2017年四川省自贡市高考数学一诊试卷(文科)

2017年四川省自贡市高考数学一诊试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合，B={x|x-1≥0}，则A∩B为（）A.[1，3]B.[1，3）C.[-3，∞）D.（-3，3]【答案】B【解析】解：∵集合={x|-3≤x＜3}，B={x|x-1≥0}={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x＜3}=[1，3）．故选：B．分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2.在区间[-1，3]内任取一个实数x满足log2（x-1）＞0的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由log2（x-1）＞0，解得：x＞2，故满足条件的概率是p=，故选：C．求出不等式的解集，根据（2，3]和[-1，3]的长度之比求出满足条件的概率即可．本题考查了几何概型问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．3.已知复数，则z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】解：∵复数=+i=，则z在复平面内对应的点，在第一象限．故选：A．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知函数f（x）的定义域为R，M为常数．若p：对∀x∈R，都有f（x）≥M；q：M 是函数f（x）的最小值，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：由p：对∀x∈R，都有f（x）≥M；能推出q：M是函数f（x）的最小值，充分性成立；由q：M是函数f（x）的最小值，推出p：对∀x∈R，都有f（x）≥M；必要性成立，故选：C．根据充分必要条件的定义判断即可．本题考查了充分必要条件，考查函数的最值的定义，是一道基础题．5.已知直角坐标系中点A（0，1），向量，，，，则点C 的坐标为（）A.（11，8）B.（3，2）C.（-11，-6）D.（-3，0）【答案】C【解析】解：设C（x，y），∵直角坐标系中点A（0，1），向量，，，，∴，解得x=-11，y=-6．故C（-11，-6）．故选：C．设C（x，y），利用平面向量坐标运算法则能求出点C的坐标．本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用．6.已知，＜＜，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵，＜＜，∴sin（α+）==，而cosα=cos[（α+）-]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=，∴sinα=sin[（α+）-]=sin（α+）cos-cos（α+）sin=，则=sinαcos+cosαsin+sinα=sinα+cosα=-，故选：A．利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+）的值，再利用两角和差的三角公式求得cosα=cos[（α+）-]以及sinα=sin[（α+）-]的值，可得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．7.已知，，则（）A.C＞b＞aB.b＞c＞aC.b＞a＞cD.a＞b＞c【答案】C【解析】解：∵，，，∴0＜a=（）＜（）0=1，b=＞=1，c=＜，∴b＞a＞c．故选：C．利用指数函数、对数函数的单调性求解．本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．8.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则表中a的值为（）A.3B.3.15C.3.5D.4.5【答案】D【解析】解：由题意可知：产量x的平均值为==4.5，由线性回归方程为=0.7x+0.35，过样本中心点（，），则=0.7+0.35=0.7×4.5+0.35=3.5，解得：=3.5，由==3.5，解得：a=4.5，表中a的值为4.5，故选：D．由线性回归方程必过样本中心点（，），则=3.5，即=3.5，即可求得a的值．本题考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程必过样本中心点（，），考查计算能力，属于基础题．9.将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f（x），则函数f（x）的单调递增区间（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】解：∵函数的周期T==π，∴将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f（x）=2sin[2（x-）+]=2sin（2x-），∴令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，可得：kπ-≤x≤kπ+k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-，kπ+]，k∈Z．故选：A．由周期公式可求函数的周期T==π，利用三角函数的图象变换规律可求函数f（x）解析式，令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间．本题主要考查了三角函数周期公式，三角函数图象变换规律以及正弦函数的单调性，考查了转化思想，属于基础题．10.设，则对任意实数a、b，若a+b≥0则（）A.f（a）+f（b）≤0B.f（a）+f（b）≥0C.f（a）-f（b）≤0D.f（a）-f（b）≥0【答案】B【解析】解：设，其定义域为R，==-f（x），∴函数f（x）是奇函数．且在（0，+∞）上单调递增，故函数f（x）在R上是单调递增，那么：a+b≥0，即a≥-b，∴f（a）≥f（-b），得f（a）≥-f（b），可得：f（a）+f（b）≥0．故选：B．求解函数f（x）的定义域，判断其奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性可得答案．本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断及其运用能力．属于基础题．11.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（bmodm），例如10=2（bmod4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于（）A.20B.21C.22D.23【答案】C【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余1，②被5除余2，最小两位数，故输出的n为22，故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．12.已知函数g（x）是R上的偶函数，当x＜0时，g（x）=ln（1-x），函数，，＞满足f（2-x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A.（-∞，1）∪（2，+∞）B.（-∞，-2）∪（1，+∞）C.（1，2）D.（-2，1）【答案】D【解析】解：当x≤0时，f（x）=x3，是增函数，并且f（x）≤f（0）=0；当x＜0时，g（x）=ln（1-x）函数是减函数，函数g（x）是R上的偶函数，x＞0，g（x）是增函数，并且g（x）＞g（0）=0，故函数f（x）在R是增函数，f（2-x2）＞f（x），可得：2-x2＞x，解得-2＜x＜1．故选：D．判断函数的单调性，转化不等式为代数不等式，求解即可．本题考查函数的方程的应用，函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+4y=0垂直，则实数a= ______ ．【答案】1【解析】解：由f（x）=ax3+x+1，得f′（x）=3ax2+1，∴f′（1）=3a+1，即f（x）在x=1处的切线的斜率为3a+1，∵f（x）在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，∴3a+1=4，即a=1．故答案为：1．求出原函数的导函数，得到f（x）在x=1处的导数，再由f（x）在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，得到f（x）在x=1处的导数值，从而求得a的值．本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，考查了两直线垂直的条件：斜率之积为-1，是基础题．14.设x，y满足约束条件，则z=2x-y的最大值为______ ．【答案】8【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x-y得y=2x-z，平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z经过点A时，直线y=2x-z的截距最小，此时z最大．由，解得，即A（5，2）将A的坐标代入目标函数z=2x-y，得z=2×5-2=8．即z=2x-y的最大值为8．故答案为：8作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15.已知一个多面体的三视图如图示：其中正视图与侧视图都是边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______ ．【答案】3π【解析】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面为边长为1的正方形，高为1，一条侧棱垂直底面，将其扩充为正方体，对角线长为，∴外接球的直径为，∴球的表面积为=3π．故答案为：3π．由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，将其扩充为正方体，对角线长为，可得外接球的直径，即可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．16.设f'（x）是函数f（x）的导数，f''（x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数g（x）=x3-3x2+4x+2，利用上述探究结果计算：= ______ ．【答案】76【解析】解：由g（x）=x3-3x2+4x+2，得：g′（x）=3x2-6x+4，g″（x）=6x-6，令g″（x）=0，解得：x=1，∴函数g（x）的对称中心是（1，4），∴g（2-x）+g（x）=8，故设=m，则g（）+g（）+g（）+…+g（）=m，两式相加得：8×19=2m，解得：m=76，故答案为：76．根据函数g（x）的解析式求出g′（x）和g″（x），令g″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数g（x）的对称中心．由于函数的对称中心为（1，4），可知g（x）+f （2-x）=8，由此能够求出所给的式子的值．本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于中档题．三、解答题(本大题共3小题，共36.0分)17.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a、b、c，，，△ABC的面积为．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求cos（B-C）的值．【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵，，△ABC的面积为=absin C=×sin，解得：a=5，∴由余弦定理可得：c===7…6分（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：cos B===，又∵B∈（0，π），可得：sin B==，∴cos（B-C）=cos B cos+sin B sin=×+=…12分【解析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可求a的值，进而利用余弦定理可求c的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用余弦定理可求cos B的值，结合范围B∈（0，π），利用同角三角函数基本关系式可求sin B，进而利用两角差的余弦函数公式计算求值得解．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.已知数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足，，若n∈N*时，a nb n+1-b n+1=nb n．（Ⅰ）求{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求{C n}的前n项和S n．【答案】解：（Ⅰ）∵a n b n+1-b n+1=nb n．当n=1时，a1b2-b2=b1．∵，，∴a1=3，又∵{a n}是公差为2的等差数列，∴a n=2n+1，则（2n+1）b n+1-b n+1=nb n．化简，得2b n+1=b n，即=，所以数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，所以b n=（）n-1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a n=2n+1，所以==（-），所以S n=c1+c2+c3+…+c n=（-+-+…+-）=（-）=．【解析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=3，结合{a n}是公差为2的等差数列，可得{a n}的通项公式，将其代入已知条件a n b n+1-b n+1=nb n来求{b n}的通项公式；（Ⅱ）利用裂项相消法求和．本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，裂项相消法求和公式，难度中档．19.甲、乙两位射击运动员，在某天训练中已各射击10次，每次命中的环数如下：甲7879549107 4乙9578768677（Ⅰ）通过计算估计，甲、乙二人的射击成绩谁更稳；（Ⅱ）若规定命中8环及以上环数为优秀，请依据上述数据估计，在第11次射击时，甲、乙两人分别获得优秀的概率．【答案】解：（Ⅰ）∵x甲=，x乙=（9+5+7+8+7+6+8+6+7+7）=7，∴S2甲=[（7-7）2+（8-7）2+（7-7）2+（9-7）2+（5-7）2+（4-7）2+（9-7）2+（10-7）2+（7-7）2+（4-7）2]=4，=[（9-7）2+（5-7）2+（7-7）2+（8-7）2+（7-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（6-7）乙2+（7-7）2+（7-7）2]=1.2，∵乙＜甲，∴乙比甲的射击成绩更稳．（Ⅱ）由题意得：甲运动员获得优秀的概率为，乙运动员获得优秀的概率为，则甲、乙在第11次射击中获得优秀次数X的要可能取值为0，1，2，∴P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，∴甲、乙两人分别获得优秀的概率为：．【解析】（Ⅰ）先求出平均数，再求出方差，由乙＜甲，知乙比甲的射击成绩更稳．（Ⅱ）由题意得：甲运动员获得优秀的概率为，乙运动员获得优秀的概率为，则甲、乙在第11次射击中获得优秀次数X的要可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出甲、乙两人分别获得优秀的概率．本题考查方差、概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式和互斥事件概率加法公式的合理运用．四、填空题(本大题共1小题，共12.0分)20.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC．（1）求证：AC⊥A1B；（2）求三棱锥C1-ABA1的体积．【答案】（1）证明：取AC中点O，连A1O，BO．∵AA1=A1C，∴A1O⊥AC，...1分又AB=BC，∴BO⊥AC， (2)分∵A1O∩BO=O，∴AC⊥平面A1OB，...3分又A1B⊂平面A1OB， (4)分∴AC⊥A1B…5分（2）解：由条件得：…6分∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，∴，，…9分∴=…10分=．…12分【解析】（1）取AC中点O，连A1O，BO，由已知得A1O⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面A1OB，由此能证明AC⊥A1B．（2）由，利用等积法能求出三棱锥C1-ABA1的体积．本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．五、解答题(本大题共3小题，共34.0分)21.已知函数f（x）=e x-x+为自然对数的底数）g（x）=+ax+b（a∈R，b∈R）．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若f（x）≥g（x），求b（a+1）的最大值．【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=e x-x+，则f′（x）=e x+x-1，∵f′（x）=e x+x-1在R上递增，且f′（0）=0，∴当x＜0时，f′（x）＜0，∴当x＞0时，f′（x）＞0，故x=0为极值点：f（0）=（Ⅱ）g（x）=+ax+b，f（x）≥g（x），即e x-x+≥+ax+b，等价于h（x）=e x-x（a+1）-b≥0，得：h′（x）=e x-（a+1）①当（a+1）＜0时，h′（x）在R上单调性递增，x∈-∞时，h（x）→-∝与h（x）≥0相矛盾．②当（a+1）＞0时，h′（x）＞0，此时x＞ln（a+1），h′（x）＜0，此时x＜ln（a+1），当x=ln（a+1）时，h（x）取得最小值为h（x）min=（a+1）-（a+1）ln（a+1）-b即（a+1）-（a+1）ln（a+1）≥b那么：b（a+1）≤（a+1）2-（a+1）2ln（a+1）令F（x）=（a+1）x2-x2lnx，（x＞0）则F′（x）=x（1-2lnx）∴F′（x）＞0，可得＜＜，F′（x）＜0，可得＞．当x=时，F（x）取得最大值为．即当a=，b=时，b（a+1）取得最大值为．故得b（a+1）的最大值为．【解析】（Ⅰ）利用导函数求单调性，可得极值．（Ⅱ）利用导函数讨论单调性，构造b（a+1），求其最大值．本题考查了利用导函数研究单调性和最值的问题，综合性强，计算量大，比较难．22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；高中数学试卷第11页，共13页高中数学试卷第12页，共13页 （Ⅱ）已知点P 为曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．【答案】解：（Ⅰ）直线l ： （其中t 为参数），消去参数t 得普通方程y =x -4．由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ．由x =ρcos θ，y =ρsin θ以及x 2+y 2=ρ2，得x 2+（y -2）2=4；（Ⅱ）由x 2+（y -2）2=4得圆心坐标为（0，2），半径R=2，则圆心到直线的距离为：d = =3 ，而点P 在圆上，即O ′P+PQ=d （Q 为圆心到直线l 的垂足），所以点P 到直线l 的距离最小值为3 -2．【解析】（Ⅰ）消去参数t 即可得到直线l 的普通方程；利用x =ρcos θ，y =ρsin θ将曲线C 转化为普通方程；（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，求出P 到直线l 的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P 点的坐标，得到本题结论．本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为平面直角坐标方程、点到直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题．23.已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|x +1|-|2-x |≤a ≤|x +1|+|2-x |都成立． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设m ＞n ＞0，求证：2m + ≥2n +a ．【答案】（Ⅰ）解：|x +1|-|2-x |≤|x +1+2-x |=3，3=|x +1+2-x |≤|x +1|+|2-x |∵对任意实数x ，不等式|x +1|-|2-x |≤a ≤|x +1|+|2-x |都成立，∴a =3；（Ⅱ）证明：2m + -2n =（m -n ）+（m -n ）+ ，∵m ＞n ＞0，∴（m -n ）+（m -n ）+ ≥3=3，∴2m+-2n≥3，即2m+≥2n+a．【解析】（Ⅰ）利用绝对值不等式求最值，即可求a的值；（Ⅱ）作差，利用基本不等式证明结论．本题考查不等式的证明，考查绝对值不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．高中数学试卷第13页，共13页。