2019年九年级数学下册 第26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

26.2 2. 第3课时 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与性质
一、选择题
1．对于抛物线y ＝－(x ＋1)2
＋3，下列结论：①开口向下；②对称轴为直线x ＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④当x >1时，y 随x 的增大而减小．其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．2017·金华对于二次函数y ＝－(x －1)2
＋2的图象与性质，下列说法正确的是( ) 链接听课例3归纳总结
A ．对称轴是直线x ＝1，最小值是2
B ．对称轴是直线x ＝1，最大值是2
C ．对称轴是直线x ＝－1，最小值是2
D ．对称轴是直线x ＝－1，最大值是2
3．抛物线y ＝a (x －h )2
＋k 的对称轴是直线x ＝－1，且抛物线有最高点．如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是( )
A. x ＜－1 B ．x ＞－1 C ．x ＜1 D ．x ＞1
4．2018·哈尔滨将抛物线y ＝－5x 2
＋1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线为( )
A ．y ＝－5(x ＋1)2－1
B ．y ＝－5(x －1)2
－1
C ．y ＝－5(x ＋1)2＋3
D ．y ＝－5(x －1)2
＋3
5．如图K －5－1，把抛物线y ＝x 2
沿直线y ＝x 平移2个单位后，其顶点在直线y ＝x 上的点A 处，则平移后抛物线所对应的函数关系式是( )
图K －5－1
A ．y ＝(x ＋1)2－1
B ．y ＝(x ＋1)2＋1
C ．y ＝(x －1)2＋1
D ．y ＝(x －1)2
－1
6．设A (－2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2
＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为链接听课例3归纳总结( )
A ．y 1>y 2>y 3
B ．y 1>y 3>y 2
C ．y 3>y 2>y 1
D ．y 3>y 1>y 2
7．如图K －5－2，A 是抛物线y ＝a (x －3)2
＋k 与y 轴的交点，AB ∥x 轴交抛物线于另一点B ，C 为该抛物线的顶点．若△ABC 为等边三角形，则a 的值为( )
图K －5－2
A.12
B.32
C.3
3 D ．1 二、填空题
8．因为抛物线y ＝2(x －1)2 的顶点坐标是________，抛物线y ＝2(x －1)2
＋3的顶点坐标是________， 所以
把抛物线y ＝2(x －1)2向________平移____________个单位，就可以得到抛物线y ＝2(x －1)2
＋3.
9．将抛物线y ＝13
x 2
平移，得到的新的抛物线的顶点坐标为(－2，－3)，则新抛物线的函数关系式为________，
若得到的新的抛物线的顶点坐标为(2，3)，则新抛物线的函数关系式为______________．
10．已知抛物线y ＝a (x －1)2
＋2过点(3，4)，则a 的值为________，开口向________，顶点坐标为________，对称轴是________．当x ________1时，y 随x 的增大而增大；当x ________1时，y 随x 的增大而减小．
11．如果二次函数y ＝a (x －h )2
＋k 的图象经过点(－2，0)和(4，0)，那么h 的值为________．
12．抛物线y ＝－(x ＋1)2＋4的顶点坐标是________，将抛物线y ＝－(x ＋1)2
＋4向下平移4个单位，得到
的抛物线是________，再向右平移1个单位，得到的抛物线是________．把抛物线y ＝－x 2
绕其顶点顺时针旋转180°，得到的抛物线是________．
13．抛物线y ＝2(x －2)2
－6与y 轴的交点坐标是________，与x 轴的交点坐标是______________，这三点围成的三角形的面积是________． 三、解答题
14．对于二次函数y ＝2x 2与二次函数y ＝2(x －1)2
＋4，请写出它们的两个相同点：
(1)________________________________________________________________________； (2)________________________________________________________________________； 再写出它们的两个不同点：
(1)________________________________________________________________________； (2)________________________________________________________________________． 15．已知二次函数y ＝－13
(x －2)2
＋9.
(1)确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (2)当x ＝______时，函数有最______值，是______．
(3)当x ________时，y 随x 的增大而增大；当x ________时，y 随x 的增大而减小． (4)求出该函数图象与x 轴的交点坐标．
(5)该函数图象经过怎样的平移或旋转可以得到二次函数y ＝13
x 2
的图象？
16．已知抛物线y ＝a (x －h )2
的对称轴是直线x ＝－2，且该抛物线过点(1，－3)． (1)求该抛物线的函数关系式，并写出其顶点坐标； (2)当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？
17．已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2).
(1)求a的值；
(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
1．[答案] C
2．[解析] B由抛物线的关系式y＝－(x－1)2＋2，可知对称轴是直线x＝1，开口方向向下，所以函数有最大值2.
3．[答案] B
4．[答案] A
5．[解析] C把抛物线y＝x2沿直线y＝x向斜上方平移2个单位，即将抛物线y＝x2向上平移1个单位后再向右平移1个单位，再根据“上加下减常数项，左加右减自变量”即可得到平移后的抛物线所对应的函数关系式为y＝(x－1)2＋1.故选C.
6．[解析] A∵函数y＝－(x＋1)2＋a的大致图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，∴点A关于对称轴x ＝－1的对称点A′的坐标是(0，y1)，那么点A′，B，C都在对称轴的右边，而在对称轴右边，y随x的增大而减小，于是y1>y2>y3.故选A.
7．[解析] C如图，过点C作CD⊥AB于点D.∵抛物线y＝a(x－3)2＋k的对称轴为直线x＝3，△ABC为等边三角形，且AB∥x轴，∴AD＝3，CD＝3 3，C(3，k)．
∵当x＝0时，y＝9a＋k，
∴A(0，9a＋k)，∴D(3，9a＋k)，
∴9a＋k－k＝3 3，∴a＝
3
3
.故选C.
8．[答案] (1，0) (1，3) 上 3
9．[答案] y ＝13(x ＋2)2－3 y ＝13
(x －2)2
＋3
[解析] 平移不改变抛物线的形状、大小及开口方向，所以所求函数关系式的二次项系数是1
3.当得到的新的
抛物线的顶点坐标为(－2，－3)时，抛物线的函数关系式为y ＝13(x ＋2)2
－3；当得到的新的抛物线的顶点坐
标为(2，3)时，抛物线的函数关系式为y ＝13(x －2)2
＋3.
10．[答案] 1
2 上 (1，2) 直线x ＝1 > <
11．[答案] 1
12．[答案] (－1，4) y ＝－(x ＋1)2 y ＝－x 2 y ＝x 2
13．[答案] (0，2) (2＋3，0)，(2－3，0) 2 3
14．[答案] 答案不唯一．相同点：(1)函数图象的开口都向上；(2)函数图象的开口程度相同． 不同点：(1)函数图象的对称轴不同；(2)函数的最值不同．
15．解：(1)因为a ＝－1
3<0，所以该函数图象的开口向下，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标是(2，9)．
(2)2 大 9 (3)<2 >2
(4)当y ＝0时，－13(x －2)2
＋9＝0，解方程，得x 1＝2＋33，x 2＝2－33，所以该函数图象与x 轴的交点坐
标是(2＋3 3，0)，(2－3 3，0)．
(5)将该函数图象先向下平移9个单位，再向左平移2个单位，可以得到二次函数y ＝－13x 2
的图象，再将其
绕原点顺时针或逆时针旋转180°，即可得到二次函数y ＝13x 2
的图象．
16．解：(1)根据题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧h ＝－2，
－3＝a （1－h ）2
， 解得⎩
⎪⎨⎪
⎧h ＝－2，a ＝－13，
所以该抛物线的函数关系式是y ＝－13
(x ＋2)2
，其顶点坐标是(－2，0)．
(2)当x ＜－2时，y 随x 的增大而增大．
17．解：(1)把(1，－2)代入y ＝a(x －3)2
＋2，
得(1－3)2
a ＋2＝－2，解得a ＝－1.
(2)由(1)得a ＝－1 ＜0，抛物线的开口向下，所以在对称轴直线x ＝3的左侧，y 随x 的增大而增大．因为m ＜n ＜3，所以y 1 ＜y 2.。