【学案】【第5章 数列】§5.5 数列综合问题

§5.5 数列综合问题
【复习目标】
1.综合运用所学等差、等比数列的知识分析问题和解决有关问题；
2.突出函数与方程思想、分类讨论思想及化归思想的运用，培养抽象的演绎推理能力；
3.通过对数列与函数、不等式、三角、解析几何、算法、导数等知识交汇处设计的数列综合题的训练，提高运算能力、思维能力和解决综合问题的能力。

【基础练习】
1．公差为0d ≠的等差数列中的236,,a a a 构成等比数列，则公比=q （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知1是2a 与2b 的等比中项，又是1a 与1b 的等差中项，则22a b
a b ++的值为（ ）
A ．1或12
-
B ．1或13-
C ．1或13
D ．1或12
3．已知数列{}n a 的首项11a =，13(1)n n a S n +=≥，则下列结论正确的是（ ）
A ．数列23,,,,n a a a 是等比数列
B ．数列{}n a 是等比数列
C ．数列23,,,,n a a a 是等差数列
D ．数列{}n a 是等差数列
4．若互不相等的实数,,a b c 依次成等差数列，,,c a b 又依次成等比数列，则::a b c = 。

5．对于*n N ∈，抛物线22()(21)1y n n x n x =+-++与x 轴交于,n n A B 两点，以n n A B 表示该两点间的距离，则112219991999A B A B A B +++L = 。

【典型例题】
例1．数列{}n a 的前n 项和为S n , a 1=1, a n +1=2S n (n ∈N *)， （1）求数列{}n a 的通项a n ；（2）求数列{na n }的前n 项和n T 。

例2．已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，n b *n ∈N ），且{}n b 是以q 为公比的等比数列。

（1）证明：22n n a a q +=； （2）若2122n n n c a a -=+，证明数列{}n c 是等比数列； （3）求和：1234212111111n n a a a a a a -++++++L 。

例3．在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2
1()2
n n n S a S =-，
（1）求n S 的表达式；（2）设21
n
n S b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

例4．已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足11
n n S q
a q =
--（q 是常数且0,1q q >≠）。

(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 当41=
q 时，试证明3
1<n S ； (3) 设函数()log q f x x =，12()()()n n b f a f a f a =+++ ，是否存在正整数m ，使
113n
i i
m
b =≥∑对n N *∀∈都成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

§5.5 数列综合问题参考答案
【基础练习】
1. C
2. B 提示:{2221,21a b a b a b ab ab +==+=⇒=或{
2
1
a b ab +=-=- 3. A 提示：法1: 求出1234,,,a a a a 作出猜测；法2: 求出通项n a 。

4.2:1:4- 提示:{
222
2()(2)()2b a c
a a c c a c a c c a a bc
=+⇒=+⇒+-⇒=-= 5.19992000
【典型例题】
1.（1）∵a n +1=2S n ,，∴S n+1−S n =2S n ，∴13n n
S S +=
又∵S 1＝a 1=1 ∴数列{S n }是首项为1、公比为3的等比数列，S n =3n −1(n ∈N*) ∴当n ≥2时，a n −2S n -1=2·3n -2(n ≥2)， ∴a n =2
1,1
23,2
n n n -=⎧⎨
⋅≥⎩ （2）T n =a 1+2a 2+3a 3+…+na n
当n =1时，11T = 当n ≥2时，T n =1+4·30+6·31+2n ·3 n −2…………①
3T n =3+4·31+6·32+…+2n ·3n -1
,………②
①−②得：−2T n ＝−2+4+2(31+32+…+3n -2)-2n ·3 n −1＝2+2·213132313
n n n ----⋅-（）=−1+(1−2n )·3n −1
∴T n =12+(n −12)3n −1 (n ≥2). 又∵T n =1a =1也满足上式，
∴T n =12+(n −12
)3n −1(n ∈N*)
2. 解：（1）证：由1n n
b q b +=
n
q
∴ 22()n n a a q n +=∈N*（2）证：22n n a q q -= ，22221231n n n a a q a q ---∴=== 222222n n n a a q a q --===
22222222212121222(2)5n n n n n n n c a a a q a q a a q q -----∴=+=+=+= {}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列。

（3）由（2）得22211
11n n q --=，222211n n
q a a
-=，于是 1221321242111111111n n n
a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫+++=+++++++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭
24222422121111111111n n a a q q q q q q --⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 31111q q q ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ 当1q =时，122111311112n a a a q q q ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭ 32
n
= 当1q ≠时，122111311112n a a a q q q ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭ 2132(1)n
q q q -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
故21222223,1,
21111,1
(1)n n n n q q a a a q q q -⎧=⎪+++=⎨-⎡⎤
3≠⎪
⎢⎥2-⎩⎣
⎦
3. 解：（1）当2n ≥时，211()()2
n n n n S S S S -=--，
即112n n n n S S S S --=-，若存在0k S =，则10k S -=，
依次类推，10S =，与11a =矛盾，故0n S ≠，
1
112n
n S S -∴-=，所以数列{}
1n
S 是公差为2的等差数列，其首项11
111S a ==
121n
n S ∴=-，从而1
21n S n =
- （2）111()n
n S b =
=- 12111111(1)23352121n n T b b b n n =+++=-+-++--+ 11(1)22121
n n n =-=++
4. 解: (1)由题意，)1(1
--=n n a q q S
得111(1)
1
q S a a q ==--，
∴1a q = 当2n ≥时，11(1)(1)1
1
1
1
n n n n n q q q q a a a a a q q q q --=---=-----，即1(1)n n n q a q a q a --=- ∴1
n n a q a -=，∴数列{}n a 是首项1a q =，公比为q 的等比数列
∴1n n n a q q q -=⋅=
(2)由（1）知当41=q 时，)411(314
1)
41
1(4
1n n n S -=--=
∵1411<-
n ，∴31)4
11(31<-n
即31<n S (3)∵ ()log q f x x
=
12log log log n q q q n b a a a ∴=+++ ＝12log ()q n a a a =12(1)
log 122
n q n n q n ++++=+++=
∵12112()
(1)1n b n n n n =
=-++
∴11n
i i b =∑12111n b b b =+++= 111112[(1)()()]2231n n -+-++-+ ＝21n n + 由113n
i i
m b =≥∑得66(1)666111n n m n n n +-≤==-+++ -------(*)
∵(*)对n N *∀∈都成立 ∴66311
m ≤-=+
∵m 是正整数，∴m 的值为1,2,3。

∴使
1
1
3
n
i i
m b
=≥
∑对n N *∀∈都成立的正整数m 存在，其值为：1，2，3。