高三数学训练题(十一)高三数学综合训练(1)
浙江省春晖中学2025届高三数学第一学期期末综合测试试题含解析
浙江省春晖中学2025届高三数学第一学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0B ．1C ．2D ．32．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞3．复数5i12i+的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-4．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．5．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．46．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 7．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞8．已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a ≥ C ．0a ≤D ．0a ≥9．已知(cos ,sin )a αα=，()cos(),sin()b αα=--，那么0a b =是()4k k Z παπ=+∈的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎣⎦B ．,1)3C ．(0,]3D ．[311．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学函数综合题训练(含详解)
高三函数综合题1.已知函数f（x）=2x+2-x a（常数a∈R）．（1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值；（2）若a≤4，求证函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；（3）若存在x∈[0，1]，使得f（2x）＞[f（x）]2成立，求实数a的取值范围．2.已知函数f（x）=x2+（x-1）|x-a|．（1）若a=-1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．3.已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3．（1）当a=4，2≤x≤5，求函数f（x）的最大值与最小值；（2）若x≥a，试求f（x）+3＞0的解集；（3）当x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2恒成立，求实数a的取值范围．4.已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．（1）若函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围；（2）当a≥-3时，求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．答案详解1.已知函数f（x）=2x+2-x a（常数a∈R）．（1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值；（2）若a≤4，求证函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；（3）若存在x∈[0，1]，使得f（2x）＞[f（x）]2成立，求实数a的取值范围．解：（1）由a=-1，f（x）=4，可得2x-2-x=4，设2x=t，则有t-t -1=4，即t 2-4t-1=0，解得t=2±5，当t=2+5时，有2x=2+5，可得x=log 2(2+5)．当t=2-5时，有2x=2-5，此方程无解．故所求x 的值为log 2(2+5)．（2）设x 1，x 2∈[1，+∞），且x 1＞x 2， 则f(x 1)-f(x 2)=(2x1+2-x 1a)-(2x 2+2-x 2a)=(2x 1-2x2)+2112222x x x x +-a=2121222x x x x +-(2x 1+x2-a)由x 1＞x 2，可得2x1＞2x 2，即2x1-2x2＞0，由x 1，x 2∈[1，+∞），x 1＞x 2，得x 1+x 2＞2，故2x 1+x2＞4＞0，又a≤4，故2x 1+x 2＞a ，即2x 1+x2-a ＞0，所以f （x 1）-f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）， 故函数f （x ）在[1，+∞）上是增函数．（3）因为函数f （x ）=2x +2-xa ，存在x ∈[0，1]，f （2x ）＞[f （x ）]2⇔22x +2-2x a ＞22x +2a+2-2x a 2⇔2-2x （a 2-a ）+2a ＜0 设t=2-2x，由x ∈[0，1]，可得t ∈[41，1]，由存在x ∈[0，1]使得f （2x ）＞[f （x ）]2， 可得存在t ∈[41，1]，使得（a 2-a ）t+2a ＜0，令g （t ）=（a 2-a ）t+2a ＜0， 故有g(41)=41(a 2-a)+2a ＜0或g （1）=（a 2-a ）+2a ＜0， 可得-7＜a ＜0．即所求a 的取值范围是（-7，0）．2.已知函数f （x ）=x 2+（x-1）|x-a|． （1）若a=-1，解方程f （x ）=1；（2）若函数f （x ）在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若a ＜1且不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解析：（1）当a=-1时，f （x ）=x 2+（x-1）|x+1|，故有，f(x)= ⎩⎨⎧-<-≥-111122x x x ，当x≥-1时，由f （x ）=1，有2x 2-1=1，解得x=1，或x=-1． 当x ＜-1时，f （x ）=1恒成立， ∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}．（2）f(x)= ⎩⎨⎧<-+≥++-a x a x a ax a x a x )1()1(22若f （x ）在R 上单调递增，则⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+0141a a a ，解得a≥31，∴当a≥31时，f （x ）在R 上单调递增． （3）设g （x ）=f （x ）-（2x-3），则g(x)=⎩⎨⎧<+--≥+++-a x a x a ax a x a ,3)1(,3)3(2x 2，不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x ∈R 恒成立，等价于不等式g （x ）≥0对一切实数x ∈R 恒成立．∵a ＜1，∴当x ∈（-∞，a ）时，g （x ）单调递减，其值域为（a 2-2a+3，+∞），∵a 2-2a+3=（a-1）2+2≥2，∴g （x ）≥0成立．3.已知函数f （x ）=x|x-a|+2x-3．（1）当a=4，2≤x≤5，求函数f （x ）的最大值与最小值； （2）若x≥a，试求f （x ）+3＞0的解集；（3）当x ∈[1，2]时，f （x ）≤2x -2恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：（1）当a=4时，f （x ）=x|x-4|+2x-3，①2≤x＜4时，f （x ）=x （4-x ）+2x-3=-（x-3）2+6， 当x=2时，f （x ）min =5；当x=3时，f （x ）max =6②当4≤x≤5时，f （x ）=x （x-4）+2x-3=（x-1）2-4， 当x=4时，f （x ）min =5；当x=5时，f （x ）max =12综上所述，当x=2或4时，f （x ）min =5；当x=5时，f （x ）max =12 （2）若x≥a，f （x ）+3=x[x-（a-2）]，当a ＞2时，x ＞a-2，或x ＜0，因为a ＞a-2，所以x≥a； 当a=2时，得x≠0，所以x≥a；当a ＜2时，x ＞0，或x ＜a-2，①若0＜a ＜2，则x≥a；②若a≤0，则x ＞0 综上可知：当a ＞0时，所求不等式的解集为[a ，+∞）；（10分） 当a≤0时，所求不等式的解集为（0，+∞）（12分） （3）当x∈[1，2]时，f （x ）≤2x -2，即x•|x -a|≤1⇔-x 1≤x -a≤x 1⇔x-x 1≤a≤x+x1 因为x-x1在x∈[1，2]上增，最大值是2-21=23，x+x1在x∈[1，2]上增，最小值是2，故只需23≤a≤2．故实数a 的取值范围是23≤a≤2．4.已知函数f （x ）=x 2-1，g （x ）=a|x-1|．（1）若函数h （x ）=|f （x ）|-g （x ）只有一个零点，求实数a 的取值范围； （2）当a≥-3时，求函数h （x ）=|f （x ）|+g （x ）在区间[-2，2]上的最大值．解：（1）∵函数h （x ）=|f （x ）|-g （x ）只有一个零点，即h （x ）=|f （x ）|-g （x ）=|x 2-1|-a|x-1|只有一个零点，显然x=1是函数的零点，∴即|x+1|-a=0无实数根，∴a ＜0；（2）h （x ）=|f （x ）|+g （x ）=）=|x 2-1|+a|x-1|=⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--+-<<-++--≤≤--+121111211222x a ax x x a ax x x a ax x ，当1＜x≤2时，∵a≥-3，∴-2a ≤23，当x=2时，h （x ）的最大值为h （2）=a+3； 当-2≤x＜-1时，2a≥-23，当x=-2时，h （x ）的最大值为h （-2）=3a+3；当-1≤x≤1时，h （x ）的最大值为max{h （-1），h （1），h （-2a ）}=max{2a ，0，41a 2+a+1}=41a 2+a+1，∴函数h （x ）最大值为h （a ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>+++<<+≤≤-+6241416240330332a a a x a a a .。
高三数学：2024届新结构“8+3+3”选填限时训练1_10(解析版)
2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(1)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1对两个具有线性相关关系的变量x 和y 进行统计时，得到一组数据1,0.3 ,2,4.7 ,3,m ,4,8 ，通过这组数据求得回归直线方程为y=2.4x -2，则m 的值为()A.3B.5C.5.2D.6【答案】A【解析】易知x =1+2+3+44=52,y =13+m4，代入y =2.4x -2得13+m 4=2.4×52-2⇒m =3.故选：A2已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m ⎳α,n ⎳α,则m ⎳nB.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⎳αD.若m ⎳α，m ⊥n ，则n ⊥α【答案】B【解析】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.故选：B3已知向量a ，b 满足a =3，b =23，且a ⊥a +b，则b 在a 方向上的投影向量为()A.3B.-3C.-3aD.-a【答案】D【解析】a ⊥a +b ，则a ⋅a +b =a 2+a ⋅b =9+a ⋅b =0，故a ⋅b=-9，b 在a 方向上的投影向量a ⋅b a 2⋅a =-99⋅a =-a.故选：D .4若n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式3x +12xn的展开式的常数项是()A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】因为n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，6×60%=3.6，所以n =8，二项式3x +12x8的通项公式为T r +1=C r 8⋅3x 8-r ⋅12x r =C r 8⋅12 r⋅x8-r 3-r，令8-r 3-r =0⇒r =2，所以常数项为C 28×12 2=8×72×14=7，故选：A5折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DE ，AC 所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC =120°，则该圆台的体积为()A.5023π B.9π C.7π D.1423π【答案】D【解析】设圆台上下底面的半径分别为r 1,r 2，由题意可知13×2π×3=2πr 1，解得r 1=1，13×2π×6=2πr 2，解得：r 2=2，作出圆台的轴截面，如图所示：图中OD =r 1=1,O A =r 2=2，AD =6-3=3，过点D 向AP 作垂线，垂足为T ，则AT =r 2-r 1=1，所以圆台的高h =AD 2-AT 2=32-1=22，则上底面面积S 1=π×12=π，S 2=π×22=4π，由圆台的体积计算公式可得：V =13×(S 1+S 2+S 1⋅S 2)×h =13×7π×22=142π3，故选：D .6已知函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，若x 1,x 2,-1三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式x -bx -c≤0的解集为()A.1,52B.1,52C.-∞,1 ∪52,+∞D.-∞,1 ∪52,+∞ 【答案】A【解析】由函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，即x 1,x 2是x 2-bx +c =0的两个实数根据，则x 1+x 2=b ,x 1x 2=c 因为b >0,c >0，可得x 1>0,x 2>0，又因为x 1,x 2,-1适当调整可以是等差数列和等比数列，不妨设x 1<x 2，可得x 1x 2=-1 2=1-1+x 2=2x 1 ，解得x 1=12,x 2=2，所以x 1+x 2=52,x 1x 2=1，所以b =52,c =1，则不等式x -b x -c ≤0，即为x -52x -1≤0，解得1<x ≤52，所以不等式的解集为1,52.故选：A .7已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 为双曲线一条渐近线上的两点，A 为双曲线的右顶点，若四边形MF 1NF 2为矩形，且∠MAN =2π3，则双曲线C 的离心率为()A.3B.7C.213D.13【答案】C【解析】如图，因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以MN =F 1F 2 =2c (矩形的对角线相等)，所以以MN 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2.直线MN 为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为y =bax ，由y =b a x ,x 2+y 2=c 2,解得x =a y =b ，或x =-a ,y =-b , 所以N a ,b ，M -a ,-b 或N -a ,-b ，M a ,b .不妨设N a ,b ，M -a , -b ，又A a ,0 ，所以AM =a +a 2+b 2=4a 2+b 2，AN =a -a 2+b 2=b .在△AMN 中，∠MAN =2π3，由余弦定理得MN 2=AM 2+AN 2-2AM AN ⋅cos 2π3，即4c 2=4a 2+b 2+b 2+4a 2+b 2×b ，则2b =4a 2+b 2，所以4b 2=4a 2+b 2，则b 2=43a 2，所以e =1+b 2a2=213.故选:C .8已知a =ln 1.2e ,b =e 0.2,c =1.2e 0.2，则有()A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.c <b <a【答案】C【解析】令f x =e x -ln x +1 -1,x >0，则f x =e x -1x +1.当x >0时，有e x >1,1x +1<1，所以1x +1<1，所以，f (x )>0在0,+∞ 上恒成立，所以，f (x )在0,+∞ 上单调递增，所以，f (x )>f (0)=1-1=0，所以，f (0.2)>0，即e 0.2-ln1.2-1>0，所以a <b令g x =e x -x +1 ,x >0，则g x =e x -1在x >0时恒大于零，故g x 为增函数，所以x +1ex <1,x >0，而a =ln 1.2e =1+ln1.2>1，所以c <a ，所以c <a <b ，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知函数f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4，则()A.函数f x -π4 为偶函数 B.曲线y =f x 对称轴为x =k π,k ∈ZC.f x 在区间π3,π2单调递增D.f x 的最小值为-2【答案】AC【解析】f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4=sin2x cos 3π4+sin 3π4cos2x +cos2x cos 3π4-sin2x sin3π4=-22sin2x +22cos2x -22cos2x -22sin2x =-2sin2x ，即f x =-2sin2x ，对于A ，f x -π4 =-2sin 2x -π2=2cos2x ，易知为偶函数，所以A 正确；对于B ，f x =-2sin2x 对称轴为2x =π2+k π,k ∈Z ⇒x =π4+k π2,k ∈Z ，故B 错误；对于C ，x ∈π3,π2 ,2x ∈2π3,π ，y =sin2x 单调递减，则f x =-2sin2x 单调递增，故C 正确；对于D ，f x =-2sin2x ，则sin2x ∈-1,1 ，所以f x ∈-2,2 ，故D 错误；故选：AC10设z 为复数，则下列命题中正确的是()A.z 2=zz B.若z =(1-2i )2，则复平面内z对应的点位于第二象限C.z 2=z 2D.若z =1，则z +i 的最大值为2【答案】ABD【解析】对于A ，设z =a +bi ，故z =a -bi ，则z 2=a 2+b 2，zz =(a +bi )(a -bi )=a 2+b 2，故z 2=zz成立，故A 正确，对于B ，z =(1-2i )2=-4i -3，z =4i -3，显然复平面内z对应的点位于第二象限，故B 正确，对于C ，易知z 2=a 2+b 2，z 2=a 2+b 2+2abi ，当ab ≠0时，z 2≠z 2，故C 错误，对于D ，若z =1，则a 2+b 2=1，而z +i =a 2+(b +1)2=2b +2，易得当b =1时，z +i 最大，此时z +i =2，故D 正确.故选：ABD11已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC =π3．将△DAC 沿着对角线AC 折起至△D AC ，连结BD ．设二面角D -AC -B 的大小为θ，则下列说法正确的是()A.若四面体D ABC 为正四面体，则θ=π3B.四面体D ABC 的体积最大值为1C.四面体D ABC 的表面积最大值为23+2D.当θ=2π3时，四面体D ABC 的外接球的半径为213【答案】BCD【解析】如图，取AC 中点O ，连接OB ,OD ，则OB =OD ，OB ⊥AC ,OD ⊥AC ，∠BOC 为二面角D AC -B 的平面角，即∠BOC =θ．若D ABC 是正四面体，则BD =BC ≠BO ，△OBD 不是正三角形，θ≠π3，A 错；四面体D ABC 的体积最大时，BO ⊥平面ACD ，此时B 到平面ACD 的距离最大为BO =3，而S △ACD=34×22=3，所以V =13×3×3=1，B 正确；S △ABC =S △DAC =3，易得△BAD ≅△BCD ，S △BAD=S △BCD=12×22sin ∠BCD =2sin ∠BCD ，未折叠时BD =BD =23，折叠到B ,D 重合时，BD =0，中间存在一个位置，使得BD =22，则BC 2+D C 2=BD 2，∠BCD =π2，此时S △BAD=S △BCD=2sin ∠BCD 取得最大值2，所以四面体D ABC 的表面积最大值为23+2 ，C 正确；当θ=2π3时，如图，设M ,N 分别是△ACD 和△BAC 的外心，在平面AOD 内作PM ⊥OD ，作PN ⊥OB ，PM ∩PN =P ，则P 是三棱锥外接球的球心，由上面证明过程知平面OBD 与平面ABC 、平面D AC 垂直，即P ,N ,O ,M 四点共面，θ=2π3，则∠PON =π3，ON =13×32×2=33，PN =ON tan π3=33×3=1，PB =PN 2+BN 2=12+233 2=213为球半径，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12设集合M =x log 2x <1 ，N =x 2x -1<0 ，则M ∩N =．【答案】x 0<x <12【解析】因为log 2x <1=log 22，所以0<x <2，即M =x log 2x <1 =x 0<x <2 ，因为2x -1<0，解得x <12，所以N =x 2x -1<0 =x x <12，所以，M ∩N =x 0<x <12 .故答案为：x 0<x <12 13已知正项等比数列a n 的前n 项和为S n ，且S 8-2S 4=6，则a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为.【答案】24【解析】设正项等比数列a n 的公比为q ，则q >0，所以，S 8=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=a 1+a 2+a 3+a 4+q 4a 1+a 2+a 3+a 4 =S 41+q 4 ，则S 8-2S 4=S 4q 4-1 =6，则q 4>1，可得q >1，则S 4=6q 4-1，所以，a 9+a 10+a 11+a 12=q 8a 1+a 2+a 3+a 4 =S 4q 8=6q 8q 4-1=6q 4-1+1 2q 4-1=6q 4-1 2+1+2q 4-1 q 4+1=6q 4-1 +1q 4-1+2 ≥62q 4-1 ⋅1q 4-1+2 =24，当且仅当q 4-1=1q 4-1q >1 时，即当q =42时，等号成立，故a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为24.故答案为：2414已知F 为拋物线C :y =14x 2的焦点，过点F 的直线l 与拋物线C 交于不同的两点A ，B ，拋物线在点A ,B 处的切线分别为l 1和l 2，若l 1和l 2交于点P ，则|PF |2+25AB的最小值为.【答案】10【解析】C :x 2=4y 的焦点为0,1 ，设直线AB 方程为y =kx +1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .联立直线与抛物线方程有x 2-4kx -4=0，则AB =y 1+y 2+2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4.又y =14x 2求导可得y =12x ，故直线AP 方程为y -y 1=12x 1x -x 1 .又y 1=14x 21，故AP :y =12x 1x -14x 21，同理BP :y =12x 2x -14x 22.联立y =12x 1x -14x 21y =12x 2x -14x 22可得12x 1-x 2 x =14x 21-x 22 ，解得x =x 1+x 22，代入可得P x 1+x 22,x 1x 24 ，代入韦达定理可得P 2k ,-1 ，故PF =4k 2+4.故|PF |2+25AB=4k 2+4+254k 2+4≥24k 2+4 ×254k 2+4=10，当且仅当4k 2+4=254k 2+4，即k =±12时取等号.故答案为：102024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(2)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1抛物线y =12x 2的焦点坐标为()A.18,0B.12,0 C.0,18D.0,12【答案】D 【解析】由y =12x 2可得抛物线标准方程为：x 2=2y ，∴其焦点坐标为0,12 .故选：D .2二项式3x 2-1x 47的展开式中常数项为()A.-7B.-21C.7D.21【答案】A 【解析】二项式3x 2-1x47的通项公式为Tr +1=C r 7⋅3x 27-r⋅-1x4r=Cr 7⋅-1 r⋅x14-14r 3，令14-14r 3=0⇒r =1，所以常数项为C 17⋅-1 =-7，故选：A3已知集合A =x log 2x ≤1 ，B =y y =2x ,x ≤2 ，则()A.A ∪B =BB.A ∪B =AC.A ∩B =BD.A ∪(C R B )=R【答案】A【解析】由log 2x ≤1，则log 2x ≤log 22，所以0<x ≤2，所以A =x log 2x ≤1 =x 0<x ≤2 ，又B =y y =2x ,x ≤2 =y 0<y ≤4 ，所以A ⊆B ，则A ∪B =B ，A ∩B =A .故选：A ．4若古典概型的样本空间Ω=1,2,3,4 ，事件A =1,2 ，甲：事件B =Ω，乙：事件A ,B 相互独立，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若B =Ω，A ∩B =1,2 ，则P A ∩B =24=12，而P A =24=12，P B =1，所以P A P B =P A ∩B ，所以事件A ,B 相互独立，反过来，当B =1,3 ，A ∩B =1 ，此时P A ∩B =14，P A =P B =12，满足P A P B =P A ∩B ，事件A ,B 相互独立，所以不一定B =Ω，所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A5若函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，则实数m =()A.1B.-1C.12D.-12【答案】C【解析】由函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，可得f -1 =f 1 ，即ln e -1-1 +m =ln e -1 -m ，解之得m =12，则f x =ln e x -1 -12x (x ≠0)，f -x =ln e -x -1 +12x =ln e x -1 -x +12x =ln e x -1 -12x =f x故f x =ln e x -1 -12x 为偶函数，符合题意.故选：C6已知函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，若f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，则平面上点(s ，t )的轨迹是()A.线段(不包含端点) B.椭圆一部分C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分【答案】A【解析】因为函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，所以y =f (x )=b ⋅1-x 2a2(-a <x <a )，因为f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，所以有f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )，且有-a <s <a ,-a <s -t <a ,-a <s +t <a 成立，即-a <s <a ,-a <t <a 成立，由f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )⇒b ⋅1-s 2a 22=b ⋅1-(s -t )2a 2⋅b ⋅1-(s +t )2a 2，化简得：t 4=2a 2t 2+2s 2t 2⇒t 2(t 2-2a 2-2s 2)=0⇒t 2=0，或t 2-2a 2-2s 2=0，当t 2=0时，即t =0，因为-a <s <a ，所以平面上点(s ，t )的轨迹是线段(不包含端点)；当t 2-2a 2-2s 2=0时，即t 2=2a 2+2s 2，因为-a <t <a ，所以t 2<a 2，而2a 2+2s 2>a 2，所以t 2=2a 2+2s 2不成立，故选：A7若tan α+π4=-2，则sin α1-sin2α cos α-sin α=()A.65B.35C.-35D.-65【答案】C【解析】因为tan α+π4 =tan α+tan π41-tan αtan π4=tan α+11-tan α=-2，解得tan α=3，所以，sin α1-sin2αcos α-sin α=sin αsin 2α+cos 2α-2sin αcos α cos α-sin α=sin αcos α-sin α 2cos α-sin α=sin αcos α-sin 2α=sin αcos α-sin 2αcos 2α+sin 2α=tan α-tan 2α1+tan 2α=3-91+9=-35.故选：C .8函数f x =2ln xx,x >0sin ωx +π6,-π≤x ≤0，若2f 2(x )-3f (x )+1=0恰有6个不同实数解，正实数ω的范围为()A.103,4B.103,4 C.2,103D.2,103【答案】D【解析】由题知，2f 2x -3f x +1=0的实数解可转化为f (x )=12或f (x )=1的实数解，即y =f (x )与y =1或y =12的交点，当x >0时，f x =2ln xx ⇒f (x )=21-ln x x 2所以x ∈0,e 时，f (x )>0，f x 单调递增，x ∈e ,+∞ 时，f (x )<0，f x 单调递减，如图所示：所以x =e 时f x 有最大值：12<f (x )max =2e<1所以x >0时，由图可知y =f (x )与y =1无交点，即方程f (x )=1无解，y =f (x )与y =12有两个不同交点，即方程f (x )=12有2解当x <0时，因为ω>0，-π≤x ≤0，所以-ωπ+π6≤ωx +π6≤π6，令t =ωx +π6，则t ∈-ωπ+π6,π6则有y =sin t 且t ∈-ωπ+π6,π6，如图所示：因为x >0时，已有两个交点，所以只需保证y =sin t 与y =12及与y =1有四个交点即可，所以只需-19π6<-ωπ+π6≤-11π6，解得2≤ω<103．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知复数z 1,z 2是关于x 的方程x 2+bx +1=0(-2<b <2,b ∈R )的两根，则下列说法中正确的是()A.z 1=z 2B.z 1z 2∈R C.z 1 =z 2 =1D.若b =1，则z 31=z 32=1【答案】ACD【解析】Δ=b 2-4<0，∴x =-b ±4-b 2i 2，不妨设z 1=-b 2+4-b 22i ，z 2=-b2-4-b 22i ，z 1=z 2，A 正确；z 1 =z 2 =-b 22+4-b 222=1，C 正确；z 1z 2=1，∴z 1z 2=z 21z 1z 2=z 21=b 2-22-b 4-b 22i ，b ≠0时，z 1z 2∉R ，B 错；b =1时，z 1=-12+32i ，z 2=-12-32i ，计算得z 21=-12-32i =z 2=z 1 ，z 22=z 1=z 2 ，z 31=z 1z 2=1，同理z 32=1，D 正确．故选：ACD ．10四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，P A 与底面垂直，P A =2，AB =1，动点M 在线段PC 上，则()A.不存在点M ，使得AC ⊥BMB.MB +MD 的最小值为303C.四棱锥P -ABCD 的外接球表面积为5πD.点M 到直线AB 的距离的最小值为255【答案】BD【解析】对于A ：连接BD ，且AC ∩BD =O ，如图所示，当M 在PC 中点时，因为点O 为AC 的中点，所以OM ⎳P A ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，所以OM ⊥AC ，因为ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD .又因为BD ∩OM =O ，且BD ，OM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥平面BDM ，因为BM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥BM ，所以A 错误；对于B ：将△PBC 和△PCD 所在的平面沿着PC 展开在一个平面上，如图所示，则MB +MD 的最小值为BD ，直角△PBC 斜边PC 上高为1×56，即306，直角△PCD 斜边PC 上高也为1×56，所以MB +MD 的最小值为303，所以B 正确；对于C ：易知四棱锥P -ABCD 的外接球直径为PC ，半径R =12PC =1222+12+12=62，表面积S =4πR 2=6π，所以C 错误；对于D ：点M 到直线AB 距离的最小值即为异面直线PC 与AB 的距离，因为AB ⎳CD ，且AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AB ⎳平面PCD ，所以直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，过点A 作AF ⊥PD ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ,又AD ⊥CD ,且P A ∩AD =A ,故CD ⊥平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，所以AF ⊥CD ，因为PD ∩CD =D ，且PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ⊥平面PCD ，所以点A 到平面PCD 的距离，即为AF 的长，如图所示，在Rt △P AD 中，P A =2，AD =1，可得PD =5，所以由等面积得AF =255，即直线AB 到平面PCD 的距离等于255，所以D 正确，故选：BCD .11今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则()A.在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为47B.在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为1314C.甲获得奖品的概率为2449D.若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小【答案】ACD【解析】设A 红，A 黄，A 绿，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，设B 红表示再抽到的小球的颜色是红的事件，在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：P B 红∣A 黄 =P B 红A 黄 P A 黄=27×4727=47，故A 正确；在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：P B 红 ∣A 红 =P A 红 B 红 P A 红 =P A 黄B 红 +P A 绿B 红 P A 红 =27×37+27×1247=1328，故B 错误；由题意可知，P A 红 =37,P A 黄 =27,P A 绿 =27,P B 红∣A 红 =37,P B 红∣A 黄 =47，P B 红∣A 绿 =12，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：P =P A 红 P B 红∣A 红 +P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄 +P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 =37×37+27×47+27×12=2449，故C 正确；因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，则P A 红∣B 红 =P A 红 ⋅P B 红∣A 红 P B 红=37×37×4924=38，P A 黄∣B 红 =P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄P B 红=27×47×4924=13，P A 绿∣B 红 =P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 P B 红 =27×12×4924=724，所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球机会最小，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知△ABC 的边BC 的中点为D ，点E 在△ABC 所在平面内，且CD =3CE -2CA ，若AC =xAB +yBE，则x +y =．【答案】11【解析】因为CD =3CE -2CA ，边BC 的中点为D ，所以12CB=3BE -BC +2AC ，因为12CB =3BE -3BC +2AC ，所以52BC =3BE +2AC ，所以52BC =52AC -AB =3BE +2AC ，所以5AC -5AB =6BE +4AC ，即5AB +6BE =AC ，因为AC =xAB +yBE ，所以x =5，y =6，故x +y =11.故答案为：1113已知圆锥母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为．【答案】①.63②.16327π【解析】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线与底面所成的角为θ,θ∈0,π2 ，易知cos θ=r 2.圆锥的体积为V =13πr 2⋅4-r 2=43πcos 2θ⋅2sin θ=8π3cos 2θ⋅sin θ=8π31-sin 2θ sin θ令x =sin θ,x ∈0,1 ，则y =1-sin 2θ sin θ=-x 3+x ，y =-3x 2+1当y >0时，x ∈0,33，当y<0时，x ∈33,1 ，即函数y =-x 3+x 在0,33 上单调递增，在33,1上单调递减，即V max =8π333-33 3 =163π27，此时cos θ=1-323 =62.故答案为：62；163π2714已知双曲线C ：x 2-y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为E ，过F 2的直线交双曲线C 的右支于A ，B 两点(其中点A 在第一象限内)，设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则当F 1A ⊥AB 时，AF 1=；△ABF 1内切圆的半径为．【答案】①.7+1##1+7②.7-1##-1+7【解析】由双曲线方程知a =1,b =3,c =2，如下图所示：由F 1A ⊥AB ，则AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2=16，故AF 1 -AF 2 2+2AF 1 AF 2 =16，而AF 1 -AF 2 =2a =2，所以AF 1 AF 2 =6，故AF 2 2+2AF 2 -6=0，解得AF 2 =7-1，所以AF 1 =7+1，若G 为△ABF 1内切圆圆心且F 1A ⊥AB 可知，以直角边切点和G ,A 为顶点的四边形为正方形，结合双曲线定义内切圆半径r =12AF 1 +AB -BF 1 =12AF 1 +AF 2 +BF 2 -BF 1所以r =1227+BF 2 -BF 1 =1227-2 =7-1；故答案为：7+1，7-1；2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(3)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1有一组按从小到大顺序排列数据：3，5，x ，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为()A.7B.7.5C.8D.6.5【答案】B【解析】依题意可得极差为10-3=7，平均数为163+5+x +8+9+10 =1635+x ，所以1635+x =7，解得x =7，所以中位线为7+82=7.5.故选：B .2已知集合A =x x -1 >2 ，B =x log 4x <1 ，则A ∩B =()A.3,4B.-∞,-1 ∪3,4C.1,4D.-∞,4【答案】A【解析】由x -1 >2，得x <-1或x >3，所以A =x x <-1或x >3 ，由log 4x <1，得0<x <4，所以B =x 0<x <4 ，所以A ∩B =x 3<x <4 .故选：A .3已知向量a =(2,0)，b =sin α,32，若向量b 在向量a 上的投影向量c =12,0 ，则|a +b |=()A.3B.7C.3D.7【答案】B【解析】由已知可得，b 在a 上的投影向量为a ⋅b |a |⋅a |a |=2sin α2×2(2,0)=(sin α,0)，又b 在a 上的投影向量c =12,0 ，所以sin α=12，所以b =12,32，所以a +b =52,32 ，所以|a +b |=52 2+322=7.故选：B .4如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍，AP ⊥AQ ，则PQ =()A.74B.262C.52D.3【答案】C【解析】设两圆锥的高OP =x ，OQ =y ，则AP =x 2+1，AQ =y 2+1，由AP ⊥AQ ，有AP 2+AQ 2=PQ 2，可得x 2+1+y 2+1=x +y 2，可得xy =1，又由上下圆锥侧面积之比为2:1，即π×1×P A =2×π×1×QA ，可得P A =2QA ，则有x 2+1=2y 2+1，即x 2=4y 2+3，代入y =1x整理为x 4-3x 2-4=0，解得x =2(负值舍)，可得y =12，OP =x +y =2+12=52．故选：C ．5已知Q 为直线l :x +2y +1=0上的动点，点P 满足QP=1,-3 ，记P 的轨迹为E ，则()A.E 是一个半径为5的圆B.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到l 的距离均为5D.E 是两条平行直线【答案】C【解析】设P x ,y ，由QP=1,-3 ，则Q x -1,y +3 ，由Q 在直线l :x +2y +1=0上，故x -1+2y +3 +1=0，化简得x +2y +6=0，即P 轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l 的距离d =6-112+22=5，故A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .6已知x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6，则a 1+a 3的值为()A.-1B.1C.4D.-2【答案】C【解析】在x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6中，而x +1 x -1 5=x x -1 5+x -1 5，由二项式定理知x -1 5展开式的通项为T r +1=C r 5x 5-r (-1)r ，令5-r =2，解得r =3，令5-r =3，r =2，故a 3=C 35(-1)3+C 25(-1)2=0，同理令5-r =1，解得r =4，令5-r =0，解得r =5，故a 1=C 45(-1)4+C 55(-1)5=4，故a 1+a 3=4.故选：C7已知P 为抛物线x 2=4y 上一点，过P 作圆x 2+(y -3)2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则cos ∠APB 的最小值为()A.12B.23C.34D.78【答案】C【解析】如图所示：因为∠APB =2∠APC ，sin ∠APC =AC PC=1PC，设P t ,t 24，则PC 2=t 2+t 24-3 2=t 416-t 22+9=116t 2-4 2+8，当t 2=4时，PC 取得最小值22，此时∠APB 最大，cos ∠APB 最小，且cos ∠APB min =1-2sin 2∠APC =1-21222=34，故C 正确.故选：C8已知函数f x ,g x 的定义域为R ,g x 为g x 的导函数且f x +g x =3,f x -g 4-x =3，若g x 为偶函数，则下列结论一定成立的是()A.f -1 =f -3B.f 1 +f 3 =65C.g 2 =3D.f 4 =3【答案】D【解析】对于D ，∵g x 为偶函数，则g x =g -x ，两边求导可得g x =-g -x ，则g x 为奇函数，则g 0 =0，令x =4，则f 4 -g 0 =3，f 4 =3，D 对；对于C ，令x =2，可得f 2 +g 2 =3f 2 -g 2 =3 ，则f 2 =3g 2 =0 ，C 错；对于B ，∵f x +g x =3，可得f 2+x +g 2+x =3，f x -g 4-x =3可得f 2-x -g 2+x =3，两式相加可得f 2+x +f 2-x =6，令x =1，即可得f 1 +f 3 =6，B 错；又∵f x +g x =3，则f x -4 +g x -4 =f x -4 -g 4-x =3，f x -g 4-x =3，可得f x =f x -4 ，所以f x 是以4为周期的函数，所以根据以上性质不能推出f -1 =f -3 ，A 不一定成立.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9下列结论正确的是()A.若a <b <0，则a 2>ab >b 2B.若x ∈R ，则x 2+2+1x 2+2的最小值为2C.若a +b =2，则a 2+b 2的最大值为2D.若x ∈(0,2)，则1x +12-x ≥2【答案】AD【解析】因为a 2-ab =a (a -b )>0，所以a 2>ab ，因为ab -b 2=b (a -b )>0，所以ab >b 2，所以a 2>ab >b 2，故A 正确；因为x 2+2+1x 2+2≥2的等号成立条件x 2+2=1x 2+2不成立，所以B 错误；因为a 2+b 22≥a +b 2 2=1，所以a 2+b 2≥2，故C 错误；因为1x +12-x =12(x +2-x )1x +12-x =122+2-x x +x 2-x ≥12(2+2)=2，当且仅当1x =12-x，即x =1时，等号成立，所以D 正确.故选：AD10若函数f x =2sin 2x ⋅log 2sin x +2cos 2x ⋅log 2cos x ，则()A.f x 的最小正周期为πB.f x 的图像关于直线x =π4对称C.f x 的最小值为-1D.f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z【答案】BCD【解析】由sin x >0,cos x >0得f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z .对于A ：当x ∈0,π2时，x +π∈π,32π 不在定义域内，故f x +π =f x 不成立，易知f x 的最小正周期为2π，故选项A 错误；对于B ：又f π2-x =2cos 2x ⋅log 2cos x +2sin 2x ⋅log 2sin x =f x ，所以f x 的图像关于直线x =π4对称，所以选项B 正确；对于C ：因为f x =sin 2x ⋅log 2sin 2x +cos 2x ⋅log 2cos 2x ，设t =sin 2x ，所以函数转化为g t =t ⋅log 2t +1-t ⋅log 21-t ,t ∈0,1 ,g t =log 2t -log 21-t ，由g t >0得，12<t <1.g t <0得0<t <12.所以g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，故g (t )min =g 12=-1，即f (x )min =-1，故选项C 正确；对于D ：因为g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，由t =sin 2x ，令0<sin 2x <12得0<sin x <22，又f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，解得2k π<x <π4+2k π,k ∈Z ，因为t =sin 2x 在2k π,π4+2k π 上单调递增，所以f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z ，同理函数的递增区间为π4+2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，所以选项D 正确.故选：BCD .11已知数列a n 的前n 项和为S n ，且2S n S n +1+S n +1=3，a 1=α0<α<1 ，则()A.当0<α<13-14时，a 2>a 1B.a 3>a 2C.数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减D.当α=34时，恒有nk =1S k -1 <54【答案】ACD【解析】由题意可得：S n +1=32S n +1，a 1=α，由S n +1=32S n +1可知：S n +1=1⇔S n =1，但S 1=α∈0,1 ，可知对任意的n ∈N *，都有S n ≠1，对于选项A ：若0<α<13-14，则a 2-a 1=S 2-2a 1=32α+1-2α=3-2α-4α22α+1=4α+1+13 13-14-α2α+1>0，即a 2>a 1，故A 正确；对于选项B ：a 3-a 2=S 3-2S 2+S 1=6α+32α+7-62α+1+α=α-1 4α2+32α+39 2α+1 2α+7<0，即a 3<a 2，故B 错误.对于选项C ：因为S n +1-1=-2S n -1 2S n +1，S n +1+32=3S n +32 2S n +1，则S n +1-1S n +1+32=-23⋅S n -1S n +32，且S 1-1S 1+32=α-1α+32<0，可知S n -1S n+32是等比数列，则S n -1S n +32=α-1α+32⋅-23n -1，设A =α-1α+32<0，t =232n -2，可得S 2n =3-3At 3+2At =3253+2At -1 ，S 2n -1=1+32At 1-At =521-At-32，因为At =A 232n -2，可知A 23 2n -2 为递增数列，所以数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减，故C 正确；对于选项D ：因为S n +1=32S n +1，S n +1-34=32S n +1-34=33-2S n 42S n +1，由S 1=α=34，可得S 2-34>0，即S 2>34，则S 2≤65，即34<S 2≤65；由34<S 2≤65，可得S 3-34>0，即S 3>34，则S 3<65，即34<S 3<65；以此类推，可得对任意的n ∈N *，都有S n ≥S 1=α=34，又因为S n +1-1S n -1=22S n +1，则S n +1-1 ≤22α+1S n -1 =45S n -1 ，所以∑nk =1S k -1 ≤541-45 n <54，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在(1+ax )n (其中n ∈N *,a ≠0)的展开式中，x 的系数为-10，各项系数之和为-1，则n =.【答案】5【解析】由题意得(1+ax )n 的展开式中x 的系数为aC 1n =-10，即an =-10，令x =1，得各项系数之和为(1+a )n =-1，则n 为奇数，且1+a =-1，即得a =-2,n =5，故答案为：513已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别F 1，F 2，椭圆的长轴长为22，短轴长为2，P 为直线x =2b 上的任意一点，则∠F 1PF 2的最大值为.【答案】π6【解析】由题意有a =2，b =1，c =1，设直线x =2与x 轴的交点为Q ，设PQ =t ，有tan ∠PF 1Q =PQ F 1Q=t3，tan ∠PF 2Q =PQ F 2Q=t ，可得tan ∠F 1PF 2=tan ∠PF 2Q -∠PF 1Q =t -t31+t23=2t t 2+3=2t +3t ≤2t 23t =33，当且仅当t =3时取等号，可得∠F 1PF 2的最大值为π6.故答案为：π614已知四棱锥P -ABCD 的底面为矩形，AB =23，BC =4，侧面P AB 为正三角形且垂直于底面ABCD ，M 为四棱锥P -ABCD 内切球表面上一点，则点M 到直线CD 距离的最小值为.【答案】10-1【解析】如图，设四棱锥的内切球的半径为r ，取AB 的中点为H ，CD 的中点为N ，连接PH ，PN ，HN ，球O为四棱锥P-ABCD的内切球，底面ABCD为矩形，侧面P AB为正三角形且垂直于底面ABCD，则平面PHN截四棱锥P-ABCD的内切球O所得的截面为大圆，此圆为△PHN的内切圆，半径为r，与HN，PH分别相切于点E，F，平面P AB⊥平面ABCD，交线为AB，PH⊂平面P AB，△P AB为正三角形，有PH⊥AB，∴PH⊥平面ABCD，HN⊂平面ABCD，∴PH⊥HN，AB=23，BC=4，则有PH=3，HN=4，PN=5，则△PHN中，S△PHN=12×3×4=12r3+4+5，解得r=1.所以，四棱锥P-ABCD内切球半径为1，连接ON.∵PH⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PH，又CD⊥HN，PH,HN⊂平面PHN，PH∩HN=H，∴CD⊥平面PHN，∵ON⊂平面PHN，可得ON⊥CD，所以内切球表面上一点M到直线CD的距离的最小值即为线段ON的长减去球的半径，又ON=OE2+EN2=10.所以四棱锥P-ABCD内切球表面上的一点M到直线CD的距离的最小值为10-1.故答案为：10-12024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(4)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知双曲线的标准方程为x 2k -4+y 2k -5=1，则该双曲线的焦距是()A.1B.3C.2D.4【答案】C【解析】由双曲线方程可知a 2=k -4,b 2=5-k ，所以c 2=k -4+5-k =1，c =1，2c =2．故选：C2在等比数列a n 中，a 1+a x =82，a 3a x -2=81，前x 项和S x =121，则此数列的项数x 等于()A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】由已知条件可得a 1+a x =82a 3a x -2=a 1a x =81，解得a 1=1a x =81 或a 1=81a x =1 .设等比数列a n 的公比为q .①当a 1=1，a x =81时，由S x =a 1-a x q 1-q =1-81q1-q=121，解得q =3，∵a x =a 1q x -1=3x -1=81，解得x =5；②当a 1=81，a x =1时，由S x =a 1-a x q 1-q =81-q 1-q =121，解得q =13，∵a x =a 1q x -1=81×13x -1=35-x =1，解得x =5.综上所述，x =5.故选：B .3对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是()A.“ac 2>bc 2”是“a >b ”的必要条件B.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件C.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的充分条件D.“ac 2≥bc 2”是“a ≥b ”的充分条件【答案】B【解析】对于A ，若c =0，则由a >b ⇏ac 2>bc 2，∴“ac 2>bc 2”不是“a >b ”的必要条件，A 错．对于B ，a =b ⇒ac 2=bc 2，∴“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件，B 对，对于C ，若c =0，则由ac 2=bc 2，推不出a =b ，“ac 2=bc 2”不是“a =b ”的充分条件对于D ，当c =0时，ac 2=bc 2，即ac 2≥bc 2成立，此时不一定有a ≥b 成立，故“ac 2≥bc 2”不是“a ≥b ”的充分条件，D 错误，故选：B ．4已知m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是()A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB.若α⊥β，β⊥γ，则α∥βC.若m ∥α，m ∥β，则α∥βD.若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n【答案】D【解析】A选项：令平面ABCD为平面α，A1B1为直线m，B1C1为直线n，有：m∥α，n∥α，但m∩n=B1，A错误；B选项：令平面ABCD为平面β，令平面B1BCC1为平面α，令平面A1ABB1为平面γ，有：α⊥β，β⊥γ，而α⊥β，B错误；C选项：令平面ABCD为平面α，令平面A1ABB1为平面β，C1D1为直线m，有：m∥α，m∥β，则α∥β，而α⊥β，C错误；D选项：垂直与同一平面的两直线一定平行，D正确.故选：D5将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有()A.2720B.3160C.3000D.2940【答案】D【解析】共有两种分配方式，一种是4:2:2，一种是3:3:2，故不同的安排方法有C48C24C222!+C38C35C222!A33=2940.故选：D6若抛物线y2=4x与椭圆E:x2a2+y2a2-1=1的交点在x轴上的射影恰好是E的焦点，则E的离心率为()A.2-12 B.3-12 C.2-1 D.3-1【答案】C【解析】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为A，椭圆E右焦点为F，则根据题意得AF⊥x轴，c2=a2-a2-1=1，则c=1，则F1,0，当x=1时，y2=4×1，则y A=2，则A1,2，代入椭圆方程得12a2+22a2-1=1，结合a2-1>0，不妨令a>0；解得a=2+1，则其离心率e=ca=12+1=2-1，故选：C.7已知等边△ABC 的边长为3，P 为△ABC 所在平面内的动点，且|P A |=1，则PB ⋅PC 的取值范围是()A.-32,92B.-12,112C.[1,4]D.[1,7]【答案】B【解析】如下图构建平面直角坐标系，且A -32,0 ，B 32,0 ，C 0,32，所以P (x ,y )在以A 为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为x +322+y 2=1，而PB =32-x ,-y ,PC =-x ,32-y ，故PB ⋅PC =x 2-32x +y 2-32y =x -34 2+y -34 2-34，综上，只需求出定点34,34 与圆x +322+y 2=1上点距离平方范围即可，而圆心A 与34,34 的距离d =34+32 2+34 2=32，故定点34,34与圆上点的距离范围为12,52，所以PB ⋅PC ∈-12,112.故选：B 8设a 、b 、c ∈0,1 满足a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则()A.a +c <2b ，ac <b 2B.a +c <2b ，ac >b 2C.a +c >2b ，ac <b 2D.a +c >2b ，ac >b 2【答案】A【解析】∵a 、b 、c ∈0,1 且a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则c =tan a =tan sin b ，先比较a +c =sin b +tan sin b 与2b 的大小关系，构造函数f x =sin x +tan sin x -2x ，其中0<x <1，则0<sin x <1，所以，cos1<cos sin x <1，则f x =cos x +cos xcos 2sin x -2=cos x -2 cos 2sin x +cos x cos 2sin x，令g x =cos x -1-12x 2 ，其中x ∈0,1 ，则g x =x -sin x ，令p x =x -sin x ，其中0<x <1，所以，p x =1-cos x >0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，故g x >g 0 =0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，则g x =cos x -1-12x 2 >0，即cos x >1-12x 2，因为x ∈0,1 ，则0<sin x <sin1，所以，cos sin x >1-12sin 2x =1-121-cos 2x =121+cos 2x ，所以，cos 2sin x >141+cos 2x 2，因为cos x -2<0，所以，cos x -2 cos 2sin x +cos x <14cos x -2 1+cos 2x 2+cos x=14cos 5x -2cos 4x +2cos 3x -4cos 2x +5cos x -2 =14cos x -1 3cos 2x +cos x +2 <0，所以，对任意的x ∈0,1 ，f x =cos x -2 cos 2sin x +cos xcos 2sin x <0，故函数f x 在0,1 上单调递减，因为b ∈0,1 ，则f b =sin b +tan sin b -2b <f 0 =0，故a +c <2b ，由基本不等式可得0<2ac ≤a +c <2b (a ≠c ，故取不了等号)，所以，ac <b 2，故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9某大学生做社会实践调查，随机抽取6名市民对生活满意度进行评分，得到一组样本数据如下：88、89、90、90、91、92，则下列关于该样本数据的说法中正确的是()A.均值为90B.中位数为90C.方差为2D.第80百分位数为91【答案】ABD【解析】由题意可知，该组数据的均值为x =88+89+90+90+91+926=90，故A 正确；中位数为90+902=90，故B 正确；方差为s 2=1688-90 2+89-90 2+90-90 2×2+91-90 2+92-90 2 =53，故C 错误；因为6×80%=4.8，第80百分位数为91，故D 正确.故选：ABD .10设M ，N ，P 为函数f x =A sin ωx +φ 图象上三点，其中A >0，ω>0，ϕ <π2，已知M ，N 是函数f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，P 是图象在M ，N 之间的最高点，若MP 2+2MN ⋅NP=0，△MNP 的面积是3，M 点的坐标是-12,0 ，则()A.A =2B.ω=π2C.φ=π4D.函数f x 在M ，N 间的图象上存在点Q ，使得QM ⋅QN <0【答案】BCD【解析】MP 2+2MN ⋅NP =MP 2-2NM ⋅NP =MP 2-2NM ⋅12NM =T 4 2+A 2 -T 22=A 2-3T 216=0，而S △MNP =AT 4=3，故A =3，T =4=2πω，ω=π2，A 错误、B 正确；-12⋅π2+φ=k π，φ=k π+π4(k ∈Z )，而ϕ <π2，故φ=π4，C 正确；显然，函数f x 的图象有一部分位于以MN 为直径的圆内，当Q 位于以MN 为直径的圆内时，QM⋅QN<0，D 正确，故选:BCD .11设a 为常数，f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )，则()．A .f (a )=12B .f (x )=12成立C f (x +y )=2f (x )f (y )D .满足条件的f (x )不止一个【答案】ABC 【解析】f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )对A ：对原式令x =y =0，则12=12f a +12f a =f a ，即f a =12，故A 正确；对B ：对原式令y =0，则f x =f x f a +f 0 f a -x =12f x +12f a -x ，故f x =f a -x ，对原式令x =y ，则f 2x =f x f y +f y f x =2f x f y =2f 2x ≥0，故f x 非负；对原式令y =a -x ，则f a =f 2x +f 2a -x =2f 2x =12，解得f x =±12，又f x 非负，故可得f x =12，故B 正确；对C ：由B 分析可得：f x +y =2f x f y ，故C 正确；对D ：由B 分析可得：满足条件的f x 只有一个，故D 错误.故选：ABC .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在复平面内，复数z =-12+32i 对应的向量为OA ，复数z +1对应的向量为OB ，那么向量AB 对应的复数是．。
推荐-扬州大学附属中学高三数学综合测试试题(一)答案
扬州大学附属中学高三数学综合测试试题（一）参考答案617．解：（1）∵ (s i n ,1c o s m B B =- , 且与向量(1,0)n =所成角为,3∴12=，1cos22B =，又0βπ<<， ∴23B π=，即2,33B AC ππ=+=。
（2）：由（1）可得：∴ sin sin A C + sin sin()3A A π=+-1sin 22A A =+sin()3A π=+ ∵ 03A π<<， ∴2333A πππ<+<，∴ s i n (),1]3A π+∈， ∴ s i n s i n ,1]A C +∈。
当且仅当6A C π==时，sin sin 1A C += 。
18．解：（1）设(,)P x y ，则(,)Q x y --。
∵ (,)Q x y --在函数log (1)a y x =+的图象上.∴ l o g (1)a y x -=-+，即log (1)a y x =--， 这就是说，).1(log )(x x g a --=（2）当[0,1)x ∈，()()()log (1)log (1)a a F x f x g x x x =+=+--1log (1)1a x a x +=>-由题意知，只要min )11(log xxm a-+≤. ∵ 12()log log (1)11aa x F x x x+==-+--在[0,1)上是增函数. ∴ m i n ()(0)0F x F ==，故0m ≤即为所求.19．（1）略；（2）；；（3）552。
20．解：（I ）222(,)(,)AP x a y a x a x a =+-=+-，则22222()()()f x AP x a x a ==++-42242(12)2x a x ax a a =+-+++，∴ 32()42(12)2f x x a x a '=+-+，令 ()0f x '=得322(12)0x a x a +-+=，即2()(221)0x a x ax +-+=，∵a >此方程有三个根123,x a x x =-==， ①当x a <-时，()0f x '<；②当2a a x --<<时，()0f x '>；③当22a a x -+<<时，()0f x '<；④当2a x +>时，()0.f x '>∴ 当x a =-或2a x +=时，()f x 有极小值.（II ）由（I ）知，,2220-+=a a x则直线AP 0的斜率,222222002201aa a a a a x a x a x k --=--+=-=+-=又抛物线2y x =在点000(,)P x y 处的切线的斜率,22202-+==a a x k∴ 22122(1,22a a a k k a --=⨯+==-即抛物线在点000(,)P x y 处的切线与直线AP 0垂直.21．解：（1）设直线AB ：2)1(+-=x k y 代入1222=-y x 得 222(2)2(2)(2)20k x k k x k ------= （＊） 令11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12,x x 是方程的两根，∴ 220k -≠ 且 1222(2)2k k x x k -+=-∵ 1()2ON OA OB =+ ∴ N 是AB 的中点 ∴1212x x += ∴ 2(2)2k k k -=-+ ，1k = ∴ AB 方程为：1y x =+（2）将1k =代入方程（＊）得2230x x --= 1x =-或3x = 由1y x =+得10y =，24y =， ∴ (1,0)A -，(3,4)B ∵ 0C D A B ⋅= ∴ CD 垂直平分AB∴ CD 所在直线方程为(1)2y x =--+即3y x =-，将3y x =-代入双曲线方程整理得26110x x +-=令33(,)C x y ，44(,)D x y 及CD 中点00(,)M x y 则346x x +=-，3411x x ⋅=-， ∴34032x x x +==-， 06y = |CD| =104，1||||||2MC MD CD ===||||MA MB ==A 、B 、C 、D 到M 距离相等 ∴ A 、B 、C 、D 四点共圆。
高三数学选择题专题训练(17套)含答案
（每个专题时间：35分钟，满分：60分）1．函数y =的定义域是（ ）A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞ C ．23[,1] D ．23(,1]2．函数221()1x f x x -=+, 则(2)1()2f f = （ ） A ．1 B ．－1 C ．35D ．35-3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（ ）A ．2 BC ．1 D4．不等式221x x +>+的解集是（ ） A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(1,0)(0,1)- D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）A ．12-B ．12C． D6．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．127．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。
那么p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题 （ ）①////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭ ③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有：（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个9． 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是 （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．400810．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）A ．43B ．53C ．2D ．7311．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 （ ）A ．2140B ．1740C ．310D ．712012． 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是A ．258B ．234C ．222D ．2101．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则()U C A B 等于( )A ．{1，2，4}B ．{4}C ．{3，5}D ．∅2．︒+︒15cot 15tan 的值是（ ）A ．2B ．2+3C ．4D ．334 3．命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b|>1是|a +b|>1的充要条件；命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞).则（ ）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真4．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．32 B ．33 C ．22 D ．235．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） A ．1B ．－1C ．2D ．216．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：其中真命题的个数是（ ） ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β.A ．0B ．1C ．2D ．37．已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，则函数y= f —1(1－x )的图象是（ ）8．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 9．已知8)(xa x -展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ ）A ．28B ．38C ．1或38D ．1或2810．如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60º，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是（ ） A ．arcsin 63 B ．arccos 63C ．arcsin 33 D ．arccos 3311．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，4] 时，f(x)= x －2，则 （ ） A ．f (sin21)<f (cos 21) B ．f (sin 3π)>f (cos 3π) C ．f (sin1)<f (cos1) D ．f (sin 23)>f (cos 23) 12．如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ，现要在曲线PQ 上任意选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物，经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用都是a 万元/km 、那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）A ．(7+1)a 万元B ．(27－2) a 万元C ．27a 万元D ．(7－1) a 万元专题训练（三）1．已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥，则x= （ ） A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 2．已知{}{}2||1|3,|6,A x x B x xx =+>=+≤则A B =（ ）A ．[)(]3,21,2-- B ．(]()3,21,--+∞C ． (][)3,21,2--D ．(](],31,2-∞-3．设函数2322,(2)()42(2)x x f x x x a x +⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩在x=2处连续,则a= （ ）A ．12-B ．14- C ．14 D ．134．已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a …2n a +等于（ ）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n5．函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是（ ） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数 C ． 周期为2π的偶函数 D ．.周期为2π的奇函数6．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ）A ．0.1536B ． 0.1808C ． 0.5632D ． 0.97287．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（ ）A ．23 B ． 76 C ． 45 D ． 568．若双曲线2220)x y kk -=>（的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ） A ． 6 B ． 8C ． 1D ． 49．当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是（ ） A ． 4 B ． 12 C ．2 D ． 1410．变量x 、y 满足下列条件：212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是 （ ）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 )11．若tan 4f x x π=+（）（），则（ ） A ． 1f -（）>f (0)>f (1) B ． f （0）>f(1)>f (-1) C ． 1f （）>f (0)>f (-1) D ． f （0）>f(-1)>f (1) 12．如右下图,定圆半径为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0 与直线 x –y+1=0的交点在( )A ． 第四象限B ． 第三象限C ．第二象限D ． 第一象限1．设集合P={1A ．{1，2} B ． {3，4} C ． {1} D ． {-2，-1，0，1，2}2．函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）A ．140种B ．120种C ．35种D ．34种4．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是（ ）A ．33π100cmB ． 33π208cmC ． 33π500cmD ． 33π3416cm 5．若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．22C ． 4D ．246．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ ）A ．0.6小时B ．0.9小时C ．1.0小时D ．1.5小时 7．4)2(x x +的展开式中x 3的系数是（ ） A ．6 B ．12 C ．24 D ．488．若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两 点(-1，0)和(0，1)，则（ ）A ．a =2,b=2B ．a = 2 ,b=2C ．a =2,b=1D ．a = 2 ,b= 29．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分 别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）A ．5216B ．25216C ．31216D ．9121610．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）A ．1，-1B ．1，-17C ．3，-17 D．9，-1911．设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 （ ）A ．3B ．32C ．43D ．6512．设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个人数(人)时间(小时)专题训练（五）1．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．对于10<<a ，给出下列四个不等式，其中成立的是( )① )11(log )1(log a a a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aa a a 111++<④aaaa 111++>A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④3．已知α、β是不同的两个平面，直线βα⊂⊂b a 直线,，命题b a p 与:无公共点；命题βα//:q . 则q p 是的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 4．圆064422=++-+y x y x 截直线x -y -5＝0所得弦长等于（ ） A ．6 B ．225 C ．1 D ．5 5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．21p pB ．)1()1(1221p p p p -+-C ．211p p -D ．)1)(1(121p p --- 6．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 7．已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是( )A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 8．已知随机变量ξ的概率分布如下：则==)10(ξP ( )A ．932 B ．103 C ．93 D ．103 9．已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是( )A ．26 B ．23 C ．3D ．210．设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是( )A ．π68B ．π664C ．π224D ．π27211．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是( )A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-== 12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐， 并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是( )A ．234B ．346C ．350D ．3631．设集合U A ．{2} B ．{2，3} C ．{3} D ． {1，3} 2．已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若（ ） A ．21 B ．－21 C ．2 D ．－23．已知a +b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |=（ ） A ．7 B ．10C ．13D ．44．函数)1(11>+-=x x y 的反函数是 （ ）A ．)1(222<+-=x x x yB ．)1(222≥+-=x x x y C ．)1(22<-=x x x y D ．)1(22≥-=x x x y5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－426．设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+=（ ） A ．57B ．51C ．27 D ．47．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（ ） A ．23B ．3C ．27 D ．48．设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．]21,21[-B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST等于（ ）A ．91 B ．94 C ．41 D ．31 11．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ ）A ．95 B ．94 C ．2111 D ．2110 12．已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（ ）A ．3－21B ．21－3C ．－21－3D ．21+31．已知集合}032|{|,4|{22<--=<=x x x N x x M ，则集合N M ⋂=（ ） A ．{2|-<x x } B ．{3|>x x } C ．{21|<<-x x } D ． {32|<<x x }2．函数)5(51-≠+=x x y 的反函数是（ ） A ．)0(51≠-=x x y B ．)(5R x x y ∈+=C ．)0(51≠+=x xy D ．)(5R x x y ∈-=3．曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为（ ） A ．43-=x y B ．23+-=x y C ．34+-=x y D ．54-=x y4．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（ ）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x5．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（ ）A ．6π-B ．6π C ．12π-D ．12π 6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ） A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 7．函数xe y -=的图象（ ） A ．与xe y =的图象 关于y 轴对称B ．与xe y =的图象关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称D ．与xe y -=的图象关于坐标原点对称 8．已知点A （1，2）、B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 9．已知向量a 、b 满足：|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |=（ ） A ．1B ．2C ．5D ．610．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ）A ．31 B ．33 C ．32 D ．36 11．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2π C ．π D ．2π12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个专题训练（八）1、设集合22,1,,M x y xy x R y R =+=∈∈，2,0,,N x y xy x R y R =-=∈∈，则集合MN 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42、函数sin 2xy =的最小正周期是（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π3、记函数13xy -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =（ ） A ． 2 B ． 2-C ． 3D ． 1- 4、等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ）A ． 81B ． 120C ．168D ． 1925、圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是（ ）A ． 20x +-=B ． 40x +-=C ． 40x -+=D ． 20x +=6、61x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（ ）A ． 15B ． 15-C ． 20D ． 20-7、若△ABC 的内角满足sin A ＋cos A ＞0，tan A -sin A ＜0，则角A 的取值范围是（ ）A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，43π） D ．（43π，） 8、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ）A ． 5B ．C ．D ． 549、不等式113x <+<的解集为（ ）A ． ()0,2B ． ()()2,02,4- C ． ()4,0- D ． ()()4,20,2--10、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ． 3D ．11、在ABC 中，3,4AB BC AC ===，则边AC 上的高为（ ）A ．B ．C ． 32D ．12、4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）A ． 12 种B ． 24 种C 36 种D ． 48 种1．设集合U={1U A ．{5} B ．{0，3} C ．{0，2，3，5} D ． {0，1，3，4，5}2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（ ） A ．)0(ln 2>=x x y B ．)0)(2ln(>=x x y C ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为（ ） A ．26 B ． 6C ．66 D ．36 4． 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．为了得到函数xy )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象（ ）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 A ．160 B ．180 C ．200 D ．2207．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ）A ．41-B ．41 C ．21-D ．21 8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y xC ．03222=-++x y x D ．0422=-+x y x9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ） A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－511．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=BC=23，则球心到平面ABC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．212．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b =（ ） A ．231+ B ．31+ C ．232+ D ．32+1．设集合A ．PQ P = B ．P Q 包含Q C ．P Q Q = D ． P Q 真包含于P2． 不等式21≥-xx 的解集为（ ） A ． )0,1[- B ． ),1[+∞- C ．]1,(--∞ D ．),0(]1,(+∞--∞ 3．对任意实数,,a b c 在下列命题中，真命题是（ ）A ．""ac bc >是""a b >的必要条件B ．""ac bc =是""a b =的必要条件C ．""ac bc >是""a b >的充分条件D ．""ac bc =是""a b =的充分条件 4．若平面向量b 与向量)2,1(-=的夹角是o 180，且53||=，则=b （ ） A ． )6,3(- B ． )6,3(- C ． )3,6(- D ． )3,6(-5．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点。
高三数学综合训练试题
数学综合训练试题一．选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分）1．设集合}log ,3{2a P =，{}b a Q ,=，若}0{=Q P ，则=Q P （ ）A.{}0,3B.{}2,0,3C.{}1,0,3D.{}2,1,0,32．复数31i i +（i 为虚数单位）的虚部是（ ）A ．12iB ．12-iC ．12-D ．123．已知p ：20<<x ，q ：11≥x,则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为112,6n n S a -=⋅+则a 的值为（ ）A ．13-B ．13C ．12-D ．125．一个体积为柱的侧(左)视图的面积为（ ）A ． 12B ．8C ．D ．6．将函数)3cos(π-=x y 的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，所得图像的一条对称轴方程为（ ）A.9π=x B. 8π=x C. 2π=x D. π=x7．已知函数()|lg |f x x =,若0a b <<,且()()f a f b =,则2a b +的取值范围是（ ）A.)+∞B.)+∞C.[3,)+∞D.(3,)+∞ 8．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高 （单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）． 若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150] 三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人 参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生 中选取的人数应为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AO AC AB 2=+，且||||AC OA =，则向量BA 在向量BC 方向上的射影为（ ）A.B. C.3 D.10．对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为33313355++=，如此 反复操作，则第2011次操作后得到的数是 （ ）A.25B.250C.55D.13311．已知椭圆2214x y +=的焦点为1F ，2F ，在长轴12A A 上任取一点M ，过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于点P ，则使得120PF PF ⋅<的点M 的概率为（ ）A．3 BC ．D ．1212．定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是（ ） A ．γβα<< B ．βγα<< C ．βαγ<< D ．γαβ<<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．经过圆0222=++y x x 的圆心，且与直线0=+y x 垂直的直线方程是 ． 14．已知(cos 23,cos67)AB =︒︒ ,(2cos68,2cos 22)BC =︒︒，则ABC ∆的面积为 ． 15．用{}b a ,max 表示b a ,两个数中的最大数，设(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=41,max 2x x x x f ，那么由函数()x f y =的图象、x 轴、直线41=x 和直线2=x 所围成的封闭图形的面积是 ． 16．已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，()()x f x f -=+4，且在[]2,0上()x f 是增函数，则下列结论：①若4021<<<x x 且421=+x x ，则()()021>+x f x f ； ②若5,402121=+<<<x x x x 且，则()()21x f x f >；③若方程()[]8,8-=在m x f 内恰有四个不同的解4321,,,x x x x ，则84321±=+++x x x x ．其中正确的命题序号有 ． 三．解答题（共6小题）17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和，122++=n n S n 。
高中数学分章节训练试题：113角恒等变换
高三数学章节训练题11 <三角恒等变换练习题>时量：60分钟 总分值：80分 班级||： 姓名： 计分：个人目标：□优秀 (70’~80’ ) □良好 (60’～69’ ) □合格 (50’～59’ )一、选择题 (本大题共6小题 ,每题5分 ,总分值30分 ) 1. (,0)2x π∈- ,4cos 5x = ,那么=x 2tan ( )A. 247 B. 247- C. 724 D. 724- 2. 函数3sin 4cos 5y x x =++的最||小正周期是 ( )A. 5π B. 2π C. π D. 2π 3. 在△ABC 中 ,cos cos sin sin A B A B > ,那么△ABC 为 ( )A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定4. 设00sin14cos14a =+ ,00sin16cos16b =+ ,c =,那么,,a b c 大小关系 ( )A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D. a c b <<5. 函数)cos[2()]y x x ππ=-+是 ( )A. 周期为4π的奇函数 B. 周期为4π的偶函数 C. 周期为2π的奇函数 D. 周期为2π的偶函数6. cos 23θ=,那么44sin cos θθ+的值为 ( ) A. 1813 B. 1811 C. 97 D. 1-二、填空题 (本大题共4小题 ,每题5分 ,总分值20分 )1. 求值：0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________.2. 假设1tan 2008,1tan αα+=-那么1tan 2cos 2αα+= .3. sin cos 22θθ+=那么sin θ的值为 ,cos 2θ的值为 .4. ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ,当A 为 时 ,cos 2cos2B C A ++取得最||大值 ,且这个最||大值为 .三、解答题 (本大题共3小题 ,每题10分 ,总分值30分 )1. ① sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.②假设,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围.2. 求值：0010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+--3. 函数.,2cos 32sin R x x x y ∈+= ①求y 取最||大值时相应的x 的集合；②该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象.高三数学章节训练题11 <三角恒等变换练习题>参考答案一、选择题 1. D (,0)2x π∈- ,24332tan 24cos ,sin ,tan ,tan 25541tan 7x x x x x x ==-=-==-- 2. D 25sin()5,21y x T πϕπ=++== 3. C cos cos sin sin cos()0,cos 0,cos 0,A B A B A B C C C -=+>-><为钝角4. D 0a = ,061b = ,060c =5. C 2cos 242y x x x ==- ,为奇函数 ,242T ππ== 6. B 442222221sin cos (sin cos )2sin cos 1sin 22θθθθθθθ+=+-=-21111(1cos 2)218θ=--= 二、填空题0000000tan 20tan 40tan 60tan(2040)1tan 20tan 40+=+==-000020tan 40tan 20tan 40=+2. 2008 11sin 21sin 2tan 2cos 2cos 2cos 2cos 2ααααααα++=+= 222(cos sin )cos sin 1tan 2008cos sin cos sin 1tan αααααααααα+++====--- 3. 17,39 22417(sin cos )1sin ,sin ,cos 212sin 22339θθθθθθ+=+===-= 4. 0360,2 2cos 2cos cos 2sin 12sin 2sin 2222B C A A A A A ++=+=-+ 22132sin 2sin 12(sin )22222A A A =-+-=--+ 当1sin 22A = ,即060A =时 ,得max 3(cos 2cos )22BC A ++= 三、解答题1. ①解：sin sin sin ,cos cos cos ,βγαβγα+=-+=-22(sin sin )(cos cos )1,βγβγ+++=122cos()1,cos()2βγβγ+-=-=-. ②解：令cos cos t αβ+= ,那么2221(sin sin )(cos cos ),2t αβαβ+++=+ 221322cos(),2cos()22t t αβαβ+-=+-=-2231722,,222t t t -≤-≤-≤≤≤≤ 2. 解：原式2000000002cos 10cos5sin 5sin10()4sin10cos10sin 5cos5=-- 000000cos10cos102sin 202cos102sin102sin10-=-= 0000000000cos102sin(3010)cos102sin 30cos102cos30sin102sin102sin10---+==0cos30==3. 解：sin2sin()2223x x x y π=+=+ (1 )当2232x k πππ+=+ ,即4,3x k k Z ππ=+∈时 ,y 取得最||大值 |4,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭为所求 (2 )2sin()2sin 2sin 232x x y y y x ππ=+−−−−−→=−−−−−−−→=右移个单位横坐标缩小到原来的2倍3 sin y x −−−−−−−→=纵坐标缩小到原来的2倍。
广西省百色市2024学年高三第二学期3月(总第十一次)模块诊断数学试题
广西省百色市2024学年高三第二学期3月(总第十一次)模块诊断数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．83C ．6D ．84．已知数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于（ ）A ．64B ．32C ．2D ．45．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3n nb a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ） A ．3- B ．13- C ．1D ．36．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．97．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，(5)c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>8．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．9．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ） A ．12种B ．18种C ．24种D ．64种10．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．111．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b ab aa ab b >>>D ．1log log a bb aa b a b >>>12．已知{}1A x x =<，{}21xB x =<，则A B =（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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广州市高三数学训练题 （十一） 综合训练（1）（时间：120分钟满分150分）（由广州市中学数学教研会高三中心组编写，本卷命题人:杨仁宽，修订：杨斗） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 得分 答案（1）计算：=--+ii i 21)1)(2(2（ ）（A ）2（B ）2- （C ）2i（D ）2i -（2）已知{}{}7,4,3,2-==→→b a ，则→a 在→b 上的射影为 （A ）13； （B ）513； （C ） 565； （D ） 65（3）已知a 、b 为直线，α、β为平面．在下列四个命题中，① 若a ①α，b ①α，则a ①b ； ① 若 a ①α，b ①α，则a ①b ； ① 若a ①α，a ①β，则α①β； ① 若α①b ，β①b ，则α①β． 正确命题的个数是(A) 1 (B) 3 (C) 2 (D) 0（4）函数f (x )＝A ·tan(ωx +φ)(φ＞0)在区间[m ，n]上的函数值都小于0，则函数g (x )＝A ·cot(ωx +φ)在[m ，n]上的函数值(A) 都大于0，且有最大值为g (m ) (B) 都小于0，且有最大值为g (m ) (C) 都大于0，且有最小值为g (m ) (D) 都小于0，且有最小值为g (m ) （5）已知函数()()01f x x ≤≤的图象的一段圆弧（如图所示）若1201x x <<<，则 （A ）1212()()f x f x x x < （B ）1212()()f x f x x x = （C ）1212()()f x f x x x > （D ）前三个判断都不正确 （6）对于四条曲线：① 0124=-+y x ；① 322=+y x ；① 2222=+y x ； ① 2222=-y x ． 其中与直线2 x + y +3＝0有交点的所有曲线是(A) ①，①，① (B) ①，① (C) ①，① (D) ①，①，①（7）将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，xyO 1则可能的分配方案种数是(A)4444242628A A C C C (B)44242628A A A A (C)44242628A C C C (D)242628C C C（8）定义在R 上的偶函数f (x )在[)∞+,0上递增，0)31(=f ，则满足)(log 81x f ＞0的x 的取值范围是(A)()∞+,0 (B)()∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛,221,0 (C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2181,0 (D) ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 （9）现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是30cm ，底面的长是25cm ，宽是20cm ．设0＜ a ≤8，水箱里盛有深为a cm 的水，若往水箱里放入棱长为10cm 的立方体铁块，则水深为 (A) 2 cm (B) 10 cm (C) (a +2) cm (D)cm a 45（10）我国首航员杨利伟乘坐的“神舟五号”载人宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面为m 公里，远地点B 距地面为n 公里．若地球的半径为R 公里，则飞船运行轨道的短轴长为(A) mn (B) 2))((R n R m ++ (C) 2nm (D)))((R n R m ++（11）已知函数f (x )的图象过点(0，－5)，它的导数f /(x )＝4x 3－4x ，则当f (x )取得最大值－5时，x 的值应为(A) －1 (B) 0 (C) 1 (D) ±1 （12）在平面直角坐标系中，有两个区域M 、N ，M 是由三个不等式y ≥0、y ≤x 和y ≤2－x 确定的；N 是随t 变化的区域，它由不等式t ≤x ≤t +1（0≤t ≤1）所确定．设M 、N 的公共部分的面积为f (t )，则f (t )等于(A)t t 222+- (B)2)2(21-t (C)2211t - (D) 212++-t t 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上．(13)已知点P 在抛物线122+=x y 上运动，定点A(0，－1)，若点M 分PA 所成的比为2，则动点M 的轨迹方程是 ．(14) 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测的刹车后t 秒内列车前进的距离为2270.45S t t =-米，则列车刹车后 秒车停下来，期间列车前进了 米． (15)在测量学中，把斜坡的坡面与水平面所成二面角的大小叫做坡角．若要将坡长为100 m 、 100 m坡角为450的坡面，改造成坡角为300的坡面， 450 300 则坡底要伸长 m ． (16) 设有两个命题： ① 不等式x 2004 + 4 ＞m ＞ 2x －x 2对一切实数x 恒成立；① 函数f (x )＝－x m )27(-是R 上的减函数．使这两个命题都是真命题的充要条件，用m 可表示为 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) ( 本题满分12分 )已知函数f x x x x x ()cos sin cos sin =--442 （I ）求f x ()的最小正周期； （II ）若x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥02，π，求f x ()的最大值，最小值．(18) ( 本题满分12分 )已知一台机器在一天内发生故障的概率为0．2，机器发生故障时全天停止工作．一周五天工作日里无故障可获利10万元，发生一次故障可获利5万元，发生两次故障没有利润，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．这台机器在一周内平均获利多少？(19) ( 本题满分12分 )已知，如图四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且AG =31GD ，BG ⊥GC ，GB =GC =2，E 是BC 的中点，四面体P —BCG 的体积为38． （Ⅰ）求异面直线GE 与PC 所成的角； （Ⅱ）求点D 到平面PBG 的距离；（Ⅲ）若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求FCPF的值．(20) ( 本题满分12分 )已知等差数列{}n a 的前n 项之和为S n ，令n n S b 1=，且5244=b a ，S 6－S 3＝15． (①)求数列{}n b 的通项公式与它的前10项之和；(①)若11=c ，0211=-+n n c c ，n T ＝∑=nk k k c a 1，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→12n n n n a T lin 的值．(21) ( 本题满分12分 )已知点(,0)(0)F a a >，动点M 、P 分别在x 、y 轴上运动，满足0PM PF ⋅=，N 为动点，并且满足0PN PM +=．（Ⅰ）求点N 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点(,0)F a 的直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于A B 、两点，设点 (,0)K a -，KA 与KB 的夹角为θ，求证：02πθ<<．(22) ( 本题满分14分 )函数bx a x f 211)(⋅+=的定义域为R ，且*)(0)(lim N n n f n ∈=-∞→ （Ⅰ）求证：0,0a b ><； （Ⅱ）若()41,()[0,1]5f f x =且在上的最小值为21，试求f (x )的解析式； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下记),)(()2()1(N n n f f f S n ∈+++= 试比较n S 与 *111()22n n n N +++∈的大小并证明你的结论．(十一)综合训练（1）参考答案提示：（1）()()222122(2)(1)(2)(1)2121212i i i i i i i i i i i--+--+-===--- （2）→a 在→b 上的射影cos ,65a b a a b b===，选（C ）（3）由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知①假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知①真；易知①假，选（C ） （4）因)(x g 仍负可排除（A ）（C ），由A ＞0时)(x f 递增可知)(x g 递减，从而选（B ）或取A＝ω＝1，φ＝4π，43π-=m ，4π-=n 而得（B ）（5）∵1212()(),f x f x x x 可视为曲线上两点11(,())x f x 、22(,())x f x 的斜率，作图易得1212()()f x f x x x >．选C ． （7）由032=++y x 与①平行可去（B ）（D ），将032=++y x 代入①得①＝0，从而选（A ）（8）将8名售票员平分为4组：有44242628A C C C ÷，再分配医生有44A ，由此得（C ）（9）由|)(|)()(x f x f x f =-=得|)log (|81x f ＞)31(f ，于是|log |81x ＞31解此得（B ） （10）铁块全部浸入水中时水面升高2cm ．因0＜a ≤8，铁块不能全部浸入水中，设铁块放入水中后水面升高x cm ，则500a ＝（500－100）x 中x ＝a 45选（D ）（11）因R n c a +=+，R m c a +=-，))(())((2R m R n c a c a b ++=-+=，由此选（B ）（12）易知52)(24--=x x x f ，0)(/=x f 时x ＝0或x＝±1，只有5)0(-=f 选（B ）（13）分别作出区域M 、N ，则公共部分的面积为=)(t f FDEOBC AOE S S S ∆∆∆--＝2)]1(2[2121121+----⨯t t OE ＝212++-t t ，选（D ） 二、填空题：(13) 180132=--y x ；(14) 30，405；(15) 50（26-）；(16) 1＜m ＜3．简要提示如下：(1) 设（x ，y ），P （0x ，0y ），则由定比分点分式得，0x ＝3x ，0y ＝3y +2，由点P 在已知抛物线上可得180132=--y x(2) ()270.9S t t '=-，由瞬时速度()()0v t S t '==得30t =（秒），期间列车前进了()23027300.4530405S =⨯-⨯=（米）． (3) 设坡底伸长x m ，在原图左侧的虚线三角形中，由030sin 10015sin =x ，由此解得 (4) 由命题①得4＞m ＞1＝min 2)2(x x -，由命题①得7－2m ＞1，即3＞m ，从而可得 三、解答题：(17) 解：44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--()()2222cos sin cos sin sin 2cos 2sin 2x x x x x x x =+--=-2sin 24x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（I ） T f x ==∴22ππ，()的最小正周期为π （II ） 02≤≤x π322 sin 2144424x x ππππ⎛⎫∴-≤-≤∴-≤-≤ ⎪⎝⎭ 22sin 214x π⎛⎫∴-≤--≤ ⎪⎝⎭∴f x ()的最大值为1，最小值为-2y 2AB F 2O C D E（18）以ξ表示一周内机器发生故障的次数，则ξ~B （5，51）， ① P （ξ＝k ）＝550.20.8k k kC -⨯⨯ (k ＝0、1、…、5)，以η表示一周内获得的利润，则η＝g (ξ)， 而g (0)＝10，g (1)＝5，g (2)＝0，g (ξ≥3)＝－2 ① P （η＝10）＝ P （ξ＝0）＝0．85＝0．32828， P （η＝5）＝ P （ξ＝1）＝0．4096， P （η＝0）＝ P （ξ＝2）＝0．，P （η＝－2）＝ P （ξ≥3）＝1－P （ξ＝0）－P （ξ＝1）－P （ξ＝2）＝0．05732， ① Eη＝10×0．328+5×0．410－2×0．057＝5．6万元为所求 (19) 解法一： （I ）由已知38213131=⋅⋅⋅=⋅=∆-PG GC BG PG S V BCG BGC P∴PG=4如图所示，以G 点为原点建立空间直角坐标系 o —x yz ，则B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，4） 故E （1，1，0）(1,1,0),(0,2,4)GE PC ==-10cos ,10||||220GE PC GE PC GE PC ⋅<>===⋅⋅ ∴异面直线GE 与PC 所成的角为arccos1010 （II ）平面PBG 的单位法向量)0,1,0(0±=n3333||||2,45 ,,04222GD BC CGD GD ⎛⎫==∠=∴=- ⎪⎝⎭∴点D 到平面PBG 的距离为032GD n ⋅= （III ）设F （0，y , z ）3333(0,,)(,,0)(,,)(0,2,0)2222,03333(,,0)(0,2,0)2()02222DF OF OD y z y z GC DF GC DF GC y y y =-=--=-=⊥∴⋅=∴-⋅=-=∴=则在平面PGC 内过F 点作FM ⊥GC ，M 为垂足，则21,23==MC GM 3==∴MCGMFC PF 解法二：（I ）由已知38213131=⋅⋅⋅=⋅=∆-PG GC BG PG S V BCG BGC P ∴PG=4在平面ABCD 内，过C 点作CH//EG 交AD 于H ，连结PH ，则∠PCH （或其补角）就是异面直线GE 与PC 所成的角.在△PCH 中，18,20,2===PH PC CH由余弦定理得，cos ∠PCH=1010 ∴异面直线GE 与PC 所成的角为arccos1010 （II ）∵PG ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PBG ∴平面PBG ⊥平面ABCD在平面ABCD 内，过D 作DK ⊥BG ，交BG 延长线于K ， 则DK ⊥平面PBG ∴DK 的长就是点D 到平面PBG 的距离223434322===∴=BC AD GD BC 在△DKG ，DK=DGsin45°=23 ∴点D 到平面PBG 的距离为23（III ）在平面ABCD 内，过D 作DM ⊥GC ，M 为垂足，连结MF ，又因为DF ⊥GC∴GC ⊥平面MFD ， ∴GC ⊥FM由平面PGC ⊥平面ABCD ，∴FM ⊥平面ABCD ∴FM//PG由GM ⊥MD 得：GM=GD ·cos45°=23 332123=⊥∴===FCPFGC DF MC GM FC PF 可得由 (20) (①)由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+5264315123111d a d a d a 解得a 1＝d ＝1 ，从而a n ＝n ，S n ＝)1(21+n n ，① )111(2)1(2+-=+=n n n n b n ① 12310b b b b ++++…＝2011(①) 由已知，{}n c 成等比数列，121-=n n c① T n ＝n n c a c a c a +++ 2211＝1+1222322-+++n n① 2 T n ＝222242322-+++++n n ，两式相减，得T n ＝112224----n n n，① ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→12lim n n n n a T ＝∞→n lim （2214--n ）＝4 (21) 解：（Ⅰ）设(,),(0,),0(,2)N x y P b PM PN M x b y +=∴--202M x b y y b ∴-=∴=在轴上①又ab x abx b y PMPF PM 21=-=-⋅-∴⊥∴=⋅ ②由①②可得，24y ax =（也可用作直线:l x a '=-，运用抛物线的定义得出）（Ⅱ）设:()AB l y k x a =- 2()4y k x a y ax=-⎧⎨=⎩由可得22222(24)0k x ak a x a k -++= 设1122(,),(,)A x y B x y 221212224,ak a x x x x a k+∴+==1122A (,),(,)K x a y KB x a y =+=+2004))(1())(1(])([])([))(())(())((22212221222121222121212212121πθ<<∴>=+-+++=++-++++=--+++=+++=⋅∴ka x x k a a x x k a x x a x x k a x x a x x a x a x k a x a x y y a x a x KB KA(22) 解（Ⅰ）∵f (x )定义域为R ，,0.0,2,021=≥∴∈-≠≠+∴-a a R x a a bx bx若而即1()1lim ()0,0,lim ()lim121(021)1(21)210,0,0.10(21)bxn n n b b b bf x f n a f n a b a b a-→∞→∞→∞----=-=∴>∴-==+⋅⎧<<⎪⎪=∴><><⎨+⎪⎪>⎩与矛盾即故（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x )在[0，1]上为增函数，==∴=+=∴)1(,1,2111,21)0(f a a f 即 ·2141141,2,2,()1.1254121414x bb x x xb f x a -=∴=∴=-∴===-+⋅+++（Ⅲ）111*,,:22n n k N S n +∈<++当时证明如下 111()11,(1)(2)(3)()141111,*,2222kn n n f k f f f f n n n n k N S n ++=-<∴++++<-++>∴∈<++而时。