圆的基本图形研究—多切图2020.3.30
圆的课件ppt
圆的周长的应用
圆的周长是指围绕圆边缘的线的长度 。
在日常生活和科学研究中，圆的周长 被广泛应用于各种领域，如几何学、 物理学、工程学等。
圆的周长的计算公式
C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表 示圆的半径，π是一个常数，约等于 3.14159。
圆的面积
圆的面积的定义
圆的面积是指圆所占平面的大小。
圆的面积的计算公式
A = πr^2，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径，π是一个常数， 约等于3.14159。
圆的面积的应用
在日常生活和科学研究中，圆的面积被广泛应用于各种领域，如几何 学、物理学、天文学等。
圆周率π
圆周率π的定义
圆周率π是一个常数，用于描述圆的周长与直径的 比值。
圆周率π的近似值
圆的性质
圆具有许多基本的性质，如圆心到圆上任一点的距离相等 、经过圆心的直径将圆分成两个相等的部分等。这些性质 在数学中有着广泛的应用。
圆的方程
圆的方程是描述圆的标准数学表达式，通过圆的方程可以 确定圆的位置和大小。
科学中的圆
总结词
圆在科学领域中也有着广泛的应用， 涉及到物理学、化学和生物学等多个 学科。
物理学
在物理学中，圆经常出现在各种实验 和现象中，如单摆的摆动、电磁波的 传播等。
化学
化学反应中经常涉及到各种圆形的分 子结构和化学键，如共价键、离子键 等。
生物学
在生物学中，细胞膜的形状、生物体 的骨骼结构等都与圆形有关，许多生 物体的运动轨迹也是圆形的。
THANKS
感谢观看
圆周率π的近似值约为3.14159。
圆周率π的应用
在日常生活和科学研究中，圆周率π被广泛应用于 各种领域，如几何学、物理学、工程学等。
圆的认识ppt课件
管道
在建筑和家庭装修中，圆形管道通常被用来 连接水管、电线和暖气管道等，因为这种形 状可以保证液体或气体流畅地流动，减少堵 塞和磨损。
艺术中的圆的应用
雕塑
许多雕塑作品如球体、花瓶和头 像等都采用圆形设计，因为这种 形状可以增强作品的美感和立体
对未来进一步学习和研究圆的展望
01
深入研究圆的性质
进一步学习和研究圆的性质， 包括圆与其他图形的联系和区 别，以及圆在各种不同情况下 的表现。
02
探讨圆的实际应用
通过研究和实践，进一步探索 圆在各个领域中的应用，如建 筑设计、机械设计、包装设计 等。
03
圆的拓展学习
学习与圆有关的其他知识，如 立体几何、解析几何等，以更 全面地了解圆的性质和应用。
平面图形。
圆的相关公式和定理
圆的中心位置由圆心决定，圆心到圆周上任 意一点的距离都相等。圆的面积和周长与半 径有关，半径越大，面积和周长也越大。
圆的性质
包括圆的周长公式（C=2πr）、圆的面积公 式（S=πr²）以及垂径定理、圆周角定理等
。
圆的应用
圆在现实生活中有着广泛的应用，如车轮、 方向盘、钟表等都采用了圆形的形状，因为 它具有旋转不变性和对称性。
04
发展圆的创新应用
通过研究和创新，发展更多具 有创新性和实用性的圆的应用 ，推动科学技术的发展。
感谢您的观看
THANKS
使用铅笔和尺子，从圆心 开始，以确定的半径为长 度，绘制出一条弧线。
完成绘制
在完成绘制后，检查是否 符合所需的形状和大小。
使用代码绘制圆
定义圆心和半径
圆的认识
∴ ⌒AＢ =Ｃ⌒D
∴ ∠2＝∠1＝45°
B
C
A
2
D
1
O
(2)动手操作，观察猜想.源自C•操作：CD是圆0的直径，过直
径上任一点E作弦AB⊥CD， 将圆0沿CD对折，比较图中的 线段和弧，你有什么发现？
•O
猜想：
AE=BE,
A⌒D=⌒BD,A⌒C=B⌒C
A•
•
E •┐
•B
•
D
(3)指导论证，引申结论.
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB，
∴ AE=AD. ∴ 四边形ADOE为正方形.
C
E
·O
A
D
B
赵州桥的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，你 能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
37.4
18.7,（m）,
OD=OC－CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2
即
R2=18.72+（R－7.2）2
D
A
B
解得R≈27.9.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m.
R O
欢迎新同学加入 ~~
已知：在⊙O中，CD为直径，
C
•
AB为弦，且CD⊥AB于点E，
求证： AE=BE,
A⌒D=⌒BD,A⌒C=B⌒C
•O
分析：直径CD所在直线既是等 A •
•
竞赛讲座圆
竞赛讲座09—圆基础知识如果没有圆，平面几何将黯然失色.圆是一种特殊的几何图形，应当掌握圆的基本性质，垂线定理，直线与圆的位置关系，和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形与圆的位置关系.圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何问题，“三角形的心”，“几何着名的几何定理”，“共圆、共线、共点”，“直线形”将构成圆的综合问题的基础.本部分着重研究下面几个问题：1•角的相等及其和、差、倍、分；2.线段的相等及其和、差、倍、分；3.二直线的平行、垂直；4•线段的比例式或等积式；5.直线与圆相切；6•竞赛数学中几何命题的等价性.命题分析例1.已知A为平面上两个半径不等的O O i和O O2的一个交点，两圆的外公切线分别为RP20Q2, M i、M2 分别为RQ i、P2Q2的中点，求证：NO!AO2 =NM!AM2例2.证明：唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形.例3.延长AB至D，以AD为直径作半圆，圆心为H , G是半圆上一点，• ABG为锐角.E在线段BH 上，Z在半圆上，EZ II BG，且EH ED =EZ2, BT II HZ .求证：TBG 工1 ABG .3例4•求证：若一个圆外切四边形有两条对边相等，则圆心到另外两边的距离相等.例5 .设.A是厶ABC中最小的内角，点B和C将这个三角形的外接圆分成两段弧，U是落在不含A的那段弧上且不等于B与C的一个点，线段AB和AC的垂直平分线分别交线段AU于V和W，直线BV和CW相交于T .证明：AU =TB - TC .例6.菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E,F,G,H，在EF与GH上分别作O O切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ II NP .例7.O O1和O O2与厶ABC的三边所在直线都相切，E,F,G,H为切点，并且EG,FH的延长线交于点P .求证：直线PA与BC垂直.例8.在圆中，两条弦AB,CD相交于E点，M为弦AB上严格在E、B之间的点.过D,E,MMB MD NC NE的圆在E点的切线分别交直线BC、AC于F,G .已知如二t，求些（用t表示）.AB EF 例9 .设点D和E是厶ABC的边BC上的两点，使得• BAD 二/CAE .又设M和N分别是△1111ABD、△ ACE的内切圆与BC的切点.求证：— ^二丄•丄.例10.设厶ABC满足.A = 90 , . B <C，过A作厶ABC外接圆W的切线，交直线BC于D , 设A关于直线BC的对称点为E ,由A到BE所作垂线的垂足为X , AX的中点为Y , BY交W于Z 点，证明直线BD 为厶ADZ外接圆的切线.例11 •两个圆M和:2被包含在圆:内，且分别现圆:相切于两个不同的点M和N •丨i经过:2 的圆心.经过M 和丨2的两个交点的直线与〕相交于点A和B，直线MA和直线MB分别与丨i相交于点C和D •求证：CD与:2相切.例12•已知两个半径不相等的O O i和O 02相交于M、N两点，且O O i、O O2分别与O O内切于S、T两点•求证：OM _MN的充要条件是S、N、T三点共线.例13.在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行，O O1过A、B且与边CD相切于点P , O O2过C、D且与边AB相切于点Q • O O1和O O2相交于E、F ,求证：EF平分线段PQ的充要条件是BC II AD •例14・设凸四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，且两对边AB与CD不平行•点P 为线段AB 与CD的垂直平分线的交点，且在四边形的内部•求证：A、B、C、D四点共圆的充要条件为S pAB二S p CD训练题1 •△ ABC内接于O O , ■ BAC ：：： 90，过B、C两点O O的切线交于P , M为BC的中点, 求证：（1）如二cos BAC ；（2）BAM =/PAC •AP2 •已知A,B,C •分别是厶ABC外接圆上不包含A, B,C的弧BC,CA,AB的中点，BC分别和CA \ AB •相交于M、N两点，CA分别和A B、BC •相交于P、Q两点，AB分别和BC、C A相交于R、S两点•求证：MN二PQ二RS的充要条件是△ ABC为等边三角形.3•以△ ABC的边BC为直径作半圆，与AB、CA分别交于点D和E，过D、E作BC的垂线，垂足分别为F、G •线段DG、EF交于点M •求证：AM _ BC •4•在厶ABC中，已知.B内的旁切圆与CA相切于D，■ C内的旁切圆与AB相切于E，过DE 和BC的中点M和N作一直线，求证：直线MN平分△ ABC的周长，且与• A的平分线平行.5•在厶ABC中，已知，过该三角形的内心I作直线平行于AC交AB于F •在BC边上取点P使1得3BP 二BC •求证：BFP B •26•半圆圆心为O，直径为AB，一直线交半圆于C,D，交AB于M （ MB ：：：MA, MC ::: MD ）•设K是厶AOC与厶DOB的外接圆除点O外之另一交点•求证：• MKO为直角•7•已知，AD是锐角△ ABC的角平分线，• BAC h、，• ADC = ，且cos二=c c s2一：•求证：2AD 二BD DC •8. M为厶ABC的边AB上任一点，r1,r2,r分别为△ AMC、△ BMC、△ ABC的内切圆半径;匚匚亍分别为这三个三角形的旁切圆半径（在• ACB内部）.求证：L L L L = L .P i P2 P9 •设D是厶ABC的边BC上的一个内点，AD交厶ABC外接圆于X，P、Q是X分别到AB 和AC的垂足，0是直径为XD的圆.证明：PQ与O O相切当且仅当AB=AC .10•若AB是圆的弦，M是AB的中点，过M任意作弦CD和EF ,连CD, DE分别交AB于X,Y ,则MX 二MY.11 •设H为厶ABC的垂心，P为该三角形外接圆上的一点，E是高BH的垂足，并设PAQB与PARC都是平行四边形，AQ与BR交于X •证明：EX II AP .12•在△ ABC中，.C的平分线分别交AB及三角形的外接圆于明：（1）ID IK —1 •ID IKD和K , I是内切圆圆心•证。
圆的基本图形研究—双切图2020.3.30
圆的基本图形研究——双切图基本模型（课本P101—6）【例1】（2018年武汉中考题）如图，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连接PB 、PC ，PC 交AB 于点E ，且PA ＝PB .（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）若∠APC ＝3∠BPC ，求CEPE 的值.【例2】（课本P101—6改）如图，AB 是⊙O 的直径，PB 、PC 是⊙O 的切线，切点分别为B 、C ，PA 交⊙O 于点D ，连接CD ，∠BPC=2∠A .（1）求证：CD ∥AB ；（2）求tan ∠A 的值；（3）求tan ∠PCD 的值.典题精练：1、如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，PO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC 、OA .（1）求证：∠POA=2∠PCB ；（2）若OA=3，PA=4，求tan ∠PCB 的值.2、如图，AB 、AD 是⊙O 的切线，切点分别为B 、D ，DE 是⊙O 的直径，连接BE 、OA .（1）求证：BE ∥OA ；（2）若AD=DE ，求sin ∠DAB 的值.3、如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连接BC .（1）求证：；APB ACB ∠-︒=∠2190（2）连接PC ，若PB=6，PC=10，求sin ∠PCB 的值.4、如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，AC 是⊙O 的直径.（1）如图1，连接OP 、AB ，求证：OP ⊥AB ；（2）如图2，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，连接PE ，若AP=AC ，求tan ∠PEB 的值.5、如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，点C 为⊙O 上的一点.（1）如图1，若AC 为直径，求证：OP ∥BC ；（2）如图2，若sin ∠P=1312，求tan ∠C 的值.。
圆的认识ppt课件
2. 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做
（ 半径 ）,用字母（ r ）表示。
3. 通过圆心并且两端都在圆上的线段，
叫做（ 直径），用字母（ d ）表示
4 .在一个圆中可以画出（无数 ）条直径
和半径。在同圆（或等圆）中，所有 直径都（相等），所有半径都（相等），
直径等于半径的（ 2 ）倍。
2.请同学们用直尺量一量画出的半径有多少 厘米？你发现了什么？直径呢？
3.请小组讨论： 在同一个圆里，半径有什么特征？直径有什么 特征？它们之间有什么关系？圆是轴对称图形 吗？有多少条对称轴？
• o
同圆内，半径有无数条， 长度都相等。
• o
同圆内，直径有无数条， 长度都相等。
d r •o r
rr r
•
do
r
d
•
o
r
r
r
•
d=r+r
do
r
d=2r
r=
d 2
·O
·O
等圆的半径相等，直径相等。
r
d•
d=r+r
o
r
d=2
r r=2d
在同一个圆（或等圆）里，直径是半径的２倍，半径是直 径的一半。
r
（米） 2
1.4
５
d
（米）
0.8
6
收
有
获
你
吗
巩固提升：一、填空
1、圆中心的这一点叫做（ 圆心 ），
青岛版六年级数学上册
肥城市曹庄矿学校 张秀娟
这些平面图形是由线段围成的。 圆是由曲线 围成的平面图形。
车轮为什么要做成圆的？ 你想知道其中的奥秘吗？
圆的画法:
圆的认识
r
d=r+r
• do
d=2r
r
直径等于半径的２倍
r=
d 2
半径等于直径的一半
拿出小圆片，选择下面的方法 量一量、折一折、画一画、比一比， 4个人一组合作完成下面学习目标
学习目标： （1）在同一个圆里可以画多少条半径，半径的长度都相等吗？
（2）在同一个圆里可以画多少条直径？直径的长度都相等呢？ （3）同一个圆的直径和半径有什么关系？
（1）半径是3厘米的圆 （2）直径是3厘米的圆
画圆时，针尖固定的一点
是 圆心 通常用字母O表示
连接圆心和圆上任意一点的线段
是 半径 通常用字母r表示
通过圆心并且两端都在圆上的线段
是 直径 通常用字母d表示
r
d
O
在圆规画的圆上标出 圆心，半径，直径 并标出字母。
B
O
A
OA
C
OB
OC
连接圆心和圆上任意一点的 线段是半径。通常用字母r表示
A C
同圆或等圆内， 半径长度都相等
直径长度也都相等。
（3）同一个圆的直径和半径有什么关系？说出想法
（4）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？
同一个圆的直径和半径有什么关系？
r
•
r
do
同一个圆的直径和半径有什么？
r r
•r do
同一个圆的直径和半径有什么？
r
• do
r r
同一个圆的直径和半径有什么？
（4）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？
圆是轴对称图形，它有无数条对称轴
r(半径) 20cm 3m 7cm 0.12m 0.39m d(直径) 40cm 6m 14cm 0.24m 0.78m
圆的认识
1号
2号
3号
4号
直径 d
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
判断：哪条是圆的直径？
1号
2号
3号
4号
在自己剪的圆里，画一条 半径和一条直径，并分别用字 母表示。
半径的特征： • o
• o
半径与直径的关系:
r
d•
d=r+r
o
r
d=2r
r= 21d
在同一个圆里，直径是半径的２倍，半径是直径的一半。
想一想:车轮为什么一定要做成圆形的？
我国是世界上最早研究圆的 国家，早在2000多年前，我国的 墨子作出了圆的概念：
“圆， 一中同长也 ” 。
墨子
激趣引入
探究新知 实践应用
作业： 1.井盖为什么是圆的？你能用圆的知识解释 这一生活现象吗？
2.你能在边长为6厘米的正方形里 画一个最大的圆吗？
r
O
一、确定半径 二、固定针尖 三、旋转一周
用
圆
规
画
2厘米
圆
012345
你能画出这些圆吗？
（1）半径为3厘米的圆 （2）直径为10厘米的圆
半径 2dm 2.5m 0.6cm 1.8dm 4.1m
直径 4dm
5m 1.2cm 3.6dm 8.2m
车子车轴装在哪里？为什 么车轮都要做成圆的？
圆 的认识
长方形
正方形 平行四边形
梯形
由线段围成的平面图形
三角形
圆
圆是曲线围成的平面图形。
圆心——用字母O 表示
圆心决定圆的 位置
圆心
O
圆中心的一点叫做圆心。
圆心
O
圆心
连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
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圆的基本图形研究——多切图
基本模型：
【例1】（2018武汉四调）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O分别与边AB、AD、DC相切，切点分别为E、G、F，其中点E为边AB的中点.
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）如图2，若AD=3，BC=6，求EF的长.
【例2】（2019武汉中考）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点
(1)如图1，求证：AB2＝4AD·BC
(2)如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积
典题精炼：
1、已知，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CD ⊥BC ，⊙O 分别与边AB 、BC 、CD 、AD 相切，切点分别为G 、F 、E 、H .
（1）若∠ABC=60°，求证：BF=3CF ；
（2）如图2，GE ，BC 的延长线交于点P ，若CD=4，BF=3，求GP 的长.
2、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB=4，BC=1，以AB 为直径的⊙O 与CD 相切于点E .
（1）求CD 的长；
（2）连接AC ，OE 相交于点M ，求MA
CM 的值.
3、如图，△ABC 中，∠C=90°，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F .
（1）如图1，求sin ∠DFE 的值；
（2）如图2，若3
2 AF BF ，求sin ∠DEF 的值.
4、如图，在等边△ABC 中，AB=6，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 相切于点D .
（1）求⊙O 的半径长；
（2）点M 是⊙O 上的一点，且BM ⊥DM ，求BM 的长.。