一道解析几何题的解答与引申
对口高考解析几何真题答案
对口高考解析几何真题答案解析几何是高中数学中的一门重要课程，也是高考中的一大难点。
今天我将对几道对口高考解析几何的真题进行解析，帮助大家理解并掌握解析几何的解题方法和技巧。
首先，我们来看一道典型的解析几何题目：【题目】在平面直角坐标系中，直线L1：x+y=3与L2：x-y+2=0相交于点A，直线L与x轴和y轴的交点分别为B、C。
如果直线BC的斜率等于直线L1的斜率的负数，求BC的方程。
【解析】首先，我们需要求出直线L1的斜率。
直线L1的一般方程为x+y=3，化简得y=-x+3。
斜率k可以通过对y关于x求导得到，即k=dy/dx=-1。
所以直线L1的斜率为-1。
根据题意，直线BC的斜率等于直线L1的斜率的负数，即k=-(-1)=1。
接下来，我们来求点A的坐标。
将直线L1的方程x+y=3和L2的方程x-y+2=0联立解得x=1，y=2。
所以点A的坐标为(1, 2)。
由于点A在直线L1上，所以直线BC垂直于直线L1。
根据垂直直线斜率的性质，直线BC的斜率等于直线L1的斜率的倒数。
所以直线BC的斜率为-1/1=-1。
再由已知点B与坐标原点(0,0)相交，我们可以得到直线BC过点B(0,0)。
根据直线的点斜式方程y=kx，代入斜率k=-1和点B的坐标(0,0)，可以求得直线BC的方程为y=-x。
综上所述，直线BC的方程为y=-x。
通过上述解析，我们可以看到解析几何题目的解题步骤，包括求直线的斜率、求点的坐标、应用斜率关系等。
掌握这些解题方法和技巧，可以轻松解答解析几何题目。
接下来，我们再来看一道更复杂的解析几何题目：【题目】在平面直角坐标系中，直线L1：x+y=3与直线L2：2x-3y-6=0相交于点A，直线L与x轴和y轴的交点分别为B、C。
若四边形ABCO为平行四边形，求BC的长度。
【解析】首先，我们需要求出直线L1的斜率。
直线L1的一般方程为x+y=3，化简得y=-x+3。
斜率k可以通过对y关于x求导得到，即k=dy/dx=-1。
(新高考专用)专题 解析几何(含详细解析)
初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店 第 1 页 共 11 页专题11 解析几何1．已知圆C 的方程为()2241x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线上，过点P 作圆C 的切线,PA PB ，切点为,A B .（1）若60APB ∠=︒，求点P 的坐标；（2）求证：经过,,A P C （其中点C 为圆C 的圆心）三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标.【答案】（1）()2,4或612,55⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）证明见解析；()0,4和816,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】（1）由条件可得圆C 的圆心坐标为()0,4，2PC =，设(),2P a a ，2=，解得2a =，或65a =，所以点P 的坐标为()2,4或612,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）设(),2P a a ，过点,,A P C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为()()()420x x a y y a -+--=，整理得224280x y ax y ay a +---+=，即()()224280x y y a x y +--+-=. 由2240,280,x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩得0,4x y =⎧⎨=⎩或8,516,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴该圆必经过定点()0,4和816,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.2．已知圆22:1O x y +=与x 轴负半轴相交于点A ，与y 轴正半轴相交于点B .（1）若过点12C ⎛ ⎝⎭的直线l被圆O ，求直线l 的方程；（2）若在以B 为圆心半径为r的圆上存在点P ，使得PA = (O 为坐标原点)，求r 的取值范围； （3）设()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线12QM QM 、与y 轴分别交于()0,m 和()0,n ，问m n ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）直线l 的方程为12x =或10x -+=；（2）0r <≤3）m n ⋅为定值1.. 【解析】1︒ 若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为：12x =，符合题意.。
运算当分析,理性为根本——从一道高三解析几何题的解答谈起
题７ 已知 ０为 ＡＡ Ｂ Ｃ的外心 ， Ｉ Ａ Ｂ Ｉ＝ １ ６ ，
ｌ Ａ ＣＩ ＝１ ０ √ ２ ， 若Ａ Ｏ＝ｘ Ａ Ｂ＋Ｙ Ａ Ｃ ， 且３ ２ ｘ＋ ２ ５ ｙ＝
２ ５ ， 则ｌ Ａ Ｏ Ｉ＝
．
— —
的方法、 过程、 结果． 对于同一问题处理方法不同， 会 产生不 同影响和结局 ， 通过对题 １ ， 题２ ， 题３ 解答对 比明显可以看 出“ 向量法”简洁明了， 在考试 中为学 生赢得 时间， 提高成绩． 由此可见在向量复 习中强调
生学 习数 学 的兴趣 ， 就像 玩 游戏 一样地 学 习， 有 一种
÷ ｚ ： 一 ， ＋ ： ：
解得 ＋ ＝ ． 题 ７简 解 ： Ａ Ｏ・ Ａ Ｏ＝ Ａ Ｂ・ Ａ Ｏ＋Ｙ Ａ Ｃ・ Ａ Ｏ＝ ２＋—
１ ０ ．
玩数学的感觉． 同时可 以把 学生学过 的知识 串联在
２ ０ １ ４年 第 ２期
中学数 学研 究
适 当的题组训练， 可以有效帮助学生理清概念， 明辨差 异． 通 过适 当的变式训 练 ， 把 众 多 的类似 问题
＝
４ 一 ：＝２ ③
放在一起 ， 对问题进行 类比、 延伸和拓展， 加深对数
学知识 的理解， 把握数学问题 的本质和规律 ， 提高学
。
— —
题６ ， 题７ 在题 ５的基础上再结合题 目本身条件
来 解决 的 ， 因此Ａ Ｏ与三角形 边 向量Ａ Ｂ， Ａ Ｃ作 数量积
— —
题６ 在Ａ Ａ Ｂ Ｃ中， Ａ Ｂ ＝２ Ａ Ｃ＝２ ， Ａ Ｂ・ Ａ Ｃ＝
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ＡＯ ・ Ａｃ ＝ ， Ｉ ｔ Ａｃ
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一
起， 形成有效的知识 网络 ， 并不断提升学生运用向
高二数学解析几何试题答案及解析
高二数学解析几何试题答案及解析1.已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，当在圆上运动时，点的轨迹可能是下列图形中的：．（填写所有可能图形的序号）①点；②直线；③圆；④抛物线；⑤椭圆；⑥双曲线；⑦双曲线的一支．【答案】①③⑤⑦【解析】分析：由题意可得，点A可能在圆的外部，可能在圆的内部（但不和点O重合）、可能和点O重合、也可能在圆上，在这四种情况下，分别求出点Q的轨迹方程，即可得到答案．解：（1）当点A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA=QP，则QA-Q0=QP-QO=OP=r．即动点Q到两定点A、O的距离差为定值r＜OA，根据双曲线的定义，可得点Q的轨迹是：以O，A为焦点，r为实轴长的双曲线的一支．故⑦满足条件．（2）当A为⊙O内一定点，且A不与点O重合，∵P为⊙O上一动点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA=QP，QA=QP=OP-OQ=r-OQ，∴QA+OQ=r＞OA，故Q的轨迹是：以O，A为焦点，r为长轴的椭圆，菁优网故⑤满足条件．（3）当点A和原点O重合时，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA=QP，点Q是线段OP的中点，故有OQ="1" 2 OP="r" 2 ，故Q的轨迹是：以O为圆心，以r 2 为半径的圆，故③满足条件．（4）当点A在圆上时，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则Q和点O重合，故Q的轨迹是点O，为一个点，故①满足条件．故答案为①③⑤⑦．2.（1）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为，求抛物线的标准方程；（2）已知双曲线的焦点在x轴上，且过点（，-），（，），求双曲线的标准方程。
【答案】（1）；（2）【解析】（1）设抛物线的标准方程为，准线方程为；（2）设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入，求解．试题解析：（1）设抛物线的标准方程为，准线方程为，解得，所以抛物线方程是；（2）设双曲线的标准方程为，代入两点，，解得：，所以双曲线的方程是【考点】1．抛物线的标准方程；2．双曲线的标准方程．3.在极坐标中，与圆相切的一条直线方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意可知圆的平面直角坐标方程为，化为标准式为，可以发现，与坐标轴平行的圆的切线为，所以选项中满足条件的是即，故选B．【考点】极坐标方程与平面直角坐标方程的转换，圆的切线方程．4.如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于，过点的圆的切线与的延长线交于点，在上述条件下，给出下列四个结论：①平分；②；③；④．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【答案】D【解析】∵圆周角对应劣弧，圆周角对应劣弧，∴．∵弦切角对应劣弧，圆周角对应劣弧，∴．∵是的平分线，∴．∴．即平分．即结论①正确．又由，得．由．即结论②成立．由，得．即结论④成立．正确结论有①②④．故答案为D【考点】1.与圆有关的比例线段；2.命题的真假判断与应用．5.（本小题满分10分在中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D 。
高一数学解析几何试题答案及解析
高一数学解析几何试题答案及解析1.在圆上等可能的任取一点A，以OA（O为坐标原点）为终边的角为，则使的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略2.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】C【解析】由垂直平分线的性质可知可得，结合双曲线定义可知点Q的轨迹是以为焦点的双曲线【考点】双曲线定义3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为A．B．C．D．【答案】B【解析】设圆弧长为，则正三角形边长为，所以正三角形外接圆半径，【考点】弧长公式4.直线y=kx+3与圆（x-1）2+（y+2）2=4相交于M,N两点,若,则实数k的取值范围是．【答案】【解析】圆心到直线的距离等于，而弦长公式，解得．【考点】1．直线与圆相交；2．弦长公式．5.设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为 -9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为A．-9B．-6C．9D．6【答案】D【解析】因为P、Q、R三点共线，，而．【考点】向量共线的基本定理、坐标表示．6.已知点，，若直线：与线段没有交点，则的取值范围是（）A．>B．<C．>或<-2D．-2<<【答案】C【解析】如图所示：由已知可得，由此已知直线若与直线有交点，则斜率满足的条件是，因此若直线若与直线，没有交点，则斜率满足的条件是，故选C．【考点】两条直线的交点坐标7.对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是（）A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心【答案】C【解析】因为直线过定点，又圆心与定点的距离为，所以为C。
【考点】1．定点问题；2．直线与圆的位置关系的判定；8.如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，∠DAB =30°，有以下四个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG︰DE=，其中正确结论的序号是．【答案】①②③④【解析】由∠DAB =30°可知，同理△ADG与△ACF都是有一内角为的直角三角形，且，所以△ADG≌△ACF成立，，连结AO，所以为正三角形为BC的中点，AG︰DE=AG：4DG=【考点】1．直角三角形性质；2．三角形全等的判定与性质9.已知函数和函数的图象如右图所示：则函数的图象可能是（）【答案】B【解析】当时，，，当时，，因此B正确【考点】函数图像10.过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得点在圆的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为，则直线方程为，即．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得，即，解得，故直线l的倾斜角的取值范围是，故选：C．【考点】直线与圆的位置关系．【思路点睛】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围．11.根据下列条件，求直线的方程：（1）已知直线过点P（－2，2）且与两坐标轴所围成的三角形面积为1；（2）过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0．【答案】（1）x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0;（2）3x-y+2=0【解析】（1）先设出直线的点斜式方程，求出直线在坐标轴上的截距，表示出三角形的面积，即可求出其斜率，进而求出直线的方程．（2）联立已知的两直线方程得到方程组，求出两直线的交点坐标，所求的直线过交点坐标，然后由两直线垂直时斜率的乘积等于-1，根据直线x+3y+4=0的斜率即可得到所求直线的斜率，利用点斜式求直线的方程即可．试题解析：（1）设直线方程y-2=k（x+2），令x=0得令y=0得，由题意得，所以，即解得所以所求直线方程为x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0．（2）联立直线方程①+②×（-3）得：y=-1，把y=-1代入②，解得x=-1，原方程组的解为所以两直线的交点坐标为（-1，-1），又因为直线x+3y+4=0的斜率为，所以所求直线的斜率为3，则所求直线的方程为：y+1=3（x+1），即3x-y+2=0．【考点】直线的点斜式方程、三角形的面积计算公式及分类讨论的思想方法．12.已知直线与圆相交于两点，则等于__________．【答案】【解析】由题意可知，直线恒过圆心，所以为圆的直径．【考点】含参直线恒过点问题．13.已知圆，圆与轴交于两点，过点的圆的切线为是圆上异于的一点，垂直于轴，垂足为，是的中点，延长分别交于．（1）若点，求以为直径的圆的方程，并判断是否在圆上；（2）当在圆上运动时，证明：直线恒与圆相切．【答案】（1）圆的方程为，且在圆上；（2）证明见解析．【解析】（1）已知点、的坐标，可求出直线的方程，可求出点的坐标，由圆的方程可知点的坐标，可求出以为直径的圆的方程，将点的坐标代入圆的方程，得在圆上；（2）要证明结论，需证明，可先设点坐标，可求点坐标，进而可求点坐标，得与斜率，得得结论．试题解析：（1）由，∴直线的方程为，令，得，由，,则直线的方程为，令，得，∴为线段的中点，以为直径的圆恰以为圆心，半径等于，所以，所求圆的方程为，且在圆上，（2）设，则，直线的方程为，在此方程中令，得，直线的斜率，若，则此时与轴垂直，即，若，则此时直线的斜率为∴，即，则直线与圆相切【考点】圆的直线方程、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系．【易错点晴】点为定点则为定点，容易求出圆的方程，将点的坐标代入圆的方程来检验点是否在圆上；证明线圆相切常用的方法一是可以圆心与切点的连线与切线垂直一是可以利用圆到直线的距离等于半径，基于本题的复杂性，显然选用第二种方法是比较好的．只要得出即可，本题难在计算，如何用代数式求比值；本题综合性强，强调了学生的逻辑能力和运算能力．属于难题．14.已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．（1）若，试求点的坐标；（2）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【答案】（1）或；（2）或．【解析】（1）设出，利用平面几何知识得到，再利用两点间的距离公式进行求解；（2）先判定该圆是以为圆心，以为半径的圆，再设出圆的方程，且化简为关于的恒等式进行求解．试题解析：（1）设，由题可知，所以，解得：，故所求点的坐标为或．（2）设，的中点，因为是圆的切线所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，故其方程为：化简得：，此式是关于的恒等式，故解得或所以经过三点的圆必过定点或．【考点】1．直线与圆的位置关系；2．圆过定点问题．15.已知圆过点和，且与直线相切．（1）求圆的方程；（2）设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程．【答案】（1），或；（2）或．【解析】（1）根据弦的中垂线过圆心可知圆心在线段的中垂线上，先求的中垂线，设圆心，半径．根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，从而可求得圆心坐标．可得圆的标准方程．（2）设点坐标为，点坐标为．由中点坐标公式可用分别表示，将点代入圆的方程从而可得关于点的轨迹方程．试题解析：解：（1）圆心显然在线段的垂直平分线上，设圆心为，半径为，则：圆的标准方程为，由点在圆上得：，又圆与直线，有．于是解得：，或所以圆的标准方程为，或（2）设点坐标为，点坐标为，由为的中点，，则，即：又点在圆上，若圆的方程为，有：，则，整理得：此时点的轨迹方程为：．若圆的方程为，有：，则，整理得：此时点的轨迹方程为：综上所述：点M的轨迹方程为，或【考点】1圆的方程；2代入法求轨迹方程．16.直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．【答案】【解析】将圆变形可得，可知圆心，半径．圆心到直线即的距离为．设所截得弦长为，则，．【考点】直线被圆截得的弦长问题．17.（2015秋•大连校级期末）已知方程（m2﹣2m﹣3）x+（2m2+m﹣1）y+6﹣2m=0（m∈R）．（1）求该方程表示一条直线的条件；（2）当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；（3）已知方程表示的直线l在x轴上的截距为﹣3，求实数m的值．【答案】（1）见解析；（2）．（3）m=或3．【解析】（1）由，解得m=﹣1，因此若方程（m2﹣2m﹣3）x+（2m2+m﹣1）y+6﹣2m=0（m∈R）表示一条直线，就是m2﹣2m﹣3与2m2+m﹣1不能同时为0．（2）当时，解得m即可；（3）把（﹣3，0）代入直线方程点到﹣3（m2﹣2m﹣3）+0+6﹣2m=0，即可解得．解：（1）由，解得m=﹣1，因此若方程（m2﹣2m﹣3）x+（2m2+m﹣1）y+6﹣2m=0（m∈R）表示一条直线，则m≠﹣1．（2）当时，解得m=，此时直线为，化为．（3）把（﹣3，0）代入直线方程点到﹣3（m2﹣2m﹣3）+0+6﹣2m=0，化为3m2﹣4m﹣15=0，解得m=或3．【考点】直线的一般式方程．18.已知在△ABC中，A，B的坐标分别为（－1，2），（4，3），AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．（1）求点C的坐标；（2）求直线MN的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设点坐标为，根据已知中点的横坐标为0，中点的纵坐标为0，根据中点坐标公式可求得；（2）由（1）可得点的坐标，由截距式可得直线方程，最后化为一般式即可．试题解析：（1）设顶点C（m，n），AC中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，由中点坐标公式：，解得∴C点的坐标为（1，－3）．（2）由（1）知：点M，N的坐标分别为，由直线的截距式方程得直线MN的方程是，即，即2x－10y－5＝0.【考点】中点坐标公式，直线方程的截距式．19.（2015秋•钦州期末）已知点A（0，1），B（3，2），C（a，0），若A，B，C三点共线，则a=（）A．B．﹣1C．﹣2D．﹣3【答案】D【解析】由A、B、C三点共线，得，共线；利用向量的知识求出a的值．解∵A、B、C三点共线，∴，共线；∵=（3，1），=（a，﹣1）∴3×（﹣1）=a解得，a=﹣3，故选：D．【考点】三点共线．20.若A（-2，3），B（3，-2），C（，m）三点共线，则ｍ的值．【答案】【解析】KAB = KBC得则ｍ的值为【考点】斜率公式21.与直线2x+y+1=0的距离为的直线方程为．【答案】2x+y=0或2x+y+2=0．【解析】设与直线2x+y+1=0的距离为的直线方程为2x+y+k=0，利用两条平行线间的距离公式求出k，由此能求出直线方程．解：设与直线2x+y+1=0的距离为的直线方程为2x+y+k=0，则=，解得k=0或k=2，∴与直线2x+y+1=0的距离为的直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0．故答案为：2x+y=0或2x+y+2=0．【考点】点到直线的距离公式．22.若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，则实数a=（）A．1B．﹣2C．﹣D．﹣【答案】B【解析】由直线的垂直关系可得a×1+2×1=0，解方程可得．解：∵直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，∴a×1+2×1=0，解得a=﹣2故选：B【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．23.（2015秋•商丘期末）已知直线l1：3x﹣y﹣1=0，l2：x+y﹣3=0，求：（1）直线l1与l2的交点P的坐标；（2）过点P且与l1垂直的直线方程．【答案】（1）P（1，2）．（2）x+3y﹣7=0．【解析】（1）直线l1与l2的交点P的坐标，就是两直线方程组成的方程组的解．（2）根据垂直关系求出所求直线的斜率，点斜式写出所求直线的方程，并把它化为一般式．（1）解方程组，得，所以，交点P（1，2）．（2）l1的斜率为3，故所求直线为，即为 x+3y﹣7=0．【考点】两条直线的交点坐标；直线的点斜式方程．24.已知直线l1：x+（1+m）y+m﹣2=0与直线l2：mx+2y+8=0平行，则经过点A（3，2）且与直线l1垂直的直线方程为．【答案】2x﹣y﹣4=0【解析】直线l1：x+（1+m）y+m﹣2=0与直线l2：mx+2y+8=0平行，可得斜率都存在，分别化为：y=﹣x﹣，y=﹣﹣4，﹣=，﹣≠﹣4，解得：m．再利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．解：∵直线l1：x+（1+m）y+m﹣2=0与直线l2：mx+2y+8=0平行，∴斜率都存在，分别化为：y=﹣x﹣，y=﹣﹣4，∴﹣=，﹣≠﹣4，解得：m=1．直线l1：x+2y﹣1=0，与直线l1垂直的直线方程为2x﹣y+t=0，把点A（3，2）代入可得：6﹣2+t=0，解得t=﹣4．可得直线方程为：2x﹣y﹣4=0．故答案为：2x﹣y﹣4=0．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．25.点关于直线的对称点为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设点关于直线的对称点为，则①，又线段的中点在直线上，即整理得：②，联立①②解得．∴点关于直线的对称点点的坐标为，故选B．【考点】1、点关于直线对称；2、中点坐标公式．【方法点晴】设出点关于直线的对称点的坐标，求出的中点坐标，代入直线方程，再利用与直线垂直，它们的斜率之积为，建立方程组进行求解．本题主要考查求点关于直线的对称点的坐标的方法，利用垂直、中点在对称轴上两个条件，待定系数法求对称点的坐标，考查方程思想与转化运算能力，属于中档题．26.在平面直角坐标系中，已知，，.（Ⅰ）判定三角形形状；（Ⅱ）求过点且在轴和在轴上截距互为倒数的直线方程;（Ⅲ）已知是过点的直线，点到直线的距离为，求直线的方程.【答案】（I）三角形为直角三角形；（II）或；（Ⅲ）和．【解析】（I）先求出的值，而，从而可推出三角形为直角三角形；（II）先设出所求直线方程，再根据题意列出关于截距的方程解得即可；（Ⅲ）因为是过点的直线，其斜率有可能不存在，因此要分两种情况来考虑．试题解析：（Ⅰ）,，所以三角形为直角三角形.（II）设所求直线方程为，则即或，所以或，即得所求直线方程为或.（Ⅲ）①当直线的斜率不存在时的方程为，此时点到直线的距离为2，符合题意.②当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，即，所以点到直线的距离，，所以直线的方程为.综上可知，直线的方程为和.【考点】1、直线方程；2、两直线垂直的判定；3、点到直线的距离．27.若圆O：x2+y2=4与圆C：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，则直线l的方程是．【答案】x﹣y+2=0．【解析】由题意可得直线l即为两个圆的圆心连接成的线段的中垂线，求得CO的中点为（﹣1，1），CO的斜率为﹣1，可得直线l的斜率为1，利用点斜式求得直线l的方程解：由于两个圆的圆心分别为O（0，0）、C（﹣2，2），由题意可得直线l即为两个圆的圆心连接成的线段的中垂线，求得CO的中点为（﹣1，1），CO的斜率为﹣1，故直线l的斜率为1，利用点斜式求得直线l 的方程为 x﹣y+2=0，故答案为：x﹣y+2=0．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．28.已知两圆C1：x2+y2=1，C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=16，则这两圆的位置关系是（）A．相交B．外切C．内含D．内切【答案】B【解析】圆C1：x2+y2=1的圆心，半径为；C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=16的圆心，半径为；则两圆心之间的距离为，两半径之和为，即，所以两圆外切.故选B.【考点】圆与圆的位置关系.29.已知动点到点的距离是它到点的距离的一半.（1）求动点的轨迹方程；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据题意可知,结合两点间距离公式，进行化简整理便可得到的轨迹方程；（2）的取值范围即过圆上的一点的直线的斜率的取值范围，当且仅当直线与圆相切时直线的斜率取得最值．试题解析：（1）据题意，化简得：，即为动点的轨迹方程.（2）设，表示圆上的动点与定点连线的斜率，直线的方程是，即，当时，直线与圆相切，此时，由图形知.【考点】动点的轨迹方程.30.矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在矩形中，,即直线的斜率乘积为，由直线的方程可求得其斜率，从而得到的斜率，再利用点斜式求得边所在直线的方程；（2）由的直线方程可求得交点的坐标，而举行外接圆的圆心为矩形对角线的交点,半径为顶点到圆心的距离，求得圆心坐标及半径即可求得外接圆方程．试题解析：（1）∵AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为－3．又∵点T(－1, 1)在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0．（2）由得∴点A的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|＝＝2，∴矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8【考点】两直线垂直的性质，点斜式求直线方程，矩形的外接圆方程.31.已知直线在轴上的截距为1，且垂直于直线，则的方程是【答案】；【解析】由条件：直线过，且垂直于直线，得：，则：化简得：【考点】直线垂直与斜率的关系及直线方程的算法。
高一数学解析几何试题答案及解析
高一数学解析几何试题答案及解析1.原点和点（1，1）在直线的两侧，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略2.如图，在平面直角坐标系中，点，直线。
设圆的半径为，圆心在上。
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。
【答案】（1）y=3或3x+4y-12=0（2）[0，]【解析】（1）求两直线的交点得到圆心坐标，得到圆的方程，求圆的切线采用待定系数法，设出切线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径得到斜率k的值，从而确定切线方程，求解时要注意考虑斜率不存在时是否满足（2）首先由利用动点轨迹方程的求解方法得到点的轨迹方程，又在圆C上，因此转化为两圆有公共点，得到圆心距与半径的不等式关系，通过解不等式得到横坐标的取值范围试题解析：（1）由题设知，圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点，解得点C（3，2），于是切线的斜率必存在．设过A（0，3）的圆C的切线方程为y=kx+3，由题意，= 1，解得 k=0或，故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0．（2）因为圆心在直线y=2x-4上，所以圆C的方程为（x-a）2+[y-2（a-2）]2=1．设点M（x，y），因为MA=2MO，所以，化简得，所以点M在以D（0，-1）为圆心，2为半径的圆上．由题意知，点M（x，y）在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则2-1≤CD≤2+1，即1≤≤3．由5a2-12a+8≥0，得a∈R;由5a2-12a≤0，得0≤a≤．所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0，]．【考点】1．直线与圆相切问题；2．动点轨迹方程；3．两圆的位置关系3.在x轴、y轴上截距相等且与圆相切的直线L共有（）条A．2B．3C．4D．6【答案】B【解析】设直线为，圆心到直线的距离为1，，，直线方程为，当直线过原点时，设直线为，有两解，其中之一为，方程为，综上直线共有三条【考点】1．直线方程；2．直线与圆相切的位置关系4.若圆的圆心为，且经过原点，则圆的标准方程是A．B．C．D．【答案】B【解析】利用C,O两点间的距离公式求得半径为，由圆的标准方程得故选B．【考点】圆的标准方程5.圆关于y轴对称的圆的一般方程是．【答案】【解析】圆的圆心坐标为（-1,0），半径为1，所以圆关于y轴对称的圆得圆心坐标为（1，0），半径为1；【考点】1．圆的标准方程；2．圆关于直线对称的圆的求法；6.（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知经过原点O的直线与圆交于两点．（1）若直线与圆相切，切点为B，求直线的方程；（2）若，求直线的方程；（3）若圆与轴的正半轴的交点为D，求面积的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径可求得值及切点B坐标，进而得到直线AB方程；（2）直线与圆相交问题，常采用弦的一半，圆心到直线的距离与圆的半径构成的直角三角形求解（3）设出AB直线，与圆联立求得弦长，利用点到直线的距离求得三角形的高，将三角形面积用直线的斜率表示出来，转化为函数求最值问题试题解析：（1）由相切得化简得：，解得，由于，故由直线与圆解得切点，得（2）取AB中点M，则，又，所以,设：，圆心到直线的距离为，由勾股定理得：，解得，设所求直线的方程为，，解得，（3）设A,B两点的纵坐标分别为，易知,，易知，设AB方程为，由消元得，＝设，则，（）当时取等号）面积最大值为，【考点】1．直线方程；2．直线与圆相交相切的位置关系；3．函数求最值7.已知圆的方程为，那么通过圆心的一条直线方程是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】把圆的方程标准化可得，故圆心为，所以圆心在直线上，故选B。
解析几何试题的高考原题引申
解析几何试题的高考原题引申【关键词】解析几何;数学试题;命题模式;教学策略新高考模式对于教师和学生而言，都具有一定的挑战.因此，为了更好地满足新高考模式下社会对人才的需求，在实际的教学工作中，教师要顺应时代发展的潮流，依据培养目标，有的放矢地对自身的教学模式加以创新.学生同样要有意识地培养自己的学习习惯，提高自身的学习能力，建立相应的数学核心素养.一、新高考情况概述及案例分析高考作为我国重要的人才选拔方式，高考试卷的试题设置关系到万千考生的前途命运，高考试题是众多的专家、学者以及一线教师在经过多方研讨、综合调研下的集体智慧的结晶.因此，对于高中教师而言，研究高考试题是必要且重要的.通过对高考试题的研究，教师能从中发现如今高考数学的考查方向、整体动向，这能对高中数学的教学工作提供良好的指导和改进.2020年山东正式开始实行新高考，这也是山东在高考中首次采取文理一套卷的形式进行的改革尝试.就题目的数量和难度的设置而言，相较于以往的山东高考数学卷，这次数学卷整体上难度不大，在关于解析几何的题目设置上，考查的是曲线与定点和定值的问题.试题如下：回顾题目的解答过程，在传统解析几何解答的基础上，增加了构造直角三角形，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质.题目对学生的转化与化归、建立数学模型的数学思想和能力进行了全面的考查.直线MN过定点的问题，考生经过分析容易入手，多数考生可以拿到部分基础分数;后半部分点Q的确定，需要考生有较强的数学能力，起到了一定的选拔功能.二、高考数学解析几何试题分析在进行解析几何的问题求解时，往往都会涉及大量的运算，在运算过程中，不仅耗费的时间长而且运算的难度比较大，稍有不慎就会导致运算结果的错误.因此，在高考试题中，解析几何往往是让学生较为头疼的一个类型，但是若能合理地利用平面几何的相关知识，用推理代替计算，就能大大减少运算量，从而提升解题的效率.平面几何与解析几何之间关系密切，将一些简单的平面几何中的知识，例如三角形的相似、射影定理、角平分线定理、圆的性质定理等运用到解析几何中往往会产生意想不到的效果.这就需要教师在平时的教学工作中注意培养学生的创新意识和知识迁移能力，促进学生对知识的灵活运用.这不仅对于学生的数学能力的提升有帮助，还能够锻炼学生解决问题的能力，进而促进学生的全面发展.（一）基本知识点方面的考查在高考数学的解析几何的试题中，往往第一题是对解析几何的基本知识的考查应用，这就要求学生必须掌握椭圆、双曲线、抛物线等的基础知识，利用具体的定义来求解相应的轨迹方程.这就要求教师在平时的教学中，对于基础性知识的讲解与应用提高重视.（二）综合运用方面的考查坐标系法往往是解决圆锥曲线和直线位置关系的主要方法，尤其是对于高考中的大题而言，训练学生在分析几何条件的基础上，选择合适的代数形式对几何问题进行相应的表示，建立系统性、整体性的思维方式，对学生的成绩提升以及未来发展都具有重要意义.三、高中数学解析几何的教学策略解析几何在高考中有着重要的地位，也是教师在高三数学备考复习中的重点.一方面，数学教师要加强对学生解析几何基础知识的教学和基本能力的训练;另一方面，要让学生在掌握基础题型的前提之下，提升解析几何和平面几何的综合应用能力.（一）进行一定的思维训练对试题的具体解决方法的寻找属于“术”的层面的教学工作.对于高中数学教师而言，在教学工作中，不仅要注重对学生的“术”的培养，也要注重对学生的“道”的培养.教师要站在数学文化、数学思维的角度，将数学结构和解析几何的分析价值进行明确，教导学生如何根据自己的直觉思维，结合自己的抽象思维，进行相应的归纳总结，对其中的思维想法进行提取，进而促进顺利解题.正如笛卡尔的数学思想内涵所倡导的那样，将自己的数学思想进行系统化、整体化，这将不仅有利于学生数学成绩的提高，更有利于学生综合能力的培养.（二）立足典型试题，总结解题方法寻找出解决解析几何题的有效途径，是教师在进行解析几何问题讲解时的一大重点.教师要针对解析几何问题中的重要的、常见的、具有代表性的问题，例如上面高考题中的直线MN过定点P的问题，进行相应的训练，根据本班学生的接受能力和知识基础进行相应的试题的难度和题型的选择，为学生精心设计解析几何试题，针对学生的计算能力、思维能力以及旧知识的复习情况进行充分的测试，在测试中提升學生对知识的掌握程度.另外，教师也要及时发现学生解题中的问题，对于一些共性的问题，教师要在课堂上进行相应的点评讲解，对于一些个性的问题，教师则可以采取批注或课下单独辅导的形式解决.然而，需要注意的是，教师在进行解题方法总结的过程中，要将学生放在课堂的主体位置，而不是由教师进行知识的归纳、总结，然后让学生对具体的解题过程和解题技巧进行单纯的记忆.这种教学方法，一方面，不利于学生的自主学习能力的发展，因为学生并没有真正理解教师所总结出来的解题方法的精髓，在如今高考试题不断创新的大背景之下，并不能有效提升学生的数学成绩.另一方面，这种对于教学技巧的灌输式教学模式，会导致学生仅仅是孤立地进行解题方法的记忆，学生将精力错误地用在训练模仿力和记忆力上，这就导致学生在进行解题时，往往只是机械性地熟练操作，并不能深入理解题目背后的含义.教师在立足典型试题总结解题方法时，应该以学生为主体，教师此时不是知识权威者，而应该是引导者，应帮助学生自己总结出相应的规律性、技巧性的解题方法，这不仅有利于学生加深这部分知识的印象，而且学生在课堂中探索出相应的解题方法能够有效地提升他们在数学学习过程中的满足感和自信心.同时引导学生进行相应的更深层次的学习，对于他们的数学思维的培养、数学意识的形成都具有重要意义.（三）创新解析几何题，帮助学生举一反三，真正掌握知识教师在进行解析几何部分的教学工作时，应该有意识地对题型进行创新改造，这样做不仅能够让学生解题时具有新鲜感，同时与时俱进的试题也满足高考选拔人才的要求.平时的创新性试题的训练，能够使学生在面对真正的高考试题时游刃有余.教师在进行解析几何试题创新的过程中，要注意以下几点.第一，立足实际，多方联系.教师可以通过对日常生活中的新情境进行提炼与运用设计创新试题.如今的社会日新月异，整体的时代背景也发生了巨大的变化，高中生不能“两耳不闻窗外事，一心只读圣贤书”，提升学生关注社会、关注生活的意识，是高中教师在教学工作中要注意的一个重要方面.教师在进行试题创新的过程中要实现新旧教材的有效结合，将相应的知识点或表述方式进行综合，总结提炼出其中最适合的方式，同时在题型创新时可以采用“旧瓶装新酒”“新瓶装旧酒”“新瓶装新酒”等方式.第二，两点论与重点论相结合.在高考试题中，直线和曲线等综合问题是比较常见的考察对象，因此这部分试题应该是教师在进行相应的题型创新时的重点.四、小结随着新课程改革的不断推进，一线的高中数学教师在进行教学工作的过程中，要加大对学生进行高考解析几何问题的分析引导工作，对学生的解析几何知识的掌握情况进行及时的检测.对于学生容易出现的问题，教师要制订有效的教学策略，带领学生对最新的高考试题进行充分的利用，在掌握基础性知识点之上，引导学生自己总结出相应的解题方法和解题步骤.同时，及时给予学生针对性的辅导，及时督促学生的复习工作，让学生在把握数学课程学习的理念，确定学习目的的前提下，进行知识的进一步学习，将对学生的数学思维和数学意识的培养放在对具体的数学技巧、解题方法同等重要的位置，多方发力，为提升学生对解析几何问题的把握和理解助力，进而提升学生的数学成绩，提高教师的教学质量.【參考文献】欧阳尚昭.解答解析几何试题不要脱离其“几何背景”[J].中小学数学：高中版，2015（6）：55-56.林志展.妙解若干解析几何试题[J].福建中学数学，2011（7）：40-41.王安园.解析几何试题解题方法技巧探究[J].考试周刊，2014（50）：8.陈少华.一道解析几何试题的延伸[J].新课程导学，2017（20）：63.江保兵.对一道解析几何试题的探究[J].数学教学研究，2017（8）：48-51.。
解析几何综合题解题思路案例分析
解析几何是数学中的一个分支，主要研究几何形状的数学表达和特征。
解析几何综合题需要运用多种几何知识和方法进行解题。
解题思路：
题目阅读：仔细阅读题目，弄清题目意思，明确问题
数据分析：分析题目给出的数据，确定所需要的几何知识和方法
方法选择：根据题目数据和问题，选择合适的几何方法进行解题
解题过程：根据选定的方法进行解题，记录解题过程
结果检验：验证解题结果是否正确
案例分析：
例如，有一道题目是：已知圆心坐标为(1,2)，半径为3，求圆的标准方程。
题目阅读：已知圆心坐标和半径，求圆的标准方程
数据分析：圆心坐标(1,2)，半径3
方法选择：圆的标准方程
解题过程：根据圆的标准方程(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，可得(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9
结果检验：圆的标准方程是(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9。
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例１ （ ０年全国 ４ ） ＋寺一 ２０ ０ 理１题 椭圆
１的 两 焦 点 为 Ｆ ， 。 Ｆ ，Ｐ 为 椭 圆 上 动 点 ，当
点 为 Ｆ ， 点 Ｐ在 椭 圆上 ， Ｆ ， 当 Ｆ Ｐ —ａ时 ， Ｆｚ
△ Ｆ Ｐ 的 面 积 Ｓ— ｂｔｎ ． １ Ｆ２ ａ
吉 ｒ ｓ ｓ ＝ ｔ号 Ｓ ， —ｂｎ ＝ ａ ． ／ 得 ａ ＝ ｎ ｉ ｎ ｚ ｂ ｉ ２
注意 ： 当点 Ｐ在 短 轴 上 时 ， Ｆ Ｐ △ Ｆ。的面 积
结论 ２ 双 曲线 一 一１ ｎ＞ ｂ ｏ （ ＞ ）的两
最 大 ， 最 大． ａ也
ｌＦ ｌ ． ． ｙｌ 以ｌ 一 ， 。 一 ２ １ ， ｌ 訾 即 Ｐ 所 Ｙ ｏ ｏ
点 Ｐ到 ｚ 轴 的距 离 为 ． 解题 后 还要 “ 画龙 点 睛 ” 没 有反 思 的学 习终 ，
焦点 为 Ｆ ， 点 Ｐ在双 曲线 上 ， Ｆ ， 当 Ｆ Ｐ 一ａ Ｆ。
时 ，ｋ Ｆ。 面 积 Ｓ— ｂｃ ｔ ． ／Ｆ Ｐ 的 ｏ
会 造成“ 熊瞎 子掰 玉米 ”的结果 ， 以在 问题解 答 所
结 束后 ， 必须从 问题 类 型 归类 到解 决 问题 的方 法 进 行反 思和 总结 ， 这样使 学生 不仅 “ 知其 然 ” 而且 ， “ 其所 以然 ” 知 ． 根 据上 面题 目常 规 解法 为 例 ， 们 可 以得 到 我
如 下反 思和结 论 ：
结 论 １ 椭 圆 ＋ 一 １ ｎ＞ ｂ＞ ０ （ ）的 两 焦
２１ ０ ２年第 ７期
中学数学 月 刊
・ ５ ５・
一
道解 析 几何 题 的解 答 与 引 申
李 能琴 （ 肃省 古浪 县 第五 中学 甘 ７ ３０ ） ３ １ ０
题目 双 曲线 一 ｙ 一 １的两 个 焦 点 为 － － ＿
ｌｈ
ｓ△Ｆ ＰＦ。 一
．
寺 ｓ ， ｎｉ 由椭圆 ｎ 定义得ｍ ＝ ａ又 ＋ｎ ２．
Ｆ ， 。 点 Ｐ在 双 曲线上 ， Ｐ 上 Ｐ 则 点 Ｐ Ｆ ， 若 Ｆ Ｆｚ ， 到 ｚ轴 的距 离 为
（ ）第 ｌ 理 ４题 ）
由余 弦定 理 得 ４ ｃ 一ｍ ＋ 一 ２ Ｃ Ｓ Ｏ ａ一 （ ＋
） ２ ｎ １ Ｃ Ｓ ） ４ ２ ｒ（ 十 ｃ ｓ ） 从 一 （ ＋ Ｏａ 一 ａ 一 ｍ １ ／ ｏ口 ．
口 ０
证 明方 法 与结论 １ 同． 相 以上 两结 论 实 质 上 是 建 立 了 △Ｆ Ｐ Ｆ。的 面 积 Ｓ与两 焦点 Ｆ ， 曲线 上一 点 Ｐ的张角 ａ的 Ｆ 对
函数 关系 式 ， 因此 可 利用 它们 解 决椭 圆 和双 曲线
中与 张角 有关 的下列 一些 问题 ．
原 点， 线 Ｂ 为 Ｙ 直 Ｂ 轴 ， 立 直 角 坐 标 系 建
（ 图 ９ ． ＡＢ 一 ２， 如 ）设
～
尸 ０ ／ ． ／
曰
４ ＋ ． ｚ
则 Ｂ 一Ｂ Ｂ１ Ｃ一 １ 点 Ｐ ，
图 ９
令 （一 ＋ ｚ ４ ，厂 ） 厂 ）１ 吾 则 一 ． ｚ ＋＋ （
ｚ。 ３ ＋Leabharlann ４一 （ ＋ １ （ ＋ ｘ ｚ ） 。一 ＋ ４ ． ）
的 轨 迹 方 程 为 。 一 ２ （ １ ｙ － ≤ ≤ Ｏ ． ）
因为 一 １ ｚ≤ ０ ≤ 且 一ｚ＋４ 大 于 ０ 所 恒 ，
过 Ｐ作 Ｐ Ｑ上 Ａ Ｂ ， 足 为 Ｑ， Ｄ 则 Ｐ 垂 连 Ｑ， Ｑ Ｊ 设 Ｐ（ ） 有 ＿Ｄ Ｑ． ｘ， ，
间独 立去思 考那 些不懂 的 问题 ， 于效果 ， 至 那就 要 看他 自己的努力 了． 我们 的学 生 知识 还 不够 丰 富 ， 些 问题解 决 有 不 了是常事 ． 因此 我们 做老师 的 ， 有必要 让学 生 没
正 ” 处理 试卷 ， 来 以便第 二 天 的讲 解． 我也 是 其 中
Ｆ Ｐ 为钝角 时 ， Ｐ 的横 坐标 的取 值 范 围为 Ｆ 点
证 明 设 Ｉ Ｆ ｌ—ｍ，【 Ｆ Ｐ Ｐ Ｉ— ｒ 贝 ｔ， ０
在平面 Ａ Ｂ Ａ Ｂ 内 以 Ｂ 的 中点 ０ 为 Ｂ
Ｑ
Ｙ
１
２一专 ： １（ ２一 ＋ ｚ ） （＋ ） ＋． ） 导 等 ＋ ｚ １ ＋ ｚ ＋
中学 数学 月刊
２１ ０ ２年第 ７期
数 学作 业 的及 Ｂ 订 正有 效 码？ 寸
梁新 文 （ 江苏省 盱眙 中学 ２ １０ ） １ ７ ０
每次考 试结 束后 ， 学生 都 十分 期 待 自己的分
数， 而几乎 所 有学科 的老 师会不 约而 同地 采用“ 订
级教 师 ， 到 的答 案都是 ： 得 订正 就是要 学生 再花 时
ＰＤ ２二 Ｐ ＝ Ｑ ＋ ＱＤ 一 （ 一 ） ＋ １ ＝ ２ 。 ＋ （ ＋ ｚ
以 ｆ（ ）≥ ０ 所 以 当 ＝ 一 １ ， （ 有最 小值 ｚ ， ＝ ＝ 时 厂 ）
３， 以 Ｐ 所 Ｄ 的最 小 佰 为 ， 时 Ｐ 为 ＡＢ 中 点． 此
・ ６・ ５
． ２０ （０ １年 高考 数 学试 题
而 有 ／一 丁干 向 ｍｒ
一
＝— —一 ． 上二 代 八 ＝１ ｃｏ ｓａ ’ 糈 ｑ 瓦 入 Ｓ ＝＋ — 将此 式代
解
设 ＩＦ Ｉ— ｍ，ｌ Ｆ Ｐ ｌ— ｎ 因 为 Ｐ ，
Ｐ ＿ Ｐ Ｆ 上 Ｆ ，所 以 Ｉ Ｆ ＋ ｌ Ｆ。｛ Ｉ ｌ Ｐ Ｐ 。一 Ｉ １ ２ｉ ， 即 ＋ｎ 一１ ０ 又 因为 ｌ 一 ７ｌ一 ＦＦ ０． ／ ＂ ６ 所 以 ， 一 ３ ．又 由 Ｓ Ｆ Ｆ ２ △ ＿ Ｐ２一 ｌ Ｆｌｌ ・ １ Ｐ