2021高一数学寒假作业同步练习题指数函数含解析.doc

指数函数1．计算()2531433434a b a b a b -----⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得（ ）A ．232b -B ．232b C ．23bD ．23b -【答案】D 【解析】原式()25131423333a bb ⎛⎫-+-- ⎪----⎝⎭=-=-故选：D2．网络上盛极一时的数学恒等式“301.01 1.4≈，3651.0137.8≈，7301.011427.6≈”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异．虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”．小明是以为极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2．01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的（ ）倍． A ．1.69 B ．1.78 C ．1.96 D ．2.8【答案】C【解析】()3010.0201+=()3021.01⎡⎤=⎣⎦()23021.01 1.4 1.96⎡⎤≈=⎣⎦．故选：C ． 3．如果指数函数xy a =（0a >且1a ≠）在[]1,1x ∈-上的最大值与最小值的差为83，则实数a =（ ） A ．3 B ．13C ．2或12D ．3或13【答案】D【解析】当01a <<时，xy a =在[]1,1x ∈-单调递减，则183a a --=，解得3a =-（舍去）或13a =； 当1a >时，xy a =在[]1,1x ∈-单调递增，则183a a --=，解得13a =-（舍去）或3a =，综上，3a =或13.故选：D.4．如图，是指数函数①x y a =、②x y b =、③x y c =、④xy d =的图象，则（ ）A ．1a b c b <<<<B ．1b a d c <<<<C ．1a b c d <<<<D ．1a b d c <<<<【答案】B【解析】∵当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数， 当底数大于0小于1时是定义域内的减函数， 由图可知xy c =、xy d =为增函数，则,c d 大于1.x y a =、x y b =为减函数，则a b ，大于0小于1.当1x =时，对应的函数值依次为①y a =、②y b =、③y c =、④y d =， 由图知，当1x =时，对应函数值由下到上依次是②①④③，得1b a d c <<<<， 所以正确选项为B 故选:B ．5．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】221log 5log 7,<<571log 2log 2,∴>>又210.50.52,a -->=则,c a b >>故选：A.6．定义运算,,a a b a b b a b<⎧⊕=⎨≥⎩，若函数()22x xf x -=⊕，则()f x 的值域是（ ）A ．[)1,+∞B ．()0,∞+C ．(]0,1D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由定义可得()2,0222,0x xxx x f x x --⎧<=⊕=⎨≥⎩，当0x <时，()2xf x =，则00221x <<=，当0x ≥时，()2xf x -=，则00221x -<≤=，综上，()f x 的值域是(]0,1. 故选：C.7.（多选）设指数函数()xf x a =（0a >且1a ≠），则下列等式中正确的是（ ）A ．()()()f x y f x f y +=+B ．()()()f x f x y f y -=C ．()()()f nx nf x n =∈QD ．()()()()nnnf xy f x f y n *⎡⎤⎡⎤⎡⎤=∈⎣⎦⎣⎦⎣⎦N【答案】B【解析】()()()+x yx y f x y aa a f x f y +===，A 正确；()()()xx yy f x a f x y aa f y --===，B 正确； ()()nnxx f nx a a ==，()()nxx nf x na a=≠，C 不正确；()()nnxy f xy a ⎡⎤=⎣⎦，()()()()()()+nnnnnnx y x y xyf x f y a a a a ⎡⎤⎡⎤==≠⎣⎦⎣⎦，D 不正确. 故选B.8．已知函数()132x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是_________.【答案】() 1,5【解析】10x -=时，()1325f =+=，点 P 的坐标为() 1,5． 故答案为：() 1,59．若函数()33xxf x a -=+⋅为R 上的奇函数，则实数a =________.【答案】1-．【解析】()f x 定义域是R ，∵()f x 为奇函数，∴(0)10f a =+=，1a =-，此时()33x xf x -=-，()33()x x f x f x --=-=-，()f x 是奇函数，故答案为：1-10．已知不等式2331x x k -⋅≥-对任意实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________． 【答案】(,2]-∞【解析】设30x t =>，带人得21t tk -≥- 化简得1k t t≤+因为112t t t t+≥=，当且仅当1t =时，等式成立， 所以k 2≤.故答案为： (,2]-∞.11．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x xf xg x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（ ）A ．(1,1)-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】D【解析】依题意有()()2xxf xg x a a-+=-+， ①()()2()()--+-=-+=-+x x f x g x a a f x g x ， ②①-②得(),()2-=-=x xf x a ag x ，又因为(2)g a =，所以2,()22-==-x xa f x ，()f x 在R 上单调递增，所以函数()22f x x +的单调递增区间为(1,)-+∞. 故选:D.12．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8 B ．9 C ．10 D ．14【答案】C【解析】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C.13．若指数函数()y f x =的图象经过点(2,4)，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________；不等式131(21)2xf x -⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭的解集是______________.[)0,+∞【解析】设()xy f x a ==，()0,1a a >≠因为()y f x =的图象经过点(2,4)，所以24a =，所以2a =，则()2x f x =，12122f ⎛⎫== ⎪⎝⎭131(21)2xf x -⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭等价于213122x x --≤，即21310x x x -≤-⇒≥，[)0,+∞.14.已知函数()421()xxf x a a R =-+⋅-∈. （1）当1a =时，求()f x 的值域； （2）若()f x 在区间[]1,0-的最大值为14-，求实数a 的值. 【解析】（1）()2()421221x x xx f x a a =-+⋅-=-+⋅-.令()20,xt =∈+∞，21y t at =-+-，1a =时，2213124y t t t ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.∴当12t =时，max 34y =-，∴3,4y ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，所以()f x 的值域为3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.（2）令12,12xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，22211124a y t at t a ⎛⎫=-+-=---+ ⎪⎝⎭， 其图象的对称轴为2at =. ①当122a ≤，即1a ≤时，函数y 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当12t =时，max 1111424y a =-+-=-，解得2a =，与1a ≤矛盾；②当12a ≥，即2a ≥时，函数y 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当1t =时，max 1114y a =-+-=-，解得74a =，与2a ≥矛盾， ③当1122a <<，即12a <<时，函数y 在1,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.当2a t =时，2max 11144y a =-=-，解得a =，舍去a =综上，a =。