人教版数学高二-2.4《等比数列》学案
高中数学 2.4等比数列学案 新人教A版必修5
第二章 数列2．4 等比数列（第1课时）学习目标1．掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念； 2．掌握等比数列的通项公式及推导思路；3．能根据等比数列的定义判断或证明一个数列为等比数列． 要点精讲1．如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(0)q ≠． 2．在数列{}n a 中，若对任意n N *∈，有1nn a q a -=(0,1)q n ≠>，则称数列{}n a 为等比数列；在数列{}n a 中，若对任意n N *∈，有11n n n na aa a +-=(1)n >，则数列{}n a 为等比数列． 3．由三个数,,a Gb 组成的等比数列可以看成最简单的等比数列．这时，G 叫做a 与b 的等比中项．G 为a 与b 的等比中项⇔,,a G b 组成等比数列⇔2(0,0)G ab ab G =>≠4．设等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则通项公式11n n a a q -=．公式推导方法为归纳法．对于任意,n m N *∈，有n m n m a a q -=．范例分析例1．在等比数列{}n a 中，（1）218a =，48a =，求1a 与q ； （2）5115a a -=，426a a -=，求3a ； 例2．已知1是2a 与2b 的等比中项，又是1a 与1b 的等差中项，求22a ba b ++的值． 例3．正项等比数列{}n a 与等差数列{}n b 满足7711,b a b a ==且71a a ≠，则4a ，4b 的大小关系为（ ）A ．4a 4b =B ．4a 4b >C ．4a 4b <D ．不确定例4．在等差数列}{n a 中，公差0d ≠，且2a 是1a 和4a 的等比中项，已知1a ，3a ，123,,,n k k k k a a a a 成等比数列，求数列123,,,,n k k k k ⋅⋅⋅的通项n k ．规律总结1．可以把等比数列{}n a 的问题归结为两个基本量1a 和q 的问题； 2．判定一个数列是不是等比数列，就是看1nn a a -(1)n >是不是一个与n 无关的常数． 3．等比数列与指数函数的关系：等比数列{}n a 的通项公式111(0)n n a a q a q -=≠，它的图象是分布在曲线1(0xa y q q q=⋅>且1)q ≠上的一些孤立的点．当10,1a q >>时，等比数列{}n a 是递增数列；当10,01a q <<<时，等比数列{}n a 是递增数列；当10,01a q ><<时，等比数列{}n a 是递减数列；当10,1a q <>时，等比数列{}n a 是递增数列；当0q <时，等比数列{}n a 是摆动数列；当1q =时，等比数列{}n a 是常数数列 基础训练 一、选择题1．在数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有120n n a a +-=，则123422a a a a ++等于（ ）A ．14 B ．13 C ．12D ．1 2．已知等差数列{}n a 的公差为2，若431,,a a a 成等比数列， 则2a =（ ）A ．4-B ．6-C ．8-D ．10-3．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ ） A ．2- B ．1 C ．2 D ．34．在△ABC 中，tan A 是以4-为第3项，4为第7项的等差数列的公差，tan B 是以31为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形为 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形5．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d = 若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 二、填空题6．在等比数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有12n n n a a a ++=+，则公比q =___ 。
2.4 《等比数列》导学案
《2.4 等比数列》导学案班级组别组名姓名【学习目标】:1．通过实例、类比理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列；2．掌握等比数列的通项公式并能简单应用，了解等比数列的通项公式的推导过程；3．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．【重点难点】重点：等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用难点：等比数列对列“等比”特征的理解和应用【复习回顾】1、等差数列的定义：即数列{a n}是等差数列⇔*=∈⇔d n N()2、等差数列的通项公式设等差数列{}n a的公差为d ，则=n a=【课前预习】知识点一等比数列的定义及通项公式1、定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的等于，那么这个数列叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(q≠0).2、数学语言表示：数列{a n}是等比数列⇔*=∈⇔q n N()3、注意：（1）.公比是等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比，不能颠倒.（2）.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个常数.（3）隐含：任何一项a n≠0，且公比0q≠【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列的公比可以为任意实数.()(2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.()(3)常数列既是等差数列又是等比数列.()知识点二等比中项的概念如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的，且G＝.【预习评价】1. 已知等比数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝9，则a 2＝________.2. 3与27的等比中项是________. 知识点三 等比数列的通项公式设等比数列{}n a ，的公比为q ，则 =n a【预习评价】１．某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（一个分裂为两个），经过４小时，这种细菌由一个可繁殖成___个２．已知等比数列的通项公式1104n n a =⨯，其首项为 ，公比为 ３．在等比数列{}n a 中，已知首项为 98，末项为13 ，公比为23，则项数n=题型一 等比数列的判断【例1】判断下列数列是否为等比数列（1）2,2,2,2，…； （2）-1,1,2,4,8，…； （3） ,,,321a a a ,n a ；（4）已知数列{}n a 的通项公式为n n a 23⨯=。
高中数学2.4等比数列教案4人教版必修5
（3） 1,
11 ,,
24
（4） 2，— 2， 2，— 2， 2…… 例 2：求下列等比数列中的未知项：
（1） 2， a， 8
（ 5）a， a， a， a， a……
1
（2）— 4，b， c，
2
例 3：（ 1）在等比数列 an 中，是否有
11 , ……
8 16
a
2 n
an 1an 1 (n
2)?
（ 2）如果数列 an 中，对于任意的正整数 n(n 2) ，都有
等比数列
一、教学目标定位
（一）知识与技能
1、掌握等比数列的定义与等比数列的通项公式；
2、掌握等比数列以及等比数列的通项公式及推导。
3、培养学生的发现意识， 提高学生的创新意识和逻辑推理能力， 增强学生的应用意识。
（二）过程与方法
1 、采用比较式教学法，从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、
如果是，它的首项和公比各是多少？
（ 2）取出数列 an 的所有奇数项， 组成一个新的数列， 这个数列是等比数列吗？如果是，
它的首项和公比各是多少？
（ 3）在数列 an 中，每隔 10 项取出一项， 组成一个新的数列， 这个数列是等比数列吗？
如果是，它的公比是多少？ D、课堂小结 1、本节课研究了等比数列的概念，得到了通项公式以及等比数列的性质； 2、注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比； 3、用方程的思想认识通项公式，并加以应用 . E、布置课后作业 课课练 P31、 32
2、利用比较法教学来研究等比数列定义，体现了数学中“转化”的重要思想方法。
二、重点难点分析
（一）重点 1、等比数列的概念的理解与掌握。 2、等比数列通项公式的应用。
高中数学第二章数列2.4等比数列一导学案新人教A版必修5
2.4 等比数列（一）【教学目标】1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.4等比数列（一）》课件“情景导入”部分，从世界杂交水稻之父—袁隆平的实例及四个生活中遇到的问题入手，通过互相交流，既可感受袁隆平对中国和全世界作出的杰出贡献，从而激发学生的爱国热情，又能对等比数列的概念及简单应用形成初步的印象.二、自主学习教材整理1等比数列的定义阅读教材P48～P49倒数第一行，完成下列问题．1．等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．(2)符号语言：a n＋1*)．a n＝q(q为常数，q≠0，n∈N2．等比中项(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．(2)结论：G叫做a，b的等比中项．(3)满足的关系式：G2＝ab.教材整理2等比数列的通项公式阅读教材P49倒数第1行～P51例3，完成下列问题．1．等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{a n}的第n项a n，有公式a n＝a1q n－1.这就是等比数列{a n}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．2．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q ·q n ，而y ＝a 1q ·q x (q ≠1)是一个不为0的常数a 1q与指数函数q x 的乘积，从图象上看，表示数列a 1q ·q n 中的各项的点是函数y ＝a 1q·q x 的图象上的孤立点． 三、合作探究问题1 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点．①1,2,4,8,16，…；②1，12，14，18，116，…； ③1,1,1,1，…；④－1,1，－1,1，….提示：从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数．问题2 在2,8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？提示：设这个数为G .则G 2＝8G，G 2＝16，G ＝±4.所以这样的数有2个． 问题3 等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a 1，公比为q 的等比数列的通项公式吗？提示：等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘．根据等比数列的定义得a 2a 1＝q ，a 3a 2＝q ，a 4a 3＝q ，…，a n a n －1＝q (n ≥2)． 将上面n －1个等式的左、右两边分别相乘，得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝q n －1，化简得a n a 1＝q n －1，即a n ＝a 1q n －1(n ≥2)． 当n ＝1时，上面的等式也成立．∴a n ＝a 1q n －1(n ∈N *)．探究点1 证明等比数列例1 已知f (x )＝log m x (m ＞0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )，…是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列{a n }是等比数列．提示：由题意知f (a n )＝4＋2(n －1)＝2n ＋2＝log m a n ，∴a n ＝m 2n ＋2，∴a n ＋1a n ＝m 2(n ＋1)＋2m2n ＋2＝m 2， ∵m ＞0且m ≠1，∴m 2为非零常数，∴数列{a n }是等比数列．反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)．探究点2 等比数列通项公式的应用命题角度1 方程思想例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项． 提示：设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12， ①a 1q 3＝18， ② ②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①， 得a 1＝163. 因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8. 综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8. 反思与感悟 已知等比数列{a n }的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a 1和q 的两个方程，从而解出a 1和q ，再求其他项或通项．命题角度2 等比数列的实际应用例3 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)提示：设这种物质最初的质量是1，经过n 年，剩余量是a n ，由条件可得，数列{a n }是一个等比数列．其中a 1＝0.84，q ＝0.84，设a n ＝0.5，则0.84n ＝0.5.两边取对数，得n lg0.84＝lg0.5，用计算器算得n ≈4.答 这种物质的半衰期大约为4年．反思与感悟 等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a 1，项数n 所对应的实际含义．探究点3 等比中项例4 若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则a b的值为( ) A ．±12 B.12C ．1D ．±1 提示：D [∵1，a,3成等差数列，∴a ＝1＋32＝2， ∵1，b,4成等比数列，∴b 2＝1×4，b ＝±2，∴a b ＝2±2＝±1.] 反思与感悟 (1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项；(2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个．四、当堂检测1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( )A ．16B ．16或－16C ．32D ．32或－322．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )A ．4B ．8C ．6D ．323．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．2434．45和80的等比中项为________．提示：1．C 2.C 3.A 4.－60或60五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)． (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．2．两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方．3．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量．。
【创新设计】2022-2021学年高二数学人教A必修5学案：2.4 等比数列(一) Word版含答案
2．4 等比数列(一)[学习目标] 1.通过实例，理解等比数列的概念并会简洁应用.2.把握等比中项的概念并会应用.3.把握等比数列的通项公式了解其推导过程．[学问链接]下列推断正确的是________．(1)从第2项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列； (2)从第2项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列； (3)等差数列的公差d 可正可负，且可以为零； (4)在等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． 答案 (1)(3)(4) [预习导引]1．等比数列的概念：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比中项的概念：假如a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab .3．等比数列的通项公式：已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，该等比数列的通项公式为a n ＝a 1q n －1.要点一 等比数列通项公式的基本量的求解 例1 在等比数列{a n }中， (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n . (3)a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求a n .解 (1)由于⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝2，a 1q 6＝8，①②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝2532n -.(2)法一 由于⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，③④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6. 法二 由于a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1q n －1＝1，知n ＝6.(3)设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0. a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203. 解得q 1＝13，q 2＝3.当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.规律方法 a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是依据条件，建立关于a 1和q 的方程组，求出a 1和q .跟踪演练1 (1)若等比数列{a n }的首项a 1＝98，末项a n ＝13，公比q ＝23，求项数n .(2)在等比数列{a n }中，已知a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a n . 解 (1)由a n ＝a 1·q n －1，得13＝98⎝⎛⎭⎫23n －1，即⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎝⎛⎭⎫233，得n ＝4.(2)由于⎩⎪⎨⎪⎧ a 5－a 1＝a 1q 4－a 1＝15，a 4－a 2＝a 1q 3－a 1q ＝6，①②由①②得q ＝12或q ＝2.当q ＝12时，a 1＝－16；当q ＝2时，a 1＝1.∴a n ＝－25－n 或a n ＝2n －1. 要点二 等比中项的应用例2 等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于多少？解 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.规律方法 由等比中项的定义可知：G a ＝bG ⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab .这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G 2＝ab ，则G a ＝bG ，即a ，G ，b 成等比数列．所以a ，G ，b成等比数列⇔G 2＝ab (ab ≠0)．跟踪演练2 已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．解 由题意知b 2＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－24332＝⎝⎛⎭⎫326， ∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝⎛⎭⎫－322，解得a ＝23； bc ＝⎝⎛⎭⎫－243322＝⎝⎛⎭⎫－3210，解得c ＝⎝⎛⎭⎫327. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－⎝⎛⎭⎫327. 综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝⎛⎭⎫327或－23，－278，－⎝⎛⎭⎫327. 要点三 等比数列的判定例3 数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求a n .解 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4， a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15. 下面证明{a n －n }是等比数列： 证明a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n＝3a n －3na n －n＝3(n ＝1,2,3，…)． 又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1， ∴a n ＝n －2·3n －1.规律方法 推断一个数列是否是等比数列的常用方法有 (1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 为常数且不为零)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0且q ≠0)⇔{a n }为等比数列．跟踪演练3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证{a n }是等比数列，并求出通项公式． 解 ∵S n ＝2a n ＋1， ∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n . ∴a n ＋1＝2a n ，又∵S 1＝2a 1＋1＝a 1，∴a 1＝－1≠0. 又由a n ＋1＝2a n 知a n ≠0， ∴a n ＋1a n ＝2，∴{a n }是等比数列．∴a n ＝－1×2n －1＝－2n －1.要点四 由递推公式构造等比数列求通项例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列．∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1. ∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12.又c n ＝a n －1，所以q ＝12.∴{c n }是以－12为首项，公比为12的等比数列．(2)解 由(1)可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n.∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n .又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . 规律方法 (1)已知数列的前n 项和，或前n 项和与通项的关系求通项，常用a n 与S n 的关系求解．(2)由递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B (A ，B 为常数，且A ≠0，A ≠1)求a n 时，由待定系数法设a n ＋1＋λ＝A (a n ＋λ)可得λ＝B A －1，这样就构造了等比数列{a n ＋λ}． 跟踪演练4 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝52－1a n ，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式．解 a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2，b n ＋1＋23＝4⎝⎛⎭⎫b n ＋23.又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，所以b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 2等于( ) A ．16 B. 16或－16 C. 32 D. 32或－32答案 A解析 由a 4＝a 1q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝16.2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 ( ) A ．4 B ．8 C ．6 D ．32 答案 C解析 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6. 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1. 故a 7＝1·26＝64.4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a na n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1.1.等比数列定义的理解(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q 也不行能为零． (2)a n ＋1a n均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应留意分子、分母次序不能颠倒．(3)假如一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列． 2.等比中项的理解(1)当a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个；当a ，b 异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． (3)“a ，G ，b 成等比数列”等价于“G 2＝ab ”(a ，b 均不为0)，可以用它来推断或证明三数是否成等比数列． 3．等比数列的通项公式(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列．(2)在公式a n ＝a 1q n －1中有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．一、基础达标1．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B. 8 C. 16 D. 32 答案 C解析 由于a 24＝a 2·a 6，所以a 2·a 6＝16.2．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36 D ．81 答案 B解析 由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9. ∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27. 3．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24答案 A解析 由(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝－3.当x ＝－1时，前三项为－1,0,0不成立，舍掉．当x ＝－3时，前三项为－3，－6，－12，公比为2，所以第四项为－24，选A.4．假如－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号， ∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.5．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________. 答案 2解析 a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2.6．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________． 答案 80,40,20,10解析 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12.∴这4个数依次为80,40,20,10.7．已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .解 ∵a 1a 3＝a 22，∴a 1a 2a 3＝a 32＝8，∴a 2＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝5a 1a 3＝4，解得a 1＝1，a 3＝4或a 1＝4，a 3＝1.当a 1＝1时，q ＝2；当a 1＝4时，q ＝12.故a n ＝2n －1或a n ＝23－n .8．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数． 解 设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有 (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16. 设后三个数分别为bq，b ，bq ，则有bq·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ， ∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20216＝25.即所求的四个数分别为12,16,20,25. 二、力量提升9．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 C解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1， ∴m －1＝10，∴m ＝11.10．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2 答案 B 解析∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.11．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．答案 12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ， 则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2. 若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0. ∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.12．设{a n }是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1b 2b 3＝－3，求数列{a n }的通项公式． 解 设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则a n ＝2b n ， ∵b n －b n －1＝log 2a n －log 2a n －1＝log 2a na n －1＝log 2q ， ∴{b n }为等差数列，且d ＝log 2q ，而⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝3(b 1＋d )＝3，b 1·b 2·b 3＝b 1(b 1＋d )(b 1＋2d )＝－3， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝－1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝3，d ＝－2.∴b n ＝2n －3或5－2n .∴a n ＝22n －3或a n ＝25－2n . 三、探究与创新13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的表达式．(1)证明 法一 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，且a 1＋1＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列，公比为2，首项为2. 法二 ∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)，∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解 由(1)知{a n ＋1}是等比数列．公比为2，首项a 1＋1＝2. ∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n .∴a n ＝2n －1.。
人教新课标版数学高二A必修5学案 2.4 等比数列(一)
明目标、知重点 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比中项的概念如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab . 3．等比数列的通项公式已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，该等比数列的通项公式为a n ＝a 1q n －1.[情境导学]在前面我们学习了等差数列，其特点是从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一常数，在生活中也常见从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数的数列，本节我们就来研究这类数列．探究点一 等比数列的概念思考1 阅读教材48页至49页上半页列举了4个实例，请同学们写出这4个实例对应的4个数列，并观察它们有什么共同特点． 答 这4个数列分别为：①1,2,4,8,16，…； ②1，12，14，18，116，…；③1,20,202,203，…；④10 000×1.019 8,10 000×1.019 82,10 000×1.019 83，10 000×1.019 84,10 000×1.019 85. 它们的特点为：每一项与它前一项的比等于同一常数．思考2结合等差数列的定义，给等比数列下一个准确定义．答如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．思考3我们在使用等比数列定义时，往往需要符号化、等式化．如何用符号语言简洁地表示它？答a na n－1＝q(n>1，q≠0)．思考4下列所给数列中，是等比数列的为________．(1)1,1,1,1,1，….(2)0,1,2,4,8，….(3)2－3，－1,2＋3，….(4)1,3,9,27,81，….答案(1)(3)(4)解析(1)中数列显然符合等比数列的定义，公比为1，所以是等比数列；对于(2)由于第一项为0，公比不存在，所以不是等比数列；对于(3)－12－3＝－12－3＝－2＋3(2－3)(2＋3)＝2＋3－1，所以(3)是等比数列；对于(4)明显能看出是等比数列，公比为3.探究点二等比中项思考1请你类比等差中项的概念，给出等比中项的概念．答如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．思考2下表是等差中项与等比中项概念的对比，请填充完整.探究点三等比数列的通项公式思考1如果等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，你能用归纳的方法给出数列{a n}的通项公式吗？答 根据等比数列的定义知：a 1＝a 1q 0，a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ＝a 1q 2，a 4＝a 3q ＝a 1q 3，a 5＝a 4q ＝a 1q 4，…，一般地，有a n ＝a 1q n －1.思考2 除了利用归纳法，你还有其它的方法推导等比数列的通项公式吗？ 答 根据等比数列的定义得：a 2a 1＝q ，a 3a 2＝q ，a 4a 3＝q ，…，a na n －1＝q (n ＞1)．将上面n －1个等式的左、右两边分别相乘， 得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝q n －1， 化简得a n a 1＝q n －1，即a n ＝a 1q n －1.当n ＝1时，上面的等式也成立． ∴a n ＝a 1q n －1(n ∈N *)．小结 (1)等比数列的通项公式为a n ＝a 1q n －1(n ∈N *)，要注意公式中q 的次数为n －1而非n . (2)对于公比q ，要强调它是“从第2项起，每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的次序颠倒；(3)公比q 是任意非零常数，可正可负； (4)首项和公比均不为0.思考3 已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n 等于什么？为什么？ 答 a n ＝4·(32)n －1，由已知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，得a ＝5，则a 1＝4，q ＝64＝32，∴a n ＝4·(32)n－1.小结 如果一个数列{a n }的任意三项满足a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)，则这个数列是等比数列．例1 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？(放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)解 设这种物质最初的质量是1，经过n 年，剩留量是a n ， 由条件可得数列{a n }是一个等比数列． 其中a 1＝0.84，q ＝0.84， 设a n ＝0.5，则0.84n ＝0.5.两边取对数，得n lg 0.84＝lg 0.5，用计算器算得n ≈4.答 这种物质的半衰期大约为4年．反思与感悟 等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a 1，项数n 所对应的实际含义．跟踪训练1 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨(保留到个位)？(lg 6＝0.778，lg 1.2＝0.079)解 记该糖厂每年制糖产量依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，….则依题意可得a 1＝5，a na n －1＝1.2(n ≥2且n ∈N *)，从而a n ＝5×1.2n －1，这里a n ＝30，故1.2n －1＝6，即n －1＝log 1.26＝lg 6lg 1.2＝0.7780.079≈9.85.故n ＝11.答 从2021年开始该糖厂年制糖量开始超过30万吨． 例2 根据下图中的框图，写出所打印数列的前5项， 并建立数列的递推公式．这个数列是等比数列吗？解 若将打印出来的数依次记为a 1(即A )，a 2，a 3，…. 由框图可知，a 1＝1，a 2＝a 1×12＝12，a 3＝a 2×12＝14，a 4＝a 3×12＝18，a 5＝a 4×12＝116.于是，可得递推公式⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝12a n －1(n >1).由于a n a n －1＝12，因此这个数列是等比数列，其通项公式是a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1. 反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即a n ＋1a n ＝q (与n 无关的常数)．跟踪训练2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)证明：数列{a n }是等比数列． (1)解 ∵a 1＝S 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又a 1＋a 2＝S 2＝13(a 2－1)，∴a 2＝14.(2)证明 ∵S n ＝13(a n －1)，∴S n ＋1＝13(a n ＋1－1)，两式相减，得a n ＋1＝13a n ＋1－13a n ，即a n ＋1＝－12a n ，∴数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．例3 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项． 解 设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12， ①a 1q 3＝18， ② ②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8.反思与感悟 已知等比数列{a n }的某两项的值，求该数列的其它项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a 1和q 的两个方程，从而解出a 1和q ，再求其它项或通项． 跟踪训练3 在等比数列{a n }中， (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6；(2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n . 解 (1)由等比数列的通项公式，得 a 6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1q n －1＝5×2n －1.1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( ) A ．16 B ．16或－16 C ．32 D ．32或－32答案 C解析 由a 4＝a 1q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 3＝a 4q＝32.2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( ) A ．4 B ．8 C ．6 D ．32 答案 C解析 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6. 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a na n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. [呈重点、现规律] 1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)．(2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．2．两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方．3．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量．一、基础过关1．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 答案 C解析 由于a 24＝a 2·a 6，所以a 2·a 6＝16.2．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36 D ．81 答案 B解析 由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9. ∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27. 3．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第4项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 答案 A解析 由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得， (3x ＋3)2＝x (6x ＋6)．解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)．故数列的第四项为－24.4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号， ∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.5．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________. 答案 2解析 a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2.6．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________． 答案 80,40,20,10解析 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12.∴这4个数依次为80,40,20,10.7．设数列{a n }是等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1·b 2·b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解 设数列{a n }的公差为d ，则b n ＋1b n ＝⎝⎛⎭⎫12d .∵⎝⎛⎭⎫12d 为非零常数，∴数列{b n }是等比数列，设公比为q . ∵b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1·b 2·b 3＝18，∴⎩⎨⎧b 2q ＋b 2＋b 2q ＝218，b 32＝18.解得b 2＝12，q ＝14或q ＝4.当q ＝4时，b 1＝18，b n ＝b 1·q n －1＝18×4n －1＝⎝⎛⎭⎫125－2n .又b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，∴a n ＝5－2n . 当q ＝14时，b 1＝2，b n ＝⎝⎛⎭⎫122n －3. 又b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，∴a n ＝2n －3. 综上可知a n ＝5－2n 或a n ＝2n －3. 二、能力提升8．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 C解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11.9．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2 答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2. 又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.10．已知6，a ，b,48成等差数列，6，c ，d,48成等比数列，则a ＋b ＋c ＋d ＝________. 答案 90解析 6，a ，b,48成等差数列，则a ＋b ＝6＋48＝54；6，c ，d,48成等比数列，则q 3＝486＝8，q ＝2，故c ＝12，d ＝24，从而a ＋b ＋c ＋d ＝90.11．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．解 设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有 (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16. 设后三个数分别为bq ，b ，bq ，则有bq·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ，∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20216＝25.即所求的四个数分别为12,16,20,25.12．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0. a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n. 当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3. 三、探究与拓展13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1， (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．(1)证明 方法一 ∵a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，且a 1＋1＝2. ∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．方法二 ∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)，∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解 由(1)知{a n ＋1}是等比数列．公比为2，首项为2. ∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.。
2.4(2)等比数列(学生学案)
SCH 南极数学同步教学设计 人教A 版必修5第二单元《数列》 班级 姓名 座号2.4(2)等比数列（学生学案）例1：（P51例4）设项数相同的等比数列{n a }与{n b }，求证{}n n b a ⋅也是一个等比数列变式训练1：将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列C ．公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列 例2：(tb0316237)在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2a 3a 10a 11=256，则a 6a 7等于（ ）。
（A ）13 （B ）14 （C ）15 （D ）16变式训练2: 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 3a 5＝4，则a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝________.例3：已知等比数列{a n }中，a 1·a 9＝64，a 3＋a 7＝20，则a 11＝ ．变式训练3：在正项等比数列{}n a 中，991,a a 是方程016102=+-x x 的两个根，则605040a a a 的值为（ ）A. 32B. 256C. 64±D. 64例4：有四个数，前三个数成等比数列，它们的和为19，后三个数成等差数列，它们的和为12.求这四个数. 变式训练4：在3和9之间插入两个正数，使前3个数成等比数列，后3个数成等差数列，则这两个正数之和为 （ ）A.227 B. 445 C. 225 D. 447 等比数列的性质归纳：在等比数列{}n a 中（1） 等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ，)0(≠⋅⋅=-q a q a a m m n m n*（2）若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅（3）等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）（4）设项数相同的等比数列{n a }与{n b }，则数列{}n n b a ⋅也是一个等比数列（5）当{a n }是有穷数列时，与首末两项等距离的两项的积都相等，且等于首末两项的积。
高中数学第二章数列2.4等比数列二导学案新人教A版必修5
2.4等比数列（二）【教学目标】1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.4等比数列（二）》课件“复习回顾”部分，对等比数列的定义和通项公式进行简单回顾，从而引出本节课的学习内容.二、自主学习教材整理等比数列的性质阅读教材P51例4～P53，完成下列问题．1．“子数列”性质对于无穷等比数列{a n}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k，公比为q k.2．等比数列项的运算性质在等比数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m·a n＝a p·a q.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m·a n＝a2k.②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….3．两等比数列合成数列的性质若数列{a n }，{b n }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列{ca n}，{a 2n }{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也为等比数列．三、合作探究 问题1 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .等比数列也有类似变形吗？提示：在等比数列中，由通项公式a n ＝a 1q n －1，得a n a m ＝a 1q n －1a 1q m －1＝q n －m ，所以a n ＝a m ·q n－m (n ，m ∈N *)． 问题2我们知道等差数列的通项公式可以变形为a n ＝dn ＋a 1－d ，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？提示：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .则a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n ，其形式类似于指数型函数，但q 可以为负值．由于a n ＋1－a n ＝a 1q n －a 1q n －1＝a 1q n －1(q －1)，所以{a n }的单调性由a 1，q ，q －1的正负共同决定．问题3等比数列{a n }的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是(1){3a n }是等比数列；(2){3＋a n }是等比数列；(3){1a n}是等比数列；(4){a2n}是等比数列．提示：由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确．问题4在等比数列{a n}中，a25＝a1a9是否成立？a25＝a3a7是否成立？a2n＝a n－2a n＋2(n>2，n∈N*)是否成立？提示：∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，∴a1a9＝a21q8＝(a1q4)2＝a25，∴a25＝a1a9成立．同理a25＝a3a7成立，a2n＝a n－2·a n＋2也成立．探究点1 等比数列的判断方法例1 已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝n－5a n－85，n∈N*，证明：{a n－1}是等比数列．提示：当n＝1时，a1＝S1＝1－5a1－85，解得a1＝－14，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝1－5a n＋5a n－1，∴6a n＝5a n－1＋1，a n－1＝56(a n－1－1)，∴{a n －1}是首项为－15，公比为56的等比数列． 反思与感悟 判断一个数列是等比数列的基本方法：(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (常数)；(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)；要判断一个数列不是等比数列，举一组反例即可，例如a 22≠a 1a 3.探究点2 等比数列的性质命题角度1 序号的数字特征例2 已知{a n }为等比数列．(1)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(2)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．提示：(1)a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25，∵a n >0，∴a 3＋a 5>0，∴a 3＋a 5＝5.(2)根据等比数列的性质a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9，∴a 1a 2…a 9a 10＝(a 5a 6)5＝95，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 9a 10)＝log 395＝10.反思与感悟 抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．命题角度2 未知量的设法技巧例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．提示：方法一 设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6. 所以，当a ＝4，d ＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；当a ＝9，d ＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二 设这四个数依次为2a q －a ，a q，a ，aq (q ≠0)， 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a q －a ＋aq ＝16，a q ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2 或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，q ＝13.当a ＝8，q ＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；当a ＝3，q ＝13时， 所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.反思与感悟 合理地设出未知数是解决此类问题的技巧．一般地，三个数成等比数列，可设为a q，a ，aq ；三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a ＋d .若四个同号的数成等比数列，可设为aq 3，a q，aq ，aq 3；四个数成等差数列，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .四、当堂检测1．在等比数列{a n}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为( )A．2B．3C．4D．82．在等比数列{a n}中，a n>0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9等于( )A．9B．6C．3D．23．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．4．已知a n＝2n＋3n，判断数列{a n}是不是等比数列？提示：1．A 2.C 3.84．解不是等比数列．∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，∴a1a3≠a22，∴数列{a n}不是等比数列．五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．。
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2.4《等比数列》学案
一、预习问题：
1、等比数列的概念：一般的， ，那么这个数
列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q 表示。
2、若()为常数q n q a a n n ,21
≥=-，则称数列{}n a 为 ，q 为 ，且≠q 。
3、若b G a ,,成等比数列，则 ；其中G 叫做a 与b 的 。
此时a 与b （填同号或异号）。
4、等比数列的通项公式为： 。
5、首项为正数的等比数列的公比1=q 时，数列为 数列；当0<q 时，数列为 数列；当10<<q 时，数列为 数列；当1>q 时，数列为 数列。
6、判断正误：
①1，2，4，8，16是等比数列； （ ） ②数列 ,8
1,41,21,
1是公比为2的等比数列； （ ） ③若c b b a =，则c b a ,,成等比数列； （ ） ④若()
*1N n n a a n n ∈=+，则数列{}n a 成等比数列； （ ） 7、思考：如何证明一个数列是等比数列。
二、实战操作：
例1、 判断下列数列{}n a 是否为等比数列：
（1）()()*1,31N n a n n n ∈-=-； （2）()*3,2N n a n n ∈-=-；
（3）*,2N n n a n n ∈⨯= （4）*,1N n a n ∈-=
例2、（1）求12+与12-的等比中项；
（2）等比数列{}n a 中，若0>n a ，252645342=++a a a a a a ，求53a a +。
例3、已知等比数列{}n a ，若8,7321321==++a a a a a a ，求数列{}n a 的通向公式。