高一数学指数函数同步练习题

高一数学指数函数同步练习题第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若不等式(12)x 2−2ax <23x+a 2恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A. (0,−1) B. (34,+∞) C. (0,34) D. (−∞,34) 2. 三个数30.4，0.43，30.3的大小关系( )A. 0.43<30.3<30.4B. 0.43<30.4<30.3C. 30.3<30.4<0.43D. 30.3<0.43<30.43. 当x ∈[−1,1]时，函数f(x)=3x −2的值域是( )A. [1,53]B. [−1,1]C. [−53,1]D. [0,1] 4. 已知集合M =[−1,1]，N ={x|12<2x+1<4,x ∈Z}则M ∩N =( )A. [−1,1]B. {−1}C. {0}D. {−1,0}5. 已知函数f(x)=2x−b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(3,1)，则f(x)的值域为( )A. [4,16]B. [2,10]C. [12,2]D. [12,+∞) 6. 若0<x <y <1，则( )A. 3y <3xB. y 3<x 3C. log 4x <log 4yD. (14)x <(14)y 7. 已知集合A ={x|x 2−4x +3<0}，B ={x|4x >8}，则A ∩B =A. (1,32)B. (32,3)C. (2,3)D. (1,3) 8. 已知f(2x +1)=x 3，则f(4)等于 ( )A. 13log 25B. 13log 23C. 23D. 43 二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）9. 函数，则下列说法正确的有( )A.B. 都有C. 函数f(x)的值域为(−1,1)D. 不等式f(x) <12的解集为(−log2 3,+∞)10.已知实数a，b满足等式2017a=2018b，则下列关系式可能成立的是()A. 0<a<bB. a<b<0C. 0<b<aD. a=b第II卷（非选择题）三、单空题（本大题共1小题，共5.0分）11.函数f(x)=√12−2x的定义域是．四、解答题（本大题共11小题，共132.0分）12.已知指数函数f(x)=a x(a>0且a≠1)经过点(3,27)．(1)求f(x)的解析式及f(−1)的值；(2)若f(x−1)>f(−x)，求x的取值范围．13.已知函数y=a x(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记f(x)=a xa x+2．(1)求a的值；(2)证明f(x)+f(1−x)=1；(3)求f(12019)+f(22019)+f(32019)+⋯+f(20182019)的值．+2．14.已知函数f(x)=2x，g(x)=12|x|(1)求函数g(x)的值域；(2)求满足方程f(x)−g(x)=0的x的值．15.已知不等式x2−4x+3≤0．(1)解上述关于x的不等式；(2)在(1)的条件下，求函数y=4x−4×2x+2的最大值和最小值，并求出相应的x的值．16.已知m>0，a>0且a≠1，函数f(x)=(m2−4m−4)a x是指数函数，且f(2)=4．(Ⅰ)求m和a的值;(Ⅱ)求的解集．17.已知函数f(x)=a x−1(a>0，且a≠1)满足f(1)−f(2)=1．4(1)求a的值；(2)解不等式f(x)<0．18.已知指数函数f(x)的图象过点(2,1)．9(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围；+2为奇函数．19.已知函数f(x)=a3x−1(1)求实数a的值；(2)求不等式log3f(x)<x+1的解集．20.已知函数f(x)=3x+m⋅3−x(x∈R,m∈R)．(1)若f(x)为奇函数，求m的值和此时不等式f(x)>3的解集；2(2)若不等式f(x)≤4对∀x∈[−1,2]恒成立，求m的取值范围．(a∈R)21.已知函数f(x)=a−12x+1(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，求a的值；(2)用单调性的定义证明函数f(x)在(−∞,+∞)上是增函数．22.(1)计算：)x2+x−5(2)解不等式：3x2+x+1>(13答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查指数不等式，考查指数函数的单调性，二次函数恒成立问题，中档题．根据指数函数的单调性，将给定不等式等价转化为−x2+2ax<3x+a2恒成立，结合二次函数的图象和性质得到a的取值范围．【解答】解：原式变形为：2−x2+2ax<23x+a2恒成立，∵函数y=2x是R上的单调递增函数，∴−x2+2ax<3x+a2恒成立，即x2−(2a−3)x+a2>0恒成立，∴Δ=[−(2a−3)]2−4a2<0，．解得a>34故选B．2.【答案】A【解析】【分析】根据函数y=3x的单调性判断出30.4>30.3>1，结合0.43<1，即可得到三个数的大小关系．本题考查利用指数函数的单调性判断出数的大小关系，注意中间值“1”“0”的利用．【解答】解：因为函数y=3x在R上是增函数，所以30.4>30.3>1，又0.43<0.40=1，所以0.43<30.3<30.4，故选：A．【解析】【分析】本题考查了指数函数的单调性，利用单调性求函数值域的方法．利用指数函数的单调性，先判断函数f(x)的单调性，再利用单调性求函数的值域即可。

【解答】解：∵函数f(x)=3x−2在R上为单调增函数，−2≤f(x)≤3−2∴当x∈[−1,1]时，f(−1)≤f(x)≤f(1)，即13,1]即f(x)∈[−53故选：C．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查指数不等式的求解，以及集合的交集的计算，属于基础题．先解不等式，化简集合N，再根据交集的定义计算，即可得到答案．【解答】<2x+1<4,x∈Z}={x|−1<x+1<2,x∈Z}={x|−2<x<1,x∈解：N={x|12Z}={−1,0}，因为M=[−1,1]，所以M∩N={−1,0}，故选D．5.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查指数函数的性质，属于中档题．由给出的条件求出b的值，利用指数函数的单调性求出函数的值域．解：由题意得23−b =1，则b =3，所以函数f(x)=2x−3，因为2≤x ≤4，所以−1≤x −3≤1，所以12≤f(x)≤2，则函数的值域为[12,2]，故选C ．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，属于基础题． 利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性即可判断出结果．【解答】解：∵0<x <y <1，∴3y >3x ， x 3<y 3， log 4x <log 4y ， (14)x >(14)y ．故选C ． 7.【答案】B【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算，属于基础题． 可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A ={x|1<x <3},B ={x|x >32}；∴A ∩B =(32,3)，故选B ．【解析】【分析】本题考查复合函数的函数值的求法，涉及指数对数运算，属于基础题． 令2x +1=4，求得x ，转化后再求x 3，即得．【解答】解：令2x +1=4，求得x =log 23，∴f(4)=f(2x +1)=x 3=13log 23，故选B ．9.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查指数函数的性质，函数的奇偶性和单调性，函数的值域求解． 求解函数f(x)=1−2x 1+2x的奇偶性和单调性，逐一分析各选项即可． 【解答】解：由题意，函数f(x)=1−2x 1+2x 的定义域为R ， f (−x )=1−2−x1+2−x=2x −12x +1=−f (x )，故函数f(x)为奇函数，故A 正确； 又f(x)=1−2x 1+2x =2−(1+2x )1+2x =21+2x −1，可知f(x)在R 上单调递减，故B 错误；∵1+2x >1，∴−1<21+2x −1<21−1=1，即函数f(x)的值域为(−1,1)，故C 正确；由f(x)<12得1−2x 1+2x <12⇒2−2·2x <1+2x ⇒2x >13⇒x >−log 23，故D 正确； 故选ACD ．10.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查了指数函数的图象和性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．分别画出y=2017x，y=2018x，根据实数a，b满足等式2017a=2018b，即可得出．【解答】解：分别画出y=2017x，y=2018x，实数a，b满足等式2017a=2018b，可得：a>b>0，或a<b<0，或a=b=0．故选BCD．11.【答案】{x|x⩽−1}【解析】【分析】本题主要考查指数函数的单调性及函数的定义域，属于基础题．−2x⩾0，解不等式可得结果．根据偶次根式的被开方数为非负数，即12【解答】−2x⩾0，即2x⩽2−1，解得x⩽−1，解：由题意可得，12−2x的定义域是{x|x⩽−1}，所以函数f(x)=√12故答案为：{x|x⩽−1}．12.【答案】解：(1)因为f(x)=a x(a>0且a≠1)经过点(3,27)，所以a3=27，所以a=3，所以f(x)=3x，所以f(−1)=3−1=13；(2)因为f(x−1)>f(−x)，即3x−1>3−x，又f(x)=3x在R上为增函数，所以x−1>−x⇒x>12，∴x的取值范围为：{x|x>12}．【解析】本题考查了指数函数的定义、指数函数的单调性以及不等式的解法，属于基础题(1)将点(3,27)代入到f(x)=a x，解得a的值，即可求出解析式，由此可求出f(−1)的值；(2)根据指数函数为增函数，转化不等式，解之即可．13.【答案】解：(1)函数y=a x(a>0且a≠1)在[1,2]上单调递增或单调递减，所以舍去)，即a=4;(2)由(1)知f(x)=4x4x+2所以f(x)+f(1−x)=4x4x+2+41−x41−x+2=4x4x+2+44x44x+2=4x4x+2+24x+2=1；(3)由(2)知f(12019)+f(20182019)=1，……f(10092019)+f(10102019)=1，所以原式=1+1+⋯⋯+1=1009．【解析】本题考查指数与指数幂的运算，考查指数函数的性质，属于中档题．(1)利用指数函数的单调性即可；(2)利用指数幂的运算即可；(3)寻求规律易得结果．14.【答案】解：， 因为|x|≥0，所以0<(12)|x|≤1，即2<g(x)≤3，故g(x)的值域是(2,3]．(2)由f(x)−g(x)=0得2x −12|x|−2=0，当x ≤0时，显然不满足方程；当x >0时，2x −12x −2=0，整理得(2x )2−2⋅2x −1=0，(2x −1)2=2，故2x =1±√2，因为2x >0，所以2x =1+√2，即x =log 2(1+√2).【解析】本题考点是指数函数综合题，考查求函数的值域与解指数型方程，解题过程中要注意指数函数的值域是(0,+∞)这一隐含条件，属中档题．(1)求函数g(x)的值域先研究其性质，由于|x|≥0，故得0<(12)|x|≤1，代入g(x)=12|x|+2求值域，此方法先求局部取值范围再研究整体的值域．(2)将f(x)=2x ，g(x)=12|x|+2代入方程f(x)−g(x)=0得2x −12|x|−2=0，解此指数型方程求x 的值．15.【答案】解：(1)x 2−4x +3≤0即(x −1)(x −3)≤0，可得1≤x ≤3，则解集为[1,3]；(2)令t =2x ，由(1)可得1≤x ≤3，即有2≤t ≤8，有y =t 2−4t +2=(t −2)2−2在[2,8]递增，当t =2，即x =1时，函数y 取得最小值为−2；当t =8，即x =3时，函数y 取得最大值为64−32+2=34．【解析】(1)运用二次不等式的解法，可得不等式的解集；(2)令t =2x ，由(1)可得t 的范围，函数y =t 2−4t +2，利用二次函数的性质求得函数y 最大值和最小值及相应的t 的值，可得对应的x 值．本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，指数函数的定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)由题意得，m 2−4m −4=1，解得m =5或m =−1(不合题意，舍去)，由f (2)=a 2=4，a >0且a ≠1，∴a =2;(Ⅱ)由(Ⅰ)得，f (x )=2x ，即为22x −2×2x −3>0，设2x =t (t >0)，原不等式化为t 2−2t −3>0，整理得(t −3)(t +1)>0，解得t >3或t <−1，∵t >0，∴t >3，∴2x >3得，， ∴原不等式的解集为．【解析】本题考查指数函数的概念和性质，指数不等式的解法，以及一元二次不等式的解法．(Ⅰ)由指数函数的定义得m 2−4m −4=1，得m 的值，由f(2)=4，代入得a; (Ⅱ)代入得不等式，由换元法得一元二次不等式，求解，再解指数不等式得答案．17.【答案】解：(1)∵f(x)=a x −1(a >0，且a ≠1)，∴f(1)−f(2)=(a −1)−(a 2−1)=a −a 2．由a −a 2=14，解得a =12．∴a 的值为12．(2)不等式f(x)<0.即(12)x −1<0，∴(12)x <1．即(12)x <(12)0．∵y =(12)x 在(−∞,+∞)上单调递减，∴x >0．∴不等式f(x)<0的解集为(0,+∞)【解析】本题考查指数不等式以及一元二次方程的解法，属于基础题．(1)直接根据f(1)−f(2)=14求解即可；(2)结合第一问的结论以及指数函数的单调性求解不等时即可18.【答案】解：(1)设f(x)=a x (a >0且a ≠1)．将点(2,19)代入得19=a 2，解得a =13，故f(x)=(13)x ．(2)由(1)知f(x)=(13)x ，显然f(x)在R 上是减函数，又f(|x|)>f(1)，所以|x|<1，解得−1<x <1．即x 的取值范围为(−1,1)．【解析】本题主要考查指数函数解析式和单调性的应用，利用待定系数法求出函数的解析式是解决本题的关键．(1)设f(x)=a x ，利用待定系数法进行求解．(2)根据指数函数的单调性，解指数不等式即可．19.【答案】解：(1)f(x)=2⋅3x +a−23x −1， f(−x)=2⋅3−x +a−23−x −1=(a−2)⋅3x +21−3x， 由题意，函数f (x )=a 3x −1+2为奇函数，则f(−x)=−f(x)，故a −2=2，即a =4，经检验，满足函数f (x )=a 3x −1+2为奇函数，故a =4；(2)log 32⋅3x +23x −1<x +1⇔2⋅3x +23x −1>0①，且2⋅3x +23x −1<3x+1②， 又3x >0，故由①得3x >1， 此时2⋅3x +23x −1<3x+1⇔3⋅32x −5⋅3x −2>0，⇔(3x −2)(3⋅3x +1)>0，故3x >2，∴x >log 32，即不等式log 3f (x )<x +1的解集为．【解析】本题主要考查了函数的奇偶性，不等式求解，属于较难题．(1)根据题意，进行解答；(2)可知：log 32⋅3x +23x −1<x +1⇔2⋅3x +23x −1>0①，且2⋅3x +23x −1<3x+1②，进行求解即可．20.【答案】解：(1)函数f(x)=3x +m ⋅3−x 的定义域为R ，∵f(x)为奇函数，∴f(x)+f(−x)=0对∀x ∈R 恒成立，即3x +m ⋅3−x +3−x +m ⋅3x =0对∀x ∈R 恒成立，∴m =−1.此时由f(x)=3x −3−x >32，即(3x )2−32⋅3x −1>0，解得3x >2或3x <−12(舍去)，∴解集为(log 32,+∞).(2)由f(x)≤4得3x +m ⋅3−x ≤4，即3x +m 3x ≤4，当x ∈[−1,2]，令3x =t ∈[13,9]，原问题等价于t +m t ≤4对恒成立， 即m ≤−t 2+4t 对恒成立， 令g(t)=−t 2+4t,t ∈[13,9]，∵g(t)在[13,2]上单调递增，在[2,9]上单调递减， ∴g(t)min =g(9)=−45，∴m ≤−45.【解析】本题考查函数的奇偶性及不等式恒成立问题，同时考查二次函数及指数函数的性质，属于中档题．(1)奇函数的定义求出m ，然后解出3x 的范围即可求解;(2)令3x=t∈[13,9]，分离参数，将问题转化为二次函数的最值问题即可求解．21.【答案】(1)解：因为函数是定义在R上的奇函数，∴f(−x)=−f(x)，即：a−12−x+1=−(a−12x+1)，所以2a=12x+1+12−x+1=12x+1+2x2x+1=1，所以a=12;(2)证明：设∀x1,x2∈(−∞,+∞)，且x1<x2则：f(x1)−f(x2)=12x2+1−12x1+1=2x1+1−(2x2+1) (2x2+1)(2x1+1)=2x1−2x2(2x2+1)(2x1+1)，∵x1<x2，∴2x1−2x2<0，又(2x2+1)(2x1+1)>0，∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(−∞,+∞)上是增函数．【解析】本题考查函数的奇偶性及利用定义证明函数的单调性，同时考查指数函数的性质．(1)由奇函数的定义即可求解;(2)由单调性的定义及指数函数的性质即可求解．22.【答案】(1)解：原式=(34)34×3−3+[(12)2]−12×1+0=30+(12)−1=3 (2)解：原不等式⇔3x 2+x+1>3−x 2−x+5⇔x 2+x +1>−x 2−x +5⇔x 2+x −2>0⇒x >1或x <−2，故原不等式的解集为(−∞,−2)∪(1,+∞)．【解析】本题考查了指数幂运算以及指数不等式求解，属于中档题．(1)根据指数幂运算法则即可求解．(2)根据指数函数性质，将不等式转化为x 2+x +1>−x 2−x +5，即可求解．。