最优化方法实验指导书(2011,16课时)

《最优化方法》实验指导书（第一版）覃义编桂林电子科技大学数学与计算科学学院2011年9月20日实验一 线性规划算法及实现一、实验目的1. 掌握单纯形法在计算机上的实现，熟悉单纯形法的求解步骤。

2. 掌握目标函数系数和约束右端项在什么范围内变化时，最优基保持不变。

3. 读懂Lingo 灵敏度分析报告和求解报告。

4. 培养编程与上机调试能力。

二、实验课时：4个课时 三、实验准备1、熟悉线性规划的图解法及单纯形法解线性规划的原理；2、熟悉两阶段方法（两步法）及大M 方法的基本思想及求解步骤；3、了解灵敏度分析的内容，熟悉灵敏度分析步骤；4、熟悉lingo 软件的基本操作。

5、熟悉Matlab 软件的基本命令及其数值计算中的基本命令和函数。

四、实验内容 课堂实验演示（1）用lingo 软件求解线性规划 例1：m ax 23..43103512,0z x y s t x y x y x y =+⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩在模型窗口输入：model: max=2*x+3*y; 4*x+3*y<=10; 3*x+5*y<12;! the optimal value is :7.454545 ; End 如图所示：运行结果如下（点击 工具栏上的‘solve ’或点击菜单‘lingo ’下的‘solve ’即可）：Global optimal solution found.Objective value: 7.454545（最优解函数值） Total solver iterations: 2（迭代次数）Variable （最优解） Value Reduced Cost X 1.272727 0.000000 Y 1.636364 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 7.454545 1.000000 2 0.000000 0.9090909E-01 3 0.000000 0.5454545例2：12123124125m ax 54..390280450z x x s t x x x x x x x x x x =+⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎪≥⎩在模型窗口输入：model:max=5*x1+4*x2; x1+3*x2+x3=90; 2*x1+x2+x4=80; x1+x2+x5=45; end运行（solve ）结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 215.0000 Total solver iterations: 2Variable Value Reduced Cost X1 35.00000 0.000000 X2 10.00000 0.000000 X3 25.00000 0.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 3.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 215.0000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 1.000000 4 0.000000 3.000000例3 23123234235m in 2..223120z x x s t x x x x x x x x x x =-+⎧⎪-+=⎪⎪-+=⎨⎪-+=⎪⎪≥⎩在模型窗口输入：model:min=-x2+2*x3; x1-2*x2+x3=2; x2-3*x3+x4=1; x2-x3+x5=2; end运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value: -1.500000 Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX2 2.500000 0.000000 X3 0.5000000 0.000000 X1 6.500000 0.000000 X4 0.000000 0.5000000 X5 0.000000 0.5000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 -1.500000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.5000000 4 0.000000 0.5000000例4：m in ..124x y z s t x y x z ⎧++⎪+≤⎨⎪+=⎩（此例不能用lingo 试用版求解） 在模型窗口输入：model :min =@abs (x)+@abs (y)+@abs (z); x+y<1; 2*x+z=4; @free (x); @free (y); @free (z); End求解器状态如下： 可看出是非线性模型！运行结果为：（2）用lingo软件进行灵敏度分析实例()m ax603020864842 1.5202 1.50.585,,0S x y zx y zx y zx y zyx y z=++⎧⎪++≤⎪⎪++≤⎨++≤⎪⎪≤⎪≥⎩例5在模型窗口输入：Lingo模型：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z<48;4*x+2*y+1.5*z<20;2*x+1.5*y+0.5*z<8;y<5;end求解报告如下(Lingo→Solve)：Global optimal solution found at iteration: 0Objective value: 280.0000Variable Value Reduced CostX 2.000000 0.000000Y 0.000000 5.000000Z 8.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 280.0000 1.0000002 24.00000 0.0000003 0.000000 10.000004 0.000000 10.000005 5.000000 0.000000分析Value,Reduced Cost，Slack or Surplus，Dual Price的意义1、由Value所在列可知x,y是基变量（因为取值不为0）2、Reduced Cost（i.e. test indicator）所在列的三个数值表示当变量有微小变化时，目标函数的变化率。

例如：第2个数5表示当变量y增加一个单位时，最优目标函数值减少的量。

例如：当y=1时，最优目标函数值为280-5=275。

可通过如下模型可检验：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z<48;4*x+2*y+1.5*z<20;2*x+1.5*y+0.5*z<8;y<5;y=1;end注：基变量的Reduced Cost值为0，只有非基变量的Reduced Cost值才可能不为0；故由value,和Reduced Cost值分析可知y为非基变量；3、Slack or Surplus所在列的各数表示各行的松弛变量的取值。

目标函数行的Slack or Surplus值没啥意义，不用考虑。

可通过如下模型检验：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z+s1=48;4*x+2*y+1.5*z+s2=20;2*x+1.5*y+0.5*z+s3=8;y+s4=5;end4、Dual Price（对偶价格，影子价格）所在列的各数表示约束右端项有微小变化时，最优目标函数值的变化率。

注，只有紧约束行的Dual Price 值不为0。

例如：要检验第二行约束，可通过如下模型：model:max=60*x+30*y+20*z; 8*x+6*y+z<48;4*x+2*y+1.5*z<21; 2*x+1.5*y+0.5*z<8; y<5; end灵敏度分析报告如下(打开Lingo →Range 即可，但必须先设置：Lingo →Options →General solver →Dual computations →Prices and Range)Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X 60.00000 20.00000 4.000000 Y 30.00000 5.000000 INFINITY Z 20.00000 2.500000 5.000000Righthand Side RangesRow Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 48.00000 INFINITY 24.00000 3 20.00000 4.000000 4.000000 4 8.000000 2.000000 1.333333 5 5.000000 INFINITY 5.000000分析Objective Coefficient Ranges ，Righthand Side Ranges 的意义5、 Objective Coefficient Ranges 表示目标函数行各系数在某个范围内变化时，最优基保持不变。

以变量x 的系数为例：当x 的系数在()6046020-+内取值时，最优基保持不变。

此时，最优解不变，最优目标函数值变了。

例如：可通过如下模型检验：model:max=56.0001*x+30*y+20*z; 8*x+6*y+z<48;4*x+2*y+1.5*z<20; 2*x+1.5*y+0.5*z<8; y<5; end6、 Righthand Side Ranges 表示约束右端项各数在某个范围内变化时，最优基保持不变。

以第一个约束行为例：当右端项在()482448-+∞内取值时，最优基保持不变。

此时，最优解，目标函数的最优值变化了。

例如：可通过如下模型检验：model:max=60*x+30*y+20*z; 8*x+6*y+z<4800; 4*x+2*y+1.5*z<20; 2*x+1.5*y+0.5*z<8; y<5; end注：对求最小的问题，有类似的分析方法！（3）用Matlab 软件求解实例 常用命令如下； 1、 若模型为()m in ..Tf x c xs t A x b⎧=⎪⎨≤⎪⎩ 则可使用命令(,,)x linprog c A b =2、若模型为()m in ..T f x c x s t A x bA x b ⎧=⎪≤⎨⎪=⎩则可使用命令(,,,,)x linprog c A b A b =，或[],(,,,,)x y linprog c A b A b =，或其它，以下同3、若模型为()m in ..T f x c xs t A x bA x b LB x U B =≤=≤≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩则可使用命令(,,,,,,)x linprog c A b A b LB U B =若设置初始点0x 即可使用命令0(,,,,,)x linprog c A b A b x =Linprog 的使用说明如下：LINPROG Linear programming.X=LINPROG(f,A,b) solves the linear programming problem:min f'*x subject to: A*x <= bxX=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq) solves the problem above while additionallysatisfying the equality constraints Aeq*x = beq.X=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB) defines a set of lower and upperbounds on the design variables, X, so that the solution is inthe range LB <= X <= UB. Use empty matrices for LB and UBif no bounds exist. Set LB(i) = -Inf if X(i) is unbounded below;set UB(i) = Inf if X(i) is unbounded above.X=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0) sets the starting point to X0. Thisoption is only available with the active-set algorithm. The defaultinterior point algorithm will ignore any non-empty starting point.X=LINPROG(f,A,b,Aeq,Beq,LB,UB,X0,OPTIONS) minimizes with the defaultoptimization parameters replaced by values in the structure OPTIONS, anargument created with the OPTIMSET function. See OPTIMSET for details.Use options are Display, Diagnostics, TolFun, LargeScale, MaxIter.Currently, only 'final' and 'off' are valid values for the parameterDisplay when LargeScale is 'off' ('iter' is valid when LargeScale is 'on').[X,FV AL]=LINPROG(f,A,b) returns the value of the objective function at X:FV AL = f'*X.[X,FVAL,EXITFLAG] = LINPROG(f,A,b) returns EXITFLAG thatdescribes the exit condition of LINPROG.If EXITFLAG is:> 0 then LINPROG converged with a solution X.0 then LINPROG reached the maximum number of iterations without converging.< 0 then the problem was infeasible or LINPROG failed.[X,FV AL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b) returns a structureOUTPUT with the number of iterations taken in OUTPUT.iterations, the typeof algorithm used in OUTPUT.algorithm, the number of conjugate gradientiterations (if used) in OUTPUT.cgiterations.[X,FV AL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]=LINPROG(f,A,b) returns the set ofLagrangian multipliers LAMBDA, at the solution: LAMBDA.ineqlin for thelinear inequalities A, LAMBDA.eqlin for the linear equalities Aeq,LAMBDA.lower for LB, and LAMBDA.upper for UB.NOTE: the LargeScale (the default) version of LINPROG uses a primal-dual method. Both the primal problem and the dual problem must be feasible for convergence. Infeasibility messages of either the primal or dual, or both, are given as appropriate. The primal problem in standardform ismin f'*x such that A*x = b, x >= 0. The dual problem ismax b'*y such that A'*y + s = f, s >= 0. 例6：用matlab 求下列LP 问题 ()01212121212m ax 2..56221,0x x x s t x x LP x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎪≥⎩在命令行输入（也可建立m 文件） C=[-2 -1]';A=[1 1; -1 1; 6 2;-1 0;0 -1]; b=[5 0 21 0 0]'; [x,y,k]=linprog(C,A,b) 或C=[-2 -1]';A=[1 1; -1 1; 6 2]; b=[5 0 21]'; LB=[0 0]';UB=[inf inf]';[x,y,k]=linprog(C,A,b,[],[],LB,UB) 输出： x =2.7500 2.2500 y = -7.7500 k =1故原目标函数的最大值为 max(x0)= 7.7500课堂实验任务1、用lingo 软件或Matlab 软件优化工具箱求解下列线性规划问题。