2015届高三数学考前综合训练题附答案
洛阳市2015届高三一练word答案数学理
参考答案（理）一、选择题ＣＢＡＢＤＣＡＣＤＡＡＡ二、填空题１３．０．２１４．２（３－槡５）π１５．１１６．槡３６三、解答题１７．（１）∵Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，∴λ∈Ｒ，使→ＡＣ＝λ→ＡＢ，→ＯＣ－→ＯＡ＝λ（→ＯＢ－→ＯＡ），即→ＯＣ＝（１－λ）→ＯＡ＋λ→ＯＢ．由平面向量基本定理，１－λ＝ａ３，λ＝ａ１５｛．消去λ，得ａ３＋ａ１５＝１．……３分又ａ３＋ａ１５＝ａ１＋ａ１７，所以Ｓ１７＝１７（ａ１＋ａ１７）２＝１７２．即存在ｎ＝１７时，Ｓ１７为定值１７２．……５分（２）由于ａｎｂｎ＝ａ１＋ａ２ｎ－１ｂ１＋ｂ２ｎ－１＝Ｓ２ｎ－１Ｔ２ｎ－１＝３１ｎ＋３５ｎ＋１……７分＝３１＋４ｎ＋１．……８分依题意，ｎ＋１的可能取值为２，４，所以ｎ的取值为１或３，即使ａｎｂｎ为整数的正整数ｎ的集合为｛１，３｝．……１０分１８．（１）在△ＣＤＥ中，ＣＤ＝ＣＥ２＋ＥＤ２－２ＣＥ²ＥＤ²ｃｏｓ∠槡ＣＥＤ＝３＋１－２²槡３²１²槡ｃｏｓ３０°＝１．……２分∴△ＥＤＣ为等腰三角形，∠ＡＤＢ＝６０°，ＡＤ＝２，ＡＥ＝１，……４分Ｓ△ＡＣＥ＝１２²ＡＥ²ＣＥ²ｓｉｎ∠ＡＥＣ＝１２²１²槡３²ｓｉｎ１５０°＝槡３４．……６分（２）设ＣＤ＝ａ，在△ＡＣＥ中，ＣＥｓｉｎ∠ＣＡＥ＝ＡＥｓｉｎ∠ＡＣＥ∴ＣＥ＝２ａｓｉｎ１５°ｓｉｎ３０°＝（槡６－槡２）ａ．……８分学试卷参考答案（理）一、选择题ＣＢＡＢＤＣＡＣＤＡＡＡ二、填空题１３．０．２１４．２（３－槡５）π１５．１１６．槡３６三、解答题１７．（１）∵Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，∴λ∈Ｒ，使→ＡＣ＝λ→ＡＢ，→ＯＣ－→ＯＡ＝λ（→ＯＢ－→ＯＡ），即→ＯＣ＝（１－λ）→ＯＡ＋λ→ＯＢ．由平面向量基本定理，１－λ＝ａ３，λ＝ａ１５｛．消去λ，得ａ３＋ａ１５＝１．……３分又ａ３＋ａ１５＝ａ１＋ａ１７，所以Ｓ１７＝１７（ａ１＋ａ１７）２＝１７２．即存在ｎ＝１７时，Ｓ１７为定值１７２．……５分（２）由于ａｎｂｎ＝ａ１＋ａ２ｎ－１ｂ１＋ｂ２ｎ－１＝Ｓ２ｎ－１Ｔ２ｎ－１＝３１ｎ＋３５ｎ＋１……７分＝３１＋４ｎ＋１．……８分依题意，ｎ＋１的可能取值为２，４，所以ｎ的取值为１或３，即使ａｎｂｎ为整数的正整数ｎ的集合为｛１，３｝．……１０分１８．（１）在△ＣＤＥ中，ＣＤ＝ＣＥ２＋ＥＤ２－２ＣＥ²ＥＤ²ｃｏｓ∠槡ＣＥＤ＝３＋１－２²槡３²１²槡ｃｏｓ３０°＝１．……２分∴△ＥＤＣ为等腰三角形，∠ＡＤＢ＝６０°，ＡＤ＝２，ＡＥ＝１，……４分Ｓ△ＡＣＥ＝１２²ＡＥ²ＣＥ²ｓｉｎ∠ＡＥＣ＝１２²１²槡３²ｓｉｎ１５０°＝槡３４．……６分（２）设ＣＤ＝ａ，在△ＡＣＥ中，ＣＥｓｉｎ∠ＣＡＥ＝ＡＥｓｉｎ∠ＡＣＥ∴ＣＥ＝２ａｓｉｎ１５°ｓｉｎ３０°＝（槡６－槡２）ａ．……８分在ｃｏｓ∠ＤＡＢ＝ｃｏｓ（∠ＣＤＥ－９０°）＝ｓｉｎ∠ＣＤＥ＝槡３－１．……１２分１９．（１）线段ＡＢ的中垂线方程：ｙ＝ｘ，２ｘ－ｙ－４＝０，ｙ＝ｘ｛．ｘ＝４，ｙ＝４｛．即Ｓ（４，４）．……３分圆Ｓ半径｜ＳＡ｜＝５，……４分则圆Ｓ的方程为：（ｘ－４）２＋（ｙ－４）２＝２５．……６分（２）由ｘ＋ｙ－ｍ＝０变形得ｙ＝－ｘ＋ｍ，代入圆Ｓ的方程，消去ｘ并整理得２ｘ２－２ｍｘ＋ｍ２－８ｍ＋７＝０．令△ ＝（２ｍ）２－８（ｍ２－８ｍ＋７）＞０，得８－槡５２＜ｍ＜８＋槡５２，……８分设点Ｃ，Ｄ的横坐标分别为ｘ１，ｘ２，则ｘ１＋ｘ２＝ｍ，ｘ１ｘ２＝ｍ２－８ｍ＋７２．依题意，得→ＯＣ²→ＯＤ＜０，即ｘ１ｘ２＋（－ｘ１＋ｍ）（－ｘ２＋ｍ）＜０．ｍ２－８ｍ＋７＜０，解得１＜ｍ＜７．……１１分故实数ｍ的取值范围｛ｍ｜８－槡５２＜ｍ＜８＋槡５２｝∩｛ｍ｜１＜ｍ＜７｝＝｛ｍ｜１＜ｍ＜７｝．……１２分２０．（１）以Ｂ为原点，ＢＣ，ＢＡ，ＢＢ１分别为ｘ，ｙ，ｚ轴，建立空间直角坐标系，则Ａ（０，１，０），Ｂ（０，０，０），Ｃ（２，０，０），Ｄ１（２，２，２）．若存在这样的点Ｆ，则可设Ｆ（０，ｙ，ｚ），其中０≤ｙ≤１，０≤ｚ≤２．……２分→ＥＦ＝（－２，ｙ－１，ｚ－１），→ＡＣ＝（２，－１，０），ＣＤ→１＝（０，２，２），∵ＥＦ⊥平面ＡＣＤ１，∴→ＥＦ⊥→ＡＣ，→ＥＦ⊥ＡＤ→１．则→ＥＦ²→ＡＣ＝０，→ＥＦ²ＡＤ→１＝０，即－４－（ｙ－１）＝０，２（ｙ－１）＋２（ｚ－１）＝０｛．ｙ＝－３，ｚ＝５｛．……４分与０≤ｙ≤１，０≤ｚ≤２矛盾，所以不存在满足条件的点Ｆ．……６分（２）设｜ＤＤ１｜＝２ｋ（ｋ＞０），则Ｋ（０，０，ｋ），→ＡＫ＝（０，－１，ｋ）．设平面ＡＣＫ的法向量ｍ→＝（ｘ，ｙ，ｚ），则－ｙ＋ｋｚ＝０，２ｘ－ｙ＝０｛．取一个ｍ→＝（ｋ，２ｋ，２），同样的，可求得平面ＡＣＤ１的一个法向量ｎ→＝（－ｋ，－２ｋ，２）．……８分依题意得｜ｍ→²ｎ→｜ｍ→｜｜ｎ→｜｜＝１２，即｜－ｋ２－４ｋ２＋４５ｋ２＋槡４² ５ｋ２＋槡４｜＝１２，……１０分解得：ｋ＝±槡２１５１５或±槡２１５５（负值舍去），即ＤＤ１的长为槡４１５１５或槡４１５５．……１２分２１．（１）设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋ｐ２，由ｘ＝ｍｙ＋ｐ２，ｙ２＝２ｐｘ烅烄烆．消去ｘ得ｙ２－２ｐｍｙ－ｐ２＝０．所以ｙ１＋ｙ２＝２ｐｍ，ｙ１ｙ２＝－ｐ２．∵→ＯＡ²→ＯＢ＝－３，∴ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝－３，ｘ１ｘ２＝ｙ１２２ｐ²ｙ２２２ｐ＝ｐ２４，所以ｐ２４－ｐ２＝－３，ｐ２＝４．∵ｐ＞０，∴ｐ＝２．……４分（２）由抛物线定义，｜ＡＭ｜＝ｘ１＋ｐ２＝ｘ１＋１，｜ＢＭ｜＝ｘ２＋ｐ２＝ｘ２＋１．……６分∴｜ＡＭ｜＋４｜ＢＭ｜＝ｘ１＋４ｘ２＋５≥２４ｘ１ｘ槡２＋５＝９．当且仅当ｘ１＝４ｘ２时取等号．……８分将ｘ１＝４ｘ２代入ｘ１ｘ２＝ｐ２４＝１中，得ｘ２＝±１２（负值舍去）．ｘ２＝１２代入ｙ２＝４ｘ中，得ｙ２＝±槡２，即点Ｂ的坐标为（１２，±槡２）．……１０分将Ｂ的坐标代入ｘ＝ｍｙ＋１，得ｍ＝±槡２４．∴ｌ的方程为：ｘ＝±槡２４ｙ＋１，即４ｘ±槡２ｙ－４＝０．……１２分２２．（１）∵ｆ（ｘ）＝ｍｌｎ（１＋ｘ）－ｘ，∴ｆ′（ｘ）＝ｍ１＋ｘ－１．∵ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上为单调函数，∴ｆ′（ｘ）≥０恒成立，或ｆ′（ｘ）≤０恒成立．……２分即ｍ１＋ｘ≥１恒成立，或ｍ１＋ｘ≤１恒成立．∵ｘ∈（０，＋∞），∴ｍ≥１＋ｘ不能恒成立．而１＋ｘ＞１，∴ｍ≤１时ｆ（ｘ）为单调递减函数．综上，ｍ≤１．……４分（２）由（１）知，ｍ＝１时，ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上为减函数，∴ｆ（ｘ）＜ｆ（０），即ｌｎ（ｘ＋１）＜ｘ，ｘ∈（０，＋∞）．……６分∵ｓｉｎ１，ｓｉｎ１２２，…ｓｉｎ１ｎ２＞０，∴ｌｎ（１＋ｓｉｎ１）＜ｓｉｎ１，ｌｎ（１＋ｓｉｎ１２２）＜ｓｉｎ１２２，……ｌｎ（１＋ｓｉｎ１ｎ２）＜ｓｉｎ１ｎ２．……８分令ｇ（ｘ）＝ｓｉｎｘ－ｘ，ｘ∈ （０，π２），则ｇ′（ｘ）＝ｃｏｓｘ－１＜０，∴ｇ（ｘ）在（０，π２）上为减函数．∴ｇ（ｘ）＜ｇ（０），即ｓｉｎｘ＜ｘ，ｘ∈（０，π２）．∴ｓｉｎ１＜１，ｓｉｎ１２２＜１２２，…，ｓｉｎ１ｎ２＜１ｎ２．……１０分∴ｌｎ（１＋ｓｉｎ１）＋ｌｎ（１＋ｓｉｎ１２２）＋…＋ｌｎ（１＋ｓｉｎ１ｎ２）＜ｓｉｎ１＋ｓｉｎ１２２＋…＋ｓｉｎ１ｎ２＜１＋１２２＋…＋１ｎ２＜１＋１１³２＋１２³３＋…＋１（ｎ－１）ｎ＝１＋（１－１２）＋（１２－１３）＋…＋（１ｎ－１－１ｎ）＝２－１ｎ＜２．即ｌｎ［（１＋ｓｉｎ１）（１＋ｓｉｎ１２２）…（１＋ｓｉｎ１ｎ２）］＜２．∴（１＋ｓｉｎ１）（１＋ｓｉｎ１２２）…（１＋ｓｉｎ１ｎ２）＜ｅ２．……１２分。
2015届高三理科数学综合检测题(含答案)
周三检测题2015/1/211．设z ＝10i 3＋i，则z 的共轭复数为 ( ) A ．－1＋3i B ．－1－3i C ．1＋3i D ．1－3i2． “－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为( ) A ．1B ．1或3C ．0D ．1或0 4.由曲线y =2y x y =-及轴所围成的图形的面积为 （ ） A. 103 B.4 C. 163 D.65．若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)和椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．m 2－a 2 B.m － a C.12(m －a ) D ．m －a 6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是（ ）A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2] 7．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为____．8．已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥-010y x y x 且目标函数by ax z +=2 )0,0(>>b a 的最大值是1，则ab的最大值为9.已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为10．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M .若过点P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．11 . ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且22sin cos 212A B C ++=． （1）求角C 的大小；（2）若向量(3,)m a b =，向量(,)3b n a =-，且m n ⊥，()()16m n m n +⋅-=，求,,a bc 的值．12.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)求二面角P —BD —A 的大小.13．在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝－8，a 2＋a 4＝－14.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{b n }的前n 项和S n .14．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆C 的方程； (2)求△PAB 的面积．周三检测题2015/1/211-6 DBD CDC7. 3 8.81 9. 3 10. 22 11．解：（1）∵22sin cos 212A B C ++= ∴2cos 212sin cos()cos 2A B C A B C +=-=+=-， ∴22cos cos 10C C +-=，∴1cos 2C =或cos 1C =- (0,),C π∈∴3C π= （2）∵⊥ ∴22303b a -=，即229b a = 又16)()(=-⋅+，∴1698822=+b a ，即2229b a +=② 由①②可得221,9a b ==，∴1,3a b ==又2222cos 7,c a b ab C =+-=∴c =1,3,a b c ===12.(1)证明 如图，建立坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,3)，∴AP →＝(0,0,3)，AC →＝(23，6,0)，BD →＝(－23，2,0).∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC .又∵P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥面P AC .(2)解 设平面ABD 的法向量为m ＝(0,0,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BD →＝0，n ·BP →＝0.∵BP →＝(－23，0,3)，∴⎩⎨⎧ －23x ＋2y ＝0，－23x ＋3z ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，z ＝233x . 令x ＝3，则n ＝(3，3,2)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝12. ∴二面角P —BD —A 的大小为60°.13.解：(1)设数列{a n }的公差为d ，∵a 1＋a 3＝－8，a 2＋a 4＝－14，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝－8，2a 1＋4d ＝－14，解得a 1＝－1，d ＝－3.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－1－3(n －1)＝－3n ＋2.(2)由数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，得a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1，∴b n ＝3n －2＋c n －1，∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)＝n (3n －1)2＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)． ∴当c ＝1时，S n ＝n (3n －1)2＋n ＝3n 2＋n 2；当c ≠1时，S n ＝n (3n －1)2＋1－c n 1－c ＝n (3n －1)2＋c n －1c －1.综上，数列{b n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3n 2＋n 2， c ＝1，n (3n －1)2＋c n－1c －1，c ≠1.14．解 (1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 212＋y24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0. ①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2) (x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m4，y 0＝x 0＋m ＝m4；因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.。
2015届高三数学(理)湘教版一轮复习解答题规范专练3 数列
解答题规范专练(三) 数 列1．已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝4，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)证明数列{a n ＋1－a n }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝2(a n －1)a n(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，求使S n >2 013成立的n 的最小值．2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n a n ＋2，且a 1＝2. (1)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列，若是，请给予证明，若不是，请说明理由； (2)若b n ＝2＋a n a n ·⎝⎛⎭⎫12n ，求数列{b n }的前n 项和T n .3．(2014·皖南八校联考)将数列{a n }中所有的项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1a 2 a 3a 4 a 5 a 6a 7 a 8 a 9 a 10……记表中的第1列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1，S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b n b n S n －S 2n＝1(n ≥2，n ∈N *)． (1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)上表中，若从第3行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a 81＝－491时，求上表中第k (k ≥3)行所有项的和．答 案1．解：(1)证明∵a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1)(n ≥2，n ∈N *)．∵a 1＝2，a 2＝4，∴a 2－a 1＝2≠0，∴a n －a n －1≠0(n ≥2，n ∈N *)，故数列{a n ＋1－a n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝2， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋2n －3＋…＋21＋2＝2×(1－2n －1)1－2＋2＝2n (n ≥2，n ∈N *)， 又a 1＝2也满足上式，∴a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝2(a n －1)a n ＝2⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2－12n －1(n ∈N *)， ∴S n ＝2n －⎝⎛⎭⎫1＋121＋122＋…＋12n －1＝2n －1－12n 1－12＝2n －2⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2n －2＋12n －1， 由S n >2 013得，2n －2＋12n －1>2 013，即n ＋12n >2 0152， ∵n ∈N *，∴n ＋12n 的值随n 的增大而增大， ∴n 的最小值为1 008.2．解：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下： ∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知，1a n ＝12＋(n －1)·12＝n 2， b n ＝2＋a n a n ·⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫2a n ＋1·⎝⎛⎭⎫12n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫12n ， ∴T n ＝2×12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋4×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫12n ，① 12T n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋4×⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1.② ①－②得12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝1＋14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝ 32－n ＋32n ＋1，∴T n ＝3－n ＋32n . 3．解：(1)由已知，当n ≥2时，2b n b n S n －S 2n＝1， 又b n ＝S n －S n －1，所以2(S n －S n －1)(S n －S n －1)S n －S 2n＝1， 即2(S n －S n －1)－S n －1S n＝1，所以1S n －1S n －1＝12. 又S 1＝b 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为12的等差数列． 故1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1. 所以当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1).因此b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2.(2)设表中从第3行起，每行的公比都为q ，且q >0.因为1＋2＋…＋12＝12×132＝78， 所以表中第1行至第12行含有数列{a n }中的前78项，故a 81在表中第13行第3列，因此a 81＝b 13·q 2＝－491.又b 13＝－213×14， 所以q ＝2(舍去负值)．记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ，则S ＝b k (1－q k )1－q ＝－2k (k ＋1)·1－2k 1－2＝2k (k ＋1)·(1－2k )(k ≥3)．。
山东省临沂市第一中学2015届高三上学期十月月考数学(理)试题含答案
临沂一中2012级高三上学期第二次阶段性检测题理科数学第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1、设全集为R ，函数()f x =的定义域为M ，则R C M =( )A ．[]1,1-B ．()1,1-C ．(][),11,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-+∞2、下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题是“若3x ≠，则2430x x -+≠” B ．“1x >”是“0x >”的充分不必要条件 C ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D ．命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，使得210x x ++≥3、若函数()22(1)3f x ax a x a =+--为偶函数，其定义域242,1a a ⎡⎤++⎣⎦，则()f x 的最小是为（ ）A ．3B ．0C ．2D ．1- 4、设1111232,,a x dx b x dx c x dx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．a b c =>D ．a c b >>5、已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-，且当2x ≠是其导数()f x '满足()()2xf x f x ''>，若24a <<，则（ ）A ．()()223(log )f a f f a <<B ．()()23(log )2f f a f a <<C ．()()2(log )32f a f f a <<D ．()()2(log )23f a f a f << 6、把函数sin()(0,)y wx w ϕϕπ=+><的图象向右平移6π个单位，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象解析式为sin y x =，则（ ） A ．2,6w πϕ==B ．2,3w πϕ==C ．1,26w πϕ== D ．1,212w πϕ== 7、下图，有一个是函数()3221(1)1(,0)3f x x ax a x a R a =++-+∈≠的导函数()f x '的图象，则()1f -等于（ ）A ．13 B ．13- C ．73 D ．13-或538、若sin ,cos θθ是方程2420x mx m ++=的两根，则m 的值为（ ）A ．1．1 C ．1．1-9、已知集合(){(,)|}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在11(,)x y M ∈， 使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”，给出下列四个结合： ①1{(,)|}M x y y x== ②{(,)|sin 1}M x y y x ==+ ③2{(,)|log }M x y y x == ④{(,)|2}xM x y y e ==- A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．②④10、已知偶数()f x 以4为周期，且当[]2,0x ∈-时，()1()12xf x =-，若在区间[]6,6-内关于x的方程()2log (2)0(1)f x x a ⋅+=>恰有4个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2二、（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、若两个非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则向量a b +与a b -的夹角是 12、函数()ln xf x x=的单调递增区间是 13、()sin()cos()4(,,,f x a x a b x a b ππβαβ=++++均为非零实数)，若()20146f =， 则()2015f =14、设区间1()n y x n N +*=∈，在点()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则 则1299a a a +++的值为15、给出下列四个命题：①命题“x R ∀∈，都有2314x x -+≥”的否定是“x R ∃∈，都有2314x x -+<” ②一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数是5；③将函数cos 2y x =图象向右平移4π个单位，得到cos(2)4y x π=-的图象；④命题“设向量(4sin ,3),(2,3cos )a b αα==，若//a b ，则4πα=”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2.其中正确命题的序号为三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说、证明过程或演算步骤）16、已知命题:p 方程2220x ax a +-=在[]1,1-上有解；命题:q 只有一个实数0x 满足不等式20220x ax a ++≤，若命题“p q ∨”是假命题，求a 的取值范围。
苏州市2015届高三数学必过关题(逐题解析)——平面向量
高三必过关题7 平面向量一、填空题例1 给出下列命题,其中不正确的序号是 ．① 0a = 0；② 对于实数m 和向量,a b （m ∈R ），若m m =a b ，则=a b ； ③ 若≠a 0，⋅=⋅a b a c ，则=a c ；④ ()()⋅=⋅a b c a b c 对任意,,a b c 向量都成立；⑤对任意向量a，有a ．答案：①②③④例2 与a = (3,－4)平行的单位向量是_________；答案： (35 ，－45 )或(－35 ，45)．例3 平面向量a 与b 的夹角为60°，(,),||==201a b ，则|2|+=a b 答案：例4已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量ka -b 垂直，则k=_______ 答案: 1k =.例5 如图，正方形ABCD 内有一个正ABE △，设,AB AD ==i j ，则DE 等于 ．（用i 、j 表示） 答案：12i j ． 例6 定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度||||sin ,*=⨯⨯θa b a b 其中θ为 向量a 和b的夹角，若(2,0),(1,=-=u u v 则|()|*+u u v = ．答案：．例7 如图，在△ABC 中，AN =31NC ，P 是BN 上的一点，若 AP =m AB +112AC ，则实数m 的值为___________. 解析： 123,.41144AP AC NP mAB AC NP mAB AC =+=+=-BD()3144NB NC CB AC AB AC AB AC =+=+-=-,设,NP NB λ=则14AB AC λλ-=344mAB AC -，3.11m λ==例8. 已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为____________.答案:5例9 如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+， AQ ＝23AB ＋14AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ． 解析：设25AM AB =，15AN AC =，则AP AM AN =+，由平行四边形法则，知NP ∥AB ，所以ABP ABC S AN S AC∆∆=＝15，同理可得14ABQ ABC S S ∆∆=， 故45ABP ABQ S S ∆∆=．例10 如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点，2,DC BD = 则AD BC ⋅=__________．解析：1()()3AD BC AB BD BC AB BC BC ⋅=+⋅=+⋅=121[()]()()333AB AC AB BC AB AC AC AB +-⋅=+⋅-2221183333AB AC AB AC =-++⋅=-．例11 设函数()2x f x x x =⋅+，0A 为坐标原点，n A 为函数()y f x =图像上横坐标n ()n N *∈的点，向量11,(1,0)nn k k k A A -===∑a i ，设n n θ为与a i 的夹角，则1tan nk k θ==∑ ．解析：0(,2)n n n A A n n n ==⋅+a ，n θ即为向量0n A A 与x 轴的夹角，所以tan 21n n θ=+，所以211tan (222)22nn n k k n n θ+==++⋅⋅⋅++=+-∑．例12 已知20=≠a b ，且关于x 的函数3211()()32f x x x x =++⋅a a b 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为 ．DCABC N MQ P BA解析：()y f x =在R 上有极值⇔方程2()||f x x x '=++⋅a a b ＝0在R 上有两个不同的实数根，则22||||404∆=-⋅>⇒⋅<a a a b a b ，设向量,a b 的夹角为θ，则221||14cos 1||||2||2θ⋅=<=a a b a b a ，所以(,]3πθπ∈．例13已知A 、B 、C 是直线l 上的不同的三点，O 是外一点，向量OA 、OB 、OC 满足：23(1)[ln(23)]02OA x OB x y OC -+⋅-+-⋅=，记()y f x =，则函数()y f x =的解析式为 ．解析：23(1)[ln(23)]02OA x OB x y OC -+⋅-+-⋅=，∴23(1)[ln(23)]2OA x OB x y OC =+⋅++-⋅．又A 、B 、C 在同一条直线上，∴1])32[ln()123(2=-+++y x x ， ∴223)32ln(x x y ++=． 即223)32ln()(x x x f ++=． 例14 已知O 是锐角ABC ∆的外接圆的圆心，且A θ∠=，若cos cos sin sin B CAB AC C B+=2mAO ，则m = 。
山东临沂市2015届高三5月模拟考试(二)数学(理)试题(有答案)
2015年高考模拟试题(二)理科数学2015.5本试卷分为选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数211z i z z=-+，则对应的点所在象限为 A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设集合{}2320A x x x =-+=，则满足{}0,1,2A B ⋃=的集合B 的个数是A.1B.2C.3D.43.某市对汽车限购政策进行了调查，在参加调查的300名有车人中116名持反对意见，200名无车人中有121名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对汽车限购政策”是否有关系时，最有说服力的方法是 A.平均数与方差 B.回归直线方程 C.独立性检验 D.概率4.下列函数中，与函数,0,,0xx e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩的奇偶性相同，且在(),0-∞上单调性也相同的是A. 1y x=- B. 22y x =+ C. 33y x =- D. ln y x =-5.将函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平稳2π个单位长度，所得图象对应的函数A.在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C.在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D. 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增6.“1a =”是“直线y x =与函数()ln y x a =+的图象有且仅有一个交点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件7.执行如图所示的程序框图，若输入的a,b,k 分别为1，2，3，则输出的M=A.158B.165 C.5D. 2038.函数sin ln sin x x y x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的图象大致是9.在平面角坐标系中，记抛物线2y x x x =-与轴所围成的平面区域为M ，该抛物与直线()0y kx k =>所围成的平面区域为N ，向区域M 内随机掷一点p ，若点p 落在区域N 内的概率为827，则k 的值为A. 13B. 12C. 23D. 3410.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上为减函数，若ln n f m ⎛⎫⎪⎝⎭+()22ln 210m m n f f n mn +⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则的取值范围是A. (),e +∞B. [)2,eC. 1,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D. 12,e e ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11.不等式213x -<的解集为__________. 12.若1cos sin 232παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则________. 13.若变量,x y满足约束条件,4,2,y x x y z x y y k ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩且的最小值为3-，则k=________.14.某几何体的三视图如图，其侧视图是一个边长为1的等边三角形，俯视图是由两个等边三角形拼成，则该几何体的体积为_________.15.下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R 的映射过程；区间（0，1）中的实数x 对应数轴上的点M ，如图①；将线段AB 围成一个圆，使两端点A,B 恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为（0，1），如图③.图③中直线AM 与x 轴交于点N(n ，0)，则x 的象就是n ，记作()f x n =.下列说法中正确的序号是__________.（填上所有正确命题的序号）①()f x 在定义域上单调递增；②()f x 的图象关于y 轴对称；③12是()f x 的零点；④12133f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑤()1f x >的解集是3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知向量()()sin ,sin ,cos ,cos ,sin 2m A B n B A m n C ==⋅=， 且A,B,C 分别为ABC ∆的三边,,a b c 所对的角. （I ）求角C 的大小；（II ）若sinA,sinC,sinB 成等差数列，且ABC ∆的面积为93，求c 边的长. 17. （本小题满分12分）如图，在四棱锥//,,,P ABCD AB CD PA AD CD AD PA AD CD -⊥⊥===中，2,,AB E F 分别为PC,CD 的中点，DE=EC. （I ）求证：平面ABE ⊥平面BEF ； （II ）求锐二面角E BD C --的余弦值.18. （本小题满分12分）在某学校组织的一次利于定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次.某同学在A 处的命中率114q 为，在B 处的命中率为2q .该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为： （I ）求的q 2值；（II ）求随机变量ξ的数学期望. 19. （本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和52514,25,,n S S a a a =，且成等比数列. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设()123,22n n n n n a b T b b b b T n N n n*==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥∈，求证：. 20. （本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32，椭圆的短轴端点与抛物线24x y=的焦点重合.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）已知过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上一点()00,Q x y 与椭圆C 相切的直线方程为00221x x y y a b+=.从圆2216x y +=上一点P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为A,B ，当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M,N 两点时，求MN 的最小值.21. （本小题满分14分）已知函数()xmx nf x e+=（,,m n R e ∈是自然对数的底数）. （I ）若函数()f x 在点()()1,f x 处的切线方程为30x ey +-=，求函数()f x 的单调区间；（II ）当1,n m R =-∈时，若对于任意1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()f x x ≥恒成立，求实数m 的最小值；（III ）当1m n ==时，设函数()()()()xg x xf x tf x et R -'=++∈，是否存在实数[],0,1a b ∈，使得()()2g a g b <？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由.。
2015届高三数学综合检测试题6
2015届高三数学综合检测试题6姓名 得分一、选择题：（本大题共10道小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个正确答案）1．已知全集U=R ，集合}{|A x y ==，集合{|0B x =＜x ＜2}，则()U C A B ⋃=（ ） A ．[1,)+∞ B ．()1+∞， C ．[0)∞，+ D ．()0∞，+ 2. 已知向量(1)(12)n n ==--，，，a b ，若a 与b 共线，则n 等于（ ）A ．1 BC ．2D ．43．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1~160编号，按编号顺序平均分成20组（1~8号，9~16号，。
，153~160号）。
若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的号码是 ( )A ．4B ．5C ．6D ．74．在等比数列}{n a 中，32-=a ，64-=a ，则8a 的值为( )A ．–24B ．24C ．±24D ．–125. 已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0>ω的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4π对称 B ．关于直线8π=x 对称 C ．关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,8π对称 D ．关于直线4π=x 对称 6. .如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A.π3 B.π37 C.π320 D.π 7. 函数xe xf x 1)(-=的零点所在的区间是（ ） A ．)21,0( B ．)1,21( C ．)23,1( D ．)2,23( 8. 若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-0001x y x y x ，则y x z 23+=的最大值是 ( )A ．0B ．1C ．3D ． 99. 已知直线l 与圆C ： 221x y +=相切于第二象限，并且直线l则直线l 与两坐标轴所围城的三角形的面积为 ( ) Ａ．23 Ｂ．12 Ｃ．１或３ Ｄ．1322或 10. 函数()()1,013log ≠>-+=a a x y a 的图像恒过定点Ａ，若Ａ在直线01=++ny mx 上，其中n m ,均为正数，则12m n+的最小值为 ( ) Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８二、填空题(本大题共5道小题，每小题5分，共25分.)11．定义在R 上的奇函数f (x )满足(1)()f x f x +=-，若(0.5)1,f =则(7.5)f = ；12．在),(41,,,,,,222a c b S c b a C B A ABC -+=∆若其面积所对的边分别为角中A ∠则= ； 13．函数2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(]1-∞，上单调递减，则实数a 的取值范围是 .14．右图是一个算法的程序框图，当输入的x 值为3时，输出y 的结果恰好是1，则？处的关系式是 ； （本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．（12分）已知向量(3sin22,cos )m x x =+，(1,2cos )n x =，设函数()f x m n =⋅．（1）求()f x 的最小正周期与单调递减区间； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若()4f A =，1b =，ABC ∆，求边a 的值．17．（12分）海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．18. （12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，︒=∠90PBC ，PD E PC PA 是,32,2==的中点。
2015届高三数学综合检测试题5
2015届高三数学综合检测试题5姓名 得分一、选择题：（本大题共10道小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个正确答案）1．设集合{}1,1,2,3A =-，{B x y ==，则A B 为（ ）A ．{}1,1,2,3-B ．{}1,2,3C ．{}2,3D ．[1,)+∞2． 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的平均数分别为（ ）A ．14, 13B ．13, 12C ．14, 12D ．12, 14 3．在△ABC 中，已知a =5 2 , c = 10, A = 30°, 则∠B 为（ ）A ． 105°B ． 60°C ．15°D ． 105°或15° 4. 函数()(xxf x e e e -=-为自然对数的底数)在定义域内是（ ）Ａ．奇函数 Ｂ．偶函数 Ｃ．既是奇函数又是偶函数 Ｄ．既不是奇函数也不是偶函数 5. 有一个几何体的三视图及其尺寸如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积．．．为（ ） A ．212cm π B. 215cm π C. 224c m π D. 236cm π 6．已知点（a ，2b ）在直线x+y=3上移动，则2a +4b 的最小值是（ ） A ．8 B ．6 C ． 23 D ．24 7. 函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）8. 已知O 是坐标原点，点)2,1(A ，若点),(y x M 为平面区域210100x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩上的一个动点 ，则⋅的最小值是（ ）A ．０B ． 12- C ．－２ D ． －39．已知函数22,0(),()()11,02x x f x g x f x x x x x ->⎧⎪==-⎨-++≤⎪⎩则函数的零点的个数是（ ） A ．0个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3个10. 已知直线l 的倾斜角为π43，直线l 1经过点l l a B A 与且1),1,(),2,3(-垂直，直线l 2：b a l by x +=++平行，则与直线1012等于（ ）甲乙0129655418355728 1二、填空题(本大题共5道小题，每小题5分，共25分.)11．若2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，则xy的值为________； 12．若关于x 的不等式210ax ax +-<解集为R, 则a 的取值范围是______ __；13．已知数列﹛n a ﹜为等比数列，且2113725a a a +=， 则212a a 的值为________；14．阅读右边程序框图，输出的结果S 的值为________；（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图所示．（1）求函数()f x 的解析式； （2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点M 、N 、P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值．17．（12分）某校在高三年级开设了A ，B ，C 三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从A ，B ，C 三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人）（1）求x ，y 的值； （2）若从A ，B 两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自兴趣小组B 的概率．18. （12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥面ABCD ，PA AB =，点E 是PD 的中点．（1）求证：PB //平面ACE ； （2）若四面体E ACD -的体积为23，求AB 的长．19．（13分）已知数列{}n a 的前n 项和223,()n S n n n N *=++∈ （1）求通项n a ； （2）求和=n T 14332211111+++++n n a a a a a a a a .20. （13分）研究表明：学生的接受能力依赖于老师持续讲课所用的时间。
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【说明】本题考查等比数列的运算性质．可一般化：{an}为正项等比数列，其前n项的乘积为Tn，若Tm＝Tn，则Tm＋n＝1；可类比：{an}为等差数列，其前n项的和为Sn，若Sm＝Sn，则Sm＋n＝0．(其中m，n∈N*，m≠n)．
2．已知点P为圆C：x2＋y2－4x－4y＋4＝0上的动点，点P到某直线l的最大距离为5．若在直线l上任取一点A作圆C的切线AB，切点为B，则AB的最小值是________．
2015届高三数学考前综合训练题
一、填空题
1．数列{an}为等比数列，其前n项的乘积为Tn，若T2＝T8，则T10＝．
【答案】1
【提示】法一：由T2＝T8得a3·a4·…·a8＝1，则(a3·a8)3＝1，a3·a8＝1．
从而T10＝a1·a2·…·a10＝(a1·a10)5＝(a3·a8)5＝1；
6．计算：4sin20＋tan20＝．
【答案】．
【提示】原式＝4sin20＋＝＝＝
＝＝．
【说明】切化弦､向特殊角转化､向单一的角转化是三角恒等变换(求值)的一般思路．
7．设α是锐角，且cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为．
【答案】
【提示】因为α是锐角，所以＜α＋＜，因为cos(α＋)＝，所以sin(α＋)＝．
【说明】本题要注意条件的等价转化．一般情况下涉及到分段函数的问题都要有意识的作出图像，运用数形结合的方法解决问题，学会从特殊值验证，再到一般结论的发展．
10．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，
则实数a的取值范围是．
【答案】（－∞，－2）
【提示】解法一：若a＝0，解得x＝±，不合题意．
sin2(α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝，cos2(α＋)＝1－2sin2(α＋)＝．
sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]＝sin2(α＋)cos－cos2(α＋)sin＝×－×＝．
【说明】考查同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数，重点突出角之间的互化，设法将所求角转化为已知角，用已知角表示所求角．
【答案】．
【提示】由P到直线l的最大距离为5，得圆心C到直线l的距离为3，从而直线l与圆C相离．
过A引圆C的切线长AB＝＝≥＝．
【说明】点､直线与圆的相关问题常转化为圆心与点､直线问题．
3．已知直线l：x－2y＋m＝0上存在点M满足与两点A(－2，0)，B(2，0)连线的斜率kMA与kMB之积为－，则实数m的值是___________．
【说明】考查零点概念、零点存在性定理；函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，学会利用导数来研究函数的图象和性质．
11．设函数f(x)＝lnx＋，（m∈R），若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，则m的取值范围是．
【答案】[，＋∞）．
【提示】对任意的b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f(b)－b＜f(a)－a恒成立．
若a＞0，则f(－1)＝－a－2＜0，f(0)＝1＞0，所以f(x)存在＝1－为极小值，则满足1－＞0，
解得a＞2或a＜－2．此时，取得a＜－2．
综上，a的取值范围是（－∞，－2）．
解法二：f(x)＝0，即ax3＝3x2－1，分离参数a＝－，同样可得a＜－2．
二、解答题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知tanA＝．设向量x＝(3a，cosA)，y＝(2c，cosC)，且x∥y．
【答案】．
【提示】因为{an}为正项等差数列，则ak＝≥·(＋)
＝·(5＋＋)≥·(5＋2)＝(当且仅当＋＝1，且＝，
即a1＝3，a2k－1＝6时取“＝”号)．
【说明】本题将等差数列的运算性质(等差中项)与基本不等式进行综合．
5．以C为钝角的△ABC中，BC＝3，·＝12，当角A最大时，△ABC面积为__________．
9．已知函数f(x)＝，若任意实数b，总存在实数x0，使得f(x0)＝b，则实数a的取值范围
是．
【答案】－5≤a≤4．
【提示】“任意实数b，总存在实数x0，使得f(x0)＝b”等价于函数f(x)的值域为R．
在平面直角坐标系xOy中，分别作出函数y＝x＋4及y＝x2－2x的图像，
观察图像可知－5≤a≤4．
函数h(x)＝f(x)－x＝lnx＋－x在(0，＋∞)是单调减函数，
即h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m≥－x2＋x＝－(x－)2＋（x＞0）恒成立，解得：m≥．所以m的取值范围是[，＋∞）．
【说明】考查求常见函数的导数，利用导数研究函数的单调性，会用分离常数的方法来研究不等式恒成立问题，不等式、方程、函数三者之间相互转化是高考考查的重点，要培养用函数的观点来研究不等式、方程的意识，体现数形结合思想．
【答案】3
【提示】过A作AD⊥BC，垂足为D，
则·＝||||cosB＝BDBC＝3BD＝12，
所以BD＝4，又BC＝3，所以CD＝1．
设AD＝y(y＞0)，则tan∠BAC＝＝≤，
且仅当y＝，即y＝2时取“＝”，由正切函数的单调性知此时∠BAC也最大．
【说明】学会从向量的数量积处理的三种手法：定义法､基底法和坐标法中选择，本题用定义法最为简洁，用坐标法也可以得出同上结论，另由两个直角三角形拼接的平面图形，计算角的最值，可转化到直角三角形用两角和与差的正切来解决，体现了化归与转化的思想．
8．等比数列{an}中，首项a1＝2，公比q＝3，an＋an＋1＋…＋am＝720(m，n∈N*，m＞n)，则m＋n＝．
【答案】9．
【提示】因为an＝2·3n－1，则an＋an＋1＋…＋am＝＝3n－1·(3m－n＋1－1)＝720＝32×24×5，
则，解得n＝3，m＝6，则m＋n＝9．
【说明】本题考查等比数列中的基本运算，涉及到简单的数论知识（整数的分解）．
【答案】[－4，4]．
【提示】点M的轨迹为＋＝1(x≠±2)．把直线l：x＝2y－m代入椭圆方程得，
16y2－12my＋(3m2－12)＝0．根据条件，上面方程有非零解，得△≥0，解得－4≤m≤4．
【说明】求曲线方程的直接法，研究直线与椭圆位置关系中基本方法是方程思想．
4．已知数列{an}为正项等差数列，满足＋≤1(其中k∈N*且k≥2)，则ak的最小值为_________．