河北省衡水中学2016届高三上学期六调考试数学(文)试题
河北省衡水中学2016届高三(上)六调数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2＜x＜4}，那么集合C U A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤4}B．{x|2＜x≤3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|﹣1＜x＜4}2．若复数z=1﹣i，i为虚数单位，则=（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．13．函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数4．下列四个命题中真命题的个数是（）①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”③命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真命题．A．0 B．1 C．2 D．35．已知z=2x+y，其中实数x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．4 D．6．在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（）A．B．C．D．7．已知双曲线的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且与其中一条渐近线垂直，若，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．设S n是等比数列{a n}的前n项的和，S m﹣1=45，S m=93，则S m+1=189，则m=（）A．6 B．5 C．4 D．310．已知函数f（x）=，若存在x1，x2，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围是（）A．[0，1）B．[1，4]C．[1，6]D．[0，1]∪[3，8]11．已知F1，F2是椭圆C： +=1的左右焦点，点P在椭圆上，且到左焦点F1的距离为6，过F1做∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为（）A．1 B．2 C．3 D．412．关于曲线C：，给出下列四个命题：A．曲线C关于原点对称B．曲线C有且只有两条对称轴C．曲线C的周长l满足D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为上述命题中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为．14．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=．15．已知直线x+y+1=0与曲线C：y=x3﹣3px2相交于点A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为．16．半径为1的球的内部有4个大小相同的半径为r的小球，则小球半径r可能的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．等比数列{a n}的前n项和为S…，已知S1，S3，S2，成等差数列．（1）求{a n}的公比q；（2）等差数列{b n}中，b5=9，公差d=4q，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．18．山东省第二十三届运动会将于2014年9月16日在济宁市开幕，为办好省运会，济宁市计划招募各类志愿者1.2万人．为做好宣传工作，招募小组对济宁市15﹣40岁的人群随机（Ⅱ）若在第2、3、4组回答完全正确的人中，用分层抽样的方法抽取6人，则各组应分别抽取多少人？（Ⅲ）在（II）的前提下，招募小组决定在所抽取的6人中，随机抽取2人颁发幸运奖，求获奖的2人均来自第3组的概率．19．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．（Ⅰ）求证：AE⊥BE；（Ⅱ）求三棱锥D﹣AEC的体积．20．已知直线2x﹣2y﹣1=0与抛物线C：x2=2py（p＞0）相切．（1）求p的值；（2）过点M（0，1）作直线l与抛物线C交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线分别为l1，l2，直线l1，l2交于点P，求点P的轨迹方程．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）•lnx+ax2+2（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2；（i）若函数g（x）有且仅有一个零点时，求a的值；（ii）在（i）的条件下，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，那么按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（Ⅰ）若关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|﹣5≤x≤﹣1}，求实数m的值；（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2＜x＜4}，那么集合C U A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤4}B．{x|2＜x≤3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|﹣1＜x＜4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分析可得，A、B都是不等式的解集，由不等式的解法，容易解得A、B，进而可得C U A，对其求交集可得答案．【解答】解：由不等式的解法，容易解得A={x|x＞3或x＜﹣1}，B={x|2＜x＜4}．则C U A={x|﹣1≤x≤3}，于是（C U A）∩B={x|2＜x≤3}，故选B．2．若复数z=1﹣i，i为虚数单位，则=（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：=====i，故选：B．3．函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，判定奇偶性．【解答】解：由y=2cos2（x﹣）﹣1=cos（2x﹣）=sin2x，∴T=π，且y=sin2x奇函数，即函数y=2cos2（x﹣）﹣1是奇函数．故选A．4．下列四个命题中真命题的个数是（）①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”③命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真命题．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①利用充分、必要条件的概念验证即可．②利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．③对命题p，q的真假分别进行判断即可．【解答】解：对于①：当x=1成立时有12﹣3×1+2=0即x2﹣3x+2=0成立，当x2﹣3x+2=0成立时有x=1或x=2不一定有x=1成立．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故①正确．对于②：命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”故②正确．对于③命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，正确，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0错误，因为x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立，p∨q为真，故③正确．故选D．5．已知z=2x+y，其中实数x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．4 D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得：，即A（1，1），此时z=2×1+1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得：，即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=，故选：B．6．在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（）A．B． C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据共线向量基本定理可得到存在实数k，，0≤k≤1，然后根据已知条件及向量的加法、减法的几何意义即可得到，从而得到．代入t，进行配方即可求出t的最小值．【解答】解：如图，E在线段AD上，所以存在实数k使得；；∴==；∴；∴=；∴时，t取最小值．故选：C．7．已知双曲线的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且与其中一条渐近线垂直，若，则该双曲线的离心率为（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣x，设A（m，），B（n，﹣），由可得方程，解之可得m=，n=，可得B（，），由FB⊥OB可得，斜率之积等于﹣1，进而可得ab的关系式，结合双曲线abc的关系，可得离心率．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣x，设A（m，），B（n，﹣），∵，∴（c﹣m，﹣）=4（n﹣c，﹣），∴c﹣m=4（n﹣c），﹣=﹣4，解之可得m=，n=，∴B（，），由FB⊥OB可得，斜率之积等于﹣1，即•=﹣1，化简可得5b2=3a2，即5（c2﹣a2）=3a2，解之可得5c2=8a2，即e==故选D8．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】根据长方体相对的平面上的两条对角线平行，得到两条异面直线所成的角，这个角在一个可以求出三边的三角形中，利用余弦定理得到结果．【解答】解：连接BC1，A1C1，则BC1∥AD1，∴∠A1BC1是两条异面直线所成的角，在直角△A1AB中，由AA1=2AB得到：A1B=AB．在直角△BCC1中，CC1=AA1，BC=AB，则C1B=AB．在直角△A1B1C1中A1C1=AB，则cos∠A1BC1==．故选：D．9．设S n是等比数列{a n}的前n项的和，S m﹣1=45，S m=93，则S m+1=189，则m=（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意得===2，再由S m==93解得a1=3，从而求m．【解答】解：∵===2，∴S m===93，故a1=3，故a m=3•2m﹣1=48，解得，m=5，故选B．10．已知函数f（x）=，若存在x1，x2，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围是（）A．[0，1）B．[1，4]C．[1，6]D．[0，1]∪[3，8]【考点】分段函数的应用．【分析】根据已知将x1•f（x2）转化为x1f（x1），再根据函数y=xf（x）的性质求解．【解答】解：当0≤x1＜4≤x2≤6时，因为f（x1）=f（x2），由f（x1）=f（x2）=1或f（x1）=f（x2）=2，得到x1的取值范围是[1，3]，所以x1•f（x2）=x1•f（x1）=x1（1﹣|x1|﹣2）=，即x1f（x2）的范围是[1，4]．故选B．11．已知F1，F2是椭圆C： +=1的左右焦点，点P在椭圆上，且到左焦点F1的距离为6，过F1做∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】延长F1M和PF2交于N，求得椭圆的a=5，运用椭圆的定义和等腰三角形的三线合一，以及三角形的中位线定理，即可得到所求|OM|的值．【解答】解：延长F1M和PF2交于N，椭圆C： +=1的a=5，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10，由|PF1|=6，可得|PF2|=4，由等腰三角形的三线合一，可得|PF1|=|PN|=6，可得|NF2|=6﹣4=2，由OM为△F1F2N的中位线，可得|OM|=|F2N|=×2=1．故选A．12．关于曲线C：，给出下列四个命题：A．曲线C关于原点对称B．曲线C有且只有两条对称轴C．曲线C的周长l满足D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为上述命题中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】曲线与方程．【分析】利用曲线方程的特点结合曲线的图象分别进行判断即可．【解答】解：把曲线C中的（x，y ）同时换成（﹣x，﹣y ），方程不变，∴曲线C关于原点对称，即A正确；曲线方程为，交换x，y的位置后曲线方程不变，∴曲线C关于直线y=x对称，同理，y=﹣x，x，y轴是曲线的对称轴，即B不正确；在第一象限内，因为点（，）在曲线上，由图象可知曲线在直线y=﹣x+1的下方，且为凹函数如图：由以上分析可知曲线C的周长l满足，正确．曲线C上的点到原点的距离的最小值为（，）到原点的距离，为，即D正确．真命题有3个，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为18．【考点】分层抽样方法．【分析】由题意确定老年职工的人数，再由青年职工确定抽样比，因为分层抽样，各层抽取比例一样，故可计算出样本中的老年职工人数．【解答】解：青年职工160人，在抽取的样本中有青年职工32人，故抽取比例为，老、中年职工共430﹣160=270人，又中年职工人数是老年职工人数的2倍，故老年职工有90人，所以该样本中的老年职工人数为90×=18故答案为：1814．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB 的方程与抛物线方程联立消去y 得3x 2+（﹣6﹣2p ）x +3=0，进而根据，可知M 为A 、B 的中点，可得p 的关系式，解方程即可求得p ．【解答】解：设直线AB ：，代入y 2=2px 得3x 2+（﹣6﹣2p ）x +3=0，又∵，即M 为A 、B 的中点，∴x B +（﹣）=2，即x B =2+，得p 2+4P ﹣12=0，解得p=2，p=﹣6（舍去） 故答案为：215．已知直线x +y +1=0与曲线C ：y=x 3﹣3px 2相交于点A ，B ，且曲线C 在A ，B 处的切线平行，则实数p 的值为 1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，设出A ，B 点的坐标，得到函数在A ，B 点处的导数值，由A ，B 点处的导数值相等得到==m ，把x 1，x 2看作方程3x 2﹣6px ﹣m=0的两个根，利用根与系数关系得到x 1+x 2=2p ，进一步得到AB 的中点坐标，然后再证明AB 的中点在曲线C 上，最后由AB 中点的纵坐标相等求得实数p 的值． 【解答】解：由y=x 3﹣3px 2，得y ′=3x 2﹣6px ， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则曲线C 在A ，B 处的切线的斜率分别为，∵曲线C 在A ，B 处的切线平行，∴=，令==m ，∴x 1，x 2是方程3x 2﹣6px ﹣m=0的两个根， 则x 1+x 2=2p ，下面证线段AB 的中点在曲线C 上，∵==，而=﹣2p 3，∴线段AB 的中点在曲线C 上，由x 1+x 2=2p ，知线段的中点为（p ，﹣p ﹣1）， ∴﹣p ﹣1=p 3﹣3p •p 2=﹣2p 3，解得p=1． 故答案为：1．16．半径为1的球的内部有4个大小相同的半径为r 的小球，则小球半径r 可能的最大值为﹣2 ．【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r ，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．【解答】解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r ，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为=r ，设正四面体的外接球半径为x ，则x 2=（r ﹣x ）2+（r ）2，∴x=r ，∴1=r +r ，∴r==﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．等比数列{a n }的前n 项和为S …，已知S 1，S 3，S 2，成等差数列． （1）求{a n }的公比q ；（2）等差数列{b n }中，b 5=9，公差d=4q ，求数列{b n }的前n 项和T n 的最大值． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由S 1，S 3，S 2，成等差数列，可得S 1+S 2=2S 3，化为：2a 3=﹣a 2，可得q=．（2）d=4q=﹣2，b 5=9，解得b 1．利用等差数列的求和公式可得T n ，再利用二次函数的性质即可得出． 【解答】解：（1）∵S 1，S 3，S 2，成等差数列，∴S 1+S 2=2S 3， ∴2a 1+a 2=2（a 1+a 2+a 3），化为：2a 3=﹣a 2，∴q==．（2）d=4q=﹣2，∴b 1﹣2×4=9，解得b 1=17．∴T n=17n+=﹣n2+18n=﹣（n﹣9）2+81，当n=9时，T n取得最大值81．18．山东省第二十三届运动会将于2014年9月16日在济宁市开幕，为办好省运会，济宁市计划招募各类志愿者1.2万人．为做好宣传工作，招募小组对济宁市15﹣40岁的人群随机100“”（Ⅱ）若在第2、3、4组回答完全正确的人中，用分层抽样的方法抽取6人，则各组应分别抽取多少人？（Ⅲ）在（II）的前提下，招募小组决定在所抽取的6人中，随机抽取2人颁发幸运奖，求获奖的2人均来自第3组的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）通过频率分布直方图可求出第2，3组人数频率，从而确定其人数，然后即可求出表2中的a、x的值；（Ⅱ）根据分层抽样的性质直接计算即可；（Ⅲ）列举抽取2人所有基本事件，找出的基本事件，利用古典概型计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由频率直方图可知，第2，3组总人数分别为：20人，30人．∴a=0.9×20=18（人）．x==0.9．（Ⅱ）在第2，3，4组回答完全正确的人共有54人，用分层抽样的方法抽取6人，则各组分别抽取：第2组：=2人；第3组：=3人；第4组：=1人．∴应在第2，3，4组分别抽取2人，3人，1人．（Ⅲ）分别记第2组的2人为A 1，A 2，第3组的3人为B 1，B 2，B 3，第4组的1人为C ．则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为： （A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，C ）， （A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，C ）， （B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，C ）， （B 2，B 3），（B 2，C ），（B 3，C ） 共15种情况．获奖2人均来自第3组的有：（B 1，B 2），（B 1，B 3）（B 2，B 3）共3种情况．故获奖2人均来自第3组的概率为=．19．如图，四边形ABCD 为矩形，DA ⊥平面ABE ，AE=EB=BC=2，BF ⊥平面ACE 于点F ，且点F 在CE 上．（Ⅰ）求证：AE ⊥BE ；（Ⅱ）求三棱锥D ﹣AEC 的体积．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质． 【分析】（Ⅰ）由题意证明BC ⊥平面ABE ，得AE ⊥BC ，再结合条件证明AE ⊥平面BCE ，再证出AE ⊥BE ；（Ⅱ）利用题意得到平面ACD ⊥平面ABE ，作出交线的垂线，利用换低求三棱锥体积． 【解答】（Ⅰ）证明：由题意知，AD ⊥平面ABE ，且AD ∥BC ∴BC ⊥平面ABE ，∵AE ⊂平面ABE ∴AE ⊥BC ，∵BF ⊥平面ACE ，且AE ⊂平面ABE ∴BF ⊥AE ，又BC ∩BF=B ， ∴AE ⊥平面BCE ， 又∵BE ⊂平面BCE ， ∴AE ⊥BE ．（Ⅱ）在△ABE 中，过点E 作EH ⊥AB 于点H ， ∵AD ⊥平面ABE ，且AD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABE ，∴EH ⊥平面ACD ．由已知及（Ⅰ）得EH=AB=，S △ADC =2．故V D ﹣ABC =V E ﹣ADC =×2×=．20．已知直线2x﹣2y﹣1=0与抛物线C：x2=2py（p＞0）相切．（1）求p的值；（2）过点M（0，1）作直线l与抛物线C交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线分别为l1，l2，直线l1，l2交于点P，求点P的轨迹方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）抛物线C：x2=2py的方程可可化为：y=x2，则y′=，根据切线斜率为1，求出切点坐标为（p，p﹣），代入抛物线方程可得p的值；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y=kx+1，联立抛物线方程可得x1+x2=2k，x1•x2=﹣2，求出两条切线的方程，进而求出交点P的坐标，进而可得点P的轨迹方程．【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py的方程可可化为：y=x2，则y′=，∵直线2x﹣2y﹣1=0与抛物线C：x2=2py（p＞0）相切，直线2x﹣2y﹣1=0的斜率为1，故切点坐标为（p，p﹣），代入抛物线C：x2=2py得：p2=2p2﹣p，解得：p=1；（2）显然直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=kx+1，由，得x2﹣2kx﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=2k，x1•x2=﹣2．∵抛物线C的方程为y=x2，求导得y′=x，∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是y﹣x12=x1（x﹣x1），y﹣x22=x2（x﹣x2），即y=x1x﹣x12，y=x2x﹣x22，解得两条切线l1、l2的交点P的坐标为（，x1x2），即P（k，﹣1），故点P的轨迹方程为直线p=﹣1．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）•lnx+ax2+2（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2；（i）若函数g（x）有且仅有一个零点时，求a的值；（ii）在（i）的条件下，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）（i）令g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a=，令h（x）=，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求a的值；（ii）若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，即可求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，定义域（0，+∞）∴f′（x）=（2x﹣2）•lnx+（x﹣2）﹣2x．∴f′（1）=﹣3，又f（1）=1，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0．（Ⅱ）（ⅰ）令g（x）=f（x）﹣x﹣2=0则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a=令h（x）=，则h′（x）=令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=∵x＞0，∴t′（x）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，又∵t（1）=h′（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1，∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，（ⅱ）当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0得x=1或x=又∵e﹣2＜x＜e，∴函数g（x）在（e﹣2，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增又g（）=﹣e﹣3+2，g（e）=2e2﹣3e∵g（）=﹣e﹣3+2＜2＜2e＜2e（e﹣）=g（e），∴g（）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，那么按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，所以，所以BC=2．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）把C1消去参数化为普通方程为x2+y2=1，再化为极坐标方程．根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程，再化为极参数方程．（2）先求得直线l的直角坐标方程，设点P（cosθ，2sinθ），求得点P到直线的距离为d=，故当sin（θ+）=1时，即θ=2kπ+，k∈z时，点P到直线l的距离的最小值，从而求得P的坐标以及此最小值【解答】解：（1）把C1：（θ为参数），消去参数化为普通方程为x2+y2=1，故曲线C1：的极坐标方程为ρ=1．再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为+=1，即+=1．故曲线C2的极参数方程为（θ为参数）．（2）直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4，即x+y﹣4=0，设点P（cosθ，2sinθ），则点P到直线的距离为d==，故当sin（θ+）=1时，d取得最小值，此时，θ=2kπ+，k∈z，点P（1，），故曲线C2上有一点P（1，）满足到直线l的距离的最小值为﹣．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（Ⅰ）若关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|﹣5≤x≤﹣1}，求实数m的值；（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|﹣5≤x≤﹣1}，建立方程组，即可求实数m的值；（Ⅱ）若f（x）＞g（x）恒成立，所以|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，求出左边的最小值，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为g（x）=﹣|x+3|+m≥0，所以|x+3|≤m，所以﹣m﹣3≤x≤m﹣3，由题意，所以m=2；…（Ⅱ）若f（x）＞g（x）恒成立，所以|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，因为|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，当且仅当（x﹣2）（x+3）≤0时取等，所以m＜5．…．2016年11月8日。
河北省衡水中学2016届高三上学期六调考试数学(理)试题
2015-2016学年度上学期高三年级六调考试理数试卷命题人:张贺本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第I卷(选择题共60分）―、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A={x||x+1∣≤2，x∈z}，B={y|y=x2－1≤x≤1}，则A B= ( )A. (],1-∞ B.[]1,1- C ∅D{}1,0,1-2.若z是复数，且（3+z）i=l（i为虚数单位），则z的值为( )A. －3＋+iB.－3－i C、3＋i D、3－i3.已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为()A.甲X＜乙X，2甲S＜2乙S B.甲X<乙X，2甲S>2乙SC.甲X >乙X, 2甲S>2乙S D.甲X >乙X, 2甲S<2乙S4、设x，y满足360203x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若目标函数z=ax+y（a＞0）的最大值为14，则a=（）A.1 B2 C12 D5395、设Sn是等比数列{}n a的前n项和，S m-1 =45，S m=93S m,+1=189，，则m=（）A. 6B.5C.4D.36在ABC中，点D满足BD=34BC,当E点在线段AD上移动时，若AE= ABλ+ACμ，则t=22(1)λμ-+的最小值是A10B4C 910D4187、设集合I={}1,2,3,4,5，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A 50种 B49种 C48种 D47种8、设集合A={}1,2，B={}1,2,3，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x+y=n上”为事件Cn （2≤n≤5，n∈N），若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为A.3B.4C. 2和5D.3和49、已知函数f （x ）=222,0423,46x x x x -⎧--≤⎪⎨-≤≤⎪⎩< 若存在x1，x2，当0≤x 1＜4≤x 2≤ 6时，f （x 1）= f （x 2），则x 1. f （x 2）的取值范围是A. [)0,1B. []1,4 C []1,6 D.[]0,1[]3,810、某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为24cm π23cm π24cm π23cm π11、已知抛物线C 1：y=212x p（p ＞0）的焦点与双曲线C2：2213x y -= 的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M处的切线平行于C 2的一条渐近线，则P=12、 关于曲线C ：23x +23y =1,给出下四个列命题：① 曲线C 关于原点对称; ②曲线C 有且仅有两条对称轴；③曲线C 的周长l 满足l ＞；④曲线C 上的点到原点距离的最小值为12，上述命题中，真命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D4二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）13、为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的A 地测得塔尖的仰角为 45°，沿着A 向北偏东30°前进100米到达B 地（假设A 和B 在海拔相同的地面上）在B 地测得塔尖的仰角为30°，则塔高为 米。
河北省衡水市2016届全国高考统一考试模拟试题(二)数学(文)试题(含答案)
2016高考置换卷2数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1设全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜12x x +-0≥｝，B ＝｛x ｜1＜2x＜8｝，则（C U A ）∩B 等于 A ．[－1，3） B ．（0，1，2] D ．（2，3）2. 若向量a 、b 满足)1,2(-=+b a，)2,1(=a，则向量a 与b 的夹角等于 ( ) A.︒45 B ． ︒60 C ．︒120 D ．︒1353已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-14.甲.乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分。
若甲.乙两人射击的命中率分别为35和P ，且甲.乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920。
假设甲.乙两人射击互不影响，则P 值为（ ） A.35B.45C.34D.145.设12,F F 分别是双曲线22221x y a b -=的左.右焦点，若双曲线上存在点A ，使120AF AF ⋅=，且123AF AF =,则双曲线的离心率为（ ）A.52 B.102 C.152D.5 6.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断,下列近似公式中最精确的一个是（ ）A ．3169d V ≈B 32d V ≈ C 3300157d V ≈D 32111d V ≈7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( )A.3B.4C.5D.6 8.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 9.执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =否是1,0,1===T S k 开始N输入kT T =1+=k k T S S +=?N k >S输出结束A 1111+2310+++…… B.1111+++23223410⨯⨯⨯⨯ C 1111+2311+++…… D. 1111+++22323411⨯⨯⨯⨯ 10.函数f （x ）=的零点个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 311.1是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的体积是（ ） A.3πB. 4πC. 6πD. 12π二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省衡水中学2016届高三上学期一调考试(文)数学试题 Word版含答案
2015-2016学年度上学期高三年级一调考试数学试卷（文科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{}1|||2,|01A x x B x x ⎧⎫=≤=>⎨⎬-⎩⎭，则()U C A B = （ ） A ．[]2,1- B ．()2，+∞ C ．(]1,2 D ．()-，-2∞ 2.当0,0x y >>时，“2x y +≤”是“1xy ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C ．对任意x R ∈，使得sin x x >D ．对任意x R ∈，使得sin x x ≥4.同时具有性质“①最小周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的一个函数是（ ） A ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭5.函数()21ln 2f x x x =-的图象大致是（ ）6.已知函数()()223,1log ,1a x a x f x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,2-B ．[)1,2-C ．(],1-∞-D ．{}1- 7.已知平面向量a 与b 的夹角为3π，且||1,2||b a b =+=||a =（ ） A ．1 B．2 D ．38.已知函数()y f x x =+是偶函数，且()21f =，则()2f -=（ ） A ．-1 B ．1 C ．-5 D ．59.函数()()2log 2a f x ax =-在()0,1上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．112，⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()1,2C ．(]1,2D ．112，⎛⎫ ⎪⎝⎭10.设a R ∈，函数()xxf x e ae -=-的导函数为()'f x ，且()'f x 是奇函数，则a =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-111.设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称，且()()241f f -+-=，则a =（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．412.已知函数()()()11,14ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（ ）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．114，e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．14，e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，3,30,60a A B ︒︒===，则ABC ∆的面积S = .14.设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD = ，则AD mAB nAC =+，则m 和n 的值分别为 . 15.已知()()1:1,:102p x q x a x a ≤≤--->，若p 是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 .16.已知函数()()()()3212f x x a x a a x a R =+--+∈在区间()2,2-上不单调，则a 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分)已知幂函数()()22421mm f x m x-+=-在()0,+∞上单调递增，函数()2x g x k =-.（1）求m 的值；（2）当[]1,2x ∈时，记()(),f x g x 的值域分别为集合,A B ，若A B A = ，求实数k 的取值范围.18. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2cos 14cos cos B C B C -+=. (1)求A ；(2)若a =ABC ∆的面积b c +. 19. (本小题满分12分)已知向量()()cos sin ,2sin ,cos sin ,cos a x x x b x x x =+=-.令()f x a b =⋅. （1）求()f x 的最小正周期； （2）当3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的值. 20. (本小题满分12分) 已知函数()(),2ln mf x mxg x x x=-=. (1)当1m =时，判断方程()()f x g x =在区间()1,+∞上有无实根；(2)若(]1,x e ∈时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围. 21. (本小题满分12分)已知椭圆的焦点坐标为()()121,0,1,0F F -，且短轴一顶点B 满足122BF BF ⋅=. （1）求椭圆的方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点,M N ,则1F MN ∆的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 22. (本小题满分12分) 已知函数()()21ln 2x f x x -=-.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）证明：当1x >时，()1f x x <-；（3）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当()01,x x ∈时，恒有()()1f x k x >-.2015-2016学年度上学期高三年级一调考试数学试卷（文科答案）1-5 BADCB 6-10 BCDCD 11.C 12.B13.2 14. 14,33m n =-= 15. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 16. 118,,422⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17.解：（1）依题意得：()211m -=，解得0m =或2m =当2m =时，()2f x x -=在()0,+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去.∴0m =. ………………………………………………………………4分解：（Ⅰ）由()2cos 14cos cos B C B C -+=，得()2cos cos sin sin 14cos cos B C B C B C ++=，即()2cos cos sin sin 1B C B C -=，亦即()2cos 1B C +=，∴()1cos 2B C +=.∵0,3B C B C ππ<+<∴+=,∵A B C π++=,∴23A π=.……………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得23A π=.由S =12sin823bc bc π=∴=.①由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得(22222cos 3b c bc π=+-，即2228b c bc ++=.∴()228b c bc +-=.②,将①代入②，得()2828b c +-=，∴6b c +=.………………12分19.解：()()()cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x =+-+⋅22cos sin 2sin cos x x x x =-+cos 2sin 224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.…………………………5分（1）由最小正周期公式得：22T ππ==.…………………………………………6分（2）3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则372,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令3242x ππ+=，则58=x π，…………8分 从而()f x 在5,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在53,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，即当58x π=时，函数()f x 取得最小值. …………12分20.解：（1）1m =时，令()()()12ln h x f x g x x x x=-=--，()()222112'10x h x x x x-=+-=≥.……1分 ∴()h x 在()0,+∞上为增函数.……………………………………5分又()10h =，所以()()f x g x =在()1,+∞上无实根. …………………………6分(2) 2ln 2mmx x x--<恒成立，即()2122ln m x x x x -<+恒成立， 又210x ->，则当(]1,x e ∈时，222ln 1x x x m x +<-恒成立，…………………………8分令()222ln 1x x xG x x +<-，只需m 小于()G x 的最小值，()()()222ln ln 2'1x x x G x x -++<-，……10分∵1x e <≤，∴l n 0x >.∴当(]1,x e ∈时()'0G x <，∴()G x 在(]1,e 上单调递减，∴()G x 在(]1,e 的最小值为()241e G e e =-.则m 的取值范围是24,1e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭.…………………………12分21.解：（Ⅰ）由题，设椭圆方程()222210x y a b a b+=>>，不妨设()0,B b ，则21212BF BF b ⋅=-=，∴223,4b a ==，故椭圆方程为22143x y +=.…………………………………………4分 （Ⅱ）设()()1122,,,M x y N x y ，不妨设120,0y y ><，设1F MN ∆的内切圆半径为R ，则1F MN ∆的周长为8，面积1212121|F F ||y y ||y y |2=S =--，由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690+m y my +-=，则12|y y |AMN =S ∆-=8分令t =，则1t ≥，则212121313AMN t S t t t∆==++，令()13f t t t =+，则()21'3f t t =-，当1t ≥时，()'0f t ≥，()f t 在[)1,+∞上单调递增，故有()()1214,34AMN f t f S ∆≥=≤=，即当1,0t m ==时，1234AMN S ∆≤=，34,4AMN max S R R ∆=∴=，这时所求内切圆面积的最大值为916π.故直线:1l x =，AMN ∆内切圆面积的最大值为916π.…………………………12分.22.解：（Ⅰ）()()211'1,0,x x f x x x x x -++=-+=∈+∞，由()'0f x >得2010x x x >⎧⎨-++>⎩解得0x <<故()f x的单调递增区间是0⎛ ⎝⎭.…………………………3分（Ⅱ）令()()()()1,0,F x f x x x =--∈+∞.则有()21'x F x x -=.当()1,x ∈+∞时，()'0F x <，所以()F x 在[)1，+∞上单调递减.故当1x >时，()()10F x F <=，即当1x >时，()1f x x <-.…………………………………………6分.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意.当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意.当1k <时，令()()()()1,0,G x f x k x x =--∈+∞，则有()()2111'1x k x G x x k x x -+-+=-+-=，由()'0G x =得()2110x k x -+-+=，解得120,1x x =<=>当()21,x x ∈时，()'0G x >，故()G x 在[)21,x 内单调递增.从而当()21,x x ∈时，()()10G x G >=，即()()1f x k x >-.综上，k 的取值范围是(),1-∞.…………………………………………12分.。
河北省衡水中学高三上学期六调数学试卷(文科) Word版含解析
2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|y=lg（x﹣3）}，B={x|x≤5}，则A∪B=（）A．{x|3＜x≤5}B．{x|x≥5}C．{x|x＜3}D．R2．已知复数z=，则=（）A．﹣i B．﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4．双曲线=1（m∈Z）的离心率为（）A．B．2 C．D．35．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）A．4 B．3.15 C．4.5 D．36．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．B．C．﹣1 D．27．已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．8．设曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形为区域D，不等式组所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D的概率为（）A．B．C．D．以上答案均不正确9．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于（）A． B． C．5 D．210．将函数f（x）=3sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值不可能是（）A． B．πC． D．11．已知A（﹣1，0），B是圆F：x2﹣2x+y2﹣11=0（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为．14．若实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为．15．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为．16．已知实数a，b满足ln（b+1）+a﹣3b=0，实数c，d满足，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}的公差不为0，数列{b n}满足b n=（a n﹣1）2n，求数列{b n}的前n项和T n．18．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？ （Ⅲ）学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若PD ∥平面EAC ，求三棱锥P ﹣EAD 的体积．20．已知抛物线C 1：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆C ：x 2+y 2=9上． （Ⅰ）求抛物线C 1的方程； （Ⅱ）已知椭圆C 2：=1（m ＞n ＞0）的一个焦点与抛物线C 1的焦点重合，且离心率为．直线l ：y=kx ﹣4交椭圆C 2于A 、B 两个不同的点，若原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，求k 的取值范围． 21．已知函数f （x ）=mx ﹣alnx ﹣m ，g （x ）=，其中m ，a 均为实数．（Ⅰ）求函数g （x ）的极值；（Ⅱ）设m=1，a ＜0，若对任意的x 1、x 2∈[3，4]（x 1≠x 2），|f （x 2）﹣f （x 1）|＜|﹣|恒成立，求实数a的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线B是过点P（﹣1，1），倾斜角为的直线，以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线A的极坐标方程是．（1）求曲线A的普通方程和曲线B的一个参数方程；（2）曲线A与曲线B相交于M，N两点，求|MP|+|NP|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+3|+|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞4；（Ⅱ）若存在使不等式a+1＞f（x）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|y=lg（x﹣3）}，B={x|x≤5}，则A∪B=（）A．{x|3＜x≤5}B．{x|x≥5}C．{x|x＜3}D．R【考点】并集及其运算．【分析】求出集合A，然后求解并集即可．【解答】解：集合A={x|y=lg（x﹣3）}={x|x＞3}，B={x|x≤5}，则A∪B=R．故选：D．2．已知复数z=，则=（）A．﹣i B．﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z====，则=﹣1﹣i．故选：D．3．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．【解答】解：∵函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．4．双曲线=1（m∈Z）的离心率为（）A．B．2 C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程求出三参数a，b，c，再根据离心率e=求出离心率．【解答】解：由题意，m2﹣4＜0且m≠0，∵m∈Z，∴m=1∵双曲线的方程是y2﹣x2=1∴a2=1，b2=3，∴c2=a2+b2=4∴a=1，c=2，∴离心率为e==2．故选：B．5．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）A．4 B．3.15 C．4.5 D．3【考点】线性回归方程．【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m 的方程，解方程即可．【解答】解：∵根据所给的表格可以求出==4.5，==∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=3，故选：D．6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．B．C．﹣1 D．2【考点】程序框图．【分析】模拟执行如图所示的程序框图，得出y的值是以3为周期的函数，当i=2014=671×3+1时终止循环，求出输出的y值．【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；y=2，i=1；y=1﹣=，i=2；y=1﹣=﹣1，i=3；y=1﹣=2，i=4；…；∴y的值是以3为周期的函数，则当i=2014=671×3+1时，终止循环，且输出的结果为y=2．故选：D．7．已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求导，再根据函数的奇偶性排除A，B，再根据函数值得变化趋势得到答案．【解答】解：∵f（x）=x2sinx+xcosx，∴f′（x）=x2cosx+cosx，∴f′（﹣x）=（﹣x）2cos（﹣x）+cos（﹣x）=x2cosx+cosx=f′（x），∴其导函数f′（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B，当x→+∞时，f′（x）→+∞，故排除D，故选：C．8．设曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形为区域D，不等式组所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D的概率为（）A．B．C．D．以上答案均不正确【考点】几何概型．【分析】根据题意，画出由曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形区域D（阴影部分），以及不等式组所确定的区域E，计算阴影面积与正方形面积比即可．【解答】解：画出由曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形区域D（阴影部分），以及不等式组所确定的区域E，如图所示，则在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D的概率为：P==．故选：C．9．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于（）A． B． C．5 D．2【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是什么图形，从而求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体为三棱锥，底面△ABC为俯视图中的直角三角形，∠BAC=90°，其中AC=4，AB=3，BC=5，PB⊥底面ABC，且PB=5，∴∠PBC=∠PBA=90°，∴最长的棱为PC，在Rt△PBC中，由勾股定理得，PC===5．故选：C．10．将函数f（x）=3sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值不可能是（）A． B．πC． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由f（x）的图象经过点P（0，），且﹣＜θ＜，可得θ=，又由g（x）的图象也经过点P（0，），可求出满足条件的φ的值【解答】函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）向右平移φ个单位，得到g （x）=sin（2x+θ﹣2φ），因为两个函数都经过P（0，），所以sinθ=，又因为﹣＜θ＜，所以θ=，所以g（x）=sin（2x+﹣2φ），sin（﹣2φ）=，所以﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ，k∈Z，或﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ﹣，k∈Z，故选：C．11．已知A（﹣1，0），B是圆F：x2﹣2x+y2﹣11=0（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【分析】利用椭圆的定义判断点P的轨迹是以A、F 为焦点的椭圆，求出a、b 的值，即得椭圆的方程．【解答】解：由题意得圆心F（1，0），半径等于2，|PA|=|PB|，∴|PF|+|PA|=|PF|+|PB|=|BF|=半径2＞|AF|，故点P的轨迹是以A、F 为焦点的椭圆，2a=2，c=1，∴b=，∴椭圆的方程为=1．故选D．12．已知函数f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1]【考点】利用导数研究函数的单调性；抽象函数及其应用．【分析】根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，构造函数h（x）=x﹣x2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．【解答】解：函数g（x）的导数g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），∴函数g（x）在[，]上递减，则[，2]上递增，g（[）=，g（2）=8﹣4﹣5=﹣1，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，即当≤x≤2时，f（x）≥1恒成立，即恒成立，即a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，令h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）=﹣3﹣2lnx，当在≤x≤2时，h′′（x）=﹣3﹣2lnx＜0，即h′（x）=1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上单调递减，由于h′（1）=0，∴当≤x≤1时，h′（x）＞0，当1≤x≤2时，h′（x）＜0，∴h（x）≤h（1）=1，∴a≥1．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为25π．【考点】球的体积和表面积．【分析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，可得直六棱柱的外接球的直径，即可求出外接球的体积．【解答】解：直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，∵一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，∴直六棱柱的外接球的直径为5，∴外接球的半径为，∴外接球的表面积为=25π．故答案为：25π．14．若实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2．【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=5时，z=x﹣y取得最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（7，1），C（3，5）设z=F（x，y）=x﹣y，将直线l：z=x﹣y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最小值3，5）=﹣2∴z最小值=F（故答案为：﹣215．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得的值，由此求得的值，可得||的值，再利用两个向量的夹角公式求得向量与+2的夹角．【解答】解：∵向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则=||•||•cos60°=2×1×=1，再由=+4+4=4+4+4=12，可得||==2．设向量与+2的夹角为θ，则cosθ====．再由0≤θ≤π可得θ=，故答案为．16．已知实数a，b满足ln（b+1）+a﹣3b=0，实数c，d满足，则（a ﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为1．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义是点（b，a）到点（d，c）的距离的平方，而点（b，a）在曲线y=3x﹣ln（x+1）上，点（d，c）在直线y=2x+上．故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是曲线上与直线y=2x+平行的切线到该直线的距离的平方．利用导数求出曲线上斜率为2的切线方程，再利用两平行直线的距离公式即可求出最小值．【解答】解：由ln（b+1）+a﹣3b=0，得a=3b﹣ln（b+1），则点（b，a）是曲线y=3x﹣ln（x+1）上的任意一点，由2d﹣c+=0，得c=2d+，则点（d，c）是直线y=2x+上的任意一点，因为（a﹣c）2+（b﹣d）2表示点（b，a）到点（d，c）的距离的平方，即曲线上的一点与直线上一点的距离的平方，所以（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是曲线上的点到直线距离的最小值的平方，即曲线上与直线y=2x+平行的切线到该直线的距离的平方．y'=，令y'=2，得x=0，此时y=0，即过原点的切线方程为y=2x，则曲线上的点到直线距离的最小值的平方=1．故答案为：1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}的公差不为0，数列{b n}满足b n=（a n﹣1）2n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据条件利用等比数列的公式，求出公差，即可求数列{a n}的通项公式；（2）求得数列{b n}的通项公式，采用乘以公比错位相减法即可求得数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）等差数列{a n}公差为d，首项为a1，∵a1，a3，a7成等比数列．∴a32=a1a7，即（a1+2d）2=a1（a1+6d），化简得d=a1，或d=0．当d=a1，S3=3a1+×a1=9，得a1=2，d=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）=n+1，即a n=n+1，数列{a n}的通项公式a n=n+1；当d=0时，S3=3a1=9，a1=3，∴数列{a n}的通项公式a n=3；（2）若数列{a n}的公差不为0，a n=n+1，b n=（a n﹣1）2n=（n+1﹣1）2n=n2n，∴b n=n•2n，数列{b n}的前n项和T n，T n=2+2×22+3×23+…+n×2n，2T n=22+2×23+3×24+…+n×2n+1，两式相减：得﹣T n=2+22+22+…+2n﹣n×2n+1，=2n+1﹣2﹣n×2n+1，∴T n=（n﹣1）2n+1+2．数列{b n}的前n项和T n，T n=（n﹣1）2n+1+2．18．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？（Ⅲ）学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）随机调查这个班的一名学生，有50种情况，抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生，有19种情况，即可求出概率；（Ⅱ）利用列举法确定基本事件的个数，即可求出两名学生中有1名男生的概率是多少？（Ⅲ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）随机调查这个班的一名学生，有50种情况，抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生，有19种情况，故概率是…（Ⅱ）设这7名学生为a，b，c，d，e，A，B（大写为男生），则从中抽取两名学生的所有情况是：ab，ac，ad，ae，aA，aB，bc，bd，be，bA，Bb，cd，ce，cA，cB，de，dA，dB，eA，eB，AB共21种情况，其中含一名男生的有10种情况，∴．…（Ⅲ）根据∴我们有99.9%把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取AD中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥P﹣EAD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，∴PD∥OE，∵O是BD中点，∴E是PB中点．取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．∴==．20．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2=9上．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）已知椭圆C2：=1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为．直线l：y=kx﹣4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），列出关于x0，y0，p的方程组，即可求解抛物线方程．（Ⅱ）利用已知条件推出m、n的关系，设（x1，y1）、B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，求出K的范围，通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部，推出，然后求解k的范围即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），由题意可知…解得：，所以抛物线C1的方程为：y2=8x…（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线C1的焦点F（2，0），∵椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合∴椭圆C2半焦距c=2，m2﹣n2=c2=4，∵椭圆C2的离心率为，∴，，∴椭圆C2的方程为：…设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得（4k2+3）x2﹣32kx+16=0由韦达定理得：，…由△＞0⇒（﹣32k）2﹣4×16（4k2+3）＞0或…①…∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则，∴===…②由①、②得实数k 的范围是或…21．已知函数f （x ）=mx ﹣alnx ﹣m ，g （x ）=，其中m ，a 均为实数．（Ⅰ）求函数g （x ）的极值； （Ⅱ）设m=1，a ＜0，若对任意的x 1、x 2∈[3，4]（x 1≠x 2），|f （x 2）﹣f （x 1）|＜|﹣|恒成立，求实数a 的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）对函数g （x ）求导，得到g'（x ）=0，得到极值点，求出极值．（Ⅱ）不妨设x 2＞x 1，则等价于：f （x 2）﹣f （x 1）＜h （x 2）﹣h （x 1），即f （x 2）﹣h （x 2）＜f （x 1）﹣h （x 1），分离参数，利用导数求最值求出参数范围即可．【解答】解：（Ⅰ），令g'（x ）=0，得x=1，列表如下：∴当x=1时，g （x ）取得极大值g （1）=1，无极小值；（Ⅱ）当m=1时，a ＜0时，f （x ）=x ﹣alnx ﹣1，x ∈（0，+∞），∵在[3，4]恒成立，∴f （x ）在[3，4]上为增函数，设，∵在[3，4]上恒成立，∴h （x ）在[3，4]上为增函数，不妨设x 2＞x 1，则等价于：f （x 2）﹣f （x 1）＜h （x 2）﹣h （x 1），即f （x 2）﹣h （x 2）＜f （x 1）﹣h （x 1），设u （x ）=f （x ）﹣h （x ）=，则u （x ）在[3，4]上为减函数，∴在[3，4]上恒成立，∴恒成立，∴，x∈[3，4]，设，∵，x ∈[3，4]，∴，∴v'（x）＜0，v（x）为减函数，∴v（x）在[3，4]上的最大值，∴，∴a的最小值为；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线B是过点P（﹣1，1），倾斜角为的直线，以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线A的极坐标方程是．（1）求曲线A的普通方程和曲线B的一个参数方程；（2）曲线A与曲线B相交于M，N两点，求|MP|+|NP|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线A的极坐标方程得到ρ2（3+sin2θ）=12，由此能求出曲线A的普通方程，由曲线B是过点P（﹣1，1），倾斜角为的直线，能求出曲线B 的一个参数方程．（2）设|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，把，代入中得，，由此利用韦达定理能求出|MP|+|NP|的值．【解答】解：（1）∵，∴ρ2（3+sin2θ）=12，即曲线A的普通方程为，∵曲线B是过点P（﹣1，1），倾斜角为的直线，∴由题得，曲线B的一个参数方程为（t为参数）．（2）设|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，把，代入中，得，整理得，，∴，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+3|+|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞4；（Ⅱ）若存在使不等式a+1＞f（x）成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的表达式，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）问题转化为：a+1＞（f（x））min，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x+3|+|x﹣1|，∴f（x）=…∴f（x）＞4⇔或或…⇔x＜﹣2或0＜x≤1或x＞1 …综上所述，不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）…（Ⅱ）若存在使不等式a+1＞f（x）成立⇔a+1＞（f（x））min…由（Ⅰ）知，时，f（x）=x+4，∴x=﹣时，（f（x））min=…a+1＞⇔a＞…∴实数a的取值范围为（，+∞）…．2017年4月10日。
河北省衡水中学2016届高三上学期期末考试数学试题
2015? 2016 学年度上学期高三年级期末考试数子卷(理科)本 卷分第 I 卷 ()和第 II 卷（非 )两部分，共 150。
考120分。
第I 卷(題 共 60分 ）一、 （每小5 分，共 60 分。
以下每小 拼 只有一切合 意， 将正确答案的序 号填涂在答 卡上）1.若复数6ai（此中 a R ，i虚数単位）的 部与虚部相等，3 ia=A.3B.6C.4D.12若会合 A= { x Z ∣ x+2≤8} B=( x 22 x>0},A ( C RB 所含的元2. 2<2)素个数 （）A. 0B. 1C. 2D. 33.已知数列 2 、6、 10、32 ⋯..，那么7 2 是 个数列的第（）A. 23B. 25C. 19D. 244.若曲 ax 2+by 2= l 焦点在 X 上的 ， 数a ，b 足（ ）A.a2>b2B. 1 >1C. 0<a<bD. 0<b<aa b，0)， 已知函数f (x)=sinx+ cos x 的 象的一个 称中心是点( 5.3第 1页 /共 13页g(x)=Asin xcos x+sin2 x 的图象的一条对称轴是直线A. x= 5B. x=4C. x =D. x= 63336.某程序框图以下图，若该程序运转后输出的值是7/4,则A. a=3 B a = 4 C.a = 5 D. .a = 6[ 来源:]uuur1 uuur 7.如图，在 ?ABC 中，AN NC3uuur ，P 是 BN 上的一点，若AP=uuur+2 uuurmAP AC9 A. 1则实数 m 的值为( )B 1/3C1/9D38,在(1-2x) （1+x）5的睁开式中， x3的系数是A. 20B. -20C. 10D.-109.如图 ,棱长为 1 的正方体 ABCD —A1B1C1D1 中,P 为线段 A1B 上的动点，则以下结论错误的选项是A．DC1⊥D1PB．平面 D1A1P⊥平面 A1APC. ∠APD1 的最大值为 90°D. AP+PD1 的最小值为2 210. 甲、乙、丙 3 人进行擂台赛，每局 2 人进行单打竞赛，另 1 人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由本来裁判向胜者挑战，竞赛结束后，经统计，甲共打了 5 局，乙共打了 6 局，而丙共当了 2 局裁判，那么整个竞赛共进行了 （ ）A. 9 局B.11 局C.3 局D. 18 局11. 某几何体的三视图以下图，三视图是边长为 1 的等腰直角三角 形和边长为 1 的正方形，则该几何体的体积为 （ ）A1B 1.C.1 D.2632312.已知函数m 1 x 2 , x 1,1 ， 其 中 m>0 ，且函数f ( x)2 , x1,31 xf ( x) f ( x 4) ，若方程 3 f ( x) -x= 0 恰有 5 个根，则实数 m 的取值范围是（A (15, 7) B. (15,8) C. (4, 7) D. (4,8)333333第 II 卷(非选择題共 90 分）二、填空题 (每题 5 分，共 20 分，把答案填在答题纸的横线上）13. 函数： y=log3(2cos x+1),x22的值域为,33。
2016届河北省衡水市高三大联考数学试卷(文科)解析版讲解
2016年河北省衡水市高三大联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．（5分）（2016•衡水模拟）集合U={x∈Z|x（x﹣7）＜0}，A={1，4，5}，B={2，3，5}，则A∩（∁U B}=（）A．{1，5}B．{1，4，6}C．{1，4}D．{1，4，5}2．（5分）（2016•衡水模拟）平面向量与的夹角为30°，=（1，0），||=，则|﹣|=（）A．2 B．1 C．D．3．（5分）（2016•衡水模拟）欧位在1748年给出的著名公式e iθ=cosθ+isinθ（欧拉公式）是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e=2.71828…，根据欧拉公式e iθ=cosθ﹣isinθ．任何一个复数z=r（cosθ+isinθ）都呆以表示成z=re iz的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z1=2e i，z2=e i，则复数z=在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（5分）（2016•衡水模拟）下列四个结论：①若“p∧q是真命题”，则“￢p可能是真命题”；②命题“∃x0∈R，x﹣x﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”；③“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（5分）（2016•衡水模拟）已知椭圆+=1（a＞b＞0）短轴的两个端点为A、B，点C为椭圆上异于A、B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2016•衡水模拟）已知奇函数F（x）=，则F（f（log2））=（）A．﹣ B．C．（）D．（）﹣7．（5分）（2016•衡水模拟）某国际物流有限公司所属危险品仓库发生特大爆炸，某地区选出600名消防官兵参与灾区救援，设其编号为001，002，…，600，为打通生命通道，先采用系统抽样方法抽出50名为先遣部队，且随机抽得的一个号码为003，这600名官兵来源于不同的县市，从001到300来自A市，从301到495来自B市，从496到600来自C市，则三个市被抽中的人数依次为（）A．26，16，8 B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，98．（5分）（2016•衡水模拟）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．8 C．D．9．（5分）（2016•衡水模拟）已知函数f（x）=，则函数g（x）=sin[2x﹣f（）]的一个单调递增区间为（）A．[0，] B．[，π] C．[，]D．[，]10．（5分）（2016•衡水模拟）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为a+1，则a的取值范围为（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1] C．[﹣1，1）D．（﹣1，1]11．（5分）（2016•衡水模拟）某程序流程图如图所示，依次输入函数f（x）=sin（x﹣），f（x）=sin （2x+），f（x）=tanx，f（x）=cos（2x﹣），执行该程序，输出的数值p=（）A．B．C．D．12．（5分）（2016•衡水模拟）已知函数f（x）=lnx与g（x）=a﹣x（≤x≤e）的图象上恰好存在唯一一个关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A．[1，e﹣1]B．{1}∪（+1，e﹣1]C．[1，+1]D．（+1，e﹣1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2016•衡水模拟）空气污染指数划分为0﹣50（优），51﹣100（良），101﹣150（轻度污染），151﹣200（中度污染），201﹣300（重度污染）和大于300（严重污染）六档，对应在于空气质量的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．如图表1、2统计了北京市2016年元旦前后两周（2015﹣12﹣24至2016﹣01﹣06）实时空气污染指数和2015年6月3日11个监测点数据，两图表空气污染指数中位数之差的绝对值为______．14．（5分）（2016•衡水模拟）已知sin（α+）=，则sin（2α﹣）=______．15．（5分）（2016•衡水模拟）已知抛物线x2=8y与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线交于点A，若点A到抛物线的准线的距离为4，则双曲线的离心率为______．16．（5分）（2016•衡水模拟）若S n为数列{a n}的前n项和，且a1=1，S n=a n a n+1，a n≠0，若数列{}的前n项和T n=，则n的值为______．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2016•衡水模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=ccosB+3asin （A+B）．（1）若=，求角C；（2）在（1）的条件下，若△ABC的面积为，求c的值．18．（12分）（2016•衡水模拟）由矩形ABCD与梯形AFEB构成平面多边形（如图1），O为AB中点，且AB∥EF，AB=2EF，现将平面多边形沿AB折起，使矩形ABCD与梯形AFEB所在平面所成二面角为直二面角（如图2）．（1）若点P为CF的中点，求证：OP∥平面DAF；（2）过点C，B，F的平面将多面体EFADCB分割成两部分，求两部分体积的比值．19．（12分）（2016•衡水模拟）2016年1月6日北京时间上午11时30分，朝鲜中央电视台宣布“成功进行了氢弹试验”，再次震动世界，朝鲜声明氢弹试验对周边生态环境未产生任何负面影响，未提及试验地点．中国外交部发表措辞严厉的声明对朝鲜核试验“坚决反对”，朝鲜“氢弹试验”事件引起了我国公民热议，其中丹东市（丹东市和朝鲜隔江）某QQ聊天群有300名网友，新疆乌鲁木齐某微信群有200名微信好友，为了解不同地区我国公民对“氢弹试验”事件的关注程度，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名好友，先分别统计了他们在某时段发表的信息条数，再将两地网友留言信息条数分成5组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求丹东市网友的平均留言条数（保留整数）；（2）为了进一步开展调查，从样本中留言条数不足50条的网友中随机抽取2人，求至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率；（3）规定“留言条数”不少于70条为“强烈关注”．①请你根据已知条件完成下列2×2的列联表；强烈关注非强烈关注合计丹东市______ ______ ______乌鲁木齐市______ ______ ______合计______ ______ ______②判断是否有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关？附：临界值表及参考公式：K2=，n=a+b+c+d．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820．（12分）（2016•衡水模拟）在平面直角坐标系中，定点F1（1，0），F2（﹣1，0），动点P与两定点F1，F2距离的比为一个正数m．（1）求点P的轨迹方程C，并说明轨迹是什么图形；（2）若m=，过点A（1，2）作倾斜角互补的两条直线，分别交曲线C于P，Q两点，求直线PQ的斜率．21．（12分）（2016•衡水模拟）设函数f（x）=lnx，g（x）=x﹣．（1）求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）的极值；（2）若x≥1时，恒有f（x）≤λg（x）成立，求λ的最小值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•衡水模拟）选修4﹣1：《几何证明选讲》已知：如图，⊙O为△ABC的外接圆，直线l为⊙O的切线，切点为B，直线AD∥l，交BC于D、交⊙O于E，F为AC上一点，且∠EDC=∠FDC．求证：（Ⅰ）AB2=BD•BC；（Ⅱ）点A、B、D、F共圆．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•衡水模拟）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位，已知圆C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρ=，点P在l上．（1）过P向圆C引切线，切点为F，求|PF|的最小值；（2）射线OP交圆C于R，点Q在OP上，且满足|OP|2=|OQ|•|OR|，求Q点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•衡水模拟）设函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=2|x﹣a|，a∈R．（1）若a=2，求不等式f（x）﹣g（x）≤x﹣3的解集；（2）若对∀m＞1，∃x0∈R，f（x）+g（x）≤成立，求a的取值范围．2016年河北省衡水市高三大联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．（5分）（2016•衡水模拟）集合U={x∈Z|x（x﹣7）＜0}，A={1，4，5}，B={2，3，5}，则A∩（∁U B}=（）A．{1，5}B．{1，4，6}C．{1，4}D．{1，4，5}【分析】先求集合B的补集，然后求出A∩（C∪B）的值．【解答】解：U={x∈Z|x（x﹣7）＜0}={1，2，3，4，5，6，}，B={2，3，5}，∴∁U B={1，4，6}，而A={1，4，5}，则A∩（∁U B}={1，4}，故选：C．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，考查计算能力，解题关键是正确应用运算法则，是基础题2．（5分）（2016•衡水模拟）平面向量与的夹角为30°，=（1，0），||=，则|﹣|=（）A．2 B．1 C．D．【分析】依次计算||，，，将开方即可．【解答】解：||=1，∴=1×cos30°=．∴（）2==1．∴|﹣|==1．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．3．（5分）（2016•衡水模拟）欧位在1748年给出的著名公式e iθ=cosθ+isinθ（欧拉公式）是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e=2.71828…，根据欧拉公式e iθ=cosθ﹣isinθ．任何一个复数z=r（cosθ+isinθ）都呆以表示成z=re iz的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z1=2e i，z2=e i，则复数z=在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】复数z1=2e i=2=1+i，z2=e i==i，再利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z1=2e i=2=1+i，z2=e i==i，则复数z====﹣i在复平面内对应的点在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的指数与三角函数形式、复数的运算法则几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（5分）（2016•衡水模拟）下列四个结论：①若“p∧q是真命题”，则“￢p可能是真命题”；②命题“∃x0∈R，x﹣x﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”；③“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①根据复合命题的真假关系进行判断．②根据含有量词的命题的否定进行判断．③根据充分条件和必要条件的定义进行判断．④根据幂函数的性质进行判断．【解答】解：①若“p∧q是真命题”，则p，q都为真命题，则“￢p是假命题，故①错误；②命题“∃x0∈R，x﹣x﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，正确，故②正确；③若y=sin（2x+φ）为偶函数，则φ=+kπ，k∈Z，故“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件；故③错误，④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减，正确故④正确．故正确的是②④，故选：B【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．5．（5分）（2016•衡水模拟）已知椭圆+=1（a＞b＞0）短轴的两个端点为A、B，点C为椭圆上异于A、B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得A（0，b），B（0，﹣b），设C（x0，y0），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，由题意可得a，b的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得．【解答】解：由题意可得A（0，b），B（0，﹣b），设C（x0，y0），由C在椭圆上可得+=1，即有x02=，①由直线AC与BC的斜率之积为﹣，可得•=﹣，即为x02=4（b2﹣y02），②由①代入②可得=4，即a=2b，c==a，可得离心率e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，考查运算能力，属中档题．6．（5分）（2016•衡水模拟）已知奇函数F（x）=，则F（f（log2））=（）A．﹣ B．C．（）D．（）﹣【分析】根据函数F（x）的奇偶性求出f（x），再依次计算f（log2），F（f（log2））．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0．∵F（x）是奇函数，∴F（x）=﹣F（﹣x）=﹣（）﹣x+，即f（x）=﹣（）﹣x+．即F（x）=．∴f（log2）=﹣+=1．∴F（f（log2））=F（1）=．故选A．【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，分段函数求值，属于中档题．7．（5分）（2016•衡水模拟）某国际物流有限公司所属危险品仓库发生特大爆炸，某地区选出600名消防官兵参与灾区救援，设其编号为001，002，…，600，为打通生命通道，先采用系统抽样方法抽出50名为先遣部队，且随机抽得的一个号码为003，这600名官兵来源于不同的县市，从001到300来自A市，从301到495来自B市，从496到600来自C市，则三个市被抽中的人数依次为（）A．26，16，8 B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9【分析】根据系统抽样的定义求出号码间隔即可得到结论．【解答】解：号码间隔为600÷50=12，则随机抽的号码为003，则构成一个等差数列，通项公式为3+12（n﹣1）=12n﹣9，由1≤12n﹣9≤300，即1≤n≤25，共有25人，由301≤12n﹣9≤495，即26≤n≤42，共有17人，由496≤12n﹣9≤600，即43≤n≤50，共有8人，故三个市被抽中的人数依次为25，17，8，故选：B．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔，利用等差数列进行求解是解决本题的关键．8．（5分）（2016•衡水模拟）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．8 C．D．【分析】根据三视图可知几何体是一个棱长为2的正方体，截去一个三棱锥得到，利用体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个棱长为2的正方体，截去一个三棱锥得到，所以几何体的体积为2×2×2﹣=，故选：C．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查空间想象能力，三视图正确复原几何体是解题的关键，属于中档题．9．（5分）（2016•衡水模拟）已知函数f（x）=，则函数g（x）=sin[2x﹣f（）]的一个单调递增区间为（）A．[0，] B．[，π] C．[，]D．[，]【分析】利用分段函数求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得g（x）的增区间．【解答】解：∵f（）=f（﹣π）=f（﹣）=π•cos（﹣）=，∴g（x）=sin[2x﹣f（）]=sin（2x﹣）=﹣cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，可得g（x）的增区间为[kπ，kπ+]，k∈Z，令k=0，可得增区间为[0，]，故选：A．【点评】本题主要考查分段函数的应用，余弦函数的单调性，属于基础题．10．（5分）（2016•衡水模拟）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为a+1，则a的取值范围为（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1] C．[﹣1，1）D．（﹣1，1]【分析】由题意作平面区域，从而可得最值是在（1，1）处取得，从而讨论以确定a的取值范围．【解答】解：不等式表示的平面区域如下，∵z=ax+y的最大值为a+1，∴最值是在（1，1）处取得，∵y=﹣ax+z，当﹣a≥0时，﹣a≤1，即﹣1≤a≤0；当﹣a＜0时，需满足﹣a≥﹣1，即0＜a≤1，故﹣1≤a≤1．故选B．【点评】本题考查了线性规划问题，同时考查了分类讨论的思想与数形结合的思想方法应用，属于中档题．11．（5分）（2016•衡水模拟）某程序流程图如图所示，依次输入函数f（x）=sin（x﹣），f（x）=sin （2x+），f（x）=tanx，f（x）=cos（2x﹣），执行该程序，输出的数值p=（）A．B．C．D．【分析】首先，判断已知所给的f（x）的对称轴是否为x=，然后模拟执行程序，依次计算每次循环得到的p，n的值，当n=6＞5时，不满足判断条件，输出p=．【解答】解：由f（x）=f（﹣x）可知，函数f（x）的对称轴为x=，则函数f（x）=sin（2x+）符合，执行第1次循环，p=0+f（）=sin=，n=2≤5；执行第2次循环，p=+f（）=﹣，n=3≤5；执行第3次循环，p=﹣+sin=﹣，n=4≤5；执行第4次循环，p=﹣+sin=0，n=5≤5；执行第5次循环，p=0+sin=，n=6＞5；此时，不满足判断条件，输出p=．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．12．（5分）（2016•衡水模拟）已知函数f（x）=lnx与g（x）=a﹣x（≤x≤e）的图象上恰好存在唯一一个关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A．[1，e﹣1]B．{1}∪（+1，e﹣1]C．[1，+1]D．（+1，e﹣1]【分析】根据题意便可知道方程lnx=x﹣a在上有唯一的解，进而可看成y=lnx与y=x﹣a在上存在唯一的公共点，并可画出图象，容易求出两函数图象相切时，a=1，并可求出当直线y=x ﹣a过，B（e，1）时a的值，这样便可结合图象求出实数a的取值范围．【解答】解：据题意，两个函数图象上恰好存在唯一一个关于x轴对称的点，即点（x，y）与（x，﹣y）分别在两个函数图象上，且唯一；又，则：，即方程，lnx=x﹣a在上有唯一一解；∴可化归为y=lnx的图象和直线y=x﹣a当时有唯一的公共点；如图，①当两函数图象相切时，设切点（x0，y0），；∴，x0=1；∴切点为（1，0），带入直线方程得a=1；②当直线y=x﹣a过点时，a=，当直线y=x﹣a过点B（e，1）时，a=e﹣1，结合图象可知恰好存在唯一一个关于x轴对称的点，则：a=1或．故选B．【点评】考查关于x轴对称的点的坐标关系，以及方程的解和对应函数图象的关系，函数在图象上一点的导数值和过该点切线斜率的关系，以及数形结合解决问题的方法．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2016•衡水模拟）空气污染指数划分为0﹣50（优），51﹣100（良），101﹣150（轻度污染），151﹣200（中度污染），201﹣300（重度污染）和大于300（严重污染）六档，对应在于空气质量的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．如图表1、2统计了北京市2016年元旦前后两周（2015﹣12﹣24至2016﹣01﹣06）实时空气污染指数和2015年6月3日11个监测点数据，两图表空气污染指数中位数之差的绝对值为82．【分析】根据中位数的定义，分别求出将图表1与图表2中的中位数，计算它们的差的绝对值即可．【解答】解：将图表1中所有数据从大到小排列为105、107、117、190、241、273、319、369、415、437、441、445、479、500，共14个数；中间两数为319和369，所以中位数为（319+369）÷2=344；图表2共有11个数，中位数为262，所以两图表中空气质量指数的中位数之差的绝对值为|344﹣262|=82．故答案为：82【点评】本题考查了中位数的定义与应用问题，也考查了识图与用图的能力，是基础题目．14．（5分）（2016•衡水模拟）已知sin（α+）=，则sin（2α﹣）=．【分析】根据两角的关系进行转化2a﹣=2（α+）﹣，再使用诱导公式化简．【解答】解：sin（2α﹣）=sin[2（α+）﹣]=sin[2（）+]=cos2（）=1﹣2sin2（）=1﹣2×（）2=．故答案为：．【点评】本题考查了利用诱导公式化简三角函数，熟练掌握诱导公式是解题关键．15．（5分）（2016•衡水模拟）已知抛物线x2=8y与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线交于点A，若点A到抛物线的准线的距离为4，则双曲线的离心率为．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，代入抛物线方程，求得交点A的坐标，求出抛物线的准线方程，由点到直线的距离公式，计算结合离心率公式即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程设为y=x，代入抛物线x2=8y，可得x=，y=，抛物线x2=8y的准线为y=﹣2，由题意可得+2=4，即有b=2a，c==a，即有离心率e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和抛物线的性质，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）（2016•衡水模拟）若S n为数列{a n}的前n项和，且a1=1，S n=a n a n+1，a n≠0，若数列{}的前n项和T n=，则n的值为2016．【分析】通过S n=a n a n+1与S n﹣1=a n﹣1a n作差，整理可知a n+1﹣a n﹣1=2，进而a n=n，通过裂项可知=﹣，进而并项相加可知T n=，对比即得结论．【解答】解：∵S n=a n a n+1，∴当n≥2时，S n﹣1=a n﹣1a n，两式相减得：a n=a n a n+1﹣a n﹣1a n，又∵a n≠0，∴a n+1﹣a n﹣1=2，又∵a1=1，a2=2，∴数列{a n}的奇数项是首项为1、公差为2的等差数列，偶数项是首项、公差均为2的等差数列，∴a n=n，S n=，∴==﹣，又∵T n=1﹣+﹣+…+﹣=，∴1﹣=，即=，∴n=2016，故答案为：2016．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2016•衡水模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=ccosB+3asin （A+B）．（1）若=，求角C；（2）在（1）的条件下，若△ABC的面积为，求c的值．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得：sinA=sinCcosB+3sinAsinC，再利用三角函数恒等变换的应用化简可得，又=，可求tanC的值，结合范围0＜C＜π，即可求得C的值．（2）由（1）及三角形面积公式可求a，b的值，利用余弦定理即可解得c的值．【解答】解：（1）∵a=ccosB+3asin（A+B），∴由正弦定理可得：sinA=sinCcosB+3sinAsinC，可得：sin（B+C）=sinCcosB+3sinAsinC，∴sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB+3sinAsinC，∴sinBcosC=3sinAsinC，∴，又∵=，∴tanC==，∵0＜C＜π，∴C=…（6分）（2）∵S△ABC=absinC=，由（1）可知=，C=，∴=，∴a=2，b==2，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+12﹣2×=4，∴c=2…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）（2016•衡水模拟）由矩形ABCD与梯形AFEB构成平面多边形（如图1），O为AB中点，且AB∥EF，AB=2EF，现将平面多边形沿AB折起，使矩形ABCD与梯形AFEB所在平面所成二面角为直二面角（如图2）．（1）若点P为CF的中点，求证：OP∥平面DAF；（2）过点C，B，F的平面将多面体EFADCB分割成两部分，求两部分体积的比值．【分析】（1）取FD中点N，连结AN，NP，OP，则可得四边形AOPN是平行四边形，于是OP∥AN，得出OP∥平面DAF；（2）过F作FG⊥AB，由面面垂直的性质可得FG⊥平面ABCD，BC⊥平面ABEF，用AB，BC，FG表示出两个棱锥的体积，得出体积比．【解答】解：（1）取DF的中点N，连结AN，OP，NP，∵P是CF的中点，∴PN CD，又AO CD，∴PN AO，∴四边形AOPN是平行四边形，∴OP∥AN，又OP⊄平面DAF，AN⊂平面DAF，∴OP∥平面DAF．（2）过点F作FG⊥AB于G，∵平面ABCD⊥平面AFEB，平面ABCD∩平面AFEB=AB，FG⊂平面AFEB，BC⊂平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD．BC⊥平面AFEB，∴V F﹣ABCD==．V C﹣BEF====．∴．【点评】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19．（12分）（2016•衡水模拟）2016年1月6日北京时间上午11时30分，朝鲜中央电视台宣布“成功进行了氢弹试验”，再次震动世界，朝鲜声明氢弹试验对周边生态环境未产生任何负面影响，未提及试验地点．中国外交部发表措辞严厉的声明对朝鲜核试验“坚决反对”，朝鲜“氢弹试验”事件引起了我国公民热议，其中丹东市（丹东市和朝鲜隔江）某QQ聊天群有300名网友，新疆乌鲁木齐某微信群有200名微信好友，为了解不同地区我国公民对“氢弹试验”事件的关注程度，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名好友，先分别统计了他们在某时段发表的信息条数，再将两地网友留言信息条数分成5组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求丹东市网友的平均留言条数（保留整数）；（2）为了进一步开展调查，从样本中留言条数不足50条的网友中随机抽取2人，求至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率；（3）规定“留言条数”不少于70条为“强烈关注”．①请你根据已知条件完成下列2×2的列联表；强烈关注非强烈关注合计丹东市154560乌鲁木齐市152540合计3070100②判断是否有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关？附：临界值表及参考公式：K2=，n=a+b+c+d．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【分析】（1）将组中值与各自小组的频率相乘，所得的数字再相加即可得出平均数；（2）分别求出留言不到50条的两地区人数，使用组合数公式计算概率；（2）根据频率分布直方图计算各组人数填表；计算K2的观测值与2.706比较大小即可得出结论．【解答】解：（1）45×0.01×10+55×0.025×10+65×0.04×10+75×0.02×10+85×0.005×10=63.5≈64．∴丹东市网友的平均留言条数是64条．（2）留言条数不足50条的网友中，丹东市网友有0.01×10×100×=6人，乌鲁木齐网友有0.005×=2人，从中随机抽取2人共有=28种可能结果，其中至少有一名乌鲁木齐网友的结果共有+=12+1=13种情况，∴至少抽到1名乌鲁木齐网友的概率为P=．（3）①列联表如下：强烈关注非强烈关注合计丹东市15 45 60乌鲁木齐市15 25 40合计30 70 100②K2的观测值k==．∵1.79＜2.706，∴没有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关．【点评】本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，独立检验等统计知识，属于基础题．20．（12分）（2016•衡水模拟）在平面直角坐标系中，定点F1（1，0），F2（﹣1，0），动点P与两定点F1，F2距离的比为一个正数m．（1）求点P的轨迹方程C，并说明轨迹是什么图形；（2）若m=，过点A（1，2）作倾斜角互补的两条直线，分别交曲线C于P，Q两点，求直线PQ的斜率．【分析】（1）设P（x，y），由题意得=m，（m＞0），由此能求出结果．（2）当m=时，曲线C：（x﹣3）2+y2=8，设直线AP：y﹣2=k（x﹣1），P（x1，y1），则直线AQ：y ﹣2=﹣k（x﹣1），联立，得（1+k2）x2+（﹣2k2+4k﹣6）x+k2﹣4k+5=0，由此利用韦过定理、直线方程能求出直线PQ的斜率．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意得=m，（m＞0），即|PF1|=m|PF2|，∴=m，∴（m2﹣1）（x2+y2）+2（m2+1）x+m2﹣1=0，当m=1时，点P的轨迹方程为x=0，表示y轴．当m≠1时，点M的轨迹方程为，即（x+）2+y2=，表示圆心为（﹣，0），半径为的圆．（2）当m=时，由（1）得曲线C：（x﹣3）2+y2=8，设直线AP：y﹣2=k（x﹣1），P（x1，y1），则直线AQ：y﹣2=﹣k（x﹣1），Q（x2，y2），联立，得（1+k2）x2+（﹣2k2+4k﹣6）x+k2﹣4k+5=0，∴x1•1=，即，此时y1=kx1+2﹣k，同理，，y2=﹣kx2+2+k，∴k PQ===，将x1，x2代入得k PQ===﹣1，∴直线PQ的斜率为﹣1．【点评】本题考查点的轨迹的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式、圆、韦达定理等知识点的合理运用．21．（12分）（2016•衡水模拟）设函数f（x）=lnx，g（x）=x﹣．（1）求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）的极值；（2）若x≥1时，恒有f（x）≤λg（x）成立，求λ的最小值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）问题转化为lnx﹣λ（x﹣）≤0在[1，+∞）恒成立，设h（x）=lnx﹣λ（x﹣），求出h（x）的导数，结合二次函数的性质求出λ的范围即可．【解答】解：（1）φ（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x+，（x＞0），∴φ′（x）=﹣，令φ′（x）＞0，解得：＜x＜2，令φ′（x）＜0，解得：0＜x＜或x＞2，∴φ（x）在（0，）递减，在（，2）递增，在（2，+∞）递减，∴x=时，函数有极小值是：﹣ln2，x=2时，函数有极大值是：ln2﹣；（2）若x≥1时，恒有f（x）≤λg（x）成立，⇔lnx﹣λ（x﹣）≤0在[1，+∞）恒成立，设h（x）=lnx﹣λ（x﹣），h′（x）=，∵h（1）=0，∴h（x）在[1，+∞）递减符合题意，∴λ＞0，设m（x）=﹣λx2+x﹣λ，∴，解得：λ≥【点评】本题考查了求函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，本题有一道的难度．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•衡水模拟）选修4﹣1：《几何证明选讲》已知：如图，⊙O为△ABC的外接圆，直线l为⊙O的切线，切点为B，直线AD∥l，交BC于D、交⊙O于E，F为AC上一点，且∠EDC=∠FDC．求证：（Ⅰ）AB2=BD•BC；（Ⅱ）点A、B、D、F共圆．【分析】（I）利用直线l为⊙O的切线，可得∠1=∠ACB．利用AD∥l，可得∠1=∠DAB．于是∠ACB=∠DAB，即可得出△ABC∽△DAB．利用相似三角形的性质可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠BAC=∠ADB．已知∠EDC=∠FDC，∠EDC=∠ADB，可得∠BAC=∠FDC．即可得出点A、B、D、F共圆．【解答】证明：（I）∵直线l为⊙O的切线，∴∠1=∠ACB．∵AD∥l，∴∠1=∠DAB．∴∠ACB=∠DAB，又∵∠ABC=∠DBA，∴△ABC∽△DAB．∴．∴AB2=BD•BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠BAC=∠ADB．∵∠EDC=∠FDC，∠EDC=∠ADB，∴∠BAC=∠FDC．∴∠BAC+∠FDB=∠FDC+∠FDB=180°．∴点A、B、D、F共圆．【点评】熟练掌握圆的切线的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定与性质等是解题的关键．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•衡水模拟）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位，已知圆C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρ=，点P在l上．（1）过P向圆C引切线，切点为F，求|PF|的最小值；（2）射线OP交圆C于R，点Q在OP上，且满足|OP|2=|OQ|•|OR|，求Q点轨迹的极坐标方程．【分析】（1）由同角的平方关系可得圆C的普通方程，由y=ρsinθ，x=ρcosθ，可得直线的普通方程，由勾股定理和点到直线的距离公式，可得切线长的最小值；（2）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），代入圆C的极坐标方程和直线的极坐标方程，由同角公式和二倍角的正弦公式，计算即可得到所求轨迹方程．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数），可得圆C的直角坐标方程为x2+y2=4，直线l的极坐标方程为ρ=，即有ρsinθ+ρcosθ=4，即直线l的直角坐标方程为x+y﹣4=0．由|PO|2=|PF|2+|OF|2，由P到圆心O（0，0）的距离d最小时，|PF|取得最小值．由点到直线的距离公式可得d min==2，可得|PF|最小值为=2；（2）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由ρ1=，ρ2=2，又|OP|2=|OQ|•|OR|，可得ρ12=ρρ2，即有ρ==×==．即Q点轨迹的极坐标方程为ρ=．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查切线长的最值的求法，注意运用勾股定理和点到直线的距离公式，考查轨迹的极坐标方程的求法，注意运用代入法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•衡水模拟）设函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=2|x﹣a|，a∈R．（1）若a=2，求不等式f（x）﹣g（x）≤x﹣3的解集；（2）若对∀m＞1，∃x0∈R，f（x）+g（x）≤成立，求a的取值范围．【分析】（1）将a=2代入f（x），通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取交集即可；（2）问题转化为：[f（x）+g（x）]min≤2+3，设h（x）=f（x）+g（x）=|x﹣1|+2|x﹣a|，通过讨论a的范围，求出h（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）若a=2，f（x）﹣g（x）=|x﹣1|﹣2|x﹣2|=，①当x≤1时，若f（x）﹣g（x）≤x﹣3，则x﹣3≤x﹣3，故x≤1，②当1＜x＜2时，若f（x）﹣g（x）≤x﹣3，则3x﹣5≤x﹣3，即x≤1，这与1＜x＜2矛盾，③当x≥2时，若f（x）﹣g（x）≤x﹣3，则﹣x+3≤x﹣3，即x≥3，故x≥3，综上，不等式f（x）﹣g（x）≤x﹣3的解集是{x|x≤1或x≥3}；（2）∵=m﹣1++3≥2+3，（m＞1），当且仅当m﹣1=即m=+1时“=”成立，原命题等价于∃x∈R，f（x）+g（x）≤2+3成立，即[f（x）+g（x）]min≤2+3，设h（x）=f（x）+g（x）=|x﹣1|+2|x﹣a|，①当a＜1时，h（x）=f（x）+g（x）=|x﹣1|+2|x﹣a|=．h（x）min=h（a）=|a﹣1|=1﹣a，由1﹣a≤2+3，解得：a≥﹣2﹣2，∴﹣2﹣2≤a＜1；②当a=1时，h（x）=3|x﹣1|，。
河北省衡水中学2016届高三上学期五调考试(文)数学试题 含答案
2015~2016学年度上学期高三年级五调考试文数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“z y x lg ,lg ,lg 成等差数列"是“xz y =2“成立的（） A.充分非必要条件 B 。
必要非充分条件C.充要条件 D 。
既不充分也不必要条件 2.已知向量)2,1(=a ，)4,(x b =，若向量b a ⊥，则=x (） A.2 B.2- C.8D.8-3。
对于不重合的两个平面α和β,给定下列条件：①存在直线l ,使得α⊥l 且β⊥l ；②存在平面γ，使得γα⊥且γβ⊥;③α内有不共线的三点到β的距离相等；4.下图是底面半径为1,母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为（）A.π8B.π6 C 。
34+D 。
32+ 5.函数R x x x x f ∈-+-=,1)4cos()4sin(2)(ππ是（)A.最小正周期为π2的奇函数 B 。
最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数 D 。
最小正周期为π的偶函数6。
过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ,若以C 的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为（） A.1322=-y x B.1422=-y x C.112422=-y x D 。
141222=-y x 7。
已知函数2)(x ex f x +=，则使得)12()(->x f x f 成立的x 的取值范围是（) A 。
)1,31( B 。
),1()31,(+∞-∞ C 。
)1,31(- D 。
),31()31,(+∞--∞ 8。
过点)2,11(A 作圆01644222=--++y x y x的弦,其中弦长为整数的共有(） A 。
河北省衡水中学2016年高三第六次调研文科数学试题
河北省衡水中学2016年高三第六次调研文科数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知i 是虚数单位，则复数131ii-=+（ ） A ．2i +B ．2i -C ．12i --D ．12i -+2．已知集合{}{}0,1,2,3xP Q y y ===，则P Q = （ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．∅3．命题:p 若sin sin x y >，则x y >；命题22:2q x y xy +≥，下列命题为假命题的是（ ） A ．p 或qB ．p 且qC ．qD ．p ⌝4．设函数()f x 为偶函数，当()0,x ∈+∞时，()2log f x x =，则(f =（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．2-5．已知cos ,,,2k k R πααπ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，则()sin πα+=（ ） A．BC．D ．k -6．函数()()tan 0f x x ωω=>的图象的相邻两支截直 线2y =所得线段长为2π，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是（ ） A． BC ．1 D7．执行下面的程序框图，如果输入的依次是 l ，2，4，8，则输出的S 为（ ） A ．2B．C ．4D ．68．在棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -中，P 在线段1BD 上，且112BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为（ ） A.1 B.32 C.92D.与M 点的位置有关9．已知,,O A B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2km 处，B 地在O 地正北方向2km 处，某测 绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 地为一磁场，在其不的范围内会对测绘仪等电子形成干扰，使测绘结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（ ） A ．12-B ．2C ．12-D ．1210．已知抛物线()220y px p =>的交点F 恰好是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F ，则双曲线 的离心率为（ ）A BC ．1+D ．111．某几何体的三视图如图所示， 12．则该几何体的表面积为（ ）A ．12B ．12C ．4D 12+ 12．已知函数()()()[)11,2222,xx f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，设方程()122x f x -=的根从小到大依次为*12,,,,,n x x x n N ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，则数列(){}n f x 的前n 项和为（ ）A ．2nB ．2n n +C ．21n-D ．121n +-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知平面向量,a b 的夹角为23π，2,1a =b =，则+=a b ______． 14．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则()tan A B -的最大 值为______．15．若不等式组30303x y y kx x +-≥⎧⎪≤+⎨⎪≤≤⎩表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k 的范围是______．16．设过曲线()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和n S ，()*111,1,1n n a a S n N λλ+==+∈≠-，且123,2,3a a a +为等差数列{}n b 的前三项．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和． 18．（本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元，若供大于求，剩余商品全部 退回，但每件商品亏损10元，若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元． （1）若商店一天购进商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，*n N ∈） 的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润 在区间[]400,550的概率． 19．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，1,,22AD BC BAD AB BC AD a π∠==== ， E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -．（1）证明：CD ⊥平面1AOC ；（2）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为，求a 的值．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点()1,0且与直线1x =-相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程； （2）已知点()5,0A ，倾斜角为4π的直线l 与线段OA 相交（不经过点O 或点A ）且与曲线E 交于M 、N 两点，求AMN ∆的面积的最大值，及此时直线l 的方程． 21．（本小题满分12分）已知函数()()()2121ln ,2f x a x axg x x x =+-=-． （1）若函数()f x 在定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围； （2）证明：若7a a -<<，则对于任意()1212,1,,x x x x ∈+∞≠，有()()()()12121f x f x g x g x ->--．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，已知C 点在O 直径的延长线上，CA 切O 于A 点，DC 是ACB ∠的平分线，交AE 于F 点，交AB 于D 点．（1）求ADF ∠的度数；（2）若AB AC =，求:AC BC ． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极半标方程为：4cos ρθ=．（l ）直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l 与曲线C 交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤<． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()()()2210,2f x x a x a g x x =-++>=+． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集； （2）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题1.C2.C3.B4.B5.A6.D7.A8.B9.A 10.C 11..A 12..C二、填空题3415.()0,1 16.[]1,2-三、解答题17.解:（1）解法1：∵()11n na S n Nλ*+=+∈，∴()112n na S nλ-=+≥∴1n n na a aλ+-=，即()()11,2,10n na a nλλ+=+≥+≠，又1211,11a a Sλλ==+=+，∴数列{}n a为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，…………………………………………………2分∴()231aλ=+，∴()()241113λλ+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ=………………………………………4分∴12nna-=，()13132nb n n=+-=-…………………………………………………………………6分解法2：∵()111,1n na a S n Nλ*+==+∈，∴()2213211,111121a S a Sλλλλλλλ=+=+=+=+++=++，∴()2411213λλλ+=++++，整理得2210λλ-+=，得1λ=……………………………………2分∴()11n na S n N*+=+∈，∴()112n na S n-=+≥∴1n n na a a+-=，即()122n na a n+=≥，又121,2a a==∴数列{}n a为以1为首项，公比为2的等比数列，…………………………………………………………4分∴12nna-=，()13132n b n n =+-=-………………………………………………………………………………………6分（2）()1322n n n a b n -=-⋅∴()121114272322n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ ①∴()()12312124272352322n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅ ②…………………………………8分①-②得()12111323232322n n n T n --=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅()()12121332212n n n -⋅-=+⋅--⋅-…………………………………………………………………………10分整理得：()3525nn T n =-⋅+………………………………………………………………………………12分（2）50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440，有15天获得利润为500，有10天获得的利润为530，有5天获得的利润为560…………………………………………………………………8分 ②若利润在区间[]400,550时，日需求量为9件、10件、11件该商品，其对应的频数分别为11天、15天、10天…………………………………………………………………………………………………………10分 则利润区间[]400,550的概率为：1115103618505025p ++===。
2016届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学(文)试题(解析版)
2016届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学（文）试题一、选择题1．已知集合{}{}|12,|03A x x B x x =-<<=<<，则A B ⋃=（ ） A ．()1,3- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()2,3 【答案】A【解析】试题分析：由已知{|13}A B x x =-<< ，故选A ． 【考点】集合的运算．2．i 是虚数单位，复数5225ii-=+（ ） A ．i - B ．iC ．21202929i -- D ．4102121i -+ 【答案】A【解析】试题分析：252(52)(25)102541025(25)(25)29i i i i i i i i i i -----+===-++-，故选A ．另解：25252(25)252525i i i i i i i i i----+===-+++． 【考点】复数的运算．3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的离心率为，则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =± D ．y x =± 【答案】C【解析】试题分析：由已知2c e a ==，2222221()24b c a a a a =-=-=，12b a =，所以渐近线方程为12y x =±，故选C ． 【考点】双曲线的几何性质．4．已知向量()1,1a =- ，向量()1,2b =-，则()2a b a +⋅= （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 【答案】C【解析】试题分析：由已知得22(1,1)(1,2)a b +=-+-=，所以【考点】向量的坐标运算与数量积．5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】A【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以135333a a a a ++==，31a =，5355S a ==，故选A ．【考点】等差数列的性质．6．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位:cm ）,则该几何体的体积为（ ）A ．1203cm B ．803cm C ．1003cm D ．603cm 【答案】C【解析】试题分析：由已知311456456100()32V cm =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故选C ． 【考点】三视图，几何体的体积．7．某算法的程序框图如图所示，若输入的,a b 的值分别为60与32，则程序执行后的结果是（ ）A ．0B ．4C ．7D ．28【答案】B【解析】试题分析：由程序框图知，本题算法是求两整数的最大公约数，60与32的最大公约数是4，因此输出结果为4．故选B ．8．已知等比数列{}n a 满足()13541,414a a a a ==-，则2a =（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．18【答案】C【解析】试题分析：由题意235444(1)a a a a ==-，解得42a =，所以4331142a a q q ===，2q =，211242a =⨯=．故选C ． 【考点】等比数列的性质与通项公式．9．设实数,x y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为（ ）A ．252 B ．492C ．12D ．14 【答案】A【解析】试题分析：作出题设不等式组表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作曲线xy k =（因为要求k 的最大值，因此0k >），当k 增大时，曲线ky x=向右上移动，当曲线k y x =与直线AB 相切时，k 最大，由210k y xx y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，并整理得22100x x k -+=，10080k ∆=-=，252k =，所以xy k =的最大值为252．故选A ．【考点】简单的线性规划的非线性应用．10．点,,,A B C D在同一个球的球面上，AB BC AC ==ABCD 体） A ．16916π B ．8π C ．28916π D ．2516π【解析】试题分析：设球心为O ，ABC ∆的中心为M ，由当D 在MO 延长线上时，四面体ABCD 体积最大，244ABC S ∆==，134V DM =⨯=，4DM =，设球半径为r ，13MA ==，则222(4)1r r -+=，178r =，221744()8S r ππ==⨯28916π=．故选C ．【考点】棱锥的体积，棱锥的外接球，球的表面积．11．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲，乙，丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D【解析】试题分析：如果乙车速度大于80千米/小时，消耗1升汽油时，乙车行驶路程超过5千米，A 错；以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，乙错；甲车以80千米/小时的速度行驶时，燃油效率是10千米/升，行驶1小时，路程为80千米，消耗8升汽油，C 错；在最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率高于乙车，因此丙车比乙车更省油，D 正确．故选D ． 【考点】函数的图象与应用．【名题点睛】本题考查函数的图象，题中给出一个新概念“燃油效率”，正确理解新概念是解题的基础与关键，题中“燃油效率”是汽车每消耗1升汽油所行驶的路程，因此“燃油效率”越高，则每消耗1升汽油所行驶的路程越多或者是行驶同样的距离消耗的汽油越少，其次“燃油效率”与汽车行驶速度有关，本题图形就是反应速度与“燃油效率”的关系的图象．只要正确理解了图象，就能判别题中每个命题的正确性． 12．已知函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+，且()(),g x h x分别是R 上的偶函数和奇函数，若(]0,2x ∀∈使得不等式()()20g x ah x -≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,-∞B ．(,-∞C ．(0,D ．()+∞【解析】试题分析：由题意可得()2x x e e g x -+=，()2x xe e h x --=，不等式(2)()0g x a h x -≥为22022x x x xe e e e a --+--⨯≥，设x x t e e -=-，则不等式化为220t at +-≥，又x x t e e -=-是增函数，则当(0,2]x ∈时，221(0,]t e e ∈-，此时不等式220t at +-≥可化为222t a t t t+≤=+，易知2t t +≥t =取等号），因此2t t+的最小值是a ≤B ． 【考点】函数的奇偶性，不等式恒成立问题，基本不等式．【名题点睛】换元法经常和数列、超越函数等知识点结合在一起．运用局部换元：解决超越方程、超越不等式、超越函数（指数对数和高次函数等）问题，运用三角换元：一般来说具有有界性的式子，都能用三角换元来方便运算，难点是均值换元：均值换元可用在数列求通项和参数方程以及不等式中应用简化运算．换元时要注意新元的取值范围不能发生改变．二、填空题13．给出下列命题：①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关越强；反之，线性相关性越弱； ②由变量x 和y 的数据得到其回归直线方程：:l y bx a ∧=+，则l 一定经过(),P x y ； ③从越苏传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；⑤在回归直线方程0.110y x ∧=+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ∧增加0．1个单位，其中真命题的序号是 ． 【答案】②④⑤【解析】试题分析：线性相关系数为r ，当r 越接近1时，两个变量的线性相关越强，当r 越接近0时，两个变量的线性相关越弱，①错；由变量x 和y 的数据得到其回归直线方程：:l y bx a ∧=+，则l 一定经过(),P x y ，②正确；每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，③错；相关指数2R 用来刻画回归的效果，其计算公式是22121()1()nii nii y y R y y ==-=--∑∑，在含有一个解释变量的线性模型中，2R 恰好2拟合效果越好，④正确；在回归直线方程0.110y x ∧=+表示解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ∧增加0．1个单位，⑤正确，故填②④⑤． 【考点】线性相关，线性回归直线方程，抽样方法，残差． 14．在三棱锥S ABC -内任取一点P ，使得12P ABC S ABC V V -->的概率是 ． 【答案】18【解析】试题分析：如图，,,D E F 是所在棱的中点，当点P 在面DEF 上时，P 到底面ABC 的距离d 是顶点S 到底面ABC 距离h 的一半，则11113232P A B C A B C A B C S A B C V S d S h V -∆∆-=⋅=⨯=，当P 在平面DEF 与平面ABC 之间时，12P ABC S ABC V V --<，当P 在平面DEF 与顶点S 之间时，12P ABC S ABC V V -->，又18S DEF S ABC V V --=，所以所求概率为18S DEF S ABC V P V --==．CAS【考点】几何概型．15．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点()()(),0,,00A m B m m ->，若圆上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的取值范围是 ． 【答案】[]4,6【解析】试题分析：由已知以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，AB 中点为原点，2ABm =，则11m m -≤≤+，解得46m ≤≤，【考点】两圆的位置关系．【名题点睛】判断两圆的位置关系有两种方法，一是解由两圆方程组成的方程组，若方程组无实数解，则两圆相离，若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交，二是讨论两圆的圆心距与两圆半径之间的关系．第一种方法在计算上较繁琐，因此一般采用第二种方法．16．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a = ．【解析】试题分析：设()ln f x x x =+，则1'()1f x x=+，'(1)2f =，过点(1,1)切线方程为12(1y x -=-，即21y x =-．记2()(2)1g x ax a x =+++，'()22g x ax a =++，令'()2(g x a x a =++=，则12x =-，又1111()(2)12424g a a a -=-++=-，所以112()142a -=⨯--，8a =．【考点】导数的几何意义，导数与切线．【名题点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： （1）已知切点A （x 0，f （x 0））求斜率k ，即求该点处的导数值：0'()k f x =； （2）已知斜率k ，求切点A （x 1，f （x 1）），即解方程f ′（x 1）＝k ； （3）已知过某点M （x 1，f （x 1））（不是切点）的切线斜率为k 时，常需设出切点A （x 0，f （x 0）），利用k ＝求解．三、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos cos CA =． （1）求角A 的值；（2）若,6B BC π∠=边上中线AM =ABC 的面积．【答案】（1）6A π=；（2【解析】试题分析：本题是解三角形的应用，已知条件是边角关系（1）中要求角，因coscos C A =，化简可得cos 2A =；（2）由6B π=，知ABC ∆是等腰三角形，要求其面积，必须先求出一边，这里可先腰长b ，在AMC ∆中应用余弦定理可得，则三角形面积可得．试题解析：（1）cos cos C A =,∴cos cos CA =，cos 26A A π∴==． （2）2,63B C A B πππ∠=∴=--=，可知ABC 为等腰三角形，在AMC 中，由余弦定理，得2222cos120AM AC MC AC MC =+-⋅︒，即2272c o s 120222b b b b b ⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒∴= ⎪⎝⎭21【考点】解三角形应用，正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形面积． 18．某车间将10名技工平均分为甲，乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：（1）分别求出甲，乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；（2）质检部门从该车间甲，乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．【答案】（1）7,7x x ==乙甲，2s 甲 5.2=，22s =乙，两组技工的总体水平相同，甲组中技工的奇数水平差异比乙组大；（2）1725． 【解析】试题分析：（1）根据给出的数据进行计算即可，方差大的差异大；（2）两组里各有5人，从两组里分别抽1人，抽检方法有5525⨯=中，其中质量合格的有17种（可用列举法把25种基本事件列举出来），由古典概型概率公式可得结论．试题解析：（1）依题中的数据可得：()()114579107,56789755x x =++++==+++++=甲乙 ()()()()()222222147577797107 5.25s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲()()()()()222222221576777879725s x x s s ⎡⎤=-+-+-+-+-==>⎣⎦ 乙甲乙甲乙，∴两组技工的总体水平相同，甲组中技工的奇数水平差异比乙组大． （2）设事件A 表示：该车间“质量合格”，则从甲，乙两种各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为()()()()()()()()()()()()()()()4,5,4,6,4,77,5,7()()()()()()()()()()9,5,9,6,9,7,9,8,9,9,10,5,10,6,10,7,10,8,10,9，共25种，事件A 包含的基本事件有17种．()1725P A ∴=，即该车间“质量合格”的概率为1725．【考点】平均数，方差，古典概型．19．已知在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，若,SB AC SA SC ⊥=．（1）求证：平面SBD ⊥平面ABCD ；（2）若12,3,cos ,608AB SB SCB SAC ==∠=-∠=︒，求四棱锥S ABCD -的体积．【解析】试题分析：（1）本题证明面面垂直，比较简单，已经有AC SB ⊥，又有SA SC =，设AC BD O = ，则O 是AC 中点，于是有AC SO ⊥，从而有线面垂直，再有面面垂直；（2）要求棱锥体积，作SH BD ⊥，垂足为H ，由（1）可得SH 就是四棱锥的高，同样由（1）可得ABCD 是菱形，因此可在SBC ∆中由余弦定理求得SC ，又SAC ∆是正三角形，这样,SO AC 已知了，于是求得BO （ABCD S 可得了），SBO ∆的边BO 边上的高SH 也可求得，从而得体积． 试题解析：．（1）设AC BD O ⋂=，连接SO ，,.,SA SC AC SO SB AC SO SB S AC =∴⊥⊥⋂=∴⊥ 平面SBD ，AC ⊂ 平面ABCD ，∴平面SBD ⊥平面ABCD（2）作SH BD ⊥ 平面SBD ⊥平面ABCD ，且平面SBD ⋂平面ABCD BD =SH ∴⊥平面ABCD ，即13S A B C D A B C D V SS H -=⋅，由（1）知，AC BD ⊥∴底面ABCD 是菱形，2B C A B ∴==，13,cos 8SB SCB =∠=-∴ 由余弦定理可得260SC SAC SAC =∠=︒∴ 是等边三角形，122ABCD SO BO S ∴=∴==⨯=又在SOB 中，3SO OB SB ==，由余弦定理，1206S O B S O H ∴∠=︒∴∠=︒，在R t S O 中，则31s i n 602323S A BCD S H S O V -=⨯︒=∴⨯⨯= 【考点】面面垂直的判断，棱锥的体积．20．已知P 为圆()22:18A x y ++=上的动点，点()1,0B ，线段PB 的垂直平分线与半径PA 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ的方程； （1）求曲线Γ的方程；（2）当点P 在第一象限，且cos BAP ∠=时，求点M 的坐标．【答案】（1）2212x y +=；（2）． 【解析】试题分析：（1）本题用定义法求曲线方程，由对称性可得MA MB MA MP +=+=Γ是以,A B 为焦点，以为长轴长的椭圆；（2）由cos 3BAP ∠=，一种方法可得P 为坐标，得直线AP 方程，也可试题解析：（1）圆A 的圆心为()1,0A -，半径等于，由已知MB MP =于是MA MB MA MP +=+=故曲线Γ是以,A B 为焦点，以1,1a b c ===故曲线Γ的方程为2212x y +=．（2）由点P 在第一象限，cos 3BAP AP ∠==53P ⎛ ⎝⎭于是直线AP 方程为)14y x =+，代入椭圆方程，消去y 可得212752701,5x x x x +-=∴==-由于点M 在线段AP 上，所以点M 的坐标为1,2⎛ ⎝⎭．【考点】定义法求曲线方程，直线与曲线的交点坐标．【名题点睛】求轨迹方程的常用方法（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系或F （x ，y ）＝0；（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；（4）代入转移法：动点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （x 0，y 0）的变化而变化，并且Q （x 0，y 0）又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程． 21．已知函数()()1ln 0x f x x a ax-=-≠． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，求()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值()0.69ln 20.70<<；（3）求证：21ln e x x x+≤． 【答案】（1）若0a <，函数()f x 在区间()0,+∞上单调递减；若0a >，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；函数()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2）最大值为0，最小值为1ln 2-+；（3）证明见解析．．'()0f x <得减区间，注意要对a 分类讨论；（2）由（1）能确定()f x 的单调区间，最大值与最小值一定在极值点或区间的端点处取得，计算比较大小即可；（3）不等式21ln e x x x+≤，化为12ln 1x x -<+，即11l n x x -<，这可利用函数()11ln f x xx =--的单调性证明．试题解析：．（1）函数的定义域为()()()'2110,,ln x x a f x x f x ax x--+∞=-∴=- ， 若0a <，又10,0x x a>∴->，故()'0f x <，函数()f x 在区间()0,+∞上单调递减； 若0a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．综上，若0a <，函数()f x 在区间()0,+∞上单调递减；若0a >，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；函数()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． （2）1a =时，()11ln 1ln x f x x x x x -=-=--，由（1）可知，()11ln f x x x=--在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，故在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间[]1,2上单调递减，∴函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()10f =，而()111112ln 1ln 2,21ln 2ln22222f f ⎛⎫=--=-+=--=-⎪⎝⎭()1322ln 2 1.520.70.1022f f ⎛⎫-=->-⨯=> ⎪⎝⎭，所以()122f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为11ln 22f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． ⑶由（2）可知，函数()11ln f x x x=--在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，故函数()f x 在区间()0,+∞上的最大值为()10f =，即()0f x ≤，故有1111ln 01ln 2ln 1x x x x x x--≤∴-≤∴-≤+即21ln e x x x+≤． 【考点】用导数求单调区间，函数的最值，由函数单调性证明不等式．【名题点睛】本题考查函数的基本性质，导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．本题先利用导数研究函数的单调性，同时考查分类讨论思想，利用这个单调性的结论可以很顺利地求得函数在某个区间上的最值，第（3）小题证明不等式，表面上看来无从下手，而根据以往经验，应该利用上面的结果，实质只要构造函数就可由第（2）小题的结论得其单调性，而证得不等式成立．本题体现了“从基础到中等，再由中等到难”这样一种阶梯式增难的特色，层层相扣，解题时要特别注意．22．选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点,E DB 垂直BE 交圆于点D ．（1）证明：DB DC =（2）设圆的半径为1，BC =CE 交AB 于点F ，求BCF 外接圆的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【解析】试题分析：本题考查弦切角定理，考查圆的性质，由ABE BCE ∠=∠，而ABE CBE ∠=∠，故,CB E B CE B E CE ∠=∠=，再由DB BE ⊥，所以DE 为直径，易得结论；（2）实质上垂径定理知DE 垂直平分BC （设BC 与DE 的交点为G ），则2BG =，在Rt B O G ∆中可得60BOG ∠=︒，从而可得CF BF ⊥，BC 是BCF ∆是外接圆直径．试题解析：（1）连接DE ，交BC 于点G由弦切角定理得，ABE BCE ∠=∠，而A B E C ∠=∠，故,C B E B C E B E C E∠=∠=又因为DB BE ⊥，所以DE 为直径，所以90DCE ∠=︒，由勾股定理可得DB DC =；（2）由（1）知，,CDE BDE DB DC ∠=∠=，故DG 是BC 的中垂线，所以BG =设DE 的中点为O ，连接BO ，则60BOG ∠=︒，从而30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒ 所以CF BF ⊥，故RtBCF外接圆的半径等于2． 【考点】弦切角定理与圆周角定理，切线的性质，圆的性质． 23．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2ρ= （1）分别写出1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）已知,M N 分别为曲线1C 的上，下顶点，点P 为曲线2C 上任意一点，求PM PN +的最大值【答案】（1）224x y +=； （2）【解析】试题分析：试题解析：（1）曲线1C 的普通方程为22143x y +=，曲线2C 的普通方程为224x y += （2）方法一：由曲线2:C 224x y +=，可得其参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，所以P 点坐标为()2cos ,2sin αα 由题意可知((,,0,3M N ，因此PM PN +==()214PMPN+=+所以当sin 0α=时，()2PM PN +有最大值28．因此PM PN +的最大值为方法二：设点(),P xy ，则224x y+=，由题意可知((,0,M N ．因此PM PN +==()214PMPN+=+0y =时，()2PM PN +有最大值28．因此PM PN +的最大值为 【考点】24．选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x =R ．（1）求实数m 的取值范围；（2）若m 的最大值为n ，当正数,a b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值．【答案】（1）(],4-∞； （2）94． 【解析】试题分析：试题解析：（1）因为函数定义域为R ，所以130x x m ++--≥恒成立．设函数()13g x x x =++-，则m 不大于()g x 的最小值，又134x x ++-≥，所以()g x 的最小值为4，所以4m ≤ 故m 的取值范围为(],4-∞． （2）由（1）可知4n =，所以()()()2123227455493223744444a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+++⋅+++⎪+++⎝⎭+++==≥= 当且仅当323210a b a b b a +=+∴==时，等号成立，所以74a b +的最小值为94．【考点】。
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2015-2016学年度上学期高三年级六调考试
文数试卷
命题人:吴树勋
本试卷分第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷(选择题共60分）
―、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）
1.已知全集U=R ，集合A={x|x 2－2x －3>0}，B={x|2＜x ＜4}，那么集合（C U A) B=( )
A. {x|－l ≤x ≤4}
B. {x|2＜X ≤3}
C. {x|2≤x ＜3}
D.{x|－l ＜x ＜4}
2.若复数z=l-i ，i 为虚数单位，则2z z
- ( ) A. －I B. i C. －1 D.1
3.函数 y =2cos 2 (x －4
π )－1 是 A.最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π 的奇函数
D. 最小正周期为2
π 的偶函数 4.下列四个命题中，真命题的个数是 （ ）
①“x=1”是“x 2－3x ＋2 = 0”的充分不必要条件
②命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是“00,sin x R x ∃∈>1”
③命题p ：[)1,,x ∀∈+∞ lgx ≥0，命题2000:,10,q x R x x ∃∈++< p ∨q 为真命题
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
5.已知z=2x+y ；，其中实数x 、y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，且z 的最大值是最小值的4
倍，则a 的值是
A. 211
B. 14
C.4
D.112
6. 6在ABC 中，点D 满足BD =
34BC ,当E 点在线段AD 上移动时，若AE = AB λ +AC μ ，则t=22(1)λμ-+的最小值是
A B
C 910
D 418 7已知椭圆22
221(x y a b a b
+=>>0))的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线
于A，B两点 (
2
a
c
，0)的直线与椭圆相交于A，B两点, 且与其中一条渐近线垂
直，若AF =4 FB则该双曲线的离心率是，
5
D.
5
8.如图，在直四棱柱ABCD — A
1
B
1
C
1
D
1
,中，底面ABCD为正方形，AA
1
= 2AB,则异
面直线A
1
B与AD
1
所成角的余弦值为（）
A.
1
5
B
2
5
C,
3
5
D.
4
5
9. 设Sn是等比数列{}n a的前n项和，S m-1 =45，S m=93S m+1=189，，
则m＝（）
A. 6 B5 C4 D3
10.已知函数f（x）＝2
22,04
23,46
x
x x
x
-
⎧--≤
⎪
⎨
-≤≤
⎪⎩
<
若存在x
1
，x
2
，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）＝f（x2），则x1. f（x2）的取值范围是
A [)
0,1 B []
1,4 C []
1,6D[]
0,1[]
3,8
11.已知F1,F2是椭圆C:
2
25
X
＋
2
9
Y
= 1的左，右焦点，点P在椭圆C上，且到左焦点F1
的距离为6，过F1做
12
F PF
∠的角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为（）
A. 1
B. 2
C.3
D.4
12. 关于曲线C：
2
3
x +
2
3
y =1,给出下四个列命题：①曲线C关于原点对称; ②曲线C 有且仅有两条对称轴；③曲线C的周长l满足l＞
；④曲线C上的点到原点距离的最小值为
1
2
，上述命题中，真命题的个数是
A. 1
B. 2
C. 3
D.4
第II卷(非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的 2倍.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32 人，则该样本中的老年职工人数为
_______.
14.已知抛物线C:：y2=2px(p＞0)的准线为l，过点M(1，0)
与l相交于点
A，与C的一个交点为B，若AM =MB则p等于_________.
15.巳知直线:x＋y＋l=0与曲线C:：y=:x3－3px2相交于点A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数P的值为______。
16.半径为1的球的内部装有4个大小相同的半径为r的小球，则小球半径r可能的最大值为_____.
三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出必要的文字说明，证明过
程或演算步骤）
17.(本小题满分12分)
等比数列{an}的前n项和为S…，已知S
1, S
3,
S
2
,成等差数列.
(1)求{an}的公比q;
(2)等差数列{b
n }中，b
5
=9，公差d=4q，求数列{b
n
}的前n项和T
n
的最大值.
18.(本小题满分12分）
为办好省运会，计划招募各类志愿者1.2万人.为做好宣传工作，招募小组对15〜40岁的人群随机抽取了 100人，回答“省运会”的有关知识，根据统计结果制作了如下的统计图表1、表2:
(1)分别求出表2中a、x的的值；
(2)若在第2、3、4组回答完全正确的人中，用分层抽样的方法抽取6人，则各组应分别抽取多少人？
(3)在（2)的前提下，招募小组决定在所抽取的6人中，随机抽取2人颁发幸运奖，求获奖的 2人均来自第3组的概率.
19.(本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为矩形，DA丄平面ABE,AE=EB=BC=2,BF丄平面ACE于点F，且点F在CE上.
(1)求证:AE丄BE;
(2)求三棱锥D —AEC 的体积.
20.(本小题满分12分）
已知直线2x －2y －l=0与抛物线C ：x2=2py(p>0)相切.
(1)求p 的值；
(2)过点M(0，1)作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 在A 、B 两点处的切线分别 为12,l l ，直线12,l l 交于点P ，求点P 的轨迹方程.
21.(本小题满分12分）
已知函数 /(x) = (x 2 －2x)ln x+ax 2 +2.
(1)当a=－1时，求()f x 在（1，()f x )处的切线方程；
(2)设函数 g(x) =()f x －x －2
①若函数g(x)有且仅有一个零点时,求a 的值；
②在①的条件下，若e -2<x<e ，g(x)≤m ，求m 的取值范围•
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，并用2B 铅笔将答题纸上所选题目对应的题号涂黑。
如果多做，那么按所做的第一题记分。
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
已知AB 为半圆O 的直径，AB = 4,C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD,过A 点作 AD 丄CD 于D ，交半圆于点E ，DE=1.
(1)证明：AC 平分∠BAD;
(2)求BC 的长.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 1： (θ 为参数），
cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
将C
1
和2倍后得到曲线
C
2
,以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位
长度建立极坐标系，已知直线:lρCOSθ +sinθ ) =4.
(1)试写出曲线C
1的极坐标方程与曲线C
2
的参数方程；
(2)在曲线C
2
上求一点P,使点P到直线l的距离最小，并求此最小值. 24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数f（x）=丨x －2丨,g(x)=－丨x +3丨+m,
(1)若关于x的不等式g(x)≥0的解集为{}
51
x x
-≤≤-
｜ ,求实数m的值;
(2)若f（x）>g(x)对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围.。