统计分析与方法-第四章 总体参数的估计

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
平均值 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 Total
区间估计(interval estimation) 区间估计
这时我们知道为什么以抽样平均误差来 直接估计总体参数不合适 即：
总体均值 = 样本均值 ± 抽样平均误差 X = x ± µx
因为如果这样估计，只有 因为如果这样估计，只有68.27%的概率可以认为总 的概率可以认为总 体参数在这个范围内！ 体参数在这个范围内！
关于置信区间的注意点
一个描述性例子： 一个描述性例子 ： 一个有10000个人回答的调 查显示，同意某种观点的人的比例为70%（有 7000人同意），可以算出总体中同意该观点的 比例的95%置信区间为（0.691，0.709）； 另一个调查声称有70%的比例反对该种观点， 还说总体中反对该观点的置信区间也是（0.691， 0.709）。 到底相信谁呢？
σ
n
,X +
σ
n
)范围内
1
68.27%
样本均值( x )在( X − 2 的概率为95.45%
σ
n
,X +2
σ
n
)范围内
2
95.45%
样本均值( x )在( X − 3 的概率为99.73%
σ
n
, X +3
σ
n
)范围内
3
ห้องสมุดไป่ตู้
99.73%
样本均值的分布
同样我们可对样本均值的正态分布进行 标准化:
样本均值 - 总体均值 x − X 标准化公式 :t = = σ 样本均值标准差 n 当 x − X )= ± σ ( 当 x − X )= ±2σ ( 当 x − X )= ±3σ ( n 时, = 1 ⇒ 68.27% t 时, = 2 ⇒ 95.45% t 时, = 3 ⇒ 99.73% t
为什么要研究抽样平均误差？ 为什么要研究抽样平均误差？ 实际误差未知： 实际误差未知： 未知
(x − X )
而且，由于样本均值是随机的， 而且，由于样本均值是随机的，每次的 误差也不一样。 误差也不一样。
基本概念： 基本概念：抽样平均误差
抽样平均误差：是指所有可能组成的样 本的抽样指标与总体指标的平均误差程 度。 以均值为例：
Spss输出结果汇总 输出结果汇总
449.0104-1.96*0.794 449.0104+1.96*0.794
关于置信区间的注意点
置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。 有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比 和误差（即置信区间），并不说明置信度，也 不给出被调查的人数，这是不负责的表现。 因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得 “精确”），有误导读者之嫌。 在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的 表现。这样则内行可以由此推算出置信度（由 后面给出的公式），反之亦然。
误差的平方 20.25 16.00 12.25 9.00 6.25 4.00 2.25 1.00 0.25 0 0.25 1.00 2.25 4.00 6.25 9.00 12.25 16.00
所有可能样本平均 值的平均值=5.50 值的平均值 =总体的平均值 总体的平均值
基本概念： 基本概念：抽样平均误差
与总体均值5.5之间的误差 与总体均值5.5之间的误差 5.5 -4.5 -4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
频数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 4 3 2 100
Spss选项 Spss选项
Analyze-Descriptive Statistics-Explore， 再选中x1和x2到Dependent List； 然后在Statistics中选中 中选中Descriptives，选 然后在 中选中 ， 置信度（默认值就是95%）； 然后Continue-OK。
n n
以95.45%的置信度推断总体比例P的置信 区间为：
( p − 2 p (1 − p ) , p + 2 p (1 − p ) ) n n
以99.73%的置信度推断总体比例P的置信 区间为： p (1 − p ) p (1 − p )
(p −3 n , p+3 n )
总体参数的估计
例5.1 某厂家生产的挂面包装上写明“净含 量450克”。在用天平称量了商场中的48包 挂面之后，得到样本量为48的关于挂面重量 （单位：克）的一个样本： 利用计算机，可以很容易地得到挂面重量的 样本均值、总体均值的置信区间等等。下面 是SPSS的输出。 SPSS数据noodle.sav
( ( 均值 x )= X , 标准差 x )=
σ
n
样本均值( x )服从正态分布N ( X,
σ
n
)
正态分布的 3σ 准则
P=68.27%
P=95.45%
P=99.73%
样本均值的分布
并且不管我们研究的总体是否服从正态分布， 并且不管我们研究的总体是否服从正态分布， 样本均值一定服从正态分布。 样本均值一定服从正态分布。 同前面我们介绍的正态分布的性质一样： 同前面我们介绍的正态分布的性质一样： 样本均值 x在总体均值 X 一个正负标准差的
抽样平均误差 = ( x − X )2 ∑ 所有可能的抽样数目
因此，抽样平均误差就是样本均值的标准 差，即我们在前面介绍过的标准误差。
基本概念：抽样平均误差 基本概念：
平均数的抽样误差： 重置抽样 σ µx =
2
n
=
σ
n
总体参数的估计
由样本统计量来估计总体参数有两种方 法：点估计和区间估计 点估计(point estimation)：也就是用样本 点估计 统计量的实现值来近似相应的总体参数。 即： x → X , p → P
总体参数的估计
以同样的原理和方法可以估计总体比例P。 虽然总体比例P不服从正态分布，但是我 们前面已知，其样本均值（样本比例的 均值就等于样本比例，即：E（p）=p） 都服从正态分布。 因此我们可以得到对总体比例P的估计：
总体参数的估计
以68.27%的置信度推断总体比例P的置信 区间为： ( p − p(1 − p) , p + p(1 − p) )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
答案是：否。？
样本均值的分布
为了回答这个问题，我们必须来看样本 均值的分布。
样本均值的分布
根据中心极限定理，当样本足够大时， 根据中心极限定理，当样本足够大时， 所有可能组成的样本（ 所有可能组成的样本（样本数目将会很 的均值服从正态分布。 大）的均值服从正态分布。 由于样本均值的均值等于总体的均值, 样本均值的均值等于总体的均值 由于样本均值的均值等于总体的均值,样 本均值的标准差等于抽样平均误差， 本均值的标准差等于抽样平均误差，即:
总体参数的估计
例如： 例如：人们想知道到底有多大比例的北京人同 意北京大力发展轨道交通； 意北京大力发展轨道交通； 由于不大可能询问所有的一千多万北京市民， 由于不大可能询问所有的一千多万北京市民， 人们只好进行抽样调查以得到样本 抽样调查以得到样本， 人们只好进行抽样调查以得到样本，并用样本 中同意发展轨道交通的比例来估计真实的比例。 中同意发展轨道交通的比例来估计真实的比例。 从不同的样本得到的结论也不会完全一样。 从不同的样本得到的结论也不会完全一样。 虽然真实的比例在这种抽样过程中永远也不知 道；但可以知道估计出来的比例和真实的比例 大致差多少。 大致差多少。
基本概念： 基本概念：抽样误差
抽样误差：就是指按照随机原则抽样时， 抽样误差：就是指按照随机原则抽样时， 在没有登记误差的条件下样本指标与总 体指标之间存在的误差。 体指标之间存在的误差。
基本概念： 基本概念：抽样误差
例如： 例如： 有一个总体： 有一个总体：1，2，3，4，5，6，7，8， 10共十个数 平均值=5.5 共十个数, 9，10共十个数,平均值=5.5 从其中抽取2个数，组成一个样本， 从其中抽取2个数，组成一个样本， 样本容量=2 样本容量=2 可能组成的样本个数=10*10=100 可能组成的样本个数=10*10=100
区间内的概率为68.27%。 区间内的概率为68.27%。 68.27%
样本均值在总体均值两个正负标准差的区间内 的概率为95.45% 95.45%。 的概率为95.45%。 样本均值在总体均值三个正负标准差的区间内 的概率为99.37% 99.37%。 的概率为99.37%。
样本均值( x )在( X − 的概率为68.27%
总体参数的估计
从数据得到对现实世界的结论的过程就 叫做统计推断(statistical inference) 统计推断( inference)。 统计推断 这个调查例子是估计总体参数（某种意 见的比例）的一个过程。 估计( estimation)是统计推断的重要内 估计 ( estimation) 容之一。统计推断的另一个主要内容是 下 一 章 要 引 进 的 假 设 检 验 ( hypothesis testing)。 testing)