝ax 2＋2ln x ，若当a >0时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围为________．例13、已知函数()2xf x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是例14、已知2()ln ,()2,f x x x ax g x x =-=--若对一切(0,)x ∈+∞，()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．例15、函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a ，10－a 2 )上有最大值，则实数a 的取值范围是____________例16、已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 例17、设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．例18、已知函数()()ln 1f x x =+.求证：（1） 当()0,x ∈+∞时，()1xf x x x<<+； （2） 1111111ln(1)1234123n n n++++<+<+++++L L .例19、已知函数()ln 1x f x ae x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．课后作业：课时作业8 导数在研究函数中的应用（强化练）导数在研究函数中的应用习题课讲义参考答案例1、C 例2、D 例3、B 例4、B 解析：令222111()(),()()()()0,222g x f x x g x g x f x x f x x =--+=--+-=∴Q 函数()g x 为奇函数，(0,)()()0,()(0,)x g x f x x g x ''∈+∞=-<∴+∞Q 时，在上为减函数，又(0)0,(0)0,f g =∴=所以函数()g x 在R 上为减函数，不等式(6)()1860f m f m m ---+≥可化为2211(6)(6)()(6)()22f m m f m mg m g m ---≥--≥即，而函数()g x 在R 上为减函数，所以6,3m m m -≤∴≥，故选B.例5、答案:A 解析:由()()1f x f x '+>得[()()]0[()]0,x x x x e f x f x e e f x e ''+->->即令()()x x g x e f x e =-,则()g x 在R 上是增函数, 因为(0)4f =,所以0(0)(0)413g e f e =-=-=,于是()3x xe f x e >+可化为()(0)g x g >,又()g x 在R 上是增函数,所以0.x >例6、答案:(0,)+∞,解析:由()()xf x f x e '-<得:()()()()()110]0,x x xf x f x f x f x f x x e e e''--'<⇒-<-<即[ 令()()x f x g x x e =-,则()g x 在R 上是减函数,因为(0)4f =,所以(0)4g =,不等式()(4)xf x x e<+可化为()4,()(0)x f x x g x g e-<<即,又()g x 在R 上是减函数,所以0.x >例7、),6()3,(+∞--∞Y 例8、y ＝5x ＋3或y ＝x －1 例9、]31,31[- 例10例11、2例12、),[+∞e 例13、(,2ln 22]-∞- 例14、 (,3]-∞ 解析：原问题等价于x x x a 2ln ++≤对),0(+∞∈x 恒成立，令)0(,)1)(2()(,2ln )(>-+='++=x xx x x F x x x x F ，易知.3,3)1()(min ≤∴==a F x F 例15、[－2，1) 例16、2-例17、解：（1）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．（2）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞U ，，．例18、证明：（1）令()()ln(1)(0)11x xg x f x x x x x =-=+->++， 则2211()0(0)1(1)(1)xg x x x x x '=-=>>+++ 所以()(0,)g x +∞在上是增函数，所以当()0,x ∈+∞时，()(0)0g x g >=， 即()1xf x x >+成立. 令()()ln(1)(0)h x f x x x x x =-=+->， 则1()10(0)11x h x x x x '=-=-<>++ 所以()(0,)h x +∞在上是减函数，所以当()0,x ∈+∞时，()(0)0h x h <=， 即()f x x <成立. 综上所述，当()0,x ∈+∞时，()1xf x x x <<+成立. （2）由（1）可知：当0x >时，有ln(1)1x x x x <+<+，令1(1,2,3,,)x k n k ==L ，得 111ln(1)(1,2,3,,)1k n k k k <+<=+L ，即11ln(1)ln (1,2,3,,)1k k k n k k<+-<=+L 于是可以得到下面n 个不等式：1ln 2ln112<-<， ,212ln 3ln 31<-< …，11ln(1)ln 1n n n n <+-<+ 将以上n 个不等式相加得：1111111ln(1)1234123n n n++++<+<+++++L L .例19、解：（1）)(x f 的定义域为(0)+∞，，)0(1)(>-='x xae x f x由题设知，0)2(='f ，所以212a e =． 从而21()ln 12x f x e x e =--，211()2x f x e e x'=-． 又211()2x f x e e x'=-在),0(+∞上是增函数，且0)2(='f 所以当20<<x 时，0)(<'x f ；当2>x 时，0)(>'x f ． 所以)(x f 在)2,0(上单调递减，在),2(+∞上单调递增．（2）当e a 1≥时，.1ln )(--≥x e e x f x ． 设xe e x g x e e x g x x 1)(,1ln )(-='--=则， 又1()x e g x e x'=-在),0(+∞上是增函数，且0)1(='g所以当10<<x 时，0)(<'x g ；当1>x 时，0)(>'x g ．所以1=x 是)(x g 的最小值点． 故当0>x 时，.0)1()(=≥g x g因此，当1a e ≥时，()0f x ≥．（2）另证：要证当e a 1≥时，0)(≥x f ，只要证明当e a 1≥时，x e x a 1ln +≥，只需证明ee x x 11ln ≤+ 令)0(1ln )(>+=x e x x g x，则x x x xe x x e x e e x x g ---=+-=')1ln 1()()1(ln 1)(2，令1ln 1)(--=x xx h ，易知)(x h 在),0(+∞上是减函数，且0)1(=h ，所以当)1,0(∈x 时，0)(0)(>'⇒>x g x h ，当),1(+∞∈x 时，0)(0)(<'⇒<x g x h ，当1=x 时，0)1(0)1(='⇒=g h ，所以)(x g 在]1,0(上是增函数，在),1[+∞上是减函数，所以)1()(g x g ≤，即ee x x 11ln ≤+成立. 所以当ea 1≥时，0)(≥x f 成立.。
人教版广东省惠州市第一中学高二数学选修2-2 第一章 导数及其应用 几个常用函数的导数(共18张PP
练习 2．已知曲线 y＝ln x 的一条切线方程为 x－y＋c＝0，求 c 的值． 解：设切点为(x0，ln x0)， 由 y＝ln x 得 y′＝1x. 因为曲线 y＝ln x 在 x＝x0 处的切线方程为 x－y＋c＝0，其斜 率为 1.所以 y′|x＝x0＝x10＝1，即 x0＝1，
所以切点为(1，0)． 所以 1－0＋c＝0，所以 c＝－1.
公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;
公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
求下列函数的导数． (1)y＝3x； (2)y＝log3x. 解:(1)因为 y＝3x，所以 y′＝3xln 3.
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x )
log a
x,则 f
'( x )
1 x ln a
(a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
达标训练一
求下列函数的导数:
《函数的极值与导数》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.3.2课时)
y y fx
a ob x
图1.3 10
新知探究
极大值的概念 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),我们就说f(x0)是函 数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0). 极小值的概念
A. y=-x3 D. y=1/x
B. y=cos2x
C. y=tanx-x
课堂练习
2.曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( B )
A. –5
B. –6
C. –7
D. –8
课堂练习 3. 下列说法正确的是 （ C ）
h' a 0
单调递增
h' t 0
单调递减
h' t 0
图1.3 9
新知探究
探究 下图中函数y=f(x)在a—j点的函数值与这些点附近的函数值有什么函数关系？y=f(x)在这些 点得到数值是多少？在这些点附近，该函数的导数符号有什么规律？
y y fx
y
y fx
a ob x
图1.3 10
c d e f og h i j x
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
1.3.2函数的极值与导数
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
课前导入
一般地，函数的单调性与导数的关系： 在某个区间a, b内, 如果f ' x > 0, 那么 函数y = f x在这个区间内单调递增; 如果 f ' x < 0,那么函数 y = f x在这个区间内
人教高中数学选修2-2第一章 1.3.2函数的极值与导数课件公开课(共18张PPT)
y P(x1,f(x1)) o a x1 y=f(x)
Q(x2,f(x2)) x2 x x
b
x
3、导数为0的点一定是极值点吗？
y y=x3
而 x 0 不是该函数的极值点.
o x
f ' x 3x 2 ，令 f ' x 0 ，则 x 0 ，
列表
求极值
勇攀高峰：
(2016年河南高考题节选)已知 f x x ax bx
3 2
在 x 1 与
2 x 3
时都取得极值. （1）求 a , b 的值； （2）求 f x 的极值.
【解】 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b，令 f ′(x )＝0. 2 由题设，知 x 1＝1 与 x 2＝－ 为 f ′(x )＝0 的解． 3 2 2 b 2 ∴－ a＝1－ ， ＝1×(－ )． 3 3 3 3 1 ∴a＝－ ，b＝－2. 2
庐山
1.3.2 函数的极值与导数
学习目标： 1、理解函数极值的概念，掌握利用导数求函数极 值的方法。 2、培养学生观察、归纳的能力；学会运用数形结 合的方法解决问题。 重点：学会用导数求函数极值的方法，并能灵活运用。
思、议： 阅读教材P26---P29回答下列问题：
1、什么是极小值，什么是极大值？各有什么特点？ 2、（1）函数的极大值一定大于极小值吗？ （2）函数的极大值和极小值是惟一的吗？ （3）区间的端点能为极值点吗？ 3、导数为0的点一定是极值点吗？
夯实基础：
3 2 f ( x ) x 3 x 9x 5的极值. 求函数
解：（1）f′(x)＝3x2－6x－9.
解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.
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解方程 f ' x 0 ，当 f ' x0 0 时：
（1）如果在 x 0 附近的左侧 f ' x 0 ，右侧 f ' x 0 ，
那么 f x0 是极大值；
（2）如果在 x 0 附近的左侧 f ' x 0 ，右侧 f ' x 0 ，
那么f x0 是极小值
练习： 下列结论中正确的是（ B ）。
y f x x3
A、导数为零的点一定是极值点。 B、如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0, 那么 f(x0)是极大值。 C、如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0, 那么f(x0)是极大值。 Ｄ、极大值一定大于极小值。
x
0
巩固练习：求函数 f x3xx3的极值
解:∵ f x3xx3
y f x
ao
f(a)(0图一)b
问题：
x
y f x
e cd of g h x
(图二)
（1）函数 y f x 在点 a , b 的函数值与这些点
附近的函数值有什么关系?
（2）函数 y f x 在点 a , b 的导数值是多少?
（3）在点 a , b 附近,y f x 的导数的符号有
什么规律?
二、新课——函数的最值
y
观察右边一
个定义在区间
[a,b]上的函数
y=f(x)的图象.
a x1 o X2
X3
bx
发现图中__f_(_x_1)_、__f(_x_3_) _是极小值，__f_(_x_2)____是极 大值，在区间上的函数的最大值是___f(_b_)_，最小值 是__f_(_x_3)__。
∵曲线 y f (x)与 x 轴总有交点
2 a 0
1
8
a
0
即2a18
※动手试试
求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
1 、 f(x ) x 3 2 7 x x 4 ,4
最 大 值 为 54,最 小 值 为 -54.
2、 最f大 (x 值 )为 6 22 ,最 12 小 x值 x 为 355.x 1 3,3
x (2, 1) 1 ( 1,1) 1
f ( x ) 0
+0
f (x)
↘
极小值
2 a
↗
极大值
2a
(1,3 )
↘
所以函数的极大值为 2 a ，极小值为2 a .
(2) 由（1）可知，函数在区间[ 2 , 3 ] 上的极大值 为 2 a ，极小值为 2 a ，又因 f(2)2a，
f(3)18a 所以函数的最大值为 2 a ，最小值为 18a
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
1aba2 10
32ab0
解之得
ba33或ab141
注意代 入检验
注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
课堂小结:
今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值 一、方法: (1)确定函数的定义域 (2)求导数f'(x) (3)求方程f'(x) =0的全部解 (4)检查f'(x)在f'(x) =0的根左.右两边值的符号,如果左正 右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值
x
1x3
3
4x4
3
∴ f'x x 2 4 x 2 x 2
令 f ' x 0, 解得x=2,或x=-2.
下面分两种情况讨论:
2
（1）当 f ' x 0 ，即x＞2,或x＜-2时; 2
（2）当 f ' x 0 ，即-2 ＜ x＜2时。
当x变化时，f' x, f x的变化情况如下表：
②如果在x0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧f/(x)>0 ,那 么,f(x0) 是极小值.
2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右
两侧的导数异号时取到.
3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.
所有极值连同端点函数值进行比较， 最大的为最大值，最小的为最小值
※典型例题
求 函 数 f ( x ) 6 1 2 x x 3 在 3 ， 3 上 的 最 值 .
解：f ' x123x2 x3,3
令f ' x 0,解得：x2或x2 1、求出所有导数为0的点； 2、计算；
又f (2) 22，f (2) 10，f (3) 15, f (3) 3
f(b)0
y
极大值f(b)
y
f(x)0 f(x)0 f(x)0
y f x
a
极小值f(a)
o
f(a)(0图一)b
x
y f x
e cd of g h x
(图二)
点a为函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值
点b为函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
27
3 、 f(x ) 3 x x 3 x 2 ,3
最 大 值 为 -2,最 小 值 为 -18.
小结：
求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b] 上的最值的步骤:
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大 的一个是最大值,最小的一个是最小值.
二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数 的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题
课时作业 6 函数的极值与导数
1.3.3函数的最大(小)值与导数
一、复习引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的 方法是:
①如果在x0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧f/(x)<0 ,那 么,f(x0)是极大值;
，得 x 1 ，或 x 1.
下面分两种情况讨论：
（1）当 f ' x 0 ，即 1x1时；
（2）当 f ' x 0 ，即 x 1 ，或 x 1 时。
当 x变化时，f' x, f x的变化情况如下表：
x , 1 1 1,1
1
1,
f 'x
极小值点、极大值点统称极值点， 极大值和极小值统称为极值. 思考：极大值一定大于极小值吗？
（1）如图是函数 y f x的图象,试找出函数y f x
的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
（2）如果把函数图象改为导函数 y f ' x的图象?
y
yy ff'xx
答：
x3
x a x 1 o x 2 x 4 x 5 x 6 b
所以函数f (x) 612xx3在3，3上的
最大值为22，最小值为10.
3、比较确定最值。
应用 例2：已知函数f(x)x33x29xa,
(1)求f ( x ) 的单调减区间 (2)若f ( x ) 在区间[ 2 , 2 ] 上的最大值为 2 0 , 求该区间上的最小值
解:(1)f(x) 3x26x9 令f(x)0 即 3x26x90 解 得 :x1或 x3
所以函数的单调减区间为 (,1)， (3,)
(2)f(x) 3x26x9
令 f(x)0 解得 x1或 x3（舍去）
当 x 变化 时, f(x), f(x)的变化情况如下表:
x 2 (2, 1) 1
f ( x )
0
(1,2) 2
f ( x ) 2 a ↘ 极小值5 a ↗ 22 a
所以函数的最大值为 f(2)22a,最小值为 5 a
解：（1）f'x3ax22bx2
∵ f x 在 x2,x1取得极值,∴ f( 2)0 ,f(1 )0
即
12a 4b 2 0
3a
2b
2
0
解得 a 1 , b 1 32
∴
f x1x31x22x
32
（2） ∵ f'xx2x2， 由 f ' x 0得 x1或 x2
∴ f x 的单调增区间为 ,2或 1,
变化的函数 h(t)4.9t26.5t10的图象