论文初稿函数的极值和最值及其应用(1)

函数的极值和最值及其应用摘要数学应用是数学教学的一个重要的任务。

本文将通过函数极值和函数最值的相关理论、区别、联系及极值最值的求解方法，系统的阐述函数极值最值，这一重要而且基础的函数性质，并让大家意识到部分极值最值问题是与实际问题有着密不可分的关系。

然后运用给出的函数极值和最值知识，解决生活实际中的应用问题。

文中涉及的实际应用有：1.极值理论在海事安全、保险业、金融风险管理等领域的应用。

2.最值在商业最大利润、税收额最大、最大期望、最优计划安排等问题中的应用。

在极值和最值的理论学习后，如何运用所学知识解决实际问题应得到我们的重视。

从而认识到极值最值在数学中的重要性及数学在生活中的必不可少性！关键词：极值；最值；应用。

目录1.引言 ------------------------------------------------------- 12.函数极值的相关理论 ---------------------------------------- 1 2.1函数极值的定义----------------------------------------- 1 2.2极值的充分条件----------------------------------------- 22.3函数极值的求解方法------------------------------------- 33.函数最值的相关理论------------------------------------------ 6 3.1函数最值的定义----------------------------------------- 63.2函数最值的求解方法-------------------------------------- 74.函数极值和函数最值的区别和联系----------------------------- 95.极值的应用-------------------------------------------------- 116.最值的应用-------------------------------------------------- 137.结论------------------------------------------------------- 18 参考文献---------------------------------------------------- 19 致谢-------------------------------------------------------- 201.引言作为函数性质的一个重要分支和基本工具，函数极值和最值在数学与其它科学技术领域，诸如数学建模、税收金额、优化问题、概率统计等学科都有广泛的应用。

不仅如此，函数极值理论在航海、保险、价格策划、航空和航天等众多领域中也是最富表现性和灵活性，并起着不可替代的数学工具的作用。

许多实际问题最终都归结为函数极值或最值问题，生活中遇到的实际问题，可以通过数学建模的形式，表示为函数形式。

而在求解具体问题时往往需要应用到极值和最值的求解，来为生产生活做保证！由此可见，研究函数极值和最值，是学习数学与其它学科的理论基础，是生活生产中的必备工具。

它为我们对于数学的进一步研究起到很大帮助；同时，它对于其它相关学科的理解、学习与应用也起着十分重要的作用，更对其他学科领域的展开有很大的促进作用。

函数的极值和最值不仅是函重要的基础性质,在实际经济活动中也有着重要的应用,对于不同类型的问题，我们应有一个系统而简便的方法，巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法。

而恰恰这些方法的终极解决，都归结于对函数极值和最值的求解。

下面，就让我们系统的归纳和展示，函数极值和最值的相关问题及在生活实际中的各种应用！2.函数极值的相关理论2.1函数极值的定义设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有()()0f x f x <，则()0f x 是函数()f x 的一个极大值。

如果附近所有的点，都有()()0f x f x >，则()0f x 是函数()f x 的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。

费马定理：可导的极值点一定是稳定点极值点一定是稳定点或不可导点。

数学函数的一种稳定值,即一个极大值或一个极小值，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。

若函数f 在点0x 处可导，且0x 为f 的极值点，则()00f x '=.这就是说可导函数在点取极值的必要条件是()00f x '=.2.2极值的充分条件定理1（极值的第一充分条件）设f 在点0x 连续，在某邻域()00;U x δ内可导.(1）若当()00,x x x δ∈-时()00f x '≤，当()00,x x x δ∈+时， 则f 在点0x 取得极小值.（2）若当()00,x x x δ∈-时()00f x '≥，当()00,x x x δ∈+时， 则f 在点0x 取得极大值.定理2（极值的第二充分条件）设f 在0x 的某邻域()00;U x δ内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且()()000,0f x f x '''=≠.（1）若()00f x ''<，则f 在0x 取得极大值.（2）若()00f x ''>，则f 在0x 取得极小值.定理3（极值的第三充分条件）设f 在0x 的某个邻域内,存在直到1n -阶导函数，在0x 处n 阶可导，且,则()()()()()0001,2,,1,0k n f x k n f x ==-≠.（1）当n 为偶数时，f 在0x 取得极值，且当()()00n f x <时取极大值，()()00n f x >时取极小值;（2）当n 为奇数时，f 在0x 处不取极值.2.3函数极值的求解方法函数极值的求解方法有很多，根据定义我们可以用导数法进行求解，但当函数较为复杂, 导数与驻点及不可导点不好求或函数较为复杂时，我们可以采用以下方法进行求解：2.3.1降元法求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二元函数求解。

例1：已知2x y +=，求函数z =的极值。

解：由题设得2y x =-z ==()2280x -++≥22x ∴--≤≤-+即函数的定义域为：22⎡---+⎣当2x =-时，max z =当2x =-+min 0z =2.3.2转化法在函数极值法不易直接求解的情况下，应注意观察题型结构，分析题设特点，把复杂的问题转化为熟知的、易解的问题，通过其他途径求解。

下面二例的解法作为参考。

例2.解：设y =+令1255,5z x i z x i =-+=+则：1212510y z z z z i =+≥+=+=min y ∴=例3：求函数1sin 2cos x y x-=-的极值 解：原函数化为：2cos 1sin y y x x -=-21sin cos y x y x -=+()x ϕ=+ ，其中tan y ϕ=21y ∴-≤ 解得：403y ≤≤min max40,3y y ∴== 2.3.3换元法换元法是把问题进行转化的一种常用方法。

例4：已知2221x y +=，求34z x y =-的极值.解：222221,112y x y x +=∴+=令)()cos ,/202x y θθθπ==<≤则()3cos z θθθϕ=-=+（其中tan ϕ=） ()cos 1θϕ+≤min max z z z ∴≤==例5：求函数2sin 3sin 1y x x =-+的极值分析：本例可通过辅助元sin T x =把所给函数化为二次函数：231y T T =-+ ，即把上述极值问题转化为抛物线231y T T =-+在[]1,1-范围内求最高点和最低点的问题。

此处不予以细致解答。

2.3.4判别式法若所给函数式（可加约束条件）如能转化为以某个变量为主元的二次方程，则可用判别式法求函数的极值。

例6：已知,x y 满足22260x xy y -+--+=，求z x y =+的最小值. 解：由z x y =+得y z x =-代人约束条件并以x 为主元整理得：()224460x zx z -+-+=()22,161660x R z z ∈∴∆=--+≥解得: z ≥ （1）当且仅当42*42x ==时（1）式取等号。

由,x y 的对称性知当2x y ==时，min z =2.3.5不等式法例7：已知,x y 满足22421690x y x y +-++=，求函数2z x y =+ 的极值。

解：由已知式配方得：()()221428x y -++= （1）()()()()2214221*22x y x y -++≥-+ ()()21*228x y ∴-+≤ （2）()()12+ 得()()212216x y -++≤⎡⎤⎣⎦解得：721,x y -≤+≤min max 7, 1.z z ∴=-=其实，函数极值的解题方法不少,如三角法、参数法,极坐标法、区间法等都有一定的技巧性.解题时应认真分析,审查题目的特征、结构、挖掘隐含条件,抓住特征,发挥联想,运用灵活多变的替代、转化,有时还需要反其常规,逆向思维,以退为进选择合理的解题方法,逐步提高解题技能,才能做到准确简捷地解题.本文就此不做具体展示。

3.函数最值的相关理论3.1函数最值的定义3.1.1函数最值设函数()f x 在X 区间上有定义，如果存在一点0x X ∈，使得()0f x 不小于其他所有的()f x ，亦即()()0,f x f x x X ≥∈ ，则称()0f x 是在X 上的最大值，又可记为()(){}0max f x f x = ；同样使得()0f x 不大于其他所有的()f x ，亦即()(),o f x f x x X ≤∈ ，则称()0f x 是在X 上的最小值，又可记为()(){}0min f x f x = .注意：函数()f x 在X 上未必一定有最大（小）值。

例如函数()[]f x x x =-在区间[]0,1上无最大值但有最小值，最小值为0；又如函数()[]f x x x =-在区间[]0,1上有最大值为0，但无最小值；而函数1y x =在()0,1内既无最大值又无最小值。

3.1.2函数最值与上（下）确界的关系设函数()f x 在X 上有定义，则它的所有函数值组成一个数集，这个数集有它的上确界β和下确界α，即(){}(){}sup ,inf x Xx X f x f x βα∈∈==，例如同样的函数()[]f x x x =-在[]0,1的上确界为1，下确界为0.容易知道，函数()f x 在X 上的最大（小）值一定是它在区间上的上（下）确界，但反过来，上（下）确界未必是最大（小）值，这是因为函数可能不存在最大（小）值。