结构力学 薄壁工程梁理论
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结构力学 薄壁工程梁理论分解
J xy J xy 1 1 Mx Mx My My Mx 式中，M y ； k Jy k Jx
； k 1 J J x y
2 J xy
M x , M y 分别叫做对x轴和y轴的当量弯矩。
6.2.2 减缩因数法
如果所分析的结构 由不同材料构成，前面 的公式就不能直接使用， 这时可把不同材料向同 Mx 一种材料折算；
A A A
a xtds b ytds c tds N z
A A A
aJ xy bJ x cS x M x aJ y bJ xy cS y M y aS y bS x cA0 N z
注意：积分 A 是对所有承受正应力的面积进行的。 若oxy坐标系的原点是剖面的形心，则静矩 S x S y 0
A xtds S y
—静矩
A
y 2tds J x
2 x A tds J y —惯性矩
A xytds J xy
—惯性积
a xytds b y 2tds c ytds M x
A A A
a x2tds b xytds c xtds M y
飞行器结构力学基础
李亚智
航空学院·航空结构工程系
第6章 薄壁工程梁理论 6.1 概述
工程梁：梁式薄壁结构，如机翼悬臂梁、机身简支外伸梁， 剖面几何形状复杂，材料性质复杂的薄壁梁。
y
x
z
实际工程梁结构高度静不定，用力法求解很困难，用 有限元法求解也比较麻烦。 可以先对结构进行简化，略去一些对承力作用弱的元 件，并对外载荷的分布和大小形式也作合理简化和调整， 形成适合工程化分析的理想化模型，然后进行计算。这就 是工程梁理论的思路。 6.1.1 简化假设 （1）棱柱壳体。剖面的几何形状及材料性质沿纵向不变。 横剖面可以发生翘曲（ w w( z) 0 ），但在自身平面 内的投影形状不变； （2）剖面上正应力和切应力沿壁厚 均匀分布。切应力τ平行于壁中线的 切线。
薄壁箱梁扭转理论讲解
基于扭转理论的优化设计目标是寻找 最优的梁截面尺寸、材料分布和结构 布局，以实现最小的重量、最大的承 载能力和最佳的稳定性。
03
优化设计的方法
常用的优化设计方法包括有限元法、 有限差分法和离散元素法等。这些方 法可以通过迭代计算，不断调整设计 方案，以实现最优的设计结果。
优化设计的目标与方法
优化设计的目标
转动惯量
薄壁箱梁的转动惯量决定 了其抵抗扭矩变化的稳定 性。
提高抗扭性能的措施
优化截面尺寸
通过调整薄壁箱梁的截面尺寸，提高其抗扭刚 度。
选择高强度材料
使用高强度材料可以降低扭矩作用下梁的变形。
加强连接构造
通过增加连接构造，提高薄壁箱梁的整体稳定性，从而提高其抗扭性能。
抗扭性能的实验研究
实验设备
需要使用专门的实验设备来模拟薄壁箱梁在扭矩作用 下的表现。
02 薄壁箱梁的扭转理论
扭转理论的定义与原理
定义
薄壁箱梁的扭转理论是指研究薄壁箱梁 在扭矩作用下的变形和应力分布的理论 。
VS
原理
薄壁箱梁的扭转理论基于弹性力学的基本 原理，考虑了剪切变形和剪切力的影响， 采用适当的简化假设和数学模型来描述扭 矩作用下薄壁箱梁的力学行为。
扭转理论的计算方法
解析法
优化设计的实践案例
案例一
某大型桥梁的薄壁箱梁设计。通过基于扭转理论的优化设计，成功地减小了梁 的重量，提高了承载能力和稳定性。同时，也降低了材料的消耗和成本。
案例二
某高速列车的车体结构设计。采用薄壁箱梁作为主要承重结构，通过优化设计， 实现了车体的轻量化和高强度。这提高了列车运行的安全性和稳定性。
实验过程
通过观察和记录薄壁箱梁在扭矩作用下的变形情况， 分析其抗扭性能。
薄壁箱梁的扭转和畸变理论-文档资料
自由扭转 约束扭转增量
主广义扇性静矩
4、约束扭转扭角微分方程
根据截面上内外扭矩平衡
根据截面上纵向位移协调
翘曲系数 截面极惯矩
合并两微分方程后得到
约束扭转的弯 扭特性系数
常用边 界条件
箱梁的畸变应力
1、弹性地基梁比拟法基本原理
畸变角微分方程
弹性地基梁微分方程
弹性地基梁与受畸荷载箱梁各物理量 之间相似关系
的 主 弯扭刚度比
要 增大抗扭惯矩可以大大减小扭转变形
因
素 扇性惯矩
曲线桥
平 计算方法综述
面
–杆系结构力学+横向分布
弯
–有限元法
桥
• 梁格法
的
• 板壳单元
设
计
计
算
线桥
平 面 曲 梁 的 变 形 微 分 方 程
混凝土徐变
定义 混凝土在不变荷载长期作用下，其应
变随时间而继续增长的现象称为混凝土的 徐变。 特点
T形梁翼板有效分布宽度
T 梁 有 效 分 布 宽 度
无承托：B=δ+2λ 有承托： B=δ+2λ+承托宽度
曲线桥
漳 龙 高 速 公 路
曲线桥
弯 拱 桥
曲线桥
弯 连 续 刚 构
曲线桥
弯 立 交 桥
曲线桥
弯 立 交 桥
曲线桥
由于曲率的影响，梁截面在发生竖向弯 受 曲时，必然产生扭转，而这种扭转作用又 力 将导致梁的挠曲变形，称之为“弯—扭” 特 耦合作用 点
徐变的发展规律是先快后慢，通常在 最初六个月内可完成最终徐变量的70-80%， 第一年内可完成90%左右，其余部分在以后 几年内逐步完成，经过2-5年徐变基本结束。
西北工业大学航空学院结构力学课后题答案第六章 薄壁工程梁理论
第六章 薄壁工程梁理论6-1 求如图所示剖面的弯曲正应力，设壁板不受正应力，缘条面积都是2200mm ，已知载荷.105,1056mm N M mm N M y x ⋅⨯=⋅=图中尺寸单位为mm.(a)（a ）解：确定形心坐标轴。
()()mm AAy mm AAx 50480120,804160160=+==+=则在形心坐标轴下，1点、2点、3点、4点的坐标分别为()()()()50,80,50,80,30,80,70,80----确定相应于形心坐标轴下的剖面惯性矩，惯性积和总面积。
43442442102.31056.21008.1Amm y x A J Amm x A J Amm y A J i i i xy i i y i i x ∑∑∑⨯-==⨯==⨯==求当量弯矩。
()()()()()-19.230M P a508025.842MPa 5080216MPa103080856MPa 34708045072.004132.0,1021154.0110973560196296.014321662=---=-⋅=⋅=-+-=⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+=⨯⋅=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+==-=，，，，，，σσσσσy x y x J J M M k M J J M M k M J J J k x xy x y y y xy y x x yx xy(b)（b ）解：确定形心坐标轴。
()()mmAAy x 10042002000mm4AA100100=+==+-=在形心坐标轴下，1点、2点、3点、4点的坐标分别为()()()()100,100,100,0,100,0,100,100---。
确定相应于形心坐标轴下的剖面惯性矩，惯性积和总面积。
224x i 224244100()2100()2100()i y i i xy i i i J A y A mm J A x A mm J A x y A mm ==⨯==⨯==-⨯∑∑∑求当量弯矩。
薄壁箱梁扭转理论
Mk GI d
曲率
１ M (形式类似弯曲： ＝ ) EI
Mｋ 代入 u ( z ) 表达式，则纵向位移： 将 t ， s ds s u( z) u0 ( z) ( z ) ( z ) ds
ds t
s 0
t
0
u 0 ( z ) ( z )[ ds
( s ) ds
0
s
s
ds
0
/
ds
薄壁箱梁的约束扭转
（1） 基本假定
众所周知，乌曼斯基闭口薄壁直杆约束扭转理论应用以下三个基 本假定： ①横截面的周边不变形； ②横截面上法向应力和剪应力沿壁厚是均匀分布的； ③横截面上纵向位移沿本截面的分布规律与自由扭转时是相同的
令纵向位移为 u ( z , s ) ， z 表示沿跨径， 当闭口截面只发生自由扭转时，有
E w ( Z S ) 2 1
Mk
E dz w E ( z) 2 1 ds u（z） M A u( z) vM u ( z ) ( z ) Z u0 y z s ( z ) ( z ) ] w E[u0 (3 24) ( z )是未定的，我们可以利用平衡条件来消去它，因为箱梁 上式中 u 0 截面上只有扭矩 M k ，其引起翘曲正应力 w 自相平衡，既正应力
s s
q
ds
（阴影部分 ，ds为三角形底边， 为高， 1 ds 为三角形面 2 积） Mk q （ 为周边所围面积的2倍）
qMk t
2. 扭矩M k 、扭率 和纵向位移 u 的关 Mk 系 我们假设 z 为梁 轴方向， u 为纵 向位移，v 为箱 dz 边 s 切线方向的 ds 位移：
飞行器结构力学电子教案6-3
q
Qy Jx
Sx
2、开剖面弯心的计算
现取任意点 A 为力矩中心，则剪 流对该点的力矩应等于其合力对同 一点的力矩，即
Байду номын сангаас
Q y x qds
s
式中，ρ 为微段ds 的剪流合力 ρds 到 力矩中心 A 的垂直距离， Qy x 绕 A
s
以逆时针方向为正， qds 绕 A 以顺 时针方向为正。 将剪流 q 计算公式代入，可得弯心坐标 x 为 同理，可得弯心坐标 y 为
2 3(b2 b12 ) x (b2 b1 ) h 6(b1 b2 )
（1）工字型剖面上、下对成，显 解： 然 x 轴为形心主惯轴，弯心就在 x 轴上。
th 2 Jx [h 6(b1 b2 )] 12
（2）剖面静矩Sx
如图所示。
（3）选取 A 点作为力矩中心，则
1 x Jx 1 S ds s x Jx th 2 2 2 (b1 b2 ) 4
所示的情形。
开剖面薄壁梁的承受扭矩能力 对于壁很薄的薄壁结构，由于壁的厚度与其它尺寸相差很大，实际计算时 忽略开剖面部分的承扭能力，对结构的承扭能力影响不大。
2、开剖面弯心的计算
根据以上的讨论可知，只需找到开剖面剪流的合力作用点，该点就是开剖 面弯心的位置。因为开剖面的剪流是弯曲剪流，只要开剖面的力矩平衡方程满 足，则剪力一定作用在弯心上。这也就是说，若剪力不作用在弯心上，那么， 开剖面的力矩平衡方程就无法满足。因此，可以利用力矩平衡方程求得开剖面 弯心的位置。 如图所示的开剖面。为简单起见， 这里假定 xoy 轴为剖面形心主惯轴。 Qy 将总剪力Q 分解为 和 Q 。 x 先考 Qy 虑只有 作用的情形。 此时，剖面上的剪流等于
薄壁箱梁的扭转和畸变理论
用，如桥梁工程、建筑工程、机械工程等。
薄壁箱梁的设计原则和流程
总结词
薄壁箱梁的设计应遵循结构安全、经济合理、施工方 便等原则，设计流程包括初步设计、详细设计和施工 图设计等阶段。
详细描述
在薄壁箱梁的设计过程中，应充分考虑结构的安全性、 稳定性和耐久性，确保结构在承受各种载荷和气候条件 下的性能表现。同时，设计时应注重经济合理性，优化 材料用量和结构尺寸，降低制造成本。此外，设计时应 考虑施工的方便性，合理安排施工顺序和工艺方法，提 高施工效率。设计流程一般包括初步设计、详细设计和 施工图设计等阶段，每个阶段都有相应的设计内容和要 求。
通过建立有限元模型，模拟薄壁箱梁的畸 变行为，考虑了材料的弹塑性和几何非线 性等因素。
能量平衡法
几何非线性理论
基于能量守恒原理，通过分析薄壁箱梁在 不同外力作用下的能量变化，推导出畸变 的计算公式。
采用大变形理论，考虑了薄壁箱梁在受力 过程中的大位移和转动，适用于分析复杂 受力状态下的畸变问题。
05 薄壁箱梁的扭转和畸变控 制
计算结果分析
根据计算结果，可以对薄壁箱梁的扭转效应进行分析和评估。如果发现存在较大的扭转响 应，应采取相应的措施进行优化和加固，以提高桥梁的安全性和稳定性。
Hale Waihona Puke 04 薄壁箱梁的畸变理论畸变的定义和特性
畸变定义
畸变是指薄壁箱梁在受到外力作用后，其截 面形状和尺寸发生改变的现象。
畸变特性
畸变具有非线性、时变性和空间性等特点， 与箱梁的几何形状、材料属性、外力大小和 作用方式等因素密切相关。
薄壁箱梁的扭转计算方法
计算方法
薄壁箱梁的扭转计算方法主要包括有限元法和解析法。有限元法是通过将梁体离散化为有 限个单元，然后对每个单元进行受力分析，最后汇总得到整体的受力情况。解析法则是通 过数学公式推导，直接求解出梁体的扭转响应。
薄壁箱梁的设计原则和流程
总结词
薄壁箱梁的设计应遵循结构安全、经济合理、施工方 便等原则，设计流程包括初步设计、详细设计和施工 图设计等阶段。
详细描述
在薄壁箱梁的设计过程中，应充分考虑结构的安全性、 稳定性和耐久性，确保结构在承受各种载荷和气候条件 下的性能表现。同时，设计时应注重经济合理性，优化 材料用量和结构尺寸，降低制造成本。此外，设计时应 考虑施工的方便性，合理安排施工顺序和工艺方法，提 高施工效率。设计流程一般包括初步设计、详细设计和 施工图设计等阶段，每个阶段都有相应的设计内容和要 求。
通过建立有限元模型，模拟薄壁箱梁的畸 变行为，考虑了材料的弹塑性和几何非线 性等因素。
能量平衡法
几何非线性理论
基于能量守恒原理，通过分析薄壁箱梁在 不同外力作用下的能量变化，推导出畸变 的计算公式。
采用大变形理论，考虑了薄壁箱梁在受力 过程中的大位移和转动，适用于分析复杂 受力状态下的畸变问题。
05 薄壁箱梁的扭转和畸变控 制
计算结果分析
根据计算结果，可以对薄壁箱梁的扭转效应进行分析和评估。如果发现存在较大的扭转响 应，应采取相应的措施进行优化和加固，以提高桥梁的安全性和稳定性。
Hale Waihona Puke 04 薄壁箱梁的畸变理论畸变的定义和特性
畸变定义
畸变是指薄壁箱梁在受到外力作用后，其截 面形状和尺寸发生改变的现象。
畸变特性
畸变具有非线性、时变性和空间性等特点， 与箱梁的几何形状、材料属性、外力大小和 作用方式等因素密切相关。
薄壁箱梁的扭转计算方法
计算方法
薄壁箱梁的扭转计算方法主要包括有限元法和解析法。有限元法是通过将梁体离散化为有 限个单元，然后对每个单元进行受力分析，最后汇总得到整体的受力情况。解析法则是通 过数学公式推导，直接求解出梁体的扭转响应。
结构力学 薄壁工程梁理论
N 0 tds 0
s sMx
Jx
y tds
1 M x s N s M x q 0 ytds 0 ytds z z J x J x z
M x 由材料力学知识知， z Q y
0 ytds
s
表示从自由边到所求应力点处，受正应力的面积对 形心主轴x的静矩，用Sx表示，即
1 (2b)t 3 12
求静矩分布： 1-2段：
1 ytds hts1 0 2 s2 1 32 Sx ytds hts2 0 2 S12 x
s1
y
1 2
Qy
3
3-2段：
2-7段：
s1
s3
O
s2
2 S x 7
h s htb ts3 3 2 2
S x ytds
0 s
q
Qy Jx
Sx
如果剖面上只有My及Qx作用时，同样可以推导出相应 的剪流计算公式。因此，在x轴和y轴为形心主轴且剖面上 的内力为Qy、Mx和Qx、My时，剖面上的剪流计算公式为
q Qy Jx Sx Qx Sy Jy
y
例6-2 求图示槽型截面在剪力Qy 作用下的剪流。剖面周边的厚度 均为t。 解： x轴是对称轴，必然是形心 主轴。 Q
z
z
y
My
Qy
( x, y)
t o
Nz
ds
Qx Mx
x
该点处取微段ds 微段面积为 t ds ，微段上正应力的合力为 t ds。 三个平衡方程：
M x y tds
A
M y x tds
A
N z tds
A
s sMx
Jx
y tds
1 M x s N s M x q 0 ytds 0 ytds z z J x J x z
M x 由材料力学知识知， z Q y
0 ytds
s
表示从自由边到所求应力点处，受正应力的面积对 形心主轴x的静矩，用Sx表示，即
1 (2b)t 3 12
求静矩分布： 1-2段：
1 ytds hts1 0 2 s2 1 32 Sx ytds hts2 0 2 S12 x
s1
y
1 2
Qy
3
3-2段：
2-7段：
s1
s3
O
s2
2 S x 7
h s htb ts3 3 2 2
S x ytds
0 s
q
Qy Jx
Sx
如果剖面上只有My及Qx作用时，同样可以推导出相应 的剪流计算公式。因此，在x轴和y轴为形心主轴且剖面上 的内力为Qy、Mx和Qx、My时，剖面上的剪流计算公式为
q Qy Jx Sx Qx Sy Jy
y
例6-2 求图示槽型截面在剪力Qy 作用下的剪流。剖面周边的厚度 均为t。 解： x轴是对称轴，必然是形心 主轴。 Q
z
z
y
My
Qy
( x, y)
t o
Nz
ds
Qx Mx
x
该点处取微段ds 微段面积为 t ds ，微段上正应力的合力为 t ds。 三个平衡方程：
M x y tds
A
M y x tds
A
N z tds
A
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使得所有结构元件具有 相同的弹性模量，而剖 面的几何形状不变。 引入减缩因数
E1 , t1
y
E2 , t 2
E3 , t 3
梁腹板
x
E4 , t 4
梁缘条
桁条（筋条）
设所有元件采用相同的弹性模量 E 。
i
Ei E
（1）变形协调：减缩前后元件的应变相等。
zi i
Ei
i
E
则 i i i
2 J xy J xy J xy 1 1 式中，M y M y M x ； M x M x M y ； k 1 k Jx k Jy JxJ y
M x , M y 分别叫做对x轴和y轴的当量弯矩。
6.2.2 减缩因数法
如果所分析的结构 由不同材料构成，前面 的公式就不能直接使用， 这时可把不同材料向同 Mx 一种材料折算；
1 htb 2
1 1 htb th2 2 8
b Qy h(b h / 6)
Qy th 2
2
h b 6
Sx
bh 4 Qy h(b h / 6)
q
Sx
1 htb 2
剪流方向根据其与剪力的 关系确定。 平衡观点
合力观点
合力的观点较合理。
以后的讨论均按合力的观点（和书上不同）。
Sx
Sx
1 bth th2 8
q
b h/8 Qy h(b h / 12)
静矩有继承性，因此剪流有连 续性，流向某点的剪流总和与流出 该点的剪流总和相同。 但在有集中面积之处，由于静 矩突变，剪流连续性不存在。
例6-4 求圆形开剖面结构在剪力Qy作用 下的剪流。设壁厚为t。 解：x、y轴是形心主轴 计算惯性矩： x R3t J 有两种办法计算惯性矩：
Mx y Jx
z
a
y
x
b
c
d
a
N
b d
N N dz z
取微面积abcd，ad边无剪流，b点 处剖面剪流为q，则bc边的剪流为q。
c
qdz
由平衡条件 Fz 0 ，知
N N dz N q dz 0 z
a
N
q
N z
b d
N N dz z
q
c
而N为ab段上的轴力：
n 0
t
自由表面
剪流的概念：
n
q
q 剪流 q t ， q(s)
剪流是单位长度上的剪力，切应力的载荷集度。
（3）应变平面分布
z ax by c
a , b , c —待定常数
则正应力： z E z E (ax by c) ax by c 弯曲和扭转时剖面可以发生翘曲，叫做自由弯曲和 自由扭转。 当翘曲受限时，叫做限制弯曲和限制扭转，产生附 加应力，例如机翼根部。所以自由弯曲和自由扭转的理 论不适用于翼根或梁的固定端。
z
z
y
My
Qy
( x, y)
t o
Nz
ds
Qx Mx
x
该点处取微段ds 微段面积为 t ds ，微段上正应力的合力为 t ds。 三个平衡方程：
M x y tds
A
M y x tds
A
N z tds
A
将正应力平面分布的表达式
z E z E (ax by c) ax by c
A xtds S y —静矩
A
y 2tds J x
x 2tds J y —惯性矩 A
A xytds J xy —惯性积
a xytds b y 2tds c ytds M x
A A A
a x 2tds b xytds c xtds M y
飞行器结构力学基础
李亚智
航空学院·航空结构工程系
第6章 薄壁工程梁理论 6.1 概述
工程梁：梁式薄壁结构，如机翼悬臂梁、机身简支外伸梁， 剖面几何形状复杂，材料性质复杂的薄壁梁。
y
x
z
实际工程梁结构高度静不定，用力法求解很困难，用 有限元法求解也比较麻烦。 可以先对结构进行简化，略去一些对承力作用弱的元 件，并对外载荷的分布和大小形式也作合理简化和调整， 形成适合工程化分析的理想化模型，然后进行计算。这就 是工程梁理论的思路。 6.1.1 简化假设 （1）棱柱壳体。剖面的几何形状及材料性质沿纵向不变。 横剖面可以发生翘曲（ w w( z) 0 ），但在自身平面 内的投影形状不变； （2）剖面上正应力和切应力沿壁厚 均匀分布。切应力τ平行于壁中线的 切线。
s
h
O
1 ytds hts1 2
t
5 4
1 htb 2
b
2-3段：
1 1 htb th2 2 8
s2 1 h s 2 S x 3 ytds htb ts2 2 0 2 2 2
Sx
1 htb 2
剖面下半部分静矩与上半部分对称。
计算剖面剪流：
q Qy Jx Sx
例6-3 求工字梁剖面在剪力Q y 作用 下的剪流。剖面周边的厚度均为t。 解： x轴是对称轴，必然是形心主轴。
q Qy Jx Sx
h
2
y
Qy
计算惯性矩：
1 h h J x 2 (2bt ) th3 th2 (b ) 12 2 12
O
x
t
2b
t
省略一项： 2 求静矩分布：
J 若x, y是剖面的形心主轴，则 J x ， y 称为主形心惯性矩，且
J xy xytds 0
A
所以：
aJ xy bJ x cSx M x aJ y bJ xy cS y M y aS y bSx cA0 N z
bJ x M x
S x ytds
0 s
q
Qy Jx
Sx
如果剖面上只有My及Qx作用时，同样可以推导出相应 的剪流计算公式。因此，在x轴和y轴为形心主轴且剖面上 的内力为Qy、Mx和Qx、My时，剖面上的剪流计算公式为
q Qy Jx Sx Qx Sy Jy
y
例6-2 求图示槽型截面在剪力Qy 作用下的剪流。剖面周边的厚度 均为t。 解： x轴是对称轴，必然是形心 主轴。 Q
（2）平衡：减缩前后元件的轴力不变。
N zi i Ai i Ai 则 Ai i Ai
A 也就是说，只需要把元件的面积作减缩， i i Ai ，这时对 应的正应力就是 i ，仍可按下式计算应力
i
My Jy x Mx N y z Jx A0
主形心惯性矩和剖面积均应换成面积减缩后的值。
代入平衡方程
a xytds b y 2tds c ytds M x
A A A
a x 2tds b xytds c xtds M y
A A A
a xtds b ytds c tds N z
A A A
式中，A tds A0 —剖面面积；A ytds S x
y
y0
y
y
x
o
x
J xy Ai xi yi
2 J xy Jx J y
o
x0
x
6.3 自由弯曲时开剖面切应力的计算
图示开剖面薄壁梁，欲求一 截面上点b处的剪流q，q t 。 假设x、y轴为形心主轴， b点所在剖面仅受弯矩Mx和剪 力Q y 作用，其余内力为零。 则该剖面上正应力的公式为：
4
(2R t 2Rt )(t 2Rt )
2 2 2
4
2R2 2Rt R3t
计算静矩分布：
S x ( ) ytds
0 s
( R cos )tRd R 2t sin
0
t
杆-板模型
承受正应力的桁 条与承受切应力的蒙 皮之间的传力关系
dz z
q2 q1
计算具有集中面积的薄壁梁正应力时，只有集中面积 可以承受正应力。
确定剖面几何性质时：
Ai xi x0 Ai J x Ai yi2
tan 2
Ai yi , y0 Ai J y Ai xi2
然后通过 i i i 换算成真实的正应力。
6.2.3 具有集中面积的薄壁结构正应力计算 薄壁结构中，梁缘、桁条等元件的剖面积相对于结构的 剖面很小，可以近似地看成集中面积。
薄壁结构中如果蒙皮比较薄，其承受正应力的能力有限， 而梁、桁条等加强元件承受正应力能力较强。
有时可以让蒙皮承受剪切，而将其承受正应力的能力折 算到梁、桁条等的集中面积上去，组成新的承受正应力的集 中面积。
Mz
z
My
o
Nz
Qy
Qx
Mx
x
剖面应力（分布形式的内力）： —正应力
—切应力
正应力方向以拉伸为正，切应力方向根据其与内力合 力的关系而定。 准确地讲，M x , M y , M z , Qx , Qy , Nz 是剖面分布内力的合力。
6.2 自由弯曲时正应力的计算
6.2.1 公式推导 剖面上6个内力合力 中，M z 、Q x 、Q y 不引起 弯曲正应力。 正应力 壁上一点（x , y）处：M
a
My Jy Mx b Jx N c z A0
aJ y M y
cA0 N z
ax by c
My Jy
x
Mx N y z Jx A0
E1 , t1
y
E2 , t 2
E3 , t 3
梁腹板
x
E4 , t 4
梁缘条
桁条（筋条）
设所有元件采用相同的弹性模量 E 。
i
Ei E
（1）变形协调：减缩前后元件的应变相等。
zi i
Ei
i
E
则 i i i
2 J xy J xy J xy 1 1 式中，M y M y M x ； M x M x M y ； k 1 k Jx k Jy JxJ y
M x , M y 分别叫做对x轴和y轴的当量弯矩。
6.2.2 减缩因数法
如果所分析的结构 由不同材料构成，前面 的公式就不能直接使用， 这时可把不同材料向同 Mx 一种材料折算；
1 htb 2
1 1 htb th2 2 8
b Qy h(b h / 6)
Qy th 2
2
h b 6
Sx
bh 4 Qy h(b h / 6)
q
Sx
1 htb 2
剪流方向根据其与剪力的 关系确定。 平衡观点
合力观点
合力的观点较合理。
以后的讨论均按合力的观点（和书上不同）。
Sx
Sx
1 bth th2 8
q
b h/8 Qy h(b h / 12)
静矩有继承性，因此剪流有连 续性，流向某点的剪流总和与流出 该点的剪流总和相同。 但在有集中面积之处，由于静 矩突变，剪流连续性不存在。
例6-4 求圆形开剖面结构在剪力Qy作用 下的剪流。设壁厚为t。 解：x、y轴是形心主轴 计算惯性矩： x R3t J 有两种办法计算惯性矩：
Mx y Jx
z
a
y
x
b
c
d
a
N
b d
N N dz z
取微面积abcd，ad边无剪流，b点 处剖面剪流为q，则bc边的剪流为q。
c
qdz
由平衡条件 Fz 0 ，知
N N dz N q dz 0 z
a
N
q
N z
b d
N N dz z
q
c
而N为ab段上的轴力：
n 0
t
自由表面
剪流的概念：
n
q
q 剪流 q t ， q(s)
剪流是单位长度上的剪力，切应力的载荷集度。
（3）应变平面分布
z ax by c
a , b , c —待定常数
则正应力： z E z E (ax by c) ax by c 弯曲和扭转时剖面可以发生翘曲，叫做自由弯曲和 自由扭转。 当翘曲受限时，叫做限制弯曲和限制扭转，产生附 加应力，例如机翼根部。所以自由弯曲和自由扭转的理 论不适用于翼根或梁的固定端。
z
z
y
My
Qy
( x, y)
t o
Nz
ds
Qx Mx
x
该点处取微段ds 微段面积为 t ds ，微段上正应力的合力为 t ds。 三个平衡方程：
M x y tds
A
M y x tds
A
N z tds
A
将正应力平面分布的表达式
z E z E (ax by c) ax by c
A xtds S y —静矩
A
y 2tds J x
x 2tds J y —惯性矩 A
A xytds J xy —惯性积
a xytds b y 2tds c ytds M x
A A A
a x 2tds b xytds c xtds M y
飞行器结构力学基础
李亚智
航空学院·航空结构工程系
第6章 薄壁工程梁理论 6.1 概述
工程梁：梁式薄壁结构，如机翼悬臂梁、机身简支外伸梁， 剖面几何形状复杂，材料性质复杂的薄壁梁。
y
x
z
实际工程梁结构高度静不定，用力法求解很困难，用 有限元法求解也比较麻烦。 可以先对结构进行简化，略去一些对承力作用弱的元 件，并对外载荷的分布和大小形式也作合理简化和调整， 形成适合工程化分析的理想化模型，然后进行计算。这就 是工程梁理论的思路。 6.1.1 简化假设 （1）棱柱壳体。剖面的几何形状及材料性质沿纵向不变。 横剖面可以发生翘曲（ w w( z) 0 ），但在自身平面 内的投影形状不变； （2）剖面上正应力和切应力沿壁厚 均匀分布。切应力τ平行于壁中线的 切线。
s
h
O
1 ytds hts1 2
t
5 4
1 htb 2
b
2-3段：
1 1 htb th2 2 8
s2 1 h s 2 S x 3 ytds htb ts2 2 0 2 2 2
Sx
1 htb 2
剖面下半部分静矩与上半部分对称。
计算剖面剪流：
q Qy Jx Sx
例6-3 求工字梁剖面在剪力Q y 作用 下的剪流。剖面周边的厚度均为t。 解： x轴是对称轴，必然是形心主轴。
q Qy Jx Sx
h
2
y
Qy
计算惯性矩：
1 h h J x 2 (2bt ) th3 th2 (b ) 12 2 12
O
x
t
2b
t
省略一项： 2 求静矩分布：
J 若x, y是剖面的形心主轴，则 J x ， y 称为主形心惯性矩，且
J xy xytds 0
A
所以：
aJ xy bJ x cSx M x aJ y bJ xy cS y M y aS y bSx cA0 N z
bJ x M x
S x ytds
0 s
q
Qy Jx
Sx
如果剖面上只有My及Qx作用时，同样可以推导出相应 的剪流计算公式。因此，在x轴和y轴为形心主轴且剖面上 的内力为Qy、Mx和Qx、My时，剖面上的剪流计算公式为
q Qy Jx Sx Qx Sy Jy
y
例6-2 求图示槽型截面在剪力Qy 作用下的剪流。剖面周边的厚度 均为t。 解： x轴是对称轴，必然是形心 主轴。 Q
（2）平衡：减缩前后元件的轴力不变。
N zi i Ai i Ai 则 Ai i Ai
A 也就是说，只需要把元件的面积作减缩， i i Ai ，这时对 应的正应力就是 i ，仍可按下式计算应力
i
My Jy x Mx N y z Jx A0
主形心惯性矩和剖面积均应换成面积减缩后的值。
代入平衡方程
a xytds b y 2tds c ytds M x
A A A
a x 2tds b xytds c xtds M y
A A A
a xtds b ytds c tds N z
A A A
式中，A tds A0 —剖面面积；A ytds S x
y
y0
y
y
x
o
x
J xy Ai xi yi
2 J xy Jx J y
o
x0
x
6.3 自由弯曲时开剖面切应力的计算
图示开剖面薄壁梁，欲求一 截面上点b处的剪流q，q t 。 假设x、y轴为形心主轴， b点所在剖面仅受弯矩Mx和剪 力Q y 作用，其余内力为零。 则该剖面上正应力的公式为：
4
(2R t 2Rt )(t 2Rt )
2 2 2
4
2R2 2Rt R3t
计算静矩分布：
S x ( ) ytds
0 s
( R cos )tRd R 2t sin
0
t
杆-板模型
承受正应力的桁 条与承受切应力的蒙 皮之间的传力关系
dz z
q2 q1
计算具有集中面积的薄壁梁正应力时，只有集中面积 可以承受正应力。
确定剖面几何性质时：
Ai xi x0 Ai J x Ai yi2
tan 2
Ai yi , y0 Ai J y Ai xi2
然后通过 i i i 换算成真实的正应力。
6.2.3 具有集中面积的薄壁结构正应力计算 薄壁结构中，梁缘、桁条等元件的剖面积相对于结构的 剖面很小，可以近似地看成集中面积。
薄壁结构中如果蒙皮比较薄，其承受正应力的能力有限， 而梁、桁条等加强元件承受正应力能力较强。
有时可以让蒙皮承受剪切，而将其承受正应力的能力折 算到梁、桁条等的集中面积上去，组成新的承受正应力的集 中面积。
Mz
z
My
o
Nz
Qy
Qx
Mx
x
剖面应力（分布形式的内力）： —正应力
—切应力
正应力方向以拉伸为正，切应力方向根据其与内力合 力的关系而定。 准确地讲，M x , M y , M z , Qx , Qy , Nz 是剖面分布内力的合力。
6.2 自由弯曲时正应力的计算
6.2.1 公式推导 剖面上6个内力合力 中，M z 、Q x 、Q y 不引起 弯曲正应力。 正应力 壁上一点（x , y）处：M
a
My Jy Mx b Jx N c z A0
aJ y M y
cA0 N z
ax by c
My Jy
x
Mx N y z Jx A0