高三理科数学查漏补缺(三)
2024北京陈经纶中学高三查缺补漏数学
2024北京陈经纶中学高三查缺补漏数 学一、选择题1. 已知集合2{|1}A y y x ==−，集合{|lg 0}B x x =>，则AB = （A ）{|1}x x > （B ）{|0}x x > （C ）{|10}x x > （D ）{|1}x x >−2. 设0a b <<，则下列不等式中正确的是A ．2a b a b +<<< B ．2a b a b +<<< C ．2a b a b +<<< D 2a b a b +<<< 3. 已知平面向量a ，b 满足2==a b ，(2)()=2+⋅−−a b a b ，则a 与b 的夹角为（A ）65π （B ）32π （C ）3π （D ）6π 4. 已知向量(1,1),(,2)m m =−=a b ，则“2m =”是“//a b ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件5. 为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把函数sin 2y x =图象上所有的点 （A ）向左平移π6个单位（B ）向左平移π3个单位 （C ）向右平移π6个单位（D ）向右平移π3个单位 6. 大数据显示，北京市朝阳区是游客落脚和光顾的首选地，特别是年轻人的必选地，市民和游客在此可以享受文化艺术之旅，也可以感受时尚消费之旅．某游客想从蓝色港湾—亮马河国际风情水岸、798—751艺术街区、国贸中心—CBD 、工体—三里屯、鸟巢—奥林匹克森林公园这5个特色消费地标和朝阳大悦城、龙湖北京长楹天街、酷车小镇、中骏世界城、北投奥园1314、世贸天阶、新辰里购物中心、财富中心、北京欢乐谷这9个融合消费打卡地中选择4处进行游览或消费，则不同的选法种数为（A ）5 （B ）14 （C ）126 （D ）10017. 设抛物线的顶点为原点，焦点F 在y 轴上．过F 的直线交抛物线于点A ，则以AF 为直径的圆 （A ）必过原点 （B ）必与x 轴相切 （C ）必与y 轴相切 （D ）必与该抛物线的准线相切 8. 毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为 2.5米；上半部分圆锥的母线长为毡帐（不含底面）需要毛毡的面积为（单位：平方米）．A ．15)πB ．6)πC ．15)πD ．6)π9. 下图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形．已知第n 个图案中黑色与白色三角形的个数之和为n a ，数列{}n a 满足111,31(1)n n a a a n +==+≥，则数列{}n a 的通项公式为（A ）1(31)2n − （B ）32n − （C ）1(341)n + （D ）131n −+10. 已知函数22,(),x ax x a f x x a x a ⎧−+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对任意正数k ，关于x 的方程()f x k =恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 有A.0个B.1个C.2个D.无数个二、填空题11. 已知tan 24πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则tan α=________． 12. 双曲线2221(0)y x b b −=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b = ________；此双曲线的离心率为________．13. 能说明“若函数()f x 在区间[π,π]−上存在零点，则(π)(π)0f f −<”为假命题的一个函数是_______．14.已知函数cos(),(0,0)2πωϕωϕ=+><<y x 的图像如图所示，则=ϕ___________.15. 若2π=x 为函数()sin()sin ϕ=+⋅f x x x 的一个对称轴，则常数ϕ的一个取值为_____.16. 如图是满城汉墓出土的铜茕，它是一个球形十八面体骰子，有十六面刻着一至十六数字，另两面刻“骄”和“酒来”.假设依次投掷铜茕五次观察向上的点数（若“骄”向上，则记得到点数为十七，若“酒来”向上，则记得到点数零），若得到的五个点数12345,,,,a a a a a 构成一个公比不为1的等比数列，则此125a a a +++=____．17. 已知不等式ln (1)x a x ≥−的解集为(0,)+∞，则实数a 的取值范围是____________.18. 我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w ，厚度变为4x .在理想情况下，对折次数n 有下列关系：22log 3w n x≤（注：lg 20.3≈），根据以上信息，一张长为21cm ，厚度为0.05mm 的纸最多能对折___次.三、解答题19. 已知函数π()=2sin cos()3f x x x ++ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()0f x m +≤对π[0,]2x ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 20.在ABC ∆中，b =（Ⅰ）若2a =，求ABC ∆的面积;（Ⅱ）求a c +的取值范围．cos sin B b C =；条件 ②22cos a c b C −=．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.21. 在△ABC 中，10a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）b 的值；（Ⅱ）AC 边上的高.条件①：5c =,120A ∠=︒； 条件②：1cos 8A =,3cos 4B =. 22.如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，ÐABC =60°，PA =PC ，M 为PA 中点，PC =3NC ．（Ⅰ）设平面PAB ⋂平面PCD =l ，求证：AB //l ；（Ⅱ）从条件①，条件②，条件③中选择两个作为己知，使四棱锥P ABCD −存在且唯一确定. （ⅰ）求平面MND 与平面ABCD 所成角的余弦值；（ⅱ）平面MND 交直线PB 于点Q ，求线段PQ 的长度.条件①：平面PAC ^平面ABCD ；条件②：PB =PD ；条件③：四棱锥P ABCD − 23. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(),0A a ，且1AF =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点M 、N ，直线MA 、NA 分别与直线4x =交于点P 、Q ，求PFQ ∠的大小．（Ⅱ）设AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值；（Ⅲ）求△AMN 面积的最大值．。
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一点 N，连接 MN，则弦 MN的长度超过 2 R 的概率是 ▲
.
7. 若直线 y k( x 1) 与曲线 y 2x x2 有公共点 , 则实数 k 的取值范围是
▲.
2
2
8. 已知平面上的向量 PA 、PB 满足 PA PB 4 , AB 2 ，设向量 PC 2PA PB ，
则 PC 的最小值是 ▲ .
而 AC∩ BD＝ F，所以 AC⊥平面 PDB．
E为 PB上任意一点， DE 平面 PBD，所以 AC⊥DE．…………………… 7 分
（Ⅱ）连 EF．由（Ⅰ），知 AC⊥平面 PDB， EF 平面 PBD，所以 AC⊥ EF．…… 9 分
S ＝ △ACE 1 AC· EF，在△ ACE面积最小时， EF最小，则 EF⊥ PB． … 11 分 2
S△ ＝ ACE 3， 1 × 6× EF＝ 3，解得 EF＝ 1． …………………………… 12 分 2
由△ PDB∽△ FEB，得 PD PB ．由于 EF＝ 1，FB＝ 4， PB EF FB
PD 2 64 ，
所以 PB＝ 4PD，即 PD 2 64 4PD ．解得 PD＝ 8 15 ．…………………… 14 分 15
象经过的“卦限”是
▲.
3. 已知直线 l1 ：y 2x 3 ，直线 l 2 与直线 l1 关于直线 y x 对称，则直线 l 2 的斜率为 ▲ .
4. 将函数 y f ( x) 的图象上的每一点的纵坐标变为原来的 4 倍，横坐标变为原来的 2 倍，
然后把所得的图象上的所有点沿
x 轴向左平移 π个单位，这样得到的曲线和函数 2
用心 爱心 专心
6. .( 选修 4— 5：不等式选讲，本题满分 10 分 )
海淀区高三年级第二学期查漏补缺题数学
海淀区高三年级第二学期查漏补缺题数学【容易题】{要重视基础性题目的知识覆盖度，决不能有疏漏，不能满足四套试题的题目，而是要全面温习每一个知识条目下的各个知识点}1.已知集合{|}M x x a =≤，{2,0,1}N =-，若{2,0}M N =- ，则a 的取值范围（） A.0a > B.0a ≥ C.01a ≤< D. 01a ≤≤2.已知R b a ∈、，i a b +是虚数的充分必要条件是（）A.0ab ≠B.0a ≠C.0b ≠D. 0a =且0b ≠ 3.极坐标方程(1)0(0)ρθρ-=≥表示的曲线是（）A.圆B.直线C.圆和直线D. 圆和射线 4.参数方程⎩⎨⎧+==θθcos 1cos y x （θ为参数）表示的曲线是（）A.圆B.直线C.线段D.射线【中等题】{本组试题主要是针对四套试题考点题目，补充一些可能呈现的方式，或者是缺少的知识条目考查，请学生注意关注}5.已知(,0),(0,),(1,2)OA a OB a OC ===，其中0a ≠，若C B A 、、三点共线，则a =.6.已知点(1,0)A ，点P 在圆:C ⎩⎨⎧-==θθsin 21cos 2y x （θ为参数）上，则圆C 的半径为，||PA 最小值为.7.如图，圆O 与圆'O 相交于B A 、两点，AD 与AC 分别是圆O 与 圆'O 的A 点处的切线.若22==BC BD ，则AB =, 若30CAB ∠= ，则COB ∠=.8. 如图，BE CD 、是ABC ∆的高，且相交于点F .若BF FE =， 且44FC FD ==，则FE =，A ∠=.9.已知盒子里有大小质地相同的红、黄、白球各一个，从中有放回的抽取9次，每次抽一个球，则抽到黄球的次数的期望n =，估计抽到黄球次数恰好为n 次的概率50%（填大于或小于）B10.三个同学玩出拳游戏（锤子、剪刀、布），那么“其中两人同时赢了第三个人”的结果有 种.11.函数()f x 的值域为________. 12.在ABC ∆中，1cos 3A =，则sin(45)A += . 13.在ABC ∆中，若120A B += 且cos cos A B >，则B 的范围是. 14.已知R b a ∈、，“a b <”是“23a b <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 15.已知1232a b ==，则11a b-=. 16.若函数(1),0()(),0ax x x f x x a x x +≥⎧=⎨-<⎩为奇函数，则满足(1)(2)f t f t -<的实数t 的取值范围是.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n S a =+，则n a =_______.18.已知数列{}n a 的前n 项和121n n S a +=-，且12a =，则2=S _________,n a =__________.【难题】{7，8,13，14位置的题目，供大家在本校最后的模拟练习中选用，基础一般的学校可忽略本组试题}19.已知(1,0)A ，曲线:C e ax y =恒过点B ，则点B 的坐标为(0,1)，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP ⋅的最小值为2，则a =.20.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P.（1）下列函数中具有性质P 的有①()2f x x =-+()sin f x x =([0,2])x π∈③1()f x x x=+，((0,))x ∈+∞ （2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是.【理】21.已知函数2()sin f x x x =，各项均不相等的有限项数列{}n x 的各项i x 满足||1i x ≤.令11()()nni i i i F n x f x ===⋅∑∑，3n ≥且n ∈N ，例如：123123(3)()(()()())F x x x f x f x f x =++⋅++. 下列给出的结论中：① 存在数列{}n x 使得()0F n =；② 如果数列{}n x 是等差数列，则()0F n >； ③ 如果数列{}n x 是等比数列，则()0F n >； 正确结论的序号是____.22.已知三棱锥P ABC -的侧面PAC ⊥底面ABC ， 侧棱PA AB ⊥，且4PA PC AC AB ====. 如图AB ⊂平面α，以直线AB 为轴旋转三棱锥， 记该三棱锥在平面α上的俯视图面积为S ， 则S 的最小值是，S 的最大值是.23.已知点G F E 、、分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱111DD CC AA 、、的中点，点P Q N M 、、、分别在 线段11B C BE AG DF 、、、上. 以P Q N M 、、、为顶点 的三棱锥P MNQ -的俯视图不可能是（）A B C D【解答题】{本组题主要是针对常规题目求解过程，突出操作背后的道理的理解，在模拟题1D D讲评后再次演练落实模拟试题体现的解决过程中的“灵活与变通”} 1.【理】如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直， AB BC ⊥，//,2AF AC AF CE ⊥，G 是线段BF 上一点，2AB AF BC ===.（Ⅰ）当GB GF =时，求证：//EG 平面ABC ；（Ⅱ）求二面角E BF A --的余弦值；（Ⅲ）是否存在点G 满足BF ⊥平面AEG ？并说明理由.2.已知曲线:C 2()2e 1ax f x x ax =--. （Ⅰ）求函数()f x 在(0,(0))f 处的切线；（Ⅱ）当1a =-时，求曲线C 与直线21y x =-的交点个数； （Ⅲ）若0a >，求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.3.【理】已知椭圆C 的方程为221416x y +=. （Ⅰ）求椭圆C 的长轴长及离心率；（Ⅱ）已知直线l 过(1,0)，与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为椭圆C 的左顶点.是否存在直线l 使得60AMB ∠=︒？如果有，求出直线l 的方程；如果没有，请说明理由.4.【理】已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为31(,)22A .（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知:1l y kx =-，是否存在k 使得点A 关于l 的对称点B （不同于点A ）在椭圆C 上？ 若存在求出此时直线l 的方程，若不存在说明理由.海淀区高三年级第二学期查漏补缺题参考答案数学【容易题】1.C 2.C 3.D 4.C【中等题】5. 3 6.2 ，7.60 8. 2，60 9. 3 ，小于10. 911.13.60120B << 14. D 15.答案： 2 .分析：由1232a b==得11122,32ab==，所以2211log 12,log 3a b==， 所以22211log 12log 3log 42a b-=-==. 16.答案：1t >- .分析：由函数()f x 是奇函数，可得(1)(1)0f f +-=，得1a =（经检验符合奇函数），画图可知()f x 单调递增，所以(1)(2)121f t f t t t t -<⇔-<⇔>-. 17.答案：12n --分析：由21n n S a =+可得1121a a =+，解得11a =-， 又1n >时，1122n n n n S S a a ---=-，即12n n a a -=， 所以12n n a -=-.18.答案：72，12,1,3(),12n n n a n -=⎧⎪=⎨>⎪⎩分析：由121n n S a +=-可得1221a a =-，解得232a =，237222S =+=.又1n >时，1122n n n n S S a a -+-=-，即132n n a a +=， 所以12,1,3(),12n n n a n -=⎧⎪=⎨>⎪⎩.【偏难题】19.答案： 1 .分析：因为0e 1=所以(0,1)B ；考察AB AP ⋅的几何意义，因为||AB =，所以AB AP ⋅ 取得最小时， 点P 在AB,P B 重合，这说明曲线:C e axy =在点(0,1)B 处的切线与AB垂直，所以0'e 1axx x y a a =====.20.答案（1）①②，（2）0a a e >≤-或. 分析：（1）在0x ≠时1()f x x=有解即函数具有性质P ，① 解方程12x x-+，有一个非0 实根；② 作图可知；③作图或解方程均可.（2）()ln f x a x =具有性质P ，显然0a ≠，方程1ln x x a=有根， 因为()ln g x x x =的值域为1[,)e -+∞,所以11a e≥-, 解之可得0a >或a e ≤-.【理】21.答案：__①③__.分析：可得2()sin f x x x =是奇函数，只需考查01x <≤时的性质，此时2,sin y x y x ==都是增函数，可得2()sin f x x x =在[0,1]上递增，所以2()sin f x x x =在[1,1]-上单调递增。
高三数学高考前查漏补缺题理B试题
2021年高考数学考前查漏补缺题 〔理 科〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
说明：⒈ 本训练题由中学数学教学研究会高三中心组组织编写，一共28题，分为A ，B 两组，其中B 组题较难．⒉ 本训练题仅供本高三学生考前查漏补缺用，希望在5月31日之前完成．3．本训练题与高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上互相配套，互为补充．四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法．因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间是，对这四套试题进展一次全面的回忆总结，同时，将高中数学课本中的根本知识〔如概念、定理、公式等〕再复习一遍．希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！B 组25、设正项数列{}n a 对一切正整数n 均有2121n n a a +=-，假如1cos 2a α=，(0,]8πα∈．〔1〕求2a ，3a 的值；〔2〕求数列{}n a ()n *∈N 的通项公式；〔3〕设数列{}n a 前n 项之积为n T ，试比拟n T 与2π的大小，并证明你的结论．26、函数()(0)1xf x x x=>+，设()f x 在点(,())(n f n n ∈N *〕处的切线在y 轴上的截距为n b ，数列{}n a 满足：111,()(2n n a a f a n +==∈N *〕． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕在数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n nn a a b λ2中，仅当5=n 时，n n n a a b λ+2取最小值，求λ的取值范围； 〔3〕令函数2()()(1)g x f x x =+，数列{}n c 满足：112c =，1()(n n c g c n +=∈N *〕，求证：对于一切2≥n 的正整数，都满足：2111111121<++++++<nc c c ．27、定义在R 上的函数()f x 满足：5(1)2f =，且对于任意实数x y 、，总有()()()()f x f y f x y f x y =++-成立． 〔1〕求(0)f 的值，并证明函数()f x 为偶函数； 〔2〕假设数列{}n a 满足2(1)()(1,2,3,)n a f n f n n =+-=，求证：数列{}n a 为等比数列；〔3〕假设对于任意非零实数y ，总有()2f y >．设有理数12,x x 满足12||||x x <，判断1()f x 和2()f x 的大小关系，并证明你的结论．28、 f 〔x 〕= a x 2+ bx + c 〔a > 0 且 b ≠0〕．〔1〕假设 | f 〔0〕| = | f 〔1〕| = | f 〔－1〕| = 1，试求 f 〔x 〕的解析式和 f 〔x 〕的最小值；〔2〕f 〔x 〕的对称轴方程是x = 1，当 f 〔x 〕的图象在 x 轴上截得的弦长不小于 2 时，试求 a 、b 、c 满足的条件；〔3〕假设| f 〔0〕|≤1，| f 〔1〕|≤1，| f 〔－1〕|≤1，证明：当 x ∈ [－1，1] 时，有 | f 〔x 〕|≤54．B 组25、解：〔1〕依题意：22cos 221a α=-，那么22221cos 22cos a αα=+=，222cos a α=，而(0,]8πα∈，又0n a >，所以2cos a α=，同样可求得3cos2a α=．〔2〕猜想2cos2n n a α-=，(n ∈N*〕，下用数学归纳法证明〔略〕．〔3〕2n T π>． 证明：∵(0,]8πα∈，那么321cos 2cos,cos cos,,cos cos 04222n n ππαπαα-+≥≥⋅⋅⋅≥>，那么n T 234134112coscos cos cos 2222coscoscos cos 42222sin 2n n n n n πππππππππ+++⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅=11sin 122sin2sin22n n n n πππ++==．()sin g x x x =-，(0,)2x π∈，那么()cos 10g x x '=-<，那么()g x 为(0,)2π上的减函数，∴()(0)g x g <，故(0,)2x π∈时，sin x x <， 而1(0,)24n ππ+∈，∴110sin 22n n ππ++<<， ∴1102sin 2222n n n n πππ++<<⨯=，∴1122sin2n n ππ+>，即2n T π>．26、解：〔1〕()(0)1xf x x x=>+，那么1()1n n n n a a f a a +==+，得1111+=+n n a a ，即1111=-+nn a a ， ∴数列}1{n a 是首项为2、公差为1的等差数列，∴11n n a =+，即11+=n a n ． 〔2〕21[()](1)f x x '=+，∴函数()f x 在点(,())(n f n n ∈N *〕处的切线方程为：21()1(1)n y x n n n -=-++，令0=x ，得222)1()1(1n n n n n n b n +=+-+=． 2222(1)()24n n n b n n n a a λλλλλ∴+=++=++-，仅当5=n 时获得最小值， 只需5.525.4<-<λ，解得911-<<-λ，故λ的取值范围为)9,11(--．〔3〕2()()(1)(1)g x f x x x x =+=+，故)1()(1n n n n c c c g c +==+，又 0211>=c ，故0>n c ，那么n n n n n c c c c c +-=+=+111)1(111，即11111+-=+n n n c c c ． ∴1212231111111111()()()111n n n c c c c c c c c c ++++=-+-++-+++=21211111<-=-++n n c c c ． 又74324311211111111111112121+=+++=+++≥++++++c c c c c n 12126>=， 故2111111121<++++++<nc c c ．27、〔1〕令1,0x y ==，()()()()1011f f f f ∴⋅=+，又5(1)2f =，()02f ∴=． 令0x =，∴(0)()()()f f y f y f y =+-，即2()()()f y f y f y =+-．∴()()f y f y =-对任意的实数y 总成立， ()f x ∴为偶函数．〔2〕令1x y ==，得 ()()()()1120f f f f =+，∴25(2)24f =+，∴17(2)4f =．∴11752(2)(1)622a f f =-=-=． 令1,1x n y =+=，得(1)(1)(2)()f n f f n f n +=++，∴5(2)(1)()2f n f n f n +=+- ()()()()()()()152212114122n a f n f n f n f n f n f n f n +⎡⎤∴=+-+=+--+=+-⎢⎥⎣⎦2[2(1)()]2(1).nf n f n a n =+-=∴{}n a 是以6为首项，以2为公比的等比数列．〔3〕结论：12()()f x f x <．证明：设0y ≠，∵0y ≠时，()2f y >，∴()()()()2()f x y f x y f x f y f x ++-=>，即()()()()f x y f x f x f x y +->--． ∴令x ky =〔k ∈*N 〕，故k ∀∈*N ，总有[(1)]()()[(1)]f k y f ky f ky f k y +->--成立． ∴[(1)]()()[(1)][(1)][(2)]()(0)0f k y f ky f ky f k y f k y f k y f y f +->-->--->>->．∴对于k ∈*N ，总有[(1)]()f k y f ky +>成立． ∴对于,m n ∈*N ，假设n m <，那么有()()f ny f my <<成立．∵12,x x ∈Q ，所以可设121212||,||q qx x p p ==，其中12,q q 是非负整数，12,p p 都是正整数， 那么1212121212||,||q p p q x x p p p p ==，令121y p p =，1212,t q p s p q ==，那么,t s ∈*N ． ∵12||||x x <，∴t s <，∴()()f ty f sy <，即12(||)(||)f x f x <．∵函数()f x 为偶函数，∴1122(||)(),(||)()f x f x f x f x ==．∴12()()f x f x <．28、解：〔1〕∵f 〔1〕－f 〔－1〕=a + b + c 〕－〔a －b + c 〕= 2b ≠ 0 ，∴ f 〔1〕≠ f 〔－1〕，∴⎩⎨⎧ a + b + c = 1 a －b + c = －1 或者 ⎩⎨⎧ a + b + c = －1 a －b + c = 1 ，解得 ⎩⎨⎧ a + c = 0b = ±1． ∵a > 0 ，∴c < 0 ． ∵ | f 〔0〕| = | c | = 1，∴c =－1 ，a = 1． ∴f 〔x 〕= x 2+x －1 或者 f 〔x 〕= x 2－x －1 ．∵当b =1时，f 〔x 〕= x 2+x －1=〔x +12 〕2－54 在x=－12 处获得最小值－54 ；当b =－1时，f 〔x 〕= x 2－x －1=〔x －12 〕2－54 在x=12 处获得最小值－54 ．∴无论b =1还是b =－1，f 〔x 〕的最小值都为－54 ．〔2〕∵a > 0，∴y = f 〔x 〕是开口向上的抛物线．依题意得1,2(1)0,(0)0.b a f a bc f c ⎧-=⎪⎪=++<⎨⎪=≤⎪⎩∴a 、b 、c 满足的条件为2,,0.b a c a c =-⎧⎪<⎨⎪≤⎩〔3〕证明：∵⎩⎪⎨⎪⎧ f (0) = cf (1) = a + b + c f (－1) = a －b + c，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ a = 12 [ f (1) + f (－1)－2 f (0)] b = 12 [ f (1)－f (－1)] c = f (0) ． ∴ f 〔x 〕= 12 [ f 〔1〕+ f 〔－1〕－2 f 〔0〕] x 2+ 12[ f 〔1〕－f 〔－1〕] x + f 〔0〕= 12 〔x 2 + x 〕f 〔1〕+12〔x 2－x 〕f 〔－1〕+〔1－x 2〕f 〔0〕 ∴| f 〔x 〕|=|12 〔x 2 + x 〕f 〔1〕+12〔x 2－x 〕f 〔－1〕+〔1－x 2〕f 〔0〕|≤|12 〔x 2 + x 〕f 〔1〕|+|12〔x 2－x 〕f 〔－1〕|+|〔1－x 2〕f 〔0〕|≤|12 〔x 2 + x 〕|+|12〔x 2－x 〕|+|1－x 2| ∵当－1<x <1且0x 时，12 〔x 2 + x 〕与 12〔x 2－x 〕异号，∴|12 〔x 2 + x 〕|+|12 〔x 2－x 〕|=|12 〔x 2 + x 〕－12 〔x 2－x 〕|=| x |． ∵－1≤x ≤1，∴| 1－x 2|=1－x 2．∴| f 〔x 〕|≤| x |+〔1－x 2〕=－〔| x |－12 〕2+54 ≤54．本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
高三数学查漏补缺题及参考答案
高三数学查漏补缺题2018.5【集合与简易逻辑】1．已知集合{}lg(1)0M x x =∈-Z ≤，{}2N x x =∈<Z ，则MN =( )A ．∅B ．(1,2)C ．(2,2]-D ．{}1,0,1,2-2. 给出下列命题：①若命题p ：x R ∃∈，使得210,x x +-<则:,p x R ⌝∀∈均有210;x x +-≥②命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320,2x x x -+=≠则”； ③若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则命题,p q 一真一假， 其中正确命题的序号是（ ）A. ①②B.②③C.①③D. ①②③3. 下列条件中是“22530x x --<”的必要不充分条件的是（ ）A. 132x -<< B. 142x -<< C. 132x -<<D. 102x -<< 1. 答案：D 2.答案：C 3.答案：B 【复数】1. 如果复数 222(32)z a a a a i =+-+-+为纯虚数，那么实数 的值为A.B.C.D. 或2．在复平面内，复数132+对应的点为Z ，将点Z 绕原点逆时针旋转90︒后得到点Z '，则Z '对应的复数是A ．132-B ．132C ．31i 2+D 31i 2-3. 设a b ∈R ，，11712ia bi i-+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为_______．1. 答案：C2.答案： C3.答案：8 【极坐标系与参数方程（理科）】1．已知直线(t 为参数)与曲线交于P,Q 两点，则=( ) A ．1B ．C ．2D ．2. 在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a 相交于,A B 两点.若AOB 是等边三角形，则a 的值为___________.1.答案：C2.答案：3【不等式与线性规划】1. 已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2m c =，那么,,a b c 之间的大小关系为（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<2. 设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．2m ≠ B ．0m >且2m ≠ C ．2m >D ．2m ≥3. 若441xy+=，则x y +的取值范围是________.4. 设D 为不等式组0,0,+33x y x y x y ≥-≤≤+⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，对于区域D 内除原点外的任一点(,)A x y ，则：(1)z=2x －y 的最小值为_______；22x y+的取值范围是 ．1.答案：C2.答案：A3.答案：(,1]-∞-4.答案：(1)92-；(2)[2,0].【数列】1. 设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）.A.若120a a +>，则230a a +>B.若130a a +<，则120a a +<C.若120a a <<，则213a a a >D.若10a <，则()()21230a a a a -->2. 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大.3. 已知数列{}n a 的前n 项和13n n S a =+，则数列的通项公式为_______.4. 已知数列{}n a ,22a =,*13,n n a a n n N ++=∈,则135a a a ++=_______.5. 已知数列{}n a 满足：点(),n n a 在直线210x y -+=上，若使1a 、4a 、m a 构成等比数列，则m =_______.1.答案：C2.答案：83.答案：132n n n a -=- 4.答案：12 5.答案：13【平面向量】1．设向量a,b 不平行，向量+λa b 与+2a b 平行，则实数λ= ． 2. 设π02θ<<，向量()()sin 2,cos ,cos ,1θθθ==a b ，若//a b ，则=θtan _______. 3. 设向量()3,3=a ，()1,1=-b ，若()()λλ+⊥-a b a b ，则实数λ=________.4. 如下图所示，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB =，2·I OB OC =，3·I OC OD =，则（ ） A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<15414Oyx1.答案：12； 2.答案：123.答案：±34.答案：C【程序框图】1. 如图所示的程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和白框中，可以分别填入（ ） A ．A > 1 000和n =n +1 B ．A > 1 000和n =n +2 C ．A ≤1 000和n =n +1 D ．A ≤1 000和n =n +2 答案：D 【三角函数】1．已知角α的终边经过点(),3P m -，且4cos 5α=-，则m 等于__________． 2. 函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）.A ．13,44k k ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭，k ∈ZB ．132,244k k ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭，k ∈ZC ．13,44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z D ．132,244k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z1.答案：4-2.答案：D3. 已知函数.()cos22sin 2sin 4xf x x x π=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其单调增区间;（Ⅱ）当2,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,对任意,t ∈R 不等式()22mt mt f x -+≥恒成立,求实数m 的取值范围.解答：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{|,}4x x k k ππ≠-+∈Z ，因为()22sin c cos2cos sin 2sin 2sin o 4s x x xf x x x x x x π-=+=+⎛⎫+ ⎪⎝+⎭sin cos 4x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以，最小正周期222,1T πππω=== 因为sin y x =的单调递增区间为2[2,2]()2k k k ππππ-++∈Z ，令22242k x k πππππ-+≤+≤+，得32244k x k ππππ-+≤≤+． 又因为()f x 的定义域为{|,}4x x k k ππ≠-+∈Z ，所以()f x 的递增区间为()32,2,2,2.4444k k k k k ππππππππ⎡⎫⎛⎤-+-+-++∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦Z（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以，当2x π=时，max ()()12f x f π==，所以，221mt mt -+≥恒成立，即210mt mt -+≥恒成立． ①当m =0时，上式变为1≥0，恒成立； ②当0m ≠时，若上式对于t ∈R 恒成立，只需m ＞0且240m m ∆=-≤成立，解得04m <≤．综上, m 的取值范围是0 4.m ≤≤【解三角形】1. 在ABC △中,内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ，已知2=c ，3π=C ．（Ⅰ）若ABC △的面积3=S ,则a =_______,b =_______；（Ⅱ）若ABC △有且仅有一解，则a 的取值范围是_______．答案：（Ⅰ）2，2；（Ⅱ）43(0,2]{}32. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.答案：63. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos cos a B b C c B -=．（Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若121()cos 2cos 232f x x x =-+，求()f A 的取值范围． 解答：（Ⅰ）法一：因为 sin cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得 sin sin sin cos sin cos A B B C C B -=． 即sin sin sin cos cos sin A B C B C B =+，所以sin()sin sin C B A B +=．因为在△ABC 中，A B C ++=π，所以sin sin sin A A B = 又sin 0A ≠， 所以sin 1B =，2B π=． 所以 △ABC 为2B π=的直角三角形． 法二： 因为 sin cos cos a B b C c B -=，由余弦定理可得 222222sin 22a b c a c b a B b c ab ac+-+-=⋅+⋅，即sin a B a =．因为0a ≠， 所以sin 1B =．所以在△ABC 中，2B π=． 所以 △ABC 为2B π=的直角三角形． （Ⅱ）因为121()cos 2cos 232f x x x =-+22cos cos 3x x =- =211(cos )39x --． 所以 211()(cos )39f A A =--． 因为△ABC 是2B π=的直角三角形，所以 02A π<<，且0cos 1A <<， 所以 当1cos 3A =时，()f A 有最小值是19-． 所以()f A 的取值范围是11[,)93-．【排列组合与二项式定理】1. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_______.（用数字作答）*2. 某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查．若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（ ） A ．48B ．72C ．84D ．1683. 已知5(1)ax +的展开式中3x 的系数是10，则实数a 的值是_______.4.若1)n x的二项展开式中各项的二项式系数之和是64，则n =_______，展开式中的常数项为_______．（用数字作答）1.答案：962.答案：D3.答案：14.答案：6，15 【概率统计】1. 某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为______的学生．答案：37（注：仅以此例补漏抽样方法，分层抽样不再补例．）2. 了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“>”连接）答案：1s ＞2s ＞3s3．某公司为了解用户对其产品的满意度，从,A B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82元乙元丙甲元93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.解答：（Ⅰ）由题意知，两地区用户满意度评分的茎叶图如下.通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散.（Ⅱ）记1A C 为事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”，记2A C 为事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”，记1B C 为事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”. 记2B C 为事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”.则1A C 与1B C 相互独立，2A C 与2B C 相互独立，1B C 与2B C 互斥，于是：1122B A B A C C C C C =．所以1122()()B A B A P C P C C C C ==1122()()B A B A PC C P C C +1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由题知，1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的频率分别为1620，420，1020，820． 故1()A P C 16=20，2()=A P C 420，1()=B P C 1020，2()B P C 8=20， 故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=．即C 的概率为0.48. A 地区 B 地区45 6 7 8 96 8 1 3 6 4 32 4 5 5 6 4 23 34 6 9 6 8 8 6 4 3 3 2 1 9 2 8 65 11 37 5 5 2【立体几何】1. 已知a ，b 是两条不同直线，α，β 是两个不同平面，则A. a ∥α，a ⊥b ，则b ⊥αB. a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥αC. a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥βD. a∩b=A ，a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β，则α∥β 答案：D2. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中E 为棱1BB 的中点，用过点1,,A E C 的平面截该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ）答案：A3. 如图，在Rt △ABC 中，AB =BC =3，点E 、F 分别在线段AB 、AC 上，且EF //BC ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，使得二面角P -EF -B 的大小为60°.（Ⅰ）设平面PEB ∩平面PFC =直线m ，判断直线m 是否与直线CF 平行，并说明理由． （Ⅱ）若点E 为线段AB 的靠近B 点的三等分点，（ⅰ）求证：PB ⊥CF ；（ⅱ）求PC 与平面PEF 所成角θ的正弦值.解答：（Ⅰ）不平行．若不然，由m //CF ，m ⊂平面PEB ，CF ⊄平面PEB ，可知：CF //平面PEB . 又CF ⊂平面CFEB ，平面CFEB ∩平面PEB =BE ，所以，CF //BE . 与题设CF ∩BE =A 矛盾．（Ⅱ）（ⅰ）证明：在Rt △ABC 中， 3==BC AB ，AB BC ⊥∴．//EF BC ，AB EF ⊥∴．翻折后垂直关系没变，仍有EF PE ⊥,BE EF ⊥． 又PEBE E =，PBE EF 平面⊥∴．∵EF ⊂平面BCFE ，∴平面BCFE ⊥平面PBE ．AE EF ⊥,BE EF ⊥PEB ∠∴二面角P EF B --的平面角， 60=∠∴PEB ，又1,2==BE PE ,由余弦定理得3=PB , 222PE EB PB =+∴,EB PB ⊥∴．又∵平面BCFE ⊥平面PBE ，平面BCFE ∩平面PBE =BE ， ∴PB ⊥平面BCFE ．∵CF ⊂平面BCFE ，∴PB ⊥CF ． （ⅱ）由（ⅰ）知，PB ，BC ，BE 两两垂直．以点B 为原点，分别以BC 、BE 、BP 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系B -xyz ，如图．则),3,0,0(P ),0,0,3(C (0,1,0),E ),0,1,2(F(0,1,3),(2,1,3)PE PF =-=-.设平面PEF 的法向量(,,),x y z =n由0PE PF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得(0,3,1),=n ),3,0,3(-=PC设PC 与平面PEF 所成的角为θ，则sin cos ,PC PC PCθ⋅===⋅n n n 41，即PC 与平面PEF 所成的角的正弦值为41．【函数与导数】1. 设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞）D ．[0，+∞）答案：D2. 已知函数2()24f x ax ax =++()03a <<，若12x x <，且121x x a +=-，试比较1()f x 与2()f x 的大小关系. 答案：1()f x <2()f x3. 已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则()6f π=（ ） A. 23- B. 23 C. －12 D. 12答案：B*4. 已知函数()37sin f x x x x =--+，若()()220f af a +->，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),1-∞ B. (),3-∞ C. ()1,2- D. ()2,1- 答案：D*5. 已知函数()2ln xf x e x x =++与函数()22xg x ex ax -=+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (],e -∞-B. 1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. (],1-∞-D. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦答案：C*6. 给出下列四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2xy x =⋅. 这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A. ①④②③B. ①④③②C. ④①②③D. ③④②①答案：A*7．设函数(),a f x x x=-①若()f x 在区间[)1,+∞上不单调,实数a 的取值范围是______；②若1,a =且()()0f mx mf x +<对任意[)1,x ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围_______.答案：(,1)-∞-；(,1)-∞-8. 已知函数()(1)xf x x a e =--：（Ⅰ）若函数的最小值为-1，求实数a 的值；（Ⅱ）若12x x >，且有12+2x x a =，求证：12()()f x f x >.解答：（Ⅰ）定义域为 R ，因为'()()xf x x a e =-，令()0='x f ，得a x =当x 变化时，()x f '，()x f 变化如下表：所以a x =是函数()x f 极小值点，也是最小值点， 所以()1-=-=ae af ，解得0=a ；（Ⅱ）由题可知a x >1，并且有122x a x -=，1121211()()(1)(1)x a x f x f x x a e a x e --=-----，记2()(1)(1)x a xg x x a e a x e -=-----a x >， 2'()()()x a xg x x a e e -=--，当a x >时，2xa xe e->，即()0>'x g ，所以()x g 在区间()∞+，a 上单调递增，()()0=>a g x g 所以有()()21x f x f >，结论成立.9. 已知函数()e ()xf x x x -=∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >；（Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>．解答：（Ⅰ）f '()(1)xx x e -=- 令()0f x '=，解得1x =当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在（1-∞，）内是增函数，在（1+∞，）内是减函数．函数()f x 在1x =处取得极大值(1)f ，且(1)f =1e． （Ⅱ）由题意可知()(2)g x f x =-，得2()(2)ex g x x -=-．令()F x =()f x ()g x -，即2()e(2)e xx F x x x --=+-．于是22'()(1)(e 1)e x x F x x --=--．当1x >时，220x ->，从而22e 10x -->，又e 0x ->，所以()0F x '>，从而函数()F x 在[1，+∞）上是增函数．又(1)F =11e e 0---=，所以1x >时，有()f x >(1)F =0，即()f x >()g x ．（Ⅲ）（1）若12(1)(1)0x x --=，由（Ⅰ）及12()()f x f x =，得121x x ==，与12x x ≠矛盾．（2）若12(1)(1)0x x -->，由（Ⅰ）及1212()()f x f x x x ==得，，与12x x ≠矛盾．根据（1）（2）得1212(1)(1)01 1.x x x x --<<>不妨设，，由（Ⅱ）可知，2()f x >2()g x ，2()g x =2(2)f x -，所以2()f x >2(2)f x -，从而1()f x >2(2)f x -．因为21x >，所以221x -<， 又由（Ⅰ）可知函数()f x 在区间（1-∞，）内是增函数，所以1x >22x -，即12x x +>2．10. 已知函数2()()e x f x x a =-，a ∈R ． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若在区间1,2上存在不相等的实数,m n ,使()()f m f n 成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，求证：212()()4e f x f x -<.解答：（Ⅰ）当0a =时，2()e x f x x =，2()e (2)x f x x x '=+． 由2e (2)0xx x +=，解得0x =，2x =-. 当(,2)x ∈-∞-时，f '(x )＞0，f (x )单调递增； 当(2,0)x ∈-时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当(0,)x ∈+∞时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．所以函数()f x 的单调增区间为(,2)-∞-，(0,)+∞，单调减区间为(2,0)-．（Ⅱ）依题意即求使函数2()e ()x f x x a =-在1,2上不为单调函数的a 的取值范围.2()e (2)x f x x x a '=+-.设2()2g x x x a =+-，则(1)3g a ，(2)8g a .因为函数()g x 在1,2上为增函数，当(1)30(2)80g a g a，即当38a 时，函数()g x 在1,2上有且只有一个零点，设为0x . 当0(1,)x x 时，()0g x <，即()0f x ，()f x 为减函数；当0(,2)xx 时，()0g x >，即()0f x ，()f x 为增函数，满足在1,2上不为单调函数. 当3a时，(1)0g ，(2)0g ，所以在1,2上()g x 0成立（因()g x 在1,2上为增函数），所以在1,2上()0f x '>成立，即()f x 在1,2上为增函数，不合题意. 同理8a 时，可判断()f x 在1,2上为减函数，不合题意.综上38a .(Ⅲ) 2()e (2)x f x x x a '=+-．因为函数()f x 有两个不同的极值点，即()f x 有两个不同的零点，即方程220x x a的判别式440a ∆=+>，解得1a >-.由220x x a +-=，解得1211x x =-=-．此时122x x +=-，12x x a =-.随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以1是函数的极大值点，2是函数的极小值点.所以1()f x 为极大值，2()f x 为极小值．所以12221212()()e ()e ()xxf x f x x a x a =-⨯-12222221212=e[()]x x x x a x x a +-++{}1222222222121212=e [()2]=e [(42]=4e .x x x x a x x x x a a a a a a +---+-+-++-）因为1a >-，所以224e 4e a ---<．所以212()()4e f x f x -<．【解析几何】1. 直线023cos =++y x α的倾斜角的取值范围是 .答案:50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭2. 已知直线062=++y a x 与直线023)2(=++-a ay x a 平行，则a 的值为（ ） A.0或3或1- B.0或3 C.3或1-D.0或1-答案：D3. 已知直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,P p ，则m n p -+的值是（ ）A ．24B ．20C ．0D ．－4答案：B4.已知点()0,2A ,()2,0B . 若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC △的面积为2的点C 的个数为 答案；45. 在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.答案；12[0,]56. 已知抛物线C : 24 y x =焦点为F ，点P 在C 上的动点，(1,0)A -，则minPF PA ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭ 答案：2*7. 若圆2244100x yx y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A .[,124ππ] B .[5,1212ππ] C .[,]63ππD .[0,]2π答案：B*8. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_______. 答案：439. 已知椭圆W ：22221x y a b+=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W 的左、右焦点，且12120F BF ∠=．（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求 OEG ∠的大小．解答：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BFO ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =． 所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ． 因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=． 令1y =-，得C 0(,1)1x y --．又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点， 所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2xOE y =，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-．因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++- 2220000044(1)x x y y y =-++-20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=所以OE GE ⊥．90OEG ∠=︒．10. 在平面直角坐标系O x y 中，点000(,)(0)P x y y ≠在椭圆:C 2212x y +=上，过点P 的直线l 的方程为0012x xy y +=． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若直线l 与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点，试求OAB ∆面积的最小值；（Ⅲ）设椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 与点1F 关于直线l 对称，求证：点2,,Q P F 三点共线．解答：（Ⅰ）依题意可知a =1c ==， 所以椭圆C离心率为2e ==． （Ⅱ）因为直线l 与x 轴，y 轴分别相交于,A B 两点，所以000,0x y ≠≠．令0y =，由0012x xy y +=得02x x =，则02(,0)A x ．令0x =，由0012x xy y +=得01y y =，则01(0,)B y ． 所以OAB ∆的面积0000112122OAB S OA OB x y x y ∆===． 因为点00(,)P x y 在椭圆:C 2212x y +=上，所以220012x y +=．所以220012x y =+≥．即002x y ≤，则001x y ≥所以00112OAB S OA OB x y ∆==≥ 当且仅当22002x y =，即001,2x y =±=±时，OAB ∆．（Ⅲ）①当00x =时，(0,1)P ±．当直线:1l y =时，易得(1,2)Q -，此时21F P k =-，21F Q k =-．因为22F Q F P k k =，所以三点2,,Q P F 共线． 同理，当直线:1l y =-时，三点2,,Q P F 共线．②当00x ≠时，设点(,)Q m n ，因为点Q 与点1F 关于直线l 对称，所以000011,22202() 1.1212x m n y n x m y -⎧⋅+⋅=⎪⎪⎪⎨-⎪⋅-=--⎪+⎪⎩整理得000000240,220.x m y n x y m x n y +--=⎧⎨-+=⎩解得220002200000220044,448.4x x y m y x x y y n y x ⎧+-=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩所以点22000000222200004448(,)44x x y x y y Q y x y x +-+++． 又因为200(1,)F P x y =-，220000002222200004448(1,)44x x y x y y F Q y x y x +-+=-++， 且 22200000000000002222220000004448(48)(48)(1)(1)(1)444x x y x y y x y x x y x y y x y x y x +-+--+--⋅-⋅-=⋅+++2200000220048(448)4x y x x y y x --+-=⋅+2200022008484y x y y x --+=⋅+ 220000222200004(2)8428044y x y y y x y x -++-⨯+=⋅=⋅=++． 所以2//F P 2F Q ．所以点2,,Q P F 三点共线． 综上所述，点2,,Q P F 三点共线．11. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,1(F ，M 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，且△OMF 是等腰直角三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点， 且使点F 为△PQM 的垂心(即三角形三条高线的交点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解答：（Ⅰ）由△OMF 是等腰直角三角形，得1=b ，22==b a ，故椭圆方程为1222=+y x ． （Ⅱ）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 为△PQM 的垂心，设),(11y x P ，),,(22y x Q 因为)1,0(M ，)0,1(F ，故1=PQ k ．于是设直线l 的方程为m x y +=，由⎩⎨⎧=++=,22,22y x m x y 得0224322=-++m mx x ． 由0>∆，得32<m ， 且3421mx x -=+,322221-=m x x ．由题意应有0=⋅FQ MP ，又1122(,1),(1,)MP x y FQ x y =-=-，故0)1()1(1221=-+-y y x x ，得0)1)(()1(1221=-+++-m x m x x x ．即0)1)((222121=-+-++m m m x x x x ．整理得0)1(34322222=-+---⨯m m m m m ． 解得34-=m 或1=m ． 经检验，当1=m 时，△PQM 不存在，故舍去1=m ．当34-=m 时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为34-=x y ．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>．（Ⅰ）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若抛物线C 上存在相异两点P 和Q 关于直线l 对称，求p 的取值范围． 解答：（Ⅰ）因为直线:20l x y --=与x 轴的交点坐标为()2,0，所以抛物线的焦点为()2,0，所以22p=，故28y x =． （Ⅱ）法一：设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则由21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，得21122222y x p y x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+-， 又因为,P Q 关于直线l 对称，所以1PQ k =-，即122y y p +=-， 所以1212442x x y y p +=++=-，又2212122y y x x p++=，所以2221284y y p p +=-，故21244y y p p =-．所以，1y 、2y 是关于y 的方程222440y py p p ++-=的两相异实根， 因此()()2224440p p p ∆=-->，解得40,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．法二：设点()11,P x y ，()22,Q x y ，线段PQ 的中点()00,M x y ， 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为yx b =-+．由22y px y x b⎧=⎨=-+⎩消去x 得2220y py pb +-=，（*） 因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12y y ≠， 从而()()2224440p p p ∆=-->，化简得20p b +>．方程（*）的两根为21,22y p p pb =-±+，从而1202y y y p +==-． 因为()00,M x y 在直线l 上，所以02x p =-． 又因为()2,M p p --在直线y x b =-+上， 所以()2p p b -=--+，即22b p =-． 于是有()2220p p +->，所以43p <， 因此p 的取值范围为40,3⎛⎫⎪⎝⎭．13. 已知：,A B 在22y px =上，直线,OA OB 倾斜角为,αβ，且4παβ+=.证明直线AB 过定点. 分析：（1）条件4παβ+=如何代数化？tan()1αβ+=，tan tan 1tan tan αβαβ+=-，12121k k k k +=-（2）直线AB 的代数化22y kx by px=+⎧⎨=⎩ ， 1122(,),(,)A x y B x y 2220ky py bp -+=122p y y k +=，122bpy y k=(3)研究直线AB 的方程，也就是找,k b 之间的关系.关键条件：12121k k k k +=-121212121y y y y x x x x +=-，221212,22y y x x p p==，得2(1)b p k =+ 直线AB ：2(1)y kx p k =++(2)2y k x p p ∴=++，直线AB 过(2,2)p p -.。
2023年北京通州区高三查漏补缺数学试题及答案
通州区2023年高三年级查漏补缺试题数 学 试 卷 2023年5月本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，请将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合(){}lg 1A x y x ==-，{}||3B x Z x =∈<，则A B =（A ）(1,3) （B ）[1,3)（C ）{2} （D ）{1，2}（2）已知复数：2(12)z i =-，则z 在复平面内对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（3）设ln 0.2a =，e 0.2b =，0.2e c =，则（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c b a << （D ）b c a << （4）若6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++，则246++=a a a（A ）64 （B ）33 （C ）32（D ）31（5）数列{n a }中，21=a ，42=a ，n n n a a a =+-11（2≥n ），则=2023a（A ）14（B ）12 （C ）2（D ）4（6）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，则“10a >” 是“{}n S 是递增数列”的（A ）充分而非必要条件 （B ）必要而非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）已知1F ，2F 分别为双曲线：()222210,0y xa b a b-=>>的上，下焦点，点P 为双曲线渐近线上一点，若12PF PF ⊥，121tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率为 （A ）53（B ）54 （C ）45（D ）35（8）等腰三角形的屋顶，是我国古代建筑中经常采用的结构形式．一般说来等腰三角形底边是一定值，假设雨水与屋顶面间摩擦阻力不计，要使雨水从屋顶上流下所需的时间最短，等腰三角形的底角应设计为（A ）︒30 （B ）︒45 （C ）︒60 （D ）︒72（9）过直线y ＝x 上的一点P 作圆(x －5)2＋(y －1)2＝2的两条切线l 1，l 2，切点分别为A ，B ，当直线l 1，l 2关于y ＝x 对称时，线段P A 的长为（A ）4 （B ） （C （D ）2 （10）函数f (x )的定义域为D ，若存在闭区间[a ,b ]⊆D ，，使得函数f (x )同时满足：f (x )在[a ,b ]上是单调函数且f (x )在[a ,b ]上的值域为[ka ,kb ](k >0)，则称区间[a ,b ]为f (x )的“k 倍值区间”．现有如下四个函数: ①1()x f x e =,②22()f x x =,③3()ln 1f x x+=（）, ④4()sin (,)22f x x x ππ=∈-.那么上述四个函数中存在“2倍值区间”的有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市海淀区高三下学期查缺补漏试题数学
2023届高三数学查漏补缺题一、选择题部分1． 已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（ ）,a b ||-<a b <>,a bA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 数列的前n 项和为，且，则“”是“”的（ ）{}n a n S 2n S n n a =-+0a =3242a a a =+A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3． 已知数列满足，，若，则（ ）{}n a 12a =m n m n a a a +=+1210310k k k a a a ++++++= k =A ．10B ．15C ．20D ．254.已知是首项为正数，公比不为的等比数列，是等差数列，且，那么（ ） {}n a 1±{}n b 1155,a b a b ==A. B.33a b >33a b =C.D. 的大小关系不能确定33a b <33,a b5. 已知直线，曲线，则“l 与C 相切”是“”的（ ）:0l x y t ++=:C y =t =-A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知点,．若点在函数的图象上，记的面积为，则使得(0,2)A (1,0)B -00(,)C x y 2y x =ABC △0()S x 的点的个数为（ ）0()(1)S x S =C A ．4 B ．3C ．2D ．17.过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于A , B 两点,若F 是线段AB 的中点,则|AB |= （ ）24y x =A. 1B.2C.3D.48.已知点M (2,0),点P 在曲线上运动,点F 为抛物线的焦点,则的最小值为（ ）24y x =2||||1PM PF -A.B.2(-1)C.4D.4 3559. 设，则“是第一象限角”是“”的（ ）α∈R αsin cos 1αα+>A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 若角,是锐角三角形的两个内角，则 “”是“”的 （ ）αβcos sin αβ<sin cos αβ>A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 11. 函数，则（ ）()cos()sin()f x x a x b =+++A. 若，则为奇函数 B. 若，则为偶函数0a b +=()f x 2a b π+=()f x C.若，则为偶函数 D.若，则为奇函数2b a π-=()f x a b π-=()f x 12. 函数，则“对任意的实数，”是“”的（ ）()cos cos 2f x a x x =+x ()3f x ≤2a ≤A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13. 已知,故“存在使得”是“”的（ ）,αβ∈R k ∈Z (1)k k αβ=π+-sin sin αβ=A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14. 已知则“”是“”的（ ）,αβ∈R sin()sin 2αβα+=()k k βα=+π∈ZA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件15. 在中，, ，则“”是“（ ）ABC △3A π∠=2BC =2AB =ABC △A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题部分16. 与双曲线渐近线相同，且一个焦点坐标是的双曲线的标准方程是 .221169x y -=(0,5)17. 已知分别是双曲线的左右焦点，P 是C 上的一点，且, 11,F F 222:1(0)9x y C a a -=≠12||2||16PF PF ==则的周长是__________.12PF F △18. 已知平面向量满足，则向量与夹角的最大值是 .,a b |||1==a b +a b -a b 19. 如图，是半径为3的圆O 的两条直径，,BC DE ，则__________.2BF FO =FD FE ⋅=20. 函数在的图象如图所示. 则()f x =cos (x ω+6π)[,]ππ-①的最小正周期为 ；()f x ②距离轴最近的对称轴方程__________.y21. 将函数且的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，再将所得图()sin cos (,f x a x b x a b =+∈R 0)b ≠12象向左平移个单位长度后，得到一个偶函数图象，则__________.6πa b=22. 设函数 2,1,()(2)1, 1.x a x f x a x x -+≤⎧=⎨--+>⎩① 若，则的单调递增区间是_________； 2a =()f x ② 若的值域为R ，则的取值范围是_________.()f x a 23. 已知函数有2个零点，且过点，则常数的一个取值为_______. 22,,()(0)ln ,.x x x t f x t x x t ⎧+≤=>⎨>⎩(e,1)t 24. 已知数列的前n 项和为，，则_______.{}n a n S ()1121nn n a a n ++-=-8S =25. 设等差数列的前n 项和为，若，，，则公差；____.{}n a n S 13m S -=-2m S =-10m S +=d =m =26. 设函数()cos 1cos 202()cos cos 2.2a x x x f x a x x x π⎧-+≤≤⎪⎪=⎨π⎪-+<≤π⎪⎩,,,①当时，的值域为____________；1a =()f x ②若恰有2个解，则的取值范围为____________.()f x a =a 27. 已知平面直角坐标系中的点集，给出下列四个结论：222{(,)|()()4||,}S x y x k y k k k =-+-=∈Z ①当直线l 为时，l 与S 没有公共点； 2y x =-②存在直线l 与S 有且只有一个公共点； ③存在直线l 经过S 中的无穷个点；④存在直线l 与S 没有公共点，且S 中存在两点在l 的两侧. 其中所有正确结论的序号是________. 三、三角函数解答题部分28．已知函数的部分图象如图所示.()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（Ⅰ）直接写出的值；ω（Ⅱ）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数在区间()f x 上的最小值.,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦条件①：直线为函数的图象的一条对称轴； 712x π=()y f x =条件②：为函数的图象的一个对称中心,03π⎛⎫⎪⎝⎭()y f x =29．在△ABC ． ππcos 66B B ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅰ）求B 的值； （Ⅱ）给出以下三个条件：①；②；③22230a b c c -++=a =1b =ABC S =△若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题： （ⅰ）求的值；sin A （ⅱ）∠ABC 的平分线交AC 于点D ，求线段BD 的长．30. 设函数（是常数，）. 若在区间上具有单()sin()f x A x ωϕ=+,,A ωϕ0,0,||2A πωϕ>><()f x [,]62ππ调性，且，(0)(()62f f f ππ==-=（Ⅰ）直接写出的解析式； ()f x （Ⅱ）求的单调递减区间； ()f x （Ⅲ）已知，求函数在上的值域.()=2sin +(+)12g x x f x π()g x [0,]2π四、立体几何解答题部分31. 如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，AD ＝2， AA 1＝A 1D.（Ⅰ）求证：A 1D ⊥AB ； （Ⅱ）若.12AA =（ⅰ）求直线与直线所成角的余弦值； 1AB 11A D （ⅱ）求点到平面的距离；A 11A C D （ⅲ）设点为线段上任意一点（不包含端点），证明：直线与平面相交。
2013年海淀区高三查漏补缺题及答案理科数学
俯视图65左视图主视图562013年高三数学查漏补缺题理科 2013年5月 1.函数cos(4)3y x π=+图象的两条相邻对称轴间的距离为A.π8 B. π4 C.π2D.π 2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A ．e x y =B ．sin 2y x =C ．3y x =-D ．12log y x =3.若向量,a b 满足||||2==a b ，且6⋅+⋅=a b b b ，则向量,a b 的夹角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4.已知函数()sin f x x x =，则π()11f ，(1)f -，π3f -（）的大小关系为A ．ππ()(1)()311f f f ->-> B ．ππ(1)()()311f f f ->->C ．ππ()(1)()113f f f >->-D ．ππ()()(1)311f f f ->>-5.某空间几何体三视图如右图所示，则该几何体的表面积为_____, 体积为_____________.6.设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：① 若//,//,αβαγ 则//βγ ②若αβ⊥，//m α，则m β⊥③ 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ ④若//,m n n α⊂，则//m α 其中所有真命题的序号是_____7.设不等式组202400x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，若直线2x y b +=上存在区域D 上的点，则b 的取值范围是_____.8.已知不等式组02,20,3240x x y x y ≤≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域为W ，则W 的面积是_____；设点(,)P x y W ∈，当22x y +最小时，点P 坐标为_____．9. 523)x +的展开式中的常数项为 10. 计算e 11(2)d x x x+=⎰ .11.若直线l 的参数方程为112x t y t =+⎧⎨=-⎩，，其中t 为参数，则直线l 的斜率为_______.12.如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ,PO 交圆O 于,B C 两点，1PA PB ==，则____,____.AB ACB =∠=13.如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ， 设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题： ①平面MENF ⊥平面BDD B ''；②四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数； ③四边形MENF 面积()S g x =，[0,1]x ∈是单调函数；④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中正确命题的个数（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 14.直线y ax b =+与抛物线2114y x =+相切于点P . 若P 的横坐标为整数，那么22a b +的最小值为 .15.已知数列{}n a 的前n 项和221, 4,(1), 5.n n n S n a n n ⎧-≤⎪=⎨-+-≥⎪⎩若5a 是{}n a 中的最大值，则实数a 的取值范围是_____.解答题部分：1.已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+- （I ）求()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()22Af =且2a bc =，试判断ABC ∆的形状.A BPCO2. 如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x轴的垂线与射线(0)y x =≥交于点Q ，与x 轴交于点M ．记MOP α∠=，且ππ(,)22α∈-．（Ⅰ）若1sin 3α=，求cos POQ ∠；（Ⅱ）求OPQ ∆面积的最大值.3. 已知函数π()cos2sin()12f x x a x =+-+,且π()14f =+（Ⅰ）求a 的值.（Ⅱ）求函数()f x 在区间 [0,π]上的最大和最小值.4.数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ,且对任意n N +∈，都有33332123n n a a a a S ++++= .（Ⅰ）求证：22nn n a S a =-； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.5. 已知正三角形ACE 与平行四边形ABCD 所在的平面互相垂直. 又90ACD ∠=，且2CD AC ==，点,O F 分别为,AC AD 的中点.(I) 求证：CF DE ⊥ (Ⅱ) 求二面角O DE C --值.6. 袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记ξ为摸出两球中白球的个数，求ξ的期望和方差.MFO E CDBA7. 已知函数21()6ln(2)2f x ax x =-++在2x =处有极值. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线y kx =与函数'()f x 有交点，求实数k 的取值范围.8. 已知函数()e (1)ax af x a x=⋅++，其中1a ≥-.（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若存在10x >，20x <，使得12()()f x f x <，求a 的取值范围.9. 设函数321()()3f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线的斜率分别为0,a -． （Ⅰ）求证：01ba<≤； （Ⅱ）若函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围．10. 已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设,M N 为椭圆C 上的两个动点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.11.如图，已知(3,0)(0)M m m ->，,N P 两点分别在y 轴和x 轴上运动，并且满足0MN NQ ⋅=，12NP PQ = .（Ⅰ）求动点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）若正方形ABCD 的三个顶点,A B C ,在点Q 的轨迹上， 求正方形ABCD 面积的最小值.12. 动圆过点(0,2)F 且在x 轴上截得的线段长为4，记动圆圆心轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程;（Ⅱ）已知,P Q 是曲线C 上的两点，且2PQ =，过,P Q 两点分别作曲线C 的切线，设两条切线交于点M ，求△PQM 面积的最大值．13.已知椭圆22:143x y C +=的左右两个顶点分别为A B ，，点M 是直线:4l x =上任意一点，直线MA ，MB 分别与椭圆交于不同于A B ，两点的点P ，点Q . （Ⅰ）求椭圆的离心率和右焦点F 的坐标； （Ⅱ）（i ）证明,,P F Q 三点共线；（Ⅱ）求PQB ∆面积的最大值。
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高三理科数学查漏补缺（三）
1．若条件1
:
11
p a >+，条件:0q a <，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2．若()x f x a -=(0a >，且1)a ≠是定义在R 上的减函数，则1
()log 1
a
f x x =+的图象是（ ）
A B C D
3．某班上午要上语文、数学、英语、体育各一节，体育课既不在第一节也不在第四节，共有不同的排法数为（ ）
A ．24
B ．22
C ．20
D ．12
4．若底面边长为a 的正四棱锥的全面积与棱长为a 的正方体的全面积相等，那么这个正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为（ ） A
．
B
． C
D
5．设向量(cos25,sin 25)a =︒︒ ，(sin 20,cos20)b =︒︒ ，若t R ∈，且u a tb =+
，则
||u
的最小值是（ ）
A ．2
B ．1
C ．2
2
D ．21
6．在数列{}n a 中，对任意*n N ∈，都有
21
1n n n n
a a k a a +++-=-（k 为常数）
，则称{}n a 为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断： ⑴ k 不可能为0；
⑵ 等差数列一定是等差比数列； ⑶ 等比数列一定是等差比数列；
⑷ 通项公式为n n a a b c =⋅+(0a ≠，0,1)b ≠的数列一定是等差比数列． 其中正确的判断为（ ）
A ．⑴⑵
B ．⑵⑶
C ．⑶⑷
D ．⑴⑷
7．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论： ⑴ AC ⊥BD ； ⑵ △ACD 是等边三角形； ⑶ AB 与平面BCD 所成的角为60° ⑷ AB 与CD 所成的角为60° 其中正确结论的序号是__________．（写出所有你认为正确的结论的序号）
8．设实数x ，y 满足约束条件220
2010x y x y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≤⎩
，则z x y =-的最大值与最小值的
和是_____________．
9．过圆228x y +=内的点(1,2)P -作直线l 交圆于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角
为
34
π
，则弦AB 的长为________；弦AB 中点的轨迹方程为__________． 10．数列{}n a 的通项公式是22n n n n a n ⎧⎪
=⎨⎪⎩为奇数为偶数
，则数列的前2m （m 为正整数）
项和是____________________．
11、 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且2221
2
a c
b a
c +-=．
⑴ 求B C
A 2cos 2
sin 2
++的值； ⑵ 若2b =，求ABC ∆面积的最大值．
12、已知定义域为R 的函数3
()f x ax x =-
在区间0,2⎛ ⎝⎭
内是增函数．
⑴ 求实数a 的取值范围；
⑵ 若)(x f 的极小值为2-，求实数a 的值．
13、 设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，且对于所有的正整数n ，有
222-=n n S a ．
⑴ 写出数列{}n a 的三项；
⑵ 求数列{}n a 的通项公式，并写出推证过程；
⑶ 令1
4
+⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
答案：
1-6 ADDCCD 7、⑴⑵⑷ 8、1 92220x y x y ++-= 10、1222m m ++- 11、解：⑴ ∵22212
a c
b a
c +-=
∴ 2221
cos 24
a c
b B a
c +-=
= ∴ 2
sin cos 22A C B ++21
[1cos()](2cos 1)2A C B =-++- 21(1cos )(2cos 1)2B B =++-111(1)(21)2416=++⨯-4
1
-=
(2) 由1cos 4B =-得：sin B =
∵ 2b =，
∴ 221422a c ac ac +=
+≥（当且仅当a c ==时取等号） ∴ 8
3
ac ≤
∴ 118sin 223ABC S ac B ∆=⋅≤⨯=
故ABC S ∆的最大值为
3
15
12、解：⑴ 2()3f x a x '=-，
依题意，x ∈时，()0f x '>，即230a x ->恒成立． ∴ 23
3(
)22
a ≥⨯=，所以a 的取值范围是3[,)2+∞
⑵ 令).2
3
(,3,03,0)(2≥±
==-='a a x x a x f 得即 当x 变化时)(x f '和()f x 的变化情况如下表：
∴ x =()f x 取极小值.
故由3
2f a ⎛⎛⎛=⋅-=- ⎝⎝⎝，解得：
3a =
解：⑴ 由题意，当1n =时，有12a =，11a S =
∴12a = ，解得12a = 同理 26a = 310a =
⑵ 由2n a =*()n N ∈， 整理，得()2
128
n n S a =+， 则()211128
n n S a ++=
+ ∴()()22
1111228n n n n n a S S a a +++⎡⎤=-=+-+⎣
⎦
整理，得()()1140n n n n a a a a +++--= 由题意知10n n a a ++≠，∴14n n a a +-=
∴即数列{}n a 为等差数列，其中首项12a =，公差4d =
∴1(1)2(1)4n a a n d n =+-=+-⨯ 即通项公式为 42n a n =-*()n N ∈ ⑶ ()()
4
11
42424242
n b n n n n =
=
--+-+ 123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+
1111112
66104242n n ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-
+-++- ⎪ ⎪ ⎪-
+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11242n =-+21n n =+。