等差数列与等比数列学案
专题三 数 列 第1讲 等差数列与等比数列等差、等比数列的基本运算(基础型) 通项公式等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n －1.求和公式等差数列：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na1＋n （n －1）2d ；等比数列：S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q (q ≠1)．性质1．(2018·贵阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11S 5＝( )A.115 B.522 C.1110D.225解析：选D.S 11S 5＝112（a 1＋a 11）52（a 1＋a 5）＝11a 65a 3＝225.故选D.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12解析：选B.设等差数列{a n }的公差为d ，因为3S 3＝S 2＋S 4，所以3(3a 1＋3×22d )＝2a 1＋d＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－32a 1，因为a 1＝2，所以d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.3．(2018·郑州模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为 ( )A ．－3B ．1C ．－3或1D ．1或3解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1，由S n ＋2＝4S n ＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n ，3a 1n ＝2a 1－3恒成立，则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1，所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，S n ＋2＝a 1（1－q n ＋2）1－q，代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧4－q 2＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，q ＝－2，故a 1＝1或－3，故选C. 4．(2018·南宁模拟)在等比数列{a n }中，a 2a 6＝16，a 4＋a 8＝8，则a 20a 10＝________．解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2a 6＝16得a 21q 6＝16，所以a 1q 3＝±4.由a 4＋a 8＝8，得a 1q 3(1＋q 4)＝8，即1＋q 4＝±2，所以q 2＝1.于是a 20a 10＝q 10＝1.法二：由等比数列的性质，得a 24＝a 2a 6＝16，所以a 4＝±4，又a 4＋a 8＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 8＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－4，a 8＝12.因为a 26＝a 4a 8>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 8＝4，则公比q 满足q 4＝1，q 2＝1，所以a 20a 10＝q 10＝1.答案：15．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.等差、等比数列的判定与证明(综合型)证明数列{a n }是等差数列或等比数列的方法 (1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数； ②利用等差中项，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1a n (n ∈N *)为一常数；②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)．[典型例题]设S n 为数列{a n }的前n 项和，对任意的n ∈N *，都有S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝2a 1，b n ＝b n －11＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)判断数列{1b n }是等差数列还是等比数列，并求数列{b n }的通项公式．【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，解得a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ，即a n a n －1＝12(n ≥2，n ∈N *)．所以数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.(2)因为a 1＝1， 所以b 1＝2a 1＝2. 因为b n ＝b n －11＋b n －1，所以1b n ＝1b n －1＋1，即1b n －1b n －1＝1(n ≥2)． 所以数列{1b n }是首项为12，公差为1的等差数列．所以1b n ＝12＋(n －1)·1＝2n －12，故数列{b n }的通项公式为b n ＝22n －1.判断(证明)等差(比)数列应注意的问题(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他方法最后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是n 的一次函数，但最后还得使用定义才能说明其为等差数列．(2)证明数列{a n }为等比数列时，不能仅仅证明a n ＋1＝qa n ，还要说明a 1≠0，才能递推得出数列中的各项均不为零，最后断定数列{a n }为等比数列．[对点训练]记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6. 解得q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n2n ＋3－2n ＋23＝2[－23＋(－1)n 2n ＋13]＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．S n ，a n 关系的应用(综合型)数列{an }中，a n 与S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(2)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n .(3)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累乘法求数列的通项a n .(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．[典型例题](1)(2018·合肥第一次质量检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝2a n －3n ，则a 2 018＝( )A ．22 018－1B ．32 018－6C ．⎝⎛⎭⎫12 2 018－72 D ．⎝⎛⎭⎫13 2 018－103(2)(2018·福州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝a n ＋1－a n .①证明：数列{b n }是等比数列；②设c n ＝b n（4n 2－1）2n，求数列{c n }的前n 项和S n . 【解】 (1)选A.因为a 1＝S 1，所以3a 1＝3S 1＝2a 1－3⇒a 1＝－3.当n ≥2时，3S n ＝2a n －3n ，3S n －1＝2a n －1－3(n －1)，所以a n ＝－2a n －1－3，即a n ＋1＝－2(a n －1＋1)，所以数列{a n ＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列．所以a n ＋1＝(－2)×(－2)n －1＝(－2)n ，则a 2 018＝22 018－1.(2)①证明：因为a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝a n ＋1－a n ， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝（3a n ＋1－2a n ）－a n ＋1a n ＋1－a n ＝2（a n ＋1－a n ）a n ＋1－a n ＝2，又b 1＝a 2－a 1＝2－1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以2为公比的等比数列． ②由①知b n ＝1×2n －1＝2n －1，因为c n ＝b n（4n 2－1）2n， 所以c n ＝12（2n ＋1）（2n －1）＝14⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝14⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 4n ＋2.(1)给出S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .(2)形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠1，q ≠0)，可构造一个新的等比数列．[对点训练](2018·贵阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝32a n －12，a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1log 3a n ＋1·log 3a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由已知S n ＝32a n －12①，得S n －1＝32a n －1－12(n ≥2)②，①－②得a n ＝32a n －32a n －1，即a n ＝3a n －1(n ≥2)，又a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，故a n ＝3n －1.(2)由(1)知b n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以T n ＝11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，所以T n ＝nn ＋1.数列与新定义相交汇问题(创新型)[典型例题](2018·武汉调研)对任一实数序列A ＝(a 1，a 2，a 3，…)，定义新序列ΔA ＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…)，它的第n 项为a n ＋1－a n .假定序列Δ(ΔA )的所有项都是1，且a 12＝a 22＝0，则a 2＝________．【解析】 令b n ＝a n ＋1－a n ，依题意知数列{b n }为等差数列，且公差为1， 所以b n ＝b 1＋(n －1)×1， a 1＝a 1， a 2－a 1＝b 1， a 3－a 2＝b 2， …a n －a n －1＝b n －1，累加得a n ＝a 1＋b 1＋…＋b n －1＝a 1＋(n －1)b 1＋（n －1）（n －2）2＝(n －1)a 2－(n －2)a 1＋（n －1）（n －2）2，分别令n ＝12，n ＝22，得⎩⎪⎨⎪⎧11a 2－10a 1＋55＝0，21a 2－20a 1＋210＝0， 解得a 1＝2312，a 2＝100.【答案】 100数列新定义型创新题的一般解题思路(1)阅读审清“新定义”．(2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义”的相关知识． (3)利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论．[对点训练]在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”； ③等比数列一定是“等差比数列”； ④“等差比数列”中可以有无数项为0. 其中所有正确判断的序号是________．解析：由等差比数列的定义可知，k 不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{a n }是等比数列，且公比q ＝1时，{a n }不是等差比数列，所以③错误；数列0，1，0，1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．答案：①④一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( ) A ．420 B ．340 C ．－420D ．－340解析：选D.设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12得d ＝±2，由a 1>0，a 2＝0，可知d <0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×192×(－2)＝－340，故选D.2．(2018·益阳、湘潭调研)已知等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则a 7－a 9a 5－a 7的值为( )A ．3B ．5C ．9D ．25解析：选D.设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 7＝a 5q ·a 5q 2＝9q ＝45，所以q ＝5，a 7－a 9a 5－a 7＝a 5q 2－a 7q 2a 5－a 7＝q 2＝25.故选D.3．(一题多解)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( )A ．72B ．88C ．92D ．98解析：选C.法一：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3得a n ＋1－a n ＝3，则数列{a n }是公差为3的等差数列，又a 4＋a 5＝23＝2a 1＋7d ＝2a 1＋21，所以a 1＝1，S 8＝8a 1＋8×72d ＝92.法二：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3得a n ＋1－a n ＝3，则数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（a 4＋a 5）2＝92. 4．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tanb 3＋b 91－a 4·a 8的值是 ( )A ．－ 3B ．－1C ．－33D. 3解析：选A.依题意得，a 36＝(－3)3，3b 6＝7π，所以a 6＝－3，b 6＝7π3，所以b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π－π3＝－tan π3＝－3，故选A.5．(2018·长春质量检测(一))等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C.由d >0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2<0，a 9＝d2>0，所以前8项和为前n 项和的最小值，故选C.6．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，数列{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．2B ．2nC ．2n ＋1－2D ．2n －1－2解析：选C.因为a n ＋1－a n ＝2n ，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n，所以S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.二、填空题7．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________．解析：法一：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 2＋1，解得a 2＝－2； 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＋1，解得a 3＝－4； 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2a 4＋1，解得a 4＝－8； 当n ＝5时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2a 5＋1，解得a 5＝－16； 当n ＝6时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝2a 6＋1，解得a 6＝－32； 所以S 6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.法二：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1，当n ≥2时，a n＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－1×（1－26）1－2＝－63.答案：－638．(2018·惠州第二次调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝2n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．解析：a n ＋1－2a n ＝2n 两边同除以2n ＋1，可得a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝12，又a 12＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以12为首项，12为公差的等差数列，所以a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝n 2，所以a n ＝n ·2n －1.答案：n ·2n －19．设某数列的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }为“和谐数列”，则该等差数列的公差d ＝________．解析：由S n S 2n ＝k (k 为常数)，且a 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n （2n －1）d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得，(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0，因为对任意正整数n ，上式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d （4k －1）＝0，（2k －1）（2－d ）＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，k ＝14.所以数列{a n }的公差为2. 答案：2 三、解答题10．已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0. (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)， 因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.11．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解：(1)由条件可得a n ＋1＝2（n ＋1）na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1. 12．已知数列{a n }是等差数列，满足a 2＝5，a 4＝13，数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋b n ＝3.(1)求数列{a n }及数列{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }中的最大项．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4， 所以a n ＝4n －3.又T n ＋b n ＝3，所以T n ＋1＋b n ＋1＝3，两式相减得，2b n ＋1－b n ＝0，所以b n ＋1＝12b n . 当n ＝1时，b 1＋b 1＝3，所以b 1＝32. 所以数列{b n }为等比数列，且首项是32，公比是12， 所以b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)因为c n ＝a n ·b n ＝3（4n －3）2n， 所以c n ＋1＝3（4n ＋1）2n ＋1， 所以c n ＋1－c n ＝3（4n ＋1）2n ＋1－3（4n －3）2n ＝3（7－4n ）2n ＋1. 所以当n ＝1时，c 2－c 1>0；当n ≥2时，c n ＋1－c n <0，所以c 1<c 2>c 3>c 4>…，所以(c n )max ＝c 2＝154.。
等差数列与等比数列的应用教学案
等差数列与等比数列的应用教学案一、引言数列是数学中的一个重要概念，是由一系列数字按照一定规律排列而成的。
在数学的应用中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列形式。
本教学案将重点介绍等差数列和等比数列的应用，并提供一些教学方法和案例分析。
二、等差数列的应用（1）计算机算法设计等差数列在计算机算法设计中有广泛的应用。
例如，在排序算法中，可以利用等差数列的性质来优化算法的执行效率。
（2）数学建模等差数列在数学建模中也占据重要地位。
通过观察和分析等差数列的性质，可以使用数学模型解决实际问题，例如人口增长、货币回收等。
（3）金融投资等差数列在金融投资领域也有广泛应用。
通过等差数列的运算与推理，可以实现对利息、本金等金融指标的计算和预测，帮助投资者做出更合理的决策。
三、等差数列的教学方法（1）引导学生观察规律教师可以给学生一些数字，让学生观察并发现其中的规律，引导他们从中总结等差数列的特点。
（2）拓展应用场景通过实际生活中的例子，将等差数列的概念与实际问题结合起来，让学生更好地理解和应用。
（3）练习与实践教师可以设计一些练习题，引导学生进行计算和解答，培养他们的计算能力和问题解决能力。
四、等比数列的应用（1）成长模型等比数列在描述生物生长、物质变化等方面有广泛应用。
例如，数学家费波那契通过等比数列描述了兔子的繁殖规律。
（2）几何问题等比数列在几何问题中也有重要作用。
例如，等比数列可用于绘制等比坐标轴，在图形的放大缩小中起到关键作用。
（3）概率与统计等比数列也在概率和统计学中得到应用。
例如，在计算概率和求解统计问题时，等比数列的性质能够帮助我们更好地理解和解决问题。
五、等比数列的教学方法（1）探索性学习引导学生通过观察和实践，自己发现等比数列的性质和应用，提高他们主动学习和解决问题的能力。
（2）举例说明通过具体的实例，让学生更加直观地理解等比数列的概念和应用。
（3）编制教学素材教师可以编制一些练习题和案例，让学生进行练习和思考，加深对等比数列的理解和应用。
等差与等比数列教学设计1
《等差数列与等比数列》教学设计课题等差数列与等比数列教学探讨知识点数列的基本概念：生动的讲解可以减少学生抽象思维，从而更加形象具体；重要性质：通项公式特点；等差、等比中项；求和公式；具体应用等课程说明教材分析新课程要求教师在教学过程中，尊重学生的人格，关注个性差异，满足不同学生的学习需要，创设能引导学生主动参与的教育环境，激发学生的学习积极性，培养学生掌握和运用知识的态度和能力，使每个学生都得到充分的发展。
本章节正是这一价值体系的充分表现，重点突出了其实用性，在生活中的用途非常之广，比如：存款利息、购房贷款、货物买卖等。
学生分析学生作为教育工作中的主要对象，一次成功的教学不可能脱离学生而存在，其重要性不言而喻。
所以对学生有全面综合的了解是非常重要的。
特别是作为一一辅导型的家教其重要性尤为突出，现我就对学生的分析作如下叙述：归类：高中理科生性格：在生人面前不是很活跃、且有一些自卑心理、没有恒心等；但是比较有上进心，有想把学习搞好的心理。
情感：感情生活比较复杂，处在人生中最易冲动的时期，对爱情有过高的憧憬，而且会不自觉的想起这些事学习情况：基础知识掌握的不够牢靠，知识的运用能力很差，分析能力较弱、解题思路不清晰、家庭情况：家长对孩子的期望过高，以至于给了孩子太多的压力。
教学目标熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和实际应用能力，强化学生基础知识提高分析能力，在一定程度上理清学生的解题思路。
教学难点等差（比）数列的性质的应用．通项公式的推导和运用.等差数列与等比数列个性质的异同点数列与其它知识点的结合，例如：与函数不等式的结合教学重点1、定义的归纳及公式的推导2、等差数列与等比数列知识点异同的比较，方便学生的记忆3、教学生如何才能灵活的应用公式定理教学方法1、启发引导法：在讲解知识点的时候不能应用填鸭式的教学方法，平铺直叙，一堂课下来所有的都是重点和难点，而应该引导学生知道对重点难点进行不同程度的区分，以及解题方法的探索等。
等差数列学案和等比数列教案
对等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+=可化成式子： n )2da (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用n a :当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n（2） 利用n S ：由n )2da (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值 练习：1．差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值。
2.如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，{},n a 为等差数列吗？各种等差数列通项公式求法类型一：1()n na a f n +=+（()f n 可以求和）−−−−→解决方法累加法 例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。
解析：121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： 211n a a n -=- 2n a n ∴=评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。
类型一专项练习题：1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。
(12n n n a +=）2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。
(31)2n n n a +=3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。
高中数学教案等差数列与等比数列
等差数列与等比数列一、高考考点1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明或判断有关数列为等差（或等比）数列.2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：求；求；解决关于或的问题.3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求；求；解决有关或的问题.4.等差数列与等比数列的（小）综合问题.5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程.6.数列与函数、方程、不等式以及解析几何等知识相互结合的综合题目：以高中档试题出现，重点考察运用有关知识解决综合问题的能力。
二、知识要点（一）、等差数列1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.认知：｛｝为等差数列－ =d(n∈N※且d为常数) － =d (n 2, n∈N※且d为常数) 此为判断或证明数列｛｝为等差数列的主要依据.2.公式（1）通项公式： = +（n－1）d：引申： = +（n－m）d （注意：n=m+(n－m) ）认知：｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数 =kn+b (n )（2）前n项和公式： = 或 =n +认知：｛｝为等差数列为n的二次函数且常数项为0或 =n = +bn(n )3.重要性质(1)｛｝为递增数列 d＞0; ｛｝为递减数列 d＜0; ｛｝为常数列 d=0(2)设m,n,p,q ,则m+n=p+q + = + ;(3)2m=p+q 2 = +.即等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项依次成等差数列.(4)设 , , 分别表示等差数列｛｝的前n项和,次n项和,再次n项和,…则, , …依次成等差数列.（二）等比数列1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.认知：（1）｛｝为等比数列 =q (n∈N※且q为非零常数) =q(n≥2，n∈N※且q为非零常数)(2）｛｝为等比数列(n≥2，且≠0 ) (n ※，且≠0)2.公式（1）通项公式： = ；引申： = （注意：n=m+(n－m) ）认知：｛｝为等比数列 =c (c,q均是不为0的常数，且n )（2）前n项和公式认知：｛｝为等比数列 =A +B （其中n ，且A+B=0）.3．主要性质：（1）设m,n,p,q ,则有m+n=p+q ; （2）2m=p+q即在等比数列中，如果某三项（或更多的项）的项数成等差数列，则相应的各项依次成等比数列.（3）设 , , ，……分别表示等比数列的前n项和，次n项和，再次n项和，……，则 , , ，……依次成等比数列。
《等差数列与等比数列》教学设计
《等差数列与等比数列》教学设计一、教学设计1.教学内容解析本节课内容是在系统地学习完等差数列、等比数列后的一节单元小结课，小节分两课时,本节课为第一课时，主要对等差数列和等比数列的定义和公式进行小结和应用.这一单元的知识点有：等差数列、等差数列的前n项和、等比数列、等比数列前n项和.本节课的重点是引导学生复习所学的知识，通过例题的分析让学生深刻理解等差数列和等比数列的定义及公式的形式，通过例题探究找出知识间的内在联系，建立完整的知识结构体系.本单元课本内容通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立了等差数列和等比数列这两种重要的数列模型，探索了它们之间的一些基本数量关系，利用它们解决了一些实际问题.本单元在内容的设计上也突出了一些重要的数学思想方法：如类比思想、归纳思想、函数思想方法等等.因此，数学思想方法的教学也是本节课的重要内容.根据以上分析，本节课的教学重点确定为：教学重点：等差数列、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式的应用.2.学生学情诊断从整个中学教材体系分析，前面已经学习了函数的知识，又通过对本单元新课的学习，学生已对本单元的知识点有了大致的理解，但知识间的内在联系还比较模糊，头脑欠缺一个完整的知识结构体系.对等差数列、等比数列公式的认识缺乏函数的思想，运用也不够灵活，对定义的理解仅仅停留在表面层次上.学生对数学思想和数学方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算，而轻视对问题的抽象分析.因此，本节课的教学过程也要加强对学生分析能力和归纳能力的培养.根据以上分析，本节课的教学难点确定为：教学难点：灵活运用等差数列、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式去解决相关问题.3.教学目标（1）通过实例探究，学生能系统掌握等差数列、等比数列的定义和公式，能灵活应用等差数列、等比数列的定义和公式去解决相关问题.（2）通过情景设置,有效的激发学生的学习兴趣, 让学生感受数学的实用性.通过问题的探究，进一步渗透类比思想、归纳思想、函数思想 .（3）培养学生归纳知识、应用知识的能力,培养学生勇于探索、勤于思考的精神.4.教学重难点教学重点：等差数列、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式的应用.教学难点：灵活运用等差数列、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式去解决相关问题.5.教学课时一课时6.教学策略分析本节课是单元小结课，教学容量较大，学生参与度高，采用多媒体课件辅助教学，进一步提高课堂效率，调动学生的学习积极性.在教法上面采用着重于学生探究的启发式教学方法,结合探究进行结论的归纳.教学流程图7.教学过程设计（1）创设情景在一个月的月头，巴依老爷到买买提家去收地的租钱，说：“从这个月开始你的租钱这样交：第一个月交我1000元，第二个月交我2000元，第三个月交我3000元，以后每个月交的钱数比前一个月增加1000元，30个月以后就不收你租钱了。
等差等比数列导学案.doc
数列知识要点1.⑴等差、等比数列：等差数列等比数列定义«n+i ~a n=d n+[ = q(q / 0) a n递推公式a… =«…_! +d；a… =a,n_… +md n—m。
〃=。
〃-10；a n =a mQ通项公式a n = +(〃— l)d Q .= a 、q(Q],q^O)中项公式 a + b s、A- 2 推厂:％a/j+af G2 =ab.推广：a n2 =a n_m xa n+m前&项和S n =刁(。
1 +。
〃) Sqa3 四= S n =f〃2+(%na x(q = 1) S" = <_财(q 丰]) 1-q 1-q性质1若m+n=p+q 贝(J a m +a n = a p+ a q若m+n=p+q,则a,“a“ = a p a q »2若伙“｝成等差数列（其中k n eN）WJ ｛a k｝也为等差数列。
若值“｝成等差数列（其中k n^N）, 则｛四｝成等比数列。
3S”，$2" —S" , S3n -S2n成等差数列。
S”，$2” —S”，$3" — $2"成等比数列。
4 a —a. a — ad = --- ----- = ---- ----- - (m A n)n-l m-n q"T =% , q n~m =% (m?〃)«1 a m⑵看数列是不是等差数列有以下四种方法：a n - a n_x = <7（n > 1,d为常数）®2a… F+i +"i（"Z2）®a n =kn+b （n,k 为常数）④s n=An2 + Bn（缺常数项的二次函数型）⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：®a n =a n_1q（n>2,q为常数且NO）a n =a n+l-a n_l（n>2, a n a n+｛a n_｛ *0）（等比中项）注意：任意两数s c不一定有等比中项，除非有ac>0,则等比中项一定有两个. a“=cq"（c,q为非零常数）.* = —A/+A(其中人=勺)l-q2.等差数列的一些其他的性质等差数列依次每"项的和仍成等差数列，其公差为原公差的尸倍S k,S2k-S k,S3k-S2k...；/ \ ; S 奇 _ a n若等差数列的项数为2n[n G/ ,则S偶一S奇=汨，厂一-—;3偶a n+l若等差数列的项数为2〃-1"N+),贝I」；,,—1=(2〃-巾“，且S奇偶F，室=工S 偶0-13.求通项公式的几种方法：4.几种常见的数列的思想方法：S1 = Q] (〃 = 1)⑴数列｛a n)的前n项和S n与通项a n的关系=< /、⑵在等差数列｛。
等差数列等比数列优质课学案
第一讲等差数列、等比数列
【考纲要求】
从近几年高考来看，高考对等差数列和等比数列的考查主、客观题型均有所体现，一般以等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式为基础考点，常结合数列递推公式进行命题，主要考查学生综合应用数学知识的能力以及计算能力等，中低档题占多数。
【学习重难点】
重点：等差（比）数列的通项公式，前n项和公式及一些简单性质。
难点：考查等差等比数列的综合应用。
【基础感知】
问题1.请分别写出等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式。
问题2.等差数列、等比数列的简单性质有哪些？
问题3.证明数列为等差数列或等比数列的基本方法有哪些？
问题4.
问题5.
等差数列与等比数列教学设计
高三第一轮专题复习一、课程说明(一)教学目标：1.知识与能力：①掌握等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式及其他性质公式；②进一步渗透方程思想、分类讨论思想、等价转化思想以及体会类比与归纳的数学方法。
2.过程与方法：通过典例剖析进一步提高学生研究问题、分析问题与解决问题能力。
3.情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯；激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。
（二）教材分析教材上基础知识详细，基本方法归纳基本到位，但对等差数列与等比数列的性质运用及通项公式，求和公式例题讲解不足。
而数列作为一种特殊的，函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备，所以在本次复习中要弥补教材上的不足。
（三）学习者特征分析高三学生，随着高二一年的学习，对于等差数列与等比数列的一些基础知识有点模糊，对性质运用，基本方法不够深入，但是基础知识还是比较好，而且思维敏捷，所以本次复习也有了针对性。
（四）教学重点1.等差数列、等比数列概念，性质，和公式的理解。
2.求等差数列、等比数列的通项公式,前n项和公式的基本方法。
（五）教学难点1. 等差数列、等比数列性质的灵活运用。
2.求等差数列、等比数列通项公式,前n项和公式方法的相互渗透。
二、课前准备（一）教学方法启发引导回顾旧知，通过常见重难题的讲练结合，让学生在自我探究合作、交流中掌握等差数列和等比数列的知识，并能在高考中得分；（二）教学器材（根据辅导地点所定）若是教室则为多媒体设备，投影仪，扩音器；若在家中则借助小白板即可。
（三）时间分配虽内容较多，但重难点突出，且有针对性，所以用三分之一的时间复习基础知识，用三分之二的时间重点讲解和练习性质及方法的运用，课后会有适量的作业巩固课堂所学。
三、课程设计（教学过程）（一）基础知识巩固有关等差、等比数列的结论1．等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等差数列．2．等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+ 3．等比数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅ 4．等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等比数列．5．两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． 6．两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列． （二）等差数列、等比数列性质的灵活运用典型题例示范讲解例1已知函数f (x )=412-x (x <－2)(1)求f (x )的反函数f -－1(x );(2)设a 1=1,11+n a =－f －-1(a n )(n ∈N *),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由命题意图 本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力知识依托 本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题错解分析 本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{21na }为桥梁求a n ,不易突破技巧与方法 (2)问由式子41121+=+nn a a 得22111nn a a -+=4,构造等差数列{21na },从而求得a n ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想解设y =412-x ,∵x <－2,∴x =－214y +,即y =f －-1(x )=－214y +(x >0)(2)∵411,14122121=-∴+=++nn nn a a a a ，∴{21na }是公差为4的等差数列，∵a 1=1,21na =211a +4(n －1)=4n －3,∵a n >0,∴a n(3)b n =S n +1－S n =a n +12=141+n ,由b n <25m ,得m >1425+n , 设g (n )= 1425+n ,∵g (n )= 1425+n 在n ∈N *上是减函数，∴g (n )的最大值是g (1)=5,∴m >5,存在最小正整数m =6,使对任意n ∈N *有b n <25m 成立例2（由学生和老师共同完成）设等比数列{a n }的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n }的前多少项和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4)命题意图 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力知识依托 本题须利用等比数列通项公式、前n 项和公式合理转化条件，求出a n ;进而利用对数的运算性质明确数列{lg a n }为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解错解分析 题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方技巧与方法 突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n 是n 的二次函数，也可由函数解析式求最值解法一设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m 化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==+10831 ),1(9114121a q q q a q q 解得 设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则S n =lg a 1+lg a 1q 2+…+lg a 1q n －1=lg a 1n ·q 1+2+…+(n －1)=n lg a 1+21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21n (n －1)lg3=(－23lg )·n 2+(2lg2+27lg3)·n可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大 而4.024.073.043lg 3lg 272lg 2⨯⨯+⨯=+=5,故{lg a n }的前5项和最大解法二接前，⎪⎩⎪⎨⎧==311081q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n－1)lg 31,∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 31为公差的等差数列，令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0, ∴n ≤4.04.043.023lg 3lg 42lg 2⨯+⨯=+=5 5由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大例3（由学生和老师共同完成） 等差数列{a n }的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________解法一将S m =30,S 2m =100代入S n =na 1+2)1(-n n d ,得11(1)3022(21)21002m m ma d m m ma d -⎧+= ⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩ ① ②2102)13(33,2010,4013212=-+=∴+==d m m ma S m m a md m 解得 解法二由]2)13([32)13(33113d m a m d m m ma S m -+=-+=知，要求S 3m 只需求m ［a 1+2)13(d m -］,将②－①得ma 1+ 2)13(-m m d =70,∴S 3m =210解法三由等差数列{a n }的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二次函数，即S n =An 2+Bn (A 、B 是常数）将S m =30,S 2m =100代入，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+m B m A m B m A Bm Am 1020 1002)2(30222,∴S 3m =A ·(3m )2+B ·3m =210解法四S 3m =S 2m +a 2m +1+a 2m +2+…+a 3m=S 2m +(a 1+2md )+…+(a m +2md ) =S 2m +(a 1+…+a m )+m ·2md =S 2m +S m +2m 2d由解法一知d =240m,代入得S 3m =210 解法五 根据等差数列性质知S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 也成等差数列，从而有S 2m －S m )=S m +(S 3m －S 2m )∴S 3m =3(S 2m －S m )=210 解法六∵S n =na 1+2)1(-n n d ,∴nS n =a 1+2)1(-n n d∴点(n , nS n )是直线y =2)1(d x -+a 1上的一串点，由三点(m ,mS m ),(2m , mS m 22),(3m , mS m 33)共线，易得S 3m =3(S 2m－S m )=210解法七令m =1得S 1=30，S 2=100，得a 1=30,a 1+a 2=100,∴a 1=30,a 2=70∴a 3=70+(70－30)=110 ∴S 3=a 1+a 2+a 3=210 答案 210（三）十种求数列通项公式的方法（归纳总结，不用于课堂讲解，只是根据学生的掌握情况，个别指导，弥补学生没有掌握的那种方法）3((2221](1)1a a n ++-++⨯+++++-+3(a a ++-2222(33213()331)13a a ++-+++++++22(33a a ++-的通项公式。
小学数学等差数列教案【优秀8篇】
小学数学等差数列教案【优秀8篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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(精品)等差数列与等比数列的性质教案
等差数列与等比数列的性质教案教学目标：1、 复习等差、等比数列的定义与性质。
2、 灵活应用等差、等比数列的定义与性质解决各种常见题型。
教学重点：灵活应用等差、等比数列的定义与性质教学难点：等差、等比数列的定义与性质的应用一、 知识回顾二、 知识应用Ⅰ 、等差、等比数列的设法及应用 1.三个数成等差数列可设为 或者 根据具体问题的不同特点而选择不同设法。
2. 三个数成等比数列，则这三个数可设为 也可以设为三、 典型例题例1. 已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.,,2; ,,a a d a d a d a a d ++-+,,2x y x y +,,a a aq q 2,,.a aqaq例2. 已知互不等比数列{ n a }的前三项之积为-8，且132,,a a a 成等差，求123,,a a a例3（1）已知等差数列{ n a }满足 ，则 ( )（2）已知等差数列{ n a }前m 项和为30，前2m 项和为 100，则前3m 项和为( )（3）已知在等差数列{n a }的前n 项中，前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项之和为286，试求数列的项数n.121010a a a ++⋅⋅⋅+=1101A. 0a a +>2100B. 0a a +<399C. 0a a +=51D. 51a=例4. 数列{ n b }中， ， ，若{ n a }是等差数列， 且 ，求{n a }的通项公式四、 基础练习1.在等比数列中,463a a += ,则5357(2)a a a a ++= _____2. 在等差数列{n a }中,若4681012120a a a a a ++++=, 则10122a a -= （ ）A.20B.22C.24D.28 123218b b b ++=12318b b b =1()2na nb =3.已知数列{n a }中, 1a =1,并且1331n n a a +-= ,则301a = （ ）A.100B.101C.102D.1034. 若｛n a }是等比数列，且n a >0,243546225a a a a a a ++=, 那么35a a +的值等于 （ ）A.5B.1C.15D.105.等差数列{an}中,已知前4项和是1,前8项和是4,则 17181920a a a a +++的值等于 ( )A.7B.8C.9D.10五、 知识回顾六、 课后作业综合测评P91-P931、等差数列、等比数列的通项公式以及通项公式的推广2、等差数列与等比数列的性质n S n 3、a 与的关系。